7/29/2019 Analisi Matematica 1, 2
1/631
Analisi 1+2 Polo di Savona
Analisi Matematica 1+2
Prove dEsame
A.A. 1992/2009
1- PrG.TEX [.TEX]
7/29/2019 Analisi Matematica 1, 2
2/631
Analisi 1+2 Polo di Savona Prima Prova Parziale 91/92
Prima Prova Parziale 91/92
Si consideri la successione definita da
an+1 =a2n + 1
ana0 = 2
Stabilire se an e crescente o decrescente e giustificare brevemente laffermazione.
Stabilire se an ammette limite, in caso affermativo determinarlo ed in caso negativo provare che il limitenon esiste.
Determinare estremo superiore, estremo inferiore, massimo e minimo di an.sup an = infan = max an = min an =
Determinare una formula di ricorrenza per la successione bn = a2n
lllllllllllllllllllllllllll
Si consideri la funzione:
f(x) =x + 1
x2 3x + 2
Determinare il campo di definizione I di f;
Determinare linsieme J in cui f e derivabile;
Disegnare il grafico di f
Stabilire se f e decrescente su ( , 1 6] e su [1 + 6 , +) e giustificare brevementelaffermazione.
Stabilire se f e invertibile su [1 6 , 1) [1 + 6 , 2) e calcolare f1
Dopo aver verificato che f e invertibile su (2 +), detta g linversa, stabilire se g e derivabile e calcolareg(2)
Determinare il rango di f
Calcolare, se esiste, limx0
ex 1 x sin(x)x2
Calcolare, se esiste, ddxxsin(x)
Calcolare, se esiste, ddx tan(arctan(x))
2- PrG.TEX [PrG92.TEX.TEX]
7/29/2019 Analisi Matematica 1, 2
3/631
Analisi 1+2 Polo di Savona Seconda Prova Parziale 91/92
Seconda Prova Parziale 91/92
Si consideri il problema di Cauchy
y(x) = (ln x)(1 + y2(x))y(x0) = y0
Discutere brevemente esistenza ed unicita della soluzione al variare di (x0, y0) R2
Stabilire crescenza e decrescenza della soluzione al variare di (x0, y0) R2, giustificando brevemente leaffermazioni
Calcolare la soluzione corrispondente ai dati iniziali x0 = 1, y0 = precisandone il campo di definizionee giustificando brevemente le affermazioni
Disegnare il grafico di tutte le soluzioni della equazione data
lllllllllllllllllllllllllll
Si consideri la funzione:
f(x) =
x0
dt|t2 1|(t 1)(t + 3) Determinare il campo di definizione I di f giustificando brevemente le affermazioni
Determinare linsieme J in cui f e continua giustificando brevemente le affermazioni
Determinare linsieme K in cui f e derivabile giustificando brevemente le affermazioni
Disegnare il grafico di f
Calcolare +0
x2ex
3- PrG.TEX [PrG92.TEX.TEX]
7/29/2019 Analisi Matematica 1, 2
4/631
Analisi 1+2 Polo di Savona Prova dEsame giugno 1992
Prova dEsame giugno 1992
Si consideri il sistema differenziale
x(t) = y(t) + et
y(t) = 2y(t)
x(t) + 1
Determinare tutte le soluzioni del sistema.
Determinare la soluzione tale chex(0) = y(0) = 0
Trovare tutte le soluzioni tali che x(0) = 0 del sistema omogeneox(t) = y(t)y(t) = 2y(t) x(t)
giustificando brevemente le affermazioni
Stabilire se linsieme delle soluzioni del punto C formano uno spazio vettoriale ed in caso affermativodeterminarne la dimensione.
lllllllllllllllllllllllllll
Si considerino tutte le successioni tali che
an+1 = 3an 2an1
Determinare tutti i valori di R tali che an = n giustificando brevemente le affermazioni
Verificare che an = 2n + giustificando brevemente le affermazioni
Determinare , in modo che a0 = 0 e a1 = 1 giustificando brevemente le affermazioni
Determinare una regola di ricorrenza per la successione
rn =an+1
an
Calcolare il limite di rn
4- PrG.TEX [PrG92.TEX.TEX]
7/29/2019 Analisi Matematica 1, 2
5/631
Analisi 1+2 Polo di Savona Prova dEsame Luglio 1992
Prova dEsame Luglio 1992
Si consideri il problema di Cauchy
y(x) = y2(x)y(x0) = y0
Determinare lespressione di tutte le soluzioni al variare di (x0, y0) R2 giustificando brevemente icalcoli.
Disegnare il grafico di tutte le soluzioni al variare di (x0, y0) R2.
Trovare tutte le soluzioni tali che y(1) = 1 giustificando brevemente le affermazioni.
Precisare per quali valori (x0, y0) R2 le soluzioni ammettono limite per x +.
lllllllllllllllllllllllllll
Si consideri la funzione
f(y) = y ln
y 1
y
ln |y 1|
Determinare il campo di definizione I di f
Stabilire dove f e derivabile e calcolare la sua derivata.
Calcolare i limiti agli estremi del campo di definizione di f giustificando brevemente le affermazioni.
Calcolare i limiti agli estremi del campo di definizione di f giustificando brevemente le affermazioni.
Disegnare il grafico di f precisando crescenza, decrescenza, convessita e comportamento della rettatangente agli estremi del campo di definizione
5- PrG.TEX [PrG92.TEX.TEX]
7/29/2019 Analisi Matematica 1, 2
6/631
Analisi 1+2 Polo di Savona Prova dEsame Settembre 1992
Prova dEsame Settembre 1992
Si consideri la funzione
f(x) = max
|x|, 1
|x
|+ 1
Determinare il campo di definizione di f
Determinare linsieme in cui f e continua
Determinare linsieme in cui f e derivabile
Calcolare 33
f(x)dx
Disegnare il grafico di f
Determinare, dove esistono, tutte le primitive di f
lllllllllllllllllllllllllll
Si consideri lequazione differenziale
y(x) + y(x) = 2x
Determinare tutte le soluzioni dellequazione omogenea associata
Determinare tutte le soluzioni dellequazione data
Trovare tutte le soluzioni della equazione data tali che y(0) = 0, y(0) = 1, precisando se tali soluzioniformano uno spazio vettoriale.Si consideri poi lequazione differenziale
y(x) + y(x) = 2|x|
Determinare tutte le soluzioni dellequazione data
Determinare tutte le soluzioni dellequazione data tali che y(0) = y(0) = y(0) = 0
6- PrG.TEX [PrG92.TEX.TEX]
7/29/2019 Analisi Matematica 1, 2
7/631
Analisi 1+2 Polo di Savona Prova dEsame Ottobre 1992
Prova dEsame Ottobre 1992
Si consideri il sistema di equazioni differenziali
y(x) = y(x) + 2z(x)z(x) = y(x) + w(x)
w(x) = w(x) + x
Determinare tutte le soluzioni del sistema
Scrivere il sistema omogeneo associato
Determinare tutte le soluzioni del sistema omogeneo associato
Scrivere la matrice fondamentale del sistema omogeneo associato
Trovare le soluzioni del sistema omogeneo associato soddisfacente la condizione w(0) = 1, precisando seformano uno spazio vettoriale ed in caso affermativo determinandone la dimensione.
lllllllllllllllllllllllllll
Si consideri la funzione
f(x, y) = ln x xy
Disegnare, nel piano il campo di definizione di f
Disegnare nel piano le curve di livello f(x, y) = k dei f corrispondenti ai valori k = 1, 0, 1
Disegnare nel piano le curve di livello f(x, y) = k dei f corrispondenti a qualche valore significativo di k
Disegnare il grafico delle funzioni f(x,mx) al variare di m R, precisandone il significato
Calcolare f(x, y), precisando dove e definito
Disegnare, nel piano il campo di direzioni individuato da f
7- PrG.TEX [PrG92.TEX.TEX]
7/29/2019 Analisi Matematica 1, 2
8/631
Analisi 1+2 Polo di Savona Prova dEsame Novembre 1992
Prova dEsame Novembre 1992
Si consideri la funzione
f(x) =
x x 01
x 0 < x 1ax2 + bx + c x > 1
Stabilire per quali valori di a,b,c R f e continua in x = 1
Stabilire per tali valori dove f e continua
Stabilire per quali valori di a,b,c R f e derivabile in x = 1
Stabilire per quali valori di a,b,c R e su quali sottoinsiemi f ammette primitiva
Determinare tutte le primitive di f
lllllllllllllllllllllllllll
Si consideri la funzione
f(x) = ln(|x2 1| + 1)
Disegnare il grafico di f precisando il suo campo di definizione
Determinare linsieme in cui f e continua
Determinare linsieme in cui f e derivabile
Determinare una restrizione di f che sia invertibile e trovarne linversa, precisando se e possibile invertiref su tutto R e perche.
Determinare lordine di infinitesimo di f per x 1
8- PrG.TEX [PrG92.TEX.TEX]
7/29/2019 Analisi Matematica 1, 2
9/631
Analisi 1+2 Polo di Savona Prova dEsame Gennaio 1993
Prova dEsame Gennaio 1993
Si consideri la funzione
f(x) =
x
0
t
t3 + 1dt
Stabilire per quali valori di x R f e definita.
Studiare crescenza e decrescenza di f e tracciare un grafico che tenga conto delle indicazioni ottenute.
Precisare il comportamento di f agli estremi del campo di definizione, calcolando eventuali asintoti.
Studiare la convessita e la concavita di f.
Disegnare il grafico di f tenendo conto di tutti gli elementi trovati.
lllllllllllllllllllllllllll
Si consideri lequazione differenziale
y(x) + y(x) + y(x) = 0
Trovare tutte le soluzioni di f
Trovare tutte le soluzioni tali che y(0) = 0, y(0) = 1.
Trovare tutte le soluzioni tali che y(0) = 0.
Trovare tutte le soluzioni tali che y(0) = 0, y(1) = 1.
Trovare a tale che esista almeno una soluzione non nulla dellequazione data tale che y(0) = y(a) = 0.
9- PrG.TEX [PrG92.TEX.TEX]
7/29/2019 Analisi Matematica 1, 2
10/631
Analisi 1+2 Polo di Savona Prova dEsame Febbraio 1993
Prova dEsame Febbraio 1993
Si consideri la funzione
f(x, y) = x2 + xy + y2
Disegnare {(x, y) R2 : f(x, y) = 0}
Disegnare {(x, y) R2 : f(x, y) = 1}
Disegnare {(x, y) R2 : f(x, y) = 1}
Calcolare f(x, y)
Determinare, se esistono, massimo e minimo assoluto di f su R2
lllllllllllllllllllllllllll
Si consideri lequazione differenziale
y(x) + y(x) = x
Trovare tutte le soluzioni dellequazione omogenea associata
Trovare tutte le soluzioni dellequazione
Esistono soluzioni limitate dellequazione omogenea?
Esistono soluzioni limitate dellequazione non omogenea?
Le soluzioni limitate della equazione omogenea formano uno spazio vettoriale? In caso affermativotrovarne la dimensione.
10- PrG.TEX [PrG93.TEX.TEX]
7/29/2019 Analisi Matematica 1, 2
11/631
Analisi 1+2 Polo di Savona Prima Prova Parziale 92/93
Prima Prova Parziale 92/93
Disegnare linsieme A = {(x, y) R2 : y(x + 1) + x 0}
Disegnare linsieme B =
{(x, y)
R2 : y(x + 1) + x
0, y
x}
Disegnare linsieme Ca,b = {(x, y) R2 : x [a, b], y [a, b], x y}
Determinare tutti gli a, b R tali che Ca,b B
lllllllllllllllllllllllllll
Si consideri f(x) =
x + 1
x2 + 3x + 3
Disegnare linsieme A = {(x, y) R2 : x y, f(x) f(y)}
Trovare per quali a, b R x, y [a, b], x y = f(x) f(y)
Trovare per quali a, b R x, y [a, b], x y = f(x) f(y)
Disegnare il grafico di f
Determinare sup f, inff, max f, min f
Disegnare il grafico di g(x) = f(x 1)
Determinare D = {x R : g(x) x} e disegnare i grafici di x e g(x) sullo stesso piano cartesianoprecisandone le mutue posizioni.
Provare che la successione definita da
an = g(an1)a0 = 1
e decrescente, inferiormente limitata e trovarne
il limite.LA1 an e inferiormente limitata infatti:
LB1 an e decrescente infatti:
LC1 lim an = infatti:
11- PrG.TEX [PrG93.TEX.TEX]
7/29/2019 Analisi Matematica 1, 2
12/631
Analisi 1+2 Polo di Savona Seconda Prova Parziale 92/93
Seconda Prova Parziale 92/93
Si consideri lequazione differenziale
y(x) = x sin y(x)
Stabilire per quali valori x0 ed y0 esiste ed e unica la soluzione del problema di Cauchy associatoallequazione assegnata ed al valore iniziale y(x0) = y0
Trovare tutte le soluzioni dellequazione tali che y(0) = 0 e disegnarne il grafico.
Trovare tutte le soluzioni dellequazione tali che y(0) = 2 e disegnarne il grafico.
Trovare tutte le soluzioni dellequazione tali che y(0) = 4 e disegnarne il grafico.
Trovare tutte le soluzioni dellequazione e disegnarne il grafico.
lllllllllllllllllllllllllll
Si consideri la funzione
f(x) =
+sinx
ln(t 1)t2
dt
Determinare il campo di definizione della funzione assegnata
Studiare il segno di f
Studiare la crescenza di f
Calcolare limx+
f(x)
Studiare la derivabilita di f e disegnarne il grafico.
12- PrG.TEX [PrG93.TEX.TEX]
7/29/2019 Analisi Matematica 1, 2
13/631
Analisi 1+2 Polo di Savona Prova dEsame Giugno 1993
Prova dEsame Giugno 1993
Si consideri lequazione differenziale
|y(x)| =
4 y2(x)
Trovare tutte le soluzioni dellequazione tali che y(0) = 0 e disegnarne il grafico.
Trovare tutte le soluzioni dellequazione tali che y(0) = 2 e disegnarne il grafico.
Trovare tutte le soluzioni dellequazione e disegnarne il grafico.
Stabilire per quali valori x0 ed y0 esiste ed e unica la soluzione del problema di Cauchy associatoallequazione assegnata ed al valore iniziale y(x0) = y0
lllllllllllllllllllllllllll
Si consideri la funzione
g(t) =e ln(t
4+1)
t 1
Dopo aver trovato il campo di definizione della funzione assegnata, calcolare lordine di infinitesimo dig per t + e lordine di infinito di g per t 1.
Determinare il campo di definizione di f(x) =
x2x
x
g(t)dt
Calcolare, se esiste, limx+
f(x)
Calcolare f(x)
Disegnare il grafico di g per t > 1.
13- PrG.TEX [PrG93.TEX.TEX]
7/29/2019 Analisi Matematica 1, 2
14/631
Analisi 1+2 Polo di Savona Prova dEsame Luglio 1993
Prova dEsame Luglio 1993
Si consideri lequazione differenziale
y(x) + |y(x)| = 0
Stabilire se linsieme delle soluzioni dellequazione differenziale data costituisce uno spazio vettoriale ed,in caso affermativo, determinarne la dimensione.
Trovare tutte le soluzioni dellequazione tali che y(0) = 0, precisando il loro campo di definizione
Trovare, se possibile, tutte le soluzioni dellequazione tali che y(0) = 0 e y(0) = 1, che assumano anchevalori negativi, precisando il loro campo di definizione
Trovare tutte le soluzioni dellequazione tali che y(0) = 0 e y(0) = 1 precisando il loro campo didefinizione
lllllllllllllllllllllllllll
Si considerino le funzioni
f(y) =
y0
1
2t 1 dt
a(x) =1
1 + x2b(x) =
x
1 + x2
Disegnare il grafico di f
Esprimere f in termini di funzioni elementari.
Disegnare i grafici di a e b avendo cura di precisare la loro mutua posizione.
Determinare il campo di definizione di
g(x) = f(b(x)) f(a(x))
Calcolare g(x).
14- PrG.TEX [PrG93.TEX.TEX]
7/29/2019 Analisi Matematica 1, 2
15/631
Analisi 1+2 Polo di Savona Prova dEsame Settembre 1993
Prova dEsame Settembre 1993
Si consideri lequazione differenziale
y(x) = |x|
y(x)
Determinare, al variare di (x0, y0), se esiste soluzione del problema di Cauchy ottenuto associandoallequazione data la condizione y(x0) = y0.
Trovare tutte le soluzioni dellequazione tali che y(1) = 0, precisando il loro campo di definizione edisegnandone il grafico.
Trovare tutte le soluzioni dellequazione tali che y(1) = 0, precisando il loro campo di definizione edisegnandone il grafico.
Trovare tutte le soluzioni dellequazione tali che y(0) = 0, precisando il loro campo di definizione edisegnandone il grafico.
Precisare lordine di infinitesimo delle soluzioni trovate ai punti precedenti in x0.
lllllllllllllllllllllllllll
Si consideri la funzione
f(x) = |x 1| ln |x| Determinare il campo di definizione e di derivabilita di f
Calcolare la derivata di f.
Determinare linsieme in cui f e crescente e quello in cui f e decrescente
Disegnare il grafico di f.
Calcolare, se esiste, la retta tangente al grafico di f nel punto x0 = 1
15- PrG.TEX [PrG93.TEX.TEX]
7/29/2019 Analisi Matematica 1, 2
16/631
Analisi 1+2 Polo di Savona Prova dEsame Dicembre 1993
Prova dEsame Dicembre 1993
Si consideri la funzione
f(x) =x
x3 + 1
Disegnare il grafico di f
Disegnare il grafico di
F(x) =
x0
f(t)dt
Calcolarelim
x+F(x)
Trovare tutte le primitive di f
Calcolare F(.1) a meno di .001
lllllllllllllllllllllllllll
Si consideri lequazione differenziale
(y(x))2 = 1 + y(x)
Determinare una soluzione della equazione differenziale tale che y(0) = 1.
Determinare una soluzione della equazione differenziale tale che y(0) = 2.
Trovare tutte le soluzioni tali che y(0) = 1.
Disegnare il grafico di tutte le soluzioni.
Studiare lunicita delle soluzioni al variare dei valori iniziali.
16- PrG.TEX [PrG93.TEX.TEX]
7/29/2019 Analisi Matematica 1, 2
17/631
Analisi 1+2 Polo di Savona Prova dEsame Gennaio 1994
Prova dEsame Gennaio 1994
Si consideri la funzione
f(x) = 2+cos x
sinx
(t 1)ln(t 1)dt
Determinare il campo di definizione D di f
Determinare il sottoinsieme di D in cui f e continua
Calcolare, dove esiste, f(x)
Stabilire se f e crescente o decrescente
Disegnare il grafico di f.
lllllllllllllllllllllllllll
Si consideri lequazione differenziale
y(x) + cos(y(x)) = sin x
con il dato iniziale y(0) = 0
Stabilire se la soluzione esiste e se e unica.
Determinare lo sviluppo di McLaurin di y del primo ordine centrato in 0 e tracciare il grafico qualitativodi y in un intorno di 0.
Scrivere e valutare il resto di Lagrange di ordine 2 (relativo al polinomio di primo grado di y centratoin 0)
Supponendo la soluzione y definita su tutto R, trovare un polinomio di grado 2 maggiorante y ed unominorante y; disegnarne il grafico ed indicare la zona di piano da essi delimitata entro cui si trova lasoluzione y.
17- PrG.TEX [PrG93.TEX.TEX]
7/29/2019 Analisi Matematica 1, 2
18/631
Analisi 1+2 Polo di Savona Prova dEsame Febbraio 1994
Prova dEsame Febbraio 1994
Si considerino le funzioni
a(x) = x E(x) , b(x) = 1 + 1E(x)
f(x) =
b(x)a(x)
1t 1 dt
Disegnare il grafico di a.
Disegnare il grafico di b.
Determinare i punti x R per i quali a(x) b(x).
Determinare il campo di definizione di f.
Disegnare il grafico di f precisando se e crescente, decrescente, se ammette punti di massimo di minimoo di flesso.
lllllllllllllllllllllllllll
Si consideri lequazione differenziale
y(x) + y(x) =|x2
1
| Determinare le soluzioni dellequazione omogenea associata
Determinare le soluzioni dellequazione completa definite per |x| > 1
Determinare le soluzioni dellequazione completa definite per |x| < 1
Determinare le soluzioni, se esistono, dellequazione completa definite su tutto R.
18- PrG.TEX [PrG94.TEX.TEX]
7/29/2019 Analisi Matematica 1, 2
19/631
Analisi 1+2 Polo di Savona Prima Prova Parziale 93/94
Prima Prova Parziale 93/94
Si consideri, al variare di k R, la funzione
fk(x) = x3E(arctan x) + kx2
ove E indica la funzione parte intera.
Disegnare il grafico di f0, f1 e f2.
Stabilire se e p ossibile trovare k in modo che fk sia continua su R e giustificare brevemente laffermazione.
Determinare k in modo che fk sia monotona in [2, 0].
Determinare linversa di fk per i valori di k determinati precedentemente precisandone dominio e rango.
lllllllllllllllllllllllllll
Si consideri la successione definita per ricorrenza mediante laan+1 = anan1a0 = 1a1 = 2
Determinare una regola di ricorrenza e i primi due termini di una successione kn in modo che
an = 2kn
Determinare i due valori t = e t = in corrispondenza dei quali kn = tn soddisfa la regola di ricorrenzadeterminata nel punto precedente per kn.
Verificare che kn = n + n soddisfano la regola di ricorrenza trovata precedentemente.
Determinare e in modo chek0 = 0 k1 = 1
Trovare una espressione esplicita di kn e an, in funzione di n
Calcolare lim kn e lim an
19- PrG.TEX [PrG94.TEX.TEX]
7/29/2019 Analisi Matematica 1, 2
20/631
Analisi 1+2 Polo di Savona Seconda Prova Parziale 93/94
Seconda Prova Parziale 93/94
Si consideri
fh(x) = 0 x < 0x
h0
x
h
1 x > h
e lequazione differenziale linearey(x) = fh(x)y(x) + kx
ove k R.
Trovare tutte le soluzioni definite per x < 0
Trovare tutte le soluzioni definite per 0 < x h
Trovare tutte le soluzioni definite per x > h
Trovare tutte le soluzioni definite per x R Precisare la struttura dellinsieme delle soluzioni definite su R
lllllllllllllllllllllllllll
Si consideri
f(x) =
0 x 01 0 < x 12 x > 1
ed
F(x) =
xf(x)
sin4(t 3)|t 3||t 2|dt
Determinare il campo di definizione di F.
Studiare segno, crescenza e decrescenza di F.
Studiare i limiti di F agli estremi del campo di definizione precisando se sono finiti o infiniti.
Calcolare, dove esiste, F(x)
Disegnare il grafico di F
20- PrG.TEX [PrG94.TEX.TEX]
7/29/2019 Analisi Matematica 1, 2
21/631
Analisi 1+2 Polo di Savona Prova dEsame 14 giugno 1994
Prova dEsame 14 giugno 1994
Si consideri
f(x) =ex
|x| + 1 Determinare campo di definizione e limiti agli estremi del campo di f.
Calcolare, dove esiste, f(x) e studiarne il segno.
Determinare eventuali massimi e minimi relativi ed assoluti di f.
Studiare la derivabilita di F(x) =x0
f(t)dt calcolando, ove possibile, F(x) e studiandone il segno
Disegnare il grafico di F(x)
lllllllllllllllllllllllllll
Si consideri
f(x, y) = x2 +2
y2
Determinare il campo di definizione di f.
Stabilire per quali valori dellargomento f e derivabile.
Scrivere lequazione del piano tangente al grafico di f nel punto (x0, y0) = (1, 1).
Disegnare le curve di livello di f
Calcolare D
f(x, y)dxdy D = {(x, y) R2 : 1 x 2 , 2 y 3}
21- PrG.TEX [PrG94.TEX.TEX]
7/29/2019 Analisi Matematica 1, 2
22/631
Analisi 1+2 Polo di Savona Prova dEsame 29 giugno 1994
Prova dEsame 29 giugno 1994
Si consideri
f(t) = t 1 t < 0t2 t
0
e lequazione differenzialey(x) = f(y(x))
Determinare tutte le soluzioni positive e disegnarne il grafico.
Determinare tutte le soluzioni negative e disegnarne il grafico.Si consideri poi il problema di Cauchy ottenuto associando allequazione data, il valore iniziale y(x0) = y0
Determinare per quali (x0, y0) R2 esiste almeno una soluzione.
Determinare per quali (x0, y0) R2 esiste una sola soluzione.
Trovare le soluzioni che corrispondono ai dati iniziali
(0, 0) (0, 1) (0, 1)
precisandone il campo di definizione e disegnandone il grafico.
lllllllllllllllllllllllllll
Si consideri
f(x, y) = x2 + 3x + 2xy
Determinare il campo di definizione di f e disegnarne le curve di livello.
Stabilire per quali valori dellargomento f e derivabile parzialmente.
Calcolaref(x, y)
Calcolare D
f(x, y)dxdy
Calcolare massimi e minimi assoluti di f su
D = {(x, y) R2 : 0 x 2 , 0 y 3 , y x + 1}
22- PrG.TEX [PrG94.TEX.TEX]
7/29/2019 Analisi Matematica 1, 2
23/631
Analisi 1+2 Polo di Savona Prova dEsame 19 Luglio 1994
Prova dEsame 19 Luglio 1994
Si consideri
f(x) =
t t > 10 t
1
e lequazione differenziale y(x) = f(y(x))y(0) = 0
Determinare tutte le soluzioni dellequazione il cui grafico giace sopra la retta y = 1 e disegnarne ilgrafico.
Determinare tutte le soluzioni dellequazione il cui grafico giace sotto la retta y = 1 e disegnarne ilgrafico.Si consideri poi il problema di Cauchy ottenuto associando allequazione data, il valore iniziale y(0) =
Studiare al variare di esistenza ed unicita della soluzione e disegnare, ove possibile, il grafico delle
soluzioni al variare del dato iniziale .
Sia > 0, indicare quale delle tre seguenti grandezze puo essere rappresentata dalla soluzione delproblema dato e perche.
a) la posizione di un corpo, libero di muoversi su una retta, vincolato mediante una fune elastica allorigine,abbandonato a distanza . Sulla retta e presente un meccanismo che recide la fune non appena il corporaggiunge distanza 1 dalla parte opposta.
b) la posizione di un corpo, libero di muoversi su una retta, soggetto ad una forza repulsiva inversamenteproporzionale alla distanza dallorigine, abbandonato a distanza . Sulla retta e presente un meccanismoche interrompe la forza non appena il corpo raggiunge distanza 1 dalla parte opposta.
c) la posizione del baricentro di una sfera di raggio 1 abbandonata ad altezza sopra la superficie delmare.
lllllllllllllllllllllllllll
Si consideri
f(x, y) = x + y + x2
Determinare il campo di definizione di f.
Disegnarne le curve di livello.
Calcolaref(x, y)
e determinare tutti i punti in cui il gradiente si annulla precisando se sono di massimo o di minimorelativo.
Calcolare massimi e minimi assoluti di f su
D = {(x, y) R2 : 0 x 1 , 0 y 1 , y x2}
23- PrG.TEX [PrG94.TEX.TEX]
7/29/2019 Analisi Matematica 1, 2
24/631
Analisi 1+2 Polo di Savona Prova dEsame 19 Luglio 1994
Calcolare D
f(x, y)dxdy
24- PrG.TEX [PrG94.TEX.TEX]
7/29/2019 Analisi Matematica 1, 2
25/631
Analisi 1+2 Polo di Savona Prova dEsame Settembre 1994
Prova dEsame Settembre 1994
Si consideri
f(x) = eE(lnx)
Disegnare il grafico di f.
Dimostrare chex
e f(x) < x
Calcolarelim
x0+f(x) lim
x+f(x)
Stabilire se f e integrabile su [1/10, 1] su [1, +) e su [1/10, +)
lllllllllllllllllllllllllll
Si considerino tutti i rettangoli, i cui lati saranno indicati con x e y, soddisfacenti le seguenti condizioni:-a) la differenza tra i due lati e superiore o uguale a 1-b) il lato maggiore e minore o uguale a 3 ed il lato minore e compreso tra 1 e 2
Esprimere area, perimetro e diagonale di un generico rettangolo soddisfacente le condizioni sopra scritte,in funzione di x e di y.
Trovare, nel piano x, y i punti che corrispondono a rettangoli aventi la stessa area.
Trovare, nel piano x, y i punti che corrispondono a rettangoli aventi lo stesso perimetro.
Trovare, nel piano x, y i punti che corrispondono a rettangoli aventi la stessa diagonale.
Trovare tra tutti i rettangoli considerati, quello di area, perimetro, diagonale massima e minima.
25- PrG.TEX [PrG94.TEX.TEX]
7/29/2019 Analisi Matematica 1, 2
26/631
Analisi 1+2 Polo di Savona Prova dEsame Dicembre 1994
Prova dEsame Dicembre 1994
Si consideri
f(x) = x2 x 0(x
1)3
1 0 < x < 3
1/x2
x > 3
Disegnare il grafico di f.
Disegnare il grafico di f
Disegnare il grafico di
F(x) =
x1
f(t)dt
Trovare tutte le primitive di f
Stabilire se f e monotona e se f e invertibile su R.
lllllllllllllllllllllllllll
Si consideri lequazione differenzialey(x) = y2(x)
Stabilire per quali (x0, y0) ce esistenza ed unicita della soluzione del problema di Cauchy relativoallequazione data ed al dato iniziale y(x0) = y0
Determinare la soluzione tale che y(0) = 0 precisarne il campo di definizione e disegnarne il grafico.
Determinare la soluzione tale che y(0) = 1 precisarne il campo di definizione e disegnarne il grafico.
Determinare la soluzione tale che y(0) = 1 precisarne il campo di definizione e disegnarne il grafico.
Disegnare il garfico di tutte le soluzioni dellequazione data.
26- PrG.TEX [PrG94.TEX.TEX]
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27/631
Analisi 1+2 Polo di Savona Prova dEsame Febbraio 1995
Prova dEsame Febbraio 1995
Si consideri lequazione
y(x) =
x
0
1
1 + y2(t)dt
Provare che ogni soluzione continua y dellequazione assegnata e crescente nel suo campo di definizione
Provare che ogni soluzione continua y dellequazione assegnata e convessa nella parte del suo campo didefinizione che appartiene al semiasse positivo delle x e che e concava nella restante parte
Determinare il campo di definizione di y
Disegnare il grafico di y
Determinare il polinomio di McLaurin di secondo grado di y
lllllllllllllllllllllllllll
Si consideri la funzione definita da
f(x, y) = sin(x)sin(y) (x, y) [, ] [, ]
Indicare nel piano (x, y) le zone in cui f e positiva e quelle in cui f e negativa.
Disegnare la curva di livello di altezza 1/2
Determinare massimi e minimi assoluti di f
Stabilire per quali valori di lequazione f(x, y) = ammette soluzioni
Calcolare [,][,]
f(x, y)dxdy
27- PrG.TEX [PrG94.TEX.TEX]
7/29/2019 Analisi Matematica 1, 2
28/631
Analisi 1+2 Polo di Savona Prova dEsame Marzo 1995
Prova dEsame Marzo 1995
Si consideri il problema di Cauchy
y(x) = ey
2(x)
y(x)
0
et2
dt
y(x0) = y0
Studiare esistenza ed unicita della soluzione del problema assegnato
Determinare tutte le soluzioni costanti dellequazione data
Trovare tutte le soluzioni corrispondenti a x0 = 0, y0 = 1
Disegnare il grafico delle soluzioni di cui al punto precedente
Disegnare il grafico delle soluzioni del problema assegnato al variare di x0 e y0
lllllllllllllllllllllllllll
Si consideri la funzione definita da
fk(x) = (x3 k2x)ex2
Determinare campo di definizione e calcolare i limiti agli estremi del campo di fk, al variare di k
R
Calcolare fk(0), fk(k) e limx+ f
k(x), al variare di k R
Tenendo conto che fk e pari stabilire che fk ammette uno zero in (0, k) ed uno zero in (k, +).
Disegnare il grafico di fk
Disegnare il grafico di g(x) =x0
f(t)dt
28- PrG.TEX [PrG95.TEX.TEX]
7/29/2019 Analisi Matematica 1, 2
29/631
Analisi 1+2 Polo di Savona Prima Prova Parziale 94/95
Prima Prova Parziale 94/95
Si consideri la successione definita da
an+1 = an
n(n + 3)
a1 = 1
Provare che
an = (1)n1 6(n 1)!(n + 2)!
Determinare al variare di , R una espressione esplicita della successionebn+1 =
bnn(n + 3)
b1 =
Verificare che la successione bn e infinitesima di ordine superiore a xn
x R+
Stabilire se le successioni cn tali checn+1 =
cnn(n + 3)
formano uno spazio vettoriale.
Determinare, se possibile, la dimensione dello spazio vettoriale di cui al punto precedente.
lllllllllllllllllllllllllll
Si consideri la funzione definita da
f(x) =1
x
E(x)k=0
k
ove con E() si e indicate la parte intera ed R+.
Determinare il campo di definizione di f e calcolare f(n) per ogni n N
Verificare che se n x < n + 1 si haf(x) 1
nn(n + 1)
2
Stabilire per quali R+ f e decrescente su R+ Disegnare il grafico di f su [1, 4]
Per = 3 disegnare il grafico di f su R+ e calcolare
limx+
f(x)
29- PrG.TEX [PrG95.TEX.TEX]
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Analisi 1+2 Polo di Savona Seconda Prova Parziale 94/95
Seconda Prova Parziale 94/95
Si consideri il problema di Cauchy
2x(t) = x(t) + 2y(t)y(t) = y(t) + z(t)2z(t) = 2z(t) + x(t)
Studiare esistenza ed unicita della soluzione del sistema dato
Determinare tutte le soluzioni del sistema
Scrivere una matrice fondamentale del sistema
Trovare tutte le soluzioni del sistema non omogeneo ottenuto in corrispondenza del termine noto
B(t) = 102
Trovare le soluzioni del sistema omogeneo tali che x(0) = y(0) e precisare la dimensione dello spaziovettoriale da esse generato.
lllllllllllllllllllllllllll
Si consideri il problema di Cauchy y
(x) =ex
2|1 x2|y(x0) = y0
Determinare i valori x0, y0 R per i quali il problema assegnato ammette soluzione e studiarne lunicita.
Disegnare il grafico della soluzione che corrisponde ai valori x0 = y0 = 0 precisandone il campo didefinizione
Disegnare il grafico della soluzione che corrisponde ai valori x0 = 2 y0 = 0 precisandone il campo didefinizione
Disegnare il grafico di tutte le soluzioni del problema assegnato.
Stabilire se le soluzioni del problema sono limitate sul loro campo di definizione
30- PrG.TEX [PrG95.TEX.TEX]
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Analisi 1+2 Polo di Savona Prova dEsame 22 Giugno 1995
Prova dEsame 22 Giugno 1995
Si consideri la funzione
f(x, y) = ex + 2y2x
Determinare linsieme in cui f e definita, e derivabile, e differenziabile e il rango di f
Disegnare le curve di livello di f
Calcolare g(t) dove g(t) = f(x(t), y(t)) e x, y C1(R)
Calcolare [1,2][2,3]
f(x, y)dxdy
Calcolare massimi e minimi assoluti di f su [1, 2]
[2, 3]
lllllllllllllllllllllllllll
Si considerino le funzioni
(x) = ex 1 (x) = ln(1 + x) f(x) =(x)(x)
1
tdt
Determinare linsieme di definizione di f
Stabilire se f e prolungabile per continuita dove non e definita
Calcolare f(x)
Studiare le funzioni1 ex (x + 1) ln(1 + x)
(e utile per il seguito provare che i grafici delle due funzioni sono uno al di sopra ed uno al di sotto diuna retta opportuna)
Studiare il segno di f(x) e disegnare il grafico di f
31- PrG.TEX [PrG95.TEX.TEX]
7/29/2019 Analisi Matematica 1, 2
32/631
Analisi 1+2 Polo di Savona Prova dEsame Luglio 1995
Prova dEsame Luglio 1995
Si consideri la funzione
f(x) =
1 x 00 x < 0
Disegnare il grafico di h(x) = f(sin x) e di g(x) = sin(f(x)) precisando se g ed h sono periodiche, sesono continue su [1, +) e se sono integrabili su [, ]
Disegnare il grafico di h1(x) = f(x sin x) e di g1(x) = sin(xf(x))
Determinare tutte le primitive di g1, precisandone il campo di definizione
Risolvere il problema di Cauchy y(x) = f(x)y(1) = 0
Risolvere il problema di Cauchy y(x) = f(y(x))y(1) = 0
lllllllllllllllllllllllllll
Si consideri lequazione differenziale
y(x) + y(x) + 2y(x) + 2y(x) = 0
Determinare lintegrale generale dellequazione data.
Scrivere un sistema di tre equazioni differenziali del primo ordine equivalente alla equazione data.
Scrivere lintegrale generale del sistema e dellequazione
Scrivere una matrice fondamentale del sistema
Determinare tutte le soluzioni del sistema che sono limitate, precisando se formano uno spazio vettoriale
ed, in caso affermativo, determinare la dimensione di tale spazio
32- PrG.TEX [PrG95.TEX.TEX]
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33/631
Analisi 1+2 Polo di Savona Prova dEsame Settembre 1995
Prova dEsame Settembre 1995
Si consideri la funzione
f(x) =1
x x
0
et 1t
dt
Determinare il campo di definizione di f
Stabilire se f e prolungabile nellorigine, ed in caso affermativo trovarne il prolungamento.
Studiare la derivabilita di f ed, eventualmente, del suo prolungamento.
Determinare il polinomio di Taylor di f di ordine 1 centrato in 0.
Determinare in modo che |f(x) 1| in [, ].
lllllllllllllllllllllllllll
Si consideri il problema di Cauchy y(x) = log y(x)y(0) = y0
Studiare esistenza ed unicita della soluzione y(x, y0) del problema di Cauchy assegnato.
Disegnare il grafico delle soluzioni per y0 < 1
Disegnare il grafico delle soluzioni per y0 > 1
Provare che esistef(y0) = lim
x0y(x, y0)
Trovare, se esistono, massimo e minimo di f(y0).
33- PrG.TEX [PrG95.TEX.TEX]
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Analisi 1+2 Polo di Savona Prova dEsame Novembre 1995
Prova dEsame Novembre 1995
Si consideri la funzione
fa(x) = x
a
1
sinh tdt
(Si ricorda che sinh t = etet2
)
Disegnare il grafico di 1sinh
e stabilire, al variare di a il campo di definizione di fa
Disegnare il grafico di fa
Calcolare tutte le primitive di 1sinh
Calcolare la primitiva di 1sinh
che passa per (1, 0)
Per a = 1, determinare, se esiste, linversa di fa e disegnarne il grafico.
lllllllllllllllllllllllllll
Si consideri il problema di Cauchy
y(x) =
1
sinh(x)y(0) = a
Studiare, al variare di a R, esistenza ed unicita della soluzione y(x, a) del problema di Cauchyassegnato.
Disegnare il grafico qualitativo della soluzione al variare di a R.
Studiare concavita e convessita delle soluzioni nel loro campo di definizione.
Determinare la soluzione
Determinare lo sviluppo di Taylor di ordine 2 della soluzione centrato in x = 0
34- PrG.TEX [PrG95.TEX.TEX]
7/29/2019 Analisi Matematica 1, 2
35/631
Analisi 1+2 Polo di Savona Prova dEsame Febbraio 1996
Prova dEsame Febbraio 1996
Si consideri la funzione
f(x) =ex
2
x2 + x
Stabilire dove f e definita, continua, derivabile.
Determinare il comportamento ai limiti del campo di definizione
Disegnare il grafico di f
Determinare un funzione razionale che approssimi f a meno di un infinitesimo di ordine superiore alprimo in un intorno di x0 = 0.
Scrivere la retta tangente al grafico di f nel punto x0 = 1
lllllllllllllllllllllllllll
Si consideri la funzionef(x, y) = xy
Determinare il campo di definizione di f
Stabilire dove f e differenziabile
Calcolare f(x, y) e f((x, y), (a, b))
Determinare massimi e minimi di f sul triangolo di vertici A = (0, 1), B = (1, 0), C = (0, 0)
Determinare il piano tangente al grafico di z = f(x, y) in (1, 1)
35- PrG.TEX [PrG96.TEX.TEX]
7/29/2019 Analisi Matematica 1, 2
36/631
Analisi 1+2 Polo di Savona Prima Prova Parziale 95/96
Prima Prova Parziale 95/96
Si consideri la funzione
f(x) = (sin(x) 1)2 + 4
Determinare una funzione g in modo che f(x) = g(sin x)
Studiare crescenza e decrescenza di g, successivamente disegnarne il grafico e dedurne crescenza edecrescenza di f.
Disegnare il grafico di f
Disegnare con cura il grafico di f su [0, 5] Determinando maggioranti e minoranti, estremo superiore edinferiore, massimo e minimo di f su [0, 5]
Verificare che f e strettamente crescente in [/2, ] e calcolare linversa di f ristretta a tale intervallo
lllllllllllllllllllllllllll
Si consideri la successionean+1 =
ann
a0 = k2
Provare che an e decrescente
Provare che an ammette limite finito e calcolarlo
Calcolare
limx0
sin(x2) x4ex 1
Determinare lordine di infinitesimo in 0+ di sin(x2) x
Stabilire per quali valori di la funzione
sin(x2) x4(ex 1)
e prolungabile per continuita in 0
36- PrG.TEX [PrG96.TEX.TEX]
7/29/2019 Analisi Matematica 1, 2
37/631
Analisi 1+2 Polo di Savona Seconda Prova Parziale 95/96
Seconda Prova Parziale 95/96
Si consideri la funzione
f(x) = x
1
(et
1) ln(1 + t2)
dt
Determinare il dominio di f e calcolare i limiti agli estremi del campo di definizione
Calcolare la derivata f e studiare crescenza e decrescenza di fSi consideri
g(x) =
tan |x|
1
(et 1) ln(1 + t2) dt
Disegnare il grafico di g
Determinare il rango di g
Calcolare la derivata di g, precisando il suo campo di esistenza
lllllllllllllllllllllllllll
Si consideri il problema di Cauchy
y(x) = e
y(x) 1x
y(x0) = y0
Studiare esistenza ed unicita delle soluzioni del problema dato
Determinare la soluzione per x0 = 1, y0 = 1
Determinare la soluzione per x0 = 1, y0 = 0
Calcolare y(1) per x0 = 1, y0 = 1
Disegnare il grafico di tutte le soluzionial variare di x0, y0.
37- PrG.TEX [PrG96.TEX.TEX]
7/29/2019 Analisi Matematica 1, 2
38/631
Analisi 1+2 Polo di Savona Prova dEsame 14 giugno 1996
Prova dEsame 14 giugno 1996
Si consideri la funzione
f(x) = 2x(ln x 1) + 52
ln(x2 + 1) 5x arctan x
Determinare il dominio di f e calcolare i limiti agli estremi del campo di definizione
Disegnare il grafico di f e studiare crescenza e decrescenza di f
Disegnare il grafico di f
Determinare il numero degli zeri di f e determinarne il segno
Disegnare il grafico dix0
f(t)dt
lllllllllllllllllllllllllll
Si consideri la funzione
f(x, y) =
x2 |y| x2y |y| < x2
Determinare il campo di definizione di f e precisare dove f e continua
Disegnare i livelli di f
Studiare la derivabilita parziale di f
Calcolare massimi e minimi assoluti di f su Q = [0, 1] [0, 1]
Calcolare
Qf(x, y)dxdy
38- PrG.TEX [PrG96.TEX.TEX]
7/29/2019 Analisi Matematica 1, 2
39/631
Analisi 1+2 Polo di Savona Prova dEsame 15 luglio 1996
Prova dEsame 15 luglio 1996
Si consideri il problema
y(x) = + x
0
cos2 y(t)dt
Scrivere un problema di Cauchy equivalente al problema dato.
Determinare la soluzione del problema dato e disegnarne il grafico.
Scrivere il polinomio di Taylor di ordine 3 della soluzione y del problema dato
Disegnare il grafico di y1 ove e definita
Verificare che|y(x)| + |x|
lllllllllllllllllllllllllll
Si consideri la funzione
f(x, y) =
x0
yet2
dt
Determinare il campo di definizione di f e precisare dove f e continua
Disegnare i livelli di f
Studiare la derivabilita parziale di f
Calcolare massimi e minimi assoluti di f su Q = [0, 1] [0, 1]
Calcolare le derivate direzionali di f in (0, 0).
39- PrG.TEX [PrG96.TEX.TEX]
7/29/2019 Analisi Matematica 1, 2
40/631
Analisi 1+2 Polo di Savona Prova dEsame 1 ottobre 1996
Prova dEsame 1 ottobre 1996
Si consideri il problema di trovare una funzione f tale che
f(x) =
x
0
cos f(t)dt
Stabilire se esiste una soluzione del problema.
Determinare la soluzione del problema dato.
Scrivere il polinomio di Mc Laurin di ordine 2 della soluzione f del problema dato
Disegnare il grafico di f e confrontarlo con quello del suo polinomio di Mc Laurin
Disegnare il grafico di f1 in un intorno di 0
lllllllllllllllllllllllllll
Si consideri la funzione
f(x) = 4 arctan(
x + 2) x + 2
Determinare il campo di definizione di f e precisare dove f e continua e derivabile
Studiare crescenza, decrescenza, massimi e minimi di f
Studiare convessita e flessi di f
Studiare lesistenza di zeri per f, precisandone il numero ed il segno.
Disegnare il grafico di f1 in un intorno di 0.
40- PrG.TEX [PrG96.TEX.TEX]
7/29/2019 Analisi Matematica 1, 2
41/631
Analisi 1+2 Polo di Savona Prova dEsame 6 Dicembre 1996
Prova dEsame 6 Dicembre 1996
Si consideri lequazione differenziale
y(x) =2
y(x)
x2
1
Studiare esistenza ed unicita della soluzione dellequazione data.
Determinare la soluzione dellequazione data tale che y(0) = 0.
Determinare la soluzione dellequazione data tale che y(0) = 2.
Determinare la soluzione dellequazione data tale che y(0) = 2.
Disegnare il grafico delle soluzioni di cui ai precedenti punti.
lllllllllllllllllllllllllll
Si consideri la funzione
f(x) = E(x2 xex)(Ricordiamo che E(x) indica la parte intera di x)
Determinare il campo di definizione di f e precisare dove f e continua e derivabile
Studiare crescenza, decrescenza, massimi e minimi di f
Studiare convessita e flessi di f
Studiare lesistenza di zeri per f, precisandone il numero ed il segno.
Disegnare il grafico dix40
f(x)dx .
41- PrG.TEX [PrG96.TEX.TEX]
7/29/2019 Analisi Matematica 1, 2
42/631
Analisi 1+2 Polo di Savona Prova dEsame 18 febbraio 1996
Prova dEsame 18 febbraio 1996
Si consideri il problema di Cauchy
y(x) + x2y(x) = x2
y(0) = 0
y(0) = 0
Determinare la soluzione del problema, precisandone il campo di definizione
Disegnare il grafico della soluzione, precisando dove e convessa.
Stabilire se linsieme delle soluzioni della sola equazione costituisce uno spazio vettoriale o uno spaziolineare affine ed, in caso affermativo, determinarne la dimensione
Determinare, se possibile, lordine di infinito della soluzione per x +
Determinare, se possibile, lordine di infinito della soluzione per x
lllllllllllllllllllllllllll
Si consideri la funzione
f(t) =t16 256
t32 1
Disegnare il grafico di f
Disegnare il grafico di f
Disegnare il grafico della funzione che rappresenta larea compresa tra lasse delle ascisse, il grafico di fe le rette parallele allasse delle ordinate che hanno ascissa 0 ed x
Determinare lordine di infinitesimo di f nei punti in cui f e infinitesima.
Determinare lordine di infinito di f nei punti in cui f e infinita.
42- PrG.TEX [PrG96.TEX.TEX]
7/29/2019 Analisi Matematica 1, 2
43/631
Analisi 1+2 Polo di Savona Prova dEsame 9 aprile 1996
Prova dEsame 9 aprile 1996
Disegnare il grafico di una funzione derivabile con derivata continua su R tale che il coefficiente angolaredella retta tangente al suo grafico in un punto e uguale al valore della funzione nello stesso puntoaumentato di 1.
Studiare lunicita della soluzione del problema precedente.
Determinare, se e possibile una soluzione del problema dato il cui grafico passi per il punto (0, 1)
Detta f la soluzione del problema di cui al punto precedente, calcolare f(0)
lllllllllllllllllllllllllll
Si consideri la famiglia di funzioni
fk(x) = kx2 + x ln x
Calcolare fk(x) e di fk (x)
Disegnare il grafico di f2(x) e di f1/4(x)
Disegnare il grafico di f2(x) e di f1/4(x)
Disegnare il grafico di fk(x)
Disegnare il grafico di f(kx)
43- PrG.TEX [PrG97.TEX.TEX]
7/29/2019 Analisi Matematica 1, 2
44/631
Analisi 1+2 Polo di Savona Prima Prova Parziale 96/97
Prima Prova Parziale 96/97
Si consideri la funzione
f(x) =x2 + x + 1
x + 1
Studiare la funzione g(x) = f(x) x, disegnandone un grafico approssimativo.
Studiare crescenza e decrescenza di f, giustificando brevemente i risultati senza far uso di derivate.(Si possono utilizzare i risultati ottenuti nel punto precedente)
Disegnare il grafico di f
Stabilire se f e invertibile su [0, +) e determinare in caso affermativo la sua inversa disegnandoneinoltre il grafico.
Verificare usando la definizione chelim
x+f(x) = +
lllllllllllllllllllllllllll
Si consideri per ogni n N
f(n) =
n2
n!
Determinare{n N : f(n) > f(n + 1)}
Determinare estremo superiore e massimo din2
n!
Siano = 210 = 1010 f(x) = x + 1 g(x) = log x
Disegnare il grafico di f e di g
Disegnare il grafico di f(g())
Disegnare il grafico di g(f())
44- PrG.TEX [PrG97.TEX.TEX]
7/29/2019 Analisi Matematica 1, 2
45/631
Analisi 1+2 Polo di Savona Seconda Prova Parziale 96/97
Seconda Prova Parziale 96/97
Si consideri la funzione
f(x) = 1
x2 + 1x 0
ax + b x < 0
Disegnare il grafico di f al variare di a, b R.
Determinare a, b in modo che f sia derivabile in R
Per i valori di a, b per cui f e continua, determinare il piu grande valore di c in modo che f sia invertibilein (, c]Siano
g(x) = ex h(x) = ln x
Per i valori di a, b per cui f e continua, disegnare il grafico di
f(g(x)) f(h(x))
Per i valori di a, b per cui f e continua, disegnare il grafico di
g(f(x)) h(f(x))
lllllllllllllllllllllllllll
Si consideri la successione definita da an+1 = f(n) + ana0 = 1
dove f : R [0 + ) e una funzione continua.
Dimostrare che an 0 n N
Dimostrare che an e crescente
Dimostrare che se an R allora limn f(n) = 0
Calcolare limn an nel caso in cui f(x) = x
Dimostrare che
an = 1 +n1k=0
f(k)
45- PrG.TEX [PrG97.TEX.TEX]
7/29/2019 Analisi Matematica 1, 2
46/631
Analisi 1+2 Polo di Savona Terza Prova Parziale 96/97
Terza Prova Parziale 96/97
Si consideri la funzione
f(x) = x+1
1x
2
(t + 1)|t 2|
dt
Determinare il campo di definizione D di f.
Stabilire se esistono e se sono finiti i limiti di f agli estremi del campo di definizione.
Stabilire dove f e derivabile e calcolarne la derivata prima.
Tracciare il grafico di f senza tenere conto della derivata seconda.
lllllllllllllllllllllllllll
Si consideri il problema di Cauchy xy(x) = y2(x) y(x)y(2) = k
Determinare per quali valori di k il problema ammette una soluzione locale e studiarne lunicita.
Determinare la soluzione che corrisponde a k = 3, precisandone il campo di definizione.
Determinare la soluzione che corrisponde a k = 1, precisandone il campo di definizione.
Determinare la soluzione che corrisponde a k = 0.5, precisandone il campo di definizione.
Disegnare il grafico di tutte le soluzioni del problema dato.
Disegnare il grafico delle soluzioni del problema di Cauchyxy(x) = y2(x) y(x)y(0) = k
precisando per quali k la soluzione esiste e studiandone lunicita.
46- PrG.TEX [PrG97.TEX.TEX]
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Analisi 1+2 Polo di Savona Prova dEsame 17 Giugno 1997
Prova dEsame 17 Giugno 1997
Si consideri la funzione
f(x) = x
x
1+x2
4t 1et2
dt
Determinare il campo di definizione D di f.
Stabilire se esistono e se sono finiti i limiti di f agli estremi del campo di definizione.
Stabilire dove f e derivabile e calcolarne la derivata prima.
Determinare un maggiorante ed un minorante di f nel suo campo di definizione
lllllllllllllllllllllllllll
Si consideri il problema di Cauchy
y(x) = max{2, y(x)}y(x0) = ay(x0) = b
Studiare esistenza ed unicita locale della soluzione.
Determinare la soluzione che corrisponde a x0 = 0, a = 1 e b = 0 precisandone il campo di definizione.
Determinare la soluzione che corrisponde a x0 = 0, a = 2 e b = 0 precisandone il campo di definizione.
Determinare il polinomio di McLaurin di grado 2 della soluzione che corrisponde a x0 = 0, a = 1 e b = 1
Determinare il polinomio di McLaurin di grado 3 della soluzione che corrisponde a x0 = 0, a = 1 e b = 1
47- PrG.TEX [PrG97.TEX.TEX]
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Analisi 1+2 Polo di Savona Prova dEsame 14 Luglio 1997
Prova dEsame 14 Luglio 1997
Si consideri il luogo dei punti del piano tali che
x3 + xy + y3 = 0
Determinare, al variare di m il numero ,delle intersezioni di con la retta y = mx
Esprimere, in funzione di m, lascissa dei punti di intersezione di con la retta y = mx
Esprimere, in funzione di m, lordinata dei punti di intersezione di con la retta y = mx
Disegnare il grafico delle funzioni trovate nei punti precedenti.
lllllllllllllllllllllllllll
Si consideri la funzione y : [, ] R che soddisfa le condizioni:y
(x) = 2 arctan y(x) +x0
cos y(t)dt
y(0) = 0
(si suppone che tale funzione esista e sia unica per ogni > 0)
Scrivere il polinomio di McLaurin di y di secondo grado
Trovare un maggiorante per y e y su [, ]
Determinare in modo che la differenza tra y e la sua retta tangente sia inferiore a 0.1 su [, ] .
Calcolare y(4)(0).
Stabilire se 0 e un punto di minimo o massimo relativo per y.
48- PrG.TEX [PrG97.TEX.TEX]
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Analisi 1+2 Polo di Savona Prova dEsame 29 Settembre 1997
Prova dEsame 29 Settembre 1997
Si consideri il problema di Cauchy
(xy(x)) = ln xy(1) =
1
Stabilire se lequazione data e lineare e studiare esistenza ed unicita della soluzione del problema.
Determinare esplicitamente la soluzione del problema dato, precisandone il campo di definizione.
Disegnare il grafico della soluzione.
Determinare il polinomio di Taylor di grado 4 della soluzione del problema dato centrato in x = 1
lllllllllllllllllllllllllll
Si consideri la successione an+1 =
ann(n + 1)
a1 = 1
Provare che an e decrescente.
Provare che an e positiva.
Stabilire se il limite di an esiste ed, in caso affermativo, calcolarlo.
Provare, se e vero, che
an =1
n!(n 1)!
Scrivere lenunciato del criterio di convergenza di Cauchy per le successioni.
49- PrG.TEX [PrG97.TEX.TEX]
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Analisi 1+2 Polo di Savona Prova dEsame 9 Dicembre 1997
Prova dEsame 9 Dicembre 1997
Si consideriy(x) y(x) = f(x)
dove
f(x) =
0 x < 0ex 1 x 0
Determinare tutte le soluzioni dellequazione data su R
Determinare tutte le soluzioni dellequazione data su R
Determinare tutte le soluzioni dellequazione data su R
Disegnare il grafico della soluzione dellequazione data tale che y(0) = y(0) = 0
lllllllllllllllllllllllllll
Si consideri la funzionef(x) = |x2 |x||e|x2|x||
Studiare definizione continuita e derivabilita di f.
Disegnare il grafico di f
Stabilire se f e invertibile su R, giustificando le affermazioni.
Determinare, se possibile, linversa di f su [1, +)
Calcolare, se esiste (f1)(2e2)
50- PrG.TEX [PrG97.TEX.TEX]
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Analisi 1+2 Polo di Savona Prova dEsame 13 Febbraio 1998
Prova dEsame 13 Febbraio 1998
Si consideri lequazione differenziale
y(x) =
y2(x) 1
Disegnare il grafico della soluzione dellequazione tale che y(0) = 2
Calcolare una primitiva di
g(t) =1
t2 1
Determinare una espressione esplicita della soluzione y del problema di Cauchy associato al dato inizialey(0) = 2
Determinare una espressione esplicita della soluzione y del problema di Cauchy associato al dato inizialey(0) = 1
Determinare una espressione esplicita della soluzione y del problema di Cauchy associato al dato inizialey(0) = 0
lllllllllllllllllllllllllll
Si consideri la funzione f : R R continua da sinistra il cui grafico e rappresentato in figura
Disegnare il grafico di una primitiva di f su R \ {a, 0, b}
Disegnare il grafico di tutte le primitive di f su R \ {a, 0, b}
Stabilire se esistono ed in caso affermativo disegnare il grafico di una primitiva di f che sia prolungabileper continuita su tutto R
Esistono primitive di f definite su tutto R
51- PrG.TEX [PrG97.TEX.TEX]
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Analisi 1+2 Polo di Savona Prova dEsame 7 Aprile 1998
Prova dEsame 7 Aprile 1998
Si consideri il problema di Cauchy
y(x) =
y(x)
ln y(x)y(0) = y0
Stabilire se esistono soluzioni costanti del problema
Trovare la soluzione per y0 = e precisandone il campo di definizione.
Trovare la soluzione per y0 = 1/e precisandone il campo di definizione.
Disegnare il grafico delle soluzioni al variare di y0.
Oservando che lequazione non dipende esplicitamente da x, disegnare il grafico di tutte le soluzionidellequazione data.
lllllllllllllllllllllllllll
Si consideri la funzione
f(x) =x 1
x2 + 1
e si definisca
F(x) =x+1x
f(t)dt
Disegnare il grafico di f.
Calcolare F dove esiste
Determinare i punti di massimo e di minimo assoluto di F
Disegnare il grafico di F.
52- PrG.TEX [PrG98.tex.TEX]
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Analisi 1+2 Polo di Savona Prima Prova Parziale 97/98
Prima Prova Parziale 97/98
Si consideri linsieme
A =x2 + 3a
x2 + a : x R
Dove a R e a > 0.
Determinare tutti i maggioranti di A.
Determinare tutti i minoranti di A.
Determinare sup A.
Determinare infA.
Stabilire se A ammette massimo o ammette minimo ed in caso affermativo trovarli.Si consideri linsieme
B =
x
y: x, y R , y = 0
Determinare sup B.
Determinare infB.
53- PrG.TEX [PrG98.tex.TEX]
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Analisi 1+2 Polo di Savona Seconda Prova Parziale 97/98
Seconda Prova Parziale 97/98
Si considerino le funzioni
f(x) =
2x + 1
x + 3 g : [4, 4] [1, 1]dove g si suppone strettamente crescente e surgettiva
Disegnare il grafico di f ed il grafico di una possibile g.
Disegnare il grafico di f(g(x).
Disegnare il grafico di g(f(x))
Disegnare il grafico di (f(x))2
Disegnare il grafico di f(x2)
Calcolare linversa di f precisando dove f e invertibile.
Provare per induzione chen
k=1
a = na
54- PrG.TEX [PrG98.tex.TEX]
7/29/2019 Analisi Matematica 1, 2
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Analisi 1+2 Polo di Savona Terza Prova Parziale 97/98
Terza Prova Parziale 97/98
Si consideri la funzione
f(x) =
x2 cos(x)
x2
xa x > 0
ex b2x
x < 0
Al variare di a, calcolarelim
x0+f(x)
e stabilire se f e prolungabile per continuita in x = 0 da destra
Al variare di b, calcolarelim
x0f(x)
e stabilire se f e prolungabile per continuita in x = 0 da sinistra
Al variare di a, b, stabilire se f e prolungabile per continuita in x = 0Si consideri la funzione
f(x) =x + 1
x + 2
Disegnare il grafico di fSi consideri poi la successione definita da
an+1 = f(an)a0 = a
Determinare al variare di a gli eventuali limiti della successione an (Non e necessario giustificare concalcoli le affermazioni, ma si richiede un risultato corretto supportato da considerazioni sul grafico di f)
55- PrG.TEX [PrG98.tex.TEX]
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Analisi 1+2 Polo di Savona Quarta Prova Parziale 97/98
Quarta Prova Parziale 97/98
ATTENZIONE: la somma dei punti assegnati a ciascuna domanda e superiore a 10; pertanto non e necessariorispondere a tutte le domande per ottenere il massimo voto. E opportuno tenere presente che la domanda B dipendedalla A e che la D dipemde dalla C. Inoltre la E non dipende da C e D.
I punti ottenuti oltre il 10 non saranno calcolati nella media ma costituiranno elemento di valutazione positiva insede desame.
Disegnare il grafico della funzione f(x) = ln(|x|) + 1x determinando il punto xm ed il valore f(xm) diminimo relativo. Provare inoltre che f ammette un solo zero x0 e studiare il segno di f
Disegnare il grafico di g(x) = ex ln(|x|) precisando il segno di g(x0)
Disegnare nello stesso piano i grafici di ln(x) e di x1e1 e giustificare il fatto che ln(x) x1e1 x
56- PrG.TEX [PrG98.tex.TEX]
7/29/2019 Analisi Matematica 1, 2
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Analisi 1+2 Polo di Savona Quarta Prova Parziale 97/98
[2, 1] (interpretare adeguatamente le unita di misura)
Provare che x0 [2, 1] (x0 e lo zero di f)
Studiare usando la derivata seconda, la convessita di g (Riportare nel riquadro i grafici che si ritengonoutili).
57- PrG.TEX [PrG98.tex.TEX]
7/29/2019 Analisi Matematica 1, 2
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Analisi 1+2 Polo di Savona Quinta Prova Parziale 97/98
Quinta Prova Parziale 97/98
ATTENZIONE: Lesercizio puo essere svolto usando la funzione definita in (1) o la funzione definita in (2). Nel
caso (2) il punteggio di ogni domanda e diminuito di 1.
I punti ottenuti oltre il 10 non saranno calcolati nella media ma costituiranno elemento di valutazione positiva insede desame.
Sia f una funzione derivabile infinite volte su R tale che
f(x) = sin(f(x)) f(0) =
2
OPPURE
(2) Sia f(x) = 2 arctan(ex)
(1) PER IL CASO (1) Derivare entrambi i membri della (1) e ricavare f in funzione di f ed f edf in funzione di f f ed f
(2) PER IL CASO (2) Calcolare f(x), f(x), f(x)
Calcolare f(0), f(0), f(0), f(0) e scrivere il polinomio di Taylor P2 ed il polinomio di Taylor P3 dif centrato in 0 di grado 2 e 3, rispettivamente.
Disegnare il grafico di P2 e di P3 per |x| 1
SCONSIGLIATA PER IL CASO (2) Provare che |f(x)| 1 |f(x)| 1 |f(x)| 2
Supponendo verificato che |f(x)| 2 stimare il resto di Lagrange relativo al polinomio di Taylor digrado 2 in funzione di x
58- PrG.TEX [PrG98.tex.TEX]
7/29/2019 Analisi Matematica 1, 2
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Analisi 1+2 Polo di Savona Quinta Prova Parziale 97/98
Supponendo verificato che |f(x)| 2, disegnare un maggiorante ed un minorante di f per |x| 1
Supponendo verificato che |f(x)| 2, determinare un maggiorante dellerrore commesso sostituendof con P2 per
|x
| 1/2.
Trovare, se possibile, a in modo che f(x) ax 2
sia infinitesima in 0 di ordine superiore al secondo.
59- PrG.TEX [PrG98.tex.TEX]
7/29/2019 Analisi Matematica 1, 2
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Analisi 1+2 Polo di Savona Sesta Prova Parziale 97/98
Sesta Prova Parziale 97/98
Sia
f(x) =
0 x < 1 1|x| 1 x < 02x x2 0 x < 11
x4x 1
Disegnare il grafico di f.
Disegnare il grafico di F(x) =x0
f(t)dt
Calcolare gli eventuali asintoti, i punti di massimo e di minimo ed i punti di flesso per il grafico di F.
60- PrG.TEX [PrG98.tex.TEX]
7/29/2019 Analisi Matematica 1, 2
61/631
Analisi 1+2 Polo di Savona Sesta Prova Parziale 97/98
Disegnare il grafico dix f(t)dt
Determinare una primitiva di f precisandone il campo di definizione.
61- PrG.TEX [PrG98.tex.TEX]
7/29/2019 Analisi Matematica 1, 2
62/631
Analisi 1+2 Polo di Savona Settima Prova Parziale 97/98
Settima Prova Parziale 97/98
Sia
y(x) =sin(y(x))
sin(x)
Disegnare il grafico della soluzione y relativa al dato iniziale y(/4) = /4.
Disegnare il grafico della soluzione y relativa al dato iniziale y(/4) = /2.
Disegnare il grafico della soluzione y relativa al dato iniziale y(/4) = 5/4.
62- PrG.TEX [PrG98.tex.TEX]
7/29/2019 Analisi Matematica 1, 2
63/631
Analisi 1+2 Polo di Savona Settima Prova Parziale 97/98
Disegnare il grafico di tutte le soluzioni dellequazione data.
63- PrG.TEX [PrG98.tex.TEX]
7/29/2019 Analisi Matematica 1, 2
64/631
Analisi 1+2 Polo di Savona Ottava Prova Parziale 97/98
Ottava Prova Parziale 97/98
Si consideri lequazione
x3y(x) = y(x)
Determinare la soluzione dellequazione data tale che y(1) = 1
Stabilire, per quali a R esistono soluzioni dellequazione data tali che y(0) = a, e determinarle.
Disegnare il grafico di tutte le soluzioni dellequazione data.
Si consideri lequazioney(x) + 4y(x) + 2y(x) = e2|x|
Determinare tutte le soluzioni dellequazione omogenea associata.
Determinare tutte le soluzioni dellequazione completa su R+.
Determinare tutte le soluzioni dellequazione completa su R.
64- PrG.TEX [PrG98.tex.TEX]
7/29/2019 Analisi Matematica 1, 2
65/631
Analisi 1+2 Polo di Savona Recupero Prima Prova Parziale 97/98
Recupero Prima Prova Parziale 97/98
Si consideri linsieme
A = n + 1
n
1: n N, n > 1
Determinare tutti i maggioranti di A.
Determinare tutti i minoranti di A.
Determinare sup A.
Determinare infA.
65- PrG.TEX [PrG98.tex.TEX]
7/29/2019 Analisi Matematica 1, 2
66/631
Analisi 1+2 Polo di Savona Recupero Seconda Prova Parziale 97/98
Recupero Seconda Prova Parziale 97/98
Sia f : R R una funzione strettamente decrescente, convessa e continua su [1, 1), periodica diperiodo 2, tale che f(1) = 0
Disegnare il grafico di f.
Stabilire se f deve essere o puo essere continua in R.
Stabilire se f e invertibile su [1, 3].
Stabilire se f e invertibile su [2, 3].
Stabilire se esiste limx+ f(x)
66- PrG.TEX [PrG98.tex.TEX]
7/29/2019 Analisi Matematica 1, 2
67/631
Analisi 1+2 Polo di Savona Recupero Terza Prova Parziale 97/98
Recupero Terza Prova Parziale 97/98
Si consideri la funzione
f(x) = eax b cos(x)
xx = 0
c x = 0
Determinare a,b,c, in modo che f sia prolungabile per continuita in 0
Determinare a,b,c, in modo che f sia derivabile in 0
Calcolare f(x)
Scrivere, se esiste, la retta tangente al grafico della funzione f nel punto (0, c)
67- PrG.TEX [PrG98.tex.TEX]
7/29/2019 Analisi Matematica 1, 2
68/631
Analisi 1+2 Polo di Savona Recupero Quarta Prova Parziale 97/98
Recupero Quarta Prova Parziale 97/98
Si consideri la funzione f(x) = arctan(x) + ln
1|x|
Disegnare il grafico della funzione f
Stabilire se f e invertibile in R+, ed i caso affermativo disegnare il grafico dellinversa
Scrivere la retta tangente al grafico della funzione f nel punto (1, /4)
Calcolare (f1)(4
)
68- PrG.TEX [PrG98.tex.TEX]
7/29/2019 Analisi Matematica 1, 2
69/631
Analisi 1+2 Polo di Savona Recupero Quinta Prova Parziale 97/98
Recupero Quinta Prova Parziale 97/98
Sia f(x) = x + x2 + 2x3 + (2 sin(x5))2
Scrivere il polinomio di Taylor di f centrato in x = 0 di grado 2
Calcolare f(0) f(0), f(7)(0), f(10)(0)
Calcolare f(0.1) a meno di .0001
69- PrG.TEX [PrG98.tex.TEX]
7/29/2019 Analisi Matematica 1, 2
70/631
Analisi 1+2 Polo di Savona Recupero Sesta Prova Parziale 97/98
Recupero Sesta Prova Parziale 97/98
Sia
f(x) =1
(t 1) 3
(t + 2)
e sia F(x) =
5x
|x|+1
xf(t)dt
Determinare il campo di definizione di F
Studiare i limiti agli estremi del campo di definizione.
Stabilire dove F e derivabile e calcolare la derivata di F
70- PrG.TEX [PrG98.tex.TEX]
7/29/2019 Analisi Matematica 1, 2
71/631
Analisi 1+2 Polo di Savona Recupero Settima Prova Parziale 97/98
Recupero Settima Prova Parziale 97/98
Siay(x) = y2(x) 1
Disegnare il grafico della soluzione y relativa al dato iniziale y(0) = 0, y(0) = 2, y(0) = 1, y(0) = 2.
71- PrG.TEX [PrG98.tex.TEX]
7/29/2019 Analisi Matematica 1, 2
72/631
Analisi 1+2 Polo di Savona Recupero Ottava Prova Parziale 97/98
Recupero Ottava Prova Parziale 97/98
Si consideri lequazione
2|x|y(x) = y(x)
Determinare tutte le soluzioni dellequazione definite su R+
Determinare tutte le soluzioni dellequazione definite su RSi consideri lequazione
y(x) + y(x) = ex
Determinare tutte le soluzioni dellequazione omogenea associata.
Determinare tutte le soluzioni dellequazione completa.
72- PrG.TEX [PrG98.tex.TEX]
7/29/2019 Analisi Matematica 1, 2
73/631
Analisi 1+2 Polo di Savona Prova dEsame 19 Giugno 1998
Prova dEsame 19 Giugno 1998
Si consideri la funzionef(x) = ekx + (1 k)x
Studiare il grafico della funzione per k = 1/2
Studiare il grafico della funzione per k = 4
Studiare il grafico della funzione per k = 1
Studiare il grafico della funzione al variare di k
lllllllllllllllllllllllllll
Si consideri lequazione
y(x) = a +
x0
2t
2y(t) 1 dt
Determinare le soluzioni dellequazione data per a = 0
Determinare le soluzioni dellequazione data per a = 4
Determinare le soluzioni dellequazione data per a =
1
Determinare le soluzioni dellequazione data al variare di a
73- PrG.TEX [PrG98.tex.TEX]
7/29/2019 Analisi Matematica 1, 2
74/631
Analisi 1+2 Polo di Savona Prova dEsame 17 Luglio 1998
Prova dEsame 17 Luglio 1998Si consideri la funzione
f(x) = x + xex
Calcolare f ed f precisando il loro campo di definizione
Studiare il grafico di f
Studiare il grafico della funzione f precisando monotonia e convessita
Disegnare il grafico di f(xn) al variare di n N
74- PrG.TEX [PrG98.tex.TEX]
7/29/2019 Analisi Matematica 1, 2
75/631
Analisi 1+2 Polo di Savona Prova dEsame 17 Luglio 1998
Calcolare, se esiste, (f1)(2 + 2e2)
lllllllllllllllllllllllllll
Si consideri lequazione y(x) = 1 + sin(y(x))y(0) = a
Studiare esistenza ed unicita del problema dato
Disegnare il grafico delle soluzioni dellequazione data per a = 0
Disegnare il grafico delle soluzioni dellequazione data per a = 2
Determinare tutte le primitive di1
1 + sin(t)
75- PrG.TEX [PrG98.tex.TEX]
7/29/2019 Analisi Matematica 1, 2
76/631
Analisi 1+2 Polo di Savona Prova dEsame 9 Ottobre 1998
Prova dEsame 9 Ottobre 1998
Si consideri la funzione
f(x) = x 1 x2
a+ ex a > 0
Calcolare f ed f precisando il loro campo di definizione
Studiare il grafico di f
Studiare il grafico della funzione f precisando monotonia e convessita
76- PrG.TEX [PrG98.tex.TEX]
7/29/2019 Analisi Matematica 1, 2
77/631
Analisi 1+2 Polo di Savona Prova dEsame 9 Ottobre 1998
Disegnare il grafico dix0
f(t)dt
Per a = 1, calcolare, se esiste, (f1)(1 + 1e )
lllllllllllllllllllllllllll
Si consideri lequazione y(x) = y4(x) + y(x)y(0) = a
Studiare esistenza ed unicita del problema dato
Disegnare il grafico delle soluzioni dellequazione data per a = 1
Disegnare il grafico delle soluzioni dellequazione data per a = 0
Studiare al variare di a limx+ y(x)
77- PrG.TEX [PrG98.tex.TEX]
7/29/2019 Analisi Matematica 1, 2
78/631
Analisi 1+2 Polo di Savona Prova dEsame 12 Febbraio 1999
Prova dEsame 12 Febbraio 1999
Si consideri lequazione differenziale
y(x) = 1 + y3(x)y(x0) = y0
Discutere esistenza ed unicita locale della soluzione del problema dato.
Disegnare il grafico della soluzione per x0 = 0 ed y0 = 0, precisandone il campo di definizione
Disegnare il grafico della soluzione al variare di x0 per y0 = 0, precisandone il campo di definizione
Disegnare il grafico della soluzione per x0 = 0 al variare di y0, precisandone il campo di definizione
Disegnare il grafico della soluzione al variare di x0, y0, precisandone il campo di definizione
lllllllllllllllllllllllllll
Si consideri la funzione
f(x) = ex2
x0
et2
dt x
Calcolare f e scrivere una equazione differenziale lineare del primo ordine, omogenea di cui f siasoluzione.
Determinare tutte le soluzioni dellequazione trovata al punto precedente
Disegnare il grafico di f
Stabilire se f e integrabile su R
78- PrG.TEX [PrG98.tex.TEX]
7/29/2019 Analisi Matematica 1, 2
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Analisi 1+2 Polo di Savona Prova dEsame 9 Aprile 1999
Prova dEsame 9 Aprile 1999
Si consideri lequazione differenziale
y(x) = sin y(x)y(x0) = y0
Discutere esistenza ed unicita locale della soluzione del problema dato.
Disegnare il grafico della soluzione per x0 = 0 ed y0 = 1, precisandone il campo di definizione
Disegnare il grafico della soluzione al variare di x0 per y0 = 1, precisandone il campo di definizione
Disegnare il grafico della soluzione per x0 = 0 al variare di y0, precisandone il campo di definizione
Disegnare il grafico della soluzione al variare di x0, y0, precisandone il campo di definizione
lllllllllllllllllllllllllll
Siano a, b funzioni derivabili con derivata continua su R a decrescente su R e b crescente su R e siainoltre una funzione continua e positiva su R . Si consideri
f(x) =
b(x)a(x)
(t)dt
Stabilire se f e derivabile e calcolarne la derivata.
Studiare crescenza e decrescenza di f.Per f(x) = ex
2
, a(x) = arctan(x) e b(x) = x3
Studiare il segno di f
Disegnare il grafico di f
79- PrG.TEX [PrG99.tex.TEX]
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Analisi 1+2 Polo di Savona Prima Prova Parziale 98/99
Prima Prova Parziale 98/99
Si consideri la disequazione
x + 1
x
1 a
Determinare tutte le soluzioni della disequazione per a = 2.
Determinare , reali tali chex + 1
x 1 = +
x 1
Disegnare il grafico di x+1x1
Risolvere la disequazione al variare di a nei reali.
Trovare gli a reali, se ne esistono, tali chex + 1
x 1 a x R, x = 1
80- PrG.TEX [PrG99.tex.TEX]
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Analisi 1+2 Polo di Savona Seconda Prova Parziale 98/99
Seconda Prova Parziale 98/99
Si consideri linsieme
A = 1
x2 + x + 1: x R
Determinare i maggioranti di A e sup A
Determinare i minoranti di A e infA
Stabilire se esistono max A e min A e calcolarli
Provare che e vera la seguente affermazione
La funzione xn e strettamente crescente su (0, +) per ogni n N
81- PrG.TEX [PrG99.tex.TEX]
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Analisi 1+2 Polo di Savona Terza Prova Parziale 98/99
Terza Prova Parziale 98/99
Si consideri la funzione
f(x) =ax42 (x + b)42
xc arctan x21
Calcolare per a > 1, b > 0, c > 0lim
x+f(x) =
Calcolare per a = 1, b > 0, c > 0lim
x+f(x) =
Calcolare per b > 0lim
x0+f(x) =
Calcolare per a > 1, b = 0lim
x0+f(x) =
82- PrG.TEX [PrG99.tex.TEX]
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Analisi 1+2 Polo di Savona Terza Prova Parziale Bis 98/99
Terza Prova Parziale Bis 98/99
Si consideri la funzione
f(x) =ax63 (x + b)63
xc arctan x63
Calcolare per a > 1, b > 0, c > 0lim
x+f(x) =
Calcolare per a = 1, b > 0, c > 0lim
x+f(x) =
Calcolare per b > 0lim
x0+f(x) =
Calcolare per a > 1, b = 0lim
x0+f(x) =
83- PrG.TEX [PrG99.tex.TEX]
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Analisi 1+2 Polo di Savona Quarta Prova Parziale 98/99
Quarta Prova Parziale 98/99
Si consideri la successione definita da
an+1 = sin(an)a0 = a
Per a = 3, verificare che an (0, )
Per a = 3, provare che an e decrescente
Calcolare per a = 3lim
n+an
Per a = 4, studiare il comportamento di an
84- PrG.TEX [PrG99.tex.TEX]
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Analisi 1+2 Polo di Savona Quinta Prova Parziale 98/99
Quinta Prova Parziale 98/99
Si consideri la funzione
f(x) = (x2 + 1)arctan(x) 2x
Calcolare f ed f
Disegnare il grafico di f
Disegnare il grafico di f
Scrivere il polinomio di Taylor di ordine 2 di f centrato in x0 = 0
Scrivere il resto di Peano ed il resto di Lagrange relativi al polinomio di Taylor di ordine 2 di f centratoin x0 = 0
85- PrG.TEX [PrG99.tex.TEX]
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Analisi 1+2 Polo di Savona Sesta Prova Parziale 98/99
Sesta Prova Parziale 98/99
Si consideri la funzione
f(x) =
x0
et2
3
1 et (t 1) t + 2 dt
Determinare il dominio di f.
Studiare la derivabilita di f.
Disegnare il grafico di f.
Disegnare il grafico di
g(x) =
|x|0
et2
3
1 et (t 1) t + 2 dt
Calcolare la derivata di
h(x) =
x2+2x3
et2
3
1 et (t 1) t + 2 dt
86- PrG.TEX [PrG99.tex.TEX]
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Analisi 1+2 Polo di Savona Settima Prova Parziale 98/99
Settima Prova Parziale 98/99
Si consideri il problema di Cauchy
y(x) = ey
4(x) 1y(x0) = y0
Studiare esistenza ed unicita della soluzione del problema dato.
Determinare le soluzioni costanti dellequazione e precisare i dati iniziali in corrispondenza dei quali sihanno soluzioni costanti
Disegnare il grafico della soluzione relativa al dato iniziale x0 = 0 , y0 = 1
Disegnare il grafico delle soluzioni del problema di Cauchy dato al variare dei dati iniziali x0, y0 R
87- PrG.TEX [PrG99.tex.TEX]
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Analisi 1+2 Polo di Savona Recupero Prima Prova Parziale 98/99
Recupero Prima Prova Parziale 98/99
Si consideri la disequazione
f(x) = ||x 1| 1|
Disegnare il grafico di f
Determinare le soluzioni della disequazione f(x) 3
Determinare le soluzioni della disequazione f(x) k al variare di k R
88- PrG.TEX [PrG99.tex.TEX]
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Analisi 1+2 Polo di Savona Recupero Seconda Prova Parziale 98/99
Recupero Seconda Prova Parziale 98/99
Si consideri linsieme
A = (1)nn2 + n
: n N Determinare i maggioranti di A e sup A
Determinare i minoranti di A e infA
Calcolare
lim(1)nn2 + n
=
89- PrG.TEX [PrG99.tex.TEX]
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Analisi 1+2 Polo di Savona Recupero Terza Prova Parziale 98/99
Recupero Terza Prova Parziale 98/99
Calcolare
limx
0
(sin x)2 + 1 ex
x3
=
Calcolare al variare di Rlimx0
(sin x)2 + 1 exx
=
90- PrG.TEX [PrG99.tex.TEX]
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Analisi 1+2 Polo di Savona Recupero Quarta Prova Parziale 98/99
Recupero Quarta Prova Parziale 98/99
Si consideri la successione definita da
an+1 =2an + 1
an
1a0 = a
Studiare il comportamento della successione per a = 4,
Studiare il comportamento della successione per a = 4,
91- PrG.TEX [PrG99.tex.TEX]
7/29/2019 Analisi Matematica 1, 2
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Analisi 1+2 Polo di Savona Recupero Quinta Prova Parziale 98/99
Recupero Quinta Prova Parziale 98/99
Si consideri la funzione
f(x) = x2ex + kx k R
Disegnare il grafico di f
Disegnare il grafico di f
per k = 0 Scrivere il polinomio di McLaurin di ordine 10 di f
92- PrG.TEX [PrG99.tex.TEX]
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Analisi 1+2 Polo di Savona Recupero Settima Prova Parziale 98/99
Recupero Settima Prova Parziale 98/99
Si consideri il problema di Cauchy
y(x) = 1 y2(x)y(x0) = y0
Determinare la soluzione relativa al dato iniziale x0 = 0 , y0 = 1
Disegnare il grafico delle soluzioni del problema di Cauchy dato al variare dei dati iniziali x0, y0 R
94- PrG.TEX [PrG99.tex.TEX]
7/29/2019 Analisi Matematica 1, 2
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Analisi 1+2 Polo di Savona Prova dEsame 11 Giugno 1999
Prova dEsame 11 Giugno 1999
Si consideri la funzione
f(z) =
z0
et2
dt
Studiare il grafico della funzione f
Studiare il grafico della funzione per 1f
Studiare il grafico della funzione per y1
1
f(s)ds
Disegnare il grafico della soluzione del problema di Cauchy
y(x) = f(y(x))
y(x0) = y0
lllllllllllllllllllllllllll
Si consideri lequazione
y(x) + 27y(x) = 2e3x + 1
Determinare le soluzioni dellequazione omogenea associata
Determinare le soluzioni dellequazione completa
Scrivere un sistema del primo ordine equivalente allequazione data.
Determinare le soluzioni del sistema trovato precisando la matrice fondamentale del sistema omogeneoad esso associato.
95- PrG.TEX [PrG99.tex.TEX]
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Analisi 1+2 Polo di Savona Prova dEsame 25 Giugno 1999
Prova dEsame 25 Giugno 1999
Si consideri il problema di Cauchy
y(x) = 1 + (y(x))2
y(0) = 0
y(0) = 0
Provare che la soluzione del problema e convessa dove e definita.
Provare che la soluzione ha un minimo locale in 0
Disegnare il grafico della soluzione del problema dato
Determinare esplicitamente tutte le soluzioni delequazione differenziale data
Disegnare il grafico di tutte le soluzioni dellequazione data.
lllllllllllllllllllllllllll
Si consideri
f(x) = tan(x)
Determinare una primitiva di f
Determinare tutte le primitive di f
Determinare larea a della parte di piano delimitata dagli assi, dalla retta x = 1 e dal grafico dellafunzione f
Stabilire se esiste e determinare c [0, 1] tale che f(c) = a
96- PrG.TEX [PrG99.tex.TEX]
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Analisi 1+2 Polo di Savona Prova dEsame 16 Luglio 1999
Prova dEsame 16 Luglio 1999
Si consideri il sistema
y(x) = 3y(x) 2z(x) + exz(x) = 2y(x)
z(x) + x
Determinare tutte le soluzioni del sistema omogeneo associato
Determinare tutte le soluzioni del sistema completo
Determinare tutte le soluzioni del sistema omogeneo tali che y(0) = 0
Determinare tutte le soluzioni del sistema completo tali che y(0) = 0
Precisare se le soluzioni ottenute in ciascuno dei punti precedenti e uno spazio vettoriale e, in casoaffermativo trovarne la dimensione
lllllllllllllllllllllllllll
Si consideri
f(x) =2x
1 + x2
Disegnare il grafico di f
Disegnare il grafico di g(x) = f(E(x)) dove E indica la parte intera.
Disegnare il grafico di F(y) =+y
ex
1+x2dx
Disegnare il grafico di F(y) =+g(x)
ex
1+x2 dx
97- PrG.TEX [PrG99.tex.TEX]
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Analisi 1+2 Polo di Savona Prova dEsame 17 Settembre 1999
Prova dEsame 17 Settembre 1999
Si consideri la funzione
f(x) =
x
x2 + 1x < 0
1 0
x < 11x
1 x < 210
x4x 2
Disegnare il grafico di f
Disegnare il grafico di f
Disegnare il grafico dix1
f(t)dt
lllllllllllllllllllllllllll
Si consideri lequazione differenziale
y(x) = y7(x) 1
Disegnare il grafico della soluzione tale che y(0) = 0
Disegnare il grafico della soluzione tale che y(0) = 1
Disegnare il grafico della soluzione tale che y(0) > 1
Disegnare il grafico della soluzione tale che y(0) < 1
Disegnare il grafico di tutte le soluzioni
98- PrG.TEX [PrG99.tex.TEX]
7/29/2019 Analisi Matematica 1, 2
99/631
Analisi 1+2 Polo di Savona Prova dEsame 17 Gennaio 2000
Prova dEsame 17 Gennaio 2000
Si consideri la funzione
f(x) = arctan(k(x3 x))
Disegnare il grafico di f
Disegnare il grafico di f
Disegnare il grafico dix0
f(t)dt
Determinare il numero di soluzioni dellequazione f(x) = 0 al variare di k
lllllllllllllllllllllllllll
Si consideri lequazione differenziale
y(x) + y(x) = x
Determinare tutte le soluzioni dellequazione omogenea
Determinare tutte le soluzioni dellequazione completa
Stabilire se le soluzioni del problema completo costituiscono uno spazio vettoriale e, in caso affermativo,
determinarne la dimensione.
Trovare tutte le soluzioni del problema completo tale che y(0)=0
99- PrG.TEX [PrG99.tex.TEX]
7/29/2019 Analisi Matematica 1, 2
100/631
Analisi 1+2 Polo di Savona Prova dEsame 2 Febbraio 2000
Prova dEsame 2 Febbraio 2000
Si consideri la funzione
f(x) = ln |1 x2
k2|
g(x) = arctan(x)
Disegnare il grafico di f
Disegnare il grafico di g
Disegnare il grafico di g(f(x))
Disegnare il grafico di f(g(x))
lllllllllllllllllllllllllll
Si consideri lequazione differenziale y
(x) =y(x)
sin y(x)y(x0) = y0
Studiare esistenza ed unicita della soluzione del problema assegnato
Scrivere la retta tangente al grafico della soluzione per x0 = y0 = 1
Disegnare il grafico delle soluzioni del problema per x0 = y0 = 1
Disegnare il grafico delle soluzioni del problema.
100- PrG.TEX [PrG99.tex.TEX]
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101/631
Analisi 1+2 Polo di Savona Prova dEsame 22 Febbraio 2000
Prova dEsame 22 Febbraio 2000
Si consideri la funzione
f(x) =ex
1
x2
Disegnare il grafico di f
Disegnare il grafico di g(x) =x0
f(t)dt
Disegnare il grafico di tutte le primitive di f
lllllllllllllllllllllllllll
Si consideri lequazione
y(x) = 2 +
x1
1
sin(y(t))dt
Studiare esistenza ed unicita della soluzione del problema assegnato
Determinare la soluzione dellequazione data
Disegnare il grafico delle soluzioni dellequazione
Scrivere il polinomio di McLaurin di grado 2 della soluzione del problema
101- PrG.TEX [PrG00.TEX.TEX]
7/29/2019 Analisi Matematica 1, 2
102/631
Analisi 1+2 Polo di Savona Prova Iniziale Settembre 1999
Prova Iniziale Settembre 1999
Test di Autovalutazione
Vi preghiamo di svolgere attentamente ed individualmente il test che e anonimo e ha un duplice scopo:
1) raccogliere dati sulla preparazione iniziale degli iscritti al primo anno, anche in relazione alla scuola diprovenienza, onde prevedere adeguate misure in grado di colmare eventuali lacune,
2) fornire un esempio significativo delle nozioni che si ritengono note e consentire una autovaluta
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