Analisi Matematica 1, 2

7/29/2019 Analisi Matematica 1, 2

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Analisi 1+2 Polo di Savona

Analisi Matematica 1+2

Prove dEsame

A.A. 1992/2009

1- PrG.TEX [.TEX]


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Analisi 1+2 Polo di Savona Prima Prova Parziale 91/92

Prima Prova Parziale 91/92

Si consideri la successione definita da

an+1 =a2n + 1

ana0 = 2

Stabilire se an e crescente o decrescente e giustificare brevemente laffermazione.

Stabilire se an ammette limite, in caso affermativo determinarlo ed in caso negativo provare che il limitenon esiste.

Determinare estremo superiore, estremo inferiore, massimo e minimo di an.sup an = infan = max an = min an =

Determinare una formula di ricorrenza per la successione bn = a2n

lllllllllllllllllllllllllll

Si consideri la funzione:

f(x) =x + 1

x2 3x + 2

Determinare il campo di definizione I di f;

Determinare linsieme J in cui f e derivabile;

Disegnare il grafico di f

Stabilire se f e decrescente su ( , 1 6] e su [1 + 6 , +) e giustificare brevementelaffermazione.

Stabilire se f e invertibile su [1 6 , 1) [1 + 6 , 2) e calcolare f1

Dopo aver verificato che f e invertibile su (2 +), detta g linversa, stabilire se g e derivabile e calcolareg(2)

Determinare il rango di f

Calcolare, se esiste, limx0

ex 1 x sin(x)x2

Calcolare, se esiste, ddxxsin(x)

Calcolare, se esiste, ddx tan(arctan(x))

2- PrG.TEX [PrG92.TEX.TEX]


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Analisi 1+2 Polo di Savona Seconda Prova Parziale 91/92

Seconda Prova Parziale 91/92

Si consideri il problema di Cauchy

y(x) = (ln x)(1 + y2(x))y(x0) = y0

Discutere brevemente esistenza ed unicita della soluzione al variare di (x0, y0) R2

Stabilire crescenza e decrescenza della soluzione al variare di (x0, y0) R2, giustificando brevemente leaffermazioni

Calcolare la soluzione corrispondente ai dati iniziali x0 = 1, y0 = precisandone il campo di definizionee giustificando brevemente le affermazioni

Disegnare il grafico di tutte le soluzioni della equazione data


Si consideri la funzione:

f(x) =

x0

dt|t2 1|(t 1)(t + 3) Determinare il campo di definizione I di f giustificando brevemente le affermazioni

Determinare linsieme J in cui f e continua giustificando brevemente le affermazioni

Determinare linsieme K in cui f e derivabile giustificando brevemente le affermazioni


Calcolare +0

x2ex



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Analisi 1+2 Polo di Savona Prova dEsame giugno 1992

Prova dEsame giugno 1992

Si consideri il sistema differenziale

x(t) = y(t) + et

y(t) = 2y(t)

x(t) + 1

Determinare tutte le soluzioni del sistema.

Determinare la soluzione tale chex(0) = y(0) = 0

Trovare tutte le soluzioni tali che x(0) = 0 del sistema omogeneox(t) = y(t)y(t) = 2y(t) x(t)

giustificando brevemente le affermazioni

Stabilire se linsieme delle soluzioni del punto C formano uno spazio vettoriale ed in caso affermativodeterminarne la dimensione.


Si considerino tutte le successioni tali che

an+1 = 3an 2an1

Determinare tutti i valori di R tali che an = n giustificando brevemente le affermazioni

Verificare che an = 2n + giustificando brevemente le affermazioni

Determinare , in modo che a0 = 0 e a1 = 1 giustificando brevemente le affermazioni

Determinare una regola di ricorrenza per la successione

rn =an+1

an

Calcolare il limite di rn



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Analisi 1+2 Polo di Savona Prova dEsame Luglio 1992

Prova dEsame Luglio 1992


y(x) = y2(x)y(x0) = y0

Determinare lespressione di tutte le soluzioni al variare di (x0, y0) R2 giustificando brevemente icalcoli.

Disegnare il grafico di tutte le soluzioni al variare di (x0, y0) R2.

Trovare tutte le soluzioni tali che y(1) = 1 giustificando brevemente le affermazioni.

Precisare per quali valori (x0, y0) R2 le soluzioni ammettono limite per x +.


Si consideri la funzione

f(y) = y ln

y 1

y

ln |y 1|

Determinare il campo di definizione I di f

Stabilire dove f e derivabile e calcolare la sua derivata.

Calcolare i limiti agli estremi del campo di definizione di f giustificando brevemente le affermazioni.

Calcolare i limiti agli estremi del campo di definizione di f giustificando brevemente le affermazioni.

Disegnare il grafico di f precisando crescenza, decrescenza, convessita e comportamento della rettatangente agli estremi del campo di definizione



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Analisi 1+2 Polo di Savona Prova dEsame Settembre 1992

Prova dEsame Settembre 1992


f(x) = max

|x|, 1

|x

|+ 1

Determinare il campo di definizione di f

Determinare linsieme in cui f e continua

Determinare linsieme in cui f e derivabile

Calcolare 33

f(x)dx


Determinare, dove esistono, tutte le primitive di f


Si consideri lequazione differenziale

y(x) + y(x) = 2x

Determinare tutte le soluzioni dellequazione omogenea associata

Determinare tutte le soluzioni dellequazione data

Trovare tutte le soluzioni della equazione data tali che y(0) = 0, y(0) = 1, precisando se tali soluzioniformano uno spazio vettoriale.Si consideri poi lequazione differenziale

y(x) + y(x) = 2|x|

Determinare tutte le soluzioni dellequazione data

Determinare tutte le soluzioni dellequazione data tali che y(0) = y(0) = y(0) = 0



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Analisi 1+2 Polo di Savona Prova dEsame Ottobre 1992

Prova dEsame Ottobre 1992

Si consideri il sistema di equazioni differenziali

y(x) = y(x) + 2z(x)z(x) = y(x) + w(x)

w(x) = w(x) + x

Determinare tutte le soluzioni del sistema

Scrivere il sistema omogeneo associato

Determinare tutte le soluzioni del sistema omogeneo associato

Scrivere la matrice fondamentale del sistema omogeneo associato

Trovare le soluzioni del sistema omogeneo associato soddisfacente la condizione w(0) = 1, precisando seformano uno spazio vettoriale ed in caso affermativo determinandone la dimensione.



f(x, y) = ln x xy

Disegnare, nel piano il campo di definizione di f

Disegnare nel piano le curve di livello f(x, y) = k dei f corrispondenti ai valori k = 1, 0, 1

Disegnare nel piano le curve di livello f(x, y) = k dei f corrispondenti a qualche valore significativo di k

Disegnare il grafico delle funzioni f(x,mx) al variare di m R, precisandone il significato

Calcolare f(x, y), precisando dove e definito

Disegnare, nel piano il campo di direzioni individuato da f



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Analisi 1+2 Polo di Savona Prova dEsame Novembre 1992

Prova dEsame Novembre 1992


f(x) =

x x 01

x 0 < x 1ax2 + bx + c x > 1

Stabilire per quali valori di a,b,c R f e continua in x = 1

Stabilire per tali valori dove f e continua

Stabilire per quali valori di a,b,c R f e derivabile in x = 1

Stabilire per quali valori di a,b,c R e su quali sottoinsiemi f ammette primitiva

Determinare tutte le primitive di f



f(x) = ln(|x2 1| + 1)

Disegnare il grafico di f precisando il suo campo di definizione

Determinare linsieme in cui f e continua

Determinare linsieme in cui f e derivabile

Determinare una restrizione di f che sia invertibile e trovarne linversa, precisando se e possibile invertiref su tutto R e perche.

Determinare lordine di infinitesimo di f per x 1



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Analisi 1+2 Polo di Savona Prova dEsame Gennaio 1993

Prova dEsame Gennaio 1993


f(x) =

x

0

t

t3 + 1dt

Stabilire per quali valori di x R f e definita.

Studiare crescenza e decrescenza di f e tracciare un grafico che tenga conto delle indicazioni ottenute.

Precisare il comportamento di f agli estremi del campo di definizione, calcolando eventuali asintoti.

Studiare la convessita e la concavita di f.

Disegnare il grafico di f tenendo conto di tutti gli elementi trovati.



y(x) + y(x) + y(x) = 0

Trovare tutte le soluzioni di f

Trovare tutte le soluzioni tali che y(0) = 0, y(0) = 1.

Trovare tutte le soluzioni tali che y(0) = 0.

Trovare tutte le soluzioni tali che y(0) = 0, y(1) = 1.

Trovare a tale che esista almeno una soluzione non nulla dellequazione data tale che y(0) = y(a) = 0.



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Analisi 1+2 Polo di Savona Prova dEsame Febbraio 1993

Prova dEsame Febbraio 1993


f(x, y) = x2 + xy + y2

Disegnare {(x, y) R2 : f(x, y) = 0}



Calcolare f(x, y)

Determinare, se esistono, massimo e minimo assoluto di f su R2



y(x) + y(x) = x

Trovare tutte le soluzioni dellequazione omogenea associata

Trovare tutte le soluzioni dellequazione

Esistono soluzioni limitate dellequazione omogenea?

Esistono soluzioni limitate dellequazione non omogenea?

Le soluzioni limitate della equazione omogenea formano uno spazio vettoriale? In caso affermativotrovarne la dimensione.



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Disegnare linsieme A = {(x, y) R2 : y(x + 1) + x 0}

Disegnare linsieme B =

{(x, y)

R2 : y(x + 1) + x

0, y

x}

Disegnare linsieme Ca,b = {(x, y) R2 : x [a, b], y [a, b], x y}

Determinare tutti gli a, b R tali che Ca,b B


Si consideri f(x) =

x + 1

x2 + 3x + 3

Disegnare linsieme A = {(x, y) R2 : x y, f(x) f(y)}

Trovare per quali a, b R x, y [a, b], x y = f(x) f(y)

Trovare per quali a, b R x, y [a, b], x y = f(x) f(y)


Determinare sup f, inff, max f, min f

Disegnare il grafico di g(x) = f(x 1)

Determinare D = {x R : g(x) x} e disegnare i grafici di x e g(x) sullo stesso piano cartesianoprecisandone le mutue posizioni.

Provare che la successione definita da

an = g(an1)a0 = 1

e decrescente, inferiormente limitata e trovarne

il limite.LA1 an e inferiormente limitata infatti:

LB1 an e decrescente infatti:

LC1 lim an = infatti:



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y(x) = x sin y(x)

Stabilire per quali valori x0 ed y0 esiste ed e unica la soluzione del problema di Cauchy associatoallequazione assegnata ed al valore iniziale y(x0) = y0

Trovare tutte le soluzioni dellequazione tali che y(0) = 0 e disegnarne il grafico.



Trovare tutte le soluzioni dellequazione e disegnarne il grafico.



f(x) =

+sinx

ln(t 1)t2

dt

Determinare il campo di definizione della funzione assegnata

Studiare il segno di f

Studiare la crescenza di f

Calcolare limx+

f(x)

Studiare la derivabilita di f e disegnarne il grafico.



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Analisi 1+2 Polo di Savona Prova dEsame Giugno 1993

Prova dEsame Giugno 1993


|y(x)| =

4 y2(x)



Trovare tutte le soluzioni dellequazione e disegnarne il grafico.

Stabilire per quali valori x0 ed y0 esiste ed e unica la soluzione del problema di Cauchy associatoallequazione assegnata ed al valore iniziale y(x0) = y0



g(t) =e ln(t

4+1)

t 1

Dopo aver trovato il campo di definizione della funzione assegnata, calcolare lordine di infinitesimo dig per t + e lordine di infinito di g per t 1.

Determinare il campo di definizione di f(x) =

x2x

x

g(t)dt

Calcolare, se esiste, limx+

f(x)

Calcolare f(x)

Disegnare il grafico di g per t > 1.



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y(x) + |y(x)| = 0

Stabilire se linsieme delle soluzioni dellequazione differenziale data costituisce uno spazio vettoriale ed,in caso affermativo, determinarne la dimensione.

Trovare tutte le soluzioni dellequazione tali che y(0) = 0, precisando il loro campo di definizione

Trovare, se possibile, tutte le soluzioni dellequazione tali che y(0) = 0 e y(0) = 1, che assumano anchevalori negativi, precisando il loro campo di definizione

Trovare tutte le soluzioni dellequazione tali che y(0) = 0 e y(0) = 1 precisando il loro campo didefinizione


Si considerino le funzioni

f(y) =

y0

1

2t 1 dt

a(x) =1

1 + x2b(x) =

x

1 + x2


Esprimere f in termini di funzioni elementari.

Disegnare i grafici di a e b avendo cura di precisare la loro mutua posizione.

Determinare il campo di definizione di

g(x) = f(b(x)) f(a(x))

Calcolare g(x).



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y(x) = |x|

y(x)

Determinare, al variare di (x0, y0), se esiste soluzione del problema di Cauchy ottenuto associandoallequazione data la condizione y(x0) = y0.

Trovare tutte le soluzioni dellequazione tali che y(1) = 0, precisando il loro campo di definizione edisegnandone il grafico.



Precisare lordine di infinitesimo delle soluzioni trovate ai punti precedenti in x0.



f(x) = |x 1| ln |x| Determinare il campo di definizione e di derivabilita di f

Calcolare la derivata di f.

Determinare linsieme in cui f e crescente e quello in cui f e decrescente

Disegnare il grafico di f.

Calcolare, se esiste, la retta tangente al grafico di f nel punto x0 = 1



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Analisi 1+2 Polo di Savona Prova dEsame Dicembre 1993

Prova dEsame Dicembre 1993


f(x) =x

x3 + 1


Disegnare il grafico di

F(x) =

x0

f(t)dt

Calcolarelim

x+F(x)

Trovare tutte le primitive di f

Calcolare F(.1) a meno di .001



(y(x))2 = 1 + y(x)

Determinare una soluzione della equazione differenziale tale che y(0) = 1.

Determinare una soluzione della equazione differenziale tale che y(0) = 2.

Trovare tutte le soluzioni tali che y(0) = 1.

Disegnare il grafico di tutte le soluzioni.

Studiare lunicita delle soluzioni al variare dei valori iniziali.



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Analisi 1+2 Polo di Savona Prova dEsame Gennaio 1994

Prova dEsame Gennaio 1994


f(x) = 2+cos x

sinx

(t 1)ln(t 1)dt

Determinare il campo di definizione D di f

Determinare il sottoinsieme di D in cui f e continua

Calcolare, dove esiste, f(x)

Stabilire se f e crescente o decrescente




y(x) + cos(y(x)) = sin x

con il dato iniziale y(0) = 0

Stabilire se la soluzione esiste e se e unica.

Determinare lo sviluppo di McLaurin di y del primo ordine centrato in 0 e tracciare il grafico qualitativodi y in un intorno di 0.

Scrivere e valutare il resto di Lagrange di ordine 2 (relativo al polinomio di primo grado di y centratoin 0)

Supponendo la soluzione y definita su tutto R, trovare un polinomio di grado 2 maggiorante y ed unominorante y; disegnarne il grafico ed indicare la zona di piano da essi delimitata entro cui si trova lasoluzione y.



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a(x) = x E(x) , b(x) = 1 + 1E(x)

f(x) =

b(x)a(x)

1t 1 dt

Disegnare il grafico di a.

Disegnare il grafico di b.

Determinare i punti x R per i quali a(x) b(x).

Determinare il campo di definizione di f.

Disegnare il grafico di f precisando se e crescente, decrescente, se ammette punti di massimo di minimoo di flesso.



y(x) + y(x) =|x2

1

| Determinare le soluzioni dellequazione omogenea associata

Determinare le soluzioni dellequazione completa definite per |x| > 1

Determinare le soluzioni dellequazione completa definite per |x| < 1

Determinare le soluzioni, se esistono, dellequazione completa definite su tutto R.



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Si consideri, al variare di k R, la funzione

fk(x) = x3E(arctan x) + kx2

ove E indica la funzione parte intera.

Disegnare il grafico di f0, f1 e f2.

Stabilire se e p ossibile trovare k in modo che fk sia continua su R e giustificare brevemente laffermazione.

Determinare k in modo che fk sia monotona in [2, 0].

Determinare linversa di fk per i valori di k determinati precedentemente precisandone dominio e rango.


Si consideri la successione definita per ricorrenza mediante laan+1 = anan1a0 = 1a1 = 2

Determinare una regola di ricorrenza e i primi due termini di una successione kn in modo che

an = 2kn

Determinare i due valori t = e t = in corrispondenza dei quali kn = tn soddisfa la regola di ricorrenzadeterminata nel punto precedente per kn.

Verificare che kn = n + n soddisfano la regola di ricorrenza trovata precedentemente.

Determinare e in modo chek0 = 0 k1 = 1

Trovare una espressione esplicita di kn e an, in funzione di n

Calcolare lim kn e lim an



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Si consideri

fh(x) = 0 x < 0x

h0

x

h

1 x > h

e lequazione differenziale linearey(x) = fh(x)y(x) + kx

ove k R.

Trovare tutte le soluzioni definite per x < 0

Trovare tutte le soluzioni definite per 0 < x h

Trovare tutte le soluzioni definite per x > h

Trovare tutte le soluzioni definite per x R Precisare la struttura dellinsieme delle soluzioni definite su R


Si consideri

f(x) =

0 x 01 0 < x 12 x > 1

ed

F(x) =

xf(x)

sin4(t 3)|t 3||t 2|dt

Determinare il campo di definizione di F.

Studiare segno, crescenza e decrescenza di F.

Studiare i limiti di F agli estremi del campo di definizione precisando se sono finiti o infiniti.

Calcolare, dove esiste, F(x)

Disegnare il grafico di F



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Analisi 1+2 Polo di Savona Prova dEsame 14 giugno 1994

Prova dEsame 14 giugno 1994

Si consideri

f(x) =ex

|x| + 1 Determinare campo di definizione e limiti agli estremi del campo di f.

Calcolare, dove esiste, f(x) e studiarne il segno.

Determinare eventuali massimi e minimi relativi ed assoluti di f.

Studiare la derivabilita di F(x) =x0

f(t)dt calcolando, ove possibile, F(x) e studiandone il segno

Disegnare il grafico di F(x)


Si consideri

f(x, y) = x2 +2

y2


Stabilire per quali valori dellargomento f e derivabile.

Scrivere lequazione del piano tangente al grafico di f nel punto (x0, y0) = (1, 1).

Disegnare le curve di livello di f

Calcolare D

f(x, y)dxdy D = {(x, y) R2 : 1 x 2 , 2 y 3}



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Si consideri

f(t) = t 1 t < 0t2 t

0

e lequazione differenzialey(x) = f(y(x))

Determinare tutte le soluzioni positive e disegnarne il grafico.

Determinare tutte le soluzioni negative e disegnarne il grafico.Si consideri poi il problema di Cauchy ottenuto associando allequazione data, il valore iniziale y(x0) = y0

Determinare per quali (x0, y0) R2 esiste almeno una soluzione.

Determinare per quali (x0, y0) R2 esiste una sola soluzione.

Trovare le soluzioni che corrispondono ai dati iniziali

(0, 0) (0, 1) (0, 1)

precisandone il campo di definizione e disegnandone il grafico.


Si consideri

f(x, y) = x2 + 3x + 2xy

Determinare il campo di definizione di f e disegnarne le curve di livello.

Stabilire per quali valori dellargomento f e derivabile parzialmente.

Calcolaref(x, y)

Calcolare D

f(x, y)dxdy

Calcolare massimi e minimi assoluti di f su

D = {(x, y) R2 : 0 x 2 , 0 y 3 , y x + 1}



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Analisi 1+2 Polo di Savona Prova dEsame 19 Luglio 1994

Prova dEsame 19 Luglio 1994

Si consideri

f(x) =

t t > 10 t

1

e lequazione differenziale y(x) = f(y(x))y(0) = 0

Determinare tutte le soluzioni dellequazione il cui grafico giace sopra la retta y = 1 e disegnarne ilgrafico.

Determinare tutte le soluzioni dellequazione il cui grafico giace sotto la retta y = 1 e disegnarne ilgrafico.Si consideri poi il problema di Cauchy ottenuto associando allequazione data, il valore iniziale y(0) =

Studiare al variare di esistenza ed unicita della soluzione e disegnare, ove possibile, il grafico delle

soluzioni al variare del dato iniziale .

Sia > 0, indicare quale delle tre seguenti grandezze puo essere rappresentata dalla soluzione delproblema dato e perche.

a) la posizione di un corpo, libero di muoversi su una retta, vincolato mediante una fune elastica allorigine,abbandonato a distanza . Sulla retta e presente un meccanismo che recide la fune non appena il corporaggiunge distanza 1 dalla parte opposta.

b) la posizione di un corpo, libero di muoversi su una retta, soggetto ad una forza repulsiva inversamenteproporzionale alla distanza dallorigine, abbandonato a distanza . Sulla retta e presente un meccanismoche interrompe la forza non appena il corpo raggiunge distanza 1 dalla parte opposta.

c) la posizione del baricentro di una sfera di raggio 1 abbandonata ad altezza sopra la superficie delmare.


Si consideri

f(x, y) = x + y + x2


Disegnarne le curve di livello.

Calcolaref(x, y)

e determinare tutti i punti in cui il gradiente si annulla precisando se sono di massimo o di minimorelativo.

Calcolare massimi e minimi assoluti di f su

D = {(x, y) R2 : 0 x 1 , 0 y 1 , y x2}



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Calcolare D

f(x, y)dxdy



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Si consideri

f(x) = eE(lnx)


Dimostrare chex

e f(x) < x

Calcolarelim

x0+f(x) lim

x+f(x)

Stabilire se f e integrabile su [1/10, 1] su [1, +) e su [1/10, +)


Si considerino tutti i rettangoli, i cui lati saranno indicati con x e y, soddisfacenti le seguenti condizioni:-a) la differenza tra i due lati e superiore o uguale a 1-b) il lato maggiore e minore o uguale a 3 ed il lato minore e compreso tra 1 e 2

Esprimere area, perimetro e diagonale di un generico rettangolo soddisfacente le condizioni sopra scritte,in funzione di x e di y.

Trovare, nel piano x, y i punti che corrispondono a rettangoli aventi la stessa area.

Trovare, nel piano x, y i punti che corrispondono a rettangoli aventi lo stesso perimetro.

Trovare, nel piano x, y i punti che corrispondono a rettangoli aventi la stessa diagonale.

Trovare tra tutti i rettangoli considerati, quello di area, perimetro, diagonale massima e minima.



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Analisi 1+2 Polo di Savona Prova dEsame Dicembre 1994

Prova dEsame Dicembre 1994

Si consideri

f(x) = x2 x 0(x

1)3

1 0 < x < 3

1/x2

x > 3




F(x) =

x1

f(t)dt

Trovare tutte le primitive di f

Stabilire se f e monotona e se f e invertibile su R.


Si consideri lequazione differenzialey(x) = y2(x)

Stabilire per quali (x0, y0) ce esistenza ed unicita della soluzione del problema di Cauchy relativoallequazione data ed al dato iniziale y(x0) = y0

Determinare la soluzione tale che y(0) = 0 precisarne il campo di definizione e disegnarne il grafico.



Disegnare il garfico di tutte le soluzioni dellequazione data.



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Si consideri lequazione

y(x) =

x

0

1

1 + y2(t)dt

Provare che ogni soluzione continua y dellequazione assegnata e crescente nel suo campo di definizione

Provare che ogni soluzione continua y dellequazione assegnata e convessa nella parte del suo campo didefinizione che appartiene al semiasse positivo delle x e che e concava nella restante parte

Determinare il campo di definizione di y

Disegnare il grafico di y

Determinare il polinomio di McLaurin di secondo grado di y


Si consideri la funzione definita da

f(x, y) = sin(x)sin(y) (x, y) [, ] [, ]

Indicare nel piano (x, y) le zone in cui f e positiva e quelle in cui f e negativa.

Disegnare la curva di livello di altezza 1/2

Determinare massimi e minimi assoluti di f

Stabilire per quali valori di lequazione f(x, y) = ammette soluzioni

Calcolare [,][,]

f(x, y)dxdy



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Analisi 1+2 Polo di Savona Prova dEsame Marzo 1995

Prova dEsame Marzo 1995


y(x) = ey

2(x)

y(x)

0

et2

dt

y(x0) = y0

Studiare esistenza ed unicita della soluzione del problema assegnato

Determinare tutte le soluzioni costanti dellequazione data

Trovare tutte le soluzioni corrispondenti a x0 = 0, y0 = 1

Disegnare il grafico delle soluzioni di cui al punto precedente

Disegnare il grafico delle soluzioni del problema assegnato al variare di x0 e y0



fk(x) = (x3 k2x)ex2

Determinare campo di definizione e calcolare i limiti agli estremi del campo di fk, al variare di k

R

Calcolare fk(0), fk(k) e limx+ f

k(x), al variare di k R

Tenendo conto che fk e pari stabilire che fk ammette uno zero in (0, k) ed uno zero in (k, +).

Disegnare il grafico di fk

Disegnare il grafico di g(x) =x0

f(t)dt



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an+1 = an

n(n + 3)

a1 = 1

Provare che

an = (1)n1 6(n 1)!(n + 2)!

Determinare al variare di , R una espressione esplicita della successionebn+1 =

bnn(n + 3)

b1 =

Verificare che la successione bn e infinitesima di ordine superiore a xn

x R+

Stabilire se le successioni cn tali checn+1 =

cnn(n + 3)

formano uno spazio vettoriale.

Determinare, se possibile, la dimensione dello spazio vettoriale di cui al punto precedente.



f(x) =1

x

E(x)k=0

k

ove con E() si e indicate la parte intera ed R+.

Determinare il campo di definizione di f e calcolare f(n) per ogni n N

Verificare che se n x < n + 1 si haf(x) 1

nn(n + 1)

2

Stabilire per quali R+ f e decrescente su R+ Disegnare il grafico di f su [1, 4]

Per = 3 disegnare il grafico di f su R+ e calcolare

limx+

f(x)



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2x(t) = x(t) + 2y(t)y(t) = y(t) + z(t)2z(t) = 2z(t) + x(t)

Studiare esistenza ed unicita della soluzione del sistema dato

Determinare tutte le soluzioni del sistema

Scrivere una matrice fondamentale del sistema

Trovare tutte le soluzioni del sistema non omogeneo ottenuto in corrispondenza del termine noto

B(t) = 102

Trovare le soluzioni del sistema omogeneo tali che x(0) = y(0) e precisare la dimensione dello spaziovettoriale da esse generato.


Si consideri il problema di Cauchy y

(x) =ex

2|1 x2|y(x0) = y0

Determinare i valori x0, y0 R per i quali il problema assegnato ammette soluzione e studiarne lunicita.

Disegnare il grafico della soluzione che corrisponde ai valori x0 = y0 = 0 precisandone il campo didefinizione

Disegnare il grafico della soluzione che corrisponde ai valori x0 = 2 y0 = 0 precisandone il campo didefinizione

Disegnare il grafico di tutte le soluzioni del problema assegnato.

Stabilire se le soluzioni del problema sono limitate sul loro campo di definizione



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Analisi 1+2 Polo di Savona Prova dEsame 22 Giugno 1995

Prova dEsame 22 Giugno 1995


f(x, y) = ex + 2y2x

Determinare linsieme in cui f e definita, e derivabile, e differenziabile e il rango di f

Disegnare le curve di livello di f

Calcolare g(t) dove g(t) = f(x(t), y(t)) e x, y C1(R)

Calcolare [1,2][2,3]

f(x, y)dxdy

Calcolare massimi e minimi assoluti di f su [1, 2]

[2, 3]



(x) = ex 1 (x) = ln(1 + x) f(x) =(x)(x)

1

tdt

Determinare linsieme di definizione di f

Stabilire se f e prolungabile per continuita dove non e definita

Calcolare f(x)

Studiare le funzioni1 ex (x + 1) ln(1 + x)

(e utile per il seguito provare che i grafici delle due funzioni sono uno al di sopra ed uno al di sotto diuna retta opportuna)

Studiare il segno di f(x) e disegnare il grafico di f



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f(x) =

1 x 00 x < 0

Disegnare il grafico di h(x) = f(sin x) e di g(x) = sin(f(x)) precisando se g ed h sono periodiche, sesono continue su [1, +) e se sono integrabili su [, ]

Disegnare il grafico di h1(x) = f(x sin x) e di g1(x) = sin(xf(x))

Determinare tutte le primitive di g1, precisandone il campo di definizione

Risolvere il problema di Cauchy y(x) = f(x)y(1) = 0

Risolvere il problema di Cauchy y(x) = f(y(x))y(1) = 0



y(x) + y(x) + 2y(x) + 2y(x) = 0

Determinare lintegrale generale dellequazione data.

Scrivere un sistema di tre equazioni differenziali del primo ordine equivalente alla equazione data.

Scrivere lintegrale generale del sistema e dellequazione

Scrivere una matrice fondamentale del sistema

Determinare tutte le soluzioni del sistema che sono limitate, precisando se formano uno spazio vettoriale

ed, in caso affermativo, determinare la dimensione di tale spazio



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f(x) =1

x x

0

et 1t

dt


Stabilire se f e prolungabile nellorigine, ed in caso affermativo trovarne il prolungamento.

Studiare la derivabilita di f ed, eventualmente, del suo prolungamento.

Determinare il polinomio di Taylor di f di ordine 1 centrato in 0.

Determinare in modo che |f(x) 1| in [, ].


Si consideri il problema di Cauchy y(x) = log y(x)y(0) = y0

Studiare esistenza ed unicita della soluzione y(x, y0) del problema di Cauchy assegnato.

Disegnare il grafico delle soluzioni per y0 < 1

Disegnare il grafico delle soluzioni per y0 > 1

Provare che esistef(y0) = lim

x0y(x, y0)

Trovare, se esistono, massimo e minimo di f(y0).



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Analisi 1+2 Polo di Savona Prova dEsame Novembre 1995

Prova dEsame Novembre 1995


fa(x) = x

a

1

sinh tdt

(Si ricorda che sinh t = etet2

)

Disegnare il grafico di 1sinh

e stabilire, al variare di a il campo di definizione di fa

Disegnare il grafico di fa

Calcolare tutte le primitive di 1sinh

Calcolare la primitiva di 1sinh

che passa per (1, 0)

Per a = 1, determinare, se esiste, linversa di fa e disegnarne il grafico.



y(x) =

1

sinh(x)y(0) = a

Studiare, al variare di a R, esistenza ed unicita della soluzione y(x, a) del problema di Cauchyassegnato.

Disegnare il grafico qualitativo della soluzione al variare di a R.

Studiare concavita e convessita delle soluzioni nel loro campo di definizione.

Determinare la soluzione

Determinare lo sviluppo di Taylor di ordine 2 della soluzione centrato in x = 0



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f(x) =ex

2

x2 + x

Stabilire dove f e definita, continua, derivabile.

Determinare il comportamento ai limiti del campo di definizione


Determinare un funzione razionale che approssimi f a meno di un infinitesimo di ordine superiore alprimo in un intorno di x0 = 0.

Scrivere la retta tangente al grafico di f nel punto x0 = 1


Si consideri la funzionef(x, y) = xy


Stabilire dove f e differenziabile

Calcolare f(x, y) e f((x, y), (a, b))

Determinare massimi e minimi di f sul triangolo di vertici A = (0, 1), B = (1, 0), C = (0, 0)

Determinare il piano tangente al grafico di z = f(x, y) in (1, 1)



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f(x) = (sin(x) 1)2 + 4

Determinare una funzione g in modo che f(x) = g(sin x)

Studiare crescenza e decrescenza di g, successivamente disegnarne il grafico e dedurne crescenza edecrescenza di f.


Disegnare con cura il grafico di f su [0, 5] Determinando maggioranti e minoranti, estremo superiore edinferiore, massimo e minimo di f su [0, 5]

Verificare che f e strettamente crescente in [/2, ] e calcolare linversa di f ristretta a tale intervallo


Si consideri la successionean+1 =

ann

a0 = k2

Provare che an e decrescente

Provare che an ammette limite finito e calcolarlo

Calcolare

limx0

sin(x2) x4ex 1

Determinare lordine di infinitesimo in 0+ di sin(x2) x

Stabilire per quali valori di la funzione

sin(x2) x4(ex 1)

e prolungabile per continuita in 0



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f(x) = x

1

(et

1) ln(1 + t2)

dt

Determinare il dominio di f e calcolare i limiti agli estremi del campo di definizione

Calcolare la derivata f e studiare crescenza e decrescenza di fSi consideri

g(x) =

tan |x|

1

(et 1) ln(1 + t2) dt

Disegnare il grafico di g

Determinare il rango di g

Calcolare la derivata di g, precisando il suo campo di esistenza



y(x) = e

y(x) 1x

y(x0) = y0

Studiare esistenza ed unicita delle soluzioni del problema dato

Determinare la soluzione per x0 = 1, y0 = 1

Determinare la soluzione per x0 = 1, y0 = 0

Calcolare y(1) per x0 = 1, y0 = 1

Disegnare il grafico di tutte le soluzionial variare di x0, y0.



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f(x) = 2x(ln x 1) + 52

ln(x2 + 1) 5x arctan x

Determinare il dominio di f e calcolare i limiti agli estremi del campo di definizione

Disegnare il grafico di f e studiare crescenza e decrescenza di f


Determinare il numero degli zeri di f e determinarne il segno

Disegnare il grafico dix0

f(t)dt



f(x, y) =

x2 |y| x2y |y| < x2

Determinare il campo di definizione di f e precisare dove f e continua

Disegnare i livelli di f

Studiare la derivabilita parziale di f

Calcolare massimi e minimi assoluti di f su Q = [0, 1] [0, 1]

Calcolare

Qf(x, y)dxdy



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Analisi 1+2 Polo di Savona Prova dEsame 15 luglio 1996

Prova dEsame 15 luglio 1996

Si consideri il problema

y(x) = + x

0

cos2 y(t)dt

Scrivere un problema di Cauchy equivalente al problema dato.

Determinare la soluzione del problema dato e disegnarne il grafico.

Scrivere il polinomio di Taylor di ordine 3 della soluzione y del problema dato

Disegnare il grafico di y1 ove e definita

Verificare che|y(x)| + |x|



f(x, y) =

x0

yet2

dt

Determinare il campo di definizione di f e precisare dove f e continua

Disegnare i livelli di f

Studiare la derivabilita parziale di f

Calcolare massimi e minimi assoluti di f su Q = [0, 1] [0, 1]

Calcolare le derivate direzionali di f in (0, 0).



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Analisi 1+2 Polo di Savona Prova dEsame 1 ottobre 1996

Prova dEsame 1 ottobre 1996

Si consideri il problema di trovare una funzione f tale che

f(x) =

x

0

cos f(t)dt

Stabilire se esiste una soluzione del problema.

Determinare la soluzione del problema dato.

Scrivere il polinomio di Mc Laurin di ordine 2 della soluzione f del problema dato

Disegnare il grafico di f e confrontarlo con quello del suo polinomio di Mc Laurin

Disegnare il grafico di f1 in un intorno di 0



f(x) = 4 arctan(

x + 2) x + 2

Determinare il campo di definizione di f e precisare dove f e continua e derivabile

Studiare crescenza, decrescenza, massimi e minimi di f

Studiare convessita e flessi di f

Studiare lesistenza di zeri per f, precisandone il numero ed il segno.

Disegnare il grafico di f1 in un intorno di 0.



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Analisi 1+2 Polo di Savona Prova dEsame 6 Dicembre 1996

Prova dEsame 6 Dicembre 1996


y(x) =2

y(x)

x2

1

Studiare esistenza ed unicita della soluzione dellequazione data.

Determinare la soluzione dellequazione data tale che y(0) = 0.



Disegnare il grafico delle soluzioni di cui ai precedenti punti.



f(x) = E(x2 xex)(Ricordiamo che E(x) indica la parte intera di x)

Determinare il campo di definizione di f e precisare dove f e continua e derivabile

Studiare crescenza, decrescenza, massimi e minimi di f

Studiare convessita e flessi di f

Studiare lesistenza di zeri per f, precisandone il numero ed il segno.


f(x)dx .



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Analisi 1+2 Polo di Savona Prova dEsame 18 febbraio 1996

Prova dEsame 18 febbraio 1996


y(x) + x2y(x) = x2

y(0) = 0

y(0) = 0

Determinare la soluzione del problema, precisandone il campo di definizione

Disegnare il grafico della soluzione, precisando dove e convessa.

Stabilire se linsieme delle soluzioni della sola equazione costituisce uno spazio vettoriale o uno spaziolineare affine ed, in caso affermativo, determinarne la dimensione

Determinare, se possibile, lordine di infinito della soluzione per x +

Determinare, se possibile, lordine di infinito della soluzione per x



f(t) =t16 256

t32 1



Disegnare il grafico della funzione che rappresenta larea compresa tra lasse delle ascisse, il grafico di fe le rette parallele allasse delle ordinate che hanno ascissa 0 ed x

Determinare lordine di infinitesimo di f nei punti in cui f e infinitesima.

Determinare lordine di infinito di f nei punti in cui f e infinita.



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Analisi 1+2 Polo di Savona Prova dEsame 9 aprile 1996

Prova dEsame 9 aprile 1996

Disegnare il grafico di una funzione derivabile con derivata continua su R tale che il coefficiente angolaredella retta tangente al suo grafico in un punto e uguale al valore della funzione nello stesso puntoaumentato di 1.

Studiare lunicita della soluzione del problema precedente.

Determinare, se e possibile una soluzione del problema dato il cui grafico passi per il punto (0, 1)

Detta f la soluzione del problema di cui al punto precedente, calcolare f(0)


Si consideri la famiglia di funzioni

fk(x) = kx2 + x ln x

Calcolare fk(x) e di fk (x)

Disegnare il grafico di f2(x) e di f1/4(x)

Disegnare il grafico di f2(x) e di f1/4(x)

Disegnare il grafico di fk(x)

Disegnare il grafico di f(kx)



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f(x) =x2 + x + 1

x + 1

Studiare la funzione g(x) = f(x) x, disegnandone un grafico approssimativo.

Studiare crescenza e decrescenza di f, giustificando brevemente i risultati senza far uso di derivate.(Si possono utilizzare i risultati ottenuti nel punto precedente)


Stabilire se f e invertibile su [0, +) e determinare in caso affermativo la sua inversa disegnandoneinoltre il grafico.

Verificare usando la definizione chelim

x+f(x) = +


Si consideri per ogni n N

f(n) =

n2

n!

Determinare{n N : f(n) > f(n + 1)}

Determinare estremo superiore e massimo din2

n!

Siano = 210 = 1010 f(x) = x + 1 g(x) = log x

Disegnare il grafico di f e di g

Disegnare il grafico di f(g())

Disegnare il grafico di g(f())



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f(x) = 1

x2 + 1x 0

ax + b x < 0

Disegnare il grafico di f al variare di a, b R.

Determinare a, b in modo che f sia derivabile in R

Per i valori di a, b per cui f e continua, determinare il piu grande valore di c in modo che f sia invertibilein (, c]Siano

g(x) = ex h(x) = ln x

Per i valori di a, b per cui f e continua, disegnare il grafico di

f(g(x)) f(h(x))

Per i valori di a, b per cui f e continua, disegnare il grafico di

g(f(x)) h(f(x))


Si consideri la successione definita da an+1 = f(n) + ana0 = 1

dove f : R [0 + ) e una funzione continua.

Dimostrare che an 0 n N

Dimostrare che an e crescente

Dimostrare che se an R allora limn f(n) = 0

Calcolare limn an nel caso in cui f(x) = x

Dimostrare che

an = 1 +n1k=0

f(k)



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Analisi 1+2 Polo di Savona Terza Prova Parziale 96/97

Terza Prova Parziale 96/97


f(x) = x+1

1x

2

(t + 1)|t 2|

dt

Determinare il campo di definizione D di f.

Stabilire se esistono e se sono finiti i limiti di f agli estremi del campo di definizione.

Stabilire dove f e derivabile e calcolarne la derivata prima.

Tracciare il grafico di f senza tenere conto della derivata seconda.


Si consideri il problema di Cauchy xy(x) = y2(x) y(x)y(2) = k

Determinare per quali valori di k il problema ammette una soluzione locale e studiarne lunicita.

Determinare la soluzione che corrisponde a k = 3, precisandone il campo di definizione.

Determinare la soluzione che corrisponde a k = 1, precisandone il campo di definizione.

Determinare la soluzione che corrisponde a k = 0.5, precisandone il campo di definizione.

Disegnare il grafico di tutte le soluzioni del problema dato.

Disegnare il grafico delle soluzioni del problema di Cauchyxy(x) = y2(x) y(x)y(0) = k

precisando per quali k la soluzione esiste e studiandone lunicita.



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f(x) = x

x

1+x2

4t 1et2

dt

Determinare il campo di definizione D di f.

Stabilire se esistono e se sono finiti i limiti di f agli estremi del campo di definizione.

Stabilire dove f e derivabile e calcolarne la derivata prima.

Determinare un maggiorante ed un minorante di f nel suo campo di definizione



y(x) = max{2, y(x)}y(x0) = ay(x0) = b

Studiare esistenza ed unicita locale della soluzione.

Determinare la soluzione che corrisponde a x0 = 0, a = 1 e b = 0 precisandone il campo di definizione.

Determinare la soluzione che corrisponde a x0 = 0, a = 2 e b = 0 precisandone il campo di definizione.

Determinare il polinomio di McLaurin di grado 2 della soluzione che corrisponde a x0 = 0, a = 1 e b = 1

Determinare il polinomio di McLaurin di grado 3 della soluzione che corrisponde a x0 = 0, a = 1 e b = 1



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Si consideri il luogo dei punti del piano tali che

x3 + xy + y3 = 0

Determinare, al variare di m il numero ,delle intersezioni di con la retta y = mx

Esprimere, in funzione di m, lascissa dei punti di intersezione di con la retta y = mx

Esprimere, in funzione di m, lordinata dei punti di intersezione di con la retta y = mx

Disegnare il grafico delle funzioni trovate nei punti precedenti.


Si consideri la funzione y : [, ] R che soddisfa le condizioni:y

(x) = 2 arctan y(x) +x0

cos y(t)dt

y(0) = 0

(si suppone che tale funzione esista e sia unica per ogni > 0)

Scrivere il polinomio di McLaurin di y di secondo grado

Trovare un maggiorante per y e y su [, ]

Determinare in modo che la differenza tra y e la sua retta tangente sia inferiore a 0.1 su [, ] .

Calcolare y(4)(0).

Stabilire se 0 e un punto di minimo o massimo relativo per y.



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Analisi 1+2 Polo di Savona Prova dEsame 29 Settembre 1997

Prova dEsame 29 Settembre 1997


(xy(x)) = ln xy(1) =

1

Stabilire se lequazione data e lineare e studiare esistenza ed unicita della soluzione del problema.

Determinare esplicitamente la soluzione del problema dato, precisandone il campo di definizione.

Disegnare il grafico della soluzione.

Determinare il polinomio di Taylor di grado 4 della soluzione del problema dato centrato in x = 1


Si consideri la successione an+1 =

ann(n + 1)

a1 = 1

Provare che an e decrescente.

Provare che an e positiva.

Stabilire se il limite di an esiste ed, in caso affermativo, calcolarlo.

Provare, se e vero, che

an =1

n!(n 1)!

Scrivere lenunciato del criterio di convergenza di Cauchy per le successioni.



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Analisi 1+2 Polo di Savona Prova dEsame 9 Dicembre 1997

Prova dEsame 9 Dicembre 1997

Si consideriy(x) y(x) = f(x)

dove

f(x) =

0 x < 0ex 1 x 0

Determinare tutte le soluzioni dellequazione data su R



Disegnare il grafico della soluzione dellequazione data tale che y(0) = y(0) = 0


Si consideri la funzionef(x) = |x2 |x||e|x2|x||

Studiare definizione continuita e derivabilita di f.


Stabilire se f e invertibile su R, giustificando le affermazioni.

Determinare, se possibile, linversa di f su [1, +)

Calcolare, se esiste (f1)(2e2)



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Analisi 1+2 Polo di Savona Prova dEsame 13 Febbraio 1998

Prova dEsame 13 Febbraio 1998


y(x) =

y2(x) 1

Disegnare il grafico della soluzione dellequazione tale che y(0) = 2

Calcolare una primitiva di

g(t) =1

t2 1

Determinare una espressione esplicita della soluzione y del problema di Cauchy associato al dato inizialey(0) = 2




Si consideri la funzione f : R R continua da sinistra il cui grafico e rappresentato in figura

Disegnare il grafico di una primitiva di f su R \ {a, 0, b}

Disegnare il grafico di tutte le primitive di f su R \ {a, 0, b}

Stabilire se esistono ed in caso affermativo disegnare il grafico di una primitiva di f che sia prolungabileper continuita su tutto R

Esistono primitive di f definite su tutto R



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Analisi 1+2 Polo di Savona Prova dEsame 7 Aprile 1998

Prova dEsame 7 Aprile 1998


y(x) =

y(x)

ln y(x)y(0) = y0

Stabilire se esistono soluzioni costanti del problema

Trovare la soluzione per y0 = e precisandone il campo di definizione.

Trovare la soluzione per y0 = 1/e precisandone il campo di definizione.

Disegnare il grafico delle soluzioni al variare di y0.

Oservando che lequazione non dipende esplicitamente da x, disegnare il grafico di tutte le soluzionidellequazione data.



f(x) =x 1

x2 + 1

e si definisca

F(x) =x+1x

f(t)dt


Calcolare F dove esiste

Determinare i punti di massimo e di minimo assoluto di F

Disegnare il grafico di F.

52- PrG.TEX [PrG98.tex.TEX]


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Si consideri linsieme

A =x2 + 3a

x2 + a : x R

Dove a R e a > 0.

Determinare tutti i maggioranti di A.

Determinare tutti i minoranti di A.

Determinare sup A.

Determinare infA.

Stabilire se A ammette massimo o ammette minimo ed in caso affermativo trovarli.Si consideri linsieme

B =

x

y: x, y R , y = 0

Determinare sup B.

Determinare infB.



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f(x) =

2x + 1

x + 3 g : [4, 4] [1, 1]dove g si suppone strettamente crescente e surgettiva

Disegnare il grafico di f ed il grafico di una possibile g.

Disegnare il grafico di f(g(x).

Disegnare il grafico di g(f(x))

Disegnare il grafico di (f(x))2

Disegnare il grafico di f(x2)

Calcolare linversa di f precisando dove f e invertibile.

Provare per induzione chen

k=1

a = na



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f(x) =

x2 cos(x)

x2

xa x > 0

ex b2x

x < 0

Al variare di a, calcolarelim

x0+f(x)

e stabilire se f e prolungabile per continuita in x = 0 da destra

Al variare di b, calcolarelim

x0f(x)

e stabilire se f e prolungabile per continuita in x = 0 da sinistra

Al variare di a, b, stabilire se f e prolungabile per continuita in x = 0Si consideri la funzione

f(x) =x + 1

x + 2

Disegnare il grafico di fSi consideri poi la successione definita da

an+1 = f(an)a0 = a

Determinare al variare di a gli eventuali limiti della successione an (Non e necessario giustificare concalcoli le affermazioni, ma si richiede un risultato corretto supportato da considerazioni sul grafico di f)



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Analisi 1+2 Polo di Savona Quarta Prova Parziale 97/98

Quarta Prova Parziale 97/98

ATTENZIONE: la somma dei punti assegnati a ciascuna domanda e superiore a 10; pertanto non e necessariorispondere a tutte le domande per ottenere il massimo voto. E opportuno tenere presente che la domanda B dipendedalla A e che la D dipemde dalla C. Inoltre la E non dipende da C e D.

I punti ottenuti oltre il 10 non saranno calcolati nella media ma costituiranno elemento di valutazione positiva insede desame.

Disegnare il grafico della funzione f(x) = ln(|x|) + 1x determinando il punto xm ed il valore f(xm) diminimo relativo. Provare inoltre che f ammette un solo zero x0 e studiare il segno di f

Disegnare il grafico di g(x) = ex ln(|x|) precisando il segno di g(x0)

Disegnare nello stesso piano i grafici di ln(x) e di x1e1 e giustificare il fatto che ln(x) x1e1 x



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[2, 1] (interpretare adeguatamente le unita di misura)

Provare che x0 [2, 1] (x0 e lo zero di f)

Studiare usando la derivata seconda, la convessita di g (Riportare nel riquadro i grafici che si ritengonoutili).



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Analisi 1+2 Polo di Savona Quinta Prova Parziale 97/98

Quinta Prova Parziale 97/98

ATTENZIONE: Lesercizio puo essere svolto usando la funzione definita in (1) o la funzione definita in (2). Nel

caso (2) il punteggio di ogni domanda e diminuito di 1.

I punti ottenuti oltre il 10 non saranno calcolati nella media ma costituiranno elemento di valutazione positiva insede desame.

Sia f una funzione derivabile infinite volte su R tale che

f(x) = sin(f(x)) f(0) =

2

OPPURE

(2) Sia f(x) = 2 arctan(ex)

(1) PER IL CASO (1) Derivare entrambi i membri della (1) e ricavare f in funzione di f ed f edf in funzione di f f ed f

(2) PER IL CASO (2) Calcolare f(x), f(x), f(x)

Calcolare f(0), f(0), f(0), f(0) e scrivere il polinomio di Taylor P2 ed il polinomio di Taylor P3 dif centrato in 0 di grado 2 e 3, rispettivamente.

Disegnare il grafico di P2 e di P3 per |x| 1

SCONSIGLIATA PER IL CASO (2) Provare che |f(x)| 1 |f(x)| 1 |f(x)| 2

Supponendo verificato che |f(x)| 2 stimare il resto di Lagrange relativo al polinomio di Taylor digrado 2 in funzione di x



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Supponendo verificato che |f(x)| 2, disegnare un maggiorante ed un minorante di f per |x| 1

Supponendo verificato che |f(x)| 2, determinare un maggiorante dellerrore commesso sostituendof con P2 per

|x

| 1/2.

Trovare, se possibile, a in modo che f(x) ax 2

sia infinitesima in 0 di ordine superiore al secondo.



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Analisi 1+2 Polo di Savona Sesta Prova Parziale 97/98

Sesta Prova Parziale 97/98

Sia

f(x) =

0 x < 1 1|x| 1 x < 02x x2 0 x < 11

x4x 1


Disegnare il grafico di F(x) =x0

f(t)dt

Calcolare gli eventuali asintoti, i punti di massimo e di minimo ed i punti di flesso per il grafico di F.



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Disegnare il grafico dix f(t)dt

Determinare una primitiva di f precisandone il campo di definizione.



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Analisi 1+2 Polo di Savona Settima Prova Parziale 97/98

Settima Prova Parziale 97/98

Sia

y(x) =sin(y(x))

sin(x)

Disegnare il grafico della soluzione y relativa al dato iniziale y(/4) = /4.

Disegnare il grafico della soluzione y relativa al dato iniziale y(/4) = /2.

Disegnare il grafico della soluzione y relativa al dato iniziale y(/4) = 5/4.



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Disegnare il grafico di tutte le soluzioni dellequazione data.



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Analisi 1+2 Polo di Savona Ottava Prova Parziale 97/98

Ottava Prova Parziale 97/98


x3y(x) = y(x)

Determinare la soluzione dellequazione data tale che y(1) = 1

Stabilire, per quali a R esistono soluzioni dellequazione data tali che y(0) = a, e determinarle.


Si consideri lequazioney(x) + 4y(x) + 2y(x) = e2|x|

Determinare tutte le soluzioni dellequazione omogenea associata.

Determinare tutte le soluzioni dellequazione completa su R+.

Determinare tutte le soluzioni dellequazione completa su R.



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Analisi 1+2 Polo di Savona Recupero Prima Prova Parziale 97/98

Recupero Prima Prova Parziale 97/98


A = n + 1

n

1: n N, n > 1

Determinare tutti i maggioranti di A.

Determinare tutti i minoranti di A.

Determinare sup A.

Determinare infA.



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Analisi 1+2 Polo di Savona Recupero Seconda Prova Parziale 97/98

Recupero Seconda Prova Parziale 97/98

Sia f : R R una funzione strettamente decrescente, convessa e continua su [1, 1), periodica diperiodo 2, tale che f(1) = 0


Stabilire se f deve essere o puo essere continua in R.

Stabilire se f e invertibile su [1, 3].

Stabilire se f e invertibile su [2, 3].

Stabilire se esiste limx+ f(x)



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Analisi 1+2 Polo di Savona Recupero Terza Prova Parziale 97/98

Recupero Terza Prova Parziale 97/98


f(x) = eax b cos(x)

xx = 0

c x = 0

Determinare a,b,c, in modo che f sia prolungabile per continuita in 0

Determinare a,b,c, in modo che f sia derivabile in 0

Calcolare f(x)

Scrivere, se esiste, la retta tangente al grafico della funzione f nel punto (0, c)



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Analisi 1+2 Polo di Savona Recupero Quarta Prova Parziale 97/98

Recupero Quarta Prova Parziale 97/98

Si consideri la funzione f(x) = arctan(x) + ln

1|x|

Disegnare il grafico della funzione f

Stabilire se f e invertibile in R+, ed i caso affermativo disegnare il grafico dellinversa

Scrivere la retta tangente al grafico della funzione f nel punto (1, /4)

Calcolare (f1)(4

)



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Analisi 1+2 Polo di Savona Recupero Quinta Prova Parziale 97/98

Recupero Quinta Prova Parziale 97/98

Sia f(x) = x + x2 + 2x3 + (2 sin(x5))2

Scrivere il polinomio di Taylor di f centrato in x = 0 di grado 2

Calcolare f(0) f(0), f(7)(0), f(10)(0)

Calcolare f(0.1) a meno di .0001



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Analisi 1+2 Polo di Savona Recupero Sesta Prova Parziale 97/98

Recupero Sesta Prova Parziale 97/98

Sia

f(x) =1

(t 1) 3

(t + 2)

e sia F(x) =

5x

|x|+1

xf(t)dt

Determinare il campo di definizione di F

Studiare i limiti agli estremi del campo di definizione.

Stabilire dove F e derivabile e calcolare la derivata di F



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Analisi 1+2 Polo di Savona Recupero Settima Prova Parziale 97/98

Recupero Settima Prova Parziale 97/98

Siay(x) = y2(x) 1

Disegnare il grafico della soluzione y relativa al dato iniziale y(0) = 0, y(0) = 2, y(0) = 1, y(0) = 2.



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Analisi 1+2 Polo di Savona Recupero Ottava Prova Parziale 97/98

Recupero Ottava Prova Parziale 97/98


2|x|y(x) = y(x)

Determinare tutte le soluzioni dellequazione definite su R+

Determinare tutte le soluzioni dellequazione definite su RSi consideri lequazione

y(x) + y(x) = ex

Determinare tutte le soluzioni dellequazione omogenea associata.

Determinare tutte le soluzioni dellequazione completa.



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Si consideri la funzionef(x) = ekx + (1 k)x

Studiare il grafico della funzione per k = 1/2

Studiare il grafico della funzione per k = 4

Studiare il grafico della funzione per k = 1

Studiare il grafico della funzione al variare di k



y(x) = a +

x0

2t

2y(t) 1 dt

Determinare le soluzioni dellequazione data per a = 0

Determinare le soluzioni dellequazione data per a = 4

Determinare le soluzioni dellequazione data per a =

1

Determinare le soluzioni dellequazione data al variare di a



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Prova dEsame 17 Luglio 1998Si consideri la funzione

f(x) = x + xex

Calcolare f ed f precisando il loro campo di definizione

Studiare il grafico di f

Studiare il grafico della funzione f precisando monotonia e convessita

Disegnare il grafico di f(xn) al variare di n N



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Calcolare, se esiste, (f1)(2 + 2e2)


Si consideri lequazione y(x) = 1 + sin(y(x))y(0) = a

Studiare esistenza ed unicita del problema dato

Disegnare il grafico delle soluzioni dellequazione data per a = 0


Determinare tutte le primitive di1

1 + sin(t)



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Analisi 1+2 Polo di Savona Prova dEsame 9 Ottobre 1998

Prova dEsame 9 Ottobre 1998


f(x) = x 1 x2

a+ ex a > 0

Calcolare f ed f precisando il loro campo di definizione

Studiare il grafico di f

Studiare il grafico della funzione f precisando monotonia e convessita



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Analisi 1+2 Polo di Savona Prova dEsame 9 Ottobre 1998


f(t)dt

Per a = 1, calcolare, se esiste, (f1)(1 + 1e )


Si consideri lequazione y(x) = y4(x) + y(x)y(0) = a

Studiare esistenza ed unicita del problema dato



Studiare al variare di a limx+ y(x)



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y(x) = 1 + y3(x)y(x0) = y0

Discutere esistenza ed unicita locale della soluzione del problema dato.

Disegnare il grafico della soluzione per x0 = 0 ed y0 = 0, precisandone il campo di definizione

Disegnare il grafico della soluzione al variare di x0 per y0 = 0, precisandone il campo di definizione

Disegnare il grafico della soluzione per x0 = 0 al variare di y0, precisandone il campo di definizione

Disegnare il grafico della soluzione al variare di x0, y0, precisandone il campo di definizione



f(x) = ex2

x0

et2

dt x

Calcolare f e scrivere una equazione differenziale lineare del primo ordine, omogenea di cui f siasoluzione.

Determinare tutte le soluzioni dellequazione trovata al punto precedente


Stabilire se f e integrabile su R



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Analisi 1+2 Polo di Savona Prova dEsame 9 Aprile 1999

Prova dEsame 9 Aprile 1999


y(x) = sin y(x)y(x0) = y0

Discutere esistenza ed unicita locale della soluzione del problema dato.

Disegnare il grafico della soluzione per x0 = 0 ed y0 = 1, precisandone il campo di definizione

Disegnare il grafico della soluzione al variare di x0 per y0 = 1, precisandone il campo di definizione

Disegnare il grafico della soluzione per x0 = 0 al variare di y0, precisandone il campo di definizione

Disegnare il grafico della soluzione al variare di x0, y0, precisandone il campo di definizione


Siano a, b funzioni derivabili con derivata continua su R a decrescente su R e b crescente su R e siainoltre una funzione continua e positiva su R . Si consideri

f(x) =

b(x)a(x)

(t)dt

Stabilire se f e derivabile e calcolarne la derivata.

Studiare crescenza e decrescenza di f.Per f(x) = ex

2

, a(x) = arctan(x) e b(x) = x3

Studiare il segno di f




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Si consideri la disequazione

x + 1

x

1 a

Determinare tutte le soluzioni della disequazione per a = 2.

Determinare , reali tali chex + 1

x 1 = +

x 1

Disegnare il grafico di x+1x1

Risolvere la disequazione al variare di a nei reali.

Trovare gli a reali, se ne esistono, tali chex + 1

x 1 a x R, x = 1



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A = 1

x2 + x + 1: x R

Determinare i maggioranti di A e sup A

Determinare i minoranti di A e infA

Stabilire se esistono max A e min A e calcolarli

Provare che e vera la seguente affermazione

La funzione xn e strettamente crescente su (0, +) per ogni n N



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f(x) =ax42 (x + b)42

xc arctan x21

Calcolare per a > 1, b > 0, c > 0lim

x+f(x) =

Calcolare per a = 1, b > 0, c > 0lim

x+f(x) =

Calcolare per b > 0lim

x0+f(x) =

Calcolare per a > 1, b = 0lim

x0+f(x) =



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Analisi 1+2 Polo di Savona Terza Prova Parziale Bis 98/99

Terza Prova Parziale Bis 98/99


f(x) =ax63 (x + b)63

xc arctan x63

Calcolare per a > 1, b > 0, c > 0lim

x+f(x) =

Calcolare per a = 1, b > 0, c > 0lim

x+f(x) =

Calcolare per b > 0lim

x0+f(x) =

Calcolare per a > 1, b = 0lim

x0+f(x) =



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Quarta Prova Parziale 98/99


an+1 = sin(an)a0 = a

Per a = 3, verificare che an (0, )

Per a = 3, provare che an e decrescente

Calcolare per a = 3lim

n+an

Per a = 4, studiare il comportamento di an



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Quinta Prova Parziale 98/99


f(x) = (x2 + 1)arctan(x) 2x

Calcolare f ed f



Scrivere il polinomio di Taylor di ordine 2 di f centrato in x0 = 0

Scrivere il resto di Peano ed il resto di Lagrange relativi al polinomio di Taylor di ordine 2 di f centratoin x0 = 0



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Sesta Prova Parziale 98/99


f(x) =

x0

et2

3

1 et (t 1) t + 2 dt

Determinare il dominio di f.

Studiare la derivabilita di f.



g(x) =

|x|0

et2

3

1 et (t 1) t + 2 dt

Calcolare la derivata di

h(x) =

x2+2x3

et2

3

1 et (t 1) t + 2 dt



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Settima Prova Parziale 98/99


y(x) = ey

4(x) 1y(x0) = y0

Studiare esistenza ed unicita della soluzione del problema dato.

Determinare le soluzioni costanti dellequazione e precisare i dati iniziali in corrispondenza dei quali sihanno soluzioni costanti

Disegnare il grafico della soluzione relativa al dato iniziale x0 = 0 , y0 = 1

Disegnare il grafico delle soluzioni del problema di Cauchy dato al variare dei dati iniziali x0, y0 R



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Analisi 1+2 Polo di Savona Recupero Prima Prova Parziale 98/99

Recupero Prima Prova Parziale 98/99

Si consideri la disequazione

f(x) = ||x 1| 1|


Determinare le soluzioni della disequazione f(x) 3

Determinare le soluzioni della disequazione f(x) k al variare di k R



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Analisi 1+2 Polo di Savona Recupero Seconda Prova Parziale 98/99

Recupero Seconda Prova Parziale 98/99


A = (1)nn2 + n

: n N Determinare i maggioranti di A e sup A

Determinare i minoranti di A e infA

Calcolare

lim(1)nn2 + n

=



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Analisi 1+2 Polo di Savona Recupero Terza Prova Parziale 98/99

Recupero Terza Prova Parziale 98/99

Calcolare

limx

0

(sin x)2 + 1 ex

x3

=

Calcolare al variare di Rlimx0

(sin x)2 + 1 exx

=



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Analisi 1+2 Polo di Savona Recupero Quarta Prova Parziale 98/99

Recupero Quarta Prova Parziale 98/99


an+1 =2an + 1

an

1a0 = a

Studiare il comportamento della successione per a = 4,

Studiare il comportamento della successione per a = 4,



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Analisi 1+2 Polo di Savona Recupero Quinta Prova Parziale 98/99

Recupero Quinta Prova Parziale 98/99


f(x) = x2ex + kx k R



per k = 0 Scrivere il polinomio di McLaurin di ordine 10 di f



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Analisi 1+2 Polo di Savona Recupero Settima Prova Parziale 98/99

Recupero Settima Prova Parziale 98/99


y(x) = 1 y2(x)y(x0) = y0

Determinare la soluzione relativa al dato iniziale x0 = 0 , y0 = 1

Disegnare il grafico delle soluzioni del problema di Cauchy dato al variare dei dati iniziali x0, y0 R



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f(z) =

z0

et2

dt

Studiare il grafico della funzione f

Studiare il grafico della funzione per 1f

Studiare il grafico della funzione per y1

1

f(s)ds

Disegnare il grafico della soluzione del problema di Cauchy

y(x) = f(y(x))

y(x0) = y0



y(x) + 27y(x) = 2e3x + 1

Determinare le soluzioni dellequazione omogenea associata

Determinare le soluzioni dellequazione completa

Scrivere un sistema del primo ordine equivalente allequazione data.

Determinare le soluzioni del sistema trovato precisando la matrice fondamentale del sistema omogeneoad esso associato.



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y(x) = 1 + (y(x))2

y(0) = 0

y(0) = 0

Provare che la soluzione del problema e convessa dove e definita.

Provare che la soluzione ha un minimo locale in 0

Disegnare il grafico della soluzione del problema dato

Determinare esplicitamente tutte le soluzioni delequazione differenziale data



Si consideri

f(x) = tan(x)

Determinare una primitiva di f

Determinare tutte le primitive di f

Determinare larea a della parte di piano delimitata dagli assi, dalla retta x = 1 e dal grafico dellafunzione f

Stabilire se esiste e determinare c [0, 1] tale che f(c) = a



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Si consideri il sistema

y(x) = 3y(x) 2z(x) + exz(x) = 2y(x)

z(x) + x

Determinare tutte le soluzioni del sistema omogeneo associato

Determinare tutte le soluzioni del sistema completo

Determinare tutte le soluzioni del sistema omogeneo tali che y(0) = 0

Determinare tutte le soluzioni del sistema completo tali che y(0) = 0

Precisare se le soluzioni ottenute in ciascuno dei punti precedenti e uno spazio vettoriale e, in casoaffermativo trovarne la dimensione


Si consideri

f(x) =2x

1 + x2


Disegnare il grafico di g(x) = f(E(x)) dove E indica la parte intera.

Disegnare il grafico di F(y) =+y

ex

1+x2dx

Disegnare il grafico di F(y) =+g(x)

ex

1+x2 dx



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Analisi 1+2 Polo di Savona Prova dEsame 17 Settembre 1999

Prova dEsame 17 Settembre 1999


f(x) =

x

x2 + 1x < 0

1 0

x < 11x

1 x < 210

x4x 2




f(t)dt



y(x) = y7(x) 1

Disegnare il grafico della soluzione tale che y(0) = 0

Disegnare il grafico della soluzione tale che y(0) = 1

Disegnare il grafico della soluzione tale che y(0) > 1

Disegnare il grafico della soluzione tale che y(0) < 1

Disegnare il grafico di tutte le soluzioni



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Analisi 1+2 Polo di Savona Prova dEsame 17 Gennaio 2000

Prova dEsame 17 Gennaio 2000


f(x) = arctan(k(x3 x))




f(t)dt

Determinare il numero di soluzioni dellequazione f(x) = 0 al variare di k



y(x) + y(x) = x

Determinare tutte le soluzioni dellequazione omogenea

Determinare tutte le soluzioni dellequazione completa

Stabilire se le soluzioni del problema completo costituiscono uno spazio vettoriale e, in caso affermativo,

determinarne la dimensione.

Trovare tutte le soluzioni del problema completo tale che y(0)=0



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f(x) = ln |1 x2

k2|

g(x) = arctan(x)


Disegnare il grafico di g

Disegnare il grafico di g(f(x))

Disegnare il grafico di f(g(x))


Si consideri lequazione differenziale y

(x) =y(x)

sin y(x)y(x0) = y0


Scrivere la retta tangente al grafico della soluzione per x0 = y0 = 1

Disegnare il grafico delle soluzioni del problema per x0 = y0 = 1

Disegnare il grafico delle soluzioni del problema.



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f(x) =ex

1

x2


Disegnare il grafico di g(x) =x0

f(t)dt

Disegnare il grafico di tutte le primitive di f



y(x) = 2 +

x1

1

sin(y(t))dt


Determinare la soluzione dellequazione data

Disegnare il grafico delle soluzioni dellequazione

Scrivere il polinomio di McLaurin di grado 2 della soluzione del problema



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Analisi 1+2 Polo di Savona Prova Iniziale Settembre 1999

Prova Iniziale Settembre 1999

Test di Autovalutazione

Vi preghiamo di svolgere attentamente ed individualmente il test che e anonimo e ha un duplice scopo:

1) raccogliere dati sulla preparazione iniziale degli iscritti al primo anno, anche in relazione alla scuola diprovenienza, onde prevedere adeguate misure in grado di colmare eventuali lacune,

2) fornire un esempio significativo delle nozioni che si ritengono note e consentire una autovaluta

Analisi Matematica 1, 2

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