Fondamenti di Analisi Matematica 2 TEMA...

Numero ordine alfabetico:

Cognome-Nome:

Fondamenti di Analisi Matematica 2

Vicenza, 5 Febbraio 2019

TEMA11. Si consideri la curva piana � con x(t) = t e y(t) = t

2+2 per t 2 [0, 1]. L’integraleR

� yds`

e uguale a:

� a)

R 1

0 (t2+ 2)

p1 + 4t

2dt

� b)

R 1

0 (t2+ 2)2t dt

� c)

R 1

0 (t2+ 2)dt

� d)

R 1

0 (t2+ 2)

p1 + 2t dt

2. Siano f, g 2 C

1(R2

), Z = {(x, y) | g(x, y) = 5}. Supponiamo che Z 6= ;, che Z

sia limitato e che per ogni P 2 Z, rg(P ) 6= (0, 0), allora necessariamente si

ha:

� a) f ammette punti critici in Z, e tra questi si trovano i punti di massimo e

minimo di f su Z.

� b) Le ipotesi non sono sufficienti a dire se f ammette massimo e minimo su

Z.

� c) Esistono sicuramente dei punti critici di L(x, y,�) = f(x, y)� �g(x, y).

� d) Tutte le precedenti risposte sono errate.

1. Definire le equazioni differenziali del primo ordine, a variabili separabili, e

descrivere il metodo risolutivo.

2. Definizione di rotore di campo vettoriale, dimostrare che se un campo

`

e con-

servativo allora

`

e anche irrotazionale.



TEMA1

1. Per ogni valore del parametro ↵ 2 R, si consideri la seguente equazione

differenziale:

y

00(t)� (↵ + 4)y

0(t) + 4↵y(x) = e

↵t,

(a) Determinare le soluzioni dell’equazione omogenea associata per ogni

valore del parametro ↵ 2 R,

(b) Determinare le soluzioni dell’equazione completa ↵ = 2

(c) Determinare le soluzioni dell’equazione completa ↵ = 4

2. Si consideri la funzione:

f(x, y) = 2 log [(x+ 3)(y � 1)] +

x

2

2

� y

2

2

.

(a) Determinare il dominio D di f e disegnarlo nel piano cartesiano.

(b) Dire se D

`

e aperto, chiuso, n

´

e chiuso n

´

e aperto.

(c) Calcolare le derivate parziali di f , quando possibile, e i suoi punti critici.

(d) Determinare la natura dei punti critici.

3. Data la superficie � definita da:

8<

:

x = u

y = u

2 � v

2

z = v

dove

D = {(u, v) | u2+ v

2 25, v |u| }.

(a) Dimostrare che essa

`

e regolare e calcolare un vettore normale al soste-

gno di �

(b) Calcolare l’integrale superficiale

Z

�

|x|d�.

Tempo: 110 minuti.

`

E vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo.


Cognome-Nome:



TEMA21. Si consideri la curva piana � con x(t) = t

3+ 1 e y(t) = t

2per t 2 [0, 1].

L’integrale

R� xds

`

e uguale a:

� a)

R 1

0 (t3+ 1)dt

� b)

R 1

0 (t3+ 1)3t

2dt

� c)

R 1

0 (t3+ 1)

p9t

4+ 4t

2dt

� d)

R 1

0 (t3+ 1)

p3t

2+ 2t dt

2. Siano f, g 2 C

1(R2

), Z = {(x, y) | g(x, y) = 0}. Supponiamo che Z 6= ; e che

per ogni P 2 Z, rg(P ) 6= (0, 0), allora necessariamente si ha:

� a) Se rf(P ) 6= 0 per ogni P 2 Z, allora f non ammette massimo e minimo

su Z.

� b) Se Z

`

e un insieme limitato, allora esistono sicuramente dei punti critici di

L(x, y,�) = f(x, y)� �g(x, y).

� a) Se Z

`


f(x, y).

� d) nessuna delle precedenti risposte

`

e corretta

1. Definire le equazioni differenziali del primo ordine, a variabili separabili, e

descrivere il metodo risolutivo.

2. Definizione di campo conservativo e di potenziale, dimostrare che se un cam-

po

`

e conservativo allora il lavoro lungo una curva dipende solo dalla differenza

di potenziale agli estremi della curva.



TEMA2


differenziale:

y

00(t)� (↵ + 3)y

0(t) + 3↵y(x) = e

↵t,



(b) Determinare le soluzioni dell’equazione completa ↵ = 2



f(x, y) = 2 log [(x� 3)(y + 1)] +

x

2

2

� y

2

2

.


(b) Dire se D

`

e aperto, chiuso, n

´

e chiuso n

´

e aperto.




8<

:

x = u

y = u

2 � v

2

z = v

dove

D = {(u, v) | u2+ v

2 25, u |v| }.


`


gno di �


Z

�

|z|d�.

Tempo: 110 minuti.

`



Cognome-Nome:



TEMA31. Si consideri la curva piana � data in rappresentazione cartesiana da

y = x

2+ 3 con x 2 [0, 1]. La lunghezza di �

`

e uguale a:

� a)

R 1

0 (x2+ 3)dx

� b)

R 1

0

p(1 + 2x)dx

� c)

R 1

0

p(1 + 4x

2)dx

� d)

R 1

0 (1 + 4x

2)dx

2. Siano f, g 2 C

1(R2

), Z = {(x, y) | g(x, y) = �1}. Supponiamo che Z 6= ; e che

per ogni P 2 Z, rg(P ) 6= (0, 0), allora necessariamente si ha:

� a) Se Z

`

e un insieme limitato e f ha due soli punti critici in Z, allora questi

sono sicuramente i punti di massimo e minimo di f su Z.

� b) Se rf(P ) 6= 0 per ogni P 2 Z, allora f non ammette massimo e minimo

su Z.

� c) Se Z

`


L(x, y,�) = f(x, y)� �(g(x, y) + 1).

� d) Se Z

`

e un insieme limitato allora esistono sicuramente dei punti critici di

L(x, y,�) = f(x, y)� �g(x, y)

1. Definire le equazioni differenziali lineari del primo ordine e scrivere l’integrale

generale.

2. Definizione di campo conservativo e di potenziale, dimostrare che se un cam-

po

`

e conservativo allora il lavoro lungo una curva dipende solo dalla differenza

di potenziale agli estremi della curva.



TEMA3


differenziale:

y

00(t)� (↵ + 3)y

0(t) + 3↵y(x) = e

↵t,



(b) Determinare le soluzioni dell’equazione completa ↵ = �1



f(x, y) = 2 log [(x+ 1)(y � 3)]� x

2

2

+

y

2

2

.


(b) Dire se D

`

e aperto, chiuso, n

´

e chiuso n

´

e aperto.




8<

:

x = u

y = u

2 � v

2

z = v

dove

D = {(u, v) | u2+ v

2 16, v |u| }.


`


gno di �


Z

�

|z|d�.

Tempo: 110 minuti.

`



Cognome-Nome:



TEMA41. Si consideri la curva piana � data in rappresentazione cartesiana da

y = x

2+ 2x+ 1 con x 2 [0, 1]. La lunghezza di �

`

e uguale a:

� a)

R 1

0

p(1 + (2x+ 2)

2)dx

� b)

R 1

0 (1 + (2x+ 2)

2)dx

� c)

R 1

0 (x2+ 2x+ 1)dx

� d)

R 1

0

p(1 + (2x+ 2))dx

2. Siano f, g 2 C

1(R2

), Z = {(x, y) | g(x, y) = 0}. Supponiamo che Z 6= ;, che Z

sia limitato e che per ogni P 2 Z, rg(P ) 6= (0, 0), allora necessariamente si

ha:

� a) Esistono sicuramente dei punti critici di L(x, y,�) = f(x, y)� �g(x, y).

� b) Le ipotesi non sono sufficienti per concludere che f ammette massimo e

minimo assoluto su Z.

� c) Esistono sicuramente dei punti critici di f su Z.

� d) Se rf(P ) 6= 0 per ogni P 2 Z, allora f non ammette massimo e minimo

su Z.

1. Definire le equazioni differenziali lineari del primo ordine e scrivere l’integrale

generale.

2. Definizione di rotore di campo vettoriale, dimostrare che se un campo

`

e con-

servativo allora

`

e anche irrotazionale.



TEMA4


differenziale:

y

00(t)� (↵ + 4)y

0(t) + 4↵y(x) = e

↵t,



(b) Determinare le soluzioni dell’equazione completa ↵ = �1



f(x, y) = 2 log [(x� 1)(y + 3)]� x

2

2

+

y

2

2

.


(b) Dire se D

`

e aperto, chiuso, n

´

e chiuso n

´

e aperto.




8<

:

x = u

y = u

2 � v

2

z = v

dove

D = {(u, v) | u2+ v

2 16, u |v| }.


`


gno di �


Z

�

|x|d�.

Tempo: 110 minuti.

`


Tamaleat

Esty

de 3 g'e 3dgPca d des d e 32 O

dip 2 3 fest Gd

LIa

2 3 È Gt3 la 3

a 32

soluzioni omogenea

se 3 get getti e e

se D 3 yoctl.ge tgte

atD 2 y 5g 6g e

radici polinomio caratteristico Io

soluzione omogenea za te e

poiche d L È radice semplice del polinomiocaratteristico la soluzione particolare sara

del tipo

9pct A feat

9pct Ae date

j'G 2aeat saeat.ca feet

g 5g 6gAe 4 5 loft

at 2TAe e

A 1

yctl.ge gesta featat

a 3y 6g e 9g e

3Tsoluzione omogenea G geste te

d 3 e radice doppia del polinomio caratteristico

quindi la soluzione particolare sara del tipo

4pct a fest

gip Latest safest

g2 Ae'I Gateste 6Atestasafest

g p6gg

9 Aes latest µ Igfsta

3T 3T2 Ae e

A 12

yet g c test fest

Eslfcxgt2lgfx skg.ee È

D g x 3 4h so

x_g 4h o II oppure

p.a

ff.ae

12

De definito tramite disuguaglianze strette

quindi e un insieme aperto

7cg 244 3 Cgil È

e derivabile g ED e si ha

gg 2 Creise

2

j I IX 3 Crei x 3

Of 2

g g

punticritici fx.xesxtlx3fye.FIyet

È t Eeg 2 0

22 3 1 0 e 3 Ì 3

41

Fey 2 0 qae itf a t.IE Ig

punti possibili Ps 2,1 par 2 2

Bla I 1 2

di questi solo Letamaio

2 3 3 E 3 2

x 3 2

27 1 Cerea 57 2

ya

f g f 0

Afidi

definita negativa Pae'di Max relativo

Head

e indefinito e pt di sella

Es 3 U

E

la superficie e una superficie cartesiana

del tipo y face quindi è regolaree

poiche fix si È E C

Abbiamo

tu 1 da 0

to 0 ao 1

tanto da 1 ao

un vettore normale al sostegno

D yo Eto'E 25 ne lol

Ireneo la It qu 48

lei di lol FÀ dado

5 ciao

Dce 5

passando in coordinate polari

vi p cost le ft

p seno q E o 5

sentendo

iresuoi

It

senti da 2 sono da

TI 44 I

2 cost

a s Ea

Fede

senti t.coshgf.de

sentita cosi calda

sentieri EII.ze.ie a

codice È e ta

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