Simmetria Traslazioni (Lattices) Proprietà a scala atomica, non della forma cristallina Traslazioni...

SimmetriaSimmetriaTraslazioni (Lattices)Traslazioni (Lattices)

Proprietà a scala atomica, non della forma Proprietà a scala atomica, non della forma cristallinacristallina

Traslazioni simmetriche riguardano distanze Traslazioni simmetriche riguardano distanze ripetuteripetute

L’L’origineorigine è è arbitrariaarbitraria

Traslazione 1-D = un Traslazione 1-D = un filarefilare

SimmetriaSimmetria

a

aa è il vettore che si ripete è il vettore che si ripete

Traslazioni (Lattices)Traslazioni (Lattices)Proprietà a scala atomica, non della forma Proprietà a scala atomica, non della forma

cristallinacristallina

Traslazioni simmetriche riguardano distanze Traslazioni simmetriche riguardano distanze ripetuteripetute

L’L’origineorigine è è arbitrariaarbitraria

Traslazione 1-D = un Traslazione 1-D = un filarefilare


Traslazioni 2-D = una Traslazioni 2-D = una magliamaglia

a

b



a

b

Cella unitariaCella unitaria

Cella unitaria: L’unità base che, ripetuta Cella unitaria: L’unità base che, ripetuta solo per traslazionesolo per traslazione, genera l’intero pattern, genera l’intero pattern

Come si differenzia dal motivo ??Come si differenzia dal motivo ??



a

b

Scegliere un punto Scegliere un punto qualsiasiqualsiasi

Ogni punto a esattamente n ripetizioni da quel punto è un Ogni punto a esattamente n ripetizioni da quel punto è un equipuntoequipunto rispetto all’originale rispetto all’originale

TraslazioniTraslazioni

Esercizio: Stampe di EscherEsercizio: Stampe di Escher1. Qual’è il motivo ?1. Qual’è il motivo ?

2. Scegliere un punto qualsiasi e marcarlo con un segno 2. Scegliere un punto qualsiasi e marcarlo con un segno neronero

3. Segnare gli equipunti nello stesso modo3. Segnare gli equipunti nello stesso modo

4. Evidenziare la 4. Evidenziare la cella unitariacella unitaria basata sugli equipunti basata sugli equipunti

5. Qual’è 5. Qual’è il contenuto della cella unitaria (Z)il contenuto della cella unitaria (Z) ?? ??

Z = numero di motivi per cella unitariaZ = numero di motivi per cella unitaria

Z è sempre un numero intero ?Z è sempre un numero intero ?

TraslazioniTraslazioniQuale cella unitaria è Quale cella unitaria è corretta ??corretta ??

Convenzioni:Convenzioni:1. I bordi delle celle 1. I bordi delle celle

dovrebbero, quando dovrebbero, quando possibile, coincidere possibile, coincidere con assi di simmetria o con assi di simmetria o piano di simmetriapiano di simmetria

2. Se possibile, I bordi 2. Se possibile, I bordi dovrebbero essere in dovrebbero essere in relazione con simmetrie relazione con simmetrie traslazionali.traslazionali.

3. La cella più piccola 3. La cella più piccola (cella ridotta) che (cella ridotta) che soddisfa I requisiti 1 e 2 soddisfa I requisiti 1 e 2 dovrebbe essere sceltadovrebbe essere scelta


The lattice and point group symmetry The lattice and point group symmetry interrelateinterrelate, because , because both are properties of the overall symmetry patternboth are properties of the overall symmetry pattern

6

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Buona scelta di cella unitaria. Perchè? Quant’è Z?Buona scelta di cella unitaria. Perchè? Quant’è Z?Ci sono altri elementi di simmetria ?Ci sono altri elementi di simmetria ?



Questo spiega perchè assi di simmetria 5-fold e > 6-fold Questo spiega perchè assi di simmetria 5-fold e > 6-fold non esistono nei cristallinon esistono nei cristalli


Vediamo ora nuovi operatori di simmetria 2-D, Vediamo ora nuovi operatori di simmetria 2-D, considerando le traslazioniconsiderando le traslazioni

Lo Lo Slittopiano:Slittopiano:

Una combinazione di riflessioneUna combinazione di riflessione

e traslazionee traslazione

Passo 1: riflessionePasso 1: riflessione(posizione temporanea)(posizione temporanea)

Passo 2: traslazionePasso 2: traslazione

ripetiripeti

TraslazioniTraslazioniVi sono 5 uniche maglie 2-D.Vi sono 5 uniche maglie 2-D.

Maglia vettori angoliSimmetria del Gruppo Puntuale compatibile*

Obliqua a b 90o 1, 2

Quadrata a = b = 90o 4, 2, m, 1, (g)

Esagonale a = b = 120o 3, 6, 2, m, 1, (g)

Rettangolare a b = 90o 2, m, 1, (g)

Primitiva (P) Centrata (C)* ogni rotazione implica anche una rotoinversione

Tipi di traslazioni 2-D

a

b

Maglia obliqua

a b 90o

p2 p2mm

Maglia rettangolare Pa b

= 90o

b

a

Maglia rettangolare C

a b = 90o

p2mm

b

a

Maglia rombica

a =b 90o, 120o, 60o

a1a2

Maglia esagonalea1 = a2

= 60o

p6mm

Maglia quadrataa1 = a2

= 90o

p4mm

a

a1

a2

Ci sono anche 17 Ci sono anche 17 Gruppi PlanariGruppi Planari 2-D che combinano la traslazione con 2-D che combinano la traslazione con operazioni di simmetria compatibili. La parte di sotto dell’immagine riporta operazioni di simmetria compatibili. La parte di sotto dell’immagine riporta esempidi gruppi Planari che corrispondonoa ciascun tipo di magliaesempidi gruppi Planari che corrispondonoa ciascun tipo di maglia

Vi sono 5 uniche maglie 2-D.Vi sono 5 uniche maglie 2-D.


Combina le traslazioni ed i gruppi puntualiCombina le traslazioni ed i gruppi puntualiSimmetria dei Gruppi PlanariSimmetria dei Gruppi Planari

p222p222

Simmetria dei Gruppi PlanariSimmetria dei Gruppi Planari

p4gmp4gm

Tridimite: Cella ortorombica CTridimite: Cella ortorombica C

Traslazioni 3-D e LatticesTraslazioni 3-D e Lattices Modalità differenti di combinare 3 assi non-paralleli e non-coplanariModalità differenti di combinare 3 assi non-paralleli e non-coplanari

In effetti si tratta di combinare le traslazioni compatibili con i 32 3-D In effetti si tratta di combinare le traslazioni compatibili con i 32 3-D gruppi puntuali (o classi cristalline)gruppi puntuali (o classi cristalline)

32 Gruppi Puntuali ricadono in 6 categorie32 Gruppi Puntuali ricadono in 6 categorie

Traslazioni 3-D e LatticesTraslazioni 3-D e Lattices Modalità differenti di combinare 3 assi non-paralleli e non-coplanariModalità differenti di combinare 3 assi non-paralleli e non-coplanari

In effetti si tratta di combinare le traslazioni compatibili con i 32 3-D In effetti si tratta di combinare le traslazioni compatibili con i 32 3-D gruppi puntuali (o classi cristalline)gruppi puntuali (o classi cristalline)

32 Gruppi Puntuali ricadono in 6 categorie32 Gruppi Puntuali ricadono in 6 categorie ++cc

++aa

++bb

Convenzione :Convenzione :““legge della mano destra”legge della mano destra”

Nome assi angoli

Triclino a b c 90o

Monoclino a b c = 90o 90

o

Ortorombico a b c = 90o

Tetragonale a1 = a2 c = 90o

Esagonale

Esagonale (4 assi) a1 = a2 = a3 c = 90o 120o

Romboedrico a1 = a2 = a3 90o

Cubico a1 = a2 = a3 = 90o

Tipologie 3-D Lattice

a

b

c

PMonoclino

abc

a

b

c

I = Ca

b

PTriclinoabc

c

c

aP

Ortorombicoabc

C F Ib

a1

c

PTetragonale

a1 = a2c

Ia2

a1

a3

PCubico

a1 = a2= a3

a2

F I

a1

c

P or C

a2

REsagonale Romboedrico

a1a2c

a1 = a2 = a3

Traslazioni 3-D e LatticesTraslazioni 3-D e Lattices

Triclino:Triclino:

No symmetry constraints.No symmetry constraints.Nessun motivo per scegliere C quando si può scegliere PNessun motivo per scegliere C quando si può scegliere PPer Per convenzioneconvenzione, tutti i mineralogisti fanno lo stesso, tutti i mineralogisti fanno lo stesso

Ortorombico:Ortorombico:

Perchè C e non A o B? Perchè C e non A o B?

Se ho A o B, semplicemente rinominare gli assi Se ho A o B, semplicemente rinominare gli assi C C


Per visualizzare il resto, conviene farlo con le Per visualizzare il resto, conviene farlo con le proiezioniproiezioni

Se lo si guarda dalla prospettiva frontale ?Se lo si guarda dalla prospettiva frontale ?

2/3 0 1 0 2/3 = altezza verso l’osservatore2/3 0 1 0 2/3 = altezza verso l’osservatore


Per visualizzare il resto, conviene farlo con le Per visualizzare il resto, conviene farlo con le proiezioniproiezioni

Se lo si guarda dalla prospettiva frontale ?Se lo si guarda dalla prospettiva frontale ?

2/3 0 1 0 2/3 = altezza verso l’osservatore2/3 0 1 0 2/3 = altezza verso l’osservatore

11

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2/32/3

1/31/3

Traslazioni 3-D e LatticesTraslazioni 3-D e Lattices= 0, 1, 2...= 0, 1, 2...

= 0.5, 1.5, 2.5 ...= 0.5, 1.5, 2.5 ...

Cos’è questa?Cos’è questa?

= Cella I cubica o tetragonale (dipende dalla scala verticale)= Cella I cubica o tetragonale (dipende dalla scala verticale)


= 0.5, 1.5, 2.5 ...= 0.5, 1.5, 2.5 ...

Cos’è questa?Cos’è questa?

Non è possibile. Perchè ?Non è possibile. Perchè ?

Non è una cella.Non è una cella.


La cella tetragonale riporta solo La cella tetragonale riporta solo PP e e II, ma questa è , ma questa è CC

Perchè C non viene riportata ?Perchè C non viene riportata ?

E’ una cella tetragonale valida ?E’ una cella tetragonale valida ?

Si.Si.

aa

bb


Possiamo scegliere una cella P primitiva dallo stesso patternPossiamo scegliere una cella P primitiva dallo stesso patternC e P sono C e P sono equivalentiequivalentiPer convenzione, scegliamo PPer convenzione, scegliamo PTetragonale A? B?Tetragonale A? B?The others work the same way: The others work the same way:

Exclusions are either incompatible with the system or Exclusions are either incompatible with the system or equivalent to one of the types listedequivalent to one of the types listed

aa

bb


You can read conventions for axial choices for each system You can read conventions for axial choices for each system on pages 64 - 100 of your texton pages 64 - 100 of your text

Gruppi Spaziali 3-DGruppi Spaziali 3-D

Come per i Come per i 7 2-D Gruppi Planari7 2-D Gruppi Planari, le simmetrie dei gruppi , le simmetrie dei gruppi puntuali 3-D possono essere combinate con le traslazioni puntuali 3-D possono essere combinate con le traslazioni per creare i per creare i 230 Gruppi Spaziali230 Gruppi Spaziali

Anche in 2-D ci sono nuovi elementi di simmetria che Anche in 2-D ci sono nuovi elementi di simmetria che combinano la traslazione con altre operazionicombinano la traslazione con altre operazioni

Slittopiani:Slittopiani: Riflessione + traslazione Riflessione + traslazione 4 tipi. Fig. 3.24 in Klein e Hurlbut4 tipi. Fig. 3.24 in Klein e Hurlbut

Elicogire:Elicogire: Rotazione + traslazione Rotazione + traslazione Fig. 3.22 in Klein e HurlbutFig. 3.22 in Klein e Hurlbut

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