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Lezione 6

EnricoRogora

Geometriadei triangoliModello diBeltramiGeometriasferica

I primiquattropostulati

Teoria delleparallele

Teoria dell’e-quivalenza

Il teorema diPitagora

Storia della matematica

Lezione 6

Enrico [email protected]

Università di Roma

13 Marzo 2017 - Roma

Enrico Rogora (UniRoma) Lezione 6 13 Marzo 2017 1 / 25

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Geometria dei triangoli, senza assioma delle parallele

L’angolo esterno è maggiore di ciascuno degli angoli interni opposti(Proposizione 16)

Due angoli di un triangolo sono [complessivamente] minori di dueangoli retti, comunque vengano presi (Proposizione 17)

Qualora due triangoli abbiano due lati rispettivamente uguali tra loroma l’angolo compreso tra le rette uguali uno maggiore dell’altro,avranno anche una base maggiore dell’altra (Proposizione 24)

Secondo criterio di congruenza dei triangoli: qualora due triangoliabbiano due angoli rispettivamente uguali e uguale o il lato compresofra gli angoli uguali o un lato che è opposto a uno degli angoli uguali,avranno uguali anche i lati e l’angolo restanti (Proposizione 25)

Se una retta incidente su altre due forma angoli interni uguali traloro, le rette saranno parallele (Proposizione 27)


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Proposizione 16

Prolungato un lato di ogni triangolo, l’angolo esterno èmaggiore di ciascuno degli angoli interni e opposti


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Proposizione 17

Due angoli di ogni triangolo sono complessivamente minori didue angoli retti, comunque vengano presi

2 retti = CBA + CBD > (Prop. I.16) > CBA + CAB .


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La geometria iperbolica nel modello di Beltrami(Poincaré)

Punti: all’interno di un cerchio ∆;Retta (segmento) per due punti A e B : l’intersezione di ∆con la circonferenza per A, B e i punti A′ e B ′ ottenuti perinversione circolare di A e B rispetto al bordo di ∆.Angolo iperbolico tra due curve che si intersecano in unpunto è l’angolo euclideo tra le rispettive tangenti.Cerchio iperbolico dei centro P e raggio PQ: si costruiscel’asse iperbolico del segmento intersecando il cerchio per ilpunto P ′ inverso di P rispetto a ∆ per i punti di tangenzadelle rette tangenti condotte da P ′ a ∆; si prende l’inversoQ ′ di Q rispetto all’asse, si inverte rispetto all’asse ilcerchio di centro O passante per Q ′


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Retta iperbolica


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Triangoli iperbolici


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Cerchio iperbolico


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La geometria sferica

Punti: punti sulla superficie di una sfera Σ);Retta (segmento) per due punti A e B : l’intersezione di Σcon il piano π pasante per A, B e il centro O della sfera(per due punti un segmento, ma non uno solo).Angolo sferico tra due curve che si intersecano in un puntoè l’angolo euclideo tra le rispettive tangenti.Cerchio sferico dei centro P e raggio PQ: intersezione di Σcon il piano per Q, ortogonale a OP .


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Segmento sferico


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Triangolo Sferico


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Cerchio sferico


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I primi quattro postulati

In questa forma (cfr. [R4]) valgono per la geometria euclidea,iperbolica ed ellittica.

Si richieda di poter condurre una linea retta da qualsiasi punto aogni altro punto

Si richieda di poter prolungare ogni retta per dritto e concontinuità

E di descrivere un cerchio con qualunque centro e raggio

Si richieda che tutti gli angoli1 retti2 siano uguali tra loro

1Un angolo piano è l’inclinazione di due linee che si incontranoreciprocamente in un piano e non giacciono sulla stessa retta.

2Quando una linea retta innalzata su un’altra linea retta forma angoliadiacente uguali tra loro, ciascuno dei due angoli uguali è retto.


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Un lacuna nella dimostrazione della proposizioni 16

La proposizione 16, che dovrebbe dipendere dai soli postulati1-4 (e dai postulati inespressi relativi alle proposizioni 1, 4 e 8)dovrebbe quindi valere anche nella geometria sferica.

Controesempio


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Qual è la ragione?

Rifacendo la dimostrazione di I.16 si vede che sulla sfera la rettaCF può essere esterna all’angolo ECD.

Controesempio


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Ricapitoliamo

I primi quattro postulati valgono nelle geometria euclidea,sferica e iperbolica.La proposizione I.16 vale nella geometria euclidea e inquella ellittica.Dalla I.16 segue: la I.17; la somma degli angoli di untriangolo è minore o uguale a due retti; la retta per duepunti è unica.


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La somma degli angoli di un triangolo è minore ouguale a due retti

I triangoli ABF e AFC hanno somma totale degli angoli uguale a quella diABC. ma almeno uno dei due ha angolo in B minore o uguale alla metàdell’angolo in B del triangolo originale.

Iterando il procedimento riusciamo a produrre triangoli con l’angolo in Barbitrariamente piccolo e tali da avere la somma totale degli angoli ugualea quella del triangolo iniziale. Per il Teorema I.17 allora la somma totaledegli angoli deve essere minore o uguale a due retti.


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La retta per due punti è unica

Supponiamo per assurdo che A e B possano essere congiunti da due diverserette. Sia P un punto appartenente solo alla prima e non alla seconda rettae Q un punto appartenente solo alla seconda e non alla prima retta.

La somma dei quattro angoli APQ AQP, QPB e QBP dovrebbe valerequattro retti per la proposizione 13 (Qualora una retta innalzata suun’[altra] retta formi degli angoli, o formerà due angoli retti o angoli[complessivamente] uguali a due angoli retti).Ma questa somma deve anche essere minore a quattro retti per la Prop. 17(valida in geom. euclidea e iperbolica), da cui l’assurdo.


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Teoria delle parallele

Sono rette parallele quelle che essendo nello stesso piano e prolungateall’infinito da entrambe le parti, in nessuna di esse si incontrano.Proposizione 27: Qualora una retta incidente su altre due rette formiangoli alterni uguali tra loro, le rette sono parallele.Postulato quinto: [Si richieda che] qualora una retta incidente su[altre] due rette formi gli angoli interni dalla stessa parte[complessivamente minori di due angoli retti, le due rette prolungateall’infinito si incontrano dalla parte in cui ci sono gli angoli minori didue retti.Proposizione 29: Una retta incidente su rette parallele forma gliangoli alterni uguali, l’angolo esterno uguale all’angolo interno eopposto e gli angoli interni [che si trovano] dalla stessa parte[complessivamente] uguali a due angoli retti.Proposizione 31: costruzione della parallela a una retta per un puntoProposizione 32: prolungato uno dei lati di ogni triangolo, l’angoloesterno è uguale alla somma dei due angoli interni opposti e i treangoli interni del triangolo sono complessivamente uguali a due retti.


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Osservazioni

Il quinto postulato vale anche per la geometria sulla sfera.L’esistenza di parallele fa uso dell proposizione (postulato)16 e vale quindi anche in geometria iperbolica.L’assioma di Playfair (già presente in Proclo) recita: Datauna qualunque retta e un punto P esterna ad essa, esisteuna e una sola retta passante per P e parallela alla rettadata. A differenza di quello di Euclide non vale sulla sfera.La proposizione 32 necessita sia dell’esistenza chedell’unicità. Con la sola esistenza si ha che la somma deveessere minore o uguali a due retti. Con la sola unicità (cioèsenza esistenza) si ha che la somma deve essere maggiore ouguale a due retti.


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Teoria dell’equivalenza

Parallelogrammi che siano posti su basi uguali e fra le stesseparallele sono uguali tra loro (proposizione 36).


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Il teorema di Pitagora

Proposizione 46 (Costruzione del quadrato), Proposizione 47(Teorema di Pitagora), Proposizione 48 (Inverso del teorema diPitagora)


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Il teorema di Pitagora iperbolico e sferico

Pitagora sferico Se ABC è un triangolo sferico retto in A e conipotenusa a, e con b e c le lunghezze dei suoi lati, allora ilcoseno dell’ipotenusa è uguale al prodotto dei coseni dei cateti:cos(a/k) = cos(b/k) · cos(c/k) (k costante opportuna).Pitagora iperbolico Se ABC è un triangolo iperbolico retto in Ae con ipotenusa a, e con b e c le lunghezze dei suoi lati, allora ilcoseno iperbolico dell’ipotenusa è uguale al prodotto dei coseniiperbolici dei cateti: cosh(a/k) = cosh(b/k) · cosh(c/k) (kcostante opportuna).


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La rete delle dipendenze per arrivare alladimostrazioni


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Esercizio

Prendere una dimostrazione del teorema di Pitagora edeterminare la rete di dipendenza necessarie per giungere alladimostrazione.


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