LEZIONE 6

6.1. Determinanti.In questa lezione affronteremo da un punto di vista prettamente operativo la nozione di

determinante, descrivendone le proprieta ed i metodi di calcolo, senza entrare nei dettagli.

Definizione 6.1.1. Siano A = (ai,j) 1≤i≤m1≤j≤n

∈ km,n, k = R,C, p, q ∈ Z tali che 1 ≤ p ≤ m

e 1 ≤ q ≤ n. Una sottomatrice p×q di A e una matrice in kp,q ottenuta da A considerandosolo le entrate che si trovano all’intersezione di p righe e q colonne.

Esempio 6.1.2. Sia

A =

(1 2 −3−i 0 −3

)∈ C2,3 .

Le sottomatrici 2× 2 di A sono(1 2−i 0

),

(1 −3−i −3

),

(2 −30 −3

).

Invece (2 −3−i −3

)non e sottomatrice di A.

In alternativa una sottomatrice p× q di A ∈ km,n puo essere pensata come ottenuta daA cancellando m− p righe e n− q colonne fissate.

Definizione 6.1.3. Sia A = (ai,j)1≤i,j≤n ∈ kn,n, k = R,C. Il determinante di A e ilnumero di k, indicato con det(A) o |A|, definito come segue.i) Se n = 1 si pone det(a1,1) = a1,1.ii) Se n ≥ 2 si pone

(6.1.3.1) det(A) = a1,1A1,1 + a1,2A1,2 + · · ·+ a1,nA1,n =

n∑j=1

a1,jA1,j ,

ove Ai,j indica il prodotto di (−1)i+j per il determinante della sottomatrice ottenutada A cancellando la riga di indice i e la colonna di indice j.

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2 6.1. DETERMINANTI

La Formula (6.1.3.1) viene detta sviluppo di Laplace secondo la prima riga mentre ilnumero Ai,j introdotto nella Definizione 6.1.3 viene detto complemento algebrico dell’en-trata ai,j .

Si noti che per saper calcolare il determinante di una matrice A ∈ kn,n bisogna calcolaren determinanti di matrici d’ordine n − 1: poiche ciascuno di essi si ottiene calcolandon − 1 determinanti di matrici quadrate d’ordine n − 2, il determinante di A si ottienecalcolando n(n − 1) determinanti di matrici quadrate d’ordine n − 2. Iterando questoragionamento concludiamo che per calcolare il determinante di una matrice A ∈ kn,n enecessario moltiplicare

n! = n · (n− 1) · (n− 2) · . . . · 2 · 1determinanti di matrici quadrate d’ordine 1 (cioe entrate di A) e sommarli dopo averli mol-tiplicati per un’opportuna potenza di −1. Da quanto osservato si deduce, percio, che il cal-colo di un determinante diviene sempre piu oneroso quando l’ordine della matrice quadratacresce: per calcolare il deteminante di una matrice quadrata d’ordine n = 2, 3, 4, 5, . . . bi-sogna fare rispettivamente 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120, . . . prodotti e sommarli(algebricamente).

Diamo alcuni esempi di determinanti di matrici quadrate d’ordine n ≥ 2 piccolo.

Esempio 6.1.4. Si consideri una matrice quadrata generale d’ordine 2, diciamo(a1,1 a1,2a2,1 a2,2

).

Risulta

A1,1 = (−1)1+1 det(a2,2) = a2,2, A1,2 = (−1)1+2 det(a2,1) = −a2,1 :

concludiamo che ∣∣∣∣ a1,1 a1,2a2,1 a2,2

∣∣∣∣ = a1,1A1,1 + a1,2A1,2 = a1,1a2,2 − a1,2a2,1.

Per esempio ∣∣∣∣ 1 2−i 0

∣∣∣∣ = 1 · 0− 2 · (−i) = 0 + 2i = 2i,∣∣∣∣ 1 24 1

∣∣∣∣ = 1 · 1− 2 · 4 = 1− 8 = −7,∣∣∣∣ 1 2−2 −4

∣∣∣∣ = 1 · (−4)− 2 · (−2) = −4 + 4 = 0.

Per esercizio calcolare i seguenti determinanti e confrontarli con i determinanti calcolatisopra:∣∣∣∣ 4 1

1 2

∣∣∣∣ , ∣∣∣∣ 2 11 4

∣∣∣∣ , ∣∣∣∣ −2 −44/3 1/3

∣∣∣∣ = −2 · 1

3

∣∣∣∣ 1 24 1

∣∣∣∣ , ∣∣∣∣ 2 48 2

∣∣∣∣ = 4

∣∣∣∣ 1 24 1

∣∣∣∣ .

LEZIONE 6 3

Esempio 6.1.5. Si consideri una matrice quadrata generale d’ordine 3, diciamo a1,1 a1,2 a1,3a2,1 a2,2 a2,3a3,1 a3,2 a3,3

.

Risulta

A1,1 = (−1)1+1

∣∣∣∣ a2,2 a2,3a3,2 a3,3

∣∣∣∣ = a2,2a3,3 − a2,3a3,2,

A1,2 = (−1)1+2

∣∣∣∣ a2,1 a2,3a3,1 a3,3

∣∣∣∣ = −a2,1a3,3 + a2,3a3,1,

A1,3 = (−1)1+3

∣∣∣∣ a2,1 a2,2a3,1 a3,2

∣∣∣∣ = a2,1a3,2 − a2,2a3,1 :

concludiamo che∣∣∣∣∣∣a1,1 a1,2 a1,3a2,1 a2,2 a2,3a3,1 a3,2 a3,3

∣∣∣∣∣∣ = a1,1A1,1 + a1,2A1,2 + a1,3A1,3 = a1,1(a2,2a3,3 − a2,3a3,2)+

+ a1,2(−a2,1a3,3 + a2,3a3,1) + a1,3(a2,1a3,2 − a2,2a3,1) =

= a1,1a2,2a3,3 + a1,2a2,3a3,1 + a1,3a2,1a3,2+

− a1,3a2,2a3,1 − a1,1a2,3a3,2 − a1,2a2,1a3,3.(6.1.5.1)

Per esempio si consideri la matrice

A =

1 2 −11 1 02 3 1

.

Si ha

det(A) = 1 ·1 ·1+2 ·0 ·2+(−1) ·1 ·3−(−1) ·1 ·2−0 ·3 ·1−2 ·1 ·1 = 1+0−3+2−0−2 = −2.

La Formula (6.1.5.1) viene spesso chiamata regola di Sarrus: e importante osservare cheessa puo essere applicata solo per il calcolo del determinante di matrici quadrate di ordine3.

Il segno per cui bisogna moltiplicare il determinante della sottomatrice ottenuta da Acancellando la riga di indice i e la colonna di indice j, nel calcolo di Ai,j , puo esserericordato con il seguente semplice trucco mnemonico: alla matrice

A =

a1,1 a1,2 a1,3 a1,4 . . .a2,1 a2,2 a2,3 a2,4 . . .a3,1 a3,2 a3,3 a3,4 . . .a4,1 a4,2 a4,3 a4,4 . . .

......

......

. . .

4 6.2. PROPRIETA DEL DETERMINANTE

si puo associare la “matrice di segni”+ − + − . . .− + − + . . .+ − + − . . .− + − + . . ....

......

.... . .

.

Per determinare il segno (−1)i+j basta, allora, guardare l’entrata di posizione (i, j) dellamatrice dei segni!

Osservazione 6.1.6. In base alla definizione, se A = (ai,j)1≤i,j≤n ∈ kn,n e triangolareinferiore, il calcolo del suo determinante si riduce al prodotto delle entrate sulla diagonale.Infatti ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a1,1 0 0 . . . 0a2,1 a2,2 0 . . . 0a3,1 a3,2 a3,3 . . . 0

......

.... . .

...an,1 an,2 an,3 . . . an,n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= a1,1

∣∣∣∣∣∣∣∣a2,2 0 . . . 0a3,2 a3,3 . . . 0

......

. . ....

an,2 an,3 . . . an,n

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

= a1,1a2,2

∣∣∣∣∣∣∣a3,3 . . . 0

.... . .

...an,3 . . . an,n

∣∣∣∣∣∣∣ = a1,1a2,2a3,3 . . . an,n.

Per esempio ∣∣∣∣∣∣3 0 0√327 −5 0

117 π 1/15

∣∣∣∣∣∣ = 3 · (−5) · 1/15 = −1.

Cio vale anche per le matrici diagonali: in particolare det(In) = 1.

6.2. Proprieta del determinante.I determinanti non si calcolano quasi mai, soprattutto applicando il metodo di Laplace:

infatti in questo caso si devono fare n! somme di prodotti di n entrate della matrice, unnumero che cresce velocemente con il crescere di n. Si noti che tale complessita decrescecon l’aumentare del numero di entrate nulle della matrice.

Si preferisce, percio, utilizzare un altro metodo che si basa sul buon comportamento deideterminanti rispetto alle operazioni elementari di riga (si veda la proposizione seguentedi cui omettiamo la dimostrazione) e che descriveremo in questo paragrafo.

Proposizione 6.2.1. Sia A ∈ kn,n, k = R,C. Valgono le seguenti proprieta.

(DR1) Se A′ e ottenuta da A sommando ad una riga un multiplo di un’altra, det(A′) =det(A).

(DR2) Se A′ e ottenuta da A moltiplicando una riga per una costante α ∈ k, det(A′) =α det(A).

(DR3) Se A′ e ottenuta da A scambiando due righe diverse, det(A′) = −det(A). �

LEZIONE 6 5

La Proprieta (DR3) ci permette di sviluppare il determinante di una qualsiasi matriceA = (ai,j)1≤i,j≤n ∈ kn,n, k = R,C, invece che secondo la prima riga, secondo una rigaqualsiasi. Si puo, percio, parlare dello sviluppo di Laplace secondo la riga di indice i datodalla formula

det(A) = ai,1Ai,1 + ai,2Ai,2 + · · ·+ ai,nAi,n =

n∑j=1

ai,jAi,j .

Esempio 6.2.2. Quanto visto nell’Osservazione 6.1.6 puo essere esteso anche a matricitriangolari superiori. Infatti, ad ogni passo, basta sviluppare il determinante secondol’ultima riga, cioe ancora∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a1,1 a1,2 a1,3 . . . a1,n0 a2,2 a2,3 . . . a2,n0 0 a3,3 . . . a3,n...

......

. . ....

0 0 0 . . . an,n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= a1,1a2,2a3,3 . . . an,n.

Per esempio ∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 3 4 50 1 2 3 40 0 1 2 30 0 0 1 20 0 0 0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 1.

Continuando con le proprieta notevoli dei determinanti si ha la seguente

Proposizione 6.2.3. Sia A ∈ kn,n, k = R,C. Allora det(tA) = det(A). �

Poiche ogni operazione elementare di riga su tA equivale ad un’analoga operazioneelementare di colonna su A, dalle Proposizioni 6.2.1 e 6.2.3 segue subito la seguente

Proposizione 6.2.4. Sia A ∈ kn,n, k = R,C. Valgono le seguenti proprieta.

(DC1) Se A′ e ottenuta da A sommando ad una colonna un multiplo di un’altra, det(A′) =det(A).

(DC2) Se A′ e ottenuta da A moltiplicando una colonna per una costante α ∈ k, det(A′) =α det(A).

(DC3) Se A′ e ottenuta da A scambiando due colonne diverse, det(A′) = −det(A). �

In particolare e possibile sviluppare il determinante di A = (ai,j)1≤i,j≤n ∈ kn,n, inveceche secondo una riga, secondo una colonna qualsiasi. Quindi si puo parlare sviluppo diLaplace secondo la colonna di indice j dato dalla formula

det(A) = a1,jA1,j + a2,jA2,j + · · ·+ an,jAn,j =

n∑i=1

ai,jAi,j .

6 6.2. PROPRIETA DEL DETERMINANTE

L’idea generale per calcolare il determinante di una matrice quadrata A ∈ kn,n e laseguente. Si trasforma prima A in A′, matrice ridotta per righe, con operazioni elementariE1. A questo punto si trasforma A′ in A′′, matrice triangolare superiore, con scambi dicolonna: se si devono operare h di tali scambi si ha det(A) = det(A′) = (−1)h det(A′′), inforza delle Proposizioni 6.2.1 e 6.2.4.

Si noti che, per la generica matrice A ∈ kn,n, tale metodo permette di ridurre il numerodi operazioni da n · n! a circa 2n3/3. Illustriamo questa tecnica con un esempio.

Esempio 6.2.5. Si consideri la matrice quadrata d’ordine 3 dell’Esempio 5.3.2. Si ha∣∣∣∣∣∣1 2 −11 1 02 3 1

∣∣∣∣∣∣R3→R3+R1=

∣∣∣∣∣∣1 2 −11 1 03 5 0

∣∣∣∣∣∣R3→R3−3R2=

∣∣∣∣∣∣1 2 −11 1 00 2 0

∣∣∣∣∣∣C1↔C3=

= −

∣∣∣∣∣∣−1 2 10 1 10 2 0

∣∣∣∣∣∣C2↔C3= (−1)2

∣∣∣∣∣∣−1 1 20 1 10 0 2

∣∣∣∣∣∣ = (−1)2 · (−1) · 1 · 2 = −2.

Anche la Proprieta (DR1) ha un’importante conseguenza. Si consideri una matriceA = (ai,j)1≤i,j≤n ∈ kn,n, ed indichiamo con Ri la sua riga di indice i, cioe la matrice

Ri = ( ai,1 ai,2 . . . ai,n ) .

Supponiamo, per semplicita, che esistano α1, . . . , αn−1 ∈ k tali che o Rn = α1R1 + · · · +αn−1Rn−1. Allora con operazioni elementari di riga E1 della forma

ARn→Rn−α1R1−···−αn−1Rn−1−→ A′

si ottiene una nuova matrice A′ avente la riga di indice n nulla: sviluppando il determi-nante secondo l’ultima riga si ottiene allora det(A) = det(A′) = 0. Un discorso analogovale sostituendo nel ragionamento sopra la parola riga con la parola colonna ed utilizzandola Proprieta (DC1).

Esempio 6.2.6. Si consideri la matrice

A =

1 −17 2−1 17 171/352 −34

√π

.

Poiche le colonne Cj di A sono legate dalla relazione C2 = −17C1 + 0C3 segue da quantovisto sopra che det(A) = 0. Per esercizio si verifichi la nullita di det(A) calcolandolo conuno qualsiasi dei metodi sopra descritti.

Un’altra applicazione interessante della Proposizione 6.2.1 e il calcolo, illustrato nelprossimo esempio, dei cosiddetti determinanti di matrici di Vandermonde o, piu semplice-mente, determinanti di Vandermonde.

LEZIONE 6 7

Esempio 6.2.7. Siano dati i numeri x1, x2, . . . , xn ∈ k: definiamo matrice di Vander-monde relativa a x1, x2, . . . , xn la matrice

V (x1, x2, . . . , xn) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 x1 x21 . . . xn−21 xn−11

1 x2 x22 . . . xn−22 xn−12

1 x3 x23 . . . xn−23 xn−13...

......

. . ....

...1 xn−1 x2n−1 . . . xn−2n−1 xn−1n−11 xn x2n . . . xn−2n xn−1n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣.

Per determinare la formula generale che esprime il determinante di V (x1, x2, . . . , xn), dettodeterminante di Vandermonde relativo a x1, x2, . . . , xn in funzione dei numeri x1, x2, . . . , xnsi puo procedere i con operazioni elementari. Per esempio sia n = 4. Allora:

V (x1, x2, x3, x4)C4→C4−x1C3=

∣∣∣∣∣∣∣1 x1 x21 01 x2 x22 x32 − x1x221 x3 x23 x33 − x1x231 x4 x24 x34 − x1x24

∣∣∣∣∣∣∣ =

=

∣∣∣∣∣∣∣1 x1 x21 01 x2 x22 (x2 − x1)x221 x3 x23 (x3 − x1)x231 x4 x24 (x4 − x1)x24

∣∣∣∣∣∣∣C3→C3−x1C2=

=

∣∣∣∣∣∣∣1 x1 0 01 x2 (x2 − x1)x2 (x2 − x1)x221 x3 (x3 − x1)x2 (x3 − x1)x231 x4 (x4 − x1)x2 (x4 − x1)x24

∣∣∣∣∣∣∣C2→C2−x1C1=

=

∣∣∣∣∣∣∣1 0 0 01 x2 − x1 (x2 − x1)x2 (x2 − x1)x221 x3 − x1 (x3 − x1)x2 (x3 − x1)x231 x4 − x1 (x4 − x1)x2 (x4 − x1)x24

∣∣∣∣∣∣∣ =

=

∣∣∣∣∣∣x2 − x1 (x2 − x1)x2 (x2 − x1)x22x3 − x1 (x3 − x1)x3 (x3 − x1)x23x4 − x1 (x4 − x1)x4 (x4 − x1)x24

∣∣∣∣∣∣ =

= (x2 − x1)(x3 − x1)(x4 − x1)

∣∣∣∣∣∣1 x2 x221 x3 x231 x4 x24

∣∣∣∣∣∣ .L’ultimo determinante e ancora di Vandermonde, precisamente e V (x2, x3, x4) ma, di di-mensione piu piccola, cioe n = 3. Ripetendo il ragionamento otteniamo alla fine che

V (x1, x2, x3, x4) = (x2 − x1)(x3 − x1)(x4 − x1)(x3 − x2)(x4 − x2)(x4 − x3).

8 6.3. ANCORA SULL’INVERSA DI MATRICI

In generale lo stesso procedimento permette di dimostrare la seguente formula

(6.2.7.1) det(V (x1, x2, . . . , xn)) =∏

i,j=1,...,ni>j

(xi − xj).

Per esempio ∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 1 1 11 2 4 8 161 −2 4 −8 161 −1 1 −1 11 0 0 0 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = det(V (1, 2,−2,−1, 0)) =

= (2− 1)(−2− 1)(−1− 1)(−1)(−2− 2)(−1− 2)(−2)(−1 + 2)(2)(1) = 288.

Si noti che la Formula (6.2.7.1) permette di affermare che det(V (x1, x2, . . . , xn)) = 0 se esolo se gli x1, x2, . . . , xn non sono tutti distinti. Infatti un’implicazione e chiara a partiredalla definizione di det(V (x1, x2, . . . , xn)), mentre per l’altra bisogna necessariamente fareuso della Formula (6.2.7.1) per dimostrarla.

6.3. Ancora sull’inversa di matrici.Illustreremo in questo paragrafo il legame fra la nozione di determinante, di invertibilita

e di inversa di una matrice quadrata A ∈ kn,n.Iniziamo con un altro importante risultato, di cui omettiamo la dimostrazione, il Teo-

rema di Binet.

Proposizione 6.3.1. Siano A,B ∈ kn,n, k = R,C. Allora det(AB) = det(A) det(B). �

In generale, non e vero che det(A+B) = det(A) + det(B). Per esempio siano

E1,1 =

(1 00 0

), E2,2 =

(0 00 1

).

Chiaramente det(E1,1) = det(E2,2) = 0 e det(E1,1 + E2,2) = det(I2) = 1: in particolaredet(E1,1) + det(E2,2) 6= det(E1,1 + E2,2).

Definizione 6.3.2. Sia A = (ai,j)1≤i,j≤n ∈ kn,n, k = R,C. Definiamo aggiunta di A la

matrice A la cui entrata di posizione (i, j) e il complemento algebrico Aj,i dell’entrata aj,i.

Si consideri il prodotto B = AA. La sua entrata bi,j di indice (i, j) e il prodotto della

riga i di A per la colonna di indice j di A, cioe

bi,j = ( ai,1 ai,2 . . . ai,n )

Aj,1Aj,2

...Aj,n

=

= ai,1Aj,1 + ai,2Aj,2 + · · ·+ aj,nAi,n

LEZIONE 6 9

Se i = j la Formula (6.2.2) implica che bi,i = det(A). Consideriamo poi l’entrata bi,j coni 6= j: per fissare le idee scegliamo i = 2 e j = 1 (gli altri casi sono analoghi). Si ha

b2,1 = a2,1A1,1 + a2,2A1,2 + · · · =

= a2,1(−1)1+1

∣∣∣∣∣∣∣a2,2 a2,3 . . .a3,2 a3,3 . . .

......

. . .

∣∣∣∣∣∣∣+ a2,2(−1)2+1

∣∣∣∣∣∣∣a2,1 a2,3 . . .a3,1 a3,3 . . .

......

. . .

∣∣∣∣∣∣∣+ · · · =

=

∣∣∣∣∣∣∣∣a2,1 a2,2 a2,3 . . .a2,1 a2,2 a2,3 . . .a3,1 a3,2 a3,3 . . .

......

.... . .

∣∣∣∣∣∣∣∣R1→R1−R2= =

∣∣∣∣∣∣∣∣0 0 0 . . .a2,1 a2,2 a2,3 . . .a3,1 a3,2 a3,3 . . .

......

.... . .

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0

Concludiamo che

(6.3.3) bi,j =

{det(A) se i = j

0 se i 6= j.

Procedendo in maniera simile, utilizzando la Formula (6.3.3), otteniamo anche che B =

AA = det(A)In, ovvero abbiamo dimostrato la seguente

Proposizione 6.3.4. Sia A ∈ kn,n, k = R,C. Allora

(6.3.4.1) AA = AA = det(A)In. �

Esempio 6.3.5. Consideriamo la matrice dell’Esempio 5.3.2

A =

1 2 −11 1 02 3 1

.

Allora A1,1 = 1, A1,2 = −1, A1,3 = 1, A2,1 = −5, A2,2 = 3, A2,3 = 1, A3,1 = 1, A3,2 = −1,A3,3 = −1, quindi

A =

1 −5 1−1 3 −11 1 −1

.

Si verifichi direttamente che AA = AA = −2I3.

L’importanza della precedente proposizione risiede nel suo

Corollario 6.3.6. Sia A ∈ kn,n, k = R,C. Allora A e invertibile se e solo se det(A) 6= 0.In tal caso det(A−1) = 1/ det(A) e

(6.3.6.1) A−1 =1

det(A)A.

10 6.4. IL METODO DI CRAMER

Dimostrazione. Supponiamo che A sia invertibile. Cio significa l’esistenza della matriceinversa A−1 che, come sappiamo, soddisfa la relazione AA−1 = In. Calcolando il determi-nante di ambo i membri di tale relazione, dalla Proposizione 6.3.1 segue che

1 = det(AA−1) = det(A) det(A−1),

dunque det(A) 6= 0 e si ha det(A−1) = 1/ det(A). Viceversa sia det(A) 6= 0. Allora laFormula (6.3.4.1) ci permette di affermare che

A

(1

det(A)A

)=

1

det(A)AA =

1

det(A)(det(A)In) = In :

abbiamo percio dimostrato che A e invertibile e che vale la Formula (6.3.6.1). �

Esempio 6.3.7. Consideriamo nuovamente la matrice dell’Esempio 5.3.2. Come vistonell’Esempio 6.3.4 la sua aggiunta e

A =

1 −5 1−1 3 −11 1 −1

,

quindi

A−1 =

−1/2 5/2 −1/21/2 −3/2 1/2−1/2 −1/2 1/2

,

che coincide con quanto ottenuto nell’Esempio 5.3.2 risolvendo l’equazione AX = I3.

6.4. Il metodo di Cramer.Consideriamo un sistema di Cramer, ovvero un’equazione AX = B con A ∈ kn,n

invertibile. Sappiamo che tale equazione ha come unica soluzione la matrice X = A−1B.Supponiamo ora che B ∈ kn,1, ovvero che l’equazione AX = B sia, di fatto, un sistema.Sia X = t (x1 x2 . . . xn ): il fatto che tale matrice sia soluzione significa che valel’identita di matrici numeriche

x1C1 + x2C2 + · · ·+ xnCn = B

ove, come gia fatto in precedenza, indichiamo con Cj la colonna j–esima di A, cioe Cj =t ( a1,j a2,j . . . an,j ).

Sia Aj la matrice ottenuta da A sostituendo a Cj la matrice B. Si noti che sottraendoalla colonna j–esima di Aj le matrici xjCh per h = 1, . . . , n ed h 6= j, otteniamo una

matrice Aj che ha tutte le colonne uguali a quelle di A tranne la j–esima che coincide conxjCj .

Tenendo conto della Proposizione 6.2.4 (precisamente di (DC1) e (DC2)) segue chedet(Aj) = xj det(A).

LEZIONE 6 11

Proposizione 6.4.1. Siano A ∈ kn,n invertibile, B ∈ kn,1, k = R,C. Sia poi ∆ = det(A)e ∆j il determinante della matrice ottenuta da A sostituendo alla colonna j–esima lacolonna B. Allora il sistema AX = B ha come unica soluzione la matrice

1

∆t ( ∆1 ∆2 . . . ∆n ) . �

Esempio 6.4.2. Riprendiamo l’Esempio 5.3.2. Come visto nell’Esempio 6.1.5 si ha δ =det(A) = −2. Inoltre

∆1 =

∣∣∣∣∣∣1 2 −12 1 03 3 1

∣∣∣∣∣∣ = −6, ∆2 =

∣∣∣∣∣∣1 1 −11 2 02 3 1

∣∣∣∣∣∣ = 2, ∆3 =

∣∣∣∣∣∣1 2 11 1 22 3 3

∣∣∣∣∣∣ = 0.

Quindi l’unica soluzione del sistema 1 2 −12 1 03 3 1

xyz

=

123

e

−1

2

−620

=

3−10

.