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Esercitazioni cap. 4 Metodi di analisi circuitale Dipartimento di Ingegneria dell’Energia Elettrica e dell’Informazione «Guglielmo Marconi» B J Elettrotecnica Corso del CdL in Ingegneria elettronica per l’energia e l’informazione ed in Ingegneria biomedica Anno Accademico 2020/2021
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Esercitazioni cap. 4 Metodi di analisi circuitale
Dipartimento di Ingegneria dell’Energia Elettrica e dell’Informazione «Guglielmo Marconi»
B
J
ElettrotecnicaCorso del CdL in Ingegneria elettronica per l’energia e l’informazione ed in Ingegneria biomedicaAnno Accademico 2020/2021
-
2Dipartimento di Ingegneria dell’Energia Elettrica e dell’Informazione «Guglielmo Marconi»
R2
R3
R4
VS1
VS2
R1
i1 i2i3i4
i5
i6
r = 6, n = 4
Metodo generale d’analisi:
i4 – i5 + i6 = 0i1 + i3 – i4 = 0i2 – i3 – i6 = 0v1 – v3 – v2 = 0v6 – v3 – v4 = 0v1 + v4 + v5 = 0v1 = R1 i1v2 = R2 i2v3 = R3 i3 v4 = R4 i4 v5 = - VS1v6 = - VS2
Metodo di sostituzionedelle tensioni:
i4 – i5 + i6 = 0i1 + i3 – i4 = 0i2 – i3 – i6 = 0R1 i1 – R3 i3 – R2 i2 = 0– VS2 – R3 i3 – R4 i4 = 0R1 i1 + R4 i4 – VS1 = 0
i4 – i5 + i6 = 0i1 + i3 – i4 = 0i2 – i3 – i6 = 0R1 i1 – R3 i3 – R2 i2 = 0– R3 i3 – R4 i4 = VS2R1 i1 + R4 i4 = VS1
Esempio 1 di analisi circuitale
-
3
Dati:R1 = 1 Ω, R2 = 1 Ω, R3 = 3 Ω, R4 = 2 Ω, R5 = 2 Ω, R6 = 0.5 ΩR7 = 2 Ω, a = 2VS = 10 V
Trovare:i1, i2, i3, i4, i5, i6, v1, v2, v3, v4, v5, v6dei seguenti rami: 1 con R1 e VS (ramo di v1 ed i1) 2 con R2 (ramo di v2 ed i2) 3 con R3 (ramo di v3 ed i3) 4 con R4 ed aVx (ramo di v4 ed i4) 5 con R5 ed R7 (ramo di v5 ed i5) 6 con R6 (ramo di v6 ed i6)
Esempio 2 di analisi circuitale
vs+-
+-
aVx
R1 R5R2
R3R6
R4
Vx
R7
i2
i1
i6
i4i3
i5
-
4
vs+-
+-
aVx
R1 R5R2
R3R6
R4
Vx
R7
i2
i1
i6
i4i3
i5
Dati:R1 = 1 Ω, R2 = 1 Ω, R3 = 3 Ω, R4 = 2 Ω, R5 = 2 Ω, R6 = 0.5 ΩR7 = 2 Ω, a = 2VS = 10 V
Trovare:i1, i2, i3, i4, i5, i6, v1, v2, v3, v4, v5, v6
n = 4, r = 6. → n-1 = 3, r-n+1 = 3
Metodo generale d’analisi (12 inc.e, 12 eq.i):
i1 - i2 - i5 = 0 i5 + i6 + i4 = 0 i1 - i3 + i4 = 0v1 + v2 + v3 = 0v5 - v2 - v6 = 0v3 + v4 - v6 = 0 v1 = R1 i1 - VSv2 = R2 i2v3 = R3 i3v4 = R4 i4 - aVxv5 = (R5 + R7) i5v6 = R6 i6
Metodo di sostituzione delletensioni (6 inc.e, 6 eq.i):
i1 - i2 - i5 = 0 i4 + i5 + i6 = 0 i1 - i3 + i4 = 0R1 i1 + R2 i2 + R3 i3 = VS- R2 i2 + (R5 + R7) i5 - R6 i6 = 0R3 i3 + R4 i4 - a R5 i5 - R6 i6 = 0
pVs = VS i1 (erogata dal gen. VS)pa = aVx i4 = a R5 i5 i4 (erogata dal gen. aVx)
-
5
vs+-
+-
aVx
R1 R5R2
R3R6
R4
Vx
R7
i2
i1
i6
i4i3
i5
Dati:R1 = 1 Ω, R2 = 1 Ω, R3 = 3 Ω, R4 = 2 Ω, R5 = 2 Ω, R6 = 0.5 ΩR7 = 2 Ω, a = 2VS = 10 V
Trovare:i1, i2, i3, i4, i5, i6, v1, v2, v3, v4, v5, v6Metodo dei potenmziali di nodo (3 inc.e, 3 eq.i):
i1 - i2 - i5 = 0 (3)i5 + i6 + i4 = 0 (2)i2 - i3 – i6 = 0 (1)
U0
U1
U3
U2
U0 = 0
v1 = - U3v2 = U3 – U1v3 = U1v4 = – U2v5 = U3 – U2v6 = U1 – U2
v1 = R1 i1 - VSv2 = R2 i2v3 = R3 i3v4 = R4 i4 - aVxv5 = (R5 + R7) i5v6 = R6 i6
- U3 = R1 i1 - VSU3 – U1 = R2 i2U1 = R3 i3- U2 = R4 i4 - a R5 i5U3 – U2 = (R5 + R7) i5U1 – U2 = R6 i6
-
6
vs+-
+-
aVx
R1 R5R2
R3R6
R4
Vx
R7
i2
i1
i6
i4i3
i5
U1
U3
U2
U0 = 0
- U3 = R1 i1 - VSU3 – U1 = R2 i2U1 = R3 i3– U2 = R4 i4 - a R5 i5U3 – U2 = (R5 + R7) i5U1 – U2 = R6 i6
i1 = (VS - U3)/ R1i2 = (U3 – U1)/R2i3 = U1/ R3i4 = aR5(U3 –U2)/[(R5 +R7)R4]–U2/R4i5 = (U3 – U2)/(R5 + R7)i6 = (U1 – U2 )/R6
i1 - i2 - i5 = 0 i5 + i6 + i4 = 0 i2 - i3 – i6 = 0
(VS− U3)R1
- (U3 – U1)R2- (U3 – U2)(R5 + R7)
= 0(U3 – U2)(R5 + R7)
+ (U1 – U2)R6+ aR5(U3 –U2)[(R5 +R7)R4]
- U2R4= 0
(U3 – U1)R2
- U1R3- (U1 – U2)R6
= 0
-
7
vs+-
+-
aVx
R1 R5R2
R3R6
R4
Vx
R7
i2
i1
i6
i4i3
i5
Dati:R1 = 1 Ω, R2 = 1 Ω, R3 = 3 Ω, R4 = 2 Ω, R5 = 2 Ω, R6 = 0.5 ΩR7 = 2 Ω, a = 2VS = 10 V
Trovare:i1, i2, i3, i4, i5, i6, v1, v2, v3, v4, v5, v6
U1
U3
U2
U0 = 0(VS− U3)R1
- (U3 – U1)R2- (U3 – U2)(R5 + R7)
= 0(U3 – U2)(R5 + R7)
+ (U1 – U2)R6+ aR5(U3 –U2)[(R5 +R7)R4]
- U2R4= 0
(U3 – U1)R2
- U1R3- (U1 – U2)R6
= 0
(10 − U3)1 -
(U3 – U1)1 -
(U3 – U2)4 = 0
(U3 – U2)4 +
(U1 – U2)0.5 +
4(U3 –U2)8 -
U22 = 0
(U3 – U1)1 -
U13 -
(U1 – U2)0.5 = 0
4 U1 + U2 - 9 U3 = - 408 U1 - 13 U2 + 3 U3 = 010 U1 + 6 U2 + 3U3 = 0
-
8
vs+-
+-
aVx
R1 R5R2
R3 R6
Vx
R7
i2
i1
i6
i4i3
i5
Dati:R1 = 1 Ω, R2 = 1 Ω, R3 = 3 Ω, R5 = 2 Ω, R6 = 0.5 Ω, R7 = 2 Ωa = 2VS = 10 V
Trovare:i1, i2, i3, i4, i5, i6, v1, v2, v3, v4, v5, v6
U1
U3
U2
U0 = 0Metodo dei potenmzialidi nodo con supernodo:
i1 - i2 - i5 = 0 (1) i2 - i3 – i6 = 0 (3)U2 = aVx (s.n.)
(VS− U3)R1
- (U3 – U1)R2- (U3 – U2)(R5 + R7)
= 0
(U3 – U1)R2
- U1R3- (U1 – U2)R6
= 0
U2 = a R5 (U3 – U2)/(R5 + R7)
v1 = R1 i1 - VSv2 = R2 i2v3 = R3 i3v4 = - aVx = - a R5i5v5 = (R5 + R7) i5v6 = R6 i6i1 = (VS - U3)/ R1
i2 = (U3 – U1)/R2i3 = U1/ R3i5 = (U3 – U2)/(R5 + R7)i6 = (U1 – U2 )/R6
-
9
Dati:R1 = 1 Ω, R2 = 1 Ω, R3 = 3 Ω, R5 = 2 Ω, R6 = 0.5 Ω, R7 = 2 Ωa = 2VS = 10 V
Trovare:i1, i2, i3, i4, i5, i6, v1, v2, v3, v4, v5, v6
Metodo degli anelli:
VS - R1 i1 - R2 (i1 – i2) - R3 (i1 – i3) = 0R2 (i1 – i2) - (R5 + R7) i2 + R6 (i3 – i2) = 0- R4 i3 - a R5 i2 + R3 (i1 – i3) – R6 (i3 – i2) = 0
v1 = R1 i1 - VS = R1 i1 - VSv2 = R2 i2 = R2 (i1 – i2)v3 = R3 i3 = R3 (i1 – i3)v4 = R4 i4 - aVx = - R4 i3 - a R5 i2v5 = (R5 + R7) i2v6 = R6 (i3 – i2)
vs+-
+-
aVx
R1 R5
R2
R3R6
R4
Vx
R7
i2
i1
i6
i4i3
i5
- v1 – v2 – v3 = 0v2 – v5 + v6 = 0v4 + v3 – v6 = 0
i1
i2
i3
i1 = i1i2 = i1 – i2i3 = i1 – i3i4 = – i3i5 = i2i6 = i3 – i2
-
10
Esempio 3: n = 5, sup. 2 → eq.i 4, inc. 4 Dati:R1 = 2 Ω, R2 = 6 Ω, R3 = 4 Ω, R4 = 1 Ω, R5 = 3 Ω, V0 = 10 V,I1 = 10 A,I2 = 3 v5Trovare:i1, i2, i3, i4, i5, i6, v1, v2, v3, v4, v5, v6
·
i5
0i1
i3R3
i2
i4
R4
R2
V1
I2
R1
•
•
·
R5
• • •
-
+
I1
i1 i2 i3
i4
v1 – v5 – v4 + v3 + v2 –V1= 0– v2 – v3 + V1 = 0i4 – i1 = I1i4 – i3 = I2 = 3 v5
v1 = R1 i1 = R1 i1v2 = R2 i2 = R2 (i2 – i4)v3 = R3 i3 = R3 (i2 – i3)v4 = R4 i4 = R4 i3v5 = R5 i5 = R5 i4
i1 = - i1i2 = i2 – i4i3 = i2 – i3i4 = i3i5 = i4
R1 i1 – R5 i4 – R4 i3 + R3 (i2 – i3) + R2 (i2 – i4) –V1= 0– R2 (i2 – i4) – R3 (i2 – i3) + V1 = 0i4 – i1 = I1i4 – i3 = 3 R5 i4
-
11
Dati:R2 = 1 Ω, R3 = 3 Ω, R4 = 2 Ω, R5 = 2 Ω, R6 = 0.5 ΩR7 = 2 Ω, R8 = 2 Ω, RL = 5 ΩVS = 10 V
Trovare PRL con il circuito di Thevénin
Esempio 4
vs+-
R5R2
R3R6
R4
R7
R8
RL
-
12
Dati:R2 = 1 Ω, R3 = 3 Ω, R4 = 2 Ω, R5 = 2 Ω, R6 = 0.5 ΩR7 = 2 Ω, R8 = 2 Ω ,RL = 5 ΩVS = 10 V
Trovare PRL con il circuito di Thevénin
Si deve trovare Veq ed Req .
Esempio 4
vs+-
R5R2
R3R6
R4
R7
R8
RL
vs+-
R5R2
R3R6
R4
R7
R8
Req
Veq
·
·B
A
+-
•
•
B
A
-
13
Dati:R2 = 1 Ω, R3 = 3 Ω, R4 = 2 Ω, R5 = 2 Ω, R6 = 0.5 ΩR7 = 2 Ω, R8 = 2 ΩVS = 10 V
Ricerca di VeqVeq = vAB
i2 - i3 – i6 = 0 (1)i5 + i6 + i4 = 0 (2)U3 = 10
Esempio 4
Req
Veq
·
·B
A
+-
•
•
i2 = v2/R2 = (U3 – U1)/R2i3 = = v3/R3 = U1/ R3i4 = v4/(R4+R8) = - U2/(R4+R8)i5 = v5/(R5+R7) = (U3 – U2)/(R5 + R7)i6 = v6/R6 = (U1 – U2 )/R6
vs+-
R5R2
R3R6
R4
R7
R8
B
A
U1
U3
U2
i2
i1
i6
i4i3
i5
i2 = 10 – U1i3 = U1/3i4 = - U2/4i5 = (10 – U2)/4i6 = 2(U1 – U2 )
-
14
Dati:R2 = 1 Ω, R3 = 3 Ω, R4 = 2 Ω, R5 = 2 Ω, R6 = 0.5 ΩR7 = 2 Ω, R8 = 2 ΩVS = 10 V
Ricerca di VeqVeq = vABi2 - i3 – i6 = 0 (1)i5 + i6 + i4 = 0 (2)U3 = 10
Esempio 4
Req
Veq
·
·B
A
+-
•
•10 – U1 - U1/3 - 2(U1 – U2) = 0(10 – U2)/4 + 2(U1 – U2) - U2/4 = 0
i2 = 10 – U1i3 = U1/3i4 = - U2/4i5 = (10 – U2)/4i6 = 2(U1 – U2 )
B
vs+-
R5R2
R3R6
R4
R7
R8
B
A
U1
U3
U2
i2
i1
i6
i4i3
i5
-
15
Dati:R2 = 1 Ω, R3 = 3 Ω, R4 = 2 Ω, R5 = 2 Ω, R6 = 0.5 ΩR7 = 2 Ω, R8 = 2 ΩVS = 10 V
Ricerca di VeqVeq = vABi2 - i3 – i6 = 0 (1)i5 + i6 + i4 = 0 (2)U3 = 10
Esempio 4
Req
Veq
·
·B
A
+-
•
•5U1 - 3U2 = 154U1 – 5U2= -5
i2 = 10 – U1i3 = U1/3i4 = - U2/4i5 = (10 – U2)/4i6 = 2(U1 – U2 )
U1 = 6,923U2 = 6,538U3 = 10
i2 = 3,077Ai3 = 2,308 Ai4 = - 1,645 Ai5 = 0,866 Ai6 = 0,770 AVeq = vAB = U3 – R5i5 + R4i4=
= R7i5 – R8i4 = 5 V
B
vs+-
R5R2
R3R6
R4
R7
R8
B
A
U1
U3
U2
i2
i1
i6
i4i3
i5
-
16
Dati:R2 = 1 Ω, R3 = 3 Ω, R4 = 2 Ω, R5 = 2 Ω, R6 = 0.5 ΩR7 = 2 Ω, R8 = 2 Ω
Ricerca di Req
Esempio 4
vs+-
R5R2
R3R6
R4
R7
R8U1
U3
U2
U5
U4
U0 B
A
Si utilizza quindi il metodo per il circuito col generatore spento che la resistenza equivalente vista dalla porta A-B (in figura a fiaco) è tale per cui una tensione V0 induce nel circuito una corrente i0 in ragione della resistenza equivalente che il circuito oppone al passaggio della corrente. Si alimentan la porta A-B con unvgeneratore di tensione nota V0 si calcola la corrente i0 entrante nel circuito dalla porta e quindi Req = V0/i0.
R5R2
R3R6R4
R7
R8
B
A
V0=1V+-
R5R2
R3R6R4
R7
R8
B
A
V0=1V+-Req
B
A
i0
Req = V0i0
-
17
Dati:R2 = 1 Ω, R3 = 3 Ω, R4 = 2 Ω, R5 = 2 Ω, R6 = 0.5 ΩR7 = 2 Ω, R8 = 2 ΩVS = 10 V
Ricerca di Req
Esempio 4
vs+-
R5R2
R3R6
R4
R7
R8
U1
U3
U2
U5
U4
U0 B
A
V0=1 V
+-
R5R2
R3R6
R4
R7
R8
U1 U3
U2
U4
B
A
Il calcolo è fatto col metodo dell’analisiNodale.
U2
U0
i2 - i6 - i3 = 0 (1) i2 + i5 + i4 – i3 = 0 (2)i6 + i7 – i8= 0 (3) U4 = 1 (supernodo)
i4i3
i2
i6
i7
i8
i0i5
i2 = (U2 – U1)/R2i3 = (U1 – U2)/ R3i4 = U2/R4i5 = (U2 – U4)/R5i6 = (U1 – U3 )/R6i7= (U4 – U3 )/R7i8 = U3/R8
-
18
Dati:R2 = 1 Ω, R3 = 3 Ω, R4 = 2 Ω, R5 = 2 Ω, R6 = 0.5 ΩR7 = 2 Ω, R8 = 2 ΩVS = 10 V
Ricerca di Re
Esempio 4
V0=1 V
+-
R5R2
R3R6
R4
R7
R8
U1 U3
U2
U4
B
AU2
U0
i2 - i6 - i3 = 0 (1) i2 + i5 + i4 – i3 = 0 (2)i6 + i7 – i8= 0 (3) U4 = 1 (supernodo)
i4i3
i2
i6
i7
i8
i0i5
i2 = (U2 – U1)/R2i3 = (U1 – U2)/ R3i4 = U2/R4i5 = (U2 – U4)/R5i6 = (U1 – U3 )/R6i7= (U4 – U3 )/R7i8 = U3/R8
i2 = (U2 – U1)i3 = (U1 – U2)/3i4 = U2/2i5 = (U2 – 1)/2i6 = 2(U1 – U3)I7 = (1 – U3 )/2i8 = U3/2
-
19
Dati:R2 = 1 Ω, R3 = 3 Ω, R4 = 2 Ω, R5 = 2 Ω, R6 = 0.5 ΩR7 = 2 Ω, R8 = 2 ΩVS = 10 V
Ricerca di Re
Esempio 3 i2 - i6 - i3 = 0i2 + i5 + i4 – i3 = 0 i6 + i7 – i8= 0U4 = 1
V0=1 V
+-
R5R2
R3R6
R4
R7
R8
U1 U3
U2
U4
B
AU2
U0i4i3
i2
i6
i7
i8
i0i5
i2 = (U2 – U1)i3 = (U1 – U2)/3i4 = U2/2i5 = (U2 – 1)/2i6 = 2(U1 – U3)I7 = (1 – U3 )/2i8 = U3/2
U2 – U1 - 2U1 + 2U3 - (U1 – U2)/3 = 0U2 – U1 + (U2 – 1)/2 + U2/2 – (U1 – U2)/3 = 0 2U1 – 2U3 + (1 – U3 )/2 – U3/2= 0
10U1 - 4U2 - 6U3 = 08U1 - 14U2 = - 3 4U1 + 1 = 6U3
U1 = - 0,167U2 = - 0,5 U3 = 0,0556
i2 = - 0,333Ai3 = 0,111 Ai4 = - 0,25 Ai5 = - 0,75 Ai6 = - 0,445 AI7 = 0,4472i8 = 0.0278
i0 = i7 – i5 = 1,197 A Req = V0/i0 = 0,835 W
-
20
Esempio 4Dati:R2 = 1 Ω, R3 = 3 Ω, R4 = 2 Ω, R5 = 2 Ω, R6 = 0.5 ΩR7 = 2 Ω, R8 = 2 Ω, RL 5= 5 ΩVS = 10 V
Trovare PRL con il circuito di Thevénin
vs+-
R5R2
R3R6
R4
R7
R8
RL
Req
Veq
·
·B
A
+-
•
•
RL
Veq = 5 V; Req = 0,835 W
PRL = vABi = RLi2
i = Veq/(Req + RL) = 0,857 A
PRL = 3,67 W
i
-
21
Esempio 5Dati:R1 = R2 = R3 = R4 = 10 Ω, RL = 20 Ω, VS1 = 10 V, VS2 = 5 V
Trovare PRL con il circuito di Thevénined il circuito di Nortron.
Req
Veq
·
·B
A
+-
•
•
RL
iRL
ReqIeq
·
·B
A•
•
RL
iRL
Circuito di NortronCircuito di Thevénin
VS1+-
R2
R1
R4
R3 RL
A
B
i3i1
i4
iRL
+- VS2
i2
-
22
Esempio 5Dati:R1 = R2 = R3 = R4 = 10 Ω, RL = 20 Ω, VS1 = 10 V, VS2 = 5 V
Ricerca di ReqReq, quando I generatori indipen-denti inerni alla rete vista dallaporta A-B sono spenti, è data dallarelazione:
V0 = Reqi Req = V0/i
·
·B
A•
•
Req
i
v0+-
(si calcola i per un V0 assegnato)
R2R1
R4
R3
A
B
i3i1
i4
V0 = =1V
+-i
i2
VS1+-
R2
R1
R4
R3 RL
A
B
i3i1
i4
iRL
+- VS2
i2
-
23
Esempio 5Dati:R1 = R2 = R3 = R4 = 10 Ω, RL = 20 Ω, VS1 = 10 V, VS2 = 5 V
Ricerca di ReqReq, quando I generatori indipen-denti inerni alla rete vista dallaporta A-B sono spenti, è data dallarelazione:
Req = V0/i
R2
R4
R3
A
B
i3
i4
V0 = =1V
+-i
i2
i = i3 – i2 – i4
i3 = 1/R3 = 0,1 Ai2 = -1/R2 = - 0,1 A i4 = -1/R4 = - 0,1 A
i = 0,1+0,1+0,1 == 0,3 A
Req = 1/0,3 == 3,333 W
VS1+-
R2
R1
R4
R3 RL
A
B
i3i1
i4
iRL
+- VS2
R2R1
R4
R3
A
B
i3i1
i4
V0 = =1V
+-i
i2
i2
-
24
Esempio 5Dati:R1 = R2 = R3 = R4 = 10 Ω, RL = 20 Ω, VS1 = 10 V, VS2 = 5 V
Ricerca di ReqReq, in questo caso può anche derivato con il metododella serie/parallelo.
R2
R4
R3
A
B
i3
i4
ii2
R2R4 R3
A
B
1Req
= 1R3+ 1R3
+ 1R4= 310 Req = 3,333 W
VS1+-
R2
R1
R4
R3 RL
A
B
i3i1
i4
iRL
+- VS2
i2
-
25
Esempio 5Dati:R1 = R2 = R3 = R4 = 10 Ω, RL = 20 Ω, VS1 = 10 V, VS2 = 5 V
Ricerca di VeqVeq, in è dato da vAB quando la porta A-B è in circuito aperto.
VS1+-
R2
R1
R4
R3 RL
A
B
i3i1
i4
iRL
+- VS2
VS1+-
R2
R1
R4
R3
A
B
i3i1
i4
+- VS2
U1 U2
1-0, è un supernodo:
U1 = VS1 = 10Al nodo 2 la LKC è:i2 – i3 + i4 = 0
(10-U2)/10- U2/10 + (15 -U2)/10 = 0
10 - U2 - U2 + 15-U2 = 0 U2 = 8,333 V
Veq = vAB = U2 = 8,333 VU0 = 0
i2
i2 i2 = (U1-U2)/R2 = (10 -U2)/10i3 = U2/ R3 = U2/10i4 = (U1-U2+VS2)/R4=(15-U2)/10
ReqVeq
B
A
+-
•
•RL
iRL
-
26
Esempio 5Dati:R1 = R2 = R3 = R4 = 10 Ω, RL = 20 Ω, VS1 = 10 V, VS2 = 5 V
Ricerca di IeqIeq, in è dato da iAB quando la porta A-B è in circuito chiuso.
VS1+-
R2
R1
R4
R3
A
B
i3i1
i4
+- VS2 iAB = i2 - i3 + i4i2 = 10/10 = 1 Ai3 = 0i4 = (VS1 + VS2)/R4 = = 15/10 = 1,5 A
iAB = 1 + 1,5 = 2,5 A
Ieq = iAB = 1,5 A
U0 = 0
i2
i2
ReqIeq
B
A•
•
RL
iRL
iAB
VS1+-
R2
R1
R4
R3 RL
A
B
i3i1
i4
iRL
+- VS2
-
27
Esempio 5Dati:R1 = R2 = R3 = R4 = 10 Ω, RL = 20 Ω, VS1 = 10 V, VS2 = 5 V
Trovare PRL con il circuito di Thevénined il circuito di Nortron.
Req
Veq
·
·B
A
+-
•
•
RL
iRL
ReqIeq
·
·B
A•
•
RL
iRL
VS1+-
R2
R1
R4
R3 RL
A
B
i3i1
i4
iRL
+- VS2
i2
Veq = 8,333 V; Ieq = 2,5 A; Req = 3,333 W
PRL = RL iRL2 = RL [Veq /(RL + Req)]2 = RL [Ieq Req/(Req+ RL)]2 = 2,551 W
-
28
Esempio 6Dati:R1 = R2 = R3 = R4 = 10 Ω, RL = 20 Ω, VS = 10 V, a = 2
Trovare PRL con il circ. di Thevénin ed il circ. di Nortron.
Ricerca di ReqPer il calcolo di Req, I generatori indipendenti inerni alla rete vista dalla porta A-B vanno spenti ma non è possiìbile spegnere I generatori dipendenti. Req è data dalla relazione:
V0 = Reqi Req = V0/i
VS+-
R2
R1
R4
R3 RL
A
B
i3i1
i4
avx
i2
+-
vx
iR2R1
R4
R3
A
B
i3i1
i4
avx
i2
+-
+- V0 =
=1V
vx
-
29
Esempio 6Dati:R1 = R2 = R3 = R4 = 10 Ω, RL = 20 Ω, VS = 10 V, a = 2
Trovare PRL con il circ. di Thevénin ed il circ. di Nortron.
Ricerca di Reqi = i3 – i2 – i4
i3 = 1/R3 = 0,1 Ai2 = -1/R2 = - 0,1 A i4 = (avx - 1)/R4 = (2x10 i2 - 1)/R4 =
= - 0,3 A
i = 0,1+0,1+ 0,3= 0,5 A
Req = V0/i = 2 W
VS+-
R2
R1
R4
R3 RL
A
B
i3i1
i4
avx
i2
+-
vx
iR2R1
R4
R3
A
B
i3i1
i4
avx
i2
+-
+- V0 =
=1V
vx
-
30
Esempio 6Dati:R1 = R2 = R3 = R4 = 10 Ω, RL = 20 Ω, VS = 10 V, a = 2
Trovare PRL con il circ. di Thevénin ed il circ. di Nortron.
Ricerca di Veq
VS+-
R2
R1
R4
R3 RL
A
B
i3i1
i4
avx
i2
+-
vx
VS+-
R2
R1
R4
R3
A
B
i3i1
i4
avx
i2
+-
vxU1 U2
1-0, è un supernodo: U1 = VS = 10
i2 – i3 + i4 = 0 (LKC al nodo 2)
(10-U2)/10 - U2/10 + (30 - 3U2)/10 = 0
10 - U2 - U2 + 30 - 3U2 = 0 U2 = 8
Veq = vAB = U2 = 8 V
i2 = (U1-U2)/R2 = (10 -U2)/10i3 = U2/ R3 = U2/10i4 = (U1 - U2 + avx)/R4 = (10 – U2 +
+ 2R2i2)/10 = {}
10 – U2 + 2x10[(10 −− U2)/10] /10 = (30 - 3U2)/10
-
31
Esempio 6Dati:R1 = R2 = R3 = R4 = 10 Ω, RL = 20 Ω, VS = 10 V, a = 2
Trovare PRL con il circ. di Thevénin ed il circ. di Nortron.
Ricerca di Ieq
VS+-
R2
R1
R4
R3 RL
A
B
i3i1
i4
avx
i2
+-
vx
VS+-
R2
R1
R4
R3
A
B
i3i1
i4
avx
i2
+-
vx
1-0, è un supernodo: U1 = VS1 = 10
i = i2 – i3 + i4 (LKC al nodo 2)
i2 = 10/10 = 1 Ai3 = 0i4 = (VS + avx)/R4 = (10+2x10)/10 = 3A
iAB = 1 + 3= 4 A
Ieq = iAB = 4 A
i
U1 U2
-
32
Esempio 6Dati:R1 = R2 = R3 = R4 = 10 Ω, RL = 20 Ω, VS = 10 V, a = 2
Trovare PRL con il circuito di Thevénined il circuito di Nortron.
Req
Veq
·
·B
A
+-
•
•
RL
iRL
ReqIeq
·
·B
A•
•
RL
iRL
i2
Veq = 8 V; Ieq = 4 A; Req = 2 W
PRL = RL iRL2 = RL [Veq /(RL + Req)]2 = RL [Ieq Req/(Req+ RL)]2 = 2,645 W
VS+-
R2
R1
R4
R3 RL
A
B
i3i1
i4
avx
i2
+-
vx
-
www.unibo.it
Alma Mater Studiorum - Università di Bologna
Dipartimento di Ingegneria dell’Energia Elettrica e dell’Informazione «Guglielmo Marconi»
ElettrotecnicaCorso dei CdL
in Ingegneria elettronica per l’energia e l’informazione ed in Ingegneria biomedica
