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Didattica della Matematica 1 e Didattica dellaMatematica e della Fisica - classi A047 e A049

Trasformazioni geometriche

anno acc. 2013/2014

Univ. degli Studi di Milano

Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica 1 e Didattica della Matematica e della Fisica - classi A047 e A0491 / 40

Argomenti

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1 Argomenti

2 Isometrie

3 Composizione di isometrie

4 Teorema di classificazione

5 Similitudini

6 Affinità

7 Il concetto di Geometria secondo F. Klein


Argomenti

Isometrie e similitudini piane

Trasformazioni. Isometrie piane: traslazioni, rotazioni, riflessioni eglissoriflessioni. Composizione di riflessioni. Teorema di classificazione delleisometrie piane. Trasformazioni dirette e inverse. Similitudini. Omotetie.Cenno alle affinità.

Gruppi di trasformazione. Proprietà invarianti

Gruppi di trasformazioni. Il concetto di Geometria secondo F. Klein.Proprietà invarianti.


Isometrie

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1 Argomenti

2 Isometrie



5 Similitudini

6 Affinità



Isometrie

Trasformazione piana = applicazione biunivoca del piano in sè.

Isometria o congruenza piana = trasformazione del piano che conserva ledistanze.

Le isometrie piane formano un gruppo rispetto alla composizione.

Esempi di isometrie piane: traslazioni, rotazioni, riflessioni, glissoriflessioni.


Isometrie

Traslazioni

Una traslazione τv è definita assegnando un vettore v.−−−−→Pτv(P) = v.


Isometrie

Rotazioni

Una rotazione ρC,α è definita assegnando un punto C e un angolo α.

|−−−−−−→CρC,α(P)| = |−→CP|, ρC,α(P)CP = α


Isometrie

Riflessione

Una riflessione (o simmetria, o - non consigliabile - ribaltamento) σr èdefinita assegnando una retta r.

r è asse del segmento Pσr(P)


Isometrie

Glissoriflessioni

Una glissoriflessione γr,v è definita assegnando una retta r ed un vettore nonnullo v parallelo a r.

γr,v = τv ◦ σr


Isometrie

Qualche considerazione di tipo didattico:

La trasformazione non è il movimento:una trasformazione è un’applicazione f : X → X, un movimento è unafamiglia {φt}0≤t≤1, φt : X → X con φ0 = identità e φ1 = f ;una trasformazione piana opera su tutto il piano, non solo su una figura(non ha senso distinguere tra riflessioni con asse esterno o interno a unafigura: è la figura che cambia, non la riflessione);per visualizzare l’effetto di una trasformazione è bene usare una figuraasimmetrica;occorre chiarire quale concetto di angolo vada utilizzato nella definizionedi rotazione.


Isometrie

Possibili significati del concetto di angolo.

angolo come sottoinsieme del piano:non ha senso distinguere l’angolo tra r e s da quello tra s e r;non ha senso parlare di somma di angoli;angolo come rotazione:occorre fissare un verso di rotazione nel piano,occorre distinguere l’angolo tra r e s da quello tra s e r,l’ampiezza è definita a meno di multipli dell’angolo giro;angolo come movimento di rotazione:la rotazione di 2 giri e mezzo è diversa da quella di mezzo giro, ma ilmovimento è diverso.


Composizione di isometrie

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2 Isometrie



5 Similitudini

6 Affinità




Composizione di traslazioni

La composizione di traslazioni è una traslazione.

τw ◦ τv = τv+w



Composizione di rotazioni con lo stesso centro

La composizione di rotazioni con lo stesso centro è una rotazione.

ρC,β ◦ ρC,α = ρC,α+β



Composizione di riflessioni

La composizione di riflessioni rispetto assi paralleli è una traslazione.



La composizione di riflessioni rispetto assi incidenti è una rotazione di centronel punto di incidenza.


Teorema di classificazione

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5 Similitudini

6 Affinità




TEOREMA - Ogni isometria piana è composizione di al più tre riflessioni.

Inoltre:

la composizione di n = 0 riflessioni è identità;la composizione di n = 1 riflessioni è una riflessione;la composizione di n = 2 riflessioni è una traslazione oppure unarotazione;la composizione di n = 3 riflessioni è una glissoriflessione (o unariflessione).

In conclusione le isometrie piane sono solo: l’identità, le riflessioni, letraslazioni, le rotazioni, le glissoriflessioni.

Non ha senso parlare, in geometria piana, di rototraslazioni (sonorotazioni).



Isometrie dirette e isometrie inverse

Orientazione del piano = verso di rotazione (orario o antiorario)

Isometria diretta: conserva l’orientazione. Isometria inversa: invertel’orientazione.

Le riflessioni sono isometrie inverse. le composizioni di un numero pari(rispett. dispari) di isometrie inverse sono isometrie dirette (rispett. inverse).Sono isometrie dirette l’identità, le traslazioni e le rotazioni. Sono isometrieinverse le simmetrie e le glissoriflessioni.


Similitudini

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5 Similitudini

6 Affinità



Similitudini

Intuitivamente una similitudine piana è una trasformazione che conserva laforma delle figure.

Capacità di riconoscimento dele forme. Ad esempio, riconoscimento dei volti:dal vero, in foto, in un identikit, in una caricatura . . .

Forma di un volto: rapporto lunghezza / larghezza, rapporto distanza occhi /lunghezza naso; rapporto altezza fronte / lunghezza viso.

Caricatura: esaspera le peculiarità di tali rapporti.

Una similitudine piana è una trasformazione f che conserva i rapporti fra ledistanze dei punti, ovvero tale che

dist(A,B)

dist(C,D)=

dist(f (A), f (B))

dist(f (C), f (D))

dist(f (A), f (B))

dist(A,B)=

dist(f (C), f (D))

dist(C,D)= k,

k costante.


Similitudini

Un esempio di similitudine è l’omotetia.Un’omotetia ωC,λ è definita assegnando un punto, il centro C, e un numeroreale λ 6= 0.

P′ = ωC,λ(P), |P′C| = |λ||PC|


Similitudini

Le omotetie sono tutte trasformazioni dirette, sia nel caso λ > 0 che nel casoλ < 0.

Le similitudini piane formano un gruppo rispetto alla composizione.


Similitudini

Il concetto di forma è di natura intuitiva, eppure in alcuni casi l’idea che se neha è sbagliata.

Dal punto di vista simile, due ellissi di equazioni x2

a2 + y2

b2 = 1 e x2

c2 + y2

d2 = 1sono simili se e solo se a

b = cd oppure a

b = dc (cioè se e solo se hanno lo stesso

rapporto tra semiasse maggiore e minore: hanno la stessa forma).

Dal punto di vista simile tutte le parabole sono equivalenti: l’omotetia diequazioni y′ = y

a , x′ = x

a trasforma y = x2 in y′ = ax′2.


Similitudini

Nessuno direbbeche lacirconferenza rossaè più stretta dellacirconferenza blu.Tutte lecirconferenzehanno la stessaforma.

Lo stesso accadeper le parabole:hanno tutte lastessa forma!

Dal punto di vistametrico, quello checambia è lacurvatura.


Affinità

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5 Similitudini

6 Affinità



Affinità

Le affinità sono le più generali trasformazioni del piano in sè che mutano rettein rette.

Interpretando il piano del dominio e del codominio come due piani distintinello spazio, una affinità può essere ottenuta componendo una proiezioneparallela (nello spazio) con una similitudine (nel piano immagine).

Dati 3 punti A,B,C non allineati nel piano e altri 3 punti A′,B′,C′ pure nonallineati, esiste una affinità che manda A in A′, B in B′ e C in C′.

Le affinità mutano rette parallele in rette parallele.Le affinità conservano il rapporto tra le misure di segmenti allineati.Le affinità conservano i rapporti tra le aree delle figure.

Le affinità piane formano un gruppo rispetto alla composizione.


Il concetto di Geometria secondo F. Klein

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2 Isometrie



5 Similitudini

6 Affinità




Gruppi di trasformazioni

Una trasformazione di un insieme S in sé è un’applicazione g : S→ Sbiunivoca.

In particolare ogni trasformazione g : S→ S ammette un’inversag−1 : S→ S, cioè un’applicazione tale che

g ◦ g−1 = g−1 ◦ g = idS

ove ◦ denota la composizione e idS : S→ S denota l’applicazione identità(ovvero idS(s) = s,∀s ∈ S).

Quindi un gruppo di trasformazioni di S è un insieme G di trasformazioni di Stale che

∀g1, g2 ∈ G g2 ◦ g1 ∈ G;idS ∈ G;∀g ∈ G l’inversa g−1 ∈ G.

(la composizione ◦ è un’operazione associativa.)



Che cosa studia la Geometria?

Felix Klein (1872, programma di Erlangen)

Una Geometria è una coppia G = (S,G) oveS è un insieme detto spazio,G è un gruppo di trasformazioni di S.

I sottoinsiemi di S vengono detti figure).La geometria studia le "proprietà" delle figure.

Ad esempio S potrebbe essere la retta, o il piano, o lo spazio, ma anche unqualsiasi altro insieme, e, per esempio, quando S è il piano, G potrebbel’insieme delle isometrie del piano, o delle similitudini del piano, o delleaffinità del piano, ma anche un qualunque altro gruppo di trasformazioni delpiano di sé.

Un punto, un segmento, un triangolo, un poligono, un cerchio sono figure delpiano, ma anche un qualsiasi altro sottoinsieme è una figura.



Esempi di geometria

Tratteremo unicamente esempi in cui l’insieme S è il piano Π e chiameremo

GC = (Π,GC), con GC gruppo delle isometrie,Geometria euclideaGS = (Π,GS), con GS gruppo delle similitudini,Geometria simileGA = (Π,GA), con GA gruppo delle affinità,Geometria affine.

Osserviamo che si ha

GC ⊆ GS ⊆ GA

(il gruppo delle isometrie è un sottogruppo del gruppo delle similitudini equesto è un sottogruppo del gruppo delle affinità).



La relazione di G− equivalenzaSia G = (S,G) una geometria.

Il fatto che G sia un gruppo (e non solo un insieme) di trasformazionipermette di formalizzare il concetto di "uguaglianza" tra figure, come segue.Siano F1,F2 ⊆ S figure, si scrive F1 ∼G F2 se ∃g ∈ G : g(F1) = F2

∼G si dice G-equivalenza o "uguaglianza".Il fatto che G sia un gruppo, e non un semplice insieme di trasformazioni, fa sìche la relazione ∼G sia di equivalenza:

∼G è riflessiva.∀F ⊆ S F ∼G FidS ∈ G, F = idS(F)

∼G è simmetrica.F1,F2 ⊆ S F1 ∼G F2 ⇒ F2 ∼G F1g(F1) = F2 g−1 ∈ G g−1(F2) = F1

∼G è transitiva.F1,F2,F3 ⊆ S F1 ∼G F2, F2 ∼G F3 ⇒ F1 ∼G F3g(F1) = F2 h(F2) = F3 h ◦ g ∈ G h ◦ g(F1) = F3



Su un fissato insieme S (ad esempio il piano), la scelta della geometria (cioè lascelta del gruppo di trasformazioni) corrisponde alla scelta di un concetto di"uguaglianza".

Ad esempio, in geometria euclidea due segmenti della stessa lunghezza sono"uguali" tra loro, mentre due segmenti di lunghezza diversa non lo sono.

In geometria simile tutti i segmenti sono "uguali" tra loro.

Dal momento che la G−equivalenza corrisponde al concetto di uguaglianza,vedremo ora che in geometria hanno senso solo le proprietà "invarianti" perG−equivalenza.



Le proprietà geometriche

Sia G = (S,G) una geometria.

Una proprietà P delle figure F ⊂ S si dice proprietà geometrica (o invariante)se passa al quoziente modulo ∼G, ovvero

P vale per la figura F⇐⇒P vale ∀F′ ∼G F.

Ad esempio, sia in geometria euclidea, che in geometria simile, che ingeometria affine, "essere un segmento" è una proprietà geometrica, perché seuna figura F è un segmento, ogni altra figura equivalente lo è.

Ad esempio, in geometria euclidea, "la lunghezza di un segmento" è unaproprietà geometrica, perché, se un segmento ha una data lunghezza, ognialtro segmento a lui equivalente ha la stessa lunghezza.



Invece, in geometria simile, "la lunghezza" NON è una proprietà geometrica,perché, due segmenti possono essere equivalenti (cioè essere mutati l’unonell’altro da una similitudine) pur avendo lunghezze diverse.La lunghezza in geometria euclidea è un invariante, in geometria simile no.

Se si lavora in geometria simile, non ha senso parlare di lunghezze.

Si può parlare di "ampiezza di un angolo" in geometria euclidea?

E in geometria simile?

E in geometria affine?



La gerarchia tra le geometrie

Consideriamo ora due geometrie G1 = (S,G1) e G2 = (S,G2) sullo stessoinsieme S e supponiamo che G1 sia un sottogruppo di G2 (G1 ⊆ G2).

Si scrive in tal caso G1 � G2 e si dice che la geometria G1 è subordinata allageometria G2.

Ad esempio potrebbe essere G1 = GC la geometria euclidea, e G2 = GS lageometria simile.

Osserviamo che se F1 ed F2 sono due figure G1-equivalenti, allora F1 ed F2sono anche G2-equivalenti.Infatti, se F1 e F2 sono G1-equivalenti, esiste una trasformazione g ∈ G1 taleche g(F1) = F2, ma, essendo G1 ⊆ G2 si ha anche g ∈ G2 e quindi F1 e F2sono anche G2-equivalenti.

Ad esempio, due triangoli isometrici sono anche simili.

In generale non vale il viceversa.



Più trasformazioni, meno proprietà

Siano G1 = (S,G1) e G2 = (S,G2) due geometrie sullo stesso insieme conG1 � G2 (quindi G1 ⊆ G2).

Se P è una proprietà (invariante) della geometria G2 allora è anche unaproprietà della geometria G1.

Infatti sia F una figura che ha la proprietà P e sia g ∈ G1. Si deve dimostrareche anche g(F) ha la proprietà P . Questo segue dal fatto che g ∈ G1 ⊆ G2 eche P è una proprietà della geometria G2 .

Ad esempio essere "triangolo equilatero" è una proprietà della geometriasimile, e di conseguenza è anche una proprietà della geometria euclidea (se untriangolo è equilatero, tale resta anche dopo averlo trasformato con unaqualsiasi similitudine, e di conseguenza tale resta dopo averlo trasformato conuna isometria che è una particolare similitudine).

In generale invece una proprietà della geometria G1 non sarà una proprietàdella geometria G2.



Proprietà più profonde

Ad esempio "essere un segmento di lunghezza 2 centimetri" è una proprietàdella geometria euclidea, ma non della geometria simile.

Ampliandosi il gruppo di trasformazioni, diminuiscono le proprietàgeometriche, cioè gli invarianti: restano le proprietà più profonde (quelle checontinuano a sussistere anche dopo aver sottoposto la figura a unatrasformazione del gruppo più ampio).

Altro esempio: la topologia.Il gruppo di trasformazioni è un gruppo molto vasto che comprende ledeformazioni continue. In topologia un disco è "uguale" a un quadrato, unsegmento è "uguale" a un tratto di curva, .....Quali proprietà soppravvivono?La cardinalità (un insieme costituito da un numero finito di punti non è ugualead uno costituito da infiniti punti),la "dimensione" (una retta non è uguale a un quadrato),l’"essere fatto di un sol pezzo" (l’unione di due segmenti disgiunti non èuguale a un segmento) ,l’"avere buchi" (un segmento non è uguale a una circonferenza e una coronacircolare non è uguale a un disco) ....



Se invece il gruppo è molto piccolo, le proprietà geometriche sono tante.

Sempre con S = Π possiamo considerare il caso limite in cui il gruppo è il piùpiccolo possibile, ovvero costituito dalla sola trasformazione identica.

Denoteremo tale geometria con Gid e la chiameremo Geografia.

In geografia tutte le proprietà delle figure sono invarianti.



PROPRIETÀ Gid Ge Gs Gaessere triangolo sì sì sì sìessere triangolo equilatero sì sì sì noessere triangolo rettangolo sì sì sì noessere triangolo con un lato di 3 cm sì sì no noessere triangolo di area 9 cm2 sì sì no noessere triangolo con un vertice in un punto fissato sì no no noessere triangolo con un lato parallelo a una retta fissata sì no no noessere ellisse sì sì sì sìessere circonferenza sì sì sì noessere circonferenza di raggio 4 cm sì sì no noessere circonferenza di centro fissato sì no no no

Nessuna delle proprietà sopra elencate sopra è una proprietà topologica.


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