8 9 0 1 2 3 4 5 6 (60B) Esercitazioni di Analisi ... · Analisi Matematica Due Prima parte...

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Marcellini

Sbordone

Paolo Marcellini, Carlo Sbordone

Prima parte

Gli autoriPaolo Marcellini, professore ordinario di Analisi Matematica presso l’Università di Firenze, fa parte del Consiglio Scientifico dell’Istituto Nazionale di Alta Matematica (INdAM) ed è stato Presidente del Gruppo Nazionale per l’Analisi Matematica, la Probabilità e le loro Applicazioni (GNAMPA). È stato professore visitatore presso numerosi atenei e centri di ricerca internazionali, tra i quali: University of California, Berkeley; Collège de France, Paris; Institute for Advanced Study, Princeton; Center for Nonlinear Analysis, Carnegie Mellon University, Pittsburgh; Mathematical Institute of the University of Oxford; University of Texas, Austin; Institut Mittag-Leffler, Stockholm.Carlo Sbordone, professore ordinario di Analisi Matematica presso l’Università Federico II di Napoli, è socio dell’Accademia Nazionale dei Lincei. È stato Presidente dell’Unione Matematica Italiana (UMI), Presidente dell’Accademia Pontaniana e professore visitatore presso istituzioni scientifiche italiane, in particolare presso la Scuola Normale Superiore di Pisa, ed estere, tra cui: Collège de France, Paris; Institut fur Mathematik, Universität Zürich; Center for Nonlinear Analysis, Carnegie Mellon University, Pittsburgh; University of California, Berkeley; Mathematical Institute of the University of Oxford; University of Helsinki.

L’operaI due volumi dedicati alle Esercitazioni di Analisi Matematica Due propongono brevi cenni di teoria e un ricco corredo di esercitazioni svolte, che riguardano i seguenti argomenti:

Prima parte1. Successioni e serie di funzioni2. Spazi metrici e spazi normati3. Funzioni di più variabili4. Equazioni differenziali lineari5. Equazioni differenziali non lineari del primo ordine6. Equazioni differenziali non lineari di ordine superiore al primo

Seconda parte1. Massimi e minimi per le funzioni di più variabili2. Misura e integrazione in ℝn

3. Metodi di calcolo per gli integrali multipli4. Funzioni implicite5. Integrali su curve e superfici6. Forme differenziali

Esercitazioni di Analisi Matematica Due


Esercitazioni di Analisi Matematica DuePrima parte

Esercitazioni di

Analisi M

atematica D

ueP

rima

parte

MARCELLINI*ESERCIT ANALISI 2 VOL.2 ISBN 978-88-08-19145-8

9 788808 1914588 9 0 1 2 3 4 5 6 (60B)


9 788808 2207078 9 0 1 2 3 4 5 6 (60B)

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Paolo Marcellini Carlo Sbordone

Prima parte

Esercitazioni diAnalisi Matematica Due

Indice

Capitolo 1. Successioni e serie di funzioni 11A. Successioni di funzioni: convergenza puntuale ed uniforme 11B. Serie di funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211C. Serie di potenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271D. Serie di Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Capitolo 2. Spazi metrici e spazi normati 462A. Spazi metrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462B. Condizione di Cauchy. Completezza . . . . . . . . . . . . . 522C. Lo spazio metrico dei numeri reali come completamento di Q 572D. Spazi metrici compatti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622E. Spazi normati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

Capitolo 3. Funzioni di piu variabili 713A. Rappresentazione grafica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713B. Insiemi di definizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763C. Limiti e continuita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 823D. Derivate parziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 923E. Differenziabilita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1033F. Derivate delle funzioni composte . . . . . . . . . . . . . . . 1123G. Gradiente. Derivate direzionali . . . . . . . . . . . . . . . . 1183H. Funzioni di tre o piu variabili reali . . . . . . . . . . . . . . 125

Capitolo 4. Equazioni differenziali lineari 1344A. Equazioni differenziali lineari del primo ordine . . . . . . . 1344B. Equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienticostanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1434C. Equazioni lineari non omogenee a coefficienti costanti . . . 151

ii Indice

4D. Il metodo della variazione delle costanti . . . . . . . . . . . 1574E. Problemi ai limiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1594F. Equazioni lineari di Eulero . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1634G. Integrazione per serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1684H. Sistemi di equazioni differenziali lineari . . . . . . . . . . . 171

Capitolo 5. Equazioni differenziali non lineari del primo ordine 1785A. Equazioni a variabili separabili . . . . . . . . . . . . . . . . 1785B. Equazioni di Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1875C. Equazioni della forma y ′ = g(y/x) . . . . . . . . . . . . . . 1945D. Equazioni della forma y ′ = g(ax+ by) . . . . . . . . . . . . 200

5E. Equazioni della forma y ′ = g

(ax+ by + c

a′x+ b′y +′ c′

). . . . . . . 202

5F. Equazioni non normali della forma x = g(y ′) . . . . . . . . 2055G. Equazioni non normali della forma y = g(y ′) . . . . . . . . 2075H. Equazioni di Clairaut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2085I. Il Teorema di Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2135L. Integrazione grafica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2225M. Equazioni di Riccati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2285N. Esercizi di riepilogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

Capitolo 6. Equazioni differenziali di ordine superiore al primo 2426A. Generalita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2426B. Equazioni della forma g(x, y ′, y ′′) = 0 . . . . . . . . . . . . 2436C. Equazioni della forma g(y, y ′, y ′′) = 0 . . . . . . . . . . . . 2506D. Equazioni di ordine superiore al secondo . . . . . . . . . . 257

Capitolo 1

SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI

1A. Successioni di funzioni: convergenza puntuale ed uniforme

Sia (fn) una successione di funzioni reali definite nell’intervallo I di R.Si dice che (fn) converge puntualmente in I verso la funzione f : I → R,

se risulta

limn→+∞ fn(x) = f(x) , ∀x ∈ I ,

cioe se: ∀ ε > 0 e ∀x ∈ I, esiste νε,x ∈ N tale che per n > νε,x si ha |fn(x) −f(x)| < ε.

In generale, il numero νε,x dipende anche da x; se invece, ∀ε > 0, talenumero e indipendente da x, si parla di convergenza uniforme.

Precisamente, si dice che (fn) converge uniformemente in I verso f , se∀ ε > 0 esiste νε ∈ N tale che ∀n > νε si ha

|fn(x)− f(x)| < ε ∀x ∈ I.

Dunque, la convergenza uniforme implica quella puntuale.Se le funzioni fn, f sono limitate in I, allora (fn) converge uniformemente

verso f in I se e solo se, posto Mn = sup{|fn(x) − f(x)| : x ∈ I}, risultalim

n→+∞Mn = 0.

La successione (fn) si dice equilimitata in I, se esiste una costante M > 0tale che

|fn(x)| ≤ M ∀n ∈ N , ∀x ∈ I ;

si dice equicontinua in I, se, per ogni ε > 0 esiste δε > 0 tale che

2 1A. Successioni di funzioni: convergenza puntuale ed uniforme

|x− y| < δε =⇒ |fn(x)− fn(y)| < ε , ∀n ∈ N.

Sussistono i seguenti notevoli teoremi.

TEOREMA 1 (di Ascoli - Arzela). Se (fn) e una successione di funzioniequilimitate ed equicontinue nell’intervallo chiuso e limitato I = [a, b], alloraessa ammette un’estratta convergente uniformemente in I.

TEOREMA 2 (Condizione di Cauchy uniforme). Condizione necessaria e suf-ficiente affinche la successione (fn) converga uniformemente verso una funzio-ne definita in I e che: ∀ε > 0 esista νε tale che ∀ p, q > νε sia |fp(x)−fq(x)| <ε, ∀x ∈ I.

TEOREMA 3 (Continuita del limite uniforme di funzioni continue). Se (fn)converge uniformemente verso f e tutte le fn sono continue, allora anche flo e.

TEOREMA 4 (Passaggio al limite sotto il segno di integrale). Sia (fn) unasuccessione di funzioni continue in I = [a, b] ed ivi convergente uniformementeverso f . Allora si ha

limn→+∞

∫ b

afn(x) dx =

∫ b

af(x) dx.

TEOREMA 5 (Passaggio al limite sotto il segno di derivata). Sia (fn) unasuccessione di funzioni derivabili in I = (a, b) ed ivi convergente puntualmen-te verso f . Se la successione (f ′

n) converge uniformemente in I, allora f ederivabile in I e si ha:

limn→+∞ f ′

n(x) = f ′(x) ∀x ∈ I .

1.1 Consideriamo la successione di funzioni fn(x) definita nell’intervallo [−1, 1]da

fn(x) = xn , n ∈ N , x ∈ [−1, 1] .Stabilire per quali x ∈ [−1, 1] la successione converge puntualmente e calcolareil limite. Determinare inoltre gli intervalli I ⊂ [a, b] su cui fn(x) convergeuniformemente.

[La successione fn(x) = xn, per n→ +∞ converge a f(x) = 0 per ogni x ∈ (−1, 1). Inoltre,per x = 1, fn(1) = 1 e una successione costante che evidentemente ha limite uguale ad 1.Infine, se x = −1 risulta fn(x) = (−1)n, che e una successione che non ammette limite.Pertanto, per n → +∞, la successione fn(x) converge puntualmente per ogni x ∈ (−1, 1] eil limite e la funzione f(x) definita da

Capitolo 1. Successioni e serie di funzioni 3

f(x) =

{0, se x ∈ (−1, 1)1, se x = 1

La convergenza non e uniforme su tutto l’intervallo I = (−1, 1], perche se lo fosse anche f(x)dovrebbe essere una funzione continua in (−1, 1] come le fn(x) per ogni n. La convergenzadi fn(x) ad f(x) non e uniforme neanche nell’intervallo aperto (−1, 1), infatti

sup{|fn(x)− f(x)| : x ∈ (−1, 1)} = sup{|fn(x)| : x ∈ (−1, 1)} == sup{|xn| : x ∈ (−1, 1)} = 1, ∀n ∈ N ,

e tale quantita non converge a zero per n→ +∞.Invece la convergenza e uniforme in ogni intervallo I della forma I = (a, b), oppure

I = [a, b] (od anche chiuso o aperto solo a destra o sinistra) con −1 < a < b < 1. Infatti intal caso risulta

sup{|fn(x)− f(x)| : x ∈ I} = sup{|xn| : x ∈ I} = max{|a|n, |b|n}e tale quantita converge a zero per n→ +∞ dato che |a| e |b| sono minori di 1]

1.2 Sia fn(x) la successione di funzioni fn(x) =1

xn, n ∈ N, x > 0. Sta-

bilire per quali x ∈ (0,+∞) la successione converge puntualmente per n →+∞. Determinare inoltre almeno un intervallo dove la successione convergeuniformemente.

[Risulta

limn→+∞

fn(x) =

⎧⎨⎩

0, per x > 11, per x = 1+∞, per x ∈ (0, 1)

.

Pertanto la successione fn(x) converge puntualmente nell’intervallo [1,+∞) alla funzionef(x) definita da

f(x) =

{0, per x > 11, per x = 1

.

La convergenza non e uniforme nell’intervallo [1,+∞), perche se lo fosse la funzione f(x)dovrebbe essere continua in tutto l’intervallo (e non lo e nel punto x0 = 1), dato che tuttele funzioni fn(x), n ∈ N, sono continue. Invece nell’intervallo I = (a,+∞), oppure seI = [a,+∞), con a > 1, la convergenza di fn(x) ad f(x) e uniforme. Infatti

sup{|fn(x)− f(x)| : x ∈ I} = sup{|fn(x)| : x ∈ I} = sup{ 1

xn: x ∈ I} = 1

an

e tale estremo superiore 1/an converge a zero per n→ +∞]

1.3 Siano α, β due numeri reali e sia (fn) la successione definita in (0, 1) da

fn(x) =

⎧⎨⎩

α se x ∈ (0, 1/n]

β se x ∈ (1/n, 1) .


Determinare il limite puntuale di (fn) e stabilire sotto quali condizioni laconvergenza e anche uniforme.

[Il limite puntuale e la funzione identicamente uguale a β. Inoltre, essendo

supx∈(0,1)

|fn(x)− β| = |α− β|

si ha convergenza uniforme se e solo se e α = β]

1.4 Studiare la convergenza delle successioni di funzioni (fn), (gn) definite perx ∈ R da

fn(x) = sennx , gn(x) = cosnx.

[Si ha limn→+∞

fn(x) = 0 solo per x = kπ, con k ∈ Z e limn→+∞

gn(x) = 1 solo per x = 2kπ, con

k ∈ Z (si veda il paragrafo 12D del vol. I, parte prima)]

1.5 Verificare che la successione (fn) definita da fn(x) = xn per x ∈ (−1, 1)converge verso la funzione f(x) = 0 puntualmente, ma non uniformemente.

[Si ha limn→+∞

fn(x) = limn→+∞

xn = 0, ∀x ∈ (−1, 1).Essendo poi

supx∈(−1,1)

|xn − 0| = supx∈(−1,1)

|xn| = 1,

la successione non converge uniformemente]

1.6 Verificare che la successione (fn) definita da fn(x) = xn per x ∈ (−1, 1)converge uniformemente in ogni intervallo del tipo (−a, a) con 0 < a < 1.

[Si ha sup{|xn − 0| : x ∈ (−a, a)} = an. Essendo limn→+∞

an = 0, si ha l’asserto. Si vedano i

dettagli nell’esercizio 1.1]

1.7 Studiare la convergenza della successione di funzioni fn(x) = x−n negliintervalli

(a) I = (1,+∞) (b) J = (2,+∞)

[Si vedano i dettagli anche nell’esercizio 1.2. La successione (fn) converge puntualmente versozero per x ≥ 1. (a) Essendo Mn = sup{x−n : x ∈ I} = 1, la successione (Mn) non convergea zero e dunque (fn) non converge uniformemente in I. (b) Essendo M ′n = sup{x−n : x ∈J} = 2−n si ha lim

n→+∞M ′n = 0 e percio la successione (fn) converge uniformemente a zero in

J ]

1.8 Il teorema 4 stabilisce che la convergenza uniforme e una condizione suffi-ciente per passare al limite sotto il segno di integrale. Non e pero condizione


necessaria. Per mostrare cio si consideri la successione di funzioni (un altroesempio e proposto nell’esercizio 1.27):

fn(x) = nxe−n2x2, ∀x ∈ R ,

e si verifichi che(a) fn(x) converge a f(x) = 0 per ogni x ∈ R.(b) (fn) non converge uniformemente in [0, 1].(c) L’integrale definito di fn(x) nell’intervallo [0, 1] converge a zero.(d) Si determinino tutti e soli i numeri reali a, b (a < b) con la proprieta che(fn) converga uniformemente in [a, b].

[(b) Consideriamo Mn = sup{|fn(x)− f(x)| : x ∈ [0, 1]} = max{fn(x) : x ∈ [0, 1]}.Fissato n, il massimo assoluto di fn(x) nell’intervallo [0, 1] si determina scegliendo il valorepiu grande tra fn(0), fn(1) e fn(x) per x tale che f ′n(x) = 0. La derivata prima vale

f ′n(x) = ne−n2x2

(1− 2n2x2)

e si annulla in [0, 1] per x =√

1/(2n2). Essendo fn(0) = 0, fn(1) = ne−n2 → 0, per nsufficientemente grande risulta

Mn = fn

(√1

2n2

)=

√2

2e.

La successione (Mn) e definitivamente costante (> 0) e non converge a zero. Percio (fn) nonconverge uniformemente in [0, 1].(c) Per n → +∞ l’integrale definito di fn(x) in [0, 1] converge a zero (e zero e il valoredell’integrale definito di f(x) in [0, 1]); infatti:∫ 1

0

fn(x) dx = n

∫ 1

0

xe−n2x2

dx = n

[ −12n2

e−n2x2]10

=1

2n(1− e−n2

)→ 0.

(d) La successione converge uniformemente in [a, b] se a, b hanno lo stesso segno, mentrenon converge uniformemente se a, b hanno segni discordi o se uno di essi e nullo. Infatti, adesempio se 0 < a < b, definitivamente si ha

√1/(2n2) < a e quindi

Mn = max{fn(x) : x ∈ [a, b]} = fn(a)→ 0]

1.9 Sia (fn) una successione di funzioni continue nell’intervallo I di R, con-vergente uniformemente in I verso f . Verificare che, se xn, x ∈ I e xn → x,allora si ha

limn→+∞ fn(xn) = f(x).

[Sia ε > 0 e sia νε tale che ∀n > νε, |fn(x)− f(x)| < ε/2, ∀x ∈ I. Allora per n > νε si ha

|fn(xn)− f(x)| ≤ |fn(xn)− f(xn)|+ |f(xn)− f(x)| < ε/2 + |f(xn)− f(x)|.


Poiche f e continua e xn → x ∈ I, si ha anche f(xn) → f(x), per cui ∃ ν′ε > νε tale che|f(xn)− f(x)| < ε/2, ∀n > ν′ε. Ne segue facilmente l’asserto]

1.10 Sia α un parametro reale e sia (fn) la successione di funzioni definita da

fn(x) = nαxe−n2x2, ∀x ∈ R .

(a) Verificare che, per ogni α ∈ R, fn(x) converge a f(x) = 0 puntualmentesu R.(b) Utilizzando la proprieta enunciata nell’esercizio precedente con xn = 1/n,verificare che (fn) non converge uniformemente su R se α ≥ 1.(c) Verificare che (fn) converge uniformemenre su R se α < 1.(d) Mostrare che, se α < 0, la successione delle derivate (f ′

n) converge a zerouniformemente su R.(e) Verificare che, per α = 0, la successione (f ′

n) converge puntualmente perogni x ∈ R ad una funzione g(x) = f ′(x) (questo esempio mostra che il teorema4, di passaggio al limite sotto il segno di derivata, non vale in generale suppo-nendo che la successione delle derivate (f ′

n) converga soltanto puntualmente,invece che uniformemente).

[(b) Essendo f(x) = 0 per ogni x ∈ R, in base alla proprieta enunciata nell’esercizio 1.9, se(fn) convergesse a f(x) uniformemente su R, dovrebbe risultare

limn→+∞

fn(xn) = f(x) = 0,

per ogni successione (xn) convergente ad x. Invece, se α ≥ 1, posto xn = 1/n si ottiene

limn→+∞

fn(xn) = limn→+∞

nα−1e−1 =

{+∞ se α > 1e−1 se α = 1 .

(c) Come nell’esercizio 1.8 (b), si verifica che

Mn = max{|fn(x)| : x ∈ R} =√2nα−1

2e, ∀n ∈ N .

Se ne deduce che (fn) converge uniformemente su R se e solo se α < 1.

(d) La successione delle derivate vale f ′n(x) = nαe−n2x2

(1 − 2n2x2) e, se α < 0, converge azero per ogni x ∈ R. Inoltre si verifica che il massimo assoluto di |f ′n(x)| su R e raggiuntoper x = 0 (|f ′n(x)| presenta massimi relativi anche se x2 = 3/(2n2)) ed il valore di massimovale

max{|f ′n(x)| : x ∈ R} = max{ |f ′n(0)|; |f ′n(√

3/(2n2))| } = nα max{1; 2

e3/2} = nα;

se α < 0 tale valore converge a zero per n→ +∞.

(e) Se α = 0 la successione f ′n(x) = e−n2x2

(1− 2n2x2) converge a

limn→+∞

f ′n(x) = g(x) =

{0 se x = 01 se x = 0 .


Essendo f(x) = 0 per ogni x ∈ R, risulta f ′(x) = 0 = g(x) nel punto x = 0]

1.11 Studiare la convergenza in I = [0, 1] delle successioni di funzioni

(a) fn(x) = x/(1 + nx) (b) gn(x) = nx/(1 + nx)

[(a) Si ha limn→+∞

fn(x) = 0 per ogni x ∈ I. La convergenza e uniforme; infatti, fissato ε > 0 per

n > ν = 1/ε si ha fn(0) = 0 < ε e, per x ∈ (0, 1] risulta 0 ≤ fn(x) = 1/[(1/x)+n] < 1/n < ε.(b) Posto g(x) = lim

n→+∞gn(x), si ha g(0) = 0 e g(x) = 1 per ogni x ∈ (0, 1]. Poiche le gn sono

continue e g e discontinua, la convergenza non e uniforme, grazie al teorema 3. Il graficodella funzione gn e rappresentato in fig. 1.1 per n = 1, 2, 10, 30]

figura 1.1

1.12 Studiare la convergenza in (0, 1) delle successioni di funzioni

(a) fn(x) = 1/(1 + nx) (b) gn(x) = 1/(n+ x)

[Le due successioni convergono puntualmente verso la funzione identicamente nulla, ma laconvergenza non e uniforme, perche le fn e le gn non sono funzioni equilimitate in (0, 1)]

1.13 Studiare la convergenza in I = [−1, 1] delle successioni di funzioni(a) fn(x) = x/(1 + n2x2) (b) gn(x) = nx/(1 + n2x2)


[(a) Si ha limn→+∞

fn(x) = 0 per ogni x ∈ I. Essendo fn(x) = (1/n)nx/[1 + (nx)2], la

convergenza e uniforme in quanto t/(1 + t2) ≤ 1/2 per ogni t ≥ 0.(b) Si ha lim

n→+∞gn(x) = 0 per ogni x ∈ I. Essendo gn(1/n) = 1/2 (x = 1/n e punto di

massimo per gn), la convergenza non e uniforme, grazie all’esercizio 1.9. Il grafico di gn erappresentato in figura 1.2 per n = 1, 2, 10]

figura 1.2

1.14 Studiare la convergenza in I = (0, 1] della successione di funzioni fn(x) =n2/(1 + n2x2).

[Si ha limn→∞

fn(x) = 1/x2 = f(x) per ogni x ∈ I. Essendo |fn(x)− f(x)| = 1/x2(1 + nx2), la

convergenza non e uniforme, perche nessuna delle fuzioni fn − f e limitata in I]

1.15 Studiare la convergenza in I = [0, 1] della successione di funzioni fn(x) =n2x2/(1 + n2x2).

[Si ha limn→∞

fn(x) = 1 per ogni x ∈ I. Essendo fn(1/n) = 1/2, la convergenza non e uniforme,

grazie all’esercizio 1.9]

1.16 Stabilire se la successione di funzioni

fn(x) =n2x

1 + n2x2

converge uniformemente nell’intervallo I = [1,+∞).

44 1D. Serie di Taylor

∫ 1

0

e−x2

dx =

∫ 1

0

dx−∫ 1

0

x2 dx+

∫ 1

0

x4

2!dx−

∫ 1

0

x6

3!+ . . . =

= [x]10−[x3

3

]10

+

[x5

10

]10

−[x7

42

]10

+. . . = 1−(1/3)+(1/10)−(1/42)+(1/216)−(1/1320)+. . .

All’ultimo membro abbiamo una serie alternata e percio (ved. il paragrafo 6C del vol. I,parte seconda) l’errore si maggiora con il valore assoluto del primo termine trascurato. Peravere un errore inferiore a 0.001 dovremo sommare fino al termine 1/216 incluso. Percio, ameno di 0.001 si ha∫ 1

0

e−x2

dx ∼= 1− (1/3) + (1/10)− (1/42) + (1/216) ∼= 0.747]

1.104 Calcolare, con sei cifre decimali esatte, il valore dell’integrale∫ 1

0

senx

xdx .

[Si ha senx =∞∑

n=0

(−1)nx2n+1/(2n+ 1)! per x ∈ R e percio

senx

x= 1− x2

3!+

x4

5!− x6

7!+ . . .+ (−1)n x2n

(2n+ 1)!+ . . .

uniformemente nell’intervallo (0, 1). Infatti la serie a secondo membro e maggiorata dallaserie numerica di termine generale 1/(2n + 1)! nell’intervallo (0, 1). Quest’ultima converge,come si verifica facilmente mediante il criterio del rapporto. Integrando per serie si ha percio∫ 1

0

senx

xdx =

∫ 1

0

(1− x2

3!+

x4

5!− x6

7!+ . . .) dx = 1− 1

3 · 3! +1

5 · 5! −1

7 · 7! +1

9 · 9! − . . .

Per un teorema sulle serie alternate (ved. il paragrafo 6C del vol. I, parte seconda) l’erroreche si commette arrestando lo sviluppo si maggiora con il valore assoluto del primo terminetrascurato. Sommando, percio, solo i primi quattro termini, l’errore sara minore di 1/9 ·9! =0.0000003. Il valore approssimato richiesto e dunque

1− 1

3 · 3! +1

5 · 5! −1

7 · 7! = 0.946083]

1.105 Calcolare per serie gli integrali

(a)

∫ 1

0

log (1 + x)

xdx (b)

∫ 1

0

log x

x+ 1dx

[(a)∞∑

n=1

(−1)n−1/n2; (b) Integrando per parti si e ricondotti all’integrale in (a)]

1.106 Calcolare per serie gli integrali (x ∈ R):

(a)

∫ x

0sen (t2) dt (b)

∫ x

0cos (t2) dt


[(a)∞∑

n=0

(−1)nx4n+3/[(2n+ 1)!(4n+ 3)]; (b)∞∑

n=0

(−1)nx4n+1/[(2n)!(4n+ 1)]]

Riepilogo di sviluppi in serie notevoli

1. ex = 1 + x+x2

2!+ . . .+

xn

n!+ . . . (x ∈ R)

2. senx = x− x3

3!+ . . .+ (−1)n x2n+1

(2n+ 1)!+ . . . (x ∈ R)

3. cosx = 1− x2

2!+ . . .+ (−1)n x2n

(2n)!+ . . . (x ∈ R)

4. (b+ x)α = bα + αbα−1x+ . . .+α(α− 1) . . . (α− n+ 1)

n!bα−nxn + . . . (|x| < |b|)

5. ax = 1 + x log a+(x log a)2

2!+ . . .+

(x log a)n

n!+ . . . (x ∈ R)

6. arcsenx = x+1 · x3

2 · 3 +1 · 3 · x5

2 · 4 · 5 +1 · 3 · 5 · x7

2 · 4 · 6 · 7 + . . .+

1 · 3 · 5 · . . . · (2n− 1)x2n+1

2 · 4 · 6 · . . . · 2n(2n+ 1)+ . . . (|x| < 1)

7. arctgx = x− x3

3+

x5

5− x7

7+ . . .+ (−1)n x2n+1

2n+ 1+ . . . (|x| ≤ 1)

8. senhx = x+x3

3!+ . . .+

x2n+1

(2n+ 1)!+ . . . (x ∈ R)

9. coshx = 1 +x2

2!+ . . .+

x2n

(2n)!+ . . . (x ∈ R)

10. sett senhx = x− x3

2 · 3 +1 · 3 · x5

2 · 4 · 5 −1 · 3 · 5 · x7

2 · 4 · 6 · 7 + . . .+

(−1)n 1 · 3 · 5 · . . . · (2n− 1)x2n+1

2 · 4 · 6 · . . . · 2n(2n+ 1)(|x| ≤ 1)

11. sett tghx = x+x3

3+

x5

5+ . . .+

x2n+1

2n+ 1+ . . . (|x| < 1)

12. log (1 + x) = x− x2

2+

x3

3− . . .+ (−1)n+1 x

n

n+ . . . −1 < x ≤ 1

13. log1 + x

1− x= 2(x+

x3

3+

x5

5+ . . .+

x2n+1

2n+ 1+ . . .) (|x| < 1)

14. log x = 2

[x− 1

x+ 1+

1

3

(x− 1

x+ 1

)3

+ . . .+1

2n+ 1

(x− 1

x+ 1

)2n+1

+ . . .

](x > 0)

15. senhx+ senx = 2(x+x5

5!+

x9

9!+ . . .) (x ∈ R)

16. coshx+ cosx = 2(1 +x4

4!+

x8

8!+ . . .) (x ∈ R)

Al pubblico 22,00

In caso di variazione Iva o cambiamento prezzo consultareilsitooilcatalogodell’editore

www.zanichelli.it

Marcellini

Sbordone


Prima parte

Gli autoriPaolo Marcellini, professore ordinario di Analisi Matematica presso l’Università di Firenze, fa parte del Consiglio Scientifico dell’Istituto Nazionale di Alta Matematica (INdAM) ed è stato Presidente del Gruppo Nazionale per l’Analisi Matematica, la Probabilità e le loro Applicazioni (GNAMPA). È stato professore visitatore presso numerosi atenei e centri di ricerca internazionali, tra i quali: University of California, Berkeley; Collège de France, Paris; Institute for Advanced Study, Princeton; Center for Nonlinear Analysis, Carnegie Mellon University, Pittsburgh; Mathematical Institute of the University of Oxford; University of Texas, Austin; Institut Mittag-Leffler, Stockholm.Carlo Sbordone, professore ordinario di Analisi Matematica presso l’Università Federico II di Napoli, è socio dell’Accademia Nazionale dei Lincei. È stato Presidente dell’Unione Matematica Italiana (UMI), Presidente dell’Accademia Pontaniana e professore visitatore presso istituzioni scientifiche italiane, in particolare presso la Scuola Normale Superiore di Pisa, ed estere, tra cui: Collège de France, Paris; Institut fur Mathematik, Universität Zürich; Center for Nonlinear Analysis, Carnegie Mellon University, Pittsburgh; University of California, Berkeley; Mathematical Institute of the University of Oxford; University of Helsinki.

L’operaI due volumi dedicati alle Esercitazioni di Analisi Matematica Due propongono brevi cenni di teoria e un ricco corredo di esercitazioni svolte, che riguardano i seguenti argomenti:

Prima parte1. Successioni e serie di funzioni2. Spazi metrici e spazi normati3. Funzioni di più variabili4. Equazioni differenziali lineari5. Equazioni differenziali non lineari del primo ordine6. Equazioni differenziali non lineari di ordine superiore al primo

Seconda parte1. Massimi e minimi per le funzioni di più variabili2. Misura e integrazione in ℝn

3. Metodi di calcolo per gli integrali multipli4. Funzioni implicite5. Integrali su curve e superfici6. Forme differenziali

Esercitazioni di Analisi Matematica Due


Esercitazioni di Analisi Matematica DuePrima parte

Esercitazioni di

Analisi M

atematica D

ueP

rima

parte


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9 788808 2207078 9 0 1 2 3 4 5 6 (60B)

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8 9 0 1 2 3 4 5 6 (60B) Esercitazioni di Analisi ... · Analisi Matematica Due Prima parte...

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