Laboratorio Calcolo e Strutture - ingaero.uniroma1.it · • Gli autovettori ... Analisi Modale ....

MSC Software

Università di Roma - Sapienza

Laboratorio Calcolo e Strutture

Esercitazione n. 3- Dinamica

Laboratorio Calcolo e Strutture Esercitazione n. 3

“Analisi Modale e della Risposta al Transitorio”

Ing. Mauro Linari

Senior Pro ject Manager

MSC Software S.r. l .

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• Il modo proprio di vibrare di un sistema è un tipo di moto nel quale tutte le parti del sistema si muovono sinusoidalmente con la stessa frequenza e fase

• Una massa connessa a terra tramite una molla, viene spostata dalla sua posizione di equilibrio e successivamente lasciata libera di muoversi

• La massa inizia ad oscillare intorno alla iniziale

posizione di equilibrio con una frequenza che dipende

dalle caratteristiche di massa e rigidezza

• Questa caratteristica intrinseca del sistema prende il

nome di modo proprio di vibrare

• In presenza di fenomeni dissipativi l’ampiezza del

modo proprio di vibrare tende a smorzarsi

Oscillazione libera non smorzata

Oscillazione libera smorzata

Modi propri di vibrare Definizione

• Un oggetto fisico, come un edificio, un ponte o un qualsiasi componente di un sistema meccanico è caratterizzato da un set di modi propri di vibrare che dipendono dalle sue caratteristiche strutturali e dalle condizioni al contorno

http://it.wikipedia.org/wiki/File:Simple_harmonic_oscillator.gif

http://it.wikipedia.org/wiki/File:Damped_spring.gif

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• Valutare le caratteristiche dinamiche della struttura.

• Per esempio, si supponga di dover installare una macchina rotante su un’altra

struttura. Potrebbe essere necessario verificare se la frequenza della massa rotante

è prossima ad una delle frequenze naturali della struttura onde evitare eccessive

vibrazioni.

• Valutare l’amplificazione dinamica dei carichi applicati

• Utilizzare le frequenze naturali e modi normali per guidare/controllare

una successiva analisi dinamica (risposta ai transitori, analisi dello

spettro di risposta)

• Ad esempio, quale dovrebbe essere il tempo di integrazione più appropriato per le

equazioni del moto in una analisi al transitorio?

• Utilizzare le frequenze naturali ed in particolare le forme modali come

base modale per la successiva analisi dinamica

• La risposta dinamica di un sistema è data dalla somma dei contributi dei singoli modi

propri di vibrare

• Guidare l’analisi sperimentale delle strutture

• Ad esempio definire la posizione degli accelerometri

• Valutare le modifiche da apportare al progetto di una struttura

Modi propri di vibrare Perchè è utile calcolarli?

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• Equazione generale del moto :

con:

‒ Considerando smorzamento e carico nullo,

l’equazione in forma matriciale si riduce a:

che rappresenta l’equazione del moto per

vibrazioni libere non smorzate

‒ Per risolvere questa equazione, si assume

una soluzione armonica nella forma

‒ Differenziando {u} e sostituendo velocità e

spostamento nell’equazione del moto si

ottiene:

in cui:

Modi propri di vibrare Brevi cenni teorici

‒ Tale equazione rappresenta un sistema di

equazioni omogenee che ammette soluzioni

diverse da quella banale ( = 0) se e solo se il

determinante dei coefficienti è diverso da 0:

‒ Le soluzioni i = i2 = 2fi sono gli autovalori

della struttura con i e fi rispettivamente

pulsazioni e frequenze proprie

• Se la struttura ha N gradi di libertà dotati di massa, ci

saranno N autovalori come soluzione del problema

• Gli autovettori {}i associati a ciascuna frequenza

naturale fi viene definita come modo normale o

forma modale. La forma modale corrisponde alla

deformata assunta dalla struttura in corrispondenza

di una frequenza propria

• In una struttura che vibra, la deformata è data ad

ogni istante dalla combinazione lineare delle sue

forme modali

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• Se [K] ed [M] sono simmetriche e reali (vero per tutti gli

elementi strutturali di comune utilizzo), sono soddisfatte le

seguenti proprietà di ortogonalità:

jisek

jiseK

jisem

jiseM

i

j

T

i

i

j

T

i

0

0

con:

j

T

i

j

T

i

M

K

2

Le frequenze naturali (1, 1,…) sono espresse in radianti/secondo.

Si esprimono in hertz in base alla relazione:

2

)sec()(

radiantihertzf i

i

Modi propri di vibrare Proprietà e considerazioni generali

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Analisi Modale Interfaccia utente in Patran

(si hanno soluzioni proporzionali tra loro,

dipendenti dal valore dato a y)

Gli autovettori sono definiti a meno

di un fattore di proporzionalità

00

0

0

0

0

00det0

b

yxa

dy

xc

by

xa

dycx

byax

dycx

byaxy

ya

bx

a

b

y

x

1

1

1

0.5

1

,300

150

= = 1

0.66

0.33

=,

Rappresentano lo stesso modo proprio di vibrare

NORMALIZZAZIONE

I modi vengono normalizzati sulla

base di opportune convenzioni

‒ Disponibili tre possibili modalità :

• Massa generalizzata unitaria:

• Ciascun autovettore si normalizza

rispetto al massimo spostamento

• Normalizzazione rispetto allo

spostamento di un nodo specificato

dall’utente

{i}T[M]{i} = 1

Far riferimento alla successiva slide

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• In MSC Nastran sono disponibili 3 diverse motodologie per il

calcolo degli autovalori:

– Metodi di Ricerca

• Gli autovalori sono calcolati mediante una tecnica iterativa.

• Sono disponibili due varianti del metodo Inverse Power (INV and SINV)

• Conveniente quando si vogliono calcolare poche frequenze naturali

• In generale, il metodo SINV iè più affidabile dell’INV.

– Metodi di trasformazione

La relazione originaria viene trasformata in modo da definire una opportuna matrice A

– Metodo di Lanczos (raccomandato e più utilizzato)

Questo metodo è una combinazione dei due metodi precedentiì

Analisi Modale Metodi di soluzione – Calcolo degli autovalori

– La matrice A viene trasformata in una matrice tridiagonale utilizzando delle tecniche del tipo Givens e Householder. A questo punto si estraggono tutti gli autovalori (algoritmi tipo QR).

– Sono disponibili due varianti dei suddetti metodi per supportare la singolarità della matrice di massa In totale si hanno 4 metodi: GIV, MGIV, HOU, e MHOU.

– Tali metodi sono efficienti quando si richiedono tante frequenze su sistemi di dimensioni limitate

KMAcon

A

MK

1

0

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Analisi Modale Interfaccia utente in MSC Nastran

• Executive Control Section

– SOL 103

• Case Control Section

– METHOD (required - selects EIGRL/ EIGR entry)

• Bulk Data Section

– EIGR / EIGRL (Lanczos method)

Metodo di Lanczos

Altri metodi

Default = 7, (fino a15)

Campo di frequenze Numero di autovettori

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Deformata calcolata per il 1° modo



Deformata calcolata per il 3° modo La risoluzione del modello e’ tale da fornire risultati accettabili solamente per il primo modo Migliora il primo modo, si inizia a

‘prendere’ il secondo, dal terzo in poi I risultati sono errati

Regola di modellazione

Per calcolare bene un dato modo proprio di vibrare si debbono considerare almeno 5 nodi nella semionda

La distribuzione delle masse e’ tale da seguire molto bene la deformata corrispondente ai modi primi modi propri di vibrare

La distribuzione delle masse e’ tale da seguire approssimativamente il primo modo

Una distribuzione non uniforme dei nodi puo’

portare ad errori anche nei primi modi

• La modellazione in Analisi Modale/Dinamica e’ influenzata dalla

necessità di rappresentare al meglio la distribuzione della massa

– Il modello dinamico piu’ idoneo ha una distribuzione uniforme di nodi (in numero

opportuno) in modo da rappresentare al meglio la distribuzione reale della massa

della struttura.

– Considerando il semplice esempio della precedente slides si verifica come, non

essendoci masse in movimento non si riesca ad avere alcun risultato in dinamica.

Analisi Modale Come l’analisi influenza la schematizzazione della struttura

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• Si considera per semplicità l’elemento ROD

• Matrice di rigidezza:

L

1

2

3

4 Length L

Area ATorsional constant JYoung’s modulus E

Shear modulus GMass density

Polar moment of inertia I

L

GJ

L

GJL

AE

L

AEL

GJ

L

GJL

AE

L

AE

00

00

00

00

k

dArI

A

I

A

I

A

I

A

I

AL 2where

30

60

03

10

6

16

03

0

06

10

3

1

ρm

0000

02100

0000

00021

ALm

0000

01250121

0000

01210125

ALm

5/12 = ½(1/2 + 1/3)

1/12 = ½( 0 + 1/6)

Rappresentazione della matrice di massa Modalità LUMPED e COUPLED

• Rappresentazione ‘Consistent’ della matrice di

massa (Classica)

• Termini di massa non nulli laddove lo sono i termini

di rigidezza

‒ I termini assiali traslazionali sono la media dei corrispondenti

termini delle rappresentazioni classiche ‘lumped’ e ‘consistent’.

• La media si è dimostrata essere la migliore soluzione per la ROD

• Rappresentazione ‘Lumped ’

(MSC Nastran e ‘Classica’)

• Rappresentazione ‘Coupled ’ (MSC Nastran)

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• Si consideri una ROD incastrata ad un estremo

• Prima frequenza naturale (esatta)

• Rappresentazioni classiche della massa

– Lumped mass

– Classical consistent mass

• MSC Nastran

– Coupled mass

u(t)

Single Element Model

2

1

L

L5708.1

L241

EE

LL

E414.1

E2

LM %)10(

LL

E732.1

E3

C %)10(

LL

E549.1

E512

N %)4.1(

Rappresentazione della matrice di massa Giustificazione per la rappresentazione ‘COUPLED’

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• Scheda materiali (Es. MAT1)

• Elementi scalari (Es. CMASSi,PMASSi)

• Elementi di massa concentrata

‒ CONM1 – Si definisce la matrice 6x6

‒ CONM2 – Forma particolare della matrice 6x6

• Massa non strutturale (negli specifici campi delle schede

proprieta’ degli elementi 1D e 2D)

‒ Modella quella parte di struttura che pur aumentandone la massa non

contribuisce alla rigidezza

33I32I31I

22I21I

11I

M

.SYMM

M

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

MAT1 MID E G NU RHO A TREF GE

MAT1 2 30.0E6 0.3 7.76E-4Densita’ di massa

Rappresentazione della matrice di massa Interfaccia utente in MSC Nastran e Patran

CONM1

CMASS1

CONM2

CMASS1

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• Sono disponibili varie modalità di definizione

– Distribuire la massa non strutturaleper mezzo di una lista di elementi o

una lista di specifiche proprietà

– Selezionabili dal Case Control Deck con il comando NSM

• NSM e la sua forma alternativa NSM1 consente di definire una

massa non strutturale ad una lista di elementis.

Esempio:

Ciascuno degli esempi assegna una massa non strutturale per unità di area di 0.022 agli elementi con proprietà PSHELL 15. Si sommano se presenti contemporaneamente • Le schede NSML and NSML1 calcolano

il valore della massa non strutturale per unità di area 2D (es., CQUAD4)

• Le schede NSML and NSML1 calcolano il valore della massa non strutturale lineare per gli elementi 1D (es., CBAR)

Ambedue gli esempi assegnano una massa totale di 0.95 da distribuire sugli elementi associati alla proprietà PSHELL 100

Rappresentazione della matrice di massa Ulteriore modalità di definizione della massa non strutturale

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For this problem, use Lanczos method to find the first ten natural frequencies and mode shapes of a flat rectangular plate. Below is a finite element representation of the rectangular plate. It also contains the geometric dimensions and the loads and boundary constraints. Table 3A contains the necessary parameters to construct the input file.

Grid Coordinates and Element Connectivities

5

2

Problem #1 Modal Analysis of a Flate Plate

Length (a) 5 in

Height (b) 2 in

Thickness 0.100 in

Weight Density 0.282 lbs/in3

Mass/Weight Factor 2.59E-3 sec2/in

Elastic Modulus 30.0E6 lbs/in2

Poisson’s Ratio 0,3

Table 3A.

Loads and Boundary Conditions

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$

$ plate.bdf

$

$ geometric input file for plate model

$

PSHELL 1 1 .1 1 1

CQUAD4 1 1 1 2 13 12

CQUAD4 2 1 2 3 14 13

CQUAD4 3 1 3 4 15 14

CQUAD4 4 1 4 5 16 15

CQUAD4 5 1 5 6 17 16

CQUAD4 6 1 6 7 18 17

CQUAD4 7 1 7 8 19 18

CQUAD4 8 1 8 9 20 19

CQUAD4 9 1 9 10 21 20

CQUAD4 10 1 10 11 22 21

CQUAD4 11 1 12 13 24 23

CQUAD4 12 1 13 14 25 24

CQUAD4 13 1 14 15 26 25

CQUAD4 14 1 15 16 27 26

CQUAD4 15 1 16 17 28 27

CQUAD4 16 1 17 18 29 28

CQUAD4 17 1 18 19 30 29

CQUAD4 18 1 19 20 31 30

CQUAD4 19 1 20 21 32 31

CQUAD4 20 1 21 22 33 32

CQUAD4 21 1 23 24 35 34

CQUAD4 22 1 24 25 36 35

CQUAD4 23 1 25 26 37 36

CQUAD4 24 1 26 27 38 37

CQUAD4 25 1 27 28 39 38

CQUAD4 26 1 28 29 40 39

CQUAD4 27 1 29 30 41 40

CQUAD4 28 1 30 31 42 41

CQUAD4 29 1 31 32 43 42

CQUAD4 30 1 32 33 44 43

CQUAD4 31 1 34 35 46 45

CQUAD4 32 1 35 36 47 46

CQUAD4 33 1 36 37 48 47

CQUAD4 34 1 37 38 49 48

CQUAD4 35 1 38 39 50 49

CQUAD4 36 1 39 40 51 50

CQUAD4 37 1 40 41 52 51

CQUAD4 38 1 41 42 53 52

CQUAD4 39 1 42 43 54 53

CQUAD4 40 1 43 44 55 54

$

MAT1 1 3.+7 .3 .282

$

Modal Analysis of a Flate Plate

Geometric Description of Plate

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$

GRID 1 0. 0. 0.

GRID 2 .5 0. 0.

GRID 3 1. 0. 0.

GRID 4 1.5 0. 0.

GRID 5 2. 0. 0.

GRID 6 2.5 0. 0.

GRID 7 3. 0. 0.

GRID 8 3.5 0. 0.

GRID 9 4. 0. 0.

GRID 10 4.5 0. 0.

GRID 11 5. 0. 0.

GRID 12 0. .5 0.

GRID 13 .5 .5 0.

GRID 14 1. .5 0.

GRID 15 1.5 .5 0.

GRID 16 2. .5 0.

GRID 17 2.5 .5 0.

GRID 18 3. .5 0.

GRID 19 3.5 .5 0.

GRID 20 4. .5 0.

GRID 21 4.5 .5 0.

GRID 22 5. .5 0.

GRID 23 0. 1. 0.

GRID 24 .5 1. 0.

GRID 25 1. 1. 0.

GRID 26 1.5 1. 0.

GRID 27 2. 1. 0.

GRID 28 2.5 1. 0.

GRID 29 3. 1. 0.

GRID 30 3.5 1. 0.

GRID 31 4. 1. 0.

GRID 32 4.5 1. 0.

GRID 33 5. 1. 0.

GRID 34 0. 1.5 0.

GRID 35 .5 1.5 0.

GRID 36 1. 1.5 0.

GRID 37 1.5 1.5 0.

GRID 38 2. 1.5 0.

GRID 39 2.5 1.5 0.

GRID 40 3. 1.5 0.

GRID 41 3.5 1.5 0.

GRID 42 4. 1.5 0.

GRID 43 4.5 1.5 0.

GRID 44 5. 1.5 0.

GRID 45 0. 2. 0.

GRID 46 .5 2. 0.

GRID 47 1. 2. 0.

GRID 48 1.5 2. 0.

GRID 49 2. 2. 0.

GRID 50 2.5 2. 0.

GRID 51 3. 2. 0.

GRID 52 3.5 2. 0.

GRID 53 4. 2. 0.

GRID 54 4.5 2. 0.

GRID 55 5. 2. 0.

$

SPC1 1 12345 1 12 23 34 45


Geometric Description of Plate (Cont.)

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$

$ soln1.dat

$

ID SEMINAR, PROB1

SOL 103

CEND

TITLE = NORMAL MODES EXAMPLE

ECHO = UNSORTED

SUBCASE 1

SUBTITLE= USING LANCZOS

METHOD = 1

SPC = 1

VECTOR=ALL

BEGIN BULK

param,post,0

PARAM COUPMASS 1

PARAM WTMASS .00259

EIGRL 1 10 0

$

include 'plate.bdf'

$

ENDDATA

Si utilizza la rappresentazione della massa di tipo coupled per recuperare l’approssimazione

introdotta dal basso numero di elementi utilizzati per rappresentare il modello

Nelle unità inglesi la massa viene rappresentata mediante il peso specifico riportato nella scheda materiali. Si deve quindi correggere la matrice di massa per riportarla in unità di massa. Si usa il parametro WTMASS per premoltiplicare la matrice di massa per 1/g


Input file

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Diagnostica e stampa autovalori

*** SYSTEM INFORMATION MESSAGE 6916 (DFMSYN)

DECOMP ORDERING METHOD CHOSEN: BEND, ORDERING METHOD USED: BEND

*** USER INFORMATION MESSAGE 5010 (LNCILD)

STURM SEQUENCE DATA FOR EIGENVALUE EXTRACTION.

TRIAL EIGENVALUE = 8.507511D+07, CYCLES = 1.467984D+03 NUMBER OF EIGENVALUES BELOW THIS VALUE = 3

*** USER INFORMATION MESSAGE 5010 (LNCILD)

STURM SEQUENCE DATA FOR EIGENVALUE EXTRACTION.

TRIAL EIGENVALUE = 1.908154D+09, CYCLES = 6.952274D+03 NUMBER OF EIGENVALUES BELOW THIS VALUE = 10

0 .

E I G E N V A L U E A N A L Y S I S S U M M A R Y (READ MODULE)

BLOCK SIZE USED ...................... 7

NUMBER OF DECOMPOSITIONS ............. 2

NUMBER OF ROOTS FOUND ................ 10

NUMBER OF SOLVES REQUIRED ............ 8

1 NORMAL MODES EXAMPLE FEBRUARY 19, 2004 MSC.NASTRAN 8/22/03 PAGE 9

0 SUBCASE 1

R E A L E I G E N V A L U E S

MODE EXTRACTION EIGENVALUE RADIANS CYCLES GENERALIZED GENERALIZED

NO. ORDER MASS STIFFNESS

1 1 7.055894E+05 8.399937E+02 1.336891E+02 1.000000E+00 7.055894E+05

2 2 1.877186E+07 4.332651E+03 6.895628E+02 1.000000E+00 1.877186E+07

3 3 2.811177E+07 5.302053E+03 8.438480E+02 1.000000E+00 2.811177E+07

4 4 1.929422E+08 1.389036E+04 2.210720E+03 1.000000E+00 1.929422E+08

5 5 2.221657E+08 1.490523E+04 2.372240E+03 1.000000E+00 2.221657E+08

6 6 2.328451E+08 1.525926E+04 2.428587E+03 1.000000E+00 2.328451E+08

7 7 6.832397E+08 2.613885E+04 4.160127E+03 1.000000E+00 6.832397E+08

8 8 9.600053E+08 3.098395E+04 4.931249E+03 1.000000E+00 9.600053E+08

9 9 1.365293E+09 3.694987E+04 5.880754E+03 1.000000E+00 1.365293E+09

10 10 1.850317E+09 4.301531E+04 6.846099E+03 1.000000E+00 1.850317E+09

f ω=2πf λ=ω2

Numero di STURM Il numero di termini negativi presenti nella matrice

decomposta determina il numero di frequenze

presenti al di sotto della frequenza di ‘riferimento’ λ

SEQUENZA DI STURM Choose Factor into MK i TLDL

1

2

MSC Software




0 SUBCASE 1

1 NORMAL MODES EXAMPLE FEBRUARY 19, 2004 MSC.NASTRAN 8/22/03 PAGE

11

USING LANCZOS

0 SUBCASE 1

EIGENVALUE = 7.055894E+05

CYCLES = 1.336891E+02 R E A L E I G E N V E C T O R N O . 1

POINT ID. TYPE T1 T2 T3 R1 R2 R3

1 G 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -9.032195E-15

2 G 7.603824E-15 -8.945257E-15 -9.732725E-01 -1.099511E+00 4.003941E+00 1.204804E-14

3 G 1.760943E-14 5.441688E-15 -4.168619E+00 -1.599071E+00 8.686669E+00 3.208385E-14

4 G 1.769230E-14 6.036479E-15 -9.445514E+00 -1.530855E+00 1.230146E+01 2.881900E-14

5 G 1.161146E-14 1.874762E-14 -1.636256E+01 -1.365152E+00 1.522518E+01 2.547720E-14

6 G 9.597681E-15 1.690705E-14 -2.455516E+01 -1.080930E+00 1.740494E+01 1.747102E-14

7 G 7.462337E-15 3.256408E-14 -3.367780E+01 -8.040399E-01 1.895419E+01 1.832537E-14

8 G -6.529251E-15 3.951912E-14 -4.342896E+01 -5.477144E-01 1.993718E+01 -5.683068E-15

9 G -9.289814E-15 3.133315E-14 -5.355173E+01 -3.472317E-01 2.046533E+01 -9.605457E-15

10 G -1.396397E-14 3.123919E-14 -6.384777E+01 -2.192121E-01 2.066150E+01 -2.542688E-14

11 G -4.970331E-15 -5.661359E-16 -7.419273E+01 -1.687060E-01 2.069914E+01 -3.204684E-14

12 G 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -6.925414E-15

13 G -1.917578E-15 -6.869732E-15 -1.263801E+00 -1.865870E-01 4.860682E+00 6.074372E-15


Stampa autovettori

VECTOR = ALL o DISPLACEMENT = ALL

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Visualizzazione modi propri di vibrare in Patran (Deformate)

1 2 3

4 5 6

7 8

9

10

MSC Software




1 2 3

4 5 6

7 8 9

10


Visualizzazione modi propri di vibrare in Patran (Fringe)

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• Calcola la risposta ad un carico variabile nel tempo

• Il carico è definito direttamente nel dominio del tempo

– Tutti carichi applicati sono noti in ciascun istante.

• Le risposte calcolate includono normalmente gli spostamenti

e le accelerazioni nodali, le forze e gli stress negli elementi

• L’analisi può essere eseguita secondo due diverse modalità:

– Metodo diretto

La soluzione si ottiene integrando nel tempo l’equazione della dinamica estesa

a tutti i gradi di libertà ‘dinamici’ della struttura

– Metodo modale

La soluzione si ottiene utilizzando una trasformazione di variabile che tenendo

conto del fatto che la risposta dinamica di un sistema è somma dei contributi

dei suoi modi propri di vibrare, espime il generico spostamento nella forma:

u = Σi ciΦi

Analisi della risposta al transitorio

Introduzione

MSC Software




• Lo smorzamento e’, in generale, uno dei dati piu’ difficili da

definire in un calcolo dinamico

• Consente di rappresentare l’effetto dissipativo dovuto a:

‒ Fenomeni viscosi SMORZAMENTO VISCOSO

• Presenza di elementi smorzanti

‒ Fenomeni definibili genericamente come ‘ strutturali’

SMORZAMENTO STRUTTURALE

• Attrito interno al materiale

• Attriti esterni

• Forma geometrica (una superficie curva smorza piu’ di una piana)

• Connessioni (Nella zona di collegamento tra due parti della struttura si

potrebbero avere dei movimenti locali)

• Non linearita’ strutturali (Plasticita’)

Analisi della risposta al transitorio Smorzamento – Informazioni generali

MSC Software




• Effetto proporzionale alla velocita’

• Elementi specifici (CDAMPi, CVISC, CBUSH, CBUSH1D)

• Opportune schede di carico ‘nonlineare’ (NOLINi)

GGBmatricialeinputcontributoB

smorzatorielementicontributoB

BBBconvBFvbf vv

2:

:

2

1

21

Analisi della risposta al transitorio Come definire lo smorzamento viscoso in MSC Nastran?

MSC Software




1 2

CDAMP1

CVISC

PBUSH

PBUSHT

Analisi della risposta al transitorio Come definire lo smorzamento viscoso in Patran?

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• Proporzionale alla massa e/o alla rigidezza

‒ Componente proporzionale alla matrice di rigidezza (PARAM,ALPHA1,x)

‒ Componente proporzionale alla matrice di massa (PARAM,ALPHA2,y)

• Applicabile nel transitorio e nella risposta in frequenza

• Applicato sul set di gradi di liberta’ di analisi

• Viene aggiunto alla matrice di smorzamento viscoso secondo la

relazione:

• ALPHA1 e ALPHA2 sono parametri complessi

• Matrice di smorzamento modale

2

21

'

21

' m

TTTT bKMBB

KMBB 21

'

Analisi della risposta al transitorio Smorzamento di Rayleigh o proporzionale

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PARAM,G

Elemento Bush

Scheda del Materia le

• Effetto proporzionale allo spostamento (rende complessa la

matrice di rigidezza)

• Come si definisce?

Qb

bGuKiGFuKGif

cr

con

ss

122

Smorzamento strutturale

Rapporto critico

Ampiezza a risonanza

el

ie

k

kgi KGi

Analisi della risposta al transitorio Come definire lo smorzamento strutturale in MSC Nastran?

MSC Software




PARAM,W4

PARAM,W3

PARAM,G

SMORZAMENTO GLOBALE

SMORZAMENTO LOCALE Opzi one ‘ Input Propert i es ’

de l l a sez i one ‘ Mater i a l s ’

1 2

3

SMORZAMENTO MODALE

Analisi della risposta al transitorio Come definire lo smorzamento strutturale in MSC Nastran?

MSC Software




Analisi della risposta al transitorio Problema nella definizione dello smorzamento strutturale

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Using the Modal Method, determine the transient response of the flat rectangular

plate, created in Problem 1, subject to time-varying excitation.

This example structure is excited by:

– a 1 psi pressure load over the total surface of the plate varying at 250 Hz.

– a 25 lb force is applied at a corner of the tip also varying at 250 Hz, but starting 0.004 seconds

after the pressure load begins.

Both time-dependent dynamic loads are applied for a duration of 0.008 seconds.

Use a modal damping of = 0.03 for all modes.

X

Y

Z

12345

25.0

12345 12345

12345 12345 1.0 psi over the total surface

X

Y

Z

Problem #2 Modal Transient Response

Carry out the analysis for 0.04 seconds.

On the right is a finite element

representation of the flat plate. It also

contains the loads and boundary

constraints.

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DLOAD

TLOADi

Dinamica EXCITEID

Andamento

nel tempo

Carico

Statico

Il carico risultante dalle schede sopra

riportate ha le seguenti caratteristiche:

1. Forza di ampiezza pari a 5.2 (unità di forza)

2. Con un ritardo di 0.2 secondi

3. Applicata al nodo 30 ed agente in direzione X (T1)

DLOAD = 25

TLOAD1 25 100

PLOAD4 100 ...

CASE CONTROL

BULK DATA

CASE CONTROL

BULK DATA

Analisi della risposta al transitorio Definizione dei carichi variabili nel tempo in MSC Nastran

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Definisce il carico nel tempo nella forma:

in cui

A = spatial load distribution and scale factor

(DAREA, static load, thermal load, or LSEQ)

τ = DELAY entry

F(t-t) = TABLEDi entry

DELAY Defines DOFs and time delay

TID Specifies TABLEDi for defining time and force pairs.

Selezionata dalla scheda DLOAD del Case Control Deck.

P t AF t – =

• I carichi al transitorio possono

essere definiti in forma tabellare

(TLOAD1) o analitica (TLOAD2)


TLOAD1 Entry

TLOAD2 Entry

Definisce il carico nel tempo nella forma:

in cui

A = spatial load distribution and scale factor (DAREA, static load, thermal load, or LSEQ)

τ = DELAY entry

T1, T2 = Istanti di Tempo (T2<T1)

F(t-t) = TABLEDi entry

F, P Frequenza (Hz) e Fase

C Coefficiente del contributo esponenziale

B Esponente componente polinomiale

Selezionata dalla scheda DLOAD del Case Control Deck.

t̃ t T1

––=

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• Scheda di combinazione dei carichi

‒ I set di carico definiti possono essere combinati tra loro mediante la scheda

DLOAD

‒ Il carico totale è definito dalla relazione:

in cui:

SC = Fattore moltiplicativo globale

SK = Kattore moltiplicativo del carico K-esimo

PK= Identificativo del carico K-esimo

La scheda DLOAD del Bulk Data è selezionata dal comando DLOAD del Case

Control Deck.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

DLOAD SID SC SI P1 S2 P2 -etc-

PC

SC

SK

PK

K

=


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Analisi della risposta al transitorio Modalità di definizione del carico in Patran

Definire un caso di carico dinamico ‘vuoto’ Definire in un “FIELD” l’andamento del carico nel tempo

Modalità 1

1

2

Modalità 2

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Analisi della risposta al transitorio Modalità di definizione di un FIELD sinusoidale

Il field ‘sinusoidale_delay’ sarà definito nello stesso modo ma con:

Start Time = 0.004 End Time = 0.012

sinr(6.28*250*(‘t))

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Analisi della risposta al transitorio Modalità di definizione del carico in Patran (cont.)

Definire la distribuzione spaziale del carico ed associargli l’andamento nel tempo (FIELD)

Lista dei FIELD temporali precedentemente definiti

Lista dei FIELD spaziali precedentemente definiti

3

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Analisi della risposta al transitorio Definizione delle singolarità del carico dinamico

Applicata sempre per t=0 anche per strutture in quiete

Il carico iniziale viene alterato dalla procedura sopra indicata

Per evitare manipolazioni:

Il carico iniziale deve essere nullo

Il carico deve essere mantenuto nullo per due/tre Δt

• Definizione delle condizioni iniziali

Le condizioni iniziali debbono essere definite per i gradi di

libertà del set di analisi

I gradi di libertà del set A si considerano inizialmente in

quiete a meno di diversa indicazione

La modalità di definizione del carico impone le condizioni

iniziali vengono utilizzate per costruire una situazione fittizia

all’istante t=-Δt

In questo intervallo di tempo si considera un moto uniforme a

velocita’ pari a quella iniziale

Indipendente dal carico direttamente definito, per l’istante t=0 si

considera la seguente condizione di carico

Utilizzare il comandi IC del Case Control Deck che richiama la

scheda TIC del Bulk Data Deck

u1–

u0

u·0 t–=

P1–

K u1–

B u·0 +=

P0

K u0

B u·0 +=

• Singolarità del carico

Il carico viene calcolato come

media del valore letto sugli

ultimi tre istanti di tempo

Evitare di definire delle

discontinuità in quanto ciò

potrebbe portare a diversi

risultati su diversi computer

Ammorbidire la discontinuità

spalmandola su un time step

La diversa precisione può determinare una diversa media tra numeri

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Spostamento iniziale

Analisi della risposta al transitorio Definizione delle condizioni iniziali in Patran

Velocità iniziale

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• Il tempo d’integrazione deve essere definito in modo tale da consentire

di tener conto dell’effetto delle frequenze proprie eccitate in modo

significativo dal carico applicato

• La procedura di soluzione prevede un tempo di integrazione costante

per cui al momento dell’eventuale modifica di tale parametro (posto

t=t0), si debbono ipotizzare delle condizioni di moto utili a determinare

la situazione al passo t-1 e t0

Si considera un moto uniformemente accelerato

• Si ricalcolano le matrici Ai e si ri-decompone A1

u·0

1

t1

--------- uN

uN 1–

– =

u··0

1

t12

--------- uN

2uN 1–

– uN 2–

+ =

Analisi della risposta al transitorio Definizione del tempo d’integrazione

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Analisi della risposta al transitorio Modalità di definizione del tempo d’integrazione in Patran

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Analisi della risposta al transitorio Sommario delle schede MSC Nastran

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Analisi della risposta al transitorio Input file MSC Nastran

ID SEMINAR, PROB4

$

$ soln4.dat

$

ID SEMINAR, PROB4

SOL 112

diag 8

CEND

TITLE = TRANSIENT RESPONSE WITH TIME DEPENDENT

PRESSURE AND POINT LOADS

SUBTITLE = USE THE MODAL METHOD

ECHO = UNSORTED

SPC = 1

SET 111 = 11, 33, 55

DISPLACEMENT(SORT2) = 111

SDAMPING = 100

SUBCASE 1

METHOD = 100

DLOAD = 700

TSTEP = 100

$

OUTPUT (XYPLOT)

XGRID=YES

YGRID=YES

XTITLE= TIME (SEC)

YTITLE= DISPLACEMENT RESPONSE AT LOADED CORNER

XYPLOT DISP RESPONSE / 11 (T3)

YTITLE= DISPLACEMENT RESPONSE AT TIP CENTER


YTITLE= DISPLACEMENT RESPONSE AT OPPOSITE CORNER


$

BEGIN BULK

PARAM, COUPMASS, 1

PARAM, WTMASS, 0.00259

$

$ PLATE MODEL DESCRIBED IN NORMAL MODES EXAMPLE PROBLEM

$

INCLUDE 'plate.bdf'

$

$ EIGENVALUE EXTRACTION PARAMETERS

$

EIGRL, 100, , ,5

$

$ SPECIFY MODAL DAMPING

$

TABDMP1, 100, CRIT,

+, 0., .03, 10., .03, ENDT

$

$ TIME VARYING PRESSURE LOAD (250 HZ)

$

TLOAD2, 200, 400, , 0, 0., 8.E-3, 250., -90.

PLOAD2, 400, 1., 1, THRU, 40

$

$ APPLY POINT LOAD (250 HZ)

$

TLOAD2, 500, 600,610, 0, 0.0, 8.E-3, 250., -90.

$

DAREA, 600, 11, 3, 1.

DELAY, 610, 11, 3, 0.004

$

$ COMBINE LOADS

$

DLOAD, 700, 1., 1., 200, 25., 500

$

$ SPECIFY INTERGRATION TIME STEPS

$

TSTEP, 100, 100, 4.0E-4, 1

$

ENDDATA

Smorzamento Modale

Da notare che Patran non è in grado di generare schede TLOAD2 per cui la procedura

descritta per la definizione del carico costruisce attraverso il FIELD una tabella che

riporta la funzione sinusoidale impostata. In pratica si costruiscono solamente TLOAD1

Definibili in: Analysis Solution Type Solution Parameters

Carico di pressione

Carico concentrato

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(BEFORE AUGMENTATION OF RESIDUAL VECTORS)



1 1 7.055894E+05 8.399937E+02 1.336891E+02 1.000000E+00 7.055894E+05

2 2 1.877186E+07 4.332651E+03 6.895628E+02 1.000000E+00 1.877186E+07

3 3 2.811177E+07 5.302053E+03 8.438480E+02 1.000000E+00 2.811177E+07

4 4 1.929422E+08 1.389036E+04 2.210720E+03 1.000000E+00 1.929422E+08

5 5 2.221657E+08 1.490523E+04 2.372240E+03 1.000000E+00 2.221657E+08


(AFTER AUGMENTATION OF RESIDUAL VECTORS)



1 1 7.055894E+05 8.399937E+02 1.336891E+02 1.000000E+00 7.055894E+05

2 2 1.877186E+07 4.332651E+03 6.895628E+02 1.000000E+00 1.877186E+07

3 3 2.811176E+07 5.302053E+03 8.438479E+02 1.000000E+00 2.811176E+07

4 4 1.929422E+08 1.389036E+04 2.210720E+03 1.000000E+00 1.929422E+08

5 5 2.221657E+08 1.490523E+04 2.372240E+03 1.000000E+00 2.221657E+08

6 6 2.351324E+08 1.533403E+04 2.440486E+03 1.000000E+00 2.351324E+08

7 7 7.974902E+08 2.823987E+04 4.494515E+03 1.000000E+00 7.974902E+08

8 8 1.453224E+09 3.812117E+04 6.067173E+03 1.000000E+00 1.453224E+09

9 9 2.625274E+09 5.123743E+04 8.154690E+03 1.000000E+00 2.625274E+09

10 10 4.154733E+09 6.445722E+04 1.025868E+04 1.000000E+00 4.154733E+09

11 11 4.205890E+09 6.485284E+04 1.032165E+04 1.000000E+00 4.205890E+09

12 12 3.216783E+10 1.793539E+05 2.854506E+04 1.000000E+00 3.216783E+10

Vengono calcolati dei modi ‘statici’ dipendenti dai carichi applicati. Tale funzionalità (residual vectors) consente di riprendere il contributo dei modi alti trascurati dal troncamento modale (si è selezionati un numero di modi ritenuti importanti per la risposta al carico dinamico applicato trascurando il contributo statico dei modi alti

Analisi della risposta al transitorio Output delle frequenze proprie e dei Residual Vectors

MSC Software




Analisi della risposta al transitorio Formato di output dei risultati

POINT-ID = 11

D I S P L A C E M E N T V E C T O R

TIME TYPE T1 T2 T3 R1 R2 R3

0.0 G 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

4.000000E-04 G 1.117051E-15 2.162474E-15 2.038250E-04 -3.199117E-06 2.623944E-05 2.192824E-15

8.000000E-04 G 7.217471E-15 1.425887E-14 1.980818E-03 -1.510275E-05 -2.074038E-04 1.482996E-14

1.200000E-03 G 1.936345E-14 3.928404E-14 6.911292E-03 4.029357E-07 -1.653521E-03 4.092337E-14

1.600000E-03 G 3.655002E-14 7.482046E-14 1.407448E-02 2.646134E-05 -3.815677E-03 7.801936E-14

2.000000E-03 G 5.435854E-14 1.114142E-13 2.121053E-02 4.361140E-05 -5.847335E-03 1.162720E-13

POINT-ID = 33



0.0 G 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

4.000000E-04 G -9.301904E-16 2.147446E-15 2.019039E-04 1.682612E-08 2.577562E-05 2.317858E-15

8.000000E-04 G -6.661062E-15 1.416836E-14 1.971792E-03 -1.131671E-09 -2.092973E-04 1.569698E-14

1.200000E-03 G -1.901651E-14 3.905672E-14 6.911632E-03 -3.483774E-08 -1.653002E-03 4.334433E-14

1.600000E-03 G -3.667159E-14 7.440212E-14 1.409060E-02 -1.660550E-08 -3.811871E-03 8.265729E-14

2.000000E-03 G -5.477616E-14 1.107944E-13 2.123710E-02 1.823268E-10 -5.841007E-03 1.231890E-13

2.400000E-03 G -6.629200E-14 1.335880E-13 2.615920E-02 1.754091E-08 -7.446125E-03 1.485559E-13

2.800000E-03 G -6.551998E-14 1.317307E-13 2.613206E-02 2.261821E-08 -7.588133E-03 1.465041E-13

POINT-ID = 55



0.0 G 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

4.000000E-04 G -3.448642E-15 2.437525E-15 2.038511E-04 3.216275E-06 2.622230E-05 2.837645E-15

8.000000E-04 G -2.369344E-14 1.610352E-14 1.980840E-03 1.514255E-05 -2.074704E-04 1.914086E-14

1.200000E-03 G -6.597501E-14 4.430786E-14 6.911171E-03 -5.569045E-07 -1.653289E-03 5.263890E-14

1.600000E-03 G -1.261797E-13 8.436236E-14 1.407446E-02 -2.646987E-05 -3.815674E-03 1.002550E-13

2.000000E-03 G -1.881637E-13 1.256248E-13 2.121054E-02 -4.360946E-05 -5.847338E-03 1.493821E-13

2.400000E-03 G -2.271204E-13 1.514387E-13 2.611754E-02 -6.863064E-05 -7.455783E-03 1.800641E-13

2.800000E-03 G -2.241110E-13 1.493142E-13 2.608514E-02 -7.741245E-05 -7.598883E-03 1.775290E-13

3.200000E-03 G -1.709480E-13 1.138696E-13 1.986141E-02 -5.680266E-05 -5.762664E-03 1.354259E-13

3.600000E-03 G -7.310554E-14 4.863723E-14 8.672326E-03 -2.997876E-05 -2.603049E-03 5.783071E-14 Il f

orm

ato

di o

utp

ut

di d

efau

lt p

er

i ris

ult

ati c

orr

isp

on

de

a q

ue

llo

tip

ico

di u

n d

iagr

amm

a X

Y. In

so

stan

za s

i rip

ort

a p

er

ogn

i no

do

il

risu

ltat

o p

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tutt

i gli

ista

nti

co

nsi

de

rati

ne

ll’an

alis

i (SO

RT2

).

MSC Software




X Y - O U T P U T S U M M A R Y ( R E S P O N S E )

0 SUBCASE CURVE FRAME CURVE ID./ XMIN-FRAME/ XMAX-FRAME/ YMIN-FRAME/ X FOR YMAX-FRAME/ X FOR

ID TYPE NO. PANEL : GRID ID ALL DATA ALL DATA ALL DATA YMIN ALL DATA YMAX

0 1 DISP 1 11( 5) 0.000000E+00 4.000000E-02 -1.666260E-01 9.200000E-03 1.482653E-01 6.400000E-03

0.000000E+00 4.000000E-02 -1.666260E-01 9.200000E-03 1.482653E-01 6.400000E-03

0 1 DISP 2 33( 5) 0.000000E+00 4.000000E-02 -1.846309E-01 9.200000E-03 1.602995E-01 6.800000E-03

0.000000E+00 4.000000E-02 -1.846309E-01 9.200000E-03 1.602995E-01 6.800000E-03

0 1 DISP 3 55( 5) 0.000000E+00 4.000000E-02 -2.001817E-01 9.200000E-03 1.730418E-01 6.800000E-03

0.000000E+00 4.000000E-02 -2.001817E-01 9.200000E-03 1.730418E-01 6.800000E-03

Analisi della risposta al transitorio Risultati in formato XYPLOT

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Analisi della risposta al transitorio Grafico degli spostamenti dei nodi dell’estremità libera

Si richiedono gli spostamenti e le accelerazioni in direzione

Z per i nodi 11, 33 e 55

MSC Software




Analisi della risposta al transitorio Grafico delle accelerazioni dei nodi dell’estremità libera

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