Esercitazioni Serena

RELAZIONI ESERCITAZIONI

Università di Genova

Corso di laurea in : " Yacht Design "

Esame : Yacht Construction Technologies

Docenti : Ing. Cesare M. Rizzo , Marco Gaiotti

anno 2012-2013

Studentessa : Serena Siani

YACHT CONSTRUCTION TECHNOLOGIES Serena Siani

Esercitazione n°1

-Determinare il comportamento dello spessore di uno strato al variare della frazione in volume

delle fibre.

-Determinare il legame tra la frazione in volume e la frazione in peso per un laminato generico,

confrontando i casi con o senza vuoti nel laminato.

Sono stati analizzati i dati relativi a tessuti in vetro e tessuti in carbonio dei quali definisco di

seguito le proprietà:

FIBRE DI VETRO

Densità del vetro ρf = 2600 kg/m3

Densità della resina ρm= 1230 kg/m3

Rapporto dei vuoti ν= 0,05

Numero di strati n= 1

FIBRE DI CARBONIO

Densità del carbonio ρf = 1600 kg/m3

Densità della resina ρm= 1230 kg/m3

Rapporto dei vuoti ν= 0,05

Numero di strati n= 1

Considero tessuti di vetro / carbonio con diverse grammature ( da 0,15 a 0, 45 Kg/m2

) e per

ciascuno calcolo al variare dello spessore la frazione in volume delle fibre tramite la seguente

formula .

dove: p = peso su area del rinforzo [Kg/m

2]

t = spessore del laminato [m]

n = numero di strati del laminato

Vengono di seguito riportate le tabelle rimpicciolite ( in quanto si riporta lo spessore con un salto

di 0,05 invece che di 0,01 come utilizzato per i calcoli ) sia per le fibre di vetro che per quelle di

carbonio .

Nei casi in cui la frazione in volume della fibra risultasse > dell'unità per "errori " della formula è

stato messo il valore 1 in quanto Vf non può superare tale valore


VETRO E

p [kg/m2] 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45

t Vf Vf Vf Vf Vf Vf Vf

[mm] - - - - - - -

0,01 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00

0,05 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00

0,10 0,58 0,77 0,96 1,00 1,00 1,00 1,00

0,15 0,38 0,51 0,64 0,77 0,90 1,00 1,00

0,20 0,29 0,38 0,48 0,58 0,67 0,77 0,87

0,25 0,23 0,31 0,38 0,46 0,54 0,62 0,69

0,30 0,19 0,26 0,32 0,38 0,45 0,51 0,58

0,35 0,16 0,22 0,27 0,33 0,38 0,44 0,49

0,40 0,14 0,19 0,24 0,29 0,34 0,38 0,43

0,45 0,13 0,17 0,21 0,26 0,30 0,34 0,38

0,50 0,12 0,15 0,19 0,23 0,27 0,31 0,35

0,55 0,10 0,14 0,17 0,21 0,24 0,28 0,31

0,60 0,10 0,13 0,16 0,19 0,22 0,26 0,29

0,65 0,09 0,12 0,15 0,18 0,21 0,24 0,27

0,70 0,08 0,11 0,14 0,16 0,19 0,22 0,25

0,75 0,08 0,10 0,13 0,15 0,18 0,21 0,23

0,80 0,07 0,10 0,12 0,14 0,17 0,19 0,22

0,85 0,07 0,09 0,11 0,14 0,16 0,18 0,20

0,90 0,06 0,09 0,11 0,13 0,15 0,17 0,19

0,95 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16 0,18

1,00 0,06 0,08 0,10 0,12 0,13 0,15 0,17

1,05 0,05 0,07 0,09 0,11 0,13 0,15 0,16

1,10 0,05 0,07 0,09 0,10 0,12 0,14 0,16

1,15 0,05 0,07 0,08 0,10 0,12 0,13 0,15

1,20 0,05 0,06 0,08 0,10 0,11 0,13 0,14

1,25 0,05 0,06 0,08 0,09 0,11 0,12 0,14

1,30 0,04 0,06 0,07 0,09 0,10 0,12 0,13

1,35 0,04 0,06 0,07 0,09 0,10 0,11 0,13

1,40 0,04 0,05 0,07 0,08 0,10 0,11 0,12

1,45 0,04 0,05 0,07 0,08 0,09 0,11 0,12

1,50 0,04 0,05 0,06 0,08 0,09 0,10 0,12


CARBONIO

p

[kg/m2] 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45

t Vf Vf Vf Vf Vf Vf Vf

[mm] - - - - - - -

0,01 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00

0,05 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00

0,10 0,94 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00

0,15 0,63 0,83 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00

0,20 0,47 0,63 0,78 0,94 1,00 1,00 1,00

0,25 0,38 0,50 0,63 0,75 0,88 1,00 1,00

0,30 0,31 0,42 0,52 0,63 0,73 0,83 0,94

0,35 0,27 0,36 0,45 0,54 0,63 0,71 0,80

0,40 0,23 0,31 0,39 0,47 0,55 0,63 0,70

0,45 0,21 0,28 0,35 0,42 0,49 0,56 0,63

0,50 0,19 0,25 0,31 0,38 0,44 0,50 0,56

0,55 0,17 0,23 0,28 0,34 0,40 0,45 0,51

0,60 0,16 0,21 0,26 0,31 0,36 0,42 0,47

0,65 0,14 0,19 0,24 0,29 0,34 0,38 0,43

0,70 0,13 0,18 0,22 0,27 0,31 0,36 0,40

0,75 0,13 0,17 0,21 0,25 0,29 0,33 0,38

0,80 0,12 0,16 0,20 0,23 0,27 0,31 0,35

0,85 0,11 0,15 0,18 0,22 0,26 0,29 0,33

0,90 0,10 0,14 0,17 0,21 0,24 0,28 0,31

0,95 0,10 0,13 0,16 0,20 0,23 0,26 0,30

1,00 0,09 0,13 0,16 0,19 0,22 0,25 0,28

1,05 0,09 0,12 0,15 0,18 0,21 0,24 0,27

1,10 0,09 0,11 0,14 0,17 0,20 0,23 0,26

1,15 0,08 0,11 0,14 0,16 0,19 0,22 0,24

1,20 0,08 0,10 0,13 0,16 0,18 0,21 0,23

1,25 0,07 0,10 0,13 0,15 0,18 0,20 0,23

1,30 0,07 0,10 0,12 0,14 0,17 0,19 0,22

1,35 0,07 0,09 0,12 0,14 0,16 0,19 0,21

1,40 0,07 0,09 0,11 0,13 0,16 0,18 0,20

1,45 0,06 0,09 0,11 0,13 0,15 0,17 0,19

1,50 0,06 0,08 0,10 0,13 0,15 0,17 0,19


Si nota che il carbonio a parità di spessore e peso per unità di area , ha un valore di Vf > in quanto

la densità delle fibre è inferiore.

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

1,40

1,60

0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20

SP

ES

SO

RE

FRAZIONE IN VOLUME

VETRO E

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

1,40

1,60

0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20

SP

ES

SO

RE

FRAZIONE IN VOLUME

CARBONIO

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45


-Determinare il legame tra la frazione in volume e la frazione in peso per un laminato generico,

confrontando i casi con o senza vuoti nel laminato.

Inizialmente si sono supposti dei valori arbitrari di Vf e tramite la seguente formulazione si sono

trovati prima i valori della frazione in peso , non considerando e poi considerando i vuoti .

Di seguito riporto le tabelle con i dati ottenuti .

VETRO E CARBONIO

Vf Wf Wf & vuoto Vf Wf Wf & vuoto

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

0,05 0,10 0,11 0,05 0,06 0,07

0,10 0,19 0,20 0,10 0,13 0,13

0,15 0,27 0,28 0,15 0,19 0,20

0,20 0,35 0,36 0,20 0,25 0,26

0,25 0,41 0,43 0,25 0,30 0,32

0,30 0,48 0,49 0,30 0,36 0,38

0,35 0,53 0,55 0,35 0,41 0,43

0,40 0,58 0,61 0,40 0,46 0,49

0,45 0,63 0,66 0,45 0,52 0,54

0,50 0,68 0,70 0,50 0,57 0,59

0,55 0,72 0,74 0,55 0,61 0,64

0,60 0,76 0,78 0,60 0,66 0,69

0,65 0,80 0,82 0,65 0,71 0,74

0,70 0,83 0,86 0,70 0,75 0,78

0,75 0,86 0,89 0,75 0,80 0,83

0,80 0,89 0,92 0,80 0,84 0,87

0,85 0,92 0,95 0,85 0,88 0,92

0,90 0,95 0,97 0,90 0,92 0,96

0,95 0,98 1,00 0,95 0,96 1,00

1,00 1,00 1,02 1,00 1,00 1,04


Anche in questo caso la densità della fibra di carbonio fa si che a parità di Vf la frazione in peso Wf

risulti inferiore .

Mentre per quanto riguarda i vuoti è intuibile che il volume occupato da questi non venga riempiti

dalla resina andando a incrementare la frazione in peso delle fibre.

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20

Wf

Vf

VETRO E

Wf

Wf & vuoto

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20

Wf

Vf

CARBONIO

Wf

Wf & vuoto


Esercitazione n°2

-Determinare le proprietà meccaniche di un generico laminato utilizzando almeno 5 differenti

Regolamenti di Società di Classifica. Confrontare tra di loro i valori mediante l’utilizzo di grafici.

Per quest’esercitazione sono stati utilizzanti i Regolamenti delle seguenti Società di Classifica ed

Enti Internazionali:

• Registro Italiano Navale [Part B chapter 4 section 1 -2 ] R.I.NA.

• Germanischer Lloyd [yacht and boats up to 24 m ; sectin 1 ; B] G.L. • Lloyd’s [volum 6 , part8 , chapter 3 , section 1 ]

• American Bureau of Shipping [ Materials and welding Part 2 ; chapter 6 ; section 1 ] A.B.S.

• International Standard Organization [Version 2007 ; annex c] I.S.O.

Per i vari registri si sono calcolate le proprietà della lamina al variare del Gc.

RINA

Valore di GC minimo ammesso pari a 0,30

R� = Ultimatetensilestrenght = 1278 ∙ G�� − 510 ∙ G� + 123

E = Tensilemodulusofelasticity = 37000 ∙ G� − 4750

R�' = Ultimatecompressivestrenght = 150 ∙ G� + 72

E' = Compressivemodulusofelasticity = 40000 ∙ G� − 6000

R�, = Ultimate-lexuralstrenght = 502 ∙ G�� + 107

E� = Flexuralmodulusofelasticity = 33400 ∙ G�� + 2200

R�0 = Ultimateshearstrenght = 80 ∙ G� + 38

G = Shearmodulusofelasticity = 1700 ∙ G� − 2240

R02 = Ultimateinterlaminateshearstrenght = 22,5 − 17,5 ∙ G�

GC 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 0,55 0,6 0,65

Rm N/mm^2 85,0 101,1 123,5 152,3 187,5 229,1 277,1 331,5

E N/mm^2 6350,0 8200,0 10050,0 11900,0 13750,0 15600,0 17450,0 19300,0

Rmc N/mm^2 117,0 124,5 132,0 139,5 147,0 154,5 162,0 169,5

Ec N/mm^2 6000,0 8000,0 10000,0 12000,0 14000,0 16000,0 18000,0 20000,0

Rmf N/mm^2 152,2 168,5 187,3 208,7 232,5 258,9 287,7 319,1

Em N/mm^2 5206,0 6291,5 7544,0 8963,5 10550,0 12303,5 14224,0 16311,5

Rmt N/mm^2 62,0 66,0 70,0 74,0 78,0 82,0 86,0 90,0

G N/mm^2 2750,0 2835,0 2920,0 3005,0 3090,0 3175,0 3260,0 3345,0

Rti N/mm^2 17,3 16,4 15,5 14,6 13,8 12,9 12,0 11,1


GERMANISHER LLOYD

( le formulazioni sono uguali a quelle del RINA , ma non è richiesto il calcolo del modulo elastico a

compressione e a flessione) .

Valore di ψ minimo ammesso pari a 0,30

σ56 = Ultimatetensilestrenght = 1278 ∙ ψ� − 510 ∙ ψ + 123

E5 = Tensilemodulusofelasticity = 37000 ∙ ψ − 4750

σ86 = Ultimatecompressivestrenght = 150 ∙ ψ + 72

σ96 = Ultimate-lexuralstrenght = 502 ∙ ψ� + 107

τ6 = Ultimateshearstrenght = 80 ∙ ψ + 38

G = Shearmodulusofelasticity = 1700 ∙ ψ − 2240

τ26 = Ultimateinterlaminateshearstrenght = 22,5 − 17,5 ∙ ψ

ψ 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 0,55 0,6 0,65

σzB N/mm^2 85,0 101,1 123,5 152,3 187,5 229,1 277,1 331,5

Ez N/mm^2 6350,0 8200,0 10050,0 11900,0 13750,0 15600,0 17450,0 19300,0

σdB N/mm^2 117,0 124,5 132,0 139,5 147,0 154,5 162,0 169,5

σbB N/mm^2 152,2 168,5 187,3 208,7 232,5 258,9 287,7 319,1

τB N/mm^2 62,0 66,0 70,0 74,0 78,0 82,0 86,0 90,0

G N/mm^2 2750,0 2835,0 2920,0 3005,0 3090,0 3175,0 3260,0 3345,0

τiB N/mm^2 17,3 16,4 15,5 14,6 13,8 12,9 12,0 11,1

LLOYD' S

( Questo registro è più cautelativo , aumentando Gc le proprietà diminuiscono rispetto agli altri)


R� = Ultimatetensilestrenght = 200 ∙ G� + 25

E = Tensilemodulusofelasticity = 15000 ∙ G� − 2000

R�' = Ultimatecompressivestrenght = 150 ∙ G� + 72

E' = Compressivemodulusofelasticity = 40000 ∙ G� − 6000

R�, = Ultimate-lexuralstrenght = 502 ∙ G�� + 106,8

E� = Flexuralmodulusofelasticity = 33400 ∙ G�� + 2200

R�0 = Ultimateshearstrenght = 80 ∙ G� + 38

G = Shearmodulusofelasticity = 1700 ∙ G� − 2240

R02 = Ultimateinterlaminateshearstrenght = 22,5 − 13,5 ∙ G�

GC 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 0,55 0,6 0,65

Rm N/mm^2 85,0 95,0 105,0 115,0 125,0 135,0 145,0 155,0

E N/mm^2 6500,0 7250,0 8000,0 8750,0 9500,0 10250,0 11000,0 11750,0

Rmc N/mm^2 117,0 124,5 132,0 139,5 147,0 154,5 162,0 169,5

Ec N/mm^2 6000,0 8000,0 10000,0 12000,0 14000,0 16000,0 18000,0 20000,0

Rmf N/mm^2 152,0 168,3 187,1 208,5 232,3 258,7 287,5 318,9

Em N/mm^2 5206,0 6291,5 7544,0 8963,5 10550,0 12303,5 14224,0 16311,5

Rmt N/mm^2 62,0 66,0 70,0 74,0 78,0 82,0 86,0 90,0

G N/mm^2 2750,0 2835,0 2920,0 3005,0 3090,0 3175,0 3260,0 3345,0

Rti N/mm^2 18,5 17,8 17,1 16,4 15,8 15,1 14,4 13,7


A.B.S.

( Questo registro non da delle formulazioni per il calcolo delle caratteristiche del laminato ma

richiede solo delle caratteristiche minime )


R� = Ultimatetensilestrenght = 124

E = Tensilemodulusofelasticity = 6890

R�' = Ultimatecompressivestrenght = 117

E' = Compressivemodulusofelasticity = 6890

R�, = Ultimate-lexuralstrenght = 172

E� = Flexuralmodulusofelasticity = 7580

R�0 = Ultimateshearstrenght = 62

G = Shearmodulusofelasticity = 3100

R02 = Ultimateinterlaminateshearstrenght = 17,3

UNI ISO

Valore di ψ minimo ammesso pari a 0,30

σ<0 = Ultimatetensilestrenght = 800 ∙ ψ� − 80 ∙ ψ + 37

E = Tensilemodulusofelasticity = 38000 ∙ ψ − 5000

σ<' = Ultimatecompressivestrenght = 150 ∙ ψ + 72

σ<, = Ultimate-lexuralstrenght = 502 ∙ ψ� + 107

τ< = Ultimateshearstrenght = 80 ∙ ψ + 38

G = Shearmodulusofelasticity = 1700 ∙ ψ − 2240

τ<2=0. = Ultimateinterlaminateshearstrenght = 22,5 − 17,5 ∙ ψ

GC 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 0,55 0,6 0,65

σUt N/mm^2 85,0 107,0 133,0 163,0 197,0 235,0 277,0 323,0

E N/mm^2 6400,0 8300,0 10200,0 12100,0 14000,0 15900,0 17800,0 19700,0

σUc N/mm^2 117,0 124,5 132,0 139,5 147,0 154,5 162,0 169,5

σUf N/mm^2 152,2 168,5 187,3 208,7 232,5 258,9 287,7 319,1

τU N/mm^2 62,0 66,0 70,0 74,0 78,0 82,0 86,0 90,0

G N/mm^2 2750,0 2835,0 2920,0 3005,0 3090,0 3175,0 3260,0 3345,0

τU int N/mm^2 17,3 16,4 15,5 14,6 13,8 12,9 12,0 11,1

Di seguito riporto i grafici ottenuti , comparando i vari registri , nella maggior parte dei casi si nota

l'uguaglianza dei risultati , tranne che per l' ABS il registro infatti da solo i valori minimi delle

proprietà meccaniche , che quindi risultano costanti.


0

50

100

150

200

250

300

350

0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 0,55 0,6 0,65 0,7

Gc

Ultimate tensile strenght

RINA

Gl

LLOYD

ABS

ISO

0

5000

10000

15000

20000

25000

0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 0,55 0,6 0,65 0,7

Gc

Tensile modulus of elasticity

RINA

Gl

LLOYD

ABS

ISO


100

110

120

130

140

150

160

170

180

0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 0,55 0,6 0,65 0,7

Gc

Ultimate compressiv strenght

RINA

Gl

LLOYD

ABS

ISO

0

5000

10000

15000

20000

25000

0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 0,55 0,6 0,65 0,7

Gc

Compressive modulus of elasticity

RINA

LLOYD

ABS


100

150

200

250

300

350

0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 0,55 0,6 0,65 0,7

Gc

Ultimate flexural strenght

RINA

Gl

LLOYD

ABS

ISO

4000

6000

8000

10000

12000

14000

16000

18000

0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 0,55 0,6 0,65 0,7

Gc

Flexural modulus of elasticity

RINA

LLOYD

ABS


50

55

60

65

70

75

80

85

90

95

0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 0,55 0,6 0,65 0,7

Gc

Ultimate shear strenght

RINA

Gl

LLOYD

ABS

ISO

2500

2600

2700

2800

2900

3000

3100

3200

3300

3400

0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 0,55 0,6 0,65 0,7

Gc

Shear modulus of elasticity

RINA

Gl

LLOYD

ABS

ISO


Per la maggior parte delle proprietà meccaniche i registri si eguagliano , a parte in alcuni casi per i

quali il LLOYD è più cautelativo in quanto si hanno dei valori minori , solo nell'ultimo caso di

resistenza ultima a taglio interlaminare il LLOYD e meno cautelativo degli altri registri .

Inoltre è stato calcolato lo spessore previsto secondo le formule di ciascuna Società di Classifica ed

Ente per un generico laminato :

Material pi gC qi

- g/m2 - g/m

2

Mat 300 0,300 1000

Mat 300 0,300 1000

biax 0/90 1075 0,470 2287

biax 0/90 1075 0,470 2287

Mat 300 0,300 1000

biax 0/90 1075 0,470 2287

biax 0/91 1075 0,470 2287

Ptot GC Qtot

5200 0,43 12149

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 0,55 0,6 0,65 0,7

Gc

Ultimate interlaminare shear strenght

RINA

Gl

LLOYD

ABS

ISO


R.I.NA. ?@ = 0,33A@ ∙ B�,CCDE � 1,36F

G.L. ?@ � 10GH ∙ I JKL � MJGNON∙PQ R

Lloyd’s ?@ � SLTULLEGVWLGWQXYJZ[WLWQ

UNI EN ISO

Ottenendo I seguenti valori:

Material pi gC qi

Rina Gl LR ISO g/m

2 - g/m

2

Mat 300 0,3 1000 0,707 0,701 0,701 0,701

Mat 300 0,3 1000 0,707 0,701 0,701 0,701

biax

0/90 1075 0,47 2287

1,442 1,430 1,430 1,430

biax

0/90 1075 0,47 2287

1,442 1,430 1,430 1,430

Mat 300 0,3 1000 0,707 0,701 0,701 0,701

biax

0/90 1075 0,47 2287

1,442 1,430 1,430 1,430

biax

0/91 1075 0,47 2287

1,442 1,430 1,430 1,430

5200 0,43 12149 7,890 7,822 7,822 7,822


Esercitazione n°3 -Definite le proprietà del laminato, calcolare per ogni direzione degli assi x-y e confrontare in un

grafico i seguenti:

-Max Stress Criterion;

-Max Strain Criterion;

-Tsai-Hill Criterion;

-Tsai-Wu Criterion.

In base al numero di lettere del nome e del cognome dello studente si sono calcolate le

caratteristiche meccaniche del laminato, nel seguente modo:

σ�� = 590 + 20N σ�� = −500 − 10N σ�� = 120 − 3C σ�� = −120 + C τ�� = 50 + N + C E�� = 24000 + 500N E� = 6000 + 200C ν�� = 0,22

ottenendo i seguenti dati:

σ(L traz)=590+20N 710 N/mm2

σ(L comp)=-500-10N -560 N/mm2

σ(T traz)=120-3C 105 N/mm2

σ(T comp)=-120+C -115 N/mm2

τLT=50+N+C 61 N/mm2

ELT=24000+500N 27000 N/mm2

ET=6000+200C 7000 N/mm2

νLT=0,22 0,22

νTL=νLT*ET/EL 0,06

Servendomi di un foglio di calcolo, proseguo

nell’esercitazione calcolando per ogni direzione degli assi x-y

(con step di 1°) ciascun criterio.


MAX STRESS CRITERION

Il criterio impone che le tensioni agenti sul laminato siano inferiori alla tensione ammissibile del

materiale. Le tensioni agenti devono essere inferiori a quelle calcolate con le seguenti formule:

�� ≤ !"#$%&' ; �� ≤ !(%)*&' ; �� ≤ +"(��,' ,-. ' .

�� = Tensione diretta lungo l’asse x

�/ = Tensione diretta lungo la direzione delle fibre;

�0 = Tensione diretta perpendicolare alla direzione delle fibre;

1/0 = Tensione di taglio del laminato;

2 = Angolo compreso tra la direzione delle fibre e l’asse x.

Di seguito riporto la tabella rimpicciolita ( considerando solo gli angoli con step 5° invece di 1 °

come nei calcoli)

MAX STRESS

ϴ σx σy τxy

[°] N/mm2 N/mm

2 N/mm2

0 710 #DIV/0! #DIV/0!

5 715,43 13822,84 702,57

10 732,07 3482,16 356,70

15 760,98 1567,46 244,00

20 804,06 897,61 189,80

25 864,38 587,89 159,26

30 946,67 420,00 140,87

35 1058,11 319,16 129,83

40 1209,90 254,13 123,88

45 1420,00 210,00 122,00

50 1718,40 178,93 123,88

55 2158,12 156,48 129,83

60 2840,00 140,00 140,87

65 3975,23 127,83 159,26

70 6069,53 118,91 189,80

75 10599,02 112,54 244,00

80 23546,04 108,26 356,70

85 93468,73 105,80 702,57

90 1,892E+35 105 9,96E+17


MAX STRAIN CRITERION

Il criterio impone che le deformazioni del laminato siano inferiori alle deformazioni ammissibili del

materiale. Nonostante le possibili analogie con il precedente, questo criterio differisce nel

seguente modo:

�� ≤ !"#$%&'34"(∙%)*&' ; �� ≤ !(%)*&'34("∙#$%&'; �� ≤ +"(��,' ,-. ' .

6/0 = Modulo di Poisson per una trazione parallela alle fibre;

60/ = Modulo di Poisson per una trazione perpendicolare alle fibre;

Di seguito riporto la tabella rimpicciolita ( considerando solo gli angoli con step 5° invece di 1 °

come nei calcoli)

MAX STRAIN

ϴ σx σy τxy

[°] N/mm2 N/mm

2 N/mm2

0 710 1840,909 #DIV/0!

5 716,64 2142,52 702,57

10 737,12 4172,72 356,70

15 773,19 7624,71 244,00

20 828,19 1576,27 189,80

25 907,81 796,93 159,26

30 1021,58 506,70 140,87

35 1186,04 361,18 129,83

40 1431,67 276,53 123,88

45 1820,51 222,70 122,00

50 2499,34 186,42 123,88

55 3914,70 160,98 129,83

60 8352,94 142,71 140,87

65 338024,11 129,44 159,26

70 9186,53 119,82 189,80

75 5134,68 113,00 244,00

80 3875,28 108,46 356,70

85 3369,20 105,85 702,57

90 3227,27 105 9,96E+17

0

200

400

600

800

1000

0 20 40 60 80 100

ϴ [°]

MAX STRESS CRITERION

σx N/mm2

σy N/mm2

τxy N/mm2


TSAI-HILL CRITERION

Questo criterio si può definire come la forma generalizzata della formula di Von Misess ed è valido

per i materiali non isotropici. In questo criterio non si fa differenza tra tensioni di trazione o di

compressione.

�/7�/8997 −�/�0�/8997 +

�07�08997 +1/071/08997 ≤ 1

Per poterlo utilizzare nell’esercitazione devo riferire le tensioni agenti longitudinalmente e

trasversalmente alle fibre secondo la direzione dell’asse x.

Ricordo che:

�/ = :;<72 ∙ �� ; �0 = <=>72 ∙ �� ; 1/0 = cos 2 sin 2 ∙ �� ;

Sostituendo all’equazione precedente e isolando la variabile �� si ottiene:

�� = ±E1F

Dove:

F = #$%G'3#$%&'%)*&'!"HII& + %)*G'!(HII& + #$%&'%)*&'+"(HII&

TSAI HILL

ϴ σx TSAI HILL

[°] N/mm2 ϴ σx

0 710 [°] N/mm2

5 501,8917 50 101,928

10 320,2619 55 100,0284

15 230,5932 60 99,42396

20 181,54 65 99,80312

25 151,8514 70 100,8581

30 132,6833 75 102,2542

35 119,8664 80 103,6292

40 111,2164 85 104,6325

45 105,4902 90 105

0

200

400

600

800

1000

0 20 40 60 80 100

ϴ [°]

MAX STRAIN CRITERION

σx N/mm2

σy N/mm2

τxy N/mm2


TSAI-WU CRITERION

Quest’ultimo criterio fornisce valori molto simili al precedente, in più permette la differenziazione

tra tensioni di trazione e tensioni di compressione. Consiste in una disequazione di 2° grado in cui

compaiono diversi coefficienti funzione delle proprietà del composito. La formula espressa per

sole tensioni nel piano si riduce alla seguente:

JK�/ + J7�0 + JKK�/7 + J77�07 + JK7�/07 + 2JLL�/�0 ≤ 1

Dove:

J) = 1�)MN8O +1�)#$9 ; J)) = −

1�)MN8O ∙ �)#$9 ; JK7 = −12QJKKJ77; JLL = R 11/0S

7.

Con i e j = L,T.

Per poterlo utilizzare nell’esercitazione devo riferire le tensioni agenti longitudinalmente e

trasversalmente alle fibre secondo la direzione dell’asse x.

Ricordo che: �/ = :;<72 ∙ �� ; �0 = <=>72 ∙ �� ; 1/0 = cos 2 sin 2 ∙ �� ;

Sostituendo all’equazione precedente e isolando la variabile �� si ottiene:

��K,7 = −U ± √U7 − 4F:2F

Dove:

F = JKK:;<L2 + J77<=>L2 + JLL:;<72<=>72 + JK7 cos2 sin 2 ;

U = JK:;<72 + J7<=>72;

c = 1

N.B.: Le due soluzioni dell’equazione rappresentano il limite massimo a tensioni di trazione W�� > 0Y e a tensioni di compressione W�� < 0Y.

TSAI - WU

ϴ σtraz. σcomp. TSAI - WU

[°] N/mm2 N/mm2 ϴ σtraz. σcomp.

0 710,0 -560,0 [°] N/mm2 N/mm2

5 557,2 -462,4 50 103,3 -106,9

10 351,4 -313,8 55 101,1 -105,8

15 247,3 -230,4 60 100,4 -106,0

20 191,4 -183,1 65 100,7 -107,3

25 158,2 -154,2 70 101,6 -109,3

30 137,0 -135,6 75 102,9 -111,5

35 122,9 -123,2 80 104,2 -113,6

40 113,5 -115,0 85 105,0 -114,8

45 107,2 -109,9 90 105,0 -115,0


Paragonando in un' unico grafico tutti i valori si ha:

Dal grafico si vede come i due criteri Tsai Hill e Tsai Wu siano i più cautelativi , mentre lo stress

criterion e strain criterion siano pressochè uguali nelle zone di interesse ; anche se per angoli

nell'intorno di 0° l'approssimazione dovuta alle formule è più elevata in quanto la curva tende a

crescere e non a decrescere come avverrebbe nella realtà .

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

0 20 40 60 80 100

ϴ [°]

strain criterion :

σx N/mm2

σy N/mm2

τxy N/mm2

stress criterion :

σx N/mm2

σy N/mm2

τxy N/mm2

tsai hill :

σx N/mm2

tsai wu :

σtraz. N/mm2

0,00

100,00

200,00

300,00

400,00

500,00

600,00

700,00

800,00

0 20 40 60 80 100

ϴ [°]

TSAI HILL / TSAI WU

σx N/mm2

σtraz. N/mm2


Esercitazione n°4

-Verifica di un ipotetico pannello di fasciame sottoposto a un battente idrostatico esterno

mediante la teoria classica del laminato.

I dati di partenza sono i seguenti :

Vetro E Epossidica

Densità ρ [g / cm3] 2,54 1,20

Modulo Elastico E [N / mm2] 73000 3100

Modulo di Poisson ν - 0,25 0,32

Modulo di Taglio G [N / mm2] 29200 1178

Resistenza a Trazione σtrazione [N / mm2] - 64,0

Resistenza a Compressione σcompres [N / mm2] - 92,0

Per la laminazione vengono utilizzati 2 tipi di tessuti :

- 0/90° non bilanciato , di 800 - 200 g / cm3 , con un �= 0,65

- +-45 bilanciato , 400 - 400 g/cm3 , con un �= 0,55

( Nei calcoli i tessuti verranno ambedue considerati come 2 sottolayer ,nelle 2 direzioni delle fibre )

In più le dimensioni del pannello risultano :

- Campata di 500 [mm]

- Battente esterno pari a 1 [m]

PROCEDURA :

1) Per iniziare si calcolano le proprietà meccaniche del laminato utilizzando il regolamento High

Speed Craft, con le seguenti formule:

ϕ =ψ

ρv

ψρv

+1−ψ( )

ρr

E1 = ϕ ⋅ Ev + (1−ϕ) ⋅ Er

E2 = Er

1−ν r2

⋅ 1+ 0,85 ⋅ϕ 2

1−ϕ( )1,25 +ϕ Er

E2v 1−ν r2( )

ν12 = ϕ ⋅νv + (1−ϕ ) ⋅ν rν21 = ν12

E2

E1

φ = frazione in volume percentuale

Ev = Modulo di Young del Vetro

Er = Modulo di Young della Resina

νv = Modulo di Poisson del Vetro

νr = Modulo di Poisson della Resina

G12 = Gr ⋅ 1+ 0, 6 ⋅ ϕ

1−ϕ( )1,25 +ϕ Gr

Gv

ti = Pv

1− µo

⋅ 1ρv

+ (1−ψ)ψ

⋅ 1ρr

⋅10−3

Gr = Modulo di Taglio della Resina

Gv = Modulo di Taglio del Vetro

Pv = Peso su Area del rinforzo


I valori ottenuti sono riportati nella tabella seguente:

Pv Ψ ϕ E1 E2 ν12 ν21 G12 ti

Biax 0° 800 0,650 0,467 35767 0,285 0,068 3506 0,67

90° 200 0,650 0,467 8556 0,285 0,068 3506 0,17

Wov Rov 45° 400 0,55 0,366 28687 0,292 0,067 2767 0,43

-45° 400 0,55 0,366 6578 0,292 0,067 2767 0,43

2) Una volta calcolate le proprietà dei tessuti si cerca la matrice Elastica , calcolata per ogni

direzione delle fibre di vetro e avente la seguente formulazione :

Per i nostri tessuti le matrici assume i seguenti valori :

E [N/mm2]

RAD GRAD 36476 2486 0

0 0 2486 8725 0

0 0 3506

RAD GRAD 36476 2486 0

1,57 90 2486 8725 0

0 0 3506

RAD GRAD 29258 1956 0

0,79 45 1956 6709 0

0 0 2767

RAD GRAD 29258 1956 0

-0,79 -45 1956 6709 0

0 0 2767

3) Una volta calcolato il modulo elastico lungo la direzione delle fibre bisogna ricavare la matrice

elastica [E]x riferita a un unico asse x. Per fare ciò si usa la matrice di rotazione [T] con la seguente

formula:


Dove :

�� 1 0 00 1 00 0 2

Per le nostre fibre vale la seguente:

EX

RAD GRAD 36476 2486 0

0 0 2486 8725 0

0 0 3506

RAD GRAD 8725 2486 0

1,57 90 2486 36476 0

0 0 3506

RAD GRAD 12736 7203 5637

0,79 45 7203 12736 5637

5637 5637 8014

RAD GRAD 12736 7203 -5637

-0,79 -45 7203 12736 -5637

-5637 -5637 8014

4) Definita la sequenza di laminazione che vede :

- 2 0°- 90°

- 4 +45°-45°

- 2 0°- 90°

Devo calcolare i contribuiti della matrice [A] e della matrice [D], le quali sono dipendenti dalla

distanza dall’asse neutro.

Definisco le matrici [A] e [D]:

�A� � ��E�� ∙ �h� � h��; �D� � ��E��

�� ∙ �h�� h��3 �.

Avendo scelto una tabella di laminazione simmetrica risulta che il contributo della matrice �B� � ∑ �E�� ∙ #$%&�$%'(&) *�� sia nullo.


Una volta definite le matrici per il singolo strato, posso procedere al calcolo del contributo totale

di ciascuna matrice:

Dalle totali ricavo quelle inverse :

A -1 D

-1

7,3E-06 -2,7E-06 -6,5E-23 1,3E-06 -3,1E-07 -6,6E-08

-2,7E-06 1,2E-05 3,0E-22 -3,1E-07 3,0E-06 -1,8E-07

-6,5E-23 3,0E-22 2,5E-05 -6,6E-08 -1,8E-07 9,3E-06

5)A questo punto si può procedere con il calcolo delle sollecitazioni agenti sul pannello di fasciame

di campata 500 [mm] e lunghezza unitaria. Si è considerata in maniera semplificativa una

condizione di appoggio agli estremi che consente di trascurare l’effetto del taglio per la verifica, si

è trascurato inoltre l’effetto lastra.

Campata 500 mm

Battente statico 1 m

Pressione 10055,25 Pa

Carico 10055,25 N/m

Momento in mezzeria 314,23 N*m

Essendo il laminato simmetrico , la possibilità di separare i contributi dei momenti e delle forze

normali agenti sul pannello di fasciame fa si che si può determinare le curvature utilizzando la

seguente formulazione:

Viene utilizzata la formula inversa :

Mx Kx

D-1 * My = Ky

Mxy Kxy

1,31E-06 -3,1E-07 -6,6E-08 314,2266 0,00041

-3,1E-07 3,02E-06 -1,8E-07 * 0 = -0,00010

-6,6E-08 -1,8E-07 9,31E-06 0 -0,00002

6) Note le curvature riferite al piano medio posso procedere al calcolo delle deformazioni e

curvature in ciascun piano tramite la relazione lineare di deformazione:

Atot Dtot

148044 33166 0 783843 81483 7181

33166 91937 0 81483 339449 7181

0 0 39395 7181 7181 107642


� +,+-.,- � / +,0+-0.,-0 1 + 3 ∙ / 4,04-04,-0 1

ε0

x

Kx

εx

ε0

y + Z * Ky = εy

ϴ ϴ У0

xy

Kxy

Уxy

[°] [rad]

0

0,00041

0,0013

0 0,00 0 + 3,069 * -0,00010 = -0,0003

0

-0,00002

-0,0001

0

0,00041

0,0011

90 1,57 0 + 2,647 * -0,00010 = -0,0003

0

-0,00002

-0,0001

0

0,00041

0,0009

0 0,00 0 + 2,226 * -0,00010 = -0,0002

0

-0,00002

0,0000

0

0,00041

0,0007

90 1,57 0 + 1,805 * -0,00010 = -0,0002

0

-0,00002

0,0000

0

0,00041

0,0006

45 0,79 0 + 1,506 * -0,00010 = -0,0001

0

-0,00002

0,0000

0

0,00041

0,0004

-45 -0,79 0 + 1,076 * -0,00010 = -0,0001

0

-0,00002

0,0000

0

0,00041

0,0003

45 0,79 0 + 0,645 * -0,00010 = -0,0001

0

-0,00002

0,0000

0

0,00041

0,0001

-45 -0,79 0 + 0,215 * -0,00010 = 0,0000

0

-0,00002

0,0000

0

0,00041

-0,0001

-45 -0,79 0 + -0,215 * -0,00010 = 0,0000

0

-0,00002

0,0000

0

0,00041

-0,0003

45 0,79 0 + -0,645 * -0,00010 = 0,0001

0

-0,00002

0,0000

0

0,00041

-0,0004

-45 -0,79 0 + -1,076 * -0,00010 = 0,0001

0

-0,00002

0,0000


0

0,00041

-0,0006

45 0,79 0 + -1,506 * -0,00010 = 0,0001

0

-0,00002

0,0000

0

0,00041

-0,0007

90 1,57 0 + -1,805 * -0,00010 = 0,0002

0

-0,00002

0,0000

0

0,00041

-0,0009

0 0,00 0 + -2,226 * -0,00010 = 0,0002

0

-0,00002

0,0000

0

0,00041

-0,0011

90 1,57 0 + -2,647 * -0,00010 = 0,0003

0

-0,00002

0,0001

0

0,00041

-0,0013

0 0,00 0 + -3,069 * -0,00010 = 0,0003

0

-0,00002

0,00006

7) Concluso ciò devo calcolare le tensioni agenti su ciascun piano riferite alla direzione dell’asse x

(concorde con la direzione delle fibre per ciascuno strato).

� 5,5-6,- � �7�, ∙ � +,+-.,-

εx σx

Ex * εy = σy

ϴ ϴ

Уxy τxy

[°] [rad]

36476 2486 0

0,001262119

45

0 0,00 2486 8725 0 * -0,00030161 = 1

0 0 3506

-6,4081E-05

0

8725 2486 0

0,001089

9

90 1,57 2486 36476 0 * -0,000260 = -7

0 0 3506

-0,000055

0

36476 2486 0

0,000916

33

0 0,00 2486 8725 0 * -0,000219 = 0

0 0 3506

-0,000046

0

8725 2486 0

0,000742

6

90 1,57 2486 36476 0 * -0,000177 = -5

0 0 3506

-0,000038

0

12736 7203 5637

0,000619

7

45 0,79 7203 12736 5637 * -0,000148 = 2

5637 5637 8014

-0,000031

2


12736 7203 -5637

0,000442

5

-45 -0,79 7203 12736 -5637 * -0,000106 = 2

-5637 -5637 8014

-0,000022

-2

12736 7203 5637

0,000265

3

45 0,79 7203 12736 5637 * -0,000063 = 1

5637 5637 8014

-0,000013

1

12736 7203 -5637

0,000088

1

-45 -0,79 7203 12736 -5637 * -0,000021 = 0

-5637 -5637 8014

-0,000004

0

12736 7203 -5637

-0,000088

-1

-45 -0,79 7203 12736 -5637 * 0,000021 = 0

-5637 -5637 8014

0,000004

0

12736 7203 5637

-0,000265

-3

45 0,79 7203 12736 5637 * 0,000063 = -1

5637 5637 8014

0,000013

-1

12736 7203 -5637

-0,000442

-5

-45 -0,79 7203 12736 -5637 * 0,000106 = -2

-5637 -5637 8014

0,000022

2

12736 7203 5637

-0,000619

-7

45 0,79 7203 12736 5637 * 0,000148 = -2

5637 5637 8014

0,000031

-2

8725 2486 0

-0,000742

-6

90 1,57 2486 36476 0 * 0,000177 = 5

0 0 3506

0,000038

0

36476 2486 0

-0,000916

-33

0 0,00 2486 8725 0 * 0,000219 = 0

0 0 3506

0,000046

0

8725 2486 0

-0,001089

-9

90 1,57 2486 36476 0 * 0,000260 = 7

0 0 3506

0,000055

0

36476 2486 0

-0,001262

-45

0 0,00 2486 8725 0 * 0,000302 = -1

0 0 3506

0,000064

0


8) Proseguo calcolando le tensioni riferite a un sistema di riferimento con un asse longitudinale e

uno trasversale, per fare ciò utilizzo la matrice di rotazione [T] facendo attenzione al verso di

rotazione:

� 5859689 � �:� ∙ � 5,5-6,-

σx

σL

T-1

* σy = σT

ϴ ϴ

τxy

τLT

[°] [rad]

1 0 0

45

45

0 0,00 0 1 0 * 1 = 1

0 0 1

0

0

0 1 0

9

-7

90 1,57 1 0 0 * -7 = 9

0 0 -1

0

0

1 0 0

33

33

0 0,00 0 1 0 * 0 = 0

0 0 1

0

0

0 1 0

6

-5

90 1,57 1 0 0 * -5 = 6

0 0 -1

0

0

0,5 0,5 -1

7

7

45 0,79 0,5 0,5 1 * 2 = 2

0,5 -0,5 0

2

-2

0,5 0,5 1

5

6

-45 -0,79 0,5 0,5 -1 * 2 = 1

-0,5 0,5 0

-2

2

0,5 0,5 -1

3

3

45 0,79 0,5 0,5 1 * 1 = 1

0,5 -0,5 0

1

-1

0,5 0,5 1

1

1

-45 -0,79 0,5 0,5 -1 * 0 = 0

-0,5 0,5 0

0

0

0,5 0,5 1

-1

-1

-45 -0,79 0,5 0,5 -1 * 0 = 0

-0,5 0,5 0

0

0


0,5 0,5 -1

-3

-3

45 0,79 0,5 0,5 1 * -1 = -1

0,5 -0,5 0

-1

1

0,5 0,5 1

-5

-6

-45 -0,79 0,5 0,5 -1 * -2 = -1

-0,5 0,5 0

2

-2

0,5 0,5 -1

-7

-7

45 0,79 0,5 0,5 1 * -2 = -2

0,5 -0,5 0

-2

2

0 1 0

-6

5

90 1,57 1 0 0 * 5 = -6

0 0 -1

0

0

1 0 0

-33

-33

0 0,00 0 1 0 * 0 = 0

0 0 1

0

0

0 1 0

-9

7

90 1,57 1 0 0 * 7 = -9

0 0 -1

0

0

1 0 0

-45

-45

0 0,00 0 1 0 * -1 = -1

0 0 1

0

0

Riporto di seguito i grafici delle tensioni lungo gli assi-

-60 -40 -20 0 20 40 60

1

σL 0

90

0

90

45

-45

45

-45

-45

45

-45

45

90

0

90

0


9) Possiamo concludere lo studio del pannello di fasciame confrontando le tensioni ricavate con un

criterio di rottura, in questo caso sono stati scelti il criterio di Tsai-Hill e il criterio di Tsai-Wu.

Le proprietà della singola lamina sono state ricavate in parte dal regolamento del R.I.NA. e

in parte dal testo Marine Composites, ottenendo i seguenti valori :

RINA MARNE COMPOSITE

gc Rm // Rmc // Rmt RmT Rmc T

Biax 0°/90° 0,65 331 -170 90 51 -73

Wov Rov 45°/-45° 0,55 229 -155 82 49 -71

-10 -5 0 5 10

1

σT 0

90

0

90

45

-45

45

-45

-45

45

-45

45

90

0

90

0

-3 -2 -1 0 1 2 3

τLT 0

90

0

90

45

-45

45

-45

-45

45

-45

45

90

0

90

0


Di seguito riporto le formule per il calcolo di entrambi i criteri:

Tsai-Hill criterion ;<&;<=>>& � ;<;?;<=>> & + ;?&;?=>> & + @<?&

@<?=>>& ≤ 1

Tsai-Wu criterion B�58 + B)59 + B��58) + B))59) + B�)589) + 2BCC5859 ≤ 1

dove : BD � 15DEFGH + 15DIJK ; BDD � � 15DEFGH ∙ 5DIJK ;

B�) � � 12 LB��B)); BCC � M 1689N).

Dal calcolo dei criteri di rottura, risulta che con un battente idrostatico di 1 [m] entrambi i criteri

sono ampiamente soddisfatti.

ϴ Tsai Hill Tsai Wu

[°] σx F1 F2 F11 F22 F12 F44 Traz.

0 0,019 -0,003 0,006 0,00002 0,0003 -0,00003 0,00012 -0,09

90 0,031 -0,003 0,006 0,00002 0,0003 -0,00003 0,00012 0,10

0 0,010 -0,003 0,006 0,00002 0,0003 -0,00003 0,00012 -0,07

90 0,015 -0,003 0,006 0,00002 0,0003 -0,00003 0,00012 0,06

45 0,020 -0,002 0,006 0,00003 0,0003 -0,00004 0,00015 0,05

-45 0,013 -0,002 0,006 0,00003 0,0003 -0,00004 0,00015 0,04

45 0,004 -0,002 0,006 0,00003 0,0003 -0,00004 0,00015 0,02

-45 0,001 -0,002 0,006 0,00003 0,0003 -0,00004 0,00015 0,01

-45 0,001 -0,002 0,006 0,00003 0,0003 -0,00004 0,00015 -0,01

45 0,004 -0,002 0,006 0,00003 0,0003 -0,00004 0,00015 -0,01

-45 0,013 -0,002 0,006 0,00003 0,0003 -0,00004 0,00015 -0,02

45 0,020 -0,002 0,006 0,00003 0,0003 -0,00004 0,00015 -0,03

90 0,015 -0,003 0,006 0,00002 0,0003 -0,00003 0,00012 -0,04

0 0,010 -0,003 0,006 0,00002 0,0003 -0,00003 0,00012 0,11

90 0,031 -0,003 0,006 0,00002 0,0003 -0,00003 0,00012 -0,05

0 0,019 -0,003 0,006 0,00002 0,0003 -0,00003 0,00012 0,16


0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 0,03 0,035

1

Tsai-hill 0

90

0

90

45

-45

45

-45

-45

45

-45

45

90

0

90

0

-0,15 -0,1 -0,05 0 0,05 0,1 0,15 0,2

1

Tsai-wu 0

90

0

90

45

-45

45

-45

-45

45

-45

45

90

0

90

0


10) Si è determinato per i due criteri il battente massimo ammissibile , questi risultano molto

differenti tra loro in quanto :

- Tsai - Hill resiste a un battente di 5,6 m

-Tsai - Wu resiste a un battente di 3,8 m

Battente

statico 5,6 m

ϴ Tsai Hill

[°] σx

0 0,582

90 0,985

0 0,306

90 0,458

45 0,099

-45 0,050

45 0,018

-45 0,002

-45 0,002

45 0,018

-45 0,050

45 0,099

90 0,458

0 0,306

90 0,985

0 0,582

0,000 0,200 0,400 0,600 0,800 1,000 1,200

Tsai Hill 0

90

0

90

45

-45

45

-45

-45

45

-45

45

90

0

90

0


Battente

statico 3,8 m

ϴ Tsai_Wu

[°] Traz.

0 0,02

90 0,65

0 -0,09

90 0,36

45 0,02

-45 0,00

45 0,00

-45 0,00

-45 0,00

45 0,01

-45 0,03

45 0,03

90 -0,01

0 0,62

90 0,10

0 0,99

-0,20 0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20

Tsai Wu 0

90

0

90

45

-45

45

-45

-45

45

-45

45

90

0

90

0


11) Si è provato a invertire la sequenza di laminazione , portando il +-45° all'esterno e lo 0/90°

all'interno , la laminazione diventa :

- 2 45°-45°

- 4 °0°- 90°

- 2 45°-45°

Per questa nuova condizione sono stati calcolati i battenti massimi secondo i criteri di Tsai -Hill e

Tsai -Wu .

Si nota che per :

-Tsai-Hill il battente massimo si è ridotto fino a 4,2 m

-Tsai -Wu il battente massimo si è ridotto di 3,1 m


Battente

statico 4,2 m

ϴ Tsai Hill

[°] σx

45 0,954

-45 0,709

45 0,509

-45 0,336

0 0,448

90 0,389

0 0,063

90 0,003

90 0,003

0 0,063

90 0,389

0 0,448

-45 0,336

45 0,509

-45 0,709

45 0,954

0,000 0,200 0,400 0,600 0,800 1,000 1,200

Tsai-Hill

45-4545-45090090Serie8Serie7


Si nota che per la seconda sequenza di laminazione adottata i valori dei battenti ammissibili è

inferiore questo perchè sull'esterno , la tensione è massima e non coincide con la direzione delle

fibre che in questo caso son +- 45° .

Battente

statico 3,1 m

ϴ Tsai_Wu

[°] Traz.

45 0,39

-45 0,27

45 0,21

-45 0,12

0 0,02

90 0,51

0 -0,11

90 0,03

90 -0,02

0 0,25

90 -0,03

0 0,99

-45 0,18

45 0,22

-45 0,36

45 0,40

-0,20 0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20

1

Tsai-Wu

45

-45

45

-45

0

90

0

90

90

0

90

0

-45

45

-45

45


Esercitazione n°5

-Determino il minimo carico critico d’instabilità di un pannello di fasciame soggetto a

compressione semplicemente appoggiato sui bordi.

Prendiamo come riferimento il pannello di fasciame considerato nell' esercitazione 4 avente

sequenza di laminazione pari a :

- 2 0°- 90°

- 4 +45°-45°

- 2 0°- 90°

Conoscendo le dimensioni della lastra:

- a = 1000 mm

- b = 500 mm

E la matrice D totale che riporto di seguito:

Dtot

783843 81482,82 7181,392

81482,82 339449,3 7181,392

7181,3922 7181,392 107642,4

E' possibile calcolare il carico critico, che è stato determinato tramite la formula:

dove: n = 1;2;3 e m = 1;2;3

Si vede che il valore del carico critico è minimo per il valore di n =2 e m =1 e vale Ncr = 67,7 kN/m

Ncr n

1 2 3

m

1 84,77 67,77 99,01

2 959,12 339,08 258,64

3 4560,52 1327,30 762,95

( )

++

+

= 33122

2

222

42

112

2

, 22 DDmb

aD

n

m

a

bDn

bN crx

π

Esercitazioni Serena

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