G. Bosia - Fisica del plasma confinato Lezione 16 1

Lezione 16Geometrie toroidali di confinamento magnetico

G. BosiaUniversita’ di Torino

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Geometria toroidale I più moderni sistemi di confinamento magnetico hanno una geometria toroidale , la cui geometria e’ definita in figura .

Il campo magnetico principale del toro Bφ e’ in direzione toroidale.

Raggio maggiore

Raggio minore

Angolo poloidale

Angolo toroidale

Bθ

Dove B0 e’ il valore del campo sull’ ”asse magnetico”

Dall’elettrodinamica elementare :

(XVI-31) Bφ = B0 (R0/R)

Dove B0 e’ il valore del campo sull’ ”asse magnetico”.

Il campo magnetico principale in geometria toroidal e ha pertanto un gradiente e le sue linee di forza sono curve

z

R

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Geometria ToroidaleAsse magnetico

Bφφφφ

R0000Bθθθθ

φφφφ

ΖΖΖΖ

qvd

Rθθθθr

a = raggio minore

b = semi altezza

b

R0 = raggio minore

a

ε= R0/a rapporto di aspetto

K = b/a elongazione

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Consideriamo un punto Q mobile lungo una linea di forza che giace su una superficie cilindrica di raggio r. Ad uno spostamento dz parallelo all'asse, corrisponde una rotazione dθ del punto attorno all'asse. Il passo dell'elica (la distanza lungo l'asse z percorsa dal punto Q, quando compie un giro completo di rotazione attorno all'asse del) è dato da:

(XVI-31) [L] = m

Come si verifica imponendo ∆θ = 2π

Una linea di forza elicoidale ha equazione

Usando l'equazione della linea di forza nella (XVI-32) si ottiene:

La quantità

(XVI-31 bis)

Moti elicoidali

ϑπd

dzrL

2)( =

zB

dz

B

rd =ϑ

ϑ

ϑ

πB

BrrL z2)( =

viene chiamata 'pitch' della linea di forza elicoidale e differisce dal 'passo' della linea di un fattore 2π.

Nel caso di un toro l’ equazione le linee di forza e’

Bφ e’ detta componente poloidale del cabpo

ϑ

ρB

Brr z=)(

r

Bq

Bz

φ

φϑB

Rd

B

rd

P

=

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Stabilizzazione delle derive in geometria toroidale

Si consideri un fascio di elettroni con

Essi derivano con velocità dipendente dal raggio maggiore R e dal modulo del campo magnetico BT come:

(XVI-32)

Se si cerca di compensare la deriva con un campo magnetico con una componente Bz , questo provocherà una deriva

(XVI-33) con

Quello che si vuole e’:

(XVI-34)

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Stabilizzazione delle derive in geometria toroidale

Pertanto l’intensità del campo deve essere :

(XVI-35)

Si noti che il raggio di Larmor relativo al campo verticale e’:

(XVI-36)

Tuttavia Bz dipende da v// e q e pertanto non può compensare le derive di tutte le componenti del plasma (in particolare quelle delle cariche –q).

Si consideri invece un campo poloidale Bθ sovrapposto al campo toroidale Bφ . Il campo totale sarà un campo elicoidale avvolto sulle superfici toroidali.

In una sezione poloidale le linee di campo descrivono un cerchio avanzando in direzione toroidale.

L’ equazione del moto di una particella che segua esattamente le linee di campo , che hanno equazione

e’zB

dz

B

rd =θ

θ

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Stabilizzazione delle derive in geometria toroidale

(XVI-37)

e

r = cost

Se ora si addiziona a questo moto quello di deriva in direzione z si ottiene:

(XVI-38)

(XVI-39)

Dividendo membro a membro le due equazioni:

(XVI-40)

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Stabilizzazione delle derive in geometria toroidale

e assumendo costanti si può ricavare l’ equazione dell’ orbita della particella:

(XVI-41)

Che r = r0 e θ=π/2 diventa: (XVI-42)

Per e’ con buona approssimazione :

(XVI-43)

con

(XVI-44)

Che e’ l’ equazione di un’ orbita approssimativamente circolare, spostata di una quantità ∆ rispetto all’ asse magnetico.

B

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Trasformata rotazionale Sostituendo vd

(XVI-45)

e, se v⊥= 0

dove e’ il raggio di Larmor in un campo magnetico Se ∆ e’ piccolo, tutte le particelle saranno confinate dal campo elicoidale.

La quantita’

(XVI-46)

Viene chiamata trasformata rotazionale. La quantità

(XVI-47)

viene chiamata “fattore di sicurezza (tokamak)’:

Angolo poloidale

Angolo toroidale

Angolo poloidale

Angolo toroidale

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Fattore di sicurezza.

In approssimazione cilindrica:

(XVI-48)

Scritto in funzione del fattore di sicurezza lo spostamento di Shafranov si può scrivere :

(XVI-49)

Assumendo che

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Deriva di campo elettrico

Deriva dovuta ad una forza generica

Deriva a disuniformità di campo elettrico

Deriva dovuta a disuniformita’ di campo magnetico

Deriva dovuta alla curvatura delle linee di forza

Deriva totale nel vuoto

Deriva di polarizzazione

Sommario dei moti di deriva