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Didattica della Matematica per il triennioGeometria sintetica e geometria analitica

anno acc. 2012/2013

Univ. degli Studi di Milano

Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica per il triennio 1 / 26

Piano di Lavoro (parte comune alle classi A049 e A047)

21/2 Introduzione e motivazioni

14/2 Laboratorio Coniche con Geogebra

11/4 Classificazione delle coniche o Laboratorio

02/5 Sezioni coniche


Visione analitica, sintetica, . . . , trasversale

index

1 Visione analitica, sintetica, . . . , trasversale

2 Il capitolo "Coniche": un’opportunità



Visione frammentaria

Difficoltà a riconoscere il carattere unitario del sapere (matematico o ingenerale scientifico)

Difficoltà a riconoscere connessioni tra i diversi rami pur strettamentecollegati

Difficoltà a riconoscere uno stesso oggetto se trattato da punti di vistadiversi

Difficoltà ad elaborare strategie: tendenza alla ripetitività nellarisoluzione dei problemi



Tendenza a vedere i diversi rami delle disciplina come separati: una cosa èl’Algebra ed un’altra è la Geometria, e un’altra ancora è l’Analisi

In particolare la Geometria viene vissuta come disciplina a parte (nonintegrata con il resto della matematica): «oggi facciamo geometria, domanimatematica».

Ma non solo: anche all’interno della stessa disciplina i diversi segmenti sonovissuti come separati.

In parte ciò dipende dal diverso taglio con cui lo studio viene affrontato aseconda del segmento scolastico.



Approfittare di qualche occasione per mettere in evidenza come, senza unavisione unitaria non si può cogliere il vero significato di un concetto, ovvero,senza guardare lo stesso oggetto da più parti non se capisce la vera essenza.

Proporre lo stesso problema con diverse strategie risolutive: non c’è un solometodo, e nemmeno un metodo che sia sempre migliore degli altri.

Importante che acquisiscano mentalità critica rispetto alle scelte da fare.

La scelta dipende dal contesto, oltre che dal gusto personale.

In alcuni casi senza usare insieme strategie diverse non si arriva al risultato (oci si arriva con molta più fatica).

Mettere in luce con esempi il vantaggio e pericolo di alcuni metodi(tipicamente, ad esempio, del metodo analitico): si arriva al risultato senza lanecessità di averlo previsto, sembra che non sia necessario pensare.



La geometria si presta bene a questo scopo: è una disciplina per sua essenzatrasversale: chi studia Geometria (in qualsiasi settore) usa strumenti diAlgebra, Algebra lineare, Analisi reale, Analisi complessa, Topologia,Topologia Algebrica, Logica, Combinatorica, Teoria dei grafi ....

L’esempio più chiaro di ciò, a livello di studenti di scuola superiore, è fornitodallo studio delle coniche.


Il capitolo "Coniche": un’opportunità

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1 Visione analitica, sintetica, . . . , trasversale

2 Il capitolo "Coniche": un’opportunità




Coniche come luoghi geometrici

Coniche come curve algebriche di secondo grado

Coniche come forme quadratiche

Coniche come sezioni di un cono

Coniche come proiezioni di una circonferenza

Coniche come trasformate di altre coniche



e inoltre:

Coniche nella Storia

Coniche e Fisica

Coniche e Macchine (tracciatori)



Nei testi quasi sempre:

definizione della conica come luogo geometrico

scelta del sistema di riferimento

equazione del luogo

considerazioni di carattere geometrico che si possono dedurre dall’equazione

esercizi di tipo (quasi unicamente) analitico



Le proprietà disimmetria di unafigura definitacome luogogeometrico,possono essereosservatedirettamente, senzaricorrere alla suaequazione



Così si acquista maggiore consapevolezza dell’effetto della scelta del sistemadi riferimento sull’equazione del luogo.



In alcuni casi glienunciati, dal punto divista sintetico, sono piùevidenti e significativi.

Il luogo dei punti medidelle corde di unacirconferenza passantiper un punto è unacirconferenza



Anche per determinare le equazioni, ad esempio, delle rette tangenti a unaconica, può essere più semplice non utilizzare solo la geometria analitica.Nel caso delle circonferenze



Ad esempio, per la parabola

proprietà focale della parabola



In altri casi è bene aver presente le proprietà di invarianza rispetto alletrasformazioni: "di quale Geometria stiamo parlando?"

Ad esempio, se il problema riguarda lunghezze e aree, bisogna chiedersi:l’unità di misura è fissata dal contesto, o possiamo sceglierla noi?

Stiamo affrontando un problema di Geometria Euclidea o di GeometriaEuclidea Simile?

Dobbiamo calcolare effettivamente delle lunghezze, o dobbiamo solorapportarle fra loro?



I triangoli delimitati da una tangente all’iperbole e dagli asintoti hanno tutti lestessa area.



In questo caso si tratta di confrontare tra loro delle aree. Sicuramentepossiamo (per lo meno) lavorare a meno di similitudini, ma anche a meno diaffinità. Le affinità infatti (non conservano le aree, ma) conservano i rapportitra le aree. È un enunciato di Geometria Affine: possiamo ridurci al caso di uniperbole equilatero.



Trovare il triangolo di area massima tra quelli inscritti nell’ellisse e di verticeP



Anche in questo caso: le affinità conservano i rapporti tra le aree. Se l’area èmassima prima della trasformazione, resta massima dopo la trasformazione. Èun problema di Geometria Affine: possiamo ridurci a studiarlo nel caso di unacirconferenza.



Si trasforma l’ellisse con una affinità in una circonferenza. Nel caso dellacirconferenza la soluzione si trova in modo molto più semplice: è il triangoloequilatero. Con l’affinità inversa si trova la soluzione al problema originale.



TEOREMA DIPASCAL - Unesagono pianoABCDEF èinscritto in unaconica se e solo sele coppie di latiapposti AB − DE,BC − EF eCD − FA siintersecano in trepunti allineati.



Il teorema di Pascal coinvolge solo proprietà e concetti invarianti perproiettività. È un enunciato di Geometria Proiettiva.



Fatto: Per un esagono inscritto in una circonferenza: se due coppie di latisono paralleli, anche la terza coppia è fatta da lati paralleli.

Per dimostrarlo si può utilizzare il seguente criterio: due rette che tagliano unacirconferenza rispettivamente nei punti U,V e Z,W sono parallele se e solo sel’arco UWZ è congruente all’arco VZW.



Con una proiettività si manda la retta LM (che per semplicità supponiamoesterna alla conica) all’infinito e poi si riduce la conica in forma canonica(affine), cioè in una circonferenza.Allora anche N va all’infinito, quindi è allineato con L e M.


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