Formulario di Analisi Matematica

8/19/2019 Formulario di Analisi Matematica

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Prodotti notevoli

(a+ b)2=a2+2ab+b

2

( a+b)3=a3+3ab

2+3a2

b+b3

(a+ b+ c)

2

=a

2

+b

2

+c

2

+2ab+2ac+2bc(a+b)(a−b)=a

2−b2

(a3+ b

3)=( a+b)( a2−ab+b

2)

( a3−b

3)=( a−b)(a2+ab+b

2)

(a+b)n=∑k =0

n (n

k )an−k

bk

dove (n

k )= n !

k ! (n−k )!

Limiti notevoli

Ordine degli infiniti: log( x)≪ x≪ xa≪b

x≪ x !≪ x x (a>1,b>1)

Forme indeterminate: ∞−∞ , ∞∞ , 0

0, ∞0

, 1∞

Condizioni di Esistenza

a( x)b( x)

b( x )≠0

n√ a( x) (n pari) a ( x )⩾0

log (a( x)) a ( x )>0

a ( x )b( x)a( x )>0

tan (a ( x )) a( x)≠ π2+k π

arcsin (a( x )) ,arccos(a ( x )) ∣a( x )∣⩽1

(1+ax )1/ x →ea

log(1+ax )

x →a

sinax

b →

a

b

Criteri per lo studio di limiti di successioni

• Confronto:an⩽bn⩽cn , an→ l , cn→ l

allora bn→ l

• Radice:n√ an ∼ an

• Rapporto:

an +1

an

∼ an

Formula di Stirling

n !∼nn

e−n √ 2π n



Derivate

Derivate fondamentali

Regole di derivazione D [af ( x )+bg ( x)]=af ' ( x )+bg ' ( x )

D [ f ( x )⋅ g ( x)]= f ' ( x)⋅ g ( x )+ f ( x)⋅ g ' ( x)

D [ f ( x ) g ( x ) ]= f ' ( x )⋅ g ( x)− f ( x)⋅ g ' ( x)

g 2( x)

D

[ f ( x )

g ( x ) ]=

f ' ( x )⋅ g ( x)− f ( x)⋅ g ' ( x)

g 2

( x)

D [ f ( g ( x)) ]= f ' ( g ( x ))⋅ g ' ( x) (chain rule)

D∣ f ( x)∣= f ' ( x) sgn( f ( x))

D [ f −1( y)]= 1

f ' ( x ) con y= f ( x) → x= f

−1( y )

Nota: f ( x )=o ( x )⇒ f ( x)è derivabile



Formula di Taylor con resto di Peano ! ! → "#

f ( x )= f ( x0)+ f ' ( x0)

1! ( x− x0)+

f ' ' ( x0)

2 ! ( x− x0)+

f ' ' ' ( x0)

3 ! ( x− x0)+ ...+o (( x− x0)

n)

Sviluppi di $cLaurin !→

"#

(1+ x )a=1+ax+a (a−1)

2 ! x2+

a (a−1)(a−2 )3 !

x3+o( x3 )

(1+ x )−1=1− x + x2− x

3+ x4+o ( x

4 )(1+ x )−2=1−2x+3x

2−4x3+5x4+o( x4 )

(1+ x )1/2=1+1

2 x−

1

8 x 2+

1

16 x3+o ( x3)

(1+ x )−1/2=1−1

2 x +

3

8 x 2−

5

16 x3+ o( x3 )

(1+ x )1/3

=1+1

3 x−1

9 x2

+ 5

81 x3

+o( x3

)

(1+ x )−1/3=1−1

3 x +

2

9 x 2−

14

81 x3+o ( x3 )

e x=1+ x+ 1

2 ! x2+

1

3! x3+

1

4 ! x 4+

1

5! x5+o ( x5)

a x=1+ x loga+ 1

2 ! x 2 log2 a+

1

3! x3 log3a+

1

4! x4 log4a

1

5! x5 log5a+ o( x5 )

log(1+ x )= x−1

2 x2+

1

3 x 3−

1

4 x 4+

1

5 x5+ o( x5 )

sin( x )= x − 1

3 ! x 3+

1

5 ! x 5−

1

7! x7+o ( x8)

cos( x )=1− 1

2 ! x 2+

1

4! x4−

1

6 ! x 6+o( x7)

tan ( x )= x+1

3 x 3+

2

15 x5+

17

315 x7+o ( x8)

cotan( x )=1

x−

1

3 x−

1

45 x3−

2

945 x5+o ( x6 )

arcsin ( x )= x +1

6 x3+

3

40 x5+

5

112 x7+o ( x8 )

arctan ( x )= x−1

3 x3+

1

5 x 5−

1

7 x 7+o ( x8)

sinh( x )= x + 1

3! x3+

1

5! x5+

1

7! x7+o ( x8)

cosh ( x )=1+ 1

2 ! x 2+

1

4! x4+

1

6 ! x6+o( x7 )

tanh ( x )= x−1

3 x3+

2

15 x5−

17

315 x7+o( x8)

arccos( x )=π

2−arcsin ( x )

arctan ( 1 x )=arccotan( x )=π

2−arcsin ( x ) per ! % "#

Primi valori del fattoriale

n n!

0 1

1 1

2 23 6

2

120

6 "20" 00



&ntegrali indefiniti immediati

&ntegrali 'uasi immediati da funzione composta#

Regole di integrazione indefinita

Linearit(

∫ af ( x )dx=a∫ f ( x)dx

∫ [ f ( x)+ g ( x)] dx=∫ f ( x )dx+∫ g ( x )dx

&ntegrazione per parti

∫ f ( x) g ' ( x)= f ( x ) g ( x )−∫ f ' ( x) g ( x)dx

(f # detto fattore finito$ g% # detto fattore differen&iale)

&ntegrazione per sostituzione

∫ f ( x)dx=∫ f ( g ( y))dy dove x= g ( y) → dx= g ' ( y)dy



$etodi di antiderivazione&ntegrazione di funzioni razionali fratte

1' numeratore derivata del denominatore integro con il logaritmo→

2' grado del numeratore maggiore del grado del denominatore pe&&o la fra&ione→ in k + A( x ) B( x)

3' denominatore di primo grado diviione tra polinomi:→ A( x) : B( x)=Q ( x )+ R ( x) B ( x )

' denominatore di econdo grado

1' Δ 0 decompoi&ione in fratti emplici→ (nota che ax2+bx+c=a( x− x1)( x− x2) ):

A( x) : B( x)= A

B1( x)+

B

B2( x ) dove B( x)= B1( x )+ B2( x)

2' Δ * 0 +uadrato di un ,inomio$ agico in maniera analoga (vale anche per poten&e uperiori):→

A( x) : B( x)= A

B1( x)+

B

B1

2( x ) dove B( x)= B1( x )

3' Δ

- 01' il grado del numeratore # 0 cercare di riconduri a→

∫ f ' ( x)

k 2+[ f ( x)]2

dx= 1

k 2 arctan

f ( x )k +c

2' il grado del denominatore # divero da 0 cercare di riconduri a→

r ∫ 2ax+b

ax2+bx+c

dx+ s∫ 1

ax2+bx+c

dx

' grado del denominatore 2 comporre$ comporre$ comporre→

Razionalizzazioni per sostituzione

Numeri complessi z = x+iy=( x , y)

̄z = x−iy

z −1=

x−iy

x2+ y

2= ̄ z

∣ x2∣

( x , y)+( z , t )=( x+ z , y+t )( x , y )( z , t )=([ xz − yt ] ,[ xz + yt ])

z = x+ iy=ρ(cos ϕ+isinϕ)

ρ=∣ z ∣=√ x2+ y

2

ϕ=arctan y

x( x⩾0) ,

ϕ=arctan y x +π( x<0)

z =ρ(cosϕ+isin ϕ)=ei ϕ

(cos ϕ+ isin ϕ)

n

=cos (n ϕ+isin (n ϕ))

Formula di .ulero

Formula di /e oivre



&ntegrazione definita secondo Riemann

Propriet( dell)integrale definito

∫a

b

af ( x)dx=a∫a

b

f ( x ) dx

∫a

b

[ f ( x)+ g ( x )] dx=∫a

b

f ( x) dx +∫a

b

g ( x) dx

∫a

b

[ f ( x)+ g ( x )] dx=∫a

c

f ( x) dx +∫c

b

g ( x) dx (c compreo fra a e ,)

∣∫a

b

f ( x)dx∣⩽∫a

b

∣ f ( x)∣dx

∫a

b

f ( x)dx=−∫b

a

f ( x)dx

∫a

b

f ( x) dx=λ(b−a) $ inf x∈[a ,b ] f ( x )⩽λ⩽ su p x∈[ a , b] f ( x ) (eorema della media integrale)

f ( x )⩽ g ( x)→∫a

b

f ( x) dx⩽∫b

a

g ( x ) dx

&ntegrali impropri

Criteri di convergenza

• Condi&ione necearia: f ( x )⃗ x →+∞ l , l ≠0⇒∫a

+∞ f ( x ) diverge (e non eite il limite non ho

informa&ioni)

• Criterio del confronto: e 0⩽ f ( x )⩽c⋅ g ( x) l%integra,ilit di g implica +uella di f e la divergen&a di f

implica +uella di g

• Criterio dell%aintotico: f ( x )~ g ( x)⇒∫a

+∞ f ( x)⃗ euivalente∫a

+∞ g ( x)

• Criterio di convergen&a aoluta: ∫a

b

∣ f ( x)∣converge⇒∫a

b

f ( x )converge

•

∫

+∞

f ( x)dx⩽∑ "=

+∞

f ( " )⩽∫

+∞

f ( x)dx+ f ( ) e f monotona non crecente e poitiva$ n∈

• ∫

+∞ f ( x)dx⃗

euivalente∑ "=

+∞ f ( " ) e f definitivamente decrecente$ n∈

&ntegrali impropri notevoli

∫a

+∞ dx

x p

converge per p>1a (− 1

1− p ) * ∫0

b dx

x p

converge per p<1 a 1

1− p

∫0

b dx

x plog

x

converge per p<1 ! e per p=1,>1 $

∫a

+∞ dx

x p log x converge per p>1 ! e per p=1,>1

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