Formulario 2016 II

8/18/2019 Formulario 2016 II

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ACADEMIAS

EF

squema

ormulario

Católica

ACADEMIAS


4/324 ESQUEMA – FORMULARIO

NÚMEROSY

OPERACIONES

ACADEMIAS

4

ÍN

DICE

Números y Operaciones ................. 3 - Sistema decimal

-Razones

- Magnitudes proporcionales - Reparto proporcional - Regla de tres - Divisibilidad - Criterios de divisibilidad - Números primos - MCD y MCM I - MCD y MCM II - Fracciones I - Fracciones II - Porcentajes I - Porcentajes II

Álgebra ........................................ 10 - Exponentes - Polinomios - Productos notables - División algebraica - Factorización - Ecuaciones de primer grado - Planteamientos I - Ecuaciones cuadráticas - Planteamientos II - Función lineal, cuadrática y aplicaciones

Geometría y Medidas .................... 21 - Triángulos – Líneas notables - Triángulos notables - Razones trigonométricas de ángulos agudos - Cuadriláteros I - Cuadriláteros II - Circunferencia I - Circunferencia II - Polígonos - Relaciones métricas - Áreas triangulares - Áreas cuadrangulares - Áreas circulares - Relación de áreas

x


5/325ESQUEMA – FORMULARIO

N Ú M E R O S Y

O P E R A C I O N E S

ACADEMIAS

Sistema decimal

Descomposición polinómica abcd = a×103 + b×102 + c×10 + d Conteo de cifras

Sea 1, 2, 3, ...

ncifras

abcd...xyz

La cantidad de cifras utilizadas =

ncifras

(abc...xyz 1)n 111...111= –

Progresión aritmética

Suma de términos =

+último primero2

.#términos; #términos = –último primerorazón

+ 1

Razones

Razón aritmética: a – b

a : antecedente

b : con secuente

Razón geométrica: ab

Razones equivalentes: 31 2 n1 2 3 n

aa a a.... k

b b b b= = = = =

• 1 2 3 n

1 2 3 n

a a a ... ak

b b b ... b

+ + + +=

+ + + +

• n1 2 3 n

1 2 3 n

a a a ... ak

b b b ... b =

× × × × × × × ×

Magnitudes proporcionales

Si: A DPB A ConstanteB

=⇒

Si: A IPB A B Constan te=

⇒ ×

Si: A DPB A CConstante

B A IPC =

×

Reparto proporcional

Si N se reparte en forma DP a los números a, b y c

1 2 3P P P N+ + =∴ y31 2 PP P Constante

a b c

= = = .

Si N se reparte en forma IP a los números a; b y c.

1 2 3P P P N+ + =∴ y P1.a = P2.b = P3.c = Constante.



NÚMEROSY

OPERACIONES

ACADEMIAS

Regla de tres DP

=

obreros tiempoConstante

obra =

×

Divisibilidad

o o o

n n n+ = o o o

n n n – =

o o

n.k n (k )= ∈ o o

k ( n ) n (k )∈ +=

( )

o

oo

o

N A r

N B r N MCM A,B, C r

N C r

= +

= + = +

= +

⇒

o o o o o

1 2 3 x 1 2 3 x( n r ) (n r ) (n r ) ...( n r ) n r r r ... r+ + + + = +

Criterios de divisibilidad

Si:

o o

abcd 2 d 2= =→

Si:o o

8 4b 2c d 8= + + =→

Si:o o

abcd 9 a b c d 9= + + + =→

Si:o o

abcd 25 cd 25= =→

Si:

o o

4 2c d 4= + =→

Si:o o

abcd 3 a b c d 3= + + + =→

Si:o o

abcd 5 d 5= =→

Si:o o

a b c d e 11 a b c d e 11= – + – + = – – – +

→

Si:o o

7 f 3e 2d c 3b 2a 7= + + – – – =→



N Ú M E R O S Y


ACADEMIAS

Números Primos

Sea "N" descompuesto canónicamenteN = Aa × Bb × Cc

#div. N = (a + 1)(b + 1)(c + 1)

#div. comp. (N) = #div. (N) – #div. primos(N) – 1

MCD y MCM I

Si: A = 23 . 54. 32 . 11

MCD(A;B) = 23 . 53 . 32

B = 25. 53. 36. 7 MCM(A;B) = 25 . 54. 36. 7 . 11

Para el MCD

Sio

A B Bk; k y A B

MCD(A;B) B

= =

=

∈ >∴

Si A y B son PESIMCD(A;B) 1=∴

Si MCD(A; B; C) = d

; Cn) dn ;

;

MCD(An; Bn

A B C dMCD ; ;

n n n

n 0

0n

n

=

=

∴

≠

≠

Si M = MCD(A; B) y N = MCD(C; D)

MCD(A; B; C; D) = MCD(M; N)

Para el MCM

Sio

A B Bk; k y A B

MCM(A;B) A

= =

=

∈ >∴

Si A y B son PESIMCM(A;B) A x B=∴

Si MCM(A; B; C) = P

; Cn) Pn ;

MCM ;

MCM(An; Bn

A B C P; ;

n n n

n 0

n

n 0=

=

∴

≠

≠

Si R = MCM(A; B) y T = MCM(C; D)

MCM(A; B; C; D) = MCM(R; T)

Relaciones entre el MCD y MCM para dos números



NÚMEROSY

OPERACIONES

ACADEMIAS

MCD y MCM II

Fracciones I

Fracciones II

abc

0,abc1000

=

abcd ab

a,bcd990

–=

Relación parte-todo

Reducción a la unidad

Si un caño llena un tanque en 4horas, en una hora llena la cuartaparte del tanque.

abcd aa,bcd999

–=

Fracción propia: Si aF a bb

⇒

Fracción común u ordinaria: Si naF b 10 ;n Zb

+= ⇒ ≠ ∈

Fracción decimal: Si naF b 10 ;n Zb

+= =⇒ ∈



N Ú M E R O S Y


ACADEMIAS

Porcentaje I

N=100% N

a%N ± b%N = (a ± b)%N

2 descuentos sucesivos del a% y b% equivalen a un descuento único de:

a.ba b %

100+ –

2 aumentos sucesivos del a% y b% equivalen a un aumento único de:

a.ba b %

100+ +

Porcentaje II

Pv = Pc + G Pv = Pc – P Pv = Pf – D Las ganancias o las pérdidas generalmente son porcentajes del precio de costo. Los descuentos o las rebajas siempre son porcentajes del precio fijado o de lista.

Interés simple

I = C × r × T M = C + I (r y T deben tener las mismas unidades)



ÁL

GEBRA

ACADEMIAS

Exponentes

Definiciones

n

n veces

x x .x .x ... x=

x0 = 1, x ≠ 0

Teoremas

xn.xm = xn+m

n

n mm

xx , x 0

x

–= ≠

n nn

n

y1 xx ;

y xx

–

–= =

(xm)n = xm.n

pn

mx

(x.y)n = xn.yn; (xa.yb)n = xan.ybn

n n

n

x x

y y=

na a.n

b b.n

x x

y y=

;

≠y 0

nm/n ma a=

mn nmx x=

n m mna a=

n n na. b a.b=

n

nn a abb

=

( )a ac.ec e bc d e f b d f x x x x

+ +=

a bx x a b; x 0,1= =⇒ ∀ ≠

a ax y x y; x 0= =⇒ ∀ ≠

x yx y x y; x 0;1= =⇒ ∀ ≠



Á L

G E B R A

ACADEMIAS

Polinomios

∑coef = P(1)

#términos = GA + 1; para todo polinomio completo

T.I. = P(o)

GA = GR(x) + GR(y); para todo monomio de 2 variables P(x;y) = 6x 8 y5 + 3x4y6 – 8x 5 y 8 + 10xy 9

13 10 13 10

⇒ GR(x) = 8

⇒ GR(y) = 9

⇒ GA = 13

[F(x) ± G(x)]° se toma el grado mayor entreGA(F) y GA(G)

F(x)G(x)

o

se restan los GA(F) – GA(G)

[F(x).G(x)]° se suman los GA(F) + GA(G)

F(x)n

o

se multiplica el valor de n × GA[F(x)]

OPERACIONESCON GRADOS

POLINOMIOS

Polinomio ordenado: P(x) = axm + bxn + cxp + d; m > n > p > 0 decreciente

Polinomio completo: P(x) = a0xn + a1x

n–1 + a2xn–2 + .... + an

Polinomio homogéneo: P(x; y) = 3x3 + 5x2y – 8xy2 + y3 GA = 3 = 3 = 3 = 3

Polinomios idénticos: P(x) = ax2 + bx + c

P(x) ≡ Q(x) Q(x) = 2x2 + 3x + 4

Polinomio nulo: P(x) = ax2 + bx + c ⇒ a = 0; b = 0 c = 0

(P(x) ≡ 0)

⇒ a = 2; b = 3; c = 4



ÁL

GEBRA

ACADEMIAS

Productos notables

Binomio al cuadrado1. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

Identidad Legendre

2. (a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2)

(a + b)2 – (a – b)2 = 4ab

(a + b)4 – (a – b)4 = 8ab(a2 + b2)

Binomio cubo

3. (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

(a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)

(a – b)3 = a3 – b3 – 3ab(a – b)

Diferencia de cuadrados

4. (a + b)(a – b) = a2 – b2

(am + bn)(am – bn) = a2m – b2n

Suma y diferencia de cubos

5. (a + b)(a2 – ab + b2) = a3 + b3

(a – b)(a2 + ab + b2) = a3 – b3

Multiplicación de 2 binomios con 1 término en común

6. (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + a.b

Multiplicación de 3 binomios con 1 término en común

7. (x + a)(x + b)(x + c) = x3 + (a + b + c)x2 + (ab + ac + bc)x + a.b.c.

Trinomio al cuadrado

8. (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + bc)



Á L

G E B R A

ACADEMIAS

Trinomio al cubo

9. (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(a + c)(b + c)

(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b + c)(ab + ac + bc) – 3abc

Igualdades condicionales

Si: a + b + c = 0

Se verifican:

• a2 + b2 + c2 = –2(ab + ac + bc)

• a3 + b3 + c3 = 3abc → importante• (a2 + b2 + c2)2 = 2(a4 + b4 + c4)

División algebraica

Identidad fundamental

D(x) = d(x) . Q(x) + R(x)

Grados

Grados[Q(x)] = Grado[D(x)] – Grado[d(x)]

Máx Grado[R(x)] = Grado[d(x)] – 1.

Clasificación División Exacta: R(x) = 0

División Inexacta: R(x) ≠ 0

Teoma del resto

Si P(x) es dividido por x – b, entonces el resto de la división es P(b).

Es decir R(x) = P(b)



ÁL

GEBRA

ACADEMIAS

Factorización

I. Factor común P(a; b) = ab + ac

P(a; b) = a(b + c)

2 factores primos

II. Por agrupación

P(x; y; z) = x2 + xy + xz + yz + x + y

= x(x + y) + z(x + y) + (x + y) = (x + y) (x + z + 1)

III. Identidades a2 – b2 = (a + b) (a – b)

a2m – b2n = (am + bn) (am – bn)

a3 ± b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)

a3m ± b3n = (am ± bn)(a2m – ambn + b2n) a2 ± 2ab + b2 = (a ± b)2

IV. Criterio de las aspas

P(x) = Ax2n + Bxnym + Cy2m

a1xn c1y

m

a2xn c2y

m

Luego: P(x) = (a1x

n + c1ym)(a2x

n + c2ym)

Ejemplo:

Factoriza

P(x): x2 – 2x – 35 = 0

x –7

x +5 P(x) = (x – 7)(x + 5)

2 factores primos



Á L

G E B R A

ACADEMIAS

Ecuaciones de primer grado

Ecuaciones de primer grado:

ax + b = 0; a ≠ 0

Es una igualdad condicional que se verifica para valores particulares asignados a sus

incógnitas, llamadas soluciones o raíces.

Clasificación de las ecuaciones según sus soluciones

I. Ecuación compatible

Es aquella que tiene al menos un elemento en su conjunto solución, es decir admite

solución; esta a su vez podrá ser:

1. Ecuación compatible determinada

Es aquella que tiene un número limitado de soluciones. (a ≠ 0)

2. Ecuación compatible indeterminada

Es aquella que tiene un número ilimitado de soluciones; también se dice que lasolución x ∈ . a = 0 ∧ b = 0

II. Ecuación incompatible

Es aquella que no admite solución; también se dice que la solución x ∈ ∅;

frecuentemente se le da el nombre de ecuación absurda o ecuación inconsistente.

a = 0 ∧ b ≠ 0

Ecuación compatible determinada: {r} Ecuación compatible indeterminada: C.S. =

Ecuación incompatible: C.S. = { } [C.S = ∅]

En general:

Si: P(x) = axa(x – a)b(x – b)g

→ # factores primos = 3 = x; (x – a); (x – b)→ # factores totales = (a + 1)(b + 1)(g + 1)

→ # factores algebraicos = (a + 1) (b + 1) (g + 1) – 1



ÁL

GEBRA

ACADEMIAS

Planteamientos I

DefiniciónEl planteamiento de una ecuación consiste en traducir un problema dado en forma deenunciado, a un lenguaje simbólico; es decir, al interpretar correctamente el enunciadodado se podrá transformar este en una ecuación de una o más incógnitas.

lenguaje escrito lenguaje matemático

"x" excede a "y" en 10 x – y = 10

El exceso de "p" sobre "q" es 20 p – q = 20

"x" es a "y" como 5 es a 8 xy58=

"x" es dos veces "y" x = 2y

"x" es dos veces más que "y" x = y + 2y ⇒ x = 3y

El cubo de un número aumentado en 17 . x3 + 17

La suma al cubo de un número aumentado en 6. (x + 6)3

Un número disminuido en sus tres octavos. x – 38

x

El triple de un número aumentado en 42. 3x + 45

Problemas sobre ecuacionesSi bien no existe una regla general para resolver este tipo de problemas, te vamos aproporcionar algunos pasos que te van a ayudar a su solución: Lee detenidamente el problema, hasta familiarizarte con él. Haz un esquema, si es necesario, para aclarar la situación. Haz una lista de datos conocidos y otra de los que se quiere hallar. Representa el término desconocido por medio de una variable, generalmente "x". Expresa la situación descrita en el problema en lenguaje matemático. Resuelve la ecuación.



Á L

G E B R A

ACADEMIAS

Ecuaciones cuadráticas

1. Sea la forma general:ax2 + bx + c = 0 ∧ a ≠ 0.

Suma de raíces: –ba

Producto de raíces: ca

Suma de las inversas: –bc

Raíces simétricas: b = 0

Raíces recíprocas: a = c

Raíz nula: c = 0

Reconstrucción de ecuación de 2do. grado donde x1∧ x2 son raíces.

x2 – (x1

+ x2

)x + x1

x2

= 0.

También:x2 – Sx + P = 0

Donde: S = suma de raíces

P = producto de raíces

2. Naturaleza de las raíces:

La naturaleza de las raíces de una ecuación cuadrática depende del valor de su

discriminante, así:

Sí ∆ > 0: Las raíces son reales y diferentes.

Sí ∆ = 0: Las raíces son reales e iguales. (Solución única)

Sí ∆ < 0: Las raíces son complejas y conjugadas. Donde ∆ = b2 – 4ac es el discriminante.



ÁL

GEBRA

ACADEMIAS

Planteamientos II

Problema Yo tengo el doble de la edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tú tienes, perocuando tengas la edad que yo tengo, la suma de nuestras edades será de 63 años. Calculala suma de las edades actuales.

Solución: "Yo tengo el doble de la edad que tú tenías"

"Cuando yo tenía la edad que tú tienes

Aplicando el criterio de las sumas en aspa:

2y = 3x ⇒ xy

= 23

⇒ x = 2k y = 3k

Reemplazamos en el cuadro:

"Cuando tengas la edad que tengo la suma de nuestras edades será 63 años"

suma = 63 Del cuadro:

5k + 4k = 63 ⇒ k = 7

Luego las edades actuales son: Yo: 4(7) = 28 años Tú: 3(7) = 21 años Rpta: la suma de las edades actuales es: 28 + 21 = 49 años



Á L

G E B R A

ACADEMIAS

Función lineal, cuadrática y aplicaciones

Función linealEs la función determinada por la siguiente regla de correspondencia y cuya gráfica esuna línea recta.

y = f(x) = mx + b

Dominio: Rango: m: pendiente de la recta (tangente del ángulo de inclinación)b: intercepto con el eje Y (ordenada en el origen)

Si m > 0, la recta sube hacia la derecha (creciente)

Si m < 0, la recta baja hacia la derecha (decreciente)

Para hallar el intercepto con el eje X debemos hacer: f(x) = 0

Función constante Si: m = 0 → f(x) = b

Su gráfica es una recta paralela al eje X que pasa por el punto (0; b)



ÁL

GEBRA

ACADEMIAS

Función de identidad Si: m = 1, b = 0 → f(x) = x. Su gráfica es una recta que biseca, al I y III cuadrante

Función cuadráticaEs la función determinada por la siguiente regla de correspondencia y cuya gráfica es una parábola.

f(x) = ax2 + bx + c; a ≠ 0

Dominio: El vértice de la parábola es el punto: V = (h, k). Donde:

h = – b2a

k = 4ac – b2

4a k = f(h)

Si a > 0, la parábola se abre hacia arriba.

Dom: R Ran = [k, +∞[

Mínimo valor de la función: k

Si a < 0, la parábola se abre hacia abajo.

Dom: R Ran = ] –∞, k] Máximo valor de la función: k



G E O M E T R

Í A Y M E D I D A S

ACADEMIAS

Triángulos – Líneas notables

Propiedades

Propiedades adicionales



GEOMETR

ÍAYMEDIDAS

ACADEMIAS

Propiedades asociadas a las líneas

notables

1. Ángulo formado por una bisectrizinterior y otra exterior.

x = β

2

2. Ángulo formado por las bisectricesinteriores.

x = 90 + β

2

3. Ángulo formado por las bisectrices

exteriores.

x = 90 – β

2

4. Ángulo formado por una bisectriz y una altura que parten en unmismo vértice.

α – β2x =

Triángulos notables Triángulos rectángulos notables



G E O M E T R


ACADEMIAS

Triángulos rectángulos notables

Triángulos rectángulos aproximados

Razones trigonométricas de ángulos agudos

CO aSenH c

α = =

CA bCot

CO aα = =

C.A b

CosH c

α = =

CO aTan

CA bα = =

H cSec

CA bα = =

H cCscCO a

α = =

De aqui se deduce: SenTanCos

ααα

= ; CosCotSen

ααα

=

Propiedad

Razones trigonométricas recípocras Senα.Cscα = 1 Cosα.Secα = 1 Tanα.Cotα = 1

Razones trigonométricas complementarias Senα = Cosβ → a + b = 90° Tanα = Cotβ → a + b = 90° Secα = Cscβ → a + b = 90°

No olvides que:α < 90° y β < 90°



GEOMETR

ÍAYMEDIDAS

ACADEMIAS

Cuadriláteros I

Cuadriláteros IITrapecio escaleno

Trapecio rectángulo

Trapecio isósceles

Propiedades: Trapecios

a bM2

+=

180180

α β °θ γ °

+ =

+ =

Trapezoide

α + β + θ + γ = °360



G E O M E T R


ACADEMIAS

Circunferencia I

Circunferencia II

Ángulos en la circunferencia



GEOMETR

ÍAYMEDIDAS

ACADEMIAS

Ángulos en la circunferencia

Se cumple: L = θr θ: Radianes 0 < θ < 2π

Polígonos

Relaciones métricas

Convexos

Equiángulos

#D = n(n – 3)2

Se = 360°

#DM = n(n – 1)2

si = 180°(n – 2)

e = 360°n

i = 180°(n – 2)n

c = 360°n

Regulares

No convexos Equiláteros

a y b : Catetosc : Hipotenusah : Alturam, n : Proyecciones de los catetos

1. c2 = a2 + b2 4. a2 = mc, b2 = nc2. h2 = m.n

5. 1a2

+ 1b2

= 1h23. ch = ab



G E O M E T R


ACADEMIAS

Áreas triangulares

Relación de áreas triangulares

Para triángulos semejantes:

2 2

2 2

A a bB x y

= =



GEOMETR

ÍAYMEDIDAS

ACADEMIAS

Áreas cuadrangulares

Relación de áreas cuadrangulares

Para todo cuadrilátero:

TOT AX2

=

A C B D× ×=

Para trapecios:

2 A BC=

T Ax2

=



G E O M E T R


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Para paralelogramos:

x y z= +

TOT Ax2

=

Observación:

Áreas circulares

2 A R π

= 2

SC(PQ) R A A POQ360π θ ∆°= –



GEOMETR

ÍAYMEDIDAS

ACADEMIAS

Áreas circulares

2R A

360π θ

=

2 2 2 A (R r ) ó A (PQ)

4

ππ= – =

Relación de áreas circulares:

Propiedades

A.

A B=

B.

C.


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Impreso en los talleres gráficos de:

EDICIONES E IMPRESIONES PAZ S.A.C

Lima – Perú

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