Esercizi di algebra lineare e geometria, relativi ai corsi della 1a Facolta’ di Ingegneria,nuovo ordinanento.

( Curati da: P.Valabrega, C. Massaza, D. Giublesi)

Gli esercizi indicati con (*) richiedono un maggior impegno.

CORSO DI GEOMETRIA

Esercizi su Numeri Complessi

Es. n. 1:Calcolare e rappresentare sul piano di Gauss i seguenti numeri complessi:

z=(2+3i)2 +(1+i)3

z=(1+2i) / (1+3i)z=(1+i)18

z=(1-i)18

z= 2 /(1-i)3

Es. n. 2:a) Calcolare e rappresentare sul piano di Gauss le soluzioni di: (1+2i)2 z = ib) z3 = (24+8i)/(1-3i)c) Re (z2) =1, Im(3z+1) =7d) z< Re(z+5)e) z4 = cos(4/3π) + i sin(4/3π)

Es. n. 3:Rappresentare sul piano complesso, senza calcolarle esplicitamente, le soluzioni di:a) z4= (1+2i)4

b) z4=1+2ic) z4= (1+2i)3

Es. n. 4:Verificare che z=4+2i è radice del polinomio P(z) = z2-4z+4-8i. Trovare l'altra radice.

Es. n. 5:Determinare a,b ∈ C in modo che il polinomio:P(z) = z4-2(1+i)z3+(4+2i)z2+az+b abbia 1+i come radice doppia.Trovare le altre radici di P(z).

Es. n. 6:Determinare tutti i polinomi P(z), a coefficienti reali, che soddisfano le condizioni seguenti:a) sono di secondo grado ed hanno 2+3i come radice;b) sono di quarto grado, hanno 2+3i come radice doppia, P(1) = 3;c) sono di terzo grado ed hanno 2+3i come radice;d) sono di terzo grado ed hanno 2+3i come radice doppia;e) sono di primo grado ed hanno 2+3i come radice.

Es. n. 7:Rispondere alle stesse domande dell'esercizio precedente, richiedendo che P(z) sia a coefficienticomplessi.

CORSO DI GEOMETRIA

Esercizi sui Vettori nello Spazio Ordinario

Es. n. 1:Dato il vettore v = i + 2j - k, trovare:a) il versore di v;b) i vettori paralleli a vc) i vettori paralleli a v aventi modulo 3.

Es. n. 2:Dati i vettori v = i + j - k, u = 2i + j +k, trovare:a) le componenti di 2v + 3u;b) il loro angolo;c) un vettore parallelo alla bisettrice del loro angolo;d) la misura del segmento proiezione ortogonale di u su v;e) il vettore proiezione ortogonale di u (oppure -u) su v;f) i vettori paralleli a v la cui proiezione ortogonale su u ha modulo 2.

Es. n. 3:Trovare i vettori di modulo a fissato, la cui proiezione ortogonale sul piano xy èi + 3j (discutere al variare di a).

Es. n. 4:Dati i vettori u = i +2j e v = 2costi + 2sintj , trovare i valori di t per cui:a) v è perpendicolare ad u;b) v è parallelo ad u.Rispondere alle stesse domande dopo aver sostituito v con v’ = 2costi + 2sintj + k.

Es. n. 5:Dati i vettori u = ti + tj + (1 - t)k, v = i +tj + 2k , w = j + k ,a) trovare i valori di t per i quali sono complanari;b) posto t = 1 : calcolare il volume del parallelepipedo avente u, v, w come spigoli; calcolare le componenti di i + j + k rispetto alla base u, v, w.

Calcolare l’angolo formato da u e v sapendo che |u| = 1, |v| = 3, |u-2v| = a (discutere al variare di a).

Es. n. 7:Calcolare | u ∧ v | sapendo che | u | = 1, | v | = 2, u • v = 1.

Es. n. 8:Dati i vettori u e v, trovare x tale che risulti:a) u ∧x = v (discutere la risolubilità dell’esercizio al variare della coppia u, v);b) u ∧ x = v ∧ x ;c) u ∧ x = u ∧v .

Es. n. 9Trovare i vettori complanari sia con la coppia u = i - j , u’ = i + k , che con la coppia v = i + j + k ,v’ = i - k .

Es. n. 10:Trovare la proiezione ortogonale di v = i + j - 2k sul piano di u1= i - k ed u2 = i + 2j - k .

Es. n. 11:Dati i vettori u = i - j - k , v= i - 2j + k , decomporre v nella somma di un vettore parallelo e unoperpendicolare ad u.

Es. n. 12:Dimostrare le seguenti identità:a) (u+v)2 = u2 + 2 u•v + v2 . Dedurne il teorema di Carnot e quello di Pitagora (per u

perpendicolare a v);b) (u + v)•(u - v ) = u 2- v 2 . Dedurne una caratterizzazione del rombo;c) u •v = 0 ⇔ (u + v )2 = (u - v)2 . Dedurne una caratterizzazione del rettangolo.

Es. n. 13:Nel triangolo ABC, si indichino con M ed N i punti medi dei lati AB ed AC rispettivamente.Verificare che M - N = B - C/2 .

Es. n. 14:Consideriamo un triangolo ABC. Dimostrare che:a) Esiste ed è unico il punto G (baricentro del triangolo) che soddisfa la relazione:

(G - A) + (G - B) + (G - C) = 0;b) G è il punto di incontro delle tre mediane del triangolo.

CORSO DI GEOMETRIA

Esercizi su Spazi Vettoriali e Sottospazi

Es. n. 1:Sia V lo spazio dei vettori ordinari:a) Provare che i vettori u = i + j e v = i - j non costituiscono un sottospazio e trovare il minimo

sottospazio che li contiene;b) Fissato u, i vettori w =a u, con a reale positivo, costituiscono un sottospazio? In caso

negativo, trovare il minimo sottospazio che li contiene;c) Provare che l’unione insiemistica dei vettori di due rette per l’origine non è un sottospazio

vettoriale e trovare il minimo sottospazio che le contiene;d) Provare che l’insieme dei vettori, applicati in O, il cui secondo estremo descrive una retta non

passante per O, non è un sottospazio e trovare il minimo sottospazio che lo contiene.e) Trovare la somma di tre rette per l’origine e dire se si tratta di una somma diretta (distinguere i

vari casi, a seconda della posizione reciproca delle rette).f) Trovare la somma di tre piani per l’origine: puo’ succedere che tale somma sia diretta?g) Trovare la somma di un piano e di una retta per l’origine ; quando succede che questa somma sia

diretta?

Es. n. 2:In R3 si considerino i seguenti sottoinsiemi:

W = {(x,y,z): x+y+z = 0}T = {(x,y,z): x+y = 0, x+z = 0}.a) Verificare che V,W,T sono sottospazi;b) Calcolare V∩Wc) Calcolare V+W e verificare che non si tratta di una somma diretta;d) Calcolare V∩T;e) Calcolare V+T e verificare che la somma è diretta.Ripetere lo stesso esercizio sostituendo R3 con C3.

Es.n.3:Dire quali dei seguenti sottoinsiemi di R3 sono sottospazi:a) R+ × R +× R+, dove R+ indica l’insieme dei reali non negativi.b) Z × Z×Zc) R× R×{0}f) R× R×{1}g) {(t, 2t, -3t)}, t ∈ Rh) {(u, u+v, u-2v)}, u,v ∈ Ri) {(u, u2, u+v)} , u,v ∈ Rj) {(t, 2t+1, t3-t)} , t∈ R

Es.n.4:Verificare che i seguenti sottoinsiemi di R3 sono sottospazi e calcolarne somma e intersezione:V = {(u+2v, u-v, 2u+3v)}, u,v ∈ R,W ={(u-v, u, u+v)}, u,v ∈ R.Dire se la somma e’ diretta.

Es.n.5:Verificare che i seguenti sottoinsiemi di R4 sono sottospazi e calcolarne somma e intersezione:V = {(x 1 , x 2 , x 3 , x 4): x 1 +2 x 2 + x 3 = 0 , x3- x 4 =0}W ={( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ): x 1 + x 2 + x 4 = 0 , x3+ x 4 =0Dire se la somma e’ diretta.

Es. n. 6:Verificare che l'insieme S (risp.A) delle matrici simmetriche (risp. antisimmetriche) di ordine n è unsottospazio di Rn,n e che risulta Rn,n = S⊕A.

Es. n. 7:In R2 si definiscano le seguenti operazioni: somma: (x, y) + (x’, y’) = (x + x’, y + y’) prodotto: a(x, y) = (x|a|, y|a|).Si dimostri che, con questa somma e questo prodotto, R2 non è uno spazio vettoriale.

somma: (x, y) + (x’, y’) = (x - x’, y - y’) prodotto: a(x, y) = (ax, ay).

Es. n. 8:Dimostrare che ogni spazio vettoriale su C si può pensare come spazio vettoriale su R, restringendol’operazione di prodotto alle coppie (numero reale, vettore). (Attenzione: l’affermazione non è verase si scambiano R e C).

CORSO DI GEOMETRIA

Esercizi su Sistemi di Generatori, Basi, Matrici.

Es. n.1:In R4 si consideri il sottospazio S = L(v1,v2 ,v3 ,v4), dove v1 = (1,0,1,1) , v2 =(0,1,-1,2), v3 =(2,1,1,4),v4 =(1,2,-1,5). Si trovi una base di S e si calcolino le componenti di u = (1,1,1,1) rispetto a tale base.

Es. n. 2:Fissati v1,v2,…vn in uno spazio vettoriale V, si verifichi che L(v1,v2 ,…,vn) = L(av1+bv2,v2 ,…, vn ) ∀ b,purché sia a 0? .

Es. n. 3:Si trovi la dimensione di C2 come R-spazio.

Es. n. 4:Nel C-spazio vettoriale C3 si consideri il sottospazio V generato dai vettori v1 = (1,i,-1),v2 = (i,i2,i3). Si calcoli la dimensione di V. Si calcoli la dimensione dell’R-spazio generato da v1 e v2 .

Si risponda alle stesse domande sostituendo v2 con u 2 =(i, i2 , i).

Es. n. 5:In R 4 si considerino i vettori: v1 =(1, 1, 1, 1), v2 =(1, 0, 0, 1), v3 =(0, 0, 1, 1), v4 =(1, 1, 0, -1),

v5 =(0, 1, 0, 0). Si provi che la somma L(v1 , v2 ) + L(v3 , v4 ) è diretta e se ne trovi una base, Si

provi che v1, v2, v5 sono l.i. e si completi il loro insieme ad una base di R 4 .

Es. n. 6:Sono dati i seguenti vettori di R 3 :v1 =(1, 2, 3), v2 =(-1, 1, 1), v3 =(0, 3, k), v4 =(-1, k, 5), v5 =(-1, 10, 13).

Trovare una base di L(v1 ,…, v5 ), al variare di k.

Es. n. 7 (*):Si consideri lo spazio Rn , n delle matrici quadrate di ordine n.a) Sia Eij la matrice costituita da tutti zeri tranne che al posto (i, j), dove c’è 1. Si provi che EijA,

dove A Rn ,p, è la matrice con tutte le righe nulle, tranne la i-esima, che coincide con la j-esimadi A. Analogamente si provi che BEij, dove B Rq, n, è la matrice con tutte le colonne nulle,tranne la j-esima, che coincide con la i-esima di B.

b) Si provi che (I + aEij)A è la matrice che si ottiene da A con la sostituzione Ri ? ♦? Ri + aRj

c) Sia SA il sottoinsieme di Rnn così definito: SA = {X: AX=0}. Si verifichi che SA è un

sottospazio. Nel caso particolare n=2, A= √√↵�

���

22

11, si trovi una base di SA.

d) Sia S il sottoinsieme di Rn,n così definito: S = {X: AX=XA , ∀ A Rn ,n}. Si verifichi che S è unsottospazio. Nel caso particolare n=2, si trovi una base di S.

e) Sia SA il sottoinsieme di Rn,n così definito: SA = {X: AX=XA }, con A matrice fissata. Si

verifichi che SA è un sottospazio. Nel caso particolare n=2, A= √√↵�

���

22

11, si trovi una base di SA.

f) Sia SA il sottoinsieme di Kn,n così definito: SA = {X: AX=XA}. Si verifichi che SA è un

sottospazio. Nel caso particolare n=2, A= √√↵�

���

22

11, si trovi una base di SA.

Es.n.8:

In R5 si consideri il sottoinsieme V = {(x1, x2, x3, x4, x5): 2x1-x3=0, x2 +2x4 +x5 = 0}. Si verifichi cheV e’ un sottospazio e se ne calcoli la dimensione.

Es. n.9

Nello spazio R2,2 delle matrici, si consideri il sottoinsieme S costituito dalle matrici A soddisfacentila relazione : A + 2 tA = 0 . Si verifichi che S e’ un sottospazio e se ne trovi una base.

Es .10:

Nello spazio R2,2 si fissi una matrice A. Nello spazio R2,2 si consideri il sottoinsieme S dellesoluzioni dell’equazione AX = 0. Si verifichi che S e’ un sottospazio e si controlli, dando esempi,che dim S dipende dalla scelta di A.

CORSO DI GEOMETRIA

Riduzione di Matrici, Sistemi Lineari, Determinanti

Es. n. 1:

Studiare il rango della matrice seguente al variare di k in R:

√√√

↵

�

���

�

−−−

=kk

k

k

Ak

211

2222211

Es. n. 2:

Ridurre per righe la matrice √√√

↵

�

���

�

100

010

cba

e calcolarne il rango.

Es. n. 3:Trovare una base del sottospazio di R4 generato dai vettori (1,1,2,0), (2,-1,1,3), (0,5,5,-5) ecompletarla ad una base di R4.

Es. n. 4:Costruire un sistema lineare di 5 equazioni in 4 incognite avente:a) ∞1 soluzioni;b) ∞2 soluzioni;c) 1 soluzione;d) nessuna soluzione;e) ∞ 4 soluzioni;f) ∞5 soluzioni.

Es. n. 5:Trovare una base per lo spazio delle soluzioni dei seguenti sistemi lineari:a) x+y+z =0 , x+y-3z = 0b) x+y+z-t = 0, x-y+z+t = 0, 3x+y+3z-t = 0.c), x-y-2z+t = 0, x+λy-2z-λt = 0, λ(x+y)+2λz-λt = 0, al variare di λ ∈ R.

Es. n. 6:Discutere la risolubilità e, se possibile, risolvere i sistemi non omogenei ottenuti da quelli omogeneidell'esercizio 5 con la seguente scelta di termini noti :a) (1,2) oppure (1,1);b) (1,2,4) oppure (1,1,1);c) (1,1,1) oppure (1,1,-1), oppure (a,b,c) al variare di a,b,c in R .

Es. n. 7:

Calcolare 1−A , per i valori di λ per cui esiste, essendo

=A √√√

↵

�

���

�

+

−

010

01

232

λλ

Es. n. 8:Determinare una base dello spazio delle soluzioni di AX=0 con:

A= k

iki

ii

010

111

−− al variare di k in C.

Es. n. 9:Verificare che le equazioni matriciali AX=B, XA=B con:

√√√

↵

�

���

�

=

100

341

431

A e √√√

↵

�

���

�

=

010

020

001

B

sono risolubili entrambe, con soluzioni X1 (rispettivamente X 2 ) uniche, con X1 ? X 2 .

Es. n. 10:

Verificare che la matrice √√√

↵

�

���

�

−=

011

110

211

A è un divisore di 0 in R 3,3 , cioè ∃ X ? 0 tale che AX=0.

Es. n. 11 (*):Risolvere le seguenti equazioni matriciali: AXA 1− =I, AXA 1− =A, con:

A

e

= +

�

���

�

↵

√√√

ππ

π2 20 1 3

0 0 1.

Es. n. 12 (*):

è data la matrice √√↵�

���

−−

=32

21A R 2,2

a) Verificare che le matrici X permutabili con A formano un sottospazio vettoriale V di R 2,2 ,avente dimensione 2;

b) Dedurre che le matrici I, A, A 2 sono l.d. tra loro ed esprimere A 2 come c.l. di I e di A;c) Provare che A è invertibile, che A −1 V e scrivere A 1− come c.l. di I e A;d) Trovare una base di V contenente A 3 .

Es. n. 13 (*):Sia data una matrice rettangolare A. Verificare che le due equazioni matriciali AX=I, XA=I non sipossono mai risolvere entrambe. Qual è la condizione affinché se ne possa risolvere una?

CORSO DI GEOMETRIA

Applicazioni Lineari

Es. n. 1:

Sia f : R 2,2 ♦ R 2,2 così definito: f(X) = AX-XA dove √√↵�

���

−−

=32

21A ,

a) verificare che f è lineare;b) trovarne il nucleo;

c) verificare che √√↵�

���=

11

11M non sta nel nucleo;

d) verificare che √√↵�

���=

10

01N Imf.

Es. n. 2:Provare che, nell’insieme degli endomorfismi di R 2 ,a) non esiste alcun elemento f per cui f (1,2) = (2,3), f (2,3) = (3,4), f (3,4) = (1,1);b) esiste uno ed un solo elemento f per cui f (1,2) =(2,3), f (2,3) = (3,4);c) esistono infiniti elementi f per cui f (1,2) = (2,3); d) esiste uno ed un solo elemento f per cui f (1,2) = (2,3), f (2,3) = (3,4), f (3,3) = (3,3);e) esistono infiniti elementi f per cui f (1,2) = (2,3), f (2,4) = (4,6).

Es. n. 3:Verificare che, ∀ u e v R 3 , non esistono endomorfismi iniettivi f di R 3 soddisfacenti lacondizione(*): f (2,3,1) = u, f (2,1,0) = v, f (3,0,0,) = u+v.Esistono endomorfismi suriettivi per cui (*) è soddisfatta?Quanti sono gli endomorfismi soddisfacenti (*) per u e v fissati?

Es. n. 4:Sia f l’endomorfismo di R 3 associato alla matrice seguente rispetto alle basi canoniche:

√√√

↵

�

���

�

−−−

=101

341

231

M . Provare che kerf Imf.

Es. n. 5:Determinare uno spazio vettoriale V ed una funzione lineare f : R 2,2 ♦ V in modo chea) f sia suriettiva;b) kerf sia lo spazio delle matrici simmetriche.

Es. n. 6

Data la funzione lineare f : R 3 ?♦??♦? R 3 , avente come matrice rispetto alla base canonica:

M =

�

���

�

↵

√√√

1 2 12 0 1

3 2 0,

a) trovare, se possibile, una funzione lineare g: R 3 ?♦??♦? R 3 , tale che gf sia suriettiva;

b) trovare, se possibile, una funzione lineare g: R 3 ?♦??♦? R 2 , tale che Im(gf) abbia dimensione 1;

c) trovare, se possibile, una funzione lineare g: R 3 ?♦??♦? R 3 , tale che f+g sia l’identità di R 3 .

Es. n. 7:Nello spazio V dei vettori ordinari è data la funzione f così definita: f(v) = a v - b v, (a? b).a) Verificare che f è lineare e trovare kerf ed Imf;b) Posto a=(1,1,1) e b=(1,0,-1), calcolare la matrice di f rispetto alla base (i, j, k). Completare a ad

una base B di V e determinare MBf.

CORSO DI GEOMETRIA

Autovalori e Autovettori

Es. n. 1:Provare che le seguenti matrici A e B hanno gli stessi autovalori, ma che gli endomorfismi f e g adesse associati relativamente alle basi canoniche hanno autovettori diversi.

√√√

↵

�

���

�

=

300

320

321

A √√√

↵

�

���

�

=

300

220

211

B

Es. n. 2 (*): Risolvere lo stesso esercizio del n.1, dove :

√√√

↵

�

���

�

=

000

300

210

A , B = A2

Provare che l'autospazio relativo ad A è contenuto in quello relativo ad A2

. Più in generale, provareche, se λ è un autovalore di A con autospazio V, allora λ2 è autovettore di A2 con autospazio W

V.

Es. n. 3:Provare che l'endomorfismo f di 3R per cui (1,0,2), (1,1,1), (2,1,2) sono autovettori relativi agliautovalori 1, 2, 3 rispettivamente, esiste, è unico ed è un isomorfismo. Quali sono gli autovettori di

f1−?

.Es. n. 4:Provare che le seguenti matrici A e B hanno autovalori reali, mentre non ne ha la loro somma:

√√↵

����

−=

41

11A

√√↵

����

−−

=21

11B

Es. n. 5:Trovare autovalori e autovettori dell'endomorfismo di R2,2 dato da f(X) = tX (trasposta di X)(tenere conto che R2,2 = S⊕ A, dove S = sottospazio delle matrici simmetriche, A = sottospazio

Es. n. 6:Sono dati i sottospazi di R3: V1={(x,y,z): x+y+z=0}, V2={ (x,y,z): x=t, y=2t, z=kt}. Per qualivalori di k esiste un endomorfismo di R3 avente V1 come autospazio relativo all’autovalore 4 eV2 come autospazio relativo all’autovalore -1? Fissato uno di tali k, trovare il corrispondenteendomorfismo.

Es. n. 7:In R3 si considerino i vettori v1(1,1,1), v2=(1,0,-1) e v3=(k,2,2,). Studiare, al variare di k, l’esistenzadi endomorfismi soddisfacenti queste condizioni:a) v1 e v2 sono autovettori relativi all’autovalore 1 e v3 è autovettore relativo all’autovalore 2;b) v1e v3 sono autovettori relativi all’autovalore 1 ed f non è iniettivo;c) v1e v3 sono autovettori relativi all’autovalore 1 e dim Imf =1;d) v1e v2 sono autovettori relativi all’autovalore 1.

Es. n. 8:Costruire gli endomorfismi f di R3 soddisfacenti queste condizioni:a) Kerf={(x,y,z): x=t, y=2t, z=t}, v1 =(1,1,1) è autovettore relativo a λ = -1, v2=(2,3,0) è

autovettore relativo a λ =3;b) Kerf=(x,y,z): x=t+1, y=-t, z=t+2, v1e v2 come in a);c) Come in b) con v2=(2,3,2).

Es. n. 9:

E’ data la matrice A ∈R4,4 :

√√√√√

↵

�

�����

�

=

1000

0100

0010

00ba

A . Per quali valori di a e b la matrice è

diagonalizzabile? Per tali valori, diagonalizzarla.

Es. n. 10:Verificare che non esistono endomorfismi di R2,2 che abbiano come autospazi i seguenti sottospazi:V V1 formato dalle matrici simmetriche e V2 formato dalle matrici con traccia nulla. Sostituire V2 consuo opportuno sottospazio V2’, in modo che esista qualche endomorfismo con autospazi V1, V2’.

Es. n. 11:Scrivere una matrice A∈R3,3, non diagonalizzabile , che abbia come polinomio caratteristico–t3+3t2. Es. n. 12:Scrivere due matrici 4↔4 a elementi reali con lo stesso polinomio caratteristico, una diagonalizzabilee l'altra no.

Es. n. 13:

Es. n. 14:E' data la matrice quadrata A. Come deve essere scelta A perché l'insieme delle matrici ad essa similicontenga un solo elemento?

Es. n. 15:Sia f l'endomorfismo di V (spazio dei vettori ordinari) dato da f(v) = a∧ v (a vettore fisso nonnullo). Provare che due qualsiasi autovettori sono paralleli tra loro.

Es. n. 16(*):Sia f l’endomorfismo di V, spazio dei vettori ordinari, dato da f(v) = a v, dove a è un vettore fisso,non nullo. Verificare che f non è semplice. Sia A=MEE (f ) con E={i,j,k}. Provare che A non èdiagonalizzabile come matrice reale, ma lo è come matrice complessa. In generale provare che, se A∈R3,3 ha un autovalore complesso, allora essa è diagonalizzabile su C.

CORSO DI GEOMETRIA

Geometria Analitica nel Piano: Cambiamenti di Riferimento, Rette, Circonferenze.

Es. n. 1:Considerato il cambiamento di riferimento, R(O,i,j)→ R(O’, I,J ) , con O’=(1,-2)e I = (-3/5, 4/5)::a) Determinare J.b) Scrivere le coordinate (x,y) di un punto P in funzione delle sue coordinate (X,Y) nel nuovo

riferimento e viceversa.c) Quali sono le nuove coordinate di A(1,2)?d) Che equazione ha nel nuovo riferimento la retta r: x+y-5 = 0?

Es. n. 2:Sono date le rette r: x+2y-2 = 0, s: 4x-2y-8 = 0.a) Verificare che r ed s sono ortogonali. b) Trovare la formula di tutti i possibili cambiamenti di riferimento per cui r ed s diventano i nuovi

assi cartesianic) Qual è la nuova origine degli assi? Trovare un vettore u parallelo ad r ed uno v parallelo ad s. d) Utilizzando il metodo del fascio di rette determinare le bisettrici degli angoli formati dalle due

rette.e) Verificare che l'unione delle due bisettrici è il luogo dei punti equidistanti da r ed s.

Es. n. 3:Verificare che se le tre rette: r: ax+by+c = 0, s: a’x+b’y +c’ =0, t: a”x+b”y+c” =0

hanno un punto in comune, allora 0

''c''b''a

'c'b'a

cba

det =√√√

↵

�

���

�

. Vale il viceversa?

Es. n. 4 (*):Provare che le tre rette: r:x+y-2 = 0, s: 2x+y-3 = 0, t: x-3y = 0 sono a due a due non parallele esono i lati di un triangolo T (usare l'esercizio 3). Senza determinare i vertici di T , trovare leequazioni delle sue "altezze" ("altezza" = retta per un vertice e perpendicolare al lato opposto) eprovare che esse passano per uno stesso punto.

Es. n.5:Sono dati il punto P(1,-2) e la retta r: x+3y+1=0. Calcolare:le rette uscenti da P che formano un angolo di π/6 radianti con r; la retta per P parallela ad r; la rettaper P perpendicolare ad r.

Es. n. 6:Scrivere in almeno due modi diversi le equazioni parametriche della retta r: x-3y+1=0.

Es. n. 7:Trovare la distanza di P(1,2) dalla retta r: x=6+t, y=-1+t, dopo aver verificato che P r. Calcolareinoltre: le rette uscenti da P che formano un angolo di π/6 radianti con r; la retta per P parallela ad r;la retta per P perpendicolare ad r.

Es. n. 8:Date le rette r: 2x-y+1 = 0 ed s: 6x-3y = 0;a) trovare la distanza tra r ed s;b) trovare le rette ad esse parallele, aventi distanza 3 da r;c) trovare l’equazione della retta mediana della striscia da esse determinata.

Es. n.9:Determinare le circonferenze passanti per i punti A(2,-1) e B(2,4) e tangenti all’asse y, trovando lecoordinate del loro punto di tangenza.

Es. n.10(*):Trovare la famiglia di tutte le circonferenze passanti per i punti A(1,1), B(3,-1). Scrivere l'equazionedel luogo dei loro centri. Determinare l'equazione delle circonferenze della famiglia tangenti alla rettax+y+1 = 0.

Es. n. 11:Trovare l’equazione della circonferenza tangente alla retta x+y-2 = 0 in P(1,1) e passante perQ(2,1). Scrivere le equazioni delle tangenti ad essa condotte da. A(5,5).

Es. n. 12:

Date le circonferenze: C1: x2+y2-2x+4y = 0, C2:x2+y2-6x-2y = 0 , trovare: le circonferenze di raggio10 che passano per i loro punti comuni; la retta che congiunge i loro punti di intersezione; l’angolotra le loro tangenti in uno dei punti di intersezione.

Es .n.13:Determinare il quadrato inscritto nella circonferenza di equazione: x2 + y2 -2x-6y =0, che ha unvertice nel punto A(0,0) .Es.n.14:Determinare i triangoli inscritti nella circonferenza di equazione : x2 +y2 –4x +6y = 0, aventi un latoparallelo al vettore v = (2,0).

CORSO DI GEOMETRIA

Coniche

Es. n.1:Studiare la famiglia di coniche:x2+2xy+ty2+4x-6y+t = 0, riconoscendo: le coniche degeneri, leparabole, le iperboli, le ellissi (reali o immaginarie). Scrivere le equazioni canoniche per le conichecorrispondenti a t = 1, t=-1 e disegnarle nel piano xy.

Es. n. 2:Scrivere l'equazione dell'ellisse di centro C(1,-1),di semiassi a=3, b=2 , avente l'asse maggiore sullaretta x+2y+1 = 0.

Es. n. 3:Scrivere l'equazione della conica costituita dalle due rette x+y = 0, x-3y+5 = 0. . Trovare l'equazionedi almeno una iperbole avente le due rette come asintoti.

Es. n. 4:Studiare il fascio di iperboli di equazione x2+xy+ty = 0 (t≠0), mettendo in evidenza eventualielementi comuni (centro, assi, asintoti, tangenti,...). Ripetere la stessa cosa per il fascio : x2+xy+y+k= 0 (k≠-1). Che cosa rappresentano le equazioni nei casi t=0, k=-1?

Es. n. 5(*):Verificare che le due coniche C) x2+2y2-4 = 0 e C’) x = y2-1 si intersecano in due punti realiP1eP2 e in due punti complessi. Provare che tutte le coniche del fascio individuato da C e C'passano per P1 e P2. Ci sono coniche degeneri nel fascio? Ci sono parabole?

Es. n. 6:Verificare che la conica C) x2-2xy+y2+y = 0 è una parabola. Trovarne: il vertice, l'asse, la tangentenel vertice, una forma canonica, un cambiamento di riferimento che realizzi tale riduzione a formacanonica. Trovare l'equazione di una circonferenza di raggio 1 e tangente a C nel punto P(-2,-1).

CORSO DI GEOMETRIA

Piani, Rette, Sfere

Es. n. 1:

Date le rette: r = {x+y-2=0, x-y-2z=0}, s ={x-2y+1=0, 2x-2z-2=0}, trovare le equazioni di tutti ipiani paralleli sia ad r che ad s. Esiste un piano tra questi che contenga r? Ne esiste uno che contengasia r che s?Rispondere alle stesse domande con: r ={x=1, y=2}, s ={x=-t, y=2t, z=3t}.

Es. n. 2:Dire come si intersecano i tre piani:α: x+y+2z+1=0, β:2x-y+3z=0, γ:x-y+cz+d=0, al variare deiparametri c e d.

Es. n. 3:Verificare che i quattro piani seguenti si incontrano in un punto: π1: x+3y-3z=0, π2: x-y+4z-4=0, π3: -2y+z+1=0, π4: 2x+2z-3=0;utilizzarli per costruire delle rette incidenti; verificare che tre qualunque tra essi non formano fascio.Trovare una rappresentazione parametrica della retta intersezione di π1 e π2.

Es. n. 4:Sono dati i due fasci di piani:Φ1:λ (x+2y+z-5)+ µ (2x-y)=0 , Φ2: λ ’(x-1)+µ ’(x+y+z-3)=0.Verificare che le due rette assi dei fasci sono incidenti e trovare le bisettrici degli angoli che esseformano. Provare che esiste un piano comune ai due fasci. Costruire una coppia di fasci che nonabbiano alcun piano in comune.

Es. n. 5(*):Date le rette: r :x=1, z=y-2, s :2x+y-z=0, y+z-2=0,a) verificare che r ed s sono sghembe, trovarne la minima distanza e la perpendicolare comune;b) trovare, se c’è, una retta per A(2,1,0) incidente entrambe;c) trovare tutte le rette incidenti r, s e la seguente retta t:x+y=0, z=1 (in alternativa: t:x+y=0, z=-3).

Es. n. 6:E’ dato il piano π: x+2y+2z-1=0. Nella simmetria ortogonale rispetto a π, trovare:a) il simmetrico di P(1,2,3);b) la retta simmetrica di r ={x=t, y=t, z=1};c) il piano simmetrico di x-y+1=0.

Es. n. 7:Sono dati il piano π) x+z-1 = 0 e la retta r: x=t, y=2t, z=t. Determinare i piani per r che formano undato angolo α con il piano π . Discutere il problema al variare di α. Ripetere l'esercizio sostituendor con r’: x = 1+t, y=1, z = 3+t.

Es. n. 8:Provare che i piani α: x+y = 0, β: x-y+2z+1 = 0, γ: x-y-z-1 = 0 sono a due a due ortogonali etrovare un cambiamento di riferimento per cui α , β, γ diventino rispettivamente i piani X = 0, Y =0, Z = 0.

Es. n. 9:

a) la sfera di centro C e tangente a r ;b) la circonferenza di centro C e tangente a r ;c) le sfere tangenti ad r in )2,1,1(A e passanti per C .

Es. n. 10:Sono date le rette 022,0) =+++=+ zyxyxr ed .1,0) ==− zyxs Verificare che nonesistono circonferenze tangenti ad r e ad s . Trovare le sfere di raggio R, aventi centro su r etangenti ad s : discutere al variare di R.

Es. n. 11:Verificare che le due superfici sferiche: 0zy2xzyx)S 222 =+++++ ed

0zyxzyx)'S 222 =+++++ si tagliano lungo una circonferenza C . Provare che esistono due rettetangenti a C e passanti per )2,0,1(A − e trovarne le equazioni. Es. n. 12:Provare che non è possibile trovare una superficie sferica che passi per i punti

),1,1,0(C),0,1,1(B),0,0,2(A )0,1,3(D − . Provare che esistono infinite sfere passanti per)1,1,2(E,C,B,A − . Giustificare tali risultati esaminando la posizione dei punti. Scrivere le equazioni

della circonferenza per C,B,A e trovarne centro, raggio e retta tangente in A .

CORSO DI GEOMETRIA

Coni, Cilindri.

Es. n. 1:Data la circonferenza C: { 0;4222 =−−=++ zyxzyx },a) scrivere l’equazione cartesiana dei due cilindri che la proiettano parallelamente alla retta {x+y=0;

x-z=0}, ovvero perpendicolarmente al piano xy. Determinare la curva C’, proiezione ortogonaledi C sul piano xy;

b) scrivere l’equazione cartesiana del cono che la proietta dal punto P(1,2,1). Determinare la curvaC’ proiezione di C da P sul piano xy.

Es. n. 2:Data la curva L di equazioni: ,2,12, 22 +=+=+= tztyttx

a) provare che L è piana;b) studiare la proiezione ortogonale di L sul piano xy;c) scrivere l’equazione cartesiana del cono che proietta L dall’origine.