LEZIONE 5

5.1. Risoluzione di sistemi.Supponiamo che AX = B sia un sistema di equazioni lineari. Ad esso associamo

la sua matrice completa (A|B). Per quanto visto nella precedente lezione, sappiamo dipoter trasformare, con operazioni elementari di riga, la matrice A in una nuova matriceA′ fortemente ridotta per righe: con le stesse operazioni elementari si ottiene una nuovamatrice (A′|B′) corrispondente, in generale, ad un nuovo sistema di equazioni lineari A′X =B′, diverso dal precedente, ma ad esso equivalente. Risolvendo, se possibile, tale sistemacon il metodo descritto nel corso della Lezione 3 si ottiene l’insieme delle soluzioni delsistema da cui siamo partiti.

Se A′X = B′ e compatibile, il numero delle incognite espresse in funzione delle rimanentie esattamente il numero dei pivot, cioe il numero delle righe contenenti entrate non nulle,che coincide con rk(A), per definizione.

Siamo ora pronti ad enunciare e dimostrare il principale risultato sulla teoria dei sistemidi equazioni lineari, detto Teorema di Rouche–Capelli.

Proposizione 5.1.1. Siano A ∈ km,n, B ∈ km,1, k = R, C, e si considerino i sistemi

AX = B,(5.1.1.1)

AX = 0m,1.(5.1.1.2)

i) Il Sistema (5.1.1.1) e compatibile se e solo se rk(A) = rk(A|B).ii) Se il Sistema (5.1.1.1) e compatibile allora le sue soluzioni dipendono da n − rk(A)

parametri liberi.iii) Se il Sistema (5.1.1.1) e compatibile e X0 ∈ kn,1 e una sua soluzione fissata, allora

le sue soluzioni X ∈ kn,1 sono tutte e sole le matrici della forma X = X0 + Y oveY ∈ kn,1 appartiene all’insieme delle soluzioni del Sistema (5.1.1.2).

Dimostrazione. Iniziamo con il dimostrare l’affermazione i). Per quanto visto sopra pos-siamo sempre assumere che A sia una matrice fortemente ridotta per righe. Si possonopresentare due situazioni per le righe della matrice completa (A|B).

Il primo caso e quello in cui esiste una riga di A, diciamo quella di indice i, con entratetutte nulle che si prolunga in (A|B) a una riga con entrate non tutte nulle: chiaramentel’entrata non nulla deve essere l’i–esima entrata di B, cioe bi 6= 0. Cio significa chenel Sistema (5.1.1.1) figura un’equazione della forma 0 = bi che, per l’ipotesi bi 6= 0,non ha soluzioni. Quindi il Sistema (5.1.1.1) e, in questo caso, incompatibile: inoltre

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1

2 5.1. RISOLUZIONE DI SISTEMI

i numeri di righe di A e di (A|B) contenenti entrate non nulle differiscono di 1, cioerk(A) = rk(A|B)− 1, dunque rk(A) 6= rk(A|B).

Nel secondo caso ogni riga di A con entrate tutte nulle si prolunga in (A|B) a unariga con entrate tutte nulle. In questo caso si puo risolvere il Sistema (5.1.1.1) comespiegato nell’Esempio 3.2.1. Quindi il Sistema (5.1.1.1) e, in questo caso, compatibile:inoltre i numeri di righe di A e di (A|B) contenenti entrate non nulle coincidono, cioerk(A) = rk(A|B).

Cio conclude la dimostrazione dell’affermazione i) e dimostra anche l’affermazione ii):infatti possiamo esprimere le incognite i cui coefficienti sono i pivot (in totale rk(A)) infunzione delle rimanenti (in totale n− rk(A)), cui possiamo dare valori arbitrari.

Passiamo alla dimostrazione dell’affermazione iii). A tale scopo si tenga conto cheAX0 = B.

Sia X ∈ kn,1 una soluzione del Sistema (5.1.1.1), cioe tale che AX = B: posto Y =X −X0 si ha

AY = A(X −X0) = AX + A(−X0) =

= AX + A(−1)X0 = AX −AX0 = B −B = 0m,1,

quindi Y e soluzione del Sistema (5.1.1.2).Viceversa sia Y ∈ kn,1 una soluzione del Sistema (5.1.1.2), cioe tale che AY = 0m,1:

posto X = Y + X0 si ha

AX = A(Y + X0) = AY + AX0 = 0m,1 + B = B,

quindi X e soluzione del Sistema (5.1.1.1). �

Esempio 5.1.2. Si consideri il sistema1 1 1 1 11 3 −2 1 22 4 −1 2 31 −1 2 5 7

abcde

=

0010

.

Le matrici incompleta e completa del sistema sono

A =

1 1 1 1 11 3 −2 1 22 4 −1 2 31 −1 2 5 7

, (A|B) =

1 1 1 1 11 3 −2 1 22 4 −1 2 31 −1 2 5 7

∣∣∣∣∣∣∣0010

.

Ricordando quanto visto nell’Esempio 4.2.4, con operazioni elementari di riga, A si riducealla matrice ridotta per righe

A =

1 1 1 1 10 2 −3 0 10 0 0 0 00 0 −2 4 7

.

LEZIONE 5 3

Applichiamo le stesse operazioni di riga alla matrice completa (A|B): poiche l’effetto ditali operazioni sulla parte a sinistra della linea verticale lo conosciamo (otteniamo A′),limitiamoci ad indicare l’operazione e l’effetto su B.

(A|B)R2→R2−R1−→

. . .. . .. . .. . .

∣∣∣∣∣∣∣0010

R3→R3−2R1R4→R4−R1−→

. . .. . .. . .. . .

∣∣∣∣∣∣∣0010

R3→R3−R2R4→R4+R2−→

−→ (A|B) =

1 1 1 1 10 2 −3 0 10 0 0 0 00 0 −2 4 7

∣∣∣∣∣∣∣0010

.

Si noti che rk(A) = rk(A) = 3 mentre rk(A|B) = rk(A|B) = 4: da questo deduciamo cheil sistema AX = B e incompatibile.

Esempio 5.1.3. Si consideri ora il sistema1 1 1 1 11 3 −2 1 22 4 −1 2 31 −1 2 5 7

abcde

=

0001

.

Le matrici incompleta e completa del sistema sono

A =

1 1 1 1 11 3 −2 1 22 4 −1 2 31 −1 2 5 7

, (A|B) =

1 1 1 1 11 3 −2 1 22 4 −1 2 31 −1 2 5 7

∣∣∣∣∣∣∣0001

.

Ricordando quanto visto nell’Esempio 4.2.4, con operazioni elementari di riga, A si riducealla matrice fortemente ridotta per righe

A′ =

1 0 0 6 37/40 1 0 −3 −19/40 0 1 −2 −7/20 0 0 0 0

.

Applichiamo le stesse operazioni di riga alla matrice completa (A|B): risulta

(A|B)R2→R2−R1−→

. . .. . .. . .. . .

∣∣∣∣∣∣∣0001

R3→R3−2R1R4→R4−R1−→

. . .. . .. . .. . .

∣∣∣∣∣∣∣0001

R3→R3−R2R4→R4+R2−→

−→ (A|B) =

1 1 1 1 10 2 −3 0 10 0 0 0 00 0 −2 4 7

∣∣∣∣∣∣∣0001

.

4 5.2. EQUAZIONI MATRICIALI

Poiche rk(A) = rk(A) = 3 = rk(A|B) = rk(A|B) segue che il sistema in esame ecompatibile. Ha senso, percio, proseguire con le operazioni elementari di riga riducendofortemente la matrice completa del sistema.

(A|B)R2→R2/2

R4→−R4/2−→

. . .. . .. . .. . .

∣∣∣∣∣∣∣000−1/2

R2→R2+3R4/2R1→R1−R4−→

. . .. . .. . .. . .

∣∣∣∣∣∣∣1/200−1/2

R1→R1−R2−→

−→

. . .. . .. . .. . .

∣∣∣∣∣∣∣1/2−3/4

0−1/2

R3↔R4−→

1 0 0 6 37/40 1 0 −3 −19/40 0 1 −2 −7/20 0 0 0 0

∣∣∣∣∣∣∣5/4−3/4−1/2

0

.

Quindi il sistema AX = B e equivalente al sistema A′X = B′, che e compatibile percherk(A) = rk(A′) = 3 = rk(A′|B′) = rk(A|B).

In particolare le incognite corrispondenti ai pivot sono a, b, c e si ha

a = 5/4− 6d− 37e/4, b = −3/4 + 3d + 19e/4, c = −1/2 + 2d + 7e/2.

L’insieme delle sue soluzioni e{t ( 5/4− 6d− 37e/4 −3/4 + 3d + 19e/4 −1/2 + 2d + 7e/2 d e ) |

d, e ∈ k}.

Per esempio in corrsipondenza a d = e = 0 otteniamo la soluzione particolare X0 =t ( 5/4 −3/4 −1/2 0 0 ). Si noti che ogni altra soluzione e della forma

5/4−3/4−1/2

00

+ d

−63210

+ e

−37/419/47/201

al variare di d e e in k. Si verifichi che le soluzioni del sistema AX = 0m,1 sono tutte esole le matrici della forma

d

−63210

+ e

−37/419/47/201

al variare di d e e in k.

5.2. Equazioni matriciali.Negli Esempi 5.1.2 e 5.1.3 si sono studiati piu sistemi diversi AX1 = B1, AX2 =

B2, . . . , AXp = Bp aventi la stessa matrice incompleta A. Tale tipo di problema si presenta

LEZIONE 5 5

in varie situazioni (vedremo in seguito il problema del calcolo della matrice inversa). Eevidente che e inutile ripetere le stesse operazioni per ciascun sistema: e piu convenienterisolvere i sistemi simultaneamente, cioe considerare l’equazione matriciale AX = B ove Xe B sono rispettivamente una matrice incognita ed una numerica aventi colonna di indicej pari ad Xj e Bj rispettivamente.

Definizione 5.2.1. Siano A = (ai,j) 1≤i≤m1≤j≤n

∈ km,n, B = (bi,h) 1≤i≤m1≤h≤p

∈ km,p, k = R, C.Un’equazione matriciale lineare con matrice incompleta A e matrice dei termini noti B eun’equazione della forma

(5.2.1.1) AX = B

ove X e una matrice incognita n× p.La matrice

(A|B) =

a1,1 a1,2 . . . a1,n

a2,1 a2,2 . . . a2,n

......

. . ....

am,1 am,2 . . . am,n

∣∣∣∣∣∣∣∣b1,1 . . . b1,p

b2,1 . . . b2,p

.... . .

...bm,1 . . . bm,p

viene detta matrice completa dell’Equazione (5.2.1.1).

L’Equazione (5.2.1.1) si dice omogenea se B = 0m,p, non omogenea altrimenti. Unasoluzione dell’Equazione (5.2.1.1) e una matrice numerica X per cui vale l’identita numericaAX = B: se esiste una soluzione l’Equazione (5.2.1.1) si dice compatibile, incompatibilealtrimenti.

L’Equazione (5.2.1.1) puo essere pensata come sistema di mp equazioni, una per ognientrata di B, in np incognite, una per ogni entrata di X. Si noti pero che la riga di indicei di A definisce esattamente p equazioni di tale grande sistema, una per ogni entrata dellariga di indice i della matrice B.

Fissato un tale i, l’entrata ai,j moltiplica nelle equazioni considerate tutte le entrate xh,j

di X per j = 1, . . . , p. Indicata con Xh la riga di indice h di X, possiamo allora pensareall’Equazione (5.2.1.1) come un sistema di m equazioni corrispondenti alle m righe di (A|B)nelle n incognite “vettoriali” della forma

a1,1X1 + a1,2X2 + · · ·+ a1,nXn = ( b1,1 . . . b1,p )a2,1X1 + a2,2X2 + · · ·+ a2,nXn = ( b2,1 . . . b2,p )

...am,1X1 + am,2X2 + · · ·+ am,nXn = ( bm,1 . . . bm,p ) .

Ne segue che il metodo di soluzione delle equazioni matriciali e totalmente analogo aquello dei sistemi di equazioni lineari (che ne sono un caso particolare quando la matricedei termini noti si riduce ad un’unica colonna). Infatti esso si basa sulla riduzione dellamatrice completa (A|B) con operazioni elementari di riga che continuano ad avere sensoanche per incognite di tipo “vettoriale”.

Diamo alcuni esempi.

6 5.2. EQUAZIONI MATRICIALI

Esempio 5.2.2. Si consideri l’equazione matriciale

(5.2.2.1)(

1 22 1

)X =

(1 20 1

),

la cui matrice completa e (1 22 1

∣∣∣∣ 1 20 1

),

corrispondente al sistema {X1 + 2X2 = ( 1 2 )2X1 + X2 = ( 0 1 ) .

Trasformando (A|B) con operazioni elementari di riga otteniamo

(A|B)R2→R2−2R1−→(

1 20 −3

∣∣∣∣ 1 2−2 −3

)R2→−R2/3−→

−→(

1 20 1

∣∣∣∣ 1 22/3 1

)R1→R1−2R2−→

(1 00 1

∣∣∣∣ −1/3 02/3 1

).

Pertanto l’Equazione (5.2.2.1) e equivalente a(1 00 1

)X =

(−1/3 02/3 1

),

ovvero al sistema ad incognite vettoriali{X1 = (−1/3 0 )X2 = ( 2/3 1 )

che, come unica soluzione, ha ovviamente la matrice(−1/3 02/3 1

).

Esempio 5.2.3. Si consideri l’equazione matriciale

(5.2.3.1)(

1 2 11 −1 1

)X =

(1 −11 0

),

la cui matrice completa e (1 2 11 −1 1

∣∣∣∣ 1 −11 0

).

LEZIONE 5 7

L’Equazione (5.2.3.1) equivale al sistema{X1 + 2X2 + X3 = ( 1 −1 )X1 −X2 + X3 = ( 1 0 ) .

Trasformando (A|B) con operazioni elementari di riga otteniamo

(A|B)R2→R2−R1−→(

1 2 10 −3 0

∣∣∣∣ 1 −10 1

)R2→−R2/3−→

−→(

1 2 10 1 0

∣∣∣∣ 1 −10 −1/3

)R1→R1−2R2−→

(1 0 10 1 0

∣∣∣∣ 1 −1/30 −1/3

).

Pertanto l’Equazione (5.2.3.1) e equivalente a(1 0 10 1 0

)X =

(1 −1/30 −1/3

)ovvero a {

X1 + X3 = ( 1 −1/3 )X2 = ( 0 −1/3 ) .

Quindi l’insieme delle soluzioni dell’Equazione (5.2.3.1) e 1− x3,1 −1/3− x3,2

0 −1/3x3,1 x3,2

| x3,1, x3,2 ∈ k

.

Percio le soluzioni dipendono da 1 = 3− 2 = n− rk(A) righe libere.

Anche per equazioni matriciali vale il Teorema di Rouche–Capelli. Lo enunciamoomettendone la dimostrazione in quanto totalmente analoga a quella della Proposizione5.1.1.

Proposizione 5.2.4. Siano A ∈ km,n, B ∈ km,p, k = R, C, e si considerino le equazionimatriciali

AX = B,(5.2.4.1)

AX = 0m,p.(5.2.4.2)

i) L’Equazione (5.2.4.1) e compatibile se e solo se rk(A) = rk(A|B).ii) Se l’Equazione (5.2.4.1) e compatibile allora le matrici n × p che sono sue soluzioni

dipendono da n− rk(A) righe libere.iii) Se il Sistema (5.2.4.1) e compatibile e X0 ∈ kn,p e una sua soluzione fissata, allora

le sue soluzioni X ∈ kn,p sono tutte e sole le matrici della forma X = X0 + Y oveY ∈ kn,p appartiene all’insieme delle soluzioni del Sistema (5.2.4.2). �

8 5.3. CALCOLO DELL’INVERSA DI UNA MATRICE

Esempio 5.2.5. Si considerino i sistemi degli Esempi 5.1.2 e 5.1.3. Invece di risolverliseparatamente consideriamo l’equazione

(5.2.5.1)

1 1 1 1 11 3 −2 1 22 4 −1 2 31 −1 2 5 7

a1 a2

b1 b2

c1 c2

d1 d2

e1 e2

=

0 00 01 00 1

.

La matrice completa dell’Equazione (5.2.5.1) e

(A|B) =

1 1 1 1 11 3 −2 1 22 4 −1 2 31 −1 2 5 7

∣∣∣∣∣∣∣0 00 01 00 1

.

Con le operazioni elementari indicate nell’Esempio 4.2.4, tenendo conto dei gia citatiEsempi 5.1.2 e 5.1.3, possiamo trasformarla nella matrice

(A|B) =

1 0 0 6 37/40 1 0 −3 −19/40 0 1 −2 −7/20 0 0 0 0

∣∣∣∣∣∣∣0 1/20 00 −1/21 0

.

Deduciamo che l’Equazione (5.2.5.1) e incompatibile perche rk(A) = 3 < 4 = rk(A|B)(infatti ogni sua soluzione darebbe una soluzione del sistema avente come colonna deitermini noti la prima colonna di B, che e incompatibile: si veda l’Esempio 5.1.2).

5.3. Calcolo dell’inversa di una matrice.Un caso particolarmente interessante di equazioni matriciali e quello delle equazioni della

forma AX = In ove A ∈ kn,n, k = R, C. Chiedere che una tale equazione sia compatibileequivale a chiedere se la matrice A sia invertibile. Infatti se l’equazione e compatibile lasua unica soluzione e A−1.

Per la Proposizione 5.2.4, data A ∈ kn,n l’equazione AX = In e compatibile se e solose rk(A) = rk(A|In): quest’ultima matrice e fortemente ridotta per righe ed il suo rango eesattamente rk(In) = n. Abbiamo percio dimostrato

Proposizione 5.3.1. A ∈ kn,n, k = R, C, e invertibile se e solo se rk(A) = n. �

Si noti che. se A e invertibile, per calcolarne l’inversa si puo procedere come segue.Si scrive la matrice completa (A|In): con trasformazioni elementari di riga si riduce talematrice alla matrice fortemente ridotta (A′|A′′). Su ogni riga di A′ ci deve essere un’entratapari ad 1, poiche rk(A) = n: poiche ci sono n colonne su ogni riga tutte le entrate sono nulleeccetto una che vale 1 e che si trova sempre in una colonna diversa. Quindi, semplicementecon permutazioni di riga, si puo ulteriormente trasformare (A′|A′′) in una nuova matricedella forma (In|A′′′). A questo punto si osservi che l’equazione di partenza e equivalentea InX = A′′′, dunque A−1 = A′′′.

LEZIONE 5 9

Esempio 5.3.2. Si consideri la matrice

A =

1 2 −11 1 02 3 1

.

Vogliamo stabilire se A e invertibile e, in caso affermativo, determinarne l’inversa. A talescopo scriviamo la matrice (A|I3) trasformandola, come spiegato sopra, con operazionielementari di riga: 1 2 −1

1 1 02 3 1

∣∣∣∣∣∣1 0 00 1 00 0 1

R3→R3+R1−→

1 2 −11 1 03 5 0

∣∣∣∣∣∣1 0 00 1 01 0 1

R3→R3−3R2−→

−→

1 2 −11 1 00 2 0

∣∣∣∣∣∣1 0 00 1 01 −3 1

:

si noti che a questo punto osserviamo che rk(A) = 3, dunque A e invertibile per laProposizione 5.3.1, percio ha senso continuare il calcolo di A−1. Risulta 1 2 −1

1 1 00 2 0

∣∣∣∣∣∣1 0 00 1 01 −3 1

R3→R3/2−→

1 2 −11 1 00 1 0

∣∣∣∣∣∣1 0 00 1 0

1/2 −3/2 1/2

R2→R2−R3R1→R1−2R3−→

−→

1 0 −11 0 00 1 0

∣∣∣∣∣∣0 3 −1−1/2 5/2 −1/21/2 −3/2 1/2

R1→−R1−→

−→

−1 0 11 0 00 1 0

∣∣∣∣∣∣0 −3 1−1/2 5/2 −1/21/2 −3/2 1/2

R1→R1+R2−→

−→

0 0 11 0 00 1 0

∣∣∣∣∣∣−1/2 −1/2 1/2−1/2 5/2 −1/21/2 −3/2 1/2

R1↔R2−→

−→

1 0 00 0 10 1 0

∣∣∣∣∣∣−1/2 5/2 −1/2−1/2 −1/2 1/21/2 −3/2 1/2

R2↔R3−→

−→

1 0 00 1 00 0 1

∣∣∣∣∣∣−1/2 5/2 −1/21/2 −3/2 1/2−1/2 −1/2 1/2

.

Concludiamo che

A−1 =

−1/2 5/2 −1/21/2 −3/2 1/2−1/2 −1/2 1/2

.