Capitolo 7Struttura metrica in Rn

Esercizi svolti

Tutorato di geometria e algebra lineare

Marco Robutti

5 Ottobre 2017

1

IntroduzioneGli esercizi di questo capitolo riguardano i seguenti argomenti:

• Data una base ortogonale per un sottospazio, determinare le coordinatedi un vettore di tale sottospazio rispetto a tale base usando i coefficientidi Fourier (vedi esercizio nella pagina seguente).

• Data una base per un sottospazio, determinare a partire da essa una baseortogonale per il sottospazio (vedi esercizio a pagina 5).

• Dato un sottopazio, determinare la dimensione, una base e le equazionicartesiane del suo complemento ortogonale (vedi esercizi a pagina 8 e apagina 15).

• Dato un vettore, determinarne la sua proiezione ortogonale su un sotto-spazio (vedi a pagina 15).

• Dato un vettore appartenente ad uno spazio vettoriale ed un sottospaziovettoriale di quest’ultimo, decomporre il vettore dato in una componenteappartenente al sottospazio e in un altra appartenente al complementoortogonale di tale sottospazio (vedi esercizio a pagina 15).

2

Esercizio 1Data la base ortogonale di R4:

B =

1001

,

1/201−1/2

,

0−100

,

1/30−1/3−1/3

= {Y1, Y2, Y3, Y4} ,

determinare le coordinate del vettore X =

−1014

, espresso in coordinate ri-

spetto alla base canonica di R4, rispetto alla nuova base B.

SoluzioneSe non avessimo a che fare con una base ortogonale, dovremmo trovare le coordi-nate del vettore riscrivendolo come combinazione lineare dei vettori della base B,ovvero dovremmo risolvere il sistema dato dall’equazione parametrica vettoriale:

−1014

= α

1001

+ β

1/201−1/2

+ γ

0−100

+ δ

1/30−1/3−1/3

Tuttavia la base B è ortogonale. Infatti si ha che:

〈Y1, Y2〉 = 12 −

12 = 0

〈Y1, Y3〉 = 0

〈Y1, Y4〉 = 13 −

13 = 0

〈Y2, Y3〉 = 0

〈Y2, Y4〉 = 16 −

13 + 1

6 = 0

〈Y3, Y4〉 = 0

quindi possiamo ricavare le coordinate del vettore X rispetto alla base B de-terminando i coefficienti di Fourier del vettore X rispetto a tale base. Ovvero

3

abbiamo che:

x1 = 〈X,Y1〉〈Y1, Y1〉

= (−1 + 4)2

= 32 ,

x2 = 〈X,Y2〉〈Y2, Y2〉

=(− 1

2 + 1− 2)

32

= −1,

x3 = 〈X,Y3〉〈Y3, Y3〉

= (0)1

= 0,

x4 = 〈X,Y4〉〈Y4, Y4〉

=(− 1

3 −13 −

43)

13

= −6,

Quindi le coordinate del vettore X rispetto alla base B sono date dal vettore:

X ′ =

3/2−10−6

4

Esercizio 2Data la base di R4:

B =

1001

,

1010

,

−2−100

,

1200

= {X1, X2, X3, X4} ,

determinare una base ortogonale di R4.

SoluzioneDobbiamo utilizzare l’algoritmo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt. Quin-di:

Y1 = X1;

Y2 = X2 −〈X2, Y1〉〈Y1, Y1〉

Y1

=

1010

− 12

1001

=

1/201−1/2

;

5

Y3 = X3 −〈X3, Y2〉〈Y2, Y2〉

Y2 −〈X3, Y1〉〈Y1, Y1〉

Y1

=

−2−100

− −132

1/201−1/2

− −22

1001

=

−2−100

+ 23

1/201−1/2

+

1001

=

−2−100

+

1/30

2/3−1/3

+

1001

=

−2/3−12/32/3

;

Y4 = X4 −〈X4, Y3〉〈Y3, Y3〉

Y3 −〈X4, Y2〉〈Y2, Y2〉

Y2 −〈X4, Y1〉〈Y1, Y1〉

Y1

=

1200

− − 83

73

−2/3−12/32/3

− 1232

1/201−1/2

− 12

1001

=

1200

+ 87

−2/3−12/32/3

− 13

1/201−1/2

− 12

1001

=

1200

+

−16/21−8/716/2116/21

+

−1/6

0−1/31/6

+

−1/2

00−1/2

=

−3/76/73/73/7

;

6

Ne consegue che una base ortogonale di R4 è data dai vettori:

B⊥ =

1001

,

1/201−1/2

,

−2/3−12/32/3

,

−3/76/73/73/7

= {Y1, Y2, Y3, Y4}

Per verificare se il risultato trovato è corretto, basta fare il prodotto scalaretra ciascun vettore della base trovata con gli altri vettori della stessa base everificare che sia nullo. Ovvero:

〈Y1, Y2〉 = 12 −

12 = 0

〈Y1, Y3〉 = −23 + 2

3 = 0

〈Y1, Y4〉 = −37 + 3

7 = 0

〈Y2, Y3〉 = −13 + 2

3 −13 = 0

〈Y2, Y4〉 = − 314 + 3

7 −314 = 0

〈Y3, Y4〉 = 27 −

67 + 2

7 + 27 = 0

Possiamo quindi supporre che il risultato sia corretto, ovvero che sia veramenteuna base ortogonale.Nel caso in cui volessimo ottenere una base ortonormale per Rn, basterebbeortonormalizzare la base ortogonale trovata dividendo ciascun vettore della baseper la sua norma. Ovvero:

B⊥O =

1√2

1001

,1√

32

1/201−1/2

,1

√213

−2/3−12/32/3

,1

3√

77

−3/76/73/73/7

=

1/√

200

1/√

2

,

√

6/60√2/3

−√

6/6

,

−2√

21/21−3/√

212√

21/212√

21/21

,

−√

7/72√

7/7√7/7√7/7

7

Esercizio 3 (appello 9/07/2013, esercizio n°5)Sia:

V = Span

111−1

,

2200

,

3111

1. determinare dim (V ) e dim(V ⊥);

2. si determini una base ortogonale di V ;

3. si determini una base di V ⊥.

4. si determini per quale valori di a il vettore

a111

appartiene a V .

SoluzionePunto (1)

Per determinare dim (V ), dobbiamo determinare quali tra i vettori dati sonolinearmente indipendenti, ovvero dobbiamo determinare qual è il rango dellamatrice A così definita:

A =

1 2 31 2 11 0 1−1 0 1

8

A tal fine, utilizziamo la regola degli orlati di Kronecker :

|∆1| =∣∣∣∣2 32 1

∣∣∣∣= 2− 6

= −4 6= 0⇒ rg (A) ≥ 2

|∆12| =

∣∣∣∣∣∣1 2 31 2 11 0 1

∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣1 2 30 2 01 0 1

∣∣∣∣∣∣= 2

∣∣∣∣1 31 1

∣∣∣∣= −4 6= 0⇒ rg (A) ≥ 3

Essendo A una matrice di orgine 4 × 3, possiamo concludere che rg (A) = 3 equindi che:

dim (V ) = rg (A) = 3

Per quanto riguarda la dimensione di V ⊥, sappiamo dalla teoria che i due sot-tospazi sono in somma diretta tra loro e che la loro somma genera tutto Rn,cioè:

V ⊕ V ⊥ = Rn,

Quindi abbiamo che:dim (V ) + dim

(V ⊥) = n,

che nel nostro caso equivale a dire:

3 + dim(V ⊥) = 4,

e quindi:dim

(V ⊥) = 4− 3 = 1

9

Punto (2)

Per trovare una base ortogonale per V , dobbiamo applicare l’algoritmo di orto-gonalizzazione di Gram-Schmidt ad una base di V qualsiasi.Notiamo subito che, avendo V dimensione pari a 3 ed essendo i tre vettori checi sono stati dati dal testo dell’esercizio linearmente indipendenti, questi sonogià una base per V . Quindi, chiamando tale base:

B =

111−1

,

2200

,

3111

= {X1, X2, X3} ,

e applicando l’algoritmo di ortogonalizzazione otteniamo:

Y1 = X1;

Y2 = X2 −〈X2, Y1〉〈Y1, Y1〉

Y1

=

2200

− 44

111−1

=

2200

+

−1−1−11

=

11−11

10

Y3 = X3 −〈X3, Y2〉〈Y2, Y2〉

Y2 −〈X3, Y1〉〈Y1, Y1〉

Y1

=

3111

− 44

11−11

− 44

111−1

=

3111

+

−1−11−1

+

−1−1−11

=

1−111

;

Quindi una base ortogonale per V è data dai vettori:

B⊥ =

111−1

,

11−11

,

1−111

Punto (3)

Per trovare una base per V ⊥, dobbiamo applicare l’algoritmo mostrato sulleslide teoriche relative al capitolo 7. Infatti abbiamo che le equazioni cartesianedi V ⊥ si possono ottenere facendo il prodotto scalare tra un generico vettoreX ∈ Rn con i vettori di una base di V e ponendo tali prodotti scalari uguali azero. Quindi nel nostro caso abbiamo:

V ⊥ :

〈X1, X〉 = 0〈X2, X〉 = 0〈X3, X〉 = 0

V ⊥ :

x+ y + z − t = 02x+ 2y = 03x+ y + z + t = 0

Dalle equazioni cartesiane possiamo ricavare una base per V ⊥, che ha dimen-

11

sione pari a 1 e che quindi sarà definito dallo Span di un solo vettore:

V ⊥ :

x = α

x+ y + z − t = 02x+ 2y = 03x+ y + z + t = 0

V ⊥ :

x = α

x+ y + z − t = 0y = −α3x+ y + z + t = 0

V ⊥ :

x = α

α− α+ z − t = 0y = −α3α− α+ z + t = 0

V ⊥ :

x = α

z = t

y = −αt = −α

V ⊥ :

x = α

z = −αy = −αt = −α

Quindi possiamo scrivere:

V ⊥ :

xyzt

= α

1−1−1−1

, α ∈ R,

e una base per V ⊥ è data da:

BV ⊥ =

1−1−1−1

Punto (4)

Determinare per quali valori di a il vettore appartiene a V significa sapere perquali valori di a tale vettore è linearmente dipendente ai vettori che costituiscono

12

una base per V . Ovvero se costruiamo la matrice le cui colonne sono date dalvettore in considerazione e dai vettori di una base di V :

A =

a 1 2 31 1 2 11 1 0 11 −1 0 1

,

dire che il vettore è linearmente dipendente ai vettori di una base di V equivale adire che il determinante della matrice A è nullo. Dobbiamo quindi determinareper quali valori di a il determinante della matrice è nullo:

|A| =

∣∣∣∣∣∣∣∣a 1 2 31 1 2 11 1 0 11 −1 0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣∣∣a− 1 0 0 2

1 1 2 11 1 0 11 −1 0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣= −2

∣∣∣∣∣∣a− 1 0 2

1 1 11 −1 1

∣∣∣∣∣∣

= −2

∣∣∣∣∣∣a− 1 0 2

2 0 21 −1 1

∣∣∣∣∣∣= −2

∣∣∣∣a− 1 22 2

∣∣∣∣= −2 (2a− 2− 4)

= −4a+ 12

Tale determinante è nullo per:

|A| = 0−4a+ 12 = 0

a = 3

13

Quindi possiamo concludere che il vettore

a111

∈ Span (V ) se e solo se a = 3.

14

Esercizio 4 (appello straordinario 23/11/2012, eser-cizio 5)Fissato in R4 il prodotto scalare standard, si considerino il sottospazio U ed ilvettore v:

U =

x1x2x3x4

: x1 + x2 − x3 = 0

, v =

1111

Determinare:

1. dim (U) e una base ortonormale per U ;

2. dim(U⊥) e una base per U⊥;

3. la proiezione ortogonale del vettore v su U⊥;

4. i vettori u ∈ U e w ∈ U⊥ tali che v = u + w.

SoluzionePunto (1)

Per determinare dim (U), tenendo conto che U è un sottospazio di R4 e che èdefinito da un’equazione cartesiana, sfruttuando l’utilissima relazione imparatanel capitolo 2 otteniamo:

dim (U) = dim(R4)− n° equazioni cartesiane di U

= 4− 1= 3

Prima di ottenere una base ortonormale per U , accontentiamoci di ricavare una

15

base qualsiasi riscrivendo U in forma parametrica vettoriale, ovvero:

U : x1 + x2 − x3 = 0

U :

x1 + x2 − x3 = 0x2 = α

x3 = β

x4 = γ

U :

x1 = −α+ β

x2 = α

x3 = β

x4 = γ

U :

x1x2x3x4

= α

−1100

+ β

1010

+ γ

0001

, α, βγ ∈ R,

quindi una base per U è:

BU =

−1100

,

1010

,

0001

= {X1, X2, X3}

Possiamo quindi ricavare una base ortogonale a partire da BU utilizzando l’al-

16

goritmo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt:

Y1 = X1;

Y2 = X2 −〈X2, Y1〉〈Y1, Y1〉

Y1

=

1010

− −12

−1100

=

1010

+

−1/21/200

=

1/21/210

;

Y3 = X3 −〈X3, Y2〉〈Y2, Y2〉

Y2 −〈X3, Y1〉〈Y1, Y1〉

Y1

=

0001

− 032

1/21/210

− 02

−1100

=

0001

;

Ne consegue che una base ortogonale per U è data dai vettori:

B⊥U =

−1100

,

1/21/210

,

0001

= {Y1, Y2, Y3}

Si vede ad occhio che facendo il prodotto scalare tra ciascun vettore della basetrovata e gli altri vettori della base, il risultato è sempre uguale a zero: questoci deve rassicurare sul fatto che i calcoli dovrebbero essere giusti.

17

Quella che abbiamo trovato tuttavia è una base ortogonale per U , ma nonortonormale!Una base ortonormale infatti è costituita da vettori aventi norma unitaria, cioèpari a 1.Per trovare una base ortonormale a partire dalla base ortogonale trovata, bastamoltiplicare ciascun vettore di BU per l’inverso della sua norma. Così facendootteniamo la base:

B⊥UO

=

1√2

−1100

,1

√6

2

1/21/210

,11

0001

=

−1/√

21/√

200

,

√

6/6√6/6√6/30

,

0001

Punto (2)

Per quanto riguarda la dimensione di U⊥, sappiamo dalla teoria che i due sot-tospazi sono in somma diretta tra loro e che la loro somma genera tutto Rn,cioè:

U ⊕ U⊥ = Rn,

Quindi abbiamo che:dim (U) + dim

(U⊥) = n,

che nel nostro caso equivale a dire:

3 + dim(U⊥) = 4,

e quindi:dim

(U⊥) = 4− 3 = 1

Per trovare una base per U⊥, dobbiamo applicare l’algoritmo mostrato sulleslide di teoria relative al capitolo 7. Infatti abbiamo che le equazioni cartesianedi U⊥ si possono ottenere facendo il prodotto scalare tra un generico vettoreX ∈ Rn con i vettori di una base di U e ponendo tali prodotti scalari uguali a

18

zero. Quindi nel nostro caso abbiamo:

U⊥ :

〈X1, X〉 = 0〈X2, X〉 = 0〈X3, X〉 = 0

U⊥ :

y − x = 0x+ z = 0t = 0

Dalle equazioni cartesiane possiamo ricavare una base per U⊥, che ha dimen-sione pari a 1 e che quindi sarà definito dallo Span di un solo vettore:

U⊥ :

x = α

y = α

z = −αt = 0

U⊥ :

x = α

y = α

z = −αt = 0

Quindi possiamo scrivere:

U⊥ :

xyzt

= α

11−10

, α ∈ R,

e una base per U⊥ è data da:

BU⊥ =

11−10

Punto (3)

I sottospazi U e U⊥ sono in somma diretta; pertanto l’unione di due loro basisono una base per R4, una base che per di più è ortogonale, in quanto BU⊥ ècostituita da un solo vettore che, per la definizione di U⊥, è ortogonale a tuttii vettori di U , e quindi anche ai vettori della base B⊥

U .Pertanto, otteniamo dapprima una base ortogonale per R4 unendo le basi B⊥

U e

19

BU⊥ (mi rendo conto ora che forse avrei dovuto usare un poco più di fantasianel dare il nome alle basi...):

B⊥R4 =

−1100

,

1/21/210

,

0001

,

11−10

= {Y1, Y2, Y3, Y4}

Possiamo quindi determinare la proiezione ortogonale del vettore v su U⊥ cal-colandone il coefficiente di Fourier relativo all’ultimo vettore della base (che èappunto il vettore che costituisce BU⊥). Infatti la proiezione ortogonale di v suU⊥ è data dal vettore:

pU⊥ = 〈v, Y4〉〈Y4, Y4〉

Y4,

E’ possibile sfruttare i coefficienti di Fourier in quanto B⊥R4 è una base ortogonale.

In realtà non era necessario ottenere una base ortogonale per tutto R4 perottenere la proiezione di v sul solo sottospazio U⊥: tuttavia, allo scopo dirichiamare alla memoria i coefficienti di Fourier e il loro utilizzo, ho procedutoin tale modo. In ogni caso bastava avere sotto mano una base ortogonale perU⊥, ed essendo la base da noi trovata per U⊥ formata da un solo vettore, questaera già ortogonale...Procedendo quindi con i calcoli otteniamo:

pU⊥ = 13Y4,

=

1/31/3−1/3

0

Punto (4)

Nel punto precedente abbiamo ricavato la proiezione di v su U⊥. Dalla teoriasappiamo che ciascun vettore v ∈ Rn può essere decomposto come la somma didue vettori, uno appartenente a U e l’altro a U⊥: sono appunto i due vettori ue w che cerchiamo.In particolare a noi interessa determinare solamente il vettore u, in quanto giàpossediamo il vettore w: questo è uguale infatti al vettore pU⊥ calcolato nelpunto precedente.Quindi, dalla scrittura:

v = u + w,

20

possiamo semplicemente ricavare:

u = v −w

= v − pU⊥

=

1111

−

1/31/3−1/3

0

=

2/32/34/31

Quindi possiamo scrivere che:

1111

=

2/32/34/31

+

1/31/3−1/3

0

.

21