FORMULARIO DI MATEMATICA E FISICA - salvemini.na.it · Liceo Salvemini Sorrento– Corso di...

Liceo Salvemini Sorrento– Corso di preparazione per i test di ammissione universitari

1

FORMULARIO DI MATEMATICA E FISICA

Sommario MATEMATICA .................................................................................................................................................................................... 2

ALGEBRA ....................................................................................................................................................................................... 2

DISEQUAZIONI............................................................................................................................................................................... 5

GEOMETRIA................................................................................................................................................................................... 6

GEOMETRIA ANALITICA ................................................................................................................................................................ 7

FUNZIONI – ESPONENZIALI LOGARITMI ........................................................................................................................................ 9

TRIGONOMETRIA ........................................................................................................................................................................ 11

CALCOLO COMBINATORIO .......................................................................................................................................................... 12

PROBABILITA’ .............................................................................................................................................................................. 12

PERCENTUALI .............................................................................................................................................................................. 12

PROGRESSIONI ............................................................................................................................................................................ 12

LOGICA ........................................................................................................................................................................................ 13

STATISTICA .................................................................................................................................................................................. 13

FISICA .............................................................................................................................................................................................. 14

GRANDEZZE E MISURA ................................................................................................................................................................ 14

VETTORI E FORZE ........................................................................................................................................................................ 15

CINEMATICA ................................................................................................................................................................................ 16

DINAMICA ................................................................................................................................................................................... 17

FLUIDI .......................................................................................................................................................................................... 18

TERMOLOGIA E TERMODINAMICA ............................................................................................................................................. 19

ELETTROMAGNETISMO ............................................................................................................................................................... 20


2

MATEMATICA

ALGEBRA

INSIEMI NUMERICI

POTENZE

PRODOTTI NOTEVOLI

POTENZA

DEL BINOMIO n! = 1·2· … ·n

SCOMPOSIZIONI


3

EQUAZIONI DI 1° GRADO

DISEQUAZIO

NI DI 1° GRADO

SISTEMI LINEARI

VALORE ASSOLUTO

OPERAZIONI CON I

RADICALI

RAZIONALIZ ZAZIONI

0

0

a

a

sea

seaa

a

ab

a

a

a

b

a

b

a

ab

a

a

a

b

a

b n mn

n mn

n mn

n mn m

0x = 0 indeterminata – 0x = b impossibile


4

RADICALI DOPPI

EQUAZIONI DI

2° GRADO COMPLETE ax2+bx+c=0

EQUAZIONI DI

2° GRADO INCOMPLETE

Relazione tra coefficienti e

radici e scomposizio

ne ax2+bx+c=0

Equazioni binomie

axn+ c=0

Equazioni trinomie

ax2n+bxn + c=0 t = xn at2 + bt + c = 0 Risolvi ed applica metodi delle equazioni binomie

a

acbb

a

bx

2

4

2

2

a

acbb

a

b

x

2

2242

a

bx

x

baxxbxax

2

12

0

0)(

a

cx 2

a

cx

se –c/a < 0

Spuria Pura

soluznoa

ca

cx

a

cn

0

0n pari

n dispari n

a

cx


5

DISEQUAZIONI

DISEQUAZIONI DI 2° GRADO

DISEQUAZIONI DI GRADO > 2

E FRATTE

Studiare i segni dei fattori

..

0)(

0)(

xB

xA

SISTEMI DI DISEQUAZIONI

Un sistema di disequazioni contiene n disequazioni da risolvere singolarmente:

La soluzione del sistema è l’intersezione delle soluzioni delle

singole disequazioni: S = S1 S2 …

Grafico:

UNIONE DI DISEQUAZIONI

( A(X) <≤ >≥0 ) U (B(x) <≤ >≥0) Soluzione S = S1 U S2 Grafico:

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI IRRAZIONALI CON RADICE QUADRATA

(C.E.: A(x) 0)

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI CON MODULO

0)(

0)(

)(

)()(

xA

xA

xA

xAxA

Le soluzioni sono gli intervalli

con i segni richiesti

Sempre > 0 ! Studiare ≥0 se è P(x) ≤≥0

Per le fratte ≥0 solo al Numeratore


6

GEOMETRIA

PUNTI NOTEVOLI DI UN

TRIANGOLO (intersezione di

..) Altezze Bisettrici Mediane Assi Bisettrici angoli esterni

POLIGONO DI n LATI

SOMMA DEGLI ANGOLI INTERNI= (n – 2)· 180°

ANGOLO DI UN POLIGONO REGOLARE (LATI E ANGOLI UGUALI) = n

n 180)2(

CIRCONFERENZA

Un quadrilatero è: INSCRIVIBILE se gli angoli opposti sono supplementari, CIRCOSCRIVIBILE se ha uguali le somme dei lati opposti .

CONVERSIONI MISURE ANGOLI

AREE DI FIGURE PIANE

TEOREMI SUI TRIANGOLI

RETTANGOLI

APPLICAZIONI DEL TEOREMA DI

PITAGORA QUADRATO TRIANGOLO EQUILATERO

SOLIDI

L’asse di un corda passa per il centro.

Raggio e retta tangente sono perpendicolari.

L’angolo alla circonferenza che insiste su una corda è la metà

dell’angolo al centro corrispondente

Un triangolo inscritto in una semicirconferenza è rettangolo.

AH = (AB·AC)/BC

TEOREMA DI PITAGORA: AB2 + AC

2 = BC

2

I° TEOREMA DI EUCLIDE: AB2 = BH·BC AC

2 = CH·BC

II° TEOREMA DI EUCLIDE: AH2 = BH·HC

2ld 3

2

lh

Teorema di Eulero

Facce + Vertici – Spigoli = 2


7

GEOMETRIA ANALITICA

DISTANZA e PUNTO MEDIO

TRA 2 PUNTI A(x1 ; y1) B(x2 ; y2)

Equazione della RETTA

Coefficiente Angolare

Parallelismo e Perpendicolarità

Retta passante per 2 punti

A(x1 ; y1) B(x2 ; y2)

Fasci

DISTANZA PUNTO - RETTA

CIRCONFERENZA

CIRCONFERENZA E RETTA

12'''' yyBA

12'' xxBA 212

2

12 yyxxAB

2;

2

2121 yyxxM

Intercetta

b

cq

b

am

Coeff. angolare

qmxy

Forma esplicita Forma implicita

0 cbyax

12

12

xx

yym

mm

1' 'mm

12

1

12

1

xx

xx

yy

yy

);( 00 yxA

22);(

ba

cbyaxrAd

oo

0 cbxax

2;

2

baC

cba

cr

22

22

22


8

PARABOLA con asse //

asse y

PARABOLA con asse //

asse x

Ellisse con i fuochi sull’asse x

Ellisse con i fuochi sull’asse y

Iperbole con i fuochi sull’asse x

Iperbole con i fuochi sull’asse y

Altre equazioni dell’iperbole

a

bxa

2:

aa

bF

4

1;

2

aa

bV

4;

2 ayd

4

1:

a

b

aF

2;

4

1

a

bya

2:

axd

4

1:

a

b

aV

2;

4


9

FUNZIONI – ESPONENZIALI LOGARITMI

DEFINIZIONE DI FUNZIONE

“Siano A e B due sottoinsiemi non vuoti di R. Si chiama funzione di A in B

una qualsiasi legge che fa corrispondere ad ogni elemento xA uno ed un

solo elemento yB.” Per indicare che f è una funzione di A in B si scrive :

f : A B ; f : xA yB; oppure y = f (x) L’elemento x si chiama variabile indipendente o argomento della funzione. L’elemento Y si chiama variabile dipendente o immagine (in corrispondenza di x) della funzione. L’insieme A dei valori x per i quali esiste il corrispondente valore della y si dice campo di esistenza o insieme di definizione o dominio della funzione. L’insieme f(A) di tutti gli elementi associati ai valori di A si chiama codominio della funzione.

FUNZIONI INVERTIBILI

Una funzione f si dice biettiva sul codominio B se ogni elemento di B è associato una sola volta ad un elemento di A.

Una funzione biettiva è anche invertibile : cioè se f : x A y B è biettiva e associamo ad ogni valore y del codominio l’elemento x del dominio otteniamo una nuova funzione detta funzione inversa :

f -1 : y B x A.

FUNZIONI COMPOSTE

Siano date due funzioni f: x A y B e g: y C z D. Se B e C hanno elementi comuni sia I = B C

(intersezione di B e C). Dato che ad ogni elemento x associato ad un elemento y = f(x) I si può associare l’elemento g(y) = g(f(x)) associato ad f(x) si forma la funzione composta z = f•g(x) = g(y) = g(f(x)) : AD. Il dominio della funzione composta può anche non coincidere con l’insieme A ma esserne un sottoinsieme.

CLASSIFICAZIONE

CALCOLO DEL

DOMINIO

FUNZIONI MONOTONE

Una funzione si dice CRESCENTE in un intervallo se: x1 < x2 f(x1) f(x2)

Una funzione si dice DECRESCENTE in un intervallo se: x1 < x2 f(x1) f(x2)

FUNZIONI

PARI, Una funzione y = f (x) si dice pari se: f(-x) = f(x) x A

Una funzione y = f (x) si dice dispari se: f(-x) = -f(x) x A


10

DISPARI PERIODICHE

Una funzione y = f (x) si dice periodica di periodo T, con T > 0, se, per qualsiasi numero k intero, si ha: f(x) = f(x + kT)

Funzione esponenziale

Funzione logaritmica

PROPRIETA’ DI ESPONENZIALI E LOGARITMI

Equazioni esponenziali

Disequazioni esponenziali

Equazioni logaritmiche

Disequazioni logaritmiche

)()()()( xgxfaa xgxf 0

0

log)(

)(

N

N

Nxf

eimpossibilNa

a

xf

10

1

)()()(

)()()()( )()(

a

a

xgxf

xgxfaa xgxf

0)( NeimpossibilNa xf 0)( NRxNa xf

10

1

log)()(

log)()()()(

a

a

N

N

xf

xfNa

a

axf

)()(

0)(

0)(

)(log)(log

xgxf

xg

xf

xgxf aa

Naaxf

xfNxf

)(

0)()(log

10

1

)()()(

)()()(

0)(

0)(

)(log)()(log

a

a

xgxf

xgxf

xg

xf

xgxf aa

10

1

)()(

)()(

0)(

0)(

)()(log

a

a

axf

axf

xg

xf

Nxf

N

Na


11

TRIGONOMETRIA

ANGOLI

CIRCONFERENZA GONIOMETRICA

RELAZIONI FONDAMENTALI ARCHI ASSOCIATI

ANGOLI ELEMENTARI

FORMULE GONIOMETRICHE

EQUAZIONI GONIOMETRICHE

Teorema dei Triangoli

rettangoli e della corda

a = c sen = c cos

b = c sen = c cos AB = 2r sen

a = b tg = b cotg

b = a tg = c cotg

Triangoli qualunque

AREA DEL TRIANGOLO A = 2

1 a b sen = 2

1 a c sen = 2

1 b c sen

TEOREMA DEI SENI rsen

c

sen

b

sen

a2

TEOREMA DEL COSENO O DI CARNOT

a2 = b2 + c2 – 2bc cos b2 = a2 + c2 – 2ac cos c2 = a2 + c2 – 2ac cos

:180: rg

r

g

180

180

g

r

g = 360-esima

parte angolo giro


12

CALCOLO COMBINATORIO n fattoriale n! = n·(n-1)·…·1

DISPOSIZIONI SEMPLICI (CONTA L’ORDINE SENZA RIPETIZIONI):

Dn,k = n·(n-1)·…·(n-k+1)=

PERMUTAZIONI SEMPLICI (CONTA L’ORDINE SENZA RIPETIZIONI): Pn = Dn,n = n!

PERMUTAZIONI CON RIPETIZIONI (CONTA L’ORDINE

gli oggetti 1,2,..,k si ripetono r1,r2,...rk volte ): Prn =

COMBINAZIONI SEMPLICI (NON CONTA L’ORDINE SENZA RIPETIZIONI):

Cn,k =

DISPOSIZIONI con RIPETEZIONE (CONTA L’ORDINE CON RIPETIZIONI): Drn,k = nk

COMBINAZIONI con RIPETEZIONE (NON CONTA L’ORDINE CON RIPETIZIONI): Crn,k =

PROBABILITA’

Probabilità di un evento E p(E) =

Probabilità dell’evento contrario E p(E) = 1 – p(E)

Probabilità dell’unione di eventi p(E1 E2) =

p(E1) + p(E1) – p(E1 E2) Probabilità dell’unione di eventi incompatibili p(E1 E2) = p(E1) + p(E1)

Probabilità composta di eventi indipendenti p(E1 E2) = p(E1 ) · p(E2)

Probabilità condizionale p(E/F) =

Probabilità composta di eventi dipendenti p(E F) = p(E/F) · p(F) Prova ripetuta n volte

Sia p la probabilità che E si verifichi una volta. La probabilità che E si verichi k volte su n è

PERCENTUALI

VARIAZIONE PERCENTUALE

CALCOLO DEL VALORE FINALE

PROGRESSIONI Termine n-esimo di una progressione aritmetica di ragione d e

termine iniziale a0. an = a0 + (n-1)·d

Somma dei primi n termini di una progressione aritmetica Sn =

Termine n-esimo di una progressione geometrica di ragione r e termine iniziale a0.

an = a0·rn


13

LOGICA

STATISTICA

CONNETTIVI LOGICI

REGOLE DI DEDUZIONE

Modus Ponens Modus Tollens

Leggi di De Morgan

Frequenza relativa

f = F / T (Frequenza / Totale dati)

Indici di posizione centrale

Indici di dispersione


14

FISICA

GRANDEZZE E MISURA

PREFISSI

UNITA’ DI VOLUME

CALCOLO DEI VOLUMI

DENSITA’

E PESO

SPECIFICO

TABELLA UNITA’ DI MISURA


15

VETTORI E FORZE

Prodotto scalare-vettore

Somma di vettori

Differenza di vettori

Prodotto scalare

Prodotto vettoriale

Forza peso

Forze d’attrito

Forza elastica

Parallelogramma

PUNTA-CODA

PUNTA-PUNTA

Radente Volvente

Viscoso

Legge di

Hooke


16

CINEMATICA

Velocità e Accelerazione

Leggi orarie del Moto Rettilineo Uniforme

Leggi orarie

del Moto Uniformemente Accelerato

Moto verticale

Moto curvilineo

Moto circolare uniforme

rar

va

rv

T

rv

T

Tf

2

22

2

1

Moto Armonico Semplice

Unità di misura

s = r cos(t)

Sistema di riferimento

orientato verso l’alto

v = r sen(t) a = 2r cos(t)

a = - 2x

v2-v02 = 2as


17

DINAMICA

Principi della Dinamica

Momento di una forza

Equilibrio di un corpo

rigido

Legge di attrazione

gravitazionale

Lavoro

Potenza

Energia Cinetica

Energia Potenziale

Impulso e

Quantità di Moto

Unità di misura

Teorema dell’Energia Cinetica

0

0

a

F

amF

FF

1

FxrM

FbM

0F

0M

2

21

r

mmGFg 2

2111067,6

kg

NmG

sFL sFL cosFssFL 0L

t

LP vFP

2

2

1mvEc

2

1

2

2122

1

2

1mvmvEEL cc

21 UUL

Principio di conservazione

dell’ENERGIA MECCANICA

tEU c cos

tFI

vmq qI

Principio di conservazione di q

(nei sistemi isolati e negli urti) tqtot cos


18

FLUIDI

Densità Peso

Specifico Pressione

Principio di Pascal e torchio

idraulico

Legge di Stevino

(generalizzata)

Principio di Archimede

Galleggiamen

to

Peso apparente

Unità di misura della Pressione e conversioni

Portata ed equazione di

continuità (Fluidi in

moto)

Teorema di Bernoulli

immersoliquidoA gVds

S

FP

V

md dg

V

mg

V

pps

dgVp

dVm

B

B

A

A

S

F

S

F

dghP apdghP

liquido

corpoi

d

d

V

V

Aapparente spp gVdd acquacorpo

s

mvS

t

VPo

3

221121 VSVSPoPo

tdghdvP cos2

1 2


19

TERMOLOGIA E TERMODINAMICA Temperatura T = °t + 273,15 K °t = T - 273,15 °C

Dilatazione

Calore

Calorimetro

Conduzione

Passaggi di stato

Leggi dei Gas

Teoria cinetica dei gas

Sistema termodinamico

Macchina termica

Secondo principio della Termodinamica

Teorema di Carnot

tmcttmcQ if )(

Calore latente

1 cal = 4,186 J

= 3 TLL 0

)1(0 TLL

L

TS

tempo

Q

mLQ

)1(0 tVVt kT

VP = cost V = cost )1(0 tPPt k

T

P

1

273

1 C

kPV T = cost molK

JR 314,8nRTPV Equazione di stato

PRIMO PRINCIPIO

DELLA

TERMODINAMICA

LQU

RENDIMENTO

1

2

1

21

1

1Q

Q

Q

QQ

Q

L

1

21T

Trev

)22

1112

( e

e

TTm

TTmcc

2211

222111

TmTm

TcmTcmTe

kTEcmolecolamedia

2

3

K

Jk 231038,1 nRTEc

molimedia2

3


20

ELETTROMAGNETISMO

FORZE GRAVITAZIONALE

ED ELETTRICA

CAMPI

GRAVITAZIONALE ED

ELETTRICO

ENERGIA POTENZIALE

/ POTENZIALE

CONDENSATORI

CORRENTE ELETTRICA

/ LEGGI DI OHM

RESISTENZA

ENERGIA ELETTRICA

MAGNETISMO

FLUSSO / INDUZIONE

ELETTROMAGNETICA

UNITA’ DI MISURA

2

21

r

mmGFg

2

21

r

qqKFe

2r

MG

m

FH

g

22 4

1

r

Q

r

QK

q

FE e

BAAB UUL

P

Pr

QqKU

q

UPV P)(

r

QKPV )(

BAAB VqL

VeeV

d

A

V

QC

..111

21

CCCTOT

..21 CCCtot

t

qi

R

i

V

A

lR

...21 RRRtot...

111

21

RRRtot

ld

iiF 210

2

BLiF

BvqF

R

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2

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