Geometria e Algebra

I gruppi di Geometria e di Algebra

Geometria

Gian Pietro Pirola

Francesco Bonsante

Paola Frediani

Alessandro Ghigi

Ludovico Pernazza

??

Algebra

Alberto Canonaco

I corsi

Istituzioni di Algebra.

Algebra superiore.

Istituzioni di Geometria.

Geometria superiore.

Curve algebriche e superfici di Riemann.

Programma di Istituzioni di Algebra


Docenti: Alberto Canonaco, Gian Pietro Pirola.



Algebra commutativa (3 crediti, Alberto Canonaco).



Algebra commutativa (3 crediti, Alberto Canonaco).1 Moduli su un anello commutativo.



Algebra commutativa (3 crediti, Alberto Canonaco).1 Moduli su un anello commutativo.2 Localizzazione di anelli e di moduli.



Algebra commutativa (3 crediti, Alberto Canonaco).1 Moduli su un anello commutativo.2 Localizzazione di anelli e di moduli.3 Anelli e moduli artiniani e noetheriani.



Algebra commutativa (3 crediti, Alberto Canonaco).1 Moduli su un anello commutativo.2 Localizzazione di anelli e di moduli.3 Anelli e moduli artiniani e noetheriani.4 Dimensione di Krull di un anello.



Algebra commutativa (3 crediti, Alberto Canonaco).1 Moduli su un anello commutativo.2 Localizzazione di anelli e di moduli.3 Anelli e moduli artiniani e noetheriani.4 Dimensione di Krull di un anello.5 Dipendenza integrale.



Algebra commutativa (3 crediti, Alberto Canonaco).1 Moduli su un anello commutativo.2 Localizzazione di anelli e di moduli.3 Anelli e moduli artiniani e noetheriani.4 Dimensione di Krull di un anello.5 Dipendenza integrale.6 Spettro di un anello; insiemi algebrici affini.



Teoria dei numeri (6 crediti, Gian Pietro Pirola).



Teoria dei numeri (6 crediti, Gian Pietro Pirola).1 Numeri algebrici. Interi Algebrici, Campi di Numeri.



Teoria dei numeri (6 crediti, Gian Pietro Pirola).1 Numeri algebrici. Interi Algebrici, Campi di Numeri.2 Anelli di Dedekind. Gruppo delle classi.



Teoria dei numeri (6 crediti, Gian Pietro Pirola).1 Numeri algebrici. Interi Algebrici, Campi di Numeri.2 Anelli di Dedekind. Gruppo delle classi.3 Rappresentazione geometrica dei numeri algebrici.



Teoria dei numeri (6 crediti, Gian Pietro Pirola).1 Numeri algebrici. Interi Algebrici, Campi di Numeri.2 Anelli di Dedekind. Gruppo delle classi.3 Rappresentazione geometrica dei numeri algebrici.4 Teorema delle unita di Dirichlet.



Teoria dei numeri (6 crediti, Gian Pietro Pirola).1 Numeri algebrici. Interi Algebrici, Campi di Numeri.2 Anelli di Dedekind. Gruppo delle classi.3 Rappresentazione geometrica dei numeri algebrici.4 Teorema delle unita di Dirichlet.5 Teoria di Galois per campi di numeri.


Docente: Gian Pietro Pirola.

Teoria dei numeri.1 Numeri algebrici. Interi Algebrici, Campi di Numeri.2 Anelli di Dedekind. Gruppo delle classi.3 Rappresentazione geometrica dei numeri algebrici.4 Teorema delle unita di Dirichlet.5 Teoria di Galois per campi di numeri.6 Introduzione alla teoria di Minkowski e al teorema di Riemann Roch.

Programma di Algebra superiore

Docente: Gian Pietro Pirola.

Teoria dei numeri.1 Numeri algebrici. Interi Algebrici, Campi di Numeri.2 Anelli di Dedekind. Gruppo delle classi.3 Rappresentazione geometrica dei numeri algebrici.4 Teorema delle unita di Dirichlet.5 Teoria di Galois per campi di numeri.6 Introduzione alla teoria di Minkowski e al teorema di Riemann Roch.

Istituzioni di Algebra / Algebra superiore

L’anno prossimo:


L’anno prossimo:

1 Prima parte: probabilmente uguale (??).


L’anno prossimo:


2 Seconda parte:geometria algebrica??algebre di Lie??rappresentazioni di gruppi??

Programma di Istituzioni di Geometria


Docente: Francesco Bonsante.



Prima parte (3 crediti).Introduzione alle varieta differenziabili.




1 Varieta differenziabili. Spazio tangente e cotangente. Sottovarieta.




1 Varieta differenziabili. Spazio tangente e cotangente. Sottovarieta.2 Campi vettoriali. Forme differenziali.




1 Varieta differenziabili. Spazio tangente e cotangente. Sottovarieta.2 Campi vettoriali. Forme differenziali.3 Elementi di topologia differenziale:

lemma di Sard, formula di Stokes, coomologia di de Rham.



Seconda parte (6 crediti).Topologia delle varieta e dei fibrati vettoriali.




1 Dualita di Poincare. Sottovarieta e dualita.




1 Dualita di Poincare. Sottovarieta e dualita.2 Fibrati. Fibrati vettoriali reali e complessi.




1 Dualita di Poincare. Sottovarieta e dualita.2 Fibrati. Fibrati vettoriali reali e complessi.3 Intorno tubolari e dualita. Classe di Eulero.




1 Dualita di Poincare. Sottovarieta e dualita.2 Fibrati. Fibrati vettoriali reali e complessi.3 Intorno tubolari e dualita. Classe di Eulero.4 Teoria dei fasci. Coomologia di Cech. Fasci localmente costanti e

fibrati piatti.





fibrati piatti.5 Classi di Chern e di Pontrjagin. Classificazione dei fibrati vettoriali

complessi. Connessioni, curvatura e classi caratteristiche.

Programma di Geometria superiore



fibrati piatti.5 Classi di Chern e di Pontrjagin. Classificazione dei fibrati vettoriali

complessi. Connessioni, curvatura e classi caratteristiche.

Istituzioni di Geometria / Geometria superiore

L’anno prossimo:


L’anno prossimo:



L’anno prossimo:


2 Seconda parte: probabilmente geometria Riemanniana (??).

Programma di Curve algebriche e superfici di Riemann


Docente: ??


Docente: ??

Superfici di Riemann. Curve algebriche.


Docente: ??


Divisori e funzioni meromorfe.


Docente: ??



Fasci e coomologia. Fibrati vettoriali olomorfi.


Docente: ??




Forme differenziali olomorfe e meromorfe.


Docente: ??





Teorema di Riemann-Roch.


Docente: ??






La Jacobiana di una curva.


Docente: ??






La Jacobiana di una curva.

Teorema di Abel.

RicercaGeometria algebrica e complessa (Pirola, Frediani, Ghigi)


Curve algebriche e spazio dei moduli.



Costruzione di famiglie di curve interessanti.




Rette in Cn+1 Pn(C).





Tutte le curve di genere g Mg .





Tutte le curve di genere g Mg .

Mg :={curve di genere g}

isomorfismo


Teoria di Hodge e applicazione dei periodi.


Teoria di Hodge e applicazione dei periodi.118 6 Riemann Surfaces

Fig. 6.1 Genus-2 surface.

There is another standard model for these surfaces [99] that is also quite useful(for instance for computing the fundamental group). A genus-g surface can be con-structed by gluing the sides of a 2g-gon. It is probably easier to visualize this inreverse. After cutting the genus-2 surface of Figure 6.1 along the indicated curves,it can be opened up to an octagon (see Figure 6.2).

Fig. 6.2 Genus-2 surface cut open.

The topological Euler characteristic of the space X is

e(X) =∑(−1)i dim Hi(X ,R).

From Exercise 4.5.5, we have the following lemma:

Lemma 6.1.2. If X is a union of two open sets U and V , then e(X) = e(U)+e(V)−e(U ∩V ).

Corollary 6.1.3. If X is a manifold of genus g, then e(X) = 2−2g, and the first Bettinumber is given by dimH1(X ,R) = 2g.

Proof. This will be left for the exercises. When g = 2, this gives dimH1(X ,R) = 4. We can find explicit generators by

taking the fundamental classes of the curves a1,a2,b1,b2 in Figure 6.1, after choos-ing orientations. To see that these generate, H1(X ,R), it suffices to prove that theyare linearly independent. For this, consider the pairing

(α,β ) �→∫

Xα ∧β

∫aj

ωk = δjk , Bjk :=

∫bj

ωk ,

B = BT , ImB > 0.


Superfici algebriche: classificazione, fibrazioni, topologia.


Superfici algebriche: classificazione, fibrazioni, topologia.

Una superficie K3.

1 + x4 + y4 + z4 + a(x2 + y2 + z2 + 1)2 = 0, a = −0.49


Teoria di Galois geometrica.



X :=

1.1. Riemann Surfaces 5

Fig. 1.4.

Fig. 1.5.

1.1.3. Closed Riemann Surfaces

A Riemann surface homeomorphic to a sphere with 9 handles as in Fig. 1.6 is called a closed Riemann surface of genus g. The Riemann sphere is of genus 0, and a torus is of genus 1. It is well-known that every compact Riemann surface is a closed Riemann surface of finite genus. A non-compact Riemann surface is called an open Riemann surface.

Take a point Po on a closed Riemann surface R of genus 9 and cut R along simple closed curves AI, Bl, ... , Ag, Bg with base point Po as in Fig. 1.6. Then we get a domain homeomorphic to a convex polygon with 4g sides (Fig. 1.7).

The fundamental group 'lT1 (R, Po) of R with base point Po is generated by the homotopy classes [AI], [BI l, ... , [Ag], [Bg] induced from AI, B I , ... , Ag, Bg and satisfies the fundamental relation

9

II[Aj][Bj][Aj]-I[Bj]-1 = 1 (the unit). j=l

We call {[Ajl,[Bj]H=1 or {Aj,Bj H=l a canonical system of generators of 'lT1(R,po).


Fig. 1.4.

Fig. 1.5.





9





X :=


Fig. 1.4.

Fig. 1.5.





9




Fig. 1.4.

Fig. 1.5.





9



4 1. Teichmiiller Space of Genus 9

mapping. This R is the Riemann surface of w = vz. (See Ahlfors [A-4J, Chap. 8; Jones and Singerman [A-48], Chap. 4; and Springer [A-99], Chap. 1.)

Note that the Riemann surface R of the algebraic function w = vz is also regarded as the algebraic curve defined by the equation w2 = z.

Finally, we see elliptic curves, i.e., tori from the viewpoint of algebraic curves. For any complex number >.(f. 0,1), let R be the algebraic curve defined by the equation

w 2 = z(z - l)(z - >.). (1.1)

In other words, R consists of all points (z, w) E C x C satisfying algebraic equation (1.1) and the point Poo = (00,00). We can define the complex structure of R by the complex structure of the z-sphere so that the projection 1f': R -+

C, 1f'(z, w) = z, is holomorphic. This R is a two-sheeted branched covering surface over the z-sphere with branch· points 0, 1, >., and 00. The mapping f: R -+ C, f(z, w) = w, is holomorphic. This function f is written as w = Jz(z - 1)(z - >.) and R is a Riemann surface on which the algebraic function w = Jz(z - 1)(z - >.) is single-valued.

The Riemann surface R defined by algebraic equation (1.1) is regarded topologically as a surface illustrated in Fig. 1.5. Take two copies of the Riemann spheres Sl, S2 with cuts between ° and 1, and between>. and 00 (Fig. 1.3). Place them face to face (Fig. 1.4), and join along their cuts (Fig. 1.5). The resulting surface is homeomorphic to the Riemann surface R. Hence, R looks like the surface of a doughnut. We call such a Riemann surface a torus. A torus is also called an elliptic curve; this name comes from the elliptic integral (see §1.4).

00 00

Fig. 1.3.





w 2 = z(z - l)(z - >.). (1.1)




00 00

Fig. 1.3.

= 2×





w 2 = z(z - l)(z - >.). (1.1)




00 00

Fig. 1.3.



X :=


Fig. 1.4.

Fig. 1.5.





9




Fig. 1.4.

Fig. 1.5.





9







w 2 = z(z - l)(z - >.). (1.1)




00 00

Fig. 1.3.





w 2 = z(z - l)(z - >.). (1.1)




00 00

Fig. 1.3.

= 2×





w 2 = z(z - l)(z - >.). (1.1)




00 00

Fig. 1.3.

f : X2:1−−−→ S2 = P1(C),



X :=


Fig. 1.4.

Fig. 1.5.





9




Fig. 1.4.

Fig. 1.5.





9







w 2 = z(z - l)(z - >.). (1.1)




00 00

Fig. 1.3.





w 2 = z(z - l)(z - >.). (1.1)




00 00

Fig. 1.3.

= 2×





w 2 = z(z - l)(z - >.). (1.1)




00 00

Fig. 1.3.

f : X2:1−−−→ S2 = P1(C), C(z) ⊂ C(X ) := {funzioni meromorfe su X}



X :=


Fig. 1.4.

Fig. 1.5.





9




Fig. 1.4.

Fig. 1.5.





9







w 2 = z(z - l)(z - >.). (1.1)




00 00

Fig. 1.3.





w 2 = z(z - l)(z - >.). (1.1)




00 00

Fig. 1.3.

= 2×





w 2 = z(z - l)(z - >.). (1.1)




00 00

Fig. 1.3.

f : X2:1−−−→ S2 = P1(C), C(z) ⊂ C(X ) := {funzioni meromorfe su X}

Gal (C (X ) /C (z)) .

RicercaAlgebra omologica e teoria delle categorie (Canonaco)

Categorie derivate

RicercaAlgebra omologica e teoria delle categorie (Canonaco)

Categorie derivate

L’assioma dell’ottaedroper le categorietriangolate:

Y ′

g

[1]

��

Z ′

f

>>

[1]

��

X ′j[1]◦i

[1]oo

i[1]

��

Xv◦u //

u

Z

OO

WW

Y

v

>>

j

WW

RicercaGeometria differenziale (Bonsante)

Geometria iperbolica.

Spazi di Teichmuller.Strettamente collegatoallo spazio dei modulidelle curve algebriche, mada un punto di vistadifferenziale.

Fibrati piatti e varieta dirappresentazioni.

Azioni di gruppi su spazisimmetrici.

RicercaGeometria analitica reale (Pernazza)

Geometria analitica reale.

L’ombrello di Whitney: x2 − y2z = 0.

Tematiche di tesi

In tutti gli argomenti di ricerca appena elencati. E in alcuni altri . . .

Tematiche di tesi

In tutti gli argomenti di ricerca appena elencati. E in alcuni altri . . .

Negli ultimi anni molti studenti si sono laureati a Pavia su argomenti dicarattere algebrico o geometrico. Vari di questi sono entrati al dottorato aPavia o altrove.

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