Formulario di Analisi Matematica 1 di Analisi Matematica 1 Indice degli argomenti Punti interni,...

Formulario di Analisi Matematica 1

Indice degli argomenti

Punti interni, isolati, di accumulazione e di frontiera

Alcune costanti

Proprietà delle potenze

Proprietà degli esponenziali

Proprietà dei logaritmi

Proprietà del valore assoluto

Progressioni

Trigonometria

Disequazioni

Numeri complessi

Limiti

Derivate

Rolle, Cauchy, Lagrange e de l'Hôpital

Max e min per funzioni di 1 variabile

Integrali

Funzione inversa e retta tangente al grafico di funzione

Serie numeriche

www.webtutordimatematica.it1

http://www.webtutordimatematica.it/formulari/formulario-di-trigonometria

Punti interni, di frontiera, di accumulazione, isolati

Dato un insieme e

è PUNTO INTERNO a se e solo se ogni intorno del punto è tutto contenutoin .

è PUNTO DI FRONTIERA a se e solo se in ogni intorno del punto cadono siapunti appartenenti a sia punti non appartenenti a .

è PUNTO DI ACCUMULAZIONE per se e solo se ogni intorno del punto contiene almeno un punto di diverso da .

è PUNTO ISOLATO per se non è di accumulazione.

Inoltre, si definiscono i seguenti insiemi:

INTERNO di , è l'insieme dei punti interni ad .

FRONTIERA di , è l'insieme dei punti di frontiera di .

DERIVATO di , è l'insieme dei punti di accumulazione per .

CHIUSURA di , .

Un insieme si dice APERTO .

Un insieme si dice CHIUSO .

Vale sempre la seguente relazione:

X ⊆ R ∈ Rx0

x0 X x0X

x0 X x0X X

x0 X x0X x0

x0 X

X X∘

X

X FX X

X DX X

X = X ∪ FX = X ∪ DXX¯ ¯¯̄

⇔ X = X∘

⇔ X = ⇔ FX ⊆ X ⇔ DX ⊆ XX¯ ¯¯̄

⊆ X ⊆X∘

X¯ ¯¯̄


Alcune costanti fondamentali

e = 2, 7182818285 …π = 3, 1415926536 …


Proprietà delle potenze ad esponente reale

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

(x, y ∈ )R+

= 1, ∀x ∈ R ∖ {0}; = 1, ∀α ∈ R;x0 1α

⋅ = , ∀α, β ∈ R;xα xβ xα+β

⋅ = (xy , ∀α ∈ R;xα yα )α

= , ∀α, β ∈ R;xα

xβxα−β

= ( = ( , ∀α ∈ R;xα

yαxy

)α y

x)−α

( = , ∀α, β ∈ R;xα)β xαβ

= , ∀n ∈ N, ∀x ∈ ;x1n x√n R+

0

= = ( , ∀n, m ∈ N, ∀x ∈ ;xm

n xm−−−√n x√n )m R+0

( , ∈ , , ≠ 1)+www.webtutordimatematica.it4

Proprietà degli esponenziali

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

(a, b ∈ , a, b ≠ 1)R+

= 1; = a;a0 a1

> 0, ∀x ∈ R; { , ∀x ∈ ;ax ax < 1,> 1,

se a < 1se a > 1

R+

⋅ = (a , ∀x ∈ R;ax ay )x+y

⋅ = (ab , ∀x ∈ R;ax bx )x

= , ∀x, y ∈ R;ax

ay ax−y

= ( , ∀x ∈ R;ax

bxab)x

= = ( , ∀x ∈ R;a−x 1ax

1a

)x

( = , ∀x, y ∈ R;ax)y axy

se x < y ⇒ { ;ax < ,ay

> ,ay

se a > 1se a < 1

a ≤ b ⇒ ≤ , ∀x ∈ ;ax bb R+

( , , , ∈ , , ≠ 1)+www.webtutordimatematica.it5

Proprietà dei logaritmi

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

(x, y, a, b ∈ , a, b ≠ 1)R+

= x;a xloga

( ) = x;loga ax

1 = 0;loga

xy = x + y;loga loga loga

( ) = x − y;logaxy

loga loga

( ) = α ⋅ x, ∀α ∈ R;loga xα loga

x = = − x, x ≠ 1;loga1

alogxlog 1

a

x = ;logb

xloga

bloga


Proprietà del modulo o valore assoluto

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

|f(x)| = { f(x),−f(x),

se f(x) ≥ 0se f(x) < 0

|x| ≥ 0, ∀x ∈ R;

|x| = 0 ⇔ x = 0;

| − x| = |x|, ∀x ∈ R;

|x| = , ∀x ∈ R;x2−−√

|x ⋅ y| = |x| ⋅ |y|, ∀x, y ∈ R;

= , ∀x, y ∈ R, y ≠ 0;∣∣xy

∣∣|x|

|y|

|x + y| ≤ |x| + |y|, ∀x, y ∈ R;

||x| − |y|| ≤ |x − y|, ∀x, y ∈ R;


Progressioni

1. PROGRESSIONE ARITMETICA:

2. PROGRESSIONE GEOMETRICA:

k = ;∑k=1

nn(n+1)

2

= , q ≠ 1;∑k=0

n

qk 1−q n+1

1−q


Trigonometria

Per le formule di trigonometria clicca QUI.


http://www.webtutordimatematica.it/formulari/formulario-di-trigonometria

Disequazioni

Disequazioni razionali di secondo grado

Sia l'equazione associata alla disequazione di secondogrado e siano e le eventuali radici di tale equazione con . La soluzionedella disequazione dipenderà dal suo verso e dal segno del :

Disequazioni fratte

1. Caso :

si trovano le soluzioni di (1) e (2), per poi fare il prodotto dei segnitra (1) e (2) prendendo la parte .

2. Caso :


3. Caso :


4. Caso :


Disequazioni irrazionali

1. Caso (o ):

si risolvono i sistemi e si fa l'unione delle rispettive soluzioni trovate:

a + bx + c = 0, a > 0x2

x1 x2 <x1 x2Δ

Δ > ≥ < ≤

Δ > 0 x < ∨ x >x1 x2 x ≤ ∨ x ≥x1 x2 < x <x1 x2 ≤ x ≤x1 x2

Δ < 0 ∀x ∈ R ∀x ∈ R ∃x̸ ∈ R ∃x̸ ∈ RΔ = 0 x ≠ x1 ∀x ∈ R ∃x̸ ∈ R x = x1

> 0AB

A > 0 B > 0 > 0

≥ 0AB

A ≥ 0 B > 0 > 0

< 0AB

A > 0 B > 0 < 0

≤ 0AB

A ≥ 0 B > 0 < 0

> BA√ ≥

⎧⎪ A ≥ 0 www.webtutordimatematica.it10

2. Caso (o ):

si trovano le soluzioni dell'unico sistema:

Disequazioni con valore assoluto

1. Caso non costante e (oppure , , ):

si risolvono i sistemi e si fa l'unione delle rispettive soluzioni trovate:

2. Caso costante e (o ):

le soluzioni sono (oppure )

3. Caso costante e (o ):

le soluzioni sono (oppure

∨ {⎧⎩⎨⎪⎪

A ≥ 0B ≥ 0A > B2

A ≥ 0B < 0

< BA√ ≤

⎧⎩⎨⎪⎪

A ≥ 0B ≥ 0A > B2

B |A| > B ≥ < ≤

{ ∨ {A ≥ 0A > B

A < 0−A > B

B |A| > B ≥

A < −B ∨ A > B A ≤ −B ∨ A ≥ B

B |A| < B ≤

−B < A < B −B ≤ A ≤ B)


Numeri complessi

Forma algebrica

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

Forma trigonometrica

dove

se allora:

1.

z = x + iy, ∀x, y ∈ R; = x + iy, |z| = , ∀z ∈ Cz̄̄̄ +x2 y2− −−−−−√

= ± , ∀z, w ∈ C;(z ± w)¯ ¯¯̄¯̄¯̄¯̄¯̄¯̄¯̄z̄̄̄ w̄̄̄̄

= ⋅ , ∀z, w ∈ C;(zw)¯ ¯¯̄¯̄¯̄¯̄z̄̄̄ w̄̄̄̄

= / , ∀z, w ∈ C;(z/w)¯ ¯¯̄¯̄¯̄¯̄ ¯̄z̄̄̄ w̄̄̄̄

z ⋅ = |z , ∀z ∈ C;z̄̄̄ |2

|z| ≥ 0, ∀z ∈ C;

|z| = 0 ⇔ z = 0;

|z| = | |, ∀z ∈ C;z̄̄̄

|z ⋅ w| = |z| ⋅ |w|, ∀z, w ∈ C;

|z/w| = |z|/|w|, ∀z, w ∈ C, w ≠ 0;

|Re(z)| ≤ |z|, |Im(z)| ≤ |z|, |z| ≤ |Re(z)| + |Im(z)|, ∀z ∈ C;

|z + w| ≤ |z| + |w|, ∀z, w ∈ C;

||z| − |w|| ≤ |z + w|, ∀z, w ∈ C;

z = ρ(cos θ + i sin θ), ρ ∈ , θ ∈ [0, 2π) ,R+

ρ = , cos θ = , sin θ =+x2 y2− −−−−−√ x

+x2 y2√y

+x2 y2√

w = η(cos ϕ + i sin ϕ), η ∈ , ϕ ∈ [0, 2π)R+

zw = ρη [cos(θ + ϕ) + i sin(θ + ϕ)] ;


2.

3.

4.

Forma esponenziale

se allora:

1.

2.

3.

4.

= [cos(θ − ϕ) + i sin(θ − ϕ)] ;zw

ρ

η

= [cos(nθ) + i sin(nθ)] , " Formula di Moivre ";zn ρn

= [cos ( ) + i sin ( )] , k = 0, 1, 2, … , (n − 1);z√n ρ√n θ+2kπn

θ+2kπn

z = ρ , ρ ∈ , θ ∈ [0, 2π) .eiθ R+

w = η , η ∈ , ϕ ∈ [0, 2π)eiϕ R+

zw = ρη ;ei(θ+ϕ)

= ;zw

ρ

ηei(θ−ϕ)

= ;zn ρnei(nθ)

= , k = 0, 1, 2, … , (n − 1);z√n ρ√n ei(θ+2kπ)

n


Limiti

Forme indeterminate

N.B.: non sono forme indeterminate!

Limiti notevoli di successioni

Scala di infiniti/infinitesimi

Forma semplice Forma generale

/

/

/

/

/

/

/

/

/

0 ⋅ ∞, , , ∞ − ∞, , ,00

∞∞

1∞ 00 ∞0

, ,0∞ 0∞

∞0

, n!, (a > 1), (b > 0), log nnn an nb

=limn→+∞

nb⎧⎩⎨

+∞10

se b > 0se b = 0se b < 0

=limn→+∞

an

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪

+∞10∃ ̸

se a > 1se a = 1se − 1 < a < 1se a ≤ 1

= 1 ∀a > 0limn→+∞

a√n

= 1 ∀b ∈ Rlimn→+∞

nb−−√n

= 0 ∀b > 0limn→+∞

log n

nb

= 0 ∀a > 1, ∀b > 0limn→+∞

nb

an

= 0 ∀a > 1limn→+∞

an

n!

= 0limn→+∞

n!nn

= 1limn→+∞

n nlog2− −−−−−√n

= elimn→+∞

(1 + )1n

n= elim

→+∞an

(1 + )1an

an

= 1limn→+∞

sin nn = 1 = 1lim

→+∞an

sin an

an

{ {www.webtutordimatematica.it14

Limiti notevoli di funzioni

Siano e due polinomi di grado e rispettivamente, ovvero del tipo:

Allora si ha:

Forma semplice Forma generale

n = {limn→+∞

loga−∞+∞

se 0 < a < 1se a > 1

= {lim→+∞an

loga an−∞+∞

se 0 < a < 1se a > 1

A(x) B(x) n m

A(x)B(x)

==

+ + ⋯ + x +anxn an−1xn−1 a1 a0

+ + ⋯ + x +bmxm bm−1xm−1 b1 b0

=limx→∞

P(x)Q(x)

⎧⎩⎨⎪⎪

∞0an

bm

se n > m

se n < m

se n = m

= 0, ∀k ∈ Rlimx→∞

kx

= 0, ∀k ∈ Rlimf(x)→∞

k

f(x)

= ∞, ∀k ∈ R − {0}limx→0

kx

= ∞, ∀k ∈ R − {0}limf(x)→0

k

f(x)

=limx→+∞

ax

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪

+∞10∃ ̸

se a > 1se a = 1se − 1 < a < 1se a ≤ 1

=limf(x)→+∞

af(x)

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪

+∞10∃ ̸

se a > 1se a = 1se − 1 < a < 1se a ≤ 1

=limx→−∞

ax

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪

01+∞∃ ̸

se a > 1se a = 1se − 1 < a < 1se a ≤ 1

=limf(x)→−∞

af(x)

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪

01+∞∃ ̸

se a > 1se a = 1se − 1 < a < 1se a ≤ 1

x = {limx→0+

loga+∞−∞

se 0 < a < 1se a > 1

f(x) = {limf(x)→0+

loga+∞−∞

se 0 < a < 1se a > 1

x = {limx→+∞

loga−∞+∞

se 0 < a < 1se a > 1

f(x) = {limf(x)→+∞

loga−∞+∞

se 0 < a < 1se a > 1

= elimx→∞

(1 + )1x

x= elim

f(x)→∞(1 + )1

f(x)

f(x)

= 1limx→∞

x1x = 1lim

f(x)→∞[f(x)]

1f(x)

(1 + x = elimx→0

)1x = elim

f(x)→0[1 + f(x)]

1f(x)

ln(1+x) ln[1+f(x)] www.webtutordimatematica.it15

= 1limx→0

ln(1+x)x

= 1limf(x)→0

ln[1+f(x)]

f(x)

= e ∀a > 0, a ≠ 1limx→0

(1+x)loga

xloga

= e ∀a > 0, a ≠ 1limf(x)→0

[1+f(x)]loga

f(x)loga

= 1limx→0

−1ex

x= 1lim

f(x)→0

−1ef(x)

f(x)

= ln α ∀α > 0limx→0

−1αx

x= ln α ∀α > 0lim

f(x)→0

−1αf(x)

f(x)

= α ∀α ∈ Rlimx→0

(1+x −1)α

x= α ∀α ∈ Rlim

f(x)→0

−1[1+f(x)]α

f(x)

x = 0 ∀α > 0, a > 1limx→0+

xα loga f(x) = 0 ∀α > 0, a > 1limf(x)→0+

[f(x)]α loga

= 1limx→0

sin xx

= 1limf(x)→0

sin f(x)

f(x)

=limx→0

1−cos x

x212 =lim

f(x)→0

1−cos f(x)

[f(x)]212

= 0limx→0

1−cos xx

= 0limf(x)→0

1−cos f(x)

f(x)

= 1limx→0

tan xx

= 1limf(x)→0

tan f(x)

f(x)

= 1limx→0

arcsin xx

= 1limf(x)→0

arcsin f(x)

f(x)

= 1limx→0

arctan xx

= 1limf(x)→0

arctan f(x)

f(x)

= 1limx→0

sinh xx

= 1limf(x)→0

sinh f(x)

f(x)

=limx→0

cosh x−1x2

12 =lim

f(x)→0

cosh f(x)−1

[f(x)]212

= 1limx→0

tanh xx

= 1limf(x)→0

tanh f(x)

f(x)


Derivate

Funzione(forma semplice) Derivata Funzione

(forma generale) Derivata

$

Derivata della funzione composta esponenziale

k, k ∈ R 0

, α ∈ Rxααxα−1 [f(x)]α

α ⋅ (x)[f(x)]α−1f ′

x√ 12 x√ f(x)

− −−−√ ⋅ (x)12 f(x)√

f ′

ex ex ef(x) ⋅ (x)ef(x) f ′

ax ⋅ ln aax af(x) ⋅ ln a ⋅ (x)af(x) f ′

ln x1x

ln f(x) ⋅ (x)1f(x)

f ′

xloga1

x ln af(x)loga

⋅ (x)1f(x) ln a

f ′

sin x cos x sin f(x) cos f(x) ⋅ (x)f ′

cos x − sin x cos f(x) − sin f(x) ⋅ (x)f ′

tan x1

xcos2 tan f(x) (x)f ′

f(x)cos2

cot x − 1xsin2 cot f(x) −

(x)f ′

f(x)sin2

arcsin x1

1−x2√ arcsin f(x) ⋅ (x)1

1−[f(x)]2√ f ′

arccos x − 11−x2√ arccos f(x) − ⋅ (x)1

1−[f(x)]2√ f ′

arctan x1

1+x2 arctan f(x) ⋅ (x)11+[f(x)]2

f ′

arccot x − 11+x2 arccot f(x) − ⋅ (x)1

1+[f(x)]2f ′

sinh x cosh x sinh f(x) cosh f(x) ⋅ (x)f ′

cosh x sinh x cosh f(x) sinh f(x) ⋅ (x)f ′

tanh x1

xcosh2 tanh f(x)(x)f ′

f(x)cosh2

coth x1

xsinh2 coth f(x)(x)f ′

f(x)sinh2

y = [f(x)]g(x)

= [f(x) [ (x) ln f(x) + ]y′ ]g(x) g ′ g(x) (x)f ′

f(x)www.webtutordimatematica.it

17

Teoremi sul calcolo delle derivate

DERIVATA DEL PRODOTTO DI UNA COSTANTE PER UNA FUNZIONE :

DERIVATA DELLA SOMMA DI DUE FUNZIONI e :

DERIVATA DEL PRODOTTO DI DUE FUNZIONI e :

DERIVATA DEL QUOZIENTE DI DUE FUNZIONI e :

k f

D[k ⋅ f(x)] = k ⋅ (x)f ′

f g

D[f(x) + g(x)] = (x) + (x)f ′ g ′

f g

D[f(x) ⋅ g(x)] = (x) ⋅ g(x) + f(x) ⋅ (x)f ′ g ′

f g

D [ ] =f(x)g(x)

(x) ⋅ g(x) − f(x) ⋅ (x)f ′ g ′

[g(x)]2


Max e min relativi e assoluti

TEOREMA DI FERMAT:

Sia , punto di max o min relativo tale che . Si ha:

Sia una funzione continua in e derivabile in un suo intorno. Allora:

a.

b.

Sia derivabile volte e sia tale che

allora

a. pari e max relativo

b. pari e min relativo

c. dispari e crescente in

d. dispari e decrescente in

Ricerca dei max e min relativi

Se è derivabile nell'interno di allora

1. si risolve l'equazione per determinare i punti critici

2. si applica il teorema 2) o 3) (visti sopra) per decidere se si tratta di max o minrelativi.

Se non è derivabile nell'interno di allora occorre esaminare due tipi di

f : X → R ∈x0 X∘

∃ ( )f ′ x0

( ) = 0f ′ x0

f : X → R x0

} ⇒ max relativo per f(x) > 0 ∀x ∈ ( )f ′ I− x0

(x) < 0 ∀ ∈ ( )f ′ I+ x0x0

} ⇒ min relativo per f(x) < 0 ∀x ∈ ( )f ′ I− x0

(x) > 0 ∀x ∈ ( )f ′ I+ x0x0

f : X → R n x0

( ) = ( ) = ⋯ = ( ) = 0 e ( ) ≠ 0,f ′ x0 f ′′ x0 f (n−1) x0 f (n) x0

n ( ) < 0 ⇒f (n) x0 x0

n ( ) > 0 ⇒f (n) x0 x0

n ( ) > 0 ⇒ ff (n) x0 x0

n ( ) < 0 ⇒ ff (n) x0 x0

f : X → R X

(x) = 0f ′

f : X → R X


punti:

1. punti critici (vedi caso precedente)

2. i punti tali che : in questo caso bisogna verificare se si tratta diminimo o di massimo relativo applicando la definizione.

Ricerca dei max e min assoluti

Confrontare i valori che assume nei punti dei seguenti insiemi:

1.

2.

3.

Scegliere il più grande e il più piccolo per trovare rispettivamente il massimoe il minimo della funzione

∈x0 X∘

∃ ̸ ( )f ′ x0

f : X → R

{x ∈ : (x) = 0}X∘

f ′

{x ∈ : ∃ ̸ (x)}X∘

f ′

{x ∈ FX ∪ X}

M m


Integrali

Integrale(forma semplice) Primitive Integrale

(forma generale) Primitive

Teoremi sul calcolo integrale

INTEGRALE DEL PRODOTTO DI UNA COSTANTE PER UNA FUNZIONE :

∫ 0 dx 0

∫ k dx, k ∈ R kx + c

∫ xα dx, α ∈ R ∖ {−1} xα+1

α+1 + c ∫ [f(x)]α ⋅ f ′(x) dx, α ∈ R ∖ {−1} [f(x)]α+1

α+1

∫ 12√x

dx √x + c ∫ 12√f(x)

⋅ f ′(x) dx √f(x) + c

∫ ex dx ex + c ∫ ef(x) ⋅ f ′(x) dx ef(x) + c

∫ ax dx ax

ln a+ c ∫ af(x) ⋅ f ′(x) dx af(x)

ln a+ c

∫ 1x dx ln |x| + c ∫ 1

f(x)⋅ f ′(x) dx ln |f(x)| + c

∫ cos x dx sin x + c ∫ cos[f(x)] ⋅ f ′(x) dx sin f(x) + c

∫ sin x dx − cos x + c ∫ sin[f(x)] ⋅ f ′(x) dx − cos f(x) + c

∫ 1cos2 x

dx tan x + c ∫f ′(x)

cos2 f(x) dx tan f(x) + c

∫ − 1sin2 x

dx cot x + c ∫ −f ′(x)

sin2 f(x) dx cot f(x) + c

∫ 1√1−x2

dx arcsin x + c ∫ 1√1−[f(x)]2

⋅ f ′(x) dx arcsin f(x) + c

∫ − 1√1−x2

dx arccos x + c ∫ − 1√1−[f(x)]2

⋅ f ′(x) dx arccos f(x) + c

∫ 11+x2 dx arctan x + c ∫ 1

1+[f(x)]2⋅ f ′(x) dx arctan f(x) + c

∫ − 11+x2 dx arccot x + c ∫ − 1

1+[f(x)]2⋅ f ′(x) dx arccot f(x) + c

∫ cosh x dx sinh x + c ∫ cosh[f(x)] ⋅ f ′(x) dx sinh f(x) + c

∫ sinh x dx cosh x + c ∫ sinh[f(x)] ⋅ f ′(x) dx cosh f(x) + c

∫ 1cosh2 x

dx tanh x + c ∫ f ′(x)

cosh2 f(x) dx tanh f(x) + c

∫ 1sinh2 x

dx coth x + c ∫ f ′(x)

sinh2 f(x) dx coth f(x) + c

k f

∫ k ⋅ f(x) dx = k ⋅ ∫ f(x) dx


INTEGRALE DELLA SOMMA DI DUE FUNZIONI e :

METODO DI INTEGRAZIONE PER PARTI:

ESTENSIONE DEL CONCETTO DI INTEGRALE:

PROPRIETA' ADDITIVA DELL'INTEGRALE ( ):

TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE:

Se è continua in , allora, per ogni si ha:

TEOREMA DELLA MEDIA:

Se è continua in , esiste tale che:

Integrali impropri

Se è continua in , si ha:

Se è continua in , si ha:

f g

∫ f(x) + g(x) dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx

∫ f ′(x) ⋅ g(x) dx = f(x) ⋅ g(x) − ∫ f(x) ⋅ g′(x) dx

∫b

a

f(x) dx = − ∫ a

b

f(x) dx

c ∈ [a, b]

∫b

a

f(x) dx = ∫c

a

f(x) dx + ∫b

c

f(x) dx

f(x) : [a, b] → R [a, b] x ∈ [a, b]

F(x) = ∫x

a

f(x) dx ⇒ F ′(x) = f(x)

f(x) : [a, b] → R [a, b] c ∈ [a, b]

∫b

a

f(x) dx = (b − a) ⋅ f(c)

f(x) : (a, b) → R ]a, b]

∫b

a

f(x) dx = limx0→a+

∫b

x0

f(x) dx

f(x) : (a, b) → R [a, b[


Se è continua in con , si ha:

Se è integrabile in , si ha:



Criteri di integrabilità

Se è una funzione continua in e se



∫b

a

f(x) dx = limx0→b−

∫ x0

a

f(x) dx

f(x) : (a, b) → R [a, b] ∖ {c} c ∈]a, b[

∫b

a

f(x) dx = limx0→c−

∫ x0

a

f(x) dx + limx0→c+

∫b

x0

f(x) dx

f(x) : [a, +∞[→ R [a, +∞[

∫ +∞

a

f(x) dx = limx0→+∞

∫ x0

a

f(x) dx

f(x) :] − ∞, b] → R ]−∞, b]

∫b

−∞f(x) dx = lim

x0→−∞∫

b

x0

f(x) dx

f(x) :] − ∞, +∞[→ R ]−∞, +∞[

∫ +∞

−∞f(x) dx = lim

x1→−∞x2→+∞

∫ x2

x1

f(x) dx

f(x) [a, b[

limx→b−

(b − x)pf(x) =

⎧⎪ ⎪ ⎪⎨⎪ ⎪ ⎪⎩0 con p < 1, allora ∫ b

af(x) dx converge

∞ con p ≥ 1, allora ∫ b

af(x) dx diverge

l ∈ R ∖ {0} allora ∫ b

af(x) dx converge se e solo se p < 1

f(x) ]a, b]

limx→a+

(x − a)pf(x) =

⎧⎪ ⎪ ⎪⎨⎪ ⎪ ⎪⎩0 con p < 1, allora ∫ b

af(x) dx converge

∞ con p ≥ 1, allora ∫ b

af(x) dx diverge

l ∈ R ∖ {0} allora ∫ b

af(x) dx converge se e solo se p < 1

f(x) [a, +∞[

limx→+∞

xpf(x) =

⎧⎪ ⎪⎨⎪ ⎪⎩0 con p > 1, allora ∫ +∞

af(x) dx converge

∞ con p ≤ 1, allora ∫ +∞a

f(x) dx divergel ∈ R ∖ {0} allora ∫ +∞

af(x) dx converge se e solo se p > 1


Funzione inversa e retta tangente

Una funzione strettamente monotona (crescente o decrescente) è invertibile.

Se una funzione è invertibile e derivabile in con , allora la suaderivata prima nel punto sarà:

L'equazione della retta tangente al grafico della funzione nel punto è

dove è la derivata della funzione calcolata nel punto .

f(x) x0 = f( )y0 x0

D ( ) =f−1 y01( )f ′ x0

y = f(x) x0

y − f( ) = ( )(x − )x0 f ′ x0 x0

( )f ′ x0 f x = x0


Serie numeriche

Serie a termini non negativi

Condizione necessaria affinchè una serie a termini non negativi converga è che

Criteri per la determinazione del carattere di una serie numerica

CRITERIO DEL RAPPORTO:

CRITERIO DELLA RADICE:

CRITERIO DI RAABE:

CRITERIO DI CONDENSAZIONE DI CAUCHY:

Se è non crescente ( ), la serie è convergente se e solo se lo èanche:

CRITERIO DEL CONFRONTO:

Siano due serie a termini non negativi con , allora:

∑n=1

+∞an

= 0limn→+∞

an

= llimn→+∞

an+1

an

⎧⎩⎨⎪⎪

< 1> 1= 1

la serie convergela serie divergenulla si può dire

= llimn→+∞

an−−√n

⎧⎩⎨⎪⎪

< 1> 1= 1

la serie convergela serie divergenulla si può dire

n ( − 1) = llimn→+∞

an

an+1

⎧⎩⎨⎪⎪

< 1> 1= 1

la serie divergela serie convergenulla si può dire

an ≤ ∀n ∈ Nan+1 an

∑n=0

+∞

2na2n

,∑n=1

+∞an ∑

n=1

+∞bn ≤ ∀n ∈ Nan bn


1. Se è convergente con somma , anche è convergente con somma

.

2. Se è divergente, anche è divergente.

CRITERIO DEL CONFRONTO CON LA SERIE ARMONICA GENERALIZZATA:

La serie armonica generalizzata è data da:

a. Se , allora la serie converge

b. Se , allora la serie diverge

Serie a termini alterni e serie oscillanti

Indichiamo con la somma della serie e con la somma parziale dei primi termini.

TEOREMA DI LEIBENITS:

Se , monotona non crescente ( )

e allora la serie converge ed inoltre .

TEOREMA DELLE SERIE OSCILLANTI:

Se , monotona non decrescente (

) e allora la serie oscilla.

Serie numeriche assolutamente convergenti

∑n=1

+∞bn B ∑

n=1

+∞an

A ≤ B

∑n=1

+∞an ∑

n=1

+∞bn

= {∑n=1

+∞ 1np

+∞< +∞

se p ≤ 1se p > 1

∃ p > 1 : ⋅ < +∞limn→+∞

an np

∃ p ≤ 1 : ⋅ ∈ ]0, +∞]limn→+∞

an np

S Sn n

(−1 , ≥ 0 ∀n ∈ N∑n=1

+∞)nan an an ≤ ∀n ∈ Nan+1 an

= 0limn→+∞

an |S − | ≤Sn an+1

(−1 , ≥ 0 ∀n ∈ N∑n=1

+∞)nan an an

≥ ∀n ∈ Nan+1 an ≠ 0limn→+∞

an

+∞ +∞www.webtutordimatematica.it27

Una serie numerica si dice ASSOLUTAMENTE CONVERGENTE se è

convergente.

Se una serie numerica è assolutamente convergente allora è convergente.

Somma e prodotto di serie

La somma di due serie numeriche

Il prodotto di due serie numeriche

è convergente solo se entrambe le serie sono convergenti e almeno una delle due èassolutamente convergente

Alcune serie numeriche notevoli

SERIE GEOMETRICA DI RAGIONE :

SERIE TELESCOPICA (DI MENGOLI):

∑n=1

+∞an | |∑

n=1

+∞an

+ = ( + ) {∑n=1

+∞

an ∑n=1

+∞

bn ∑n=1

+∞

an bnconverge se entrambi convergonodiverge se almeno una delle due diverge

∗ = ( )∑n=1

+∞

an ∑n=1

+∞

bn ∑n=1

+∞

cn

q

=∑n=1

+∞

qn−1

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪

11−q

+∞∃ ̸

se − 1 < q < 1

se q ≥ 1se q ≤ −1

= 1∑n=1

+∞ 1n(n + 1)


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