Formulario di Matematica

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Formulario di Matematicav.6.0b

Daniele Angella1Leonardo Ferro2

28 marzo 2005

[email protected]@gmail.com

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2

0.1 PrefazioneEstragone. Troviamo sempre qualcosa, vero, Didi, per darci l'im-pressione di esistere?Vladimiro (spazientito). Ma sì, ma sì, siamo dei maghi. Non cilasciamo mai distogliere dalle nostre risoluzioni. [. . .]

S. Beckett, Aspettando Godot

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Suggerimenti, commenti e correzioni sono ben accette.

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Parte I

Formulario

3

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Capitolo 1

Logica e Insiemistica

1.1 Logica1.1.1 DenizioniDenizione 1 (Proposizione, Enunciato) Si dice proposizione (o enuncia-to) un'espressione del linguaggio naturale per cui sia possibile attribuire un valo-re di verità (vero=T=1=>; falso=F=0=⊥). Una proposizone si dice complessase é composta da proposizioni semplici collegate tra loro da connettivi logici.

Denizione 2 (Predicato) Si dice predicato una frase contenente variabiliche diventi una proposizione qualora si specichi il valore delle variabili stesse.

1.1.2 Connettivi Logici• non ¬ (oppure: ¬p ≡ p); unario; complementare; ¬p ha valore vero sse p

ha valore falso;

• e ∧; binario; intersezione; p ∧ q ha valore vero sse p e q hanno entrambivalore vero;

• o ∨; binario; unione; p∨ q ha valore vero se almeno uno tra p e q ha valorevero;

• se ... allora, implica, condizione suciente anchè q..., condi-zione necessaria anchè p... =⇒; binario; p =⇒ q ha valore vero se pha valore falso o se sia p che q hanno valore vero;

• se e solo se (sse, i), coimplica, condizione necessaria e sucien-te (cnes) ⇐⇒; binario; p ⇐⇒ q ha valore vero se p ha lo stesso valore diverità di q.

5

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6 CAPITOLO 1. LOGICA E INSIEMISTICA

1.1.3 Tabelle di Verità

p q ¬p p ∧ q p ∨ q p =⇒ q p ⇐⇒ q

1 1 0 1 1 1 11 0 0 0 1 0 00 1 1 0 1 1 00 0 1 0 0 1 1

Tabella 1.1: Tavole di Verità

1.1.4 Leggi logiche notevoli* Tabella 1.2 a pag.7

1.2 InsiemisticaDenizione 3 (Insieme) A = x1, x2, . . . , xn = x|P(x).

Denizione 4 (Intersezione) A ∩B = x|x ∈ A ∧ x ∈ B

Denizione 5 (Unione) A ∪B = x|x ∈ A ∨ x ∈ B

Denizione 6 (Dierenza) A \B = x|x ∈ A ∧ ¬(x ∈ B)

Denizione 7 (Dierenza simmetrica) A∆B = A \B ∪B \A

Denizione 8 (Complementare) Detto U l'insieme universo, Ac =cA = A = x|x ∈ U \A = x|¬(x ∈ A)

Denizione 9 (Insieme (potenza) delle parti) P(A) = 2A = E|E ⊆A|P(A)| = 2|A|

Denizione 10 (Coppie ordinate) (x, y) = 〈x, y〉 = x, x, y

Denizione 11 (Prodotto cartesiano) A×B = (x, y)|x ∈ A∧y ∈ BA1 ×A2 × · · · ×An = (x1, x2, · · · , xn)|xi ∈ Ai∀i = 1, 2, · · · , n

Proposizione 1 (Leggi di de Morgan) (E ∪ F )c = Ec ∩ F c

(E ∩ F )c = Ec ∪ F c

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1.2. INSIEMISTICA 7

A ⇒ A legge dell'identitàA ⇔ ¬¬A legge della doppia negazioneA ∧B ⇔ B ∧A commutatività di ∧(A ∧B) ∧ C ⇔ A ∧ (B ∧ C) associatività di ∧A ∨B ⇔ B ∨A commutatività di ∨(A ∨B) ∨ C ⇔ A ∨ (B ∨ C) associatività di ∨A ∧A ⇔ A idempotenza di ∧A ∨A ⇔ A idempotenza di ∨A ∧B ⇔ A eliminazione di ∧A ⇔ A ∨B introduzione di ∨A ∧ (B ∨ C) ⇔ (A ∧B) ∨ (A ∧ C) distributivitàA ∨ (B ∧ C) ⇔ (A ∨B) ∧ (A ∨ C) distributivitàA ∧ (A ∨B) ⇔ A legge di assorbimentoA ∨ (A ∧B) ⇔ A legge di assorbimento¬(A ∧B) ⇔ ¬A ∨ ¬B legge di de Morgan¬(A ∨B) ⇔ ¬A ∧ ¬B legge di de Morgan¬A ∨A ⇔ > legge del terzo escluso¬(A ∧ ¬A) ⇔ > legge di non contraddizione(A ⇒ B) ⇔ (B ∨ ¬A) denizione di implicazione(A ⇒ B) ⇔ (¬B ⇒ ¬A) legge di contrapposizione (contronominale)A ∧ ¬A ⇒ ⊥ Lewis (ex falso quodlibet)A ⇒ (B ⇒ A) aermazione del conseguente¬A ⇒ (A ⇒ B) negazione dell'antecedente((A ⇒ B) ∧ ¬B) ⇒ ¬A legge di riduzione all'assurdo(A ⇒ ¬A) ⇒ ¬A riduzione all'assurdo debole(¬A ⇒ A) ⇒ A consequentia mirabilis((A ⇒ B) ⇒ A) ⇒ A legge di Peirce((A ⇒ B) ∨ (B ⇒ A)) ⇒ > legge di DummettA ⇒ ((A ⇒ B) ⇒ B) modus ponens(A ⇒ (B ⇒ C)) ⇔ (B ⇒ (A ⇒ C)) scambio antecedenti((A ⇒ C) ∧ (B ⇒ C)) ⇔ (A ∨B ⇒ C) distinzione di casi((A ⇒ B) ∧ (¬A ⇒ B)) ⇒ B distinzione di casi(A ⇒ (B ⇒ C)) ⇒ ((A ⇒ B) ⇒ (A ⇒ C)) distributività di ⇒((A ⇒ B) ∧ (B ⇒ C)) ⇒ (A ⇒ C) transitività di ⇒(A ⇒ (B ⇒ C)) ⇔ ((A ∧B) ⇒ C) importazione/esportazione delle premesse

Tabella 1.2: Leggi Logiche Notevoli

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8 CAPITOLO 1. LOGICA E INSIEMISTICA

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Capitolo 2

Algebra Elementare

2.1 Denizione di |RLa struttura [R, +, ·] è un anello. Si denisce una relazione d'ordine totale≤. I primi 4 assiomi deniscono [R, +] come gruppo, [R \ 0, ·] comegruppo, inoltre vale l'assioma di continuità in una delle sue 4 forme.R è quindi denito assiomaticamente da:

S1 la somma è associativa;

S2 la somma è commutativa;

S3 esiste l'elemento neutro della somma (zero, 0);

S4 ogni elemento (x) di R ha inverso (opposto, −x);

P1 il prodotto è associativo;

P2 il prodotto è commutativo;

P3 esiste l'elemento neutro del prodotto (uno, 1);

P4 ogni elemento (x) di R\0 ha elemento inverso (reciproco, 1x = 1/x =

x−1);

SP il prodotto è distributivo rispetto alla somma;

OS x ≤ y ⇒ x + z ≤ y + z∀z ∈ R;

OP x ≤ y ⇒ xz ≤ yz∀z ∈ R, z ≥ 0;

9

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10 CAPITOLO 2. ALGEBRA ELEMENTARE

Dedekind siano A e B due insiemi separati, cioè tali che ∀a ∈ A, ∀b ∈B, a ≤ b; allora ∃c ∈ R : a ≤ b ≤ c.

Denizione 12 (Retta reale estesa) Si denisce l'insieme R = R ∪±∞ detto estensione dell'insieme dei reali.

2.2 Scomposizioni Notevoli

2.2.1 Potenza di un polinomio

(a± b)n =n∑

k=0

(nk

)an−kbk

Casi particolari: (a± b)2 = a2 ± 2ab + b2;(a± b)3 = a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3;(a± b± c)2 = a2 ± 2ab + b2 ± 2bc + c2 ± 2ca.

2.2.2 Fattorizzazione

P(x) = an ·n∏

i=0

(x− xi) =n∑

i=0

ai · xi

P(x) = a(x− x1) · (x− x2) · · · · · (x− xn)∀n ∈ N : xn − yn = (x− y) · (xn−1 + xn.2y + · · ·+ xyn−2 + yn−1)∀n = 2k+1, k ∈ Z : xn +yn = (x+y) ·(xn−1−xn−2y+ · · ·−xyn−2 +yn−1)

Casi particolari: a2 − b2 = (a− b)(a + b);a3 ± b3 = (a± b)(a2 ∓ ab + b2).

2.2.3 Risoluzione di equazioni di secondo grado in unaincognita

P(x) = ax2 + bx + c: x1,2 = −b±√b2−4ac2a ;

x1,2 = −β±√

β2−ac

a con β := b2

2.3 Radicali doppi√A±√B =

√A+

√A2−B2 ±

√A−√A2−B

2

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2.4. DISEQUAZIONI IRRAZIONALI 11

2.4 Disequazioni irrazionali

√f(x) ≥ g(x)

g(x) ≥ 0f(x) ≥ g2(x) ∪

g(x) < 0f(x) ≥ 0

f(x) < g(x)

f(x) ≥ 0g(x) > 0f(x) < g2(x)

2.5 Potenze2.5.1 DenizioneDenizione 13 (Logaritmo) ∀y ≥ 0, ∀n ∈ N, si denisce la radice n-esima di y come:n√y = y1/n = supx ∈ R : xn < y = infx ∈ R : xn > y

2.5.2 Proprietàa0 = 1a1 = aam+n = am · an

am−n = am

an

(am)n = am·n

am = em·log a

a1n =n

√a

a−m = 1am

2.6 Logaritmi2.6.1 DenizioneDenizione 14 (Logaritmo) a = logb c ⇔ ba = c

2.6.2 Proprietàloga 1 = 0loga a = 1loga(m · n) = loga m + loga nloga

mn = loga m− loga n

loga mα = α · loga m con α ∈ Rloga b = logc b

logc a

loga b = 1logb a

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12 CAPITOLO 2. ALGEBRA ELEMENTARE

2.7 Modulo o Valore Assoluto

2.7.1 Denizione

Denizione 15 (Modulo, Valore Assoluto) Si denisce modulo p va-lore assoluto la funzione:f : R→ R+

0 = [0, +∞]f(x) = |x| = mod(x) = maxx,−x =

√x2.

2.7.2 Proprietà degli Spazi MetriciM1 ∀a ∈ R, |a| ≥ 0

M2 |a| = 0 ⇔ a = 0

M3, omogeneità ∀λ ∈ R,∀a ∈ R, |λ · a| = |λ| · |a|

M4, disuguaglianza triangolare ∀a, b ∈ R, |a + b| ≤ |a|+ |b|

La M4 in generale assume la forma:

|n∑

i=1

ai| ≤n∑

i=1

|ai|

Può essere scritta anche: ||a| − |b|| ≤ |a− b|.

2.8 Altre funzioni

2.8.1 Fattoriale, Semifattoriale

Denizione 16 (Fattoriale)

∀n ∈ N, n! = fatt(n) =n∏

i=1

i =

= 1 · 2 · · · · · (n− 1) · n

É denito ricorsivamente da:

0! = 1n! = n · (n− 1)!

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2.8. ALTRE FUNZIONI 13

Denizione 17 (Semifattoriale) ∀k ∈ N, (2k + 1)!! =∏k

i=0(2i + 1);

(2k)!! =

1 se k = 0∏ki=1 se k > 0

Si denisce inoltre (−1)!! = 1.

2.8.2 Segno

Denizione 18 (Segno) ∀x ∈ R \ 0, signum(x) = sign(x) = sgn(x) =x|x| = |x|

x =

1 se x > 0−1 se x < 0

2.8.3 Parte intera, parte decimale

Denizione 19 (Parte Intera) [x]def= maxk ∈ Z : k ≤ x

Denizione 20 (Parte Decimale) x def= x− [x]

2.8.4 Parte positiva, Parte negativa

Denizione 21 (Parte positiva, f+) f+ = maxf, 0

Denizione 22 (Parte negativa, f−) f− = minf, 0

Osservazione 1 |f | = f+ − f−

f = f+ + f−

maxf, g = (f − g)+ + gminf, g = (f − g)− + g

Osservazione 2 ∀a, b ∈ R : a < b,b+ − a+ ≤ b− a;b− − a− ≤ b− a

2.8.5 Funzione di Dirichlet

Denizione 23 (Funzione di Dirichlet)

f(x) =

1 se x ∈ Q0 se x ∈ R \Q

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14 CAPITOLO 2. ALGEBRA ELEMENTARE

2.8.6 Funzioni iperbolicheDenizione 24 (Seno iperbolico) sinh : R→ Rsinhx = shx = ex−e−x

2

Denizione 25 (Coseno iperbolico) cosh : R→ [1,+∞)cosh x = chx = ex+e−x

2

Osservazione 3 sinh2 x− cosh2 x = 1.

Denizione 26 (Tangente iperbolica) tanh : R→ Rtanh x = thx = sinh x

cosh x

Denizione 27 (Cotangente iperbolica) coth : R \ 0 → Rcoth x = cthx = cosh x

sinh x

Denizione 28 (Arcoseno iperbolico, Settore Seno iperbolico) ash :R→ Rsett sinhy = ashy = log(y +

√y2 + 1)

Denizione 29 (Arcocoseno iperbolico, Settore Coseno iperbolico)ach : R→ Rsett coshy = achy = log(y +

√y2 − 1)

Denizione 30 (Arcotangente iperbolica, Settore Tangente iperbolica)ath : R→ Rsett tanhx = athy = 1

2 · log 1+x1−x

2.8.7 Funzione Esponenziale, ex = exp(x)

Teorema 1 (Esistenza ed Unicità della funzione esponenziale) ∃!la funzione f : R→ R che verichi le proprietà:

1. ∀x1, x2 ∈ R, f(x1 + x2) = f(x1) · f(x2);

2. f(1) = e (dove e è il numero di Nepero);

ed è la funzione esponenziale denita ∀x ∈ R da f(x) = ex = exp(x).

Denizione 31 Si denisce f(x) = ax = ex log a.

2.9 Serie2.9.1 Serie Aritmetiche

an = a1 + (n− 1)d

Sn =n∑

i=1

ai =n(a1 + an)

2=

n(2a1 + (n− 1)d)2

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2.9. SERIE 15

2.9.2 Serie Geometrichean = a1 · qn−1

Sn =n∑

i=1

ai = a1 · 1− qn

1− qcon q 6= 1

Se q = 1 si ha Sn =n∑

i=1

ai = n · a1

Sk,n =n∑

i=k

ai = qk · 1− qn−k+1

1− qcon q 6= 1

2.9.3 Disuguaglianze Notevoli ∀x ∈ [−π

2 , π2 ], | sin x| ≤ |x|

∀n ∈ N,∀a ≥ −1, (1+a)n ≥ 1+a·n (disuguaglianza di Bernoulli)

∀x ∈ R, ex ≥ x + 1

∀x > −1, log(x + 1) ≤ x

∀a, b > 0, p, q > 1 : 1p + 1

q = 1, a · b ≤ 1p · ap + 1

q · bq (disuguaglianzadi Young)

2.9.4 Sommatorie Classichen∑

i=1

i =n(n + 1)

2n∑

i=1

i2 =n(n + 1)(2n + 1)

6n∑

i=1

i3 = (n(n + 1)

2)2

n∑

i=0

(ni

)= (1 + 1)n = 2n

n∑

i=0

(−1)i

(ni

)= 0

Page 16: Formulario di Matematica

16 CAPITOLO 2. ALGEBRA ELEMENTARE

Page 17: Formulario di Matematica

Capitolo 3

Geometria

3.1 Goniometria

3.1.1 Relazione Fondamentalesin2 x + cos2 x = 1

3.1.2 Tangente e Cotangente: DenizioniDenizione 32 (Tangente) tanx = sin x

cos x∀x 6= π2 + kπ

Denizione 33 (Cotangente 1) cot x = cos xsin x∀x 6= kπ

Denizione 34 (Cotangente 2) cot x = 1tan x∀x 6= k π

2

3.1.3 Secante e Cosecante: DenizioniDenizione 35 (Secante) sec α = 1

cos α

sec : R \ pi2 + kπ, k ∈ Z → R

Denizione 36 (Cosecante) csc α = 1sin α

csc : R \ kπ, k ∈ Z → R

3.1.4 Formule di Addizionesin(α± β) = sin α cosβ ± cosα sin βcos(α± β) = cosα cos β ∓ sin α sin βtan(α± β) = tan α±tan β

1∓tan α tan β

cot(α± β) = cot α cot β∓1cot α±cot β

17

Page 18: Formulario di Matematica

18 CAPITOLO 3. GEOMETRIA

3.1.5 Formule di Duplicazione e di Triplicazione

sin(2α) = 2 sin α cos αcos(2α) = cos2 α− sin2 α = 1− 2 sin2 α = 2 cos2 α− 1tan(2α) = 2 tan α

1−tan2 α

sin(3α) = 3 sin α− 4 sin3 αcos(3α) = 4 cos3 α− 3 cos α

tan(3α) = 3 tan α−tan3 α1−3 tan2 α

3.1.6 Formule di Bisezione

sin(α2 ) = ±

√1−cos α

2

cos(α2 ) = ±

√1+cos α

2

tan(α2 ) = ±

√1−cos α1+cos α = sin α

1+cos α = 1−cos αsin α

3.1.7 Formule Parametriche

tdef= tan α

2 −→

sin α = 2t1+t2

cos α = 1−t2

1+t2

tan α = 2t1−t2

3.1.8 Formule di Prostaferesi

sin p + sin q = 2 sin p+q2 cos p−q

2

sin p− sin q = 2 cos p+q2 sin p−q

2

cos p + cos q = 2 cos p+q2 cos p−q

2

cos p− cos q = −2 sin p+q2 sin p−q

2

3.1.9 Formule di Werner

cos p · sin q = 12 [sin(p + q)− sin(q − p)]

sin p · sin q = 12 [sin(p− q)− cos(p + q)]

cos p · cos q = 12 [cos(p + q) + cos(p− q)]

3.1.10 Formule di Conversione

* Tabella 3.1 a pag.19

3.1.11 Archi Noti

* Tabella 3.2 a pag.19

Page 19: Formulario di Matematica

3.1. GONIOMETRIA 19

Sin Cos Tan

sinα sin α ±√1− cos2 α ± tan α√1+tan2 α

cos α ±√1− sin2α cos α ± 1√1+tan2 α

tanα ± sin α√1−sin2 α

±√

1−cos2 αcos α tanα

cot α ±√

1−sin2 α

sin α ± cos α√1−cos2 α

1tan α

sec α ± 1√1−sin2 α

1cos α ±

√1 + tan2 α

csc α 1sin α ± 1√

1−cos2 α±√

1+tan2 αtan α

Tabella 3.1: Formule di Conversione

Rad Deg Sin Cos Tan Cot0 0 0 1 0 n.e.π12 15

√6−√24

√6+√

24 2−√3 2 +

√3

π8 2230′

√2−√22

√2+√

22

√2− 1

√2 + 1

π6 30 1

2

√3

2

√3

3

√3

π4 45

√2

2

√2

2 1 1π3 60

√3

212

√3

√3

3

38π 6730′

√2+√

22

√2−√22

√2 + 1

√2− 1

512π 75

√6+√

24

√6−√24 2 +

√3 2−√3

π2 90 1 0 n.e. 0

Tabella 3.2: Archi noti

Rad Sin Cos Tan Cotx sin x cos x tan x cot x

π − x sin x − cosx − tan x − cot xπ + x − sin x − cosx tan x cot x−x − sin x cos x − tan x − cot x

2π − x − sin x cos x − tan x − cot xπ2 − x cosx sin x cot x tanxπ2 + x cosx − sin x − cot x − tan x

32π − x − cos x − sin x cot x tanx32π + x − cos x sin x − cot x − tan x

Tabella 3.3: Archi associati

Page 20: Formulario di Matematica

20 CAPITOLO 3. GEOMETRIA

3.1.12 Archi Associati

* Tabella 3.3 a pag.19

3.2 Trigonometria

3.2.1 Triangolo Qualsiasi

Area: S = 12ab sin γ = 1

2bc sin α = 12ac sin β

S = 12a2 sin β sin γ

sin(β+γ) = 12b2 sin α sin γ

sin(α+γ) = 12c2 sin α sin β

sin(α+β)

Teorema 2 (Formula di Erone) S =√

p(p− a)(p− b)(p− c)

Teorema 3 (Formula di Brahmagupta o di Erone) Dato un quadri-latero ciclico (cioè inscrivibile in una circonferenza) di lati a, b, c, d e se-miperimetro p = a+b+c+d

2 , l'area vale S =√

(p− a)(p− b)(p− c)(p− d);per d = 0, in particolare, si ottiene la formula di Erone per il triangolo.

Teorema 4 (delle Corde) : AB = 2r sin α

Teorema 5 (dei Seni) : asin α = a

sin α = asin α = 2R = abc

4S

Proiezioni: a = b cos γ + c cosβ;b = a cos γ + c cosα;c = a cos β + b cosα.

Teorema 6 (di Carnot o del Coseno) :a2 = b2 + c2 − 2bc cosα;b2 = a2 + c2 − 2ac cosβ;c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ.

3.2.2 Triangolo Rettangolo

Se a,b e c sono le misure rispettivamente dell'ipotenusa e dei cateti di untriangolo rettangolo e α , β e γ sono le misure degli angoli opposti, sussi-stono le seguenti relazioni:

b = a sin β = a cos γc = a sin γ = a cos βb = c tanβ = c cot γc = b tan γ = b cot β

Page 21: Formulario di Matematica

3.3. GEOMETRIA ANALITICA 21

3.3 Geometria Analitica

3.3.1 Punto e Rettar: y = mx + n (forma implicita)

y = ax + by + c (forma esplicita); m = − ba , n = − c

a

P1(x1, y1)P2(x2, y2)P3(x3, y3)

rP1 : (y − y1) = m(x− x1)s ‖ rP1 :y1 = mconstx1 + nrP1P2 : y−y1

y2−y1= x−x1

x2−x1

mr = y2−y1x2−x1

r ‖ s ↔ mr = ms

r ⊥ s ↔ mr = − 1ms

¯P1P2 = dist(P1, P2) =√

(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2

dist(P1, r) = |ax1+by1+c|√a2+b2

Punto medio di P1P2 = (x1+x22 ; y1+y2

2 )Baricentro del triangolo P1P2P3 = (x1+x2+x3

3 ; y1+y2+y33 )

3.3.2 Coniche 1: Circonferenzaγ : x2 + y2 + ax + by + c = 0

C(x0, y0) r2 = x20 + y2

0 − c ≥ 0P (x′, y′) ∈ γ ↔ (PC) = rγ : (x− x0)2 + (y − y0)2 = r2

a = −2x0

b = −2y0

c = x20 + y2

0 − r2−→

x0 = −a2

y0 = − b2

r =√

a2

4 + b2

4 − c

3.3.3 Coniche 2.1: Parabola con asse parallelo all'assey

P : y = ax2 + bx + c

F (x0, y0); d : y = kP (x′, y′) ∈ P ↔ dist(P, F ) = dist(P, d)⟨

y0 > k → a > 0 → ^y0 < k → a < 0 → _

a = 12y0−2k

b = x0k−y0

c = x20+y2

0−k2

2y0−2k

−→

x0 = − b2a

y0 = 1−∆4a

k = −1−∆4a

Page 22: Formulario di Matematica

22 CAPITOLO 3. GEOMETRIA

F (− b2a , 1−∆

4a )d : y = −1−∆

4a )F (− b

2a ,− ∆4a )

a : x = − b2a

∆ = b2 − 4ac

3.3.4 Coniche 2.2: Parabola con asse parallelo all'assex

P : x = ay2 + by + c

F (x0, y0); d : y = kP (x′, y′) ∈ P ↔ dist(P, F ) = dist(P, d)⟨

x0 > k → a > 0 → ⊂x0 < k → a < 0 → ⊃

a = 12x0−2k

b = y0k−x0

c = x20+y2

0−k2

2x0−2k

−→

x0 = 1−∆4a

y0 = − b2a

k = −1−∆4a

F ( 1−∆4a ,− b

2a )d : y = −1−∆

4a )F (− ∆

4a ,− b2a )

a : y = − b2a

∆ = b2 − 4ac

3.3.5 Coniche 3: Ellisse

E :x2

a2+

y2

b2= 1

c2 =

a2 − b2 se a > b → e = ca < 1 → F1(−c, 0), f2(c, 0)

b2 − a2 se b > a → e = cb < 1 → F1(0,−c), f2(0, c)

E ∩ x ≡ A(−a, 0) B(a, 0)E ∩ y ≡ C(0,−b) D(0, b)P (x′, y′) ∈ E ↔ PF1 + PF2 = 2a

3.3.6 Coniche 4.1.1: Iperbole riferita ai suoi assi disimmetria con fuochi sull'asse x

I :x2

a2− y2

b2= 1

c2 = a2 + b2, c ≥ 0I ∩ x ≡ V1(−a, 0) V2(a, 0)F1(−c, 0) F2(c, 0); F1, F2 ∈ xP (x′, y′) ∈ I ↔ |PF1 − PF2| = 2aa1 : y = b

ax

a2 : y = − bax

e = ca > 1

Page 23: Formulario di Matematica

3.3. GEOMETRIA ANALITICA 23

3.3.7 Coniche 4.1.2: Iperbole riferita ai suoi assi disimmetria con fuochi sull'asse y

I :x2

a2− y2

b2= −1

c2 = a2 + b2, c ≥ 0I ∩ x ≡ V1(0,−b) V2(0, b)F1(0,−c) F2(0, c); F1, F2 ∈ yP (x′, y′) ∈ I ↔ |PF1 − PF2| = 2aa1 : y = b

ax

a2 : y = − bax

e = cb > 1

3.3.8 Coniche 4.2.1: Iperbole equilatera riferita ai suoiassi di simmetria con fuochi sull'asse x

I : x2 − y2 = a2

c = a√

2 a = bI ∩ x ≡ V1(−a, 0) V2(a, 0)F1(−a

√2, 0) F2(a

√2, 0); F1, F2 ∈ x

P (x′, y′) ∈ I ↔ |PF1 − PF2| = 2aa1 : y = xa2 : y = −xe =

√2

3.3.9 Coniche 4.2.2: Ip. eq. rif. assi simm. con fuochisull'asse y

I : x2 − y2 = −a2

c = a√

2 a = bI ∩ y ≡ V1(0,−a) V2(0, a)F1(0,−a

√2) F2(0, a

√2); F1, F2 ∈ y

P (x′, y′) ∈ I ↔ |PF1 − PF2| = 2aa1 : y = xa2 : y = −xe =

√2

3.3.10 Coniche 4.3: Iperbole equilatera riferita ai suoiasintoti

I : xy = k

k > 0 → I ∩ bI,III : y = x ≡ V1(

√k,√

k) V2(−√

k,−√

k)k > 0 → I ∩ bII,IV : y = −x ≡ V1(

√|k|,−

√|k|) V2(−

√|k|,

√|k|)

Page 24: Formulario di Matematica

24 CAPITOLO 3. GEOMETRIA

leftrightarrow|PF1 − PF2| = 2aa1 : x = 0a2 : y = 0e =

√2

3.3.11 Coniche 4.4: Iperbole equilatera traslata o Fun-zione omograca

I : y =ax + b

cx + d

∃I ↔

c 6= 0ad− bc 6= 0

a1 : x = −dc

a2 : y = ac

e =√

2

3.3.12 Coniche 5: Conica genericaC : a11x

2 + a22y2 + a12xy + a13x + a23y + a33 = 0

A =

a1112a21

12a13

12a12 a22

12a23

12a13

12a23 a33

A =(

a1112a21

12a12 a22

)

⟨ |A| = 0 −→ Conica Degenere|A| 6= 0 −→ Conica Non Degenere

|A| > 0 |A| = 0 |A| < 0|A| = 0 retta immaginaria rette reali o immaginarie parallele retta reale|A| 6= 0 ellisse parabola iperbole

Tabella 3.4: Conica Generica

3.4 Trasformazioni: Anità1

T :R× R→ R× R1prof.ssa Letizia Lorenzini

Page 25: Formulario di Matematica

3.4. TRASFORMAZIONI: AFFINITÀ 25

(x, y) → (x′, y′)

x = ax + by + py = cx + dy + q

A =(

a bc d

)

|A| 6= 0

T −1 :R× R→ R× R(x′, y′) → (x, y)

S′S = |A|

x = d|A|x

′ + −b|A|y

′ + −d|A|p + b

|A|qy = −c

|A|x′ + a

|A|y′ + c

|A|p + −a|A|q

A−1 =

(d|A|

−b|A|

−c|A|

a|A|

)

Denizione 37 (Punto Unito) Punti uniti sono i punti che coincidonocon i trasformati.

Denizione 38 (Retta Unita) Rette unite sono le rette che coincidonocon le trasformate.

3.4.1 Prodotto di AnitàIl prodotto di due anità T e T ′ è una anità (indicata con T ∗ T ′,dove si applica per prima T ′ e successivamente T ) la cui matrice è pari alprodotto delle matrici delle anità di partenza.

3.4.2 Casi Particolari di AnitàL'eetto geometrico di un'anità coincide con la composizione di

inclinazioni; simmetrie; dilatazioni/compressioni; traslazioni.

Isometria

Denizione 39 (Isometria) L' isometria è un'anità che conserva ledistanze.

Page 26: Formulario di Matematica

26 CAPITOLO 3. GEOMETRIA

Traslazione

x′ = x + py′ = y + q

A =(

1 00 1

)

|A| = 1

Rotazione

x′ = x cos θ − y sin θy′ = x sin θ + y cos θ

x = x′ cos θ + y′ sin θy = −x′ sin θ + y′ cos θ

A =(

cos θ − sin θsin θ cos θ

)

|A| = cos2 θ + sin2 θ = 1

A−1 =(

cos θ sin θ− sin θ cos θ

)

|A−1| = cos2 θ + sin2 θ = 1

x′ = ax− byy′ = bx + ay

→ a2 + b2 = 1

Rototraslazione

ρ : x′ = x cos θ − y sin θy′ = x sin θ + y cos θ

τ : x′ = x + py′ = y + q

τ ∗ ρ : x′ = x cos θ − y sin θ + p

y′ = x sin θ + y cos θ + q

Simmetria Centrale

x′ = 2x0 − xy′ = 2y0 − y

con (x0, y0) centro di simmetria.

Page 27: Formulario di Matematica

3.4. TRASFORMAZIONI: AFFINITÀ 27

Simmetria Assiale

Simmetria Assiale con asse parallelo all'asse x

Asse: y = y0 →

x′ = xy′ = 2y0 − y

|A| =∣∣∣∣

1 00 −1

∣∣∣∣ = −1

Simmetria Assiale con asse parallelo all'asse y

Asse: x = x0 →

x′ = 2x0 − xy′ = y

|A| =∣∣∣∣−1 00 1

∣∣∣∣ = −1

Simmetria Assiale con asse qualsiasi

Asse: y = mx + q →

x′ = 11+m2 [(1−m2)x + 2my − 2mq]

y′ = 11+m2 [2mx + (m2 − 1)x + 2q]

|A| =∣∣∣∣∣

1−m2

1+m22m

1+m2

2m1+m2

m2−11+m2

∣∣∣∣∣ = −1

Omotetia

x′ = ax + hy′ = ay + k

|A| =∣∣∣∣

a 00 a

∣∣∣∣ = a2 > 0

Similitudine

Isometria * Omotetia = Similitudine

Similitudine Diretta

x′ = ax− by + py′ = bx + ay + q

|A| =∣∣∣∣

a −bb a

∣∣∣∣ = a2 + b2 > 0

Similitudine Inversa

x'=ax+by+py'=bx-ay+q |A| =

∣∣∣∣a bb −a

∣∣∣∣ = a2 − b2 < 0

Page 28: Formulario di Matematica

28 CAPITOLO 3. GEOMETRIA

Dilatazione e Compressione

|k| > 1 → dilatazione|k| < 1 → compressione

Dilatazione/Compressione lungo l'asse x

x′ = kxy′ = y

Dilatazione/Compressione lungo l'asse y

x′ = xy′ = ky

Inclinazione

Inclinazione lungo l'asse x

x′ = x + kyy′ = y

Inclinazione lungo l'asse y

x′ = xy′ = y + kx

3.4.3 Proprietà Invarianti delle Anità Un'anità trasforma rette in rette; se due rette si intersecano in un punto P allora le rette trasformate

si intersecano in T (P ); un'anità trasfrorma triangoli in triangoli; un'anità trasforma rette parallele in rette parallele; i punti del segmento PQ vengono trasformati in punti del segmentoT (P )T (Q);

il punto medio del segmento PQ viene trasformato nel punto mediodel segmento T (P )T (Q);

un triangolo di area S viene trasformato in un triangolo di area S ·|det(A)|;

un'anità trasforma coniche in coniche: ellissi in ellissi, parabole inparabole, iperboli in iperboli, circonferenze in ellissi;

la retta tangente ad una conica si trasforma in un'altra retta tangentealla conica trasformata.

Page 29: Formulario di Matematica

Capitolo 4

Analisi

4.1 Elementi di Topologia: IntervalliDenizione 40 (Maggiorante ‖Minorante‖) M‖m‖ si dice maggiorante ‖minorante‖dell'insieme A se ∀a ∈ A, M ≥ a‖m ≤ a‖; si denisce quindi l'insieme MA =M ∈ R : ∀a ∈ A,M ≥ a‖mA = m ∈ R : ∀a ∈ A,m ≤ a‖

Denizione 41 (Estremo superiore (sup) ‖ Inferiore (inf)‖) Si denisceestremo superiore (sup))‖ inferiore (inf) ‖ di A il più piccolo ‖grande‖ dei mag-gioranti ‖minoranti‖, ovvero valgono: ∀a ∈ A, supA ≥ a∀ε > 0, ∃a ∈ A : supA− ε ≤ a ≤ supA

e, analogamente: ∀a ∈ A, infA ≤ a∀ε > 0, ∃a ∈ A : infA ≤ a ≤ infA + ε

Per denizione, se A è illimitato superiormente ‖inferioremente‖ allora si ponesupA = +∞‖infA = −∞‖

Denizione 42 (Insieme limitato/illimitato) L'insieme A si dice limitatosuperiormente ‖inferiormente‖ se esiste l'estremo superiore ‖inferiore‖; si dicelimitato se è limitato sia superiormente che inferiormente; si dice illimitatosuperiormente ‖inferiore‖ se non è limitato superiormente ‖inferiore‖, ossia se∀x ∈ R,∃a ∈ A : a ≥ x‖∀x ∈ R,∃a ∈ A : a ≤ x‖; si dice illimitato se è illimitatosia superiormente che inferiormente.

Osservazione 4 Sia A ⊂ R. Allora A è limitato sse ∃M ≥ 0 : ∀x ∈ A|x| ≤ M .

Denizione 43 (Massimo (max) ‖minimo (min)‖) Si denisce massimo(max) ‖minimo (min)‖ l'estremo superiore ‖inferiore‖ qualora appartenga al-l'insieme A. Valgono quindi: ∀a ∈ A,maxA ≥ a

maxA ∈ Ae, analogamente: ∀a ∈ A,minA ≤ a

minA ∈ A

29

Page 30: Formulario di Matematica

30 CAPITOLO 4. ANALISI

Denizione 44 (Intervallo) A ⊂ R si dice intervallo se, dati x, y : x < y,allora ∀z : x < z < y, z ∈ A.

Teorema 7 (Intervalli) Se A è un intervallo, è necessariamente di uno deiseguenti quattro tipi:

aperto (a, b) =]a, b[= x ∈ R : a < x < b, con a, b ∈ R;

aperto a sx, chiuso a dx (a, b] =]a, b] = x ∈ R : a < x ≤ b, con a ∈R, b ∈ R;

chiuso a sx, aperto a dx [a, b) = [a, b[= x ∈ R : a ≤ x < b, con a ∈R, b ∈ R;

chiuso, compatto [a, b] = x ∈ R : a ≤ x ≤ b, con a, b ∈ R.

Notazione 1 (-A, λ ·A,A + B) Dato A insieme, si denisce −A = −y ∈ R :y ∈ A.Dato A insieme, λ ∈ R, si denisce λ ·A = λ · x : x ∈ A.Dati A e B insiemi, si denisce A + B = x ∈ R : x = a + b, a ∈ A, b ∈ B.

Osservazione 5 (Operazioni su inf e sup) sup(A+B) = supA+supB, inf(A+B) = infA + infBsup(−A) = −infA, inf(−A) = −supAλ ≥ 0 : sup(λ ·A) = λ · supA, inf(λ ·A) = λ · infAλ ≤ 0 : sup(λ ·A) = −λ · infA, inf(λ ·A) = −λ · supA

Teorema 8 (Principio di Archimede) ∀a > 0, ∀b ∈ N non vuoto,∃n ∈ N :na > b;terza forma del Principio d'Induzione.

Teorema 9 (Principio del minimo intero) Sia A ⊆ R; allora A ammetteminimo.

Teorema 10 (Densità di Q) Q è denso in R, ovvero:∀a, b ∈ R, a < b, (a, b)Q 6= ∅, dove con (a, b)Q si indica l'insieme x ∈ Q : a <x < b.

Denizione 45 (Intorno, Palla) Sia x0 ∈ A; ssato δ > 0 si dice intorno dix0 l'intervallo (x0 − δ, x0 + δ), la cui ampiezza vale 2 · δ.

Denizione 46 (Punto interno) Sia A ⊂ R e x0 ∈ A; x0 si dice puntointerno di A se ∃δ > 0 : (x0 − δ, x0 + δ) ⊂ A, ovvero se (x0 − δ, x0 + δ)∩A 6= ∅.

Notazione 2 (, intA) Si pone = intA ⊂ A l'insieme dei punti interni di A.

Page 31: Formulario di Matematica

4.2. RELAZIONI E FUNZIONI 31

Denizione 47 (Punto di frontiera) Sia A ⊂ R e x0 ∈ R; x0 si dice puntodi frontiera di A se ∀δ > 0, (x0 − δ, x0 + δ) ∩A 6= ∅ ∧ (x0 − δ, x0 + δ) ∩Ac 6= ∅.

Denizione 48 (Punto di accumulazione) Sia A ⊂ R e x0 ∈ R; x0 si dicepunto di accumulazione di A se ∀δ > 0, (x0− δ, x0 + δ)∩A \ x 6= ∅, ovvero se∀r > 0, ∃y ∈ A : y 6= x : y ∈ (x− r, x + r).

Notazione 3 (σA, frontiera di A) Si pone σA l'insieme dei punti di frontie-ra di A, e si dice frontiera di A.

Denizione 49 (Punto isolato) Sia A ⊂ R e x0 ∈ R; x0 si dice punto isolatodi A se x0 non è punto di accumulazione per A, ossia se ∃δ > 0 : (x0 − δ, x0 +δ) ∩A \ x = ∅.

Notazione 4 (A, chiusura di A) Si pone A = A ∪ σA l'insieme dei puntiinterni o di frontiera di A, e si dice chiusura di A.

Denizione 50 (Insieme aperto) L'insieme A si dice aperto se A = , ovve-ro se ogni elemento di A è interno, ovvero se ∀x0 ∈ A, A è intorno di x0, cioè∀x0 ∈ A, ∃r > 0 : (x0 − r, x0 + r) ⊂ A.

Denizione 51 (Insieme chiuso) L'insieme A si dice chiuso se Ac è aperto,ovvero se A = A.

Teorema 11 ∀A ⊆ R, l'insieme A è chiuso.

Osservazione 6 Gli unici insiemi contemporaneamente aperti e chiusi sono Re ∅.

Teorema 12 L'unione di insiemi aperti è aperto.

4.2 Relazioni e Funzioni

4.2.1 RelazioniDenizione 52 (Relazione) Dati A,B insiemi, si denisce R ⊆ A × B e sidice che R è una relazione da A (dominio) a B ( codominio o immagine di A).Se 〈x, y〉 ∈ R si dice che x è in relazione con y e si scrive xRy.Una relazione R può essere:

R1, riessiva ∀x ∈ A, xRx;

R2, simmetrica ∀x ∈ A, ∀y ∈ B, xRy ⇔ yRx;

R2*, antisimmetrica ∀x ∈ A, ∀y ∈ B, (xRy) ∧ (yRx) ⇔ x = y;

Page 32: Formulario di Matematica

32 CAPITOLO 4. ANALISI

R3, riessiva ∀x ∈ A,∀y ∈ (A ∪B),∀z ∈ B, (xRy) ∧ (yRz) ⇒ (xRz);

Una relazione R soddisfacente le R1, R2 e R3 si dice d'equivalenza.Una relazione R soddisfacente le R1, R2* e R3 si dice d'ordine. Se inoltre vale la:

R4, ordine totale ∀x ∈ A, ∀y ∈ B, (xRy) ∨ (yRx) ⇒ >

allora la relazione si dice di ordine totale. Se non è vericata la R1 si parla direlazione di ordine stretto.

Osservazione 7 (Relazione d'ordine totale ≤) Si può denire su R la re-lazione d'ordine totale ≤ denendo un insieme P (dei numeri positivi o nulli)vericante le proprietà:

1. (x ∈ P ) ∨ (−x ∈ P ) ⇒ >;

2. (x, y ∈ P ) ⇒ (x + y, x · y ∈ P );

e denendo quindi x ≥ y ⇔ x− y ∈ P .Da questa relazione si ricavano le altre relazioni d'ordine ≤ (x ≤ y ⇔ y ≥ x), >(strettamente maggiore, x > y ⇔ (x ≥ y) ∧ (x 6= y)) e < (strettamente nimore,x < y ⇔ (y ≥ x) ∧ (x 6= y)).

4.2.2 Funzioni

Denizione 53 (Funzione 1) Data f relazione da A a B, f si dice funzioneo applicazione da A in B sse ∀a ∈ A, ∃!b ∈ B : afb e si scrive:f : A → B;f : a ∈ A → b ∈ B, f(a)=b.Se afb si dice che b è immagine di a secondo f e si scrive b = f(a), o che a ècontroimmagine di b secondo f e si scrive a = f−1(b).

Denizione 54 (Funzione 2) Una funzione è una terna di oggetti: l'insiemeA detto dominio, l'insieme B detto codominio e una legge f che associ ad ognielemento di A uno ed un solo elemento di B.

Denizione 55 (Iniettività) Una funzione f si dice iniettiva sse ∀b ∈ B, ∃!!a ∈A : f(a) = b, ovvero se ∀a1, a2 ∈ A, f(a1) = f(a2) ⇒ a1 = a2, ovvero se∀a1, a2 ∈ A : a1 6= a2 ⇒ f(a1) 6= f(a2).

Denizione 56 (Suriettività, Surgettività) Una funzione f si dice suriet-tiva o surgettiva sse ∀b ∈ B, ∃a ∈ A : f(a) = b.

Page 33: Formulario di Matematica

4.2. RELAZIONI E FUNZIONI 33

Denizione 57 (Biiniettività, Bigettività, Biunivocità) Una funzione fsi dice biiettiva o bigettiva o biunivoca sse f è sia iniettiva che suriettivà,ovvero sse ∀b ∈ B, ∃!a ∈ A : f(a) = b. Si parla anche di funzione invertibile,in quanto si può denire f−1 tale che f f−1 = IdB , f−1 f = IdA, dove conIdA e IdB si intendono le funzioni identiche denite rispettivemente su A e B,ovvero IdA : A → A, x → x e IdB : B → B, x → x .

Denizione 58 (Monotonia) Una funzione f : A → B si dice monotòna severica una delle seguenti (e allora in particolare è come descritto):

monotòna crescente in senso stretto ∀x, y ∈ A, x < y ⇔ f(x) <f(y);

monotòna crescente in senso debole o largo ∀x, y ∈ A, x < y ⇔f(x) ≤ f(y);

monotòna decrescente in senso stretto ∀x, y ∈ A, x < y ⇔ f(x) >f(y);

monotòna decrescente in senso debole o largo ∀x, y ∈ A, x < y ⇔f(x) ≥ f(y).

Teorema 13 Sia f : I → R, con I intervallo; allora f è iniettiva (e invertibile)sse è monòtona in senso stretto.

Notazione 5 (f + g, f · g, fg , λ · f , f g) Date f e g due funzioni denite su

dominio A ⊆ R e codominio R, si deniscono:

(f + g)(x) : A → R, x → f(x) + g(x);

(f · g)(x) : A → R, x → f(x) · g(x);

( fg )(x) : x ∈ A : g(x) 6= 0 ⇒ R, x → f(x)

g(x) ;

∀λ ∈ R, (λ · f)(x) : A → R, x → λ · f(x).

Date f : A → B, g : B → C, si denisce:

(g f)(x) : A → C, x → g(f(x)),

e si dice che la funzione g f è la composizione delle funzioni g e f .

Page 34: Formulario di Matematica

34 CAPITOLO 4. ANALISI

Denizione 59 (Funzione Lipschitziana) f : I → R : ∃L > 0 : ∀x, y ∈I, |f(x) − f(y)| ≤ L · |x − y|, f è detta Lipschitziana. Il minimo L che vericala denizione è detta costante di Lipschitz e f si dice L-Lipschitziana.

Denizione 60 (Funzione Hölderiana) f : I → R : ∃L ≥ 0 : ∀x, y ∈I, |f(x) − f(y)| ≤ L · |x − y|α, f è detta Hölderiana di esponente α > 0. Siscrive: f ∈ C0,α(I).

4.3 Limiti e Forme Indeterminate4.3.1 DenizioneDenizione 61 (Limite 1)

limx→x0

f(x) = `def= ∀ε > 0,

∃Iε(x0)︷ ︸︸ ︷∃δε > 0 t.c. ∀x, |x− x0| < δε ⇒ |f(x)− `| < ε

Denizione 62 (Limite 2)

limx→x0

f(x) = ∞ def= ∀M > 0,

∃IM (x0)︷ ︸︸ ︷∃δM > 0 t.c. ∀x, |x− x0| < δM ⇒ |f(x) > M

Denizione 63 (Limite 3)

limx→∞

f(x) = `def= ∀ε > 0,

∃Iε(∞)︷ ︸︸ ︷∃Nε > 0 t.c. ∀x, |x| > Nε ⇒ |f(x)− `| < ε

Denizione 64 (Limite 4)

limx→∞

f(x) = ∞ def= ∀M > 0,

∃IM (∞)︷ ︸︸ ︷∃NM > 0 t.c. ∀x, |x| > NM ⇒ |f(x)| > M

Notazione 6 (Limite destro, Limite sinistro) e quanto sopra vale solo perl'intervallo (x0, x0 + δ)‖(x0 − δ, x0)‖, allora si parla di limite destro ‖sinistro‖.Teorema 14 Cnes anchè esiste il limite di una funzione in un punto, è cheesistano in quel punto limite destro e sinistro e coincidano, ovvero:

limx→x0

f(x) = limx→x+

0

f(x) = limx→x−0

f(x)

4.3.2 Forme Indeterminate00∞∞0 · ∞+∞−∞00

∞0

1∞

Page 35: Formulario di Matematica

4.3. LIMITI E FORME INDETERMINATE 35

4.3.3 Limiti Notevoli

limx→0

sin x

x= 1

limx→+∞

(1 +1x

)x = e

limx→∞P(n)Q(n)

=

+∞ se p > q ∧ ab > 0

−∞ se p > q ∧ ab < 0

ab se p = q0 se p < q

dove P(n) = apnp +ap−1n

p−1 + · · ·+a1n+a0 e Q(n) = bqnq + bq−1n

q−1 + · · ·+b1n + b0

4.3.4 Altri Limiti ricavabili dai Limiti Fondamentali

limx→0

1− cosx

x2=

12

limx→0

tan x

x= 1

limx→0

x + sin x

x= 2

limx→0

x− sin x

x2= 0

limx→0

x− sinx

x3=

16

limx→0

arcsin x

x= 1

limx→0

arctanx

x= 1

limx→0

(1 + x)x 1x

= e

Page 36: Formulario di Matematica

36 CAPITOLO 4. ANALISI

limx→0

log(1 + x)x

= 1

limx→0

loga(1 + x)x

=1

log a

limx→0

log(1 + αx)x

= α

limx→0

ex − 1x

= 1

limx→0

ax − 1x

= log a

limx→0

(1 + x)α − 1x

= α, α ∈ R

limx→+∞

αx

xβ= +∞ se α > 1 con α, β ∈ R

limx→0+

xα log x = 0 se α > 0 con α ∈ R

limx→+∞

(1 +n

x)x = en con n ∈ R

limx→+∞

log x

xα= 0 se α > 0 con α ∈ R

limx→+∞

xx

xα= +∞ con α ∈ R

limx→+∞

n!np

= +∞,∀p ∈ R

limx→+∞

n!an

= +∞,∀a ∈ R+0

limx→+∞

n!nn

= 0

Page 37: Formulario di Matematica

4.3. LIMITI E FORME INDETERMINATE 37

limx→+∞

n!nn · e−n · √2 · π · n = 1 Formula di Stirling

limx→+∞

(2n)!!(2n− 1)!! · √2 · π · n = 1 Formula di Wallis

4.3.5 Operazioni su ±∞+∞+∞ = +∞−∞−∞ = −∞∞ ·∞ = ∞

Sia ` ∈ R.` +∞ = +∞`−∞ = −∞` · ∞ = ∞ con ` 6= 0`∞ = 0∞` = 0 con ` 6= 0

+∞` = +∞ se ` > 0+∞` = 0 se ` < 0`+∞ = 0 se 0 < ` < 1`+∞ = +∞ se ` > 1`−∞ = +∞ se 0 < ` < 1`−∞ = 0 se ` > 1

4.3.6 Teoremi sui LimitiSiano: f : A = (a, b) ⊂ R→ R, x0 punto di accumulazione per A, ` = limx→x0 f(x); `′ =limx→x0 f(x); `1 = limx→x0 g(x); `2 = limx→x0 h(x) tali che `, `′, `1, `2 ∈ R.

Teorema 15 (dell'Unicità del Limite) ` = `′, ovvero ∃` −→ ∃!`.

Teorema 16 (della Permanenza del Segno) Sia A = (a, b), x0 ∈ [a, b]. Se ∃` 6=0 allora esiste I(x0)in cui f(x) ha lo stesso segno di ` (escluso al più x0).

Teorema 17 (∃δ > 0 : ∀x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) \ x0, f(x) = g(x)) ⇒ (∃` ⇔∃`1 ∧ ` = `1).

Teorema 18 (del Confronto o dei Carabinieri) ∀x ∈ (a, b) \ x0, f(x) ≤g(x) ≤ h(x) ∧ ` = `2 −→ `1 = ` = `2.

Teorema 19 (del Confronto) ∀x ∈ (a, b) \ x0, f(x) ≤ g(x)∧ ` = +∞‖`1 =−∞‖ −→ `1 = +∞‖` = −∞‖.

Page 38: Formulario di Matematica

38 CAPITOLO 4. ANALISI

Teorema 20 (Limite della Composizione di Funzioni) Sia denita gf .Se∃ limy→` g(y) = `1 e vale una delle seguenti:

1. ∃δ > 0 : ∀x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) \ x0, f(x) 6= `;

2. g(`) = `1 (continuità di g);allora ∃ limx→x0 g f(x) = `1.

4.3.7 Teoremi di de l'HôpitalTeorema 21 (di de l'Hôpital 1) Sia f, g : (a, b) → R, x0 ∈ [a, b]. Siano vali-de le ipotesi:

1. f, g derivabili in (a, b);

2. ∀x ∈ (a, b) \ x0, g′(x) 6= 0;

3. f(x0) = g(x0) = 0;

4. ∃ limx→x0f ′(x)g′(x) = ` ∈ R.

Allora:

∃ limx→x0

f(x)g(x)

= `

Eventualmente, si considera l'unico limite calcolabile.

Teorema 22 (di de l'Hôpital 2) Sia f, g : (a, b) → R, a, b ∈ R. Siano validele ipotesi:

1. f, g derivabili in (a, b);

2. ∀x ∈ (a, b), g′(x) 6= 0;

3. ∃ limx→a+ f(x) = ±∞;∃ limx→a+ g(x) = ±∞;

4. ∃ limx→a+f ′(x)g′(x) = ` ∈ R.

Allora:

∃ limx→a+

f(x)g(x)

= `

Lo stesso risultato vale per x → b−.

Page 39: Formulario di Matematica

4.3. LIMITI E FORME INDETERMINATE 39

4.3.8 Proprietà sui LimitiSiano ` = lim x → x0f(x); `1 = limx → x0g(x); `2 = lim x → x0h(x) tali che`, `1, `2 ∈ R.Siano: α, λ, µ ∈ R; a ∈ R+

0 \ 1; b ∈ R+0 ;n ∈ N.

Sia: x0 = α ∈ R oppure x0 = ±∞. Allora:

limx→x0 [f(x) + g(x)] = ` + `1

limx→x0 [λf(x) + µ · g(x)] = λ · ` + µ · `1

limx→x0 [f(x)]n = `n con ` > 0

limx→x01

f(x) = 1` ⇔ ` 6= 0

limx→x01

f(x) = 0 ⇔ limx→x0 f(x) = ±∞

limx→x0f(x)g(x) = `

`1⇔ `1 6= 0

limx→x0 |f(x)| = |`|

limx→x0 loga f(x) = loga `

limx→x0 bf (x) = b`

limx→x0 [f(x)]g(x) = ``1 con ` > 0

4.3.9 Limiti di Funzioni MonotòneTeorema 23 Sia f : (a, b) → R, a, b ∈ R, a < b, una funzione monotòna cre-scente ‖ decrescente‖, s0 ∈ (a, b); allora:

∃ limx→x−0

f(x) = supf(y) : y < x0‖ = inff(y) : y < x0‖ = supf((a, x0))‖ = inff((a, x0))‖

e:

∃ limx→x+

0

f(x) = inff(y) : y > x0‖ = supf(y) : y > x0‖ = inff((x0, b))‖ = supf((x0, b))‖

Se x0 ∈ σ(a, b), allora il teorema è vero per l'unico limite che si può calcolare.

4.3.10 InnitesimiDenizione 65 (Innitesimo) Sia x0 ∈ R, siano f, g due funzioni denite inun intorno di x0 escluso al più x0 tali che limx→x0 f(x) = limx→x0 g(x) = 0.

Page 40: Formulario di Matematica

40 CAPITOLO 4. ANALISI

Si dice che f è innitesima di ordine superiore a g per x → x0 o che f è un opiccolo di g per x → x0 e si scrive f = o(g, x0) o semplicemente f = o(g) se:

limx→x0

f(x)g(x)

= 0

Notazione 7 (Funzioni Innitesime) Funzioni che hanno limite uguale a 0per x → x0 si dicono innitesime e si indicano con o(1, x0).

Denizione 66 (Innitesimi di ordine α) Sia limx→x0 f(x) = 0; se ∃α >

0 : limx→x0f(x)

(x−x0)α = ` ∈ R \ 0, si dice che f è un innitesimo di ordine α

per x → x0 e che la sua parte principale è (x− x0)α. Analogamente per limitesx e per limite dx.

Osservazione 8 (Proprietà o piccoli) Se f1 = o(g, x0), f2 = o(g, x0), allo-ra:

1 f1 + f2 = o(g, x);

2 ∀k ∈ R, kf = o(kg, x0) = o(g, x0).

Se f1 = o(g1, x0), f2 = o(g2, x0), allora:

3 f1+g1f2+g2

= g1g2

in un intorno di x0, cioè esiste un limite sse esiste l'altro,e sono uguali.

4 ∀x, l > 0, xk = o(xl, x0) = o(xl+k, xo);

5 f1 · f2 = o(g1 · g2, x0);

inoltre, se f = o(g, x0), g = 0o(h, x0), allora:

6 f = o(h, x0);

Teorema 24 Sia x0 ∈ R, f continua in x0 e invertibile in un intorno di x0

tale che f(x) = f(x0) + a · (x − x0) + o(x − xo, x0), a 6= 0. Allora f−1(y) =x0 + 1

a · (y − y0) + o(y − y0, y0) dove y0 = f(x0).

Denizione 67 Siano f, g denite in un intorno di x0 ∈ R : f, g 6= 0 in taleintorno ad eccezione al più di x0. Si dice che f è asintotica a g per x → x0 se∃ limx→x0

f(x)g(x) = ` ∈ R \ 0 e si indica con f ∼ g.

Osservazione 9 (Proprietà funzioni asintotiche) 1 f ∼ g ∼ f

Page 41: Formulario di Matematica

4.4. FUNZIONI CONTINUE 41

2 f ∼ g ∧ g ∼ h ⇒ f ∼ h

Osservazione 10 f ∼ g ⇒ (∃ limx→x0 f(x) ⇔ ∃ limx→x0 g(x)).

4.4 Funzioni Continue

4.4.1 Denizione

Denizione 68 (Funzione Continua) y = f(x) si dice continua in x0 se lim x → x0f(x) =f(x0) o,il che è lo stesso, se ∀ε > 0∃δ > 0 t.c. ∀x, |x− x0| < δ ⇒ |f(x)− f(x0)| < ε

Teorema 25 Siano f, g continue in x0, λ ∈ R. Allora f + g, f · g, λ · f sonocontinue in x0.Se è denita g f , anch'essa è continua in x0.Se è denita f−1, anch'essa è continua in x0.

Teorema 26 Sia f : I → R, allora se f(x0) > 0,∃δ > 0 : ∀x ∈ (x0 − δ, x0 + δ)in cui f(x)>0.

Teorema 27 (di Weierstrass) Ogni funzione continua in un intervallo chiu-so [a, b] con a, b ∈ R è dotata di massimo e minimo assoluti nell'intervallo,ovvero:

f([a, b]) = [inf

x ∈ [a, b] f(x),sup

x ∈ [a, b] f(x)]

e in particolare ∃c1, c2 ∈ [a, b] :

f(c1) =inf

x ∈ [a, b] f(x), f(c2) =sup

x ∈ [a, b] f(x)

Teorema 28 (dei Valori Intermedî) Una funzione continua in un interval-lo I assume nell'intervallo tutti i valori compresi tra il minimo m e il mas-simo M , ovvero, dati x, y : f(x) < f(y), λ ∈ R : f(x) < λ < f(y), allora∀λ, ∃z ∈ I : f(z) = λ.

Teorema 29 (dell'Esistenza degli Zeri o di Bolzano) Se una funzione con-tinua su un intervallo assume valori di segno opposto in due punti x − 1 e x2

dell'intervallo, allora esiste almeno un punto interno all'intervallo ]x1, x2[ incui f(x) = 0, ovvero, data f : [a, b) → R, continua in [a, b], a, b ∈ R, a < b :f(a) · f(b) < 0, allora ∃c ∈ (a, b) : f(c) = 0.

Page 42: Formulario di Matematica

42 CAPITOLO 4. ANALISI

4.5 Derivate4.5.1 DenizioneDenizione 69 (Rapporto Incrementale) Sia I intervallo con x0 punto in-terno di I; si dice rapporto incrementale in x0 la funzione:

Rx0f(x) =f(x)− f(x0)

x− x0

denita in I \ 0.

Denizione 70 (Derivata) f è derivabile in x0 se ∃ limx → x0Rx0f(x) ∈ Re si denota con:

f ′(x) = D[f(x)] =df

dx= f(x) = lim

h→0

f(x + h)− f(x)h

= limx→x0

Rx0f(x).

Analogamente si deniscono le derivate destra e sinistra. Se possono calcolarsiderivata destra e sinistra, allora esiste la derivata e coincide con derivata dx esx.

Teorema 30 Se f : I → R è derivabile in x0, allora f è continua in x0, manon viceversa.

Notazione 8 (Dierenziabilità) f(x)−f(x0)x−x0

0f ′)x0) + o(1, x0)f(x)− f(x0) = f ′(x0) · (x− x0) + (x− x0) · o(1, x0)

f(x) = f(x0) + f ′(x0) · (x− x0) + o(x− x0, x0)

Denizione 71 (Dierenziabilità) Sia fI → R, x0 punto interno di I; f sidice dierenziabile in x0 se ∀x ∈ I,∃L > 0 : f(x) = f(x=)+L · (x−x0)+ o(x−x0, x0).

Denizione 72 (Derivata Seconda, k-esima) f ′′(x0) = d2

dx2 = ˙f(x) = d

dxf ′(x).f (k)(x0) = dk

dxk = ddxf (k−1).

Notazione 9 (Classe Ck) f ∈ Ck, k ∈ N, k ≥ 1 sta ad indicare che f è deri-vabile k volte in I con derivate continue in I (in particolare, è continua f (k).In particolare, C0(I) = C(I) denota lo spazio vettoriale delle funzioni continuein I; C+∞(I) denota l'insieme delle funzioni che ammettono derivate di ogniordine in I e tali che ∀k, dk

dxk f ∈ C(I).

Osservazione 11 I polinomî appartengono a C+∞(R) con la proprietà dk

dxk P =0 se k > degP .ex ∈ C+∞(R).

Teorema 31 La funzione f : I → R è dierenziabile in x0 punto interno di Isse è derivabile in x0 e in tal caso L = f ′(x).

Teorema 32 Siano f, g : I → R, x0 punto interno di I, f ≡ g in un intorno dix0; allora f è derivabile in x0 sse lo è g e in tal caso f ′(x0) = g′(x0).

Page 43: Formulario di Matematica

4.5. DERIVATE 43

4.5.2 Proprietà locali di una funzioneOsservazione 12 (Derivata prima e monotonia) Sia f : I → R derivabilein x0 e debolmente crescente ‖decrescente‖ in un intorno di x0. Allora f ′(x0) ≥0‖ ≤ 0‖.

Denizione 73 (Punto di Massimo ‖Minimo‖ relativo debole (locale))Sia f : I → R derivabile in x0 ∈ I; x0 si dice punto di massimo ‖minimo‖ rela-tivo debole (locale) di f se ∀x ∈ I ∩ (x0 − δ, x0 + δ),∃δ > 0 : f(x) ≤ f(x0)‖ ≥f(x0)‖.

Denizione 74 (Punto di Massimo ‖Minimo‖ relativo forte (stretto))Sia f : I → R derivabile in x0 ∈ I; x0 si dice punto di massimo ‖minimo‖ re-lativo forte (stretto) di f se ∀x ∈ I ∩ (x0 − δ, x0 + δ),∃δ > 0 : f(x) < f(x0)‖ >f(x0)‖.

Denizione 75 (Punto di Massimo ‖Minimo‖ assoluto) x0 di dice pun-to di massimo ‖minimo‖ assoluto di f se ∀x ∈ I, f(x) ≤ ‖ ≥ ‖f(x0).

Denizione 76 (Punto stazionario) Se x0 è tale che f ′(xo) allora x0 è dettopunto stazionario di f .

Teorema 33 (Fermat) Sia f : I → R derivabile in x0, sia x0 ∈ I estremorelativo, allora f ′(x0) = 0.

Teorema 34 (Conseguenza 1 Teorema di Lagrange) Sia f : I → R con-tinua in I e derivabile nei punti interni di I, con derivata prima positiva (stret-tamente positiva, negativa, strett. negativa) in tali punti. Allora f è crescente(decrescente, str. crescente, str. decrescente) in tale intervallo.

Teorema 35 (Conseguenza 2 Teorema di Lagrange) Sia f : I → R con-tinua in I e derivabile nei punti interni di I, con derivata prima nulla in talipunti. Allora f è costante in tale intervallo.

Criterio 1 (Massimi, minimi relativi) Se ∃δ > 0 : f ′(x) ≤ 0(≥) in (x0 −δ, x0) e f ′(x) ≥ 0(≤ 0) in (x0, x0+δ) allora x0 è un punto di minimo (massimo)relativo di f . Se le disuguaglianze valgono con i segni forti, allora x0 è puntodi minimo (massimo) relativo stretto.

Teorema 36 Sia f : I → R ∈ C2, f ′(x0) = 0, f ′′(x0) > 0(<), x0 punto internodi I. Allora x0 è punto di minimo (massimo) relativo forte di f , e viceversacondizione necessaria anchè x0 sia punto di minimo (massimo) relativo forteè che f ′′(x0) ≥ (≤)0.

4.5.3 ConvessitàDenizione 77 (Funzione Convessa) f : I → R si dice convessa se:∀x0, x1 ∈ I : x0 < x1, ∀t ∈ [0, 1], f(t ·x0 +(1− t) ·x1) ≤ t · f(x0)+ (1− t) · f(x1).

Page 44: Formulario di Matematica

44 CAPITOLO 4. ANALISI

Denizione 78 (Funzione Concava) f si dice concava se −f è convessa.

Teorema 37 Sia f convessa in I; allora:∀x > x0, f(x) ≥ f(x0) + f ′+(x0) · (x− x0);∀x < x0, f(x) ≥ f(x0) + f ′−(x0) · (x− x0).

Denizione 79 (Punto di esso) f : (a, b) → R, x : 0 punto interno di I : fconvessa (concava): in (a, x0) e concava (convessa) in (x0, b). x0 si dice puntodi esso per f . x0 si dice esso ascendente (discendente) se f è localmentecrescente (decrescente) in un intorno di x0.

Denizione 80 (Asintoto obliquo) f : (a, +∞) → R ha asintoto obliquo a+∞ se limx→+∞ = ±∞ e:

limx→+∞

f(x)x

= a ∈ R \ 0;

limx→+∞

f(x)− a · x = b ∈ R.In questo caso l'asintoto obliquo è y : a · x + b.

Osservazione 13 f, g convesse in I ⇒ f + g convessa in I.

4.5.4 TeoremiTeorema 38 (di Rolle) Sia f : [a, b] → R continua in [a, b] e derivabile su(a, b) e sia f(a) = f(b); allora ∃x0 ∈ (a, b) t.c. f ′(x0) = 0.

Teorema 39 (di Lagrange o del Valor Medio) Sia f : [a, b] → R continuain [a, b] e derivabile in (a, b); allora ∃x0 ∈]a, b[ t.c. f(b)−f(a)

b−a = f ′(x0).

Teorema 40 (di Cauchy) Siano f(x) e g(x) due funzioni continue su [a, b] ederivabili su ]a, b[ e sia g′(x) 6= 0∀x ∈ [a, b]; allora ∃x0 ∈]a, b[ t.c. f(b)−f(a)

g(b)−g(a) =f ′(x0)g′(x0)

.

4.5.5 Teoremi Funzioni ConvesseTeorema 41 (1) Sia f : I → R convessa; siano x0, x1 ∈ I : x0 < x1. Allora∀x ∈ [x0, x1], f(x) ≤ f(x0) + f(x1)−f(x0)

x1−x0· (x− x0)

def= rx0x1(x);

∀x 6∈ [x0, x1], f(x) ≥ rx0x1(x).

Teorema 42 (2) Siano f : I → R convessa in I, r una retta; Se ∃x0 < x1 <x2 ∈ I : f(xj) = r(xj), j = 0, 1, 2 allora ∀x ∈ [x0, x2], f(x) = r(x).

Page 45: Formulario di Matematica

4.5. DERIVATE 45

Teorema 43 (3) Sia f : I → R, sia x0 ∈ I. Sia:Rx0f : I \ x0 → R,

Rx0f(x) = f(x)−f(x0)x−x0

,allora f è convessa in I sse Rx0f è crescente in I \ x0. Eventualmente, siconsidera l'unico rapporto incrementale calcolabile.

Teorema 44 Sia f convessa in I; allora è continua in tutti i punti interni diI in quanto ∃ limRx0f(x).

Teorema 45 (Convessità-derivabilità) Sia f : (a, b) → R derivabile in (a, b);f è convessa (concava) in (a, b) sse f ′ è crescente (decrescente) in (a, b), èstrettamente convessa (concava) se f ′ è str. crescente (decrescente).

4.5.6 Derivate Fondamentali

f(x) f ′(x)k 0xn nxn−1

sin x cos xcosx − sin xtan x 1 + tan2 xtan x 1

cos2 xcot x −1− cot2 xcot x − 1

sin2 xex ex

ax ax log alog x 1

x

loga x logaex

arcsinx 1√1−x2

arccosx − 1√1−x2

arctanx 11+x2

arccotx − 11+x2

Tabella 4.1: Derivate Fondamentali

4.5.7 Regole di DerivazioneSiano f, g : I → R derivabili in x0, x0 punto interno di I, λ ∈ R; allora valgonoi seguenti teoremi algebrici o regole di derivazione.pag.46

Osservazione 14 (Conseguenza) I polinomî sono derivabili in R e la deri-vata di un polinomio di grado n è un polinomio di grado n− 1.

Teorema 46 (Derivabilità della funzione inversa) Sia f strettamente mo-notòna denita in I e ivi continua, derivabile in x0 punto interno di I tale che

Page 46: Formulario di Matematica

46 CAPITOLO 4. ANALISI

y = f(x)± g(x) y′ = f ′(x)± g′(x)y = k · f(x) y′ = k · f ′(x)y = f(x) · g(x) y′ = f ′(x) · g(x) + f(cx) · g′(x)y = f(x)

g(x) y′ = f ′(x)·g(x)−f(cx)·g′(x)g2(x)

y = f(g(h(x))) y′ = f ′(g(h(x))) · g′(h(x)) · h′(x)y = [f(x)]g(x) y′ = [f(x)]g(x) · [g′(x) · log f(x) + g(x) · f ′(x)

f(x) ]

Tabella 4.2: Regole di Derivazione

f ′(x0) 6= 0, allora f è invertibile e la sua inversa è derivabile in f(x0). Inoltre:(f−1)′(f(x0)) = 1

f ′(x0)

(f−1)′(y) = 1f ′(f−1(y))

4.6 Integrali4.6.1 DenizioneDenizione 81 (Integrale)

∫f(x) dx = F (x) + c ⇔ F ′(x) = f(x)

F (x) si dice primitiva di f(x).

Teorema 47 (di Torricelli-Barrow)∫ b

af(x) dx = F (b)− F (a)

4.6.2 Integrale di RiemannDenizione 82 (Partizione) Si dice partizione di [a, b] ogni insieme di puntia = t0 < t1 < · · · < tn = b. Data δ partizione di [a, b], si ha:

[a, b] =n−1⋃

j=0

[tj , tj+1]

Notazione 10 (Somme superiori e inferiori)

s(f, δ) = n−1∑

j=0

inft ∈ [tj , tj+1 f(t) · (tj+1 − tj)

S(f, δ) = n−1∑

j=0

supt ∈ [tj , tj+1 f(t) · (tj+1 − tj)

Denizione 83 (Funzione Riemann-integrabile) f è integrabile se esisteunico l'elemento separatore tra s(f) e S(f) ovvero se sups(f) = infS(f). Taleelemento separatore si dice integrale di f in [a, b] e si scrive:

∫ b

a

f(x) dx = sups(f) = infS(f)

ovvero f : [a, b] → R limitata è integrabile in [a, b] se ∀ε > 0, ∃δ : S(f, δ) −s(f, δ) ≤ ε.

Page 47: Formulario di Matematica

4.6. INTEGRALI 47

Osservazione 15 (Conseguenza) f monotòna è integrabile.f continua è integrabile.Lo spazio R delle funzioni integrabili è vettoriale e l'applicazione R → R, f →∫ b

1f(t) dt è lineare.

Notazione 11∫ b

af(x) dx = − ∫ a

bf(x) dx∫ a

af(x) dx = 0

Denizione 84 (Funzione integrale) f : [a, b] → R R-integrabile in [a, b],c ∈ [a, b] ssato; la funzione F : [a, b] → R denita da:

F (x) =∫ x

c

f(t) dt

si dice funzione integrale di f .

4.6.3 Teoremi

Teorema 48 (della Media)inf

[a, b] f ≤ 1b−a ·

∫ b

af(x) dx ≤

sup

[a, b] f

∃c ∈ [a, b] t.c. f(c) =

∫ b

af(x) dx

b− a

Teorema 49 (fondamentale del Calcolo Integrale) f : [a, b] → R R-integrabilein [a, b]; allora:

1. ∀c ∈ [a, b], F (x) =∫ x

cf(t) dt è lipschitziana e |F (x)−F (y)| ≤

supt ∈ [a, b]

|f(t)| · |y − x|;

2. se f è continua in x0 ∈ (a, b), allora F è derivabile in x0 e F ′(x0) =f(x0);

3. se f è continua in a (b), allora F è derivabile a dx (sx) in a (b) eF ′+(a) = f(a)(F ′−(b) = f(b));

4. ∀α, β ∈ [a, b] : α ≤ β,∫ β

αf(x) dx = F (β)− F (α)

4.6.4 Integrali Notevoli Fondamentali∫

xn dx =xn+1

n + 1+ c con n 6= −1

∫1x

dx = log |x|+ c

Page 48: Formulario di Matematica

48 CAPITOLO 4. ANALISI

∫sin x dx = − cosx + c

∫cosx dx = sin x + c

∫1

cos2 xdx = tan x + c

∫(1 + tan2 x) dx = tan x + c

∫1

sin2 xdx = − cot x + c

∫(1 + cot2 x) dx = − tan x + c

∫ex dx = ex + c

∫ax dx = ax · logae + c

∫dx√

1− x2= arcsinx + c

∫dx

1 + x2= arctan x + c

4.6.5 Regole di Integrazione

1a∫

k · f(x) dx = k ·∫

f(x) dx

1b∫

[f1(x) + f2(x) + · · · + fn(x)] dx =∫

f1(x) dx +∫

f2(x) dx + · · · +∫

fn(x) dx

2, monotonia ∀x ∈ [a, b], f(x) ≤ g(x) ⇒ ∫ b

af(x) dx ≤ ∫ b

ag(x) dx

Page 49: Formulario di Matematica

4.6. INTEGRALI 49

2bis ∀x ∈ [a, b], g(x) ≥ 0 ⇒ ∫ b

ag(x) dx ≥ 0

3, spezzamento∫ b

af(x) dx =

∫ c

af(x) dx +

∫ b

cf(x) dx

4.6.6 Altri Integrali Notevoli∫ √

a2 − x2 dx =x

2

√a2 − x2 +

a2

2arcsin

x

a+ c

∫ √a2 + x2 dx =

x

2· log(x +

√a2 + x2) +

x

2·√

a2 + x2 + c∫

1√a2 + x2

dx = log |x +√

a2 + x2|+ c∫

1√a2 − x2

dx = arcsinx

a+ c

∫1√

x2 ± a2dx = log |x +

√x2 ± a2|+ c

∫1

x2 − a2dx =

12a· log |x− a

x + a|+ c

∫1√

x2 + px + qdx = log |x +

p

2+

√(x +

p

2)2 + q − p2

4|+ c

∫cosαx cos βx dx =

sin(α + β)x2(α + β)

+sin(α− β)x2(α− β)

+ c∫

ex · sin x dx = −12ex(sinx− cosx) + c

∫ex · cos x dx = −1

2ex(sinx + cos x) + c

4.6.7 Integrali per Serie

In =∫

sin2n x dx =12n

[− sin2n−1 x cosx + (2n− 1)In−1] con I0 = x + c; I1 =

−12

sin x cosx +12x + c

In =∫

logn x dx = x logn x− n · In−1 con I0 = x + c; I1 = x log x− x + c

In =∫

xn · ex dx = xn · ex − n · In−1 con I0 = ex + c; I1 = xex − x + c

In+1 =∫

1(1 + x2)n+1

dx =x

2n · (1 + x2)n+

2n− 12n

In−1 con I0 = arctan x +

c; I1 =x

2(1 + x2)+ frac12 arctan x + c

4.6.8 Integrazione di Funzioni Goniometriche∫

sin2k+1 x dx =∫

sin2k x · sin x dx = −∫

(1− cos2 x)k d cosx∫

sin2k x dx =12

∫(1− cos 2x

2)k d2x

Page 50: Formulario di Matematica

50 CAPITOLO 4. ANALISI

4.6.9 Integrazione di Funzioni Razionali

f(x) =P (x)Q(x)

=

= S(x) +R(x)Q(x)

=

= S(x) +A1

(x− x1)+

A2

(x− x1)2+ · · ·+ Ar1

(x− x1)r1+

+B1

(x− x2)+

B2

(x− x2)2+ · · ·+ Rr2

(x− x2)r2+ · · ·+

+α1 · x + β1

(x2 + a1 · x + b1)+ · · ·+ αl1 · x + βl1

+γ1 · x + δ1

(x2 + a1 · x + b1)+ · · ·+

+γl2 · x + δl2

+· · ·

I =∫

P1(x)P2(x)

dx =∫

Q(x) dx +∫

R(x)P2(x)

dx dove vale P1(x) =

P2(x) ·Q(x) + R(x) ed è %R(x) < %P2(x)

Considerato il caso in cui %P2(x) = 2 e quindi %R(x) = 0 ∨ 1, essendo P2(x) =ax2 + bx + c con a, b, c costanti assegnate, dette α1, α2 le radici di P2(x) = 0,denito ∆ = b2 − 4ac, considerati A e B costanti in R, si hanno i seguenti trecasi, a seconda del segno di ∆:

1. ∆P2(x) > 0 −→ I = 1a

∫A

x−α1dx + 1

a

∫B

x−α2dx = A

a log |x − α1| +Ba log |x− α2|+ c

2. ∆P2(x) = 0 −→ I = 1a

∫A

x−α dx + 1a

∫B

(x−α)2 dx = 1aA log |x − α| −

Aα+Ba(x−α) + c

3. ∆P2(x) < 0 −→ I =∫

gx+hax2+bx+c dx =

= gs∫ d(ax2+bx+c)

x2+bx+c + ht∫

dx(kx+j)2+1 =

= gs log |ax2 + bx + c|+ ht arctan(kx + j) + c

4.6.10 Tecniche di IntegrazioneIntegrazione per Sostituzione: x = g(t) −→ ∫

f(x) dx =∫

f(g(t)) · g′(t) dtIntegrazione per Parti:

∫f ′(x)g(x) dx = f(x)g(x)− ∫

f(x)g′(x) dx

4.6.11 Integrazione Numerica 1

Metodo 1 (dei rettangoli) Si approssima l'area sottesa alla curva alla som-ma di n rettangoli la cui base tende a 0 tendendo l'errore e a 0 e la cui altezzaè pari al valore della funzione all'estremo sinistro o destro della base.

1Marcello Pedone, Integrazione Numerica e Valutazione dell'errore,http://www.matematicamente.it

Page 51: Formulario di Matematica

4.7. POLINOMIO DI TAYLOR 51

∫ b

a

f(x) dx ' b− a

n· [f(x0) + f(x1) + · · ·+ f(xn−1)]

e ≤ (b− a)2

2n·M con |f ′(x)| ≤ M

Metodo 2 (dei trapezî) Si approssima l'area sottesa alla curva alla sommadi n trapezi la cui altezza tende a 0 tendendo l'errore e a 0 e le cui basi sono ivalori della funzione all'estremo destro e sinistro della base.∫ b

a

f(x) dx ' b− a

2n· [f(x0) + f(xn) + 2 · [f(x1) + · · ·+ f(xn−1)]]

e ≤ (b− a)3

12n2·M con |f ′′(x)| ≤ M

Metodo 3 (di Cavalieri-Simpson)∫ b

a

f(x) dx ' b− a

3n· [f(x0) + f(xn) + 4 ·

[f(x1) + f(x3) + · · ·] + 2 · [f(x2) + f(x4) + · · ·]]e ≤ (b− a)5

180n4·M con |f iv(x)| ≤ M

4.6.12 Lunghezze di Archi di Curva, Volumi e Superci diSolidi di Rotazione

` =∫ x2

x1

√1 + [f ′(x)]2 dx

x = x(t)y = y(t) → ` =

∫ t2

t1

√[x′(t)]2 + [y′(t)]2 dt

V = π ·∫ b

a

[f(x)]2 dx

Teorema 50 (di Guldino) Il volume di un solido generato da una superciepiana S che compie una rotazione completa intorno ad una retta del suo pianoche non l'attraversa è dato dal prodotto dell'area di S per la lunghezza dellacirconferenza descritta dal baricentro di S.

Teorema 51 (Regola di Archimede) L'area di un segmento parabolico è i23 dell'area del rettangolo in cui è inscritto.

Slaterale = 2 · π∫ b

a

f(x) ·√

1 + [f ′(x)]2 dx

4.7 Polinomio di TaylorTeorema 52 n ∈ N, δP = δQ = n : f(x) = P (x) + o((x − x0)n, x0) =Q(x)o((x− x0)n, x0) ⇒ P ≡ Q

Page 52: Formulario di Matematica

52 CAPITOLO 4. ANALISI

Teorema 53 (Polinomio e Formula di Taylor, Polinomio di Mac Laurin)f : (a, b) → R, x0 ∈ (a, b), f derivabile n−1 volte in (a, b) e n volte in x0. Allorala seguente è una approssimazione di f :

f(x) =n∑

k=0

f (k)(x0)k!

· (x− x0)k + o((x− x0)n, x0)

e si dice polinomio di Taylor di grado n centrato in x0 il seguente:

Pn,x0f =n∑

k=0

f (k)(x0)k!

· (x− x0)k

Per x0 = 0 si ha il polinomio di Mac Laurin.

4.7.1 Formula di Taylor con resto di LagrangeTeorema 54 Sia f : (a, b) → R, x0 ∈ (a, b), f derivabile n+1 volte in x0; allora∃c = c(x) ∈ (minx0, x,maxx0, x) :

f(x) = Pn,x0f(x) +f (n+1)(c(x))

(n + 1)!· (x− x0)n+1

4.7.2 Formula di Taylor con resto di integralef : I → R, x0 ∈ I, f ∈ Cn(I):

f(x)− P x0n f(x) =

1n!·∫ x

x0

f (n+1)(t)·(x−t)n dt

4.7.3 Sviluppi di Taylor

f(x) = Pn,0f + o(xn, 0) =n∑

k=0

f (k)(x0)k!

· (x− x0)k + o(xn, 0)

ex = 1 + x +x2

2+ · · ·+ xn

n!+ o(xn, 0)

log(1 + x) = x− x2

2+

x3

3+ · · ·+ (−1)n−1 · xn

n+ o(xn, 0)

sin x = x− x3

3!+

x5

5!+ · · ·+ (−1)n x2n+1

(2n + 1)!+ o(x2n+2, 0)

cos x = 1− x2

2+

x4

4!+ · · ·+ (−1)n x2n

(2n)!+ o(x2n+1, 0)

tan x = P6,0 tan +o(x6, 0) = x +x3

3+

2 · x5

15+ o(x6, 0)

arcsinx = x +12· x3

3+

38· x5

5+ · · ·+ (2n− 1)!!

(2n)!!x2n+1

2n + 1+ o(x2n+2, 0)

Page 53: Formulario di Matematica

4.8. STUDIO DI FUNZIONE 53

arccos x =π

2− x− 1

2· x3

3+ · · · − (2n− 1)!!

(2n)!!x2n+1

2n + 1+ o(x2n+2, 0)

arctan x = x− x3

3+

x5

5+ · · ·+ (−1)n · x2n+1

2n + 1+ o(x2n+2, 0)

sinhx = x +x3

3!+

x5

5!+ · · ·+ x2n+1

(2n + 1)!+ o(x2n+2, 0)

coshx = 1 +x2

2+

x4

4!+ · · ·+ x2n

(2n)!+ o(x2n+1, 0)

tanh x = P6,0 tanh+o(x6, 0) = x− x3

3+

2 · x5

15+ o(x6, 0)

arcsinhx = x− 12· x3

3+

38· x5

5+ · · ·+ (−1)n · (2n− 1)!!

(2n)!!x2n+1

2n + 1+ o(x2n+2, 0)

arctanhx =12· log

1 + x

1− x= x +

x3

3+

x5

5+ · · ·+ x2n+1

2n + 1+ o(x2n+2, 0)

(1 + x)α = 1 + α · x +α · (α− 1)

2· x2 + · · ·+ α!

(α− n)! · n!· xn + o(xn, 0)

11 + x

= 1− x + x2 + · · ·+ (−1)n · xn + o(xn, 0)

4.8 Studio di Funzione1. Dominio;

2. Intersezione con gli assi;

3. Segno;

4. Limite (asintoti):

(a) Asintoto Verticale: limx→x0 f(x) = ∞;

(b) Asintoto Orizzontale: limx→∞ f(x) = `: %den = %num;

(c) Asintoto Obliquo: limx→∞ f(x) = ∞: %den = %num− 1:m = limx→∞

f(x)x

n = limx→∞[f(x)−mx]A.Ob. : y = mx + n

5. Derivata Prima: Crescenza+/decrescenza−; Punti di Massimo e Mi-nimo Relativi0;

6. Derivata Seconda: Concavità verso l'alto+/basso−; Punti di Flesso0.

Page 54: Formulario di Matematica

54 CAPITOLO 4. ANALISI

4.9 Approssimazione di Radici RealiMetodo 1 (di Bisezione o Dicotomico) Sia f(x) una funzione continua in[a, b] t.c. f(a)·f(b) < 0. Allora f(x) si annulla in almeno un punto x0 ∈]a, b[ (*Teorema 29 a pag.41). Considerato il nuovo punto f(a+b

2 ), la radice si troveràtra ]a, a+b

2 [[⇔ f(a) · a+b2 < 0, oppure tra ]a+b

2 , b[[⇔ a+b2 · f(b) < 0. Iteran-

do il procedimento, si ottengono intervalli di soluzione con un'approssimazionesempre minore.

Metodo 2 (della Secante) Sia f(x) una funzione continua in [a, b] t.c. f(a) ·f(b) < 0. Allora f(x) si annulla in almeno un punto x0 ∈]a, b[ (* Teorema 29a pag.41). Per determinare questo valore, si consideri la retta passante per i duepunti (a, f(a)) e (b, f(b)); questa retta intersecherà l'asse x : y = 0 in un punto ca cui corrisponderà f(c). La radice si troverà tra ]a, c[[⇔ f(a) ·f(c) < 0, oppuretra ]c, b[[⇔ f(c) · f(b) < 0. Iterando il procedimento, si ottengono intervalli disoluzione con un'approssimazione sempre minore.

Metodo 3 (della Tangenteo di Newton) Sia f(x) una funzione continuain [a, b] t.c. f(a) ·f(b) < 0. Allora f(x) si annulla in almeno un punto x0 ∈]a, b[(* Teorema 29 a pag.41). Per determinare questo valore, si consideri la rettatangente alla curva in (a, f(a)) o (b, f(b)) e t.c. intersechi l'asse x : y = 0 inun punto c ∈]a, b[ a cui corrisponderà f(c). La radice si troverà tra ]a, c[[⇔f(a) · f(c) < 0, oppure tra ]c, b[[⇔ f(c) · f(b) < 0. Iterando il procedimento, siottengono intervalli di soluzione con un'approssimazione sempre minore.

Page 55: Formulario di Matematica

Capitolo 5

Combinatoria e Probabilità

5.1 Combinatoria

5.1.1 Fattoriale

Denizione 85 (Fattoriale)

n! = 1 · 2 · · · · · (n− 1) · n =n∏

i=1

i

0 ! = 1n ! = n · (n− 1) ! per n ≥ 1

5.1.2 Coecienti Binomiali

Denizione 86 (Coeciente Binomiale)(

n

k

)=

n !(n− k) ! k !

(n

k

)=

(n

n− k

)

(n

k

)=

(n− 1k − 1

)+

(n− 1

k

)

5.1.3 Combinazioni Natura.

Pn,k = n!(n−k)!k! =

(nk

)

C′n,k =(n+k−1

k

)

55

Page 56: Formulario di Matematica

56 CAPITOLO 5. COMBINATORIA E PROBABILITÀ

5.1.4 Permutazioni Ordine.

Pn = n!D′nk1,k2,···,kn = n!

k1!·k2!· ··· ·kn!

5.1.5 Disposizioni Natura; ordine.

Dn,k = Cn,k · Pk = n!(n−k)!

D′n,k = nk

5.2 Probabilità

5.2.1 Denizioni1. Denizione Classica (Laplace): per casi equiprobabili è p = f

n ;

2. Denizione Frequentista (Legge dei Grandi Numeri o LeggeEmpirica del Caso): p = lim

n→∞f

n;

3. Denizione Soggettivista;4. Denizione Assiomatica:

(a) p(∅) = 0

(b) p(Ω) = 1

(c) 0 ≤ f ≤ n → 0 ≤ fn ≤ 1 → 0 ≤ p ≤ 1

(d) p(Ac) = p(A) = 1− p(A)

5.2.2 Probabilità Condizionatap(A \B) = p(A∩B)

p(B)

5.2.3 Somma Per eventi incompatibili (tali cioè che A ∩ B = ): p(A ∪ B) =

p(A) + p(B).

Per eventi compatibili (tali cioè che A ∩ B 6= ): p(A ∪ B) = p(A) +p(B)− p(A ∪B).

Page 57: Formulario di Matematica

5.2. PROBABILITÀ 57

5.2.4 Prodotto Per eventi stocasticamente indipendenti (tali cioè che p(A) = p(A\B):

p(A ∩B) = p(A) · p(B).

Per eventi stocasticamente dipendenti (tali cioè che p(A) 6= p(A \B):p(A ∪B) = p(A) · p(B \A).

5.2.5 Formula di Bayes

p(Hi \ E) =p(Hi) · p(E \Hi)

n∑1

p(Hi) · p(E \Hi)

5.2.6 Distribuzione Binomiale di Bernoulli

pn,k =(

n

k

)· pk · (1− p)n−k

5.2.7 Speranza Matematica o Valor Medio

M(X) =n∑1

xipi

Page 58: Formulario di Matematica

58 CAPITOLO 5. COMBINATORIA E PROBABILITÀ

Page 59: Formulario di Matematica

Capitolo 6

Aritmetica

6.1 Rappresentazione in base b6.1.1 Rappresentazione in base b degli interiOgni intero positivo N si può scrivere nella forma

N = anbn + an−1bn−1 + . . . + a1b + a0,

dove 0 ≤ ai < b per ogni i = 1, . . . , n.

6.1.2 Rappresentazione in base b dei realiOgni numero reale R si può scrivere nella forma

R = anbn + an−1bn−1 + . . . + a1b + a0 +

∞∑

i=1

a−ib−i,

dove 0 ≤ ai < b per ogni i ≤ n, positivo, negativo, o nullo.

6.2 Divisibilità6.2.1 DivisibilitàDenizione 87 (Divisibilità) Un numero intero c è detto divisibile per unsecondo numero intero b diverso da zero se e solo se esiste un terzo numerointero x tale che c = b · x.

Osservazione 16 Si dice anche, equivalentemente, che b è un divisore di covvero che c è un multiplo di b. La proprietà c è divisibile per b ovvero b ' undivisore di c ovvero c è un multiplo di b si indica con la graa:

59

Page 60: Formulario di Matematica

60 CAPITOLO 6. ARITMETICA

b|c

Teorema 55 (Divisione euclidea) Siano a e b due interi, con a 6= 0. Alloraesistono due interi q ed r tali che

b = aq + r,0 ≤ r < |a|.

Inoltre q ed r sono unici. Questa si chiama divisione euclidea, o divisione conresto. In tal caso b si chiama dividendo, a si chiama divisore, q si chiamaquoziente e r si chiama resto.

6.2.2 Numeri primiDenizione 88 (Numeri primi) Un numero primo è un intero > 1 che hacome divisori positivi soltanto 1 e se stesso. Esistono inniti numeri primi.

Teorema 56 (Teorema fondamentale - fattorizzazione) Ogni n > 1 puòessere scritto in uno ed in un solo modo come prodotto di fattori primi:

n = pn11 · pn2

2 · · · pnmm ,

dove p1, p2, . . . pm sono primi distinti e n1, n2, . . . nm sono interi ≥ 1. Talescrittura si dice fattorizzazione di n. La fattorizzazione è unica.

6.2.3 Massimo Comun Divisore e Minimo Comune Mul-tiplo

Denizione 89 Dati due interi a e b, un intero c viene detto un loro divisorecomune se

c|a e c|b.

Denizione 90 (Massimo Comun Divisore) Un intero positivo D è dettoMassimo Comun Divisore dei due interi (positivi) a e b se:

1. D|a e D|b2. se x|a e x|b allora x|D

e si indica con MCD(a, b) o D = (a, b).

Denizione 91 (Interi comprimi) Due interi a e b si dicono comprimi seMCD(a,b)=1.

Denizione 92 (Combinazioni lineari) Assegnati due numeri interi A e Bsi dicono loro combinazioni lineari tutti gli interi

h ·A + k ·B

Page 61: Formulario di Matematica

6.3. CONGRUENZE 61

ottenibili sommando o sottraendo tra loro multipli di A e di B.

Teorema 57 (Teorema di Bezout) Siano a e b due interi e sia D = (a, b).Allora esistono sempre interi m ed n tali che

ma + nb = D

Denizione 93 (Minimo Comune Multiplo) Si dice Minimo Comune Mul-tiplo di due interi positivi a e b un intero m tale che:

1. a|m e b|m2. per ogni n tale che a|n e b|n =⇒ m|n

e si indica con mcm(a,b).

6.3 Congruenze

6.3.1 CongruenzaDenizione 94 (Congruenza) Si dice che a è congruo a b modulo m sem|(a− b) e si indica con

a ≡ b mod m.

La congruenza modulo m è una relazione di equivalenza, infatti:

qualunque sia a, a ≡ a mod m (riessività)

se a ≡ b mod m allora b ≡ a mod m (simmetria)

se a ≡ b mod m e b ≡ c mod m allora a ≡ c mod m (transitività).

6.3.2 Classi di congruenzaL'insieme quoziente dei numeri interi rispetto alla relazione di congruenza mo-dulo m si chiama insieme delle classi resto modulo m, ed è formato da mclassi distinte. La classe di resto modulo m di un numero a si indica con

[a]m

Per denizione [a]m + [b]m = [a + b]m e [a]m · [b]m = [a · b]m.

Osservazione 17 Saper decidere se un numero a ∈ [0]m equivale a saper deci-dere se b è divisibile per m.

Page 62: Formulario di Matematica

62 CAPITOLO 6. ARITMETICA

6.3.3 Criteri di congruenza

Tali criteri servono per determinare a che cosa è congruo un numero intero.Questi diventano criteri di divisibilità, cioè a è divisibile per m, se a ≡ 0 mod m

Modulo 2. Un intero è congruo modulo 2 alla sua cifra delle unità. Modulo 3. Un intero è congruo modulo 3 alla somma delle sue cifre. Modulo 4. Un intero è congruo modulo 4 all'intero constituito dalle

sue due ultime cifre a destra. Modulo 5. Un intero è congruo modulo 5 alla sua cifra delle unità. Modulo 10. Un intero è congruo modulo 10 alla sua cifra delle

unità. Modulo 11 Un intero è congruo modulo 11 alla somma a segno

alterno delle sue cifre.

6.3.4 Il Teorema di Wilson

Teorema 58 (Teorema di Wilson) Se p è primo allora

(p− 1)! ≡ −1 mod p.

6.3.5 Il Teorema di Eulero-Fernat

La funzione euleriana φ(m) esprime il numero degli interi minori di m primi conm, ovvero il numero degli interi r tale che:

1. 1 ≤ r < m;2. (r,m) = 1.

Teorema 59 (Teorema di Eulero-Fermat) Se (b,m) = 1 allora bφ(m) ≡1 mod m.

6.3.6 Piccolo Teorema di Fermat

Teorema 60 (Piccolo Teorema di Fermat) Sia a un intero e p un primotale che (a,p)=1. Allora

ap−1 ≡ 1 mod p.

Teorema 61 (Corollario del piccolo Teorema di Fermat) Per ogni inte-ro a si ha che

ap ≡ a mod p

Page 63: Formulario di Matematica

6.4. PRINCIPIO DI INDUZIONE 63

6.4 Principio di induzioneSia Pn una successione di proposizioni, ciascuna collegata a un numero naturalen. Supponiamo che

1. P0 è vera,2. per ogni n ∈ N si ha l'implicazione Pn vera ⇒Pn+1 vera.

Allora Pn è vera per ogni n ∈ N.

Page 64: Formulario di Matematica

64 CAPITOLO 6. ARITMETICA

Page 65: Formulario di Matematica

Capitolo 7

Alfabeto Greco

A α alfa/alpha angoli pianiB β beta angoli pianiΓ γ gamma angoli piani∆ δ delta area; ∆ = b2 − 4ac (discriminante)E ε/ε epsilonZ ζ zetaH η etaΘ θ/ϑ theta angoliI ι iotaK κ kappaΛ λ lambda scalare di un vettoreM µ mu/mi [SI]: micro (10−6)N ν ni/nu ν: frequenzaΞ ξ xiO omicronΠ π/$ pi/pi greco Π: produttoria; π ' 3, 141592653589793238462643383279...P ρ/% rhoΣ σ/ς sigma Σ: sommatoria; σ: deviazione standardT τ tau τ : sezione aurea (1, 618...)Υ υ upsilonΦ φ/ϕ phi φ: sezione aurea (1, 618...); φ(n): funzione di Eulero; Φ(~V ): ussoX χ chiΨ ψ psiΩ ω omega angoli solidi

Tabella 7.1: Alfabeto Greco

65

Page 66: Formulario di Matematica

66 CAPITOLO 7. ALFABETO GRECO

Page 67: Formulario di Matematica

Parte II

Bibliograa

67

Page 68: Formulario di Matematica
Page 69: Formulario di Matematica

Bibliograa

[1] Richard Courant, Herbert Robbins, Che cos'è la Matematica?, BollatiBoringhieri, 2002, Seconda Edizione riveduta da Ian Stewart.

[2] Massimo Gobbino, Schede Olimpiche, Pitagora, 2003, Prima Edizione.[3] Emilio Acerbi, Giuseppe Buttazzo, Primo Corso di Analisi

Matematica, Pitagora Editrice, 1997, Prima Edizione.[4] Emilio Acerbi, Matematica Preuniversitaria di Base, Pitagora

Editrice, 1997, Prima Edizione.[5] Enrico Giusti, Analisi Matematica 1, Bollati Boringhieri, 2002, Terza

Edizione.

69

Page 70: Formulario di Matematica

70 BIBLIOGRAFIA

Page 71: Formulario di Matematica

Parte III

Indici

71

Page 72: Formulario di Matematica
Page 73: Formulario di Matematica

Elenco delle tabelle

1.1 Tavole di Verità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2 Leggi Logiche Notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.1 Formule di Conversione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.2 Archi noti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.3 Archi associati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.4 Conica Generica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.1 Derivate Fondamentali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.2 Regole di Derivazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

7.1 Alfabeto Greco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

73

Page 74: Formulario di Matematica

74 ELENCO DELLE TABELLE

Page 75: Formulario di Matematica

Indice

0.1 Prefazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

I Formulario 3

1 Logica e Insiemistica 51.1 Logica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1 Denizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.2 Connettivi Logici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.3 Tabelle di Verità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.4 Leggi logiche notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 Insiemistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Algebra Elementare 92.1 Denizione di |R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Scomposizioni Notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2.1 Potenza di un polinomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2.2 Fattorizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2.3 Risoluzione di equazioni di secondo grado in una incognita 10

2.3 Radicali doppi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.4 Disequazioni irrazionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.5 Potenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.5.1 Denizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.5.2 Proprietà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.6 Logaritmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.6.1 Denizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.6.2 Proprietà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.7 Modulo o Valore Assoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.7.1 Denizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.7.2 Proprietà degli Spazi Metrici . . . . . . . . . . . . . . . . 12

75

Page 76: Formulario di Matematica

76 INDICE

2.8 Altre funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.8.1 Fattoriale, Semifattoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.8.2 Segno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.8.3 Parte intera, parte decimale . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.8.4 Parte positiva, Parte negativa . . . . . . . . . . . . . . . . 132.8.5 Funzione di Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.8.6 Funzioni iperboliche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.8.7 Funzione Esponenziale, ex = exp(x) . . . . . . . . . . . . 14

2.9 Serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.9.1 Serie Aritmetiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.9.2 Serie Geometriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.9.3 Disuguaglianze Notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.9.4 Sommatorie Classiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3 Geometria 173.1 Goniometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.1.1 Relazione Fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.1.2 Tangente e Cotangente: Denizioni . . . . . . . . . . . . . 173.1.3 Secante e Cosecante: Denizioni . . . . . . . . . . . . . . 173.1.4 Formule di Addizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.1.5 Formule di Duplicazione e di Triplicazione . . . . . . . . . 183.1.6 Formule di Bisezione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.1.7 Formule Parametriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.1.8 Formule di Prostaferesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.1.9 Formule di Werner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.1.10 Formule di Conversione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.1.11 Archi Noti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.1.12 Archi Associati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.2 Trigonometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.2.1 Triangolo Qualsiasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.2.2 Triangolo Rettangolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.3 Geometria Analitica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.3.1 Punto e Retta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.3.2 Coniche 1: Circonferenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.3.3 Coniche 2.1: Parabola con asse parallelo all'asse y . . . . 213.3.4 Coniche 2.2: Parabola con asse parallelo all'asse x . . . . 223.3.5 Coniche 3: Ellisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Page 77: Formulario di Matematica

INDICE 77

3.3.6 Coniche 4.1.1: Iperbole riferita ai suoi assi di simmetriacon fuochi sull'asse x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.3.7 Coniche 4.1.2: Iperbole riferita ai suoi assi di simmetriacon fuochi sull'asse y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.3.8 Coniche 4.2.1: Iperbole equilatera riferita ai suoi assi disimmetria con fuochi sull'asse x . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.3.9 Coniche 4.2.2: Ip. eq. rif. assi simm. con fuochi sull'asse y 233.3.10 Coniche 4.3: Iperbole equilatera riferita ai suoi asintoti . . 233.3.11 Coniche 4.4: Iperbole equilatera traslata o Funzione omo-

graca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.3.12 Coniche 5: Conica generica . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.4 Trasformazioni: Anità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.4.1 Prodotto di Anità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.4.2 Casi Particolari di Anità . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.4.3 Proprietà Invarianti delle Anità . . . . . . . . . . . . . . 28

4 Analisi 294.1 Elementi di Topologia: Intervalli . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.2 Relazioni e Funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.2.1 Relazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.2.2 Funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.3 Limiti e Forme Indeterminate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.3.1 Denizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.3.2 Forme Indeterminate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.3.3 Limiti Notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.3.4 Altri Limiti ricavabili dai Limiti Fondamentali . . . . . . 354.3.5 Operazioni su ±∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.3.6 Teoremi sui Limiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.3.7 Teoremi di de l'Hôpital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.3.8 Proprietà sui Limiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.3.9 Limiti di Funzioni Monotòne . . . . . . . . . . . . . . . . 394.3.10 Innitesimi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.4 Funzioni Continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.4.1 Denizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.5 Derivate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.5.1 Denizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.5.2 Proprietà locali di una funzione . . . . . . . . . . . . . . . 434.5.3 Convessità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.5.4 Teoremi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Page 78: Formulario di Matematica

78 INDICE

4.5.5 Teoremi Funzioni Convesse . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.5.6 Derivate Fondamentali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.5.7 Regole di Derivazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.6 Integrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.6.1 Denizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.6.2 Integrale di Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.6.3 Teoremi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.6.4 Integrali Notevoli Fondamentali . . . . . . . . . . . . . . . 474.6.5 Regole di Integrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.6.6 Altri Integrali Notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.6.7 Integrali per Serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.6.8 Integrazione di Funzioni Goniometriche . . . . . . . . . . 494.6.9 Integrazione di Funzioni Razionali . . . . . . . . . . . . . 504.6.10 Tecniche di Integrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.6.11 Integrazione Numerica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.6.12 Lunghezze di Archi di Curva, Volumi e Superci di Solidi

di Rotazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.7 Polinomio di Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.7.1 Formula di Taylor con resto di Lagrange . . . . . . . . . . 524.7.2 Formula di Taylor con resto di integrale . . . . . . . . . . 524.7.3 Sviluppi di Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.8 Studio di Funzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.9 Approssimazione di Radici Reali . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5 Combinatoria e Probabilità 555.1 Combinatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.1.1 Fattoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.1.2 Coecienti Binomiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.1.3 Combinazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.1.4 Permutazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565.1.5 Disposizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5.2 Probabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565.2.1 Denizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565.2.2 Probabilità Condizionata . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565.2.3 Somma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565.2.4 Prodotto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575.2.5 Formula di Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575.2.6 Distribuzione Binomiale di Bernoulli . . . . . . . . . . . . 575.2.7 Speranza Matematica o Valor Medio . . . . . . . . . . . . 57

Page 79: Formulario di Matematica

INDICE 79

6 Aritmetica 596.1 Rappresentazione in base b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

6.1.1 Rappresentazione in base b degli interi . . . . . . . . . . . 596.1.2 Rappresentazione in base b dei reali . . . . . . . . . . . . 59

6.2 Divisibilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596.2.1 Divisibilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596.2.2 Numeri primi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606.2.3 Massimo Comun Divisore e Minimo Comune Multiplo . . 60

6.3 Congruenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616.3.1 Congruenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616.3.2 Classi di congruenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616.3.3 Criteri di congruenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626.3.4 Il Teorema di Wilson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626.3.5 Il Teorema di Eulero-Fernat . . . . . . . . . . . . . . . . . 626.3.6 Piccolo Teorema di Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

6.4 Principio di induzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

7 Alfabeto Greco 65

II Bibliograa 67

Bibliograa 69

III Indici 71

Elenco delle Tabelle 73

Indice 75

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……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

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11. Geometria piana

1. Formule fondamentali

Rettangolo

b = base h = altezza

d = diagonale A = area

2p = perimetro p = semiperimetro

Quadrato

l = lato d = diagonale

A = area 2p = perimetro p = semiperimetro

Parallelogramma

b = base h = altezza

a = lato obliquo

A = area 2p = perimetro

Triangolo

a, b, c = lati h = altezza

A = area 2p = perimetro

p= semiperimetro

b

a c

m h

=A b h⋅ h

Ab =

b

Ah =

( )2 2p b h= ⋅ + p b h= + h p b= − b p h= −

22= hbd + 2 2=b d h− 2 2=h d b−

2=A l Al =

2= ld 2

=d

l

=A b h⋅ h

Ab =

b

Ah =

( )2 2p b a= ⋅ + b p a= − a p b= −

I lati opposti sono paralleli e uguali.

Gli angoli opposti sono uguali.

Gli angoli adiacenti sono supplementari.

Le diagonali si tagliano reciprocamente a metà.

a

=2

b hA

h

Ab

⋅2=

b

Ah

⋅2=

))()((= cpbpappA −−− formula di Erone

2p a b c= + + 2

=cba

p++

Mediana relativa al lato a è 2 2 212 2

2am b c a= + −

Bisettrice relativa al lato a è ( )2al bcp p a

b c= −

+

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Triangolo rettangolo

a = ipotenusa b = cateto c = cateto

h = altezza relativa all’ipotenusa

AM = mediana relativa all’ipotenusa

A = area 2p = perimetro

Triangoli particolari

Rombo

Deltoide

A

C

B

H a

b

c

α β

γ

h

M

= =2 2

a h c bA

⋅ ⋅ =

c bh

a

⋅ 2p=a+b+c

Teorema di Pitagora

2 2 2 2 2 2= , = , =a b c c a b b a c+ − −

1° teorema di Euclide 2

AB BC HB= ⋅ , 2

AC BC HC= ⋅

2° teorema di Euclide 2

AH BH HC= ⋅

Il triangolo rettangolo è sempre inscrivibile in una

semicirconferenza di diametro l’ipotenusa e raggio AM.

2

aAM =

2 = 4p l⋅ 1 2=2

d dA

2

1

2=d

Ad

1

2

2=d

Ad

44=

2

2

2

1 ddl + 1 2

4

d dr

l

⋅=

l = lato d1, d2 = diagonali

A = area 2p = perimetro

r = raggio del cerchio inscritto

d1, d2 = diagonali, A=area

1 2=2

d dA

2

1

2=d

Ad

1

2

2=d

Ad

Il deltoide ha le diagonali perpendicolari e i lati uguali a

due a due.

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Trapezio

Trapezio isoscele

Trapezio rettangolo

Poligono regolare

Ha tutti gli angoli e tutti i lati uguali.

l = lato del poligono, n = numero di lati

r = raggio del cerchio circoscritto,

a = apotema = raggio del cerchio inscritto,

2p = perimetro, p = semiperimetro,

A = area, f = numero fisso area,

N = numero fisso apotema

b

B

h l l

d

A B

C D

H

O r

a

l

2

l

b1 = base maggiore b2 = base minore A = area

1 2( )=

2

b b hA

+ ⋅

21

2=

bb

Ah

+ 21

2= b

h

Ab −

12

2= b

h

Ab −

B = base maggiore, b = base minore, l = lato, h = altezza

d = diagonale, A = area, 2p = perimetro

( )2

B b hA

+ ⋅= 2 2p l b B= + +

2

2

2

B bl h

− = +

2

2

2

B bh l

− = −

2

2

2

B bd h

+ = +

DC = base minore, AB = base maggiore, CB = lato

obliquo, DA = CH = altezza, AC e DB diagonali

HB AB DC= − 2 2

CB CH HB= +

2 2

DB DA AB= + 2 2

AC DC AD= +

2 2

CH CB HB= −

lato triangolo equilatero 3 3l r= , lato quadrato 4 2l r=

lato pentagono regolare 5

10 2 5

2l r

−=

lato decagono regolare 10

5 1

2l r

−=

21= =

2A p a n l a l f⋅ ⋅ ⋅ = ⋅

=A

a l Np

⋅ = 2p n l= ⋅

2

2

2

lr a

= +

N numero fisso apotema f numero fisso area

Triangolo 0.289 0.433

Quadrato 0.5 1

pentagono 0.688 1.72

esagono 0.866 2.598

ettagono 1.038 3.634

ottagono 1.207 4.828

ennagono 1.374 6.182

decagono 1.539 7.694

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Circonferenza e cerchio

Settore circolare

Corona circolare

Poligono circoscritto a una circonferenza

Triangolo inscritto e cricoscritto a una circonferenza

r

r R

r

R

C = Circonferenza A = area d = diametro

3.14159265359...π ≈

2C rπ= =2

Cr

π C dπ=

C

dπ=

2=A rπ =A

α = angolo del settore, l = lunghezza dell’arco

o180=

απ ⋅⋅ rl

απ ⋅⋅ o180

=l

r r

l

⋅⋅π

αo180

=

2

=360

rA

πα

⋅⋅

o

2

360=

r

A

⋅⋅π

αo

απ ⋅

⋅ o360=

Ar

l

r = raggio del cerchio interno,

R = raggio del cerchio esterno,

A = area

( )2 2A R rπ= −

2p = perimetro del poligono, p = semiperimetro

A = area del poligono

r = raggio del cerchio inscritto

=A p r⋅ p

Ar =

r

Ap

2=2

A = area del triangolo a, b, c lati del triangolo

R = raggio del cerchio circoscritto

r = raggio del cerchio inscritto

p = semiperimetro

=4

a b cA

R

⋅ ⋅⋅

=4

a b cR

A

⋅ ⋅⋅

=A

rp

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2. Prime definizioni di geometria razionale

Enti primitivi. Gli enti primitivi della geometria sono punto, retta, piano.

Semiretta. Si chiama semiretta la parte di retta costituita da un punto di essa, detto origine della

semiretta, e da tutti i punti che stanno dalla stessa parte rispetto all’origine.

Semipiano. Si dice semipiano di origine la retta r la figura formata dalla retta r e da una delle due parti

in cui essa divide il piano.

Segmento. Si chiama segmento AB l’insieme dei punti A e B e di tutti quelli che stanno tra A e B.

Segmenti consecutivi. Due segmenti si dicono consecutivi se hanno in comune soltanto un estremo. Segmenti adiacenti. Due segmenti si dicono adiacenti se sono consecutivi ed appartengono alla stessa

retta.

Figura 1. AB e BC sono segmenti consecuti; DE e EF sono segmenti adiacenti.

Punto medio. Si chiama punto medio di un segmento il punto interno al segmento che lo divide in due

parti congruenti.

Angolo

Si dice angolo ciascuna delle due parti in cui un piano è diviso da due semirette aventi l’origine in

comune; le semirette si dicono lati dell’angolo; l’origine comune alle due semirette si dice vertice

dell’angolo.

Angolo concavo. Un angolo si dice concavo se contiene i prolungamenti dei suoi lati.

Angolo convesso. Un angolo si dice convesso se non contiene i prolungamenti dei suoi lati.

Angolo piatto è quello che ha i lati che sono uno il prolungamento dell’altro.

Angolo nullo è quello costituito solo da due semirette sovrapposte.

Angolo giro è quello che ha per lati due semirette sovrapposte e che contiene tutti i punti del piano.

Angolo retto è l’angolo metà dell’angolo piatto.

Angoli consecutivi. Due angoli si dicono angoli consecutivi se hanno il vertice e un lato comune e

giacciono da parte opposta rispetto al lato comune.

Angoli adiacenti. Due angoli si dicono angoli adiacenti se sono consecutivi e se i lati non comuni giacciono sulla stessa retta.

A

B

C D

E F

L’angolo in grigio è concavo poiché

contiene i prolungamenti dei suoi lati

L’angolo in grigio è convesso poiché non

contiene i prolungamenti dei suoi lati

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Figura 2. Gli angoli α e β sono consecutivi; gli angoli γ e δ sono adiacenti

Angoli opposti al vertice. Due angoli convessi si dicono angoli opposti al vertice se i lati del primo

sono i prolungamenti dei lati dell’altro.

Bisettrice. Si dice bisettrice di un angolo la semiretta che ha origine nel vertice dell’angolo e divide

l’angolo in due angoli congruenti.

Angoli complementari. Due angoli si dicono complementari se la loro somma è un angolo retto.

Angoli supplementari. Due angoli si dicono supplementari se la loro somma è un angolo piatto.

Angoli esplementari. Due angoli si dicono esplementari se la loro somma è un angolo giro.

Angolo acuto. Un angolo si dice acuto se è minore di un angolo retto.

Angolo ottuso. Un angolo si dice ottuso se è maggiore di un angolo retto.

Misura degli angoli

Sistema sessagesimale (DEG). L’unità di misura per gli angoli è il grado, definito come la 360a parte

dell’angolo giro. I sottomultipli del grado sono il primo che è la sessantesima parte di un grado (60’=1°) e il secondo che è la sessantesima parte del primo (60”=1’).

Sistema sessadecimale (GRAD). Nel sistema sessadecimale l’unità è sempre il grado ma i suoi

sottomulpli sono il decimo di grado, il centesimo di grado, ecc.

Esempio. Passare da gradi sessadecimali a sessagesimali:

35,12 35 0,12 60 ' 35 7,2 ' 35 7 ' 0, 2 60" 35 7 '12"° = ° ⋅ = ° = ° ⋅ = °

Radianti (RAD). Un'altra unità di misura per i gradi è il radiante, definito come angolo al centro di una

circonferenza tale che la misura dell’arco da esso individuato è uguale alla misura del raggio della

circonferenza. Per passare da gradi a radianti e viceversa si usa questa proporzione

180 : :gr radπ=

Dove gr è la misura in gradi dell’angolo, rad è la misura inradianti dello stesso angolo.

1 rad = 180

π°

= 57,29578° = 57° 17’ 45”

Esempio. Trasformare 135° in radianti. 135

180 :135 : rad radπ= → =3

180

π 3

44

π=

Rette complanari. Due rette si dicono complanari se appartengono a uno stesso piano.

Rette sghembe. Due rette si dicono sghembe se non appartengono a uno stesso piano.

Rette incidenti. Due rette complanari si dicono incidenti se hanno uno, e uno solo, punto in comune.

Rette parallele. Due rette complanari che non hanno nessun punto in comune si dicono parallele.

Rette perpendicolari. Due rette si dicono perpendicolari se incontrandosi formano quattro angoli retti.

Distanza punto-retta. La distanza di un punto P da una retta r è il segmento di perpendicolare condatta

dal punto alla retta.

Asse di un segmento. Si dice asse di un segmento la retta perpendicolare al segmento e passante per il

punto medio.

α β

γ δ

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Figura concava o convessa. Una figura si dice convessa se, considerati due qualsiasi suoi punti, il

segmento che li unisce è contenuto nella figura. Si dice concava se esistono almeno due punti per i

quali il segmento che li unisce non è interamente contenuto nella figura.

Figura 2. La figura F è concava perché il segmento che unisce i suoi punti A e B cade

in parte esternamente a F; G è convessa perché tutti i suoi punti sono uniti da segmenti

che cadono sempre internamente a G

Figure congruenti. Due figure si dicono congruenti quando esiste un movimento rigido che le so-

vrappone perfettamente.

Rette parallele tagliate da un trasversale.

Due rette parallele tagliate da una traversale formano le seguenti coppie di angoli

• alterni interni congruenti: γ=α’; β=δ’

• alterni esterni congruenti: γ’=α; β’=δ

• corrispondenti congruenti: α =α’; β= β ‘; γ= γ ‘; δ =δ’

• coniugati interni supplementari: γ+δ’=180°; α’+β=180°

• coniguati esterni supplementari: γ’+δ=180°; α+β’=180°

α

β γ

δ

α'

β'

δ'

γ'

A

B F G

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3. Triangoli Si dice altezza relativa a un lato il segmento di perpendicolare al lato condotta dal vertice opposto.

Si dice mediana relativa a un lato il segmento che unisce il punto medio del lato con il vertice opposto.

Si dice bisettrice di un angolo la semiretta uscente dal vertice dell’angolo e che divide a metà l’angolo

stesso.

Si dice asse di un lato la retta perpendicolare al lato e passante per il suo punto medio.

Criteri di congruenza dei triangoli

Dati due triangoli come in figura

1° criterio: i due triangoli sono congruenti se hanno congruenti due lati e l’angolo compreso

a=a’; b=b’; γ=γ’

2° criterio: i due triangoli sono congruenti se hanno congruenti un lato e i due angoli a esso adiacenti

α=α’; β=β’; c=c’

3° criterio: i due triangoli sono congruenti se hanno congruenti rispettivamente i tre lati

a=a’; b=b’; c=c’

Criteri di congruenza dei triangoli rettangoli

Due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti:

• due cateti;

• un cateto e un angolo acuto;

• l’ipotenusa e un angolo acuto;

• l’ipotenusa e un cateto.

Proprietà di angoli e lati di un triangolo

• In un triangolo ogni angolo esterno è maggiore di ciascuno degli angoli interni ad esso non adiacenti.

• In un triangolo un angolo esterno è congruente alla somma dei due angoli interni a esso non

adiacenti.

• In un triangolo la somma degli angoli interni è un angolo piatto.

• In un triangolo la somma degli angoli esterni vale 360°.

• In un triangolo con due lati disuguali, a lato maggiore è opposto angolo maggiore.

• In un triangolo con due angoli disuguali, all’angolo maggiore è opposto il lato maggiore.

• In un triangolo ciascun lato è minore della somma degli altri due e maggiore della loro differenza.

α

β

φ

ϕ α β= +

a

b

c

a'

b'

c'

α

β

γ α'

β'

γ'

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• In un triangolo rettangolo gli angoli acuti sono complementari.

• Se per il punto medio di un lato si traccia la parallela ad un altro lato, essa taglia il terzo lato nel

suo punto medio.

• Congiungendo due punti medi di due lati di un triangolo si ottiene un segmento parallelo al terzo

lato e congruente alla sua metà.

Proprietà del triangolo isoscele

Definizione. Un triangolo che ha due lati congruenti si dice isoscele.

• In un triangolo isoscele gli angoli adiacenti alla base sono congruenti.

• In un triangolo isoscele la bisettrice dell’angolo al vertice è mediana e

altezza.

Punti notevoli di un triangolo

Gli assi dei lati di un triangolo si incontrano in uno stesso punto detto circocentro.

Le bisettrici degli angoli interni di un triangolo passano per uno stesso punto detto incentro.

Le altezze di un triangolo si incontrano in uno stesso punto detto ortocentro.

Le mediane di un triangolo si incontrano in uno stesso punto detto baricentro.

Figura 2. Il punto D è l’intersezione delle altezza, quindi è l’ortocentro. Il punto E è l’incontro delle

bisettrici, quindi è l’incentro. Il punto I è l’intersezione delle mediane, quindi il baricentro.

Teoremi sul triangolo rettangolo

Teorema di Pitagora. In un triangolo rettangolo la somma dei quadrati costruiti sui cateti è

equivalente al quadrato costruito sull’ipotenusa.

a

b

c a<b+c, b<a+c, c<a+b

a>|b-c|, b>|a-c|, c>|b-a|

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1° teorema di Euclide. In un triangolo rettangolo il quadrato costruito su un cateto è equivalente al

rettangolo avente per lati l’ipotenusa e la proiezione di quel cateto sull’ipotenusa.

2° teorema di Euclide. In ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’altezza relativa

all’ipotenusa è equivalente al rettangolo avente per lati le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa.

Teorema di Talete. Un fascio di rette parallele tagliate da due trasversali determina su di esse due

insiemi di segmenti direttamente proporzionali.

Figura 3. Teorema di Talete

Teorema della bisettrice dell’angolo interno. La bisettrice di un angolo interno di un triangolo divide

il lato opposto in parti proporzionali agli altri due lati.

Teorema della bisettrice dell’angolo esterno. La bisettrice di un angolo esterno di un triangolo, se

non è parallela al lato opposto, incontra il prolungamento del lato opposto in un punto le cui distanze

dagli estremi del lato stanno fra loro come i lati adiacenti.

Teorema della parallela a un lato. In un triangolo una qualsiasi parallela a un lato che interseca gli

altri due lati determina su di essi segmenti in proporzione.

r r’

A A’

B B’

C C’

' ' ' ' ' '

AB BC AC

A B B C A C= =

A B

C

K AC:AB=CK:KB

A

B C

H

D AH bisettrice dell’angolo esterno BAD

H punti di intersezione tra la bisettrice e

il prolungamento del lato BC.

Il teorema afferma che

AC:AB=HC:HB

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Criteri di similitudine dei triangoli

1° criterio. Due triangoli sono simili se hanno due angoli ordinatamente congruenti, cioè disposti allo

stesso modo rispetto all’angolo tra essi compreso.

2° criterio. Due triangoli sono simili se hanno due lati proporzionali e l’angolo tra essi compreso

congruente.

3° criterio. Due triangoli sono simili se hanno i tre lati proporzionali.

Proprietà dei triangoli simili

• In due triangoli simili le altezze, le mediane e le bisettrici che si corrispondono sono proporzionali

ad una coppia di lati omologhi, il loro rapporto è uguale al rapporto di similitudine.

• In due triangoli simili i perimetri sono proporzionali a una coppia di lati omologhi, il loro rapporto

è uguale al rapporto di similitudine.

• In due triangoli simili le aree sono proporzionali al quadrato di una coppia di lati omologhi, cioè il

loro rapporto è uguale al quadrato del rapporto di similitudine.

• Due triangoli equilateri sono sempre simili.

• Due triangoli rettangoli, con un angolo acuto congruente, sono simili.

• Due triangoli isosceli, con gli angoli al vertice congruenti, sono simili.

4. Poligoni Proprietà degli angoli di un poligono

• La somma degli angoli interni di un poligono convesso di n lati è congruente a n-2 angoli piatti.

• La somma degli angoli esterni di un poligono è sempre congruente a due angoli piatti.

A B

C

E D

AE:EC=BD:DC

α

β γ

δ

φ

α'

φ'

δ'

γ'

β'

Somma degli angoli interni

α+β+γ+δ+φ=(n-2)180°

Somma degli angoli esterni

α’+β’+γ’+δ’+φ’=360°

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Proprietà del parallelogramma

Definizione. Si dice parallelogramma un quadrilatero convesso che ha i lati opposti paralleli tra di loro.

Il parallelogramma ha

• Lati opposti congruenti: AB=DC; AD=BC

• Angoli opposti congruenti: α=γ; β=δ

• Angoli adiacenti allo stesso lato sono supplementari: α+δ = 180°; γ+β=180°

• Le diagonali si incontrano nel loro punto medio AO=OC; DO=OB

• Il punto di incontro delle diagonali è il centro di simmetria

Proprietà del rettangolo

Definizione. Si dice rettangolo un parallelogramma che ha tutti gli angoli congruenti.

Il rettangolo ha le diagonali congruenti.

Proprietà del rombo

Definizione. Si chiama rombo il parallelogramma che ha tutti i lati congruenti

Il rombo ha:

• le diagonali perpendicolari;

• le diagonali sono bisettrici degli angoli opposti.

Poligoni inscritti e circoscritti a una circonferenza

Un poligono si dice inscritto in una circonferenza se tutti i suoi vertici sono punti della circonferenza;

la circonferenza si dice circoscritta al poligono; il raggio della circonferenza si dice anche raggio del

poligono.

Un poligono si dice circoscritto a una circonferenza se tutti i suoi lati sono tangenti alla circonferenza;

la circonferenza si dice inscritta nel poligono, il raggio della circonferenza si dice apotema del

poligono.

Teorema. Un poligono è inscrivibile in una circonferenza se gli assi dei suoi lati si incontrano tutti

nello stesso punto.

Teorema. Un poligono è circoscrivibile ad una circonferenza se le bisettrici dei suoi angoli interni si

incontrano tutte nello stesso punto.

Poligono inscritto Poligono circoscritto

apotema

A B

C D

O α β

γ δ

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Teorema. Un quadrilatero inscritto in una circonferenza ha gli angoli opposti supplementari; viceversa

un quadrilatero con una coppia di angoli opposti supplementari è inscrivibile in una circonferenza.

Teorema. In un quadrilatero circoscritto a una circonferenza la somma di due lati opposti è congruente

alla somma degli altri due lati; viceversa se in un quadrilatero la somma di due lati opposti è

congruente alla somma degli altri due lati esso è circoscrivibile a una circonferenza.

Teorema di Tolomeo. In un quadrilatero inscritto in una circonferenza risulta che: il rettangolo che ha

per dimensioni le diagonali del quadrilatero è equivalente alla somma dei rettangoli che hanno per lati i

lati opposti del quadrilatero.

Definizione. Un poligono si dice poligono regolare se ha tutti i lati congruenti e tutti gli angoli

congruenti.

Teorema. Ogni poligono regolare è sia inscrivibile sia circoscrivibile a una circonferenza e le due

circonferenze hanno lo stesso centro.

Similitudine tra poligoni

Due poligoni di uguale numero di lati sono simili se hanno i lati omologhi in proporzione e gli angoli

ordinatamente congruenti.

a d

c b

a+c=b+d

α

β

γ

δ

α+β=180°

β+δ=180°

a

b c

d

m

n m·n=a·c+b·d

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5. Circonferenza e cerchio Definizioni

Si chiama circonferenza il luogo dei punti del piano che hanno distanza costante da un punto fisso

detto centro.

Si chiama cerchio l’insieme dei punti di una circonferenza e dei suoi punti interni.

Si chiama corda un qualsiasi segmento i cui estremi sono punti della circonferenza.

Si chiama segmento circolare di base una corda AB ciascuna delle due parti in cui la corda divide il

cerchio.

Si chiama segmento circolare a due basi la parte di cerchio delimitata da due corde.

Si chiama arco di circonferenza la parte di circonferenza delimitata da due suoi punti.

Si chiama angolo al centro un angolo che ha il vertice nel centro della circonferenza.

Si chiama angolo alla circonferenza un angolo che ha il vertice sulla circonferenza e i lati entrambi

secanti o uno secante e l’altro tangente alla circonferenza.

Si chiama settore circolare una parte di cerchio delimitata da due raggi.

Teorema della tangente. Se da un punto esterno a una circonferenza si mandano le tangenti alla

circonferenza stessa, i segmenti di tangente sono congruenti e la semiretta di orgine il punto esterno e

passante per il centro è bisettrice dell’angolo formato dalle tangenti.

Teorema dell’angolo al centro. Ogni angolo alla circonferenza è la metà del

corrispondente angolo al centro.

Teorema delle corde. Se due corde di una circonferenza si intersecano, i segmenti dell’una sono i

medi e i segmenti dell’altra sono gli estremi di una proporzione.

P O

T

T’

PT e PT’ sono tangenti

PT=PT’

TPO= 'OPT

' 90OTP OT P= = °

A

B C

D

K

DK:AK=BK:CK

2α α

α

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Teorema delle secanti. Se da un punto esterno a una circonferenza si tracciano due secanti, una

secante e la sua parte esterna sono i medi, l’altra secante e la sua parte esterna sono gli estremi di una

proporzione.

Teorema della secante e della tangente. Se da un punto esterno a una circonferenza si conducono una

secante e una tangente alla circonferenza, il segmento di tangente è medio proporzionale fra l’intera

secante e la sua parte esterna.

Sezione aurea. La parte aurea di un segmento AB è il segmento AD che è medio proporzionale tra

l’intero segmento e la parte rimanente BD, quindi AB:AD=AD:DB.

Rapporto aureo. Si chiama rapporto aureo il rapporto tra un segmento e la sua parte aurea, questo

rapporto vale 1 5

1,6182

AB

ADϕ

+= = ≈ .

Rettangolo aureo. Si dice rettangolo aureo un rettangolo nel quale il rapporto tra la base e l’altezza è il

rapporto aureo.

A B D 5 10,618

2AD AB AB

−= =

P

T

A

B

PB:PT=PT:PA

P A

B

C

D

PB:PD=PC:PA

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14. GEOMETRIA SOLIDA Nel seguito: V volume, lA area laterale, bA area di base, tA area totale, bp2 perimetro di base, C circonferenza, d diagonale, h altezza, l lato, r raggio, ri raggio della sfera inscritta, rc raggio della sfera circoscritta, a apotema (in alcuni casi può essere un semplice spigolo). 1. Parallelepipedo rettangono

cbacAV b ⋅⋅⋅ == cpA bl ⋅2= baAb ⋅=

( )= 2 2t b lA A A ab bc ac+ = + + 222= cbad ++

btl AAA 2= − =2

t lb

A A VAc

−=

cAp l

b =2

Il baricentro è il punto di intersezione delle diagonali. 2. Cubo

3= lV 24= lAl 26= lAt 3= ld

2ilr = 3

2clr = 3=

6 4t lA Al V = =

3. Prisma retto Il prisma retto ha la superficie inferiore congruente e parallela alla superficie superiore, le facce laterali sono rettangoli.

hAV b ⋅= hpA bl ⋅2= blt AAA 2= + hAp l

b =2

=2

l

b b

A Vhp A

= btl AAA 2= − 2

= ltb

AAA − hVAb =

4. Prisma obliquo

hAV b ⋅= blt AAA 2= + 5. Piramide retta 1=

3 bV A h⋅ 2=2b

lp aA ⋅ lbt AAA +=

hVAb

3=

22 = lb

Apa

2=2

l

b

Aap

bA

Vh 3=

6. Tronco di piramide

)(31= bbbb AAAAhV ′′ ⋅++⋅⋅

2)2(2= appAl⋅′+

ppAa l

′+ 222= bblt AAAA ′++=

h

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7. Poliedri regolari Area e volume si possono calcolare in maniera approssimata utilizzando i numeri fissi φ e σ

2=A lϕ ⋅ 3=V lσ ⋅ Poliedro Tetraedro Esaedro

o cubo Ottaedro Dodecaedro Icosaedro

Numero fisso per l’area φ

1,73 6 3,464 20,64 8,66

Numero fisso per il volume σ

0,118 1 0,471 7,663 2,182

Tetraedro: formato da 4 triangoli equilateri

3 212

lV = 2 3tA l= 612i

lr = 64c

lr =

Esaedro: formato da 6 quadrati è il cubo Ottaedro: formato da 8 triangoli equilateri

3 23

lV = 22 3tA l= 66i

lr = 22c

lr =

Dodecaedro: formato da 12 pentagoni regolari

( )3 15 7 5

4

lV

+= ( )23 5 5 2 5tA l= +

( )10 25 11 5

20i

lr

+=

( )3 1 5

4c

lr

+=

Icosaedro: formato da 20 triangoli equilateri

( )35 3 5

12

lV

+= 25 3tA l=

( )3 3 5

12i

lr

+= ( )2 5 5

4clr = +

8. Cilindro

hrhAV b2== π⋅ 2= rAb π rhhCAl π2== ⋅

= 2 = 2 ( )t l bA A A r h rπ+ + hVAb =

= 2 lAC rh

π = 2=2

lA Vhr rπ π= =

2lA Vrh hπ π=

9. Cono

3=

3=

2 hrhAV b ⋅⋅⋅ π raaCAl π=2

= ⋅ 2= rAb π

rarAAA lbt ππ ++ 2== r

Aa l

π= 3= lA Vr

a hπ π= 2

3= Vhrπ⋅

l h

l l

l

tetraedro

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10. Tronco di cono ( )2 2

1 1 2 21=3

V h r r r rπ + + )(= 21 rraAl +⋅⋅π 22

21= rrAb ππ +

( )221 2a h r r= + −

11. Sfera

3

34= rV π 24= rA π 3

3=4 4A Vrπ π=

Calotta sferica e segmento sferico Settore sferico ad una base o sezione sferica

)(331= 2 hrhV −π rhA π2= ( )1 2lA r r hπ= +

( )1 2r h r h= − 223

V r hπ=

Zona sferica e segmento sferico a due basi Fuso sferico e spicchio sferico

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⋅

⋅ 22

21

2

32= rrhhV π rhA π2=

3

=270

rV π α°

2

=90l

rA π α°

,

12. Altre figure particolari Cilidro circolare retto a sezione obliqua Corona cilindrica

( )2

2a b

V rπ+

= ( )lA r a bπ= + ( )2 21 2V h r rπ= − ( )1 22lA h r rπ= +

22

2ta bA r a b r rπ

⎛ ⎞−⎛ ⎞⎜ ⎟= + + + + ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ( )( )1 2 1 22tA r r h r rπ= + + −

r1

r2

r a b

r

h r1 r

h r1

α è misurato in gradi Al è la parte di superficie sferica

α r

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Obelisco Cuneo Le superfici laterali sono trapezi, le superfici Superficie di base rettangolare, le superfici laterali superiore e inferiore sono rettangoli non simili. sono triangoli e trapezi isosceli.

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Page 134: Formulario di Matematica

Formulario di Geometria

Edizione 2006 A cura di Gentile Valter

1

FORMULARIO DI GEOMETRIA

A cura di Valter Gentile

E-Notes pubblicata dalla Biblioteca Centrale di Ingegneria Siena, 12 settembre 2006

Page 135: Formulario di Matematica

Formulario di Geometria

Edizione 2006 A cura di Gentile Valter

2

GEOMETRIA Principi ( da scheda 1 a 5) Solidi (da scheda 18 a 35) Teoremi Di Guldino (sch. 50 - 51) Figure Piane (da scheda 6 a 17) Relazioni notevoli (da scheda 36 a 49) Esempi solidi di rotazione(sch. 52)

Figure piane Solidi S = area b = base

h = altezza π = 3,141592

Sl = area laterale Sb = area di base

St = area totale V = Volume

h = altezza del solido S = area

π = 3,141592

Indice Schede Pag. Scheda 1 : Geometria del piano: definizioni 3 Scheda 2 : Geometria del piano: angoli 4 Scheda 3 : Geometria del piano: angoli, tipi di triangoli 5 Scheda 4 : Triangoli: proprietà angoli, similitudine 6 Scheda 5 : Poligoni convessi: proprietà angoli 7 Scheda 6 : Quadrato 8 Scheda 7 : Rettangolo e parallelogrammo 9 Scheda 8 : Triangolo 10 Scheda 9 : Rombo 11 Scheda 10: Trapezio 12 Scheda 11: Poligono regolare 13 Scheda 12: Circonferenza 14 Scheda 13: Arco 15 Scheda 14: Cerchio 16 Scheda 15: Settore circolare 17 Scheda 16: Segmento circolare ad una base 18 Scheda 17: Corona circolare 19 Scheda 18: Prisma retto 20 Scheda 19: Parallelepipedo rettangolo 21 Scheda 20: Cubo 22 Scheda 21: Piramide retta 23 Scheda 22: Tronco di piramide retta 24 Scheda 23: Tetraedro 25 Scheda 24: Ottaedro 26 Scheda 25: Dodecaedro 27 Scheda 26: Icosaedro 28 Scheda 27: Cilindro circolare 29 Scheda 28: Cilindro equilatero 30 Scheda 29: Cono circolare retto 31 Scheda 30: Cono equilatero 32 Scheda 31 Tronco di cono circolare retto 33 Scheda 32: Sfera 34 Scheda 33: Calotta sferica e segmento sferico ad una base 35 Scheda 34: Zona sferica e segmento sferico ad due basi 36 Scheda 35: Fuso sferico o Spicchio 37 Scheda 36: Equivalenza e Similitudine nello spazio 38 Scheda 37: Teorema di Pitagora 39 Scheda 38: I° teorema di Euclide ( per i triangoli rettangoli ) 40 Scheda 39: II° teorema di Euclide ( per i triangoli rettangoli ) 41 Scheda 40: Raggio del cerchio inscritto ( in un triangolo qualsiasi ) 42 Scheda 41: Raggio del cerchio circoscritto ( in un triangolo qualsiasi ) 43 Scheda 42: Quadrilatero convesso inscritto in una circonferenza (teorema di Tolomeo)

Quadrilatero convesso circoscritto ad una circonferenza 44

Scheda 43: Raggio del cerchio exinscritto ( in un triangolo qualsiasi ) 45 Scheda 44: Triangolo equilatero ( relazioni notevoli ) 46 Scheda 45: Triangolo isoscele – Triangolo isoscele circoscritto ( relazioni notevoli ) 47 Scheda 46: Teorema Di Pitagora Generalizzato ( Triangolo qualsiasi ) 48 Scheda 47: Applicazioni della similitudine (teoremi: bisettrici, corde, secante, tangente) 49 Scheda 48: Trapezi circoscritti a semicirconferenze ( relazioni notevoli ) 50 Scheda 49: Trapezi circoscritti a cerchi ( relazioni notevoli ) 51 Scheda 50: I° Teorema di Guldino 52 Scheda 51: II° Teorema di Guldino 53 Scheda 52: Esempi svolti per solidi di rotazione 54 Scheda 53/54: Esempio svolto per i teoremi di Guldino 55

Page 136: Formulario di Matematica

Formulario di Geometria

Edizione 2006 A cura di Gentile Valter

3

Geometria del piano: definizioni

Concetti fondamentali

Elementi della geometria : gli elementi fondamentali della geometria sono il punto, la retta, il piano Concetto di punto : Ci si forma il concetto di punto, osservando corpi minutissimi (granello di

sabbia); lo si rappresenta con un segno piccolissimo della matita sulla carta, lo si indica con una lettera maiuscola.

Concetto di retta : Ci si forma il concetto di retta, osservando un filo teso, prolungato all’infinito da ambo le parti. Una retta si indica con una lettera dell’alfabeto minuscola, o con due lettere maiuscole indicanti due qualsiasi dei suoi punti.

Concetto di piano : Ci si forma il concetto di piano osservando la superficie levigata di un tavolo, prolungata all’infinito da ogni parte. Un piano si indica con una lettera dell’alfabeto greco ( α = alfa, β = beta etc…)

Definizione di spazio : Dicesi spazio l’insieme di tutti i punti esistenti Definizione di figura : Si chiama figura geometrica un qualsiasi gruppo di punti Definizione di geometria : Si chiama geometria la scienza che tratta delle figure geometriche;

geometria piana quella che tratta di figure costituite da punti di uno stesso piano; geometria solida, quella che tratta di figure costituite da punti non giacenti tutti sullo stesso piano , e cioè di figure nello spazio.

Postulato della retta : per due punti distinti passa una retta ed una sola, i punti di una retta sono ordinati in due versi distinti, opposti l’uno all’altro, in modo che non v’è né un primo né un ultimo punto e che fra i due punti, vi sono infiniti punti intermedi.

Postulato del piano : Data una retta qualsiasi di un piano, i punti del piano vengono da essa divisi in due gruppi o semipiani tali che : 1) ogni punto del piano appartiene all’uno o all’altro dei due semipiani 2) la retta che congiunge due punti situati in semipiani opposti incontra la

retta data, in un punto compreso fra di essi, mentre la retta individuata da due punti situati nello stesso semipiano non ha in comune con la retta alcun punto compreso fra essi.

Definizione di semiretta : Si chiama semiretta quella parte di retta costituita da un suo punto (origine) e dai suoi successivi in uno dei due versi segnati sulla retta semiretta AB A B Due semirette si dicono opposte se, essendo situate sulla stessa retta, hanno versi opposti A

Segmenti : Chiamasi segmento la figura formata da due punti distinti (estremi) e da quelli della retta da essa determinata, che sono fra essi compresi segmento AB A B

Segmenti consecutivi ed adiacenti :

Due segmenti si dicono consecutivi se hanno solo un estremo in comune o gli altri due da parti opposte; adiacenti se, oltre ad essere consecutivi giacciono su di una stessa retta. B C A B C A segmenti consecutivi segmenti adiacenti Osservazione: Se due segmenti non hanno estremi in comune possono trovarsi in tre posizioni diverse : 1) un estremo di uno è interno all’altro; in tal caso si dice che si separano 2) i punti di uno sono tutti interni all’altro e allora si dice che uno è interno

all’altro 3) I punti di ciascuno sono estremi all’altro e allora si dice che uno è tutto esterno all’altro.

Page 137: Formulario di Matematica

Formulario di Geometria

Edizione 2006 A cura di Gentile Valter

4

Geometria del piano : angoli

Concetti fondamentali

Semipiani ed angoli: Si dice semipiano la figura costituita dai punti di una retta e dai punti del piano , che si trovano dalla stessa parte rispetto a quella della retta, la quale si dice contorno.

Angolo: Si dice angolo una delle due parti in cui viene diviso il piano da due semirette uscenti da uno stesso punto; oppure Si dice angolo l’insieme dei punti comuni a due semipiani i cui contorni si incontrano in un punto detto vertice, mentre le semirette che lo limitano si dicono lati. A Osservazione : 1) Un angolo si può considerare generato O angolo AÔB

dalla rotazione di una semiretta attorno ad un punto B 2) Due punti interni ad un angolo sono estremi di un segmento

tutto interno all’angolo, mentre un segmento che congiunge un punto interno con un punto esterno incontra certamente uno dei lati dell'angolo

3) Una retta passante per il vertice e per un punto interno ad un angolo lascia i lati da parti opposte, mentre una retta passante per il vertice e per un punto esterno, lascia i lati dalla stessa parte.

Angolo convesso e concavo:

Un angolo dicesi convesso se non contiene il prolungamento dei suoi lati; Un angolo dicesi concavo se contiene il prolungamento dei suoi lati A O convesso concavo B

Angolo piatto e giro: Un angolo si dice piatto quando i suoi lati sono semirette opposte; giro quando i lati sono sovrapposti. O O angolo piatto angolo giro

Angoli consecutivi, adiacenti, opposti al vertice:

Due angoli si dicono: 1) consecutivi quando hanno un lato in comune e gli altri due da parti

opposte rispetto a questo lato; 2) adiacenti quando, oltre ad essere consecutivi hanno gli altri due lati sulla

stessa retta e opposti; 3) opposti al vertice quando i lati dell’uno sono il prolungamento dei lati

dell’altro; due angoli opposti sono congruenti. C β A A B B γ δ α B C D O O A O C α = β γ = δ Angoli consecutivi angoli adiacenti angoli opposti al vertice

Misura degli angoli: Gli angoli possono misurarsi in : 1) gradi : un grado è la novantesima parte di un angolo retto 2) radianti : un radiante è la misura di un angolo al centro di una

circonferenza che sottende un arco di lunghezza pari al raggio Relazione tra misure degli angoli espresse in gradi (α )e radianti ( r )

360° : 2π = α : r da cui r = π α / 180 o α = 180 r /π

se α < 90° (π/2) = angolo acuto se α = 90° (π/2) = angolo retto se α > 90° (π/2) = angolo ottuso se α = 180° (π) = angolo piatto se α = 360° (2π) = angolo giro Angoli complementari: Due angoli si dicono complementari se: α + β = 90° Angoli supplementari: Due angoli si dicono supplementari se: α + β = 180° (es. angoli adiacenti)

Page 138: Formulario di Matematica

Formulario di Geometria

Edizione 2006 A cura di Gentile Valter

5

Geometria del piano: angoli, tipi di triangoli

Concetti fondamentali

Angoli formati da due rette tagliate da una trasversale:

2 1 4 3 a 5 6 b 8 7 c

4 e 6 ; 3 e 5 sono detti alterni interni 4 e 5 ; 3 e 6 sono detti coniugati interni 2 e 8 ; 1 e 7 sono detti alterni esterni 1 e 8 ; 2 e 7 sono detti coniugati esterni 1 e 5 ; 4 e 8 ; 2 e 6 ; 3 e 7 sono detti corrispondenti Se la retta a è perpendicolare alla retta b allora gli angoli alterni interni, alterni

esterni, corrispondenti sono congruenti, mentre sono supplementari gli angoli coniugati interni e coniugati esterni

I triangoli sono detti:

scaleno se a ≠ b ≠ c equilatero se a = b = c isoscele se a = b ≠ c rettangolo se α = 90 Criteri di congruenza dei triangoli:

I triangoli ABC e A’B’C’ sono congruenti (ABC = A’B’C’) se si verifica una delle seguenti condizioni: 1) hanno congruenti due lati e l’angolo compreso

b = b’; c = c’ ; α = α’ 2) hanno congruenti due angoli ed il lato ad essi comune

α = α’ ; β = β’ ; c = c’ 3) hanno congruenti due angoli ed il lato opposto ad uno di essi

α = α’ ; β = β’: a = a’ 4) hanno i tre lati rispettivamente congruenti

a = a’ ; b = b’; c = c’

Page 139: Formulario di Matematica

Formulario di Geometria

Edizione 2006 A cura di Gentile Valter

6

Triangoli: proprietà angoli, similitudine

Figure angoli Figure similitudine

α, β, γ = ampiezze angoli interni δ = angolo esterno Nomenclatura specifica

B1C1 = a1

C1A1 = b1

A1B1 = c1

A1H1 = h1

B2C2 = a2

C2A2 = b2

A2B2 = c2

A2H2 = h2

a1 + b1 + c1 = 2p1

a2 + b2 + c2 = 2p2

S1 = area triangolo A1B1C1 S2 = area triangolo A2 B2C2

Proprietà degli angoli di un triangolo: 1) α + β + γ = 180° 2) un angolo esterno di un triangolo è

uguale alla somma degli angoli interni non adiacenti δ = α + β

3) gli angoli alla base di un triangolo isoscele sono uguali α = β

4) gli angoli acuti di un triangolo rettangolo sono complementari

α + β = 90° α = 90°– β β = 90°– α

Proprietà triangoli simili : 1) Due triangoli si dicono simili se hanno gli angoli

rispettivamente uguali e i lati omologhi in proporzione A1 = A2 B1 = B2 C1 = C2

a1 : a2 = b1 : b 2 = c1 : c 2

2) Per dire che due triangoli sono simili occorre e basta che sia soddisfatta una delle seguenti condizioni: a) che gli angoli siano ordinatamente uguali

A1 = A2 B1 = B2 C1 = C2 b) che un angolo dell’uno sia uguale ad un angolo

dell’altro e che i lati che li comprendono formino una proporzione

A1 = A2 b1 : b 2 = c1 : c 2

c) che i lati dell’uno siano proporzionali ai lati dell’altro

a1 : a2 = b1 : b 2 = c1 : c 2

3) In due triangoli simili i perimetri stanno come due lati omologhi

2p1 : 2p 2 = a1 : a2 4) In due triangoli simili le altezze relative a due lati omologhi stanno come due lati omologhi

h1 : h 2= a1 : a2 5) Due triangoli simili stanno come i quadrati costruiti su

due lati omologhi o su due altezze omologhe. (A1B1C1 ) / (A2B2C2) = S1/S2 = (a1 / a2 )

2 = (h1 : h 2)2

Due lati di due triangoli simili si dicono corrispondenti od

omologhi quando sono opposti ad angoli uguali.

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7

Poligoni convessi: proprietà angoli, similitudine

Figura angoli Nomenclatura specifica

n = numero lati poligono a, b, c, d, e, f = angoli interni a’, b’ , c’ , d’ , e’, f ’ = angoli esterni

Nel caso della figura a lato: esagono equiangolo si ha: a + b + c + d + e + f = ( 6 – 2 )180° = (4) 180° = 720° a’ + b’ + c’ + d’ + e’ + f ‘ = 360° a = (4) 180° / 6 = 720° / 6 = 120° a’ = 360° / 6 = 60°

Proprietà angoli interni ed esterni di un poligono convesso 1) La somma delle ampiezze degli angoli interni di un poligono convesso è ( n – 2 ) 180° 2) La somma delle ampiezze degli angoli esterni è 360°, qualunque sia il numero dei lati 3) L’ampiezza di ciascun angolo interno di un poligono equiangolo di n lati è ( n – 2 ) 180° : n 4) L’ampiezza di ciascun angolo esterno di un poligono equiangolo di n lati è 360° : n

Figure similitudine

1) Due poligoni si dicono simili quando hanno gli angoli rispettivamente uguali e i lati omologhi

proporzionali. A = A’ ; B = B’ ; C = C’ ; D = D’ ; E = E’

AB = A’B’ ; BC = B’C’ ; CD = C’D’ ; DE = D’E’ ; EA = E’A’ 2) I perimetri di due poligoni simili stanno tra loro come due lati omologhi 2p : 2p’ = AB : A’B’ 3) Due poligoni regolari dello stesso numero di lati sono simili; i loro perimetri, i loro raggi , le loro

apoteme stanno fra loro come due lati omologhi 2p : 2p’ = r : r ‘ = a : a’ = AB : A’B’ 4) Due poligoni simili stanno fra loro come i quadrati costruiti su due lati omologhi

S : S’ = (AB) 2 : (A’B’) 2

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8

QUADRATO

Figura Nomenclatura specifica

l = lato d = diagonale

l d l

Formule dirette

S = l2 S = d2 / 2

Formule inverse

l = √S d = √2S

Relazioni notevoli

d = l√2 l = d / √2

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9

RETTANGOLO e PARALLELOGRAMMO

Figura Nomenclatura specifica

d = diagonale minore D = diagonale maggiore

d h b

Formule dirette

S = bh _______ d = √ b2 + h2 (valida per il solo rettangolo)

d D h b

Formule inverse

b = S / h h = S / b

Dicesi parallelogramma un quadrilatero con i lati opposti paralleli: 1) I lati opposti sono uguali e paralleli; 2) Gli angoli opposti sono uguali e quelli

adiacenti supplementari (somma pari a 180°)

3) Ogni diagonale scompone il parallelogramma in due triangoli uguali.

4) Le diagonali si tagliano scambievolmente per metà.

5) L’area si ottiene moltiplicando la lunghezza della base per quella della altezza.

Relazioni notevoli

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10

TRIANGOLO

Figura e note Nomenclatura specifica

a, b, c lati del triangolo p = semiperimetro ma= mediana relativa al lato BC ba= bisettrice relativa all’angolo Â

Formule dirette

S = ah / 2 _____________ ma=(√ 2b2 + 2c2 – a2 ) / 2 _____________ mb=(√ 2a2 + 2c2 – b2 ) / 2 _____________ mc=(√ 2a2 + 2b2 – c2 ) / 2 ___________ ba=(2√ bc p(p – a ) ) / ( b + c ) ___________ bb=(2√ ac p(p – b ) ) / ( a + c ) ___________ bc=(2√ ab p(p – c ) ) / ( a + b )

Punti notevoli di un triangolo: Circoncentro = intersezione degli assi dei lati di un triangolo; Incentro = intersezione delle bisettrici degli angoli interni di un triangolo; Baricentro = intersezione delle mediane di un triangolo

Formule inverse

a = 2S / h h = 2S / a

Vedi scheda 31

Relazioni notevoli Area in funzione dei lati (form. Erone)

___________________ S = √p (p – a)(p – b )( p – c )

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11

ROMBO

Figura Nomenclatura specifica

d = diagonale minore D = diagonale maggiore

d b h D b

Formule dirette

S = ( D d )/ 2 S = bh ____________ b = √(d/2)2 + (D/2)2

Formule inverse

D = 2S / d d = 2S / D b = S / h h = S / b

Dicesi rombo un parallelogramma con quattro lati uguali. 1) gli angoli opposti sono uguali e gli

adiacenti supplementari (somma pari a 180°)

2) Le diagonali si tagliano scambievolmente a metà e sono fra loro perpendicolari;

3) Le diagonali sono bisettrici degli angoli, i cui vertici sono gli estremi delle diagonali;

Relazioni notevoli

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12

TRAPEZIO

Figura Nomenclatura specifica

b = base minore B = base maggiore l = lato obliquo d = diagonale minore ( nel trapezio isoscele sono uguali) D = diagonale maggiore

Formule dirette S = ( B + b )h / 2

Formule per il trapezio isoscele

l2 = h2 + [( B – b )/2] 2 d2 = h2 + [( B + b )/2] 2

Formule per il trapezio rettangolo

l2 = h2 + ( B – b ) 2

D2 = h2 + B2

d2 = h2 + b2

Formule inverse

(B + b) = 2S / h h = 2S / ( B + b )

Un trapezio dicesi isoscele quando ha i lati obliqui uguali e anche gli angoli alle basi sono uguali Un trapezio dicesi rettangolo quando ha un lato perpendicolare alle basi

Relazioni notevoli

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13

POLIGONO REGOLARE (e relazioni fra i lati e i raggi dei cerchi circoscritti)

Figura

Triangolo equilatero Quadrato

Pentagono regolare

Esagono regolare Decagono regolare

Nomenclatura specifica

r = raggio cerchio circoscritto p = semiperimetro a = apotema n = numero dei lati l3 = lato triangolo equilatero l4 = lato quadrato l5 = lato pentagono regolare l6 = lato esagono regolare l10 = lato decagono regolare

Formule dirette

S = p a = nla / 2 2p = nl

Formule inverse

a = S / p p = S / a

Un poligono dicesi regolare quando ha i lati e gli angoli uguali. Congiungendo i vertici di un esagono reg. con il centro otteniamo sei triangoli equilateri di lato l. Il lato del decagono regolare inscritto in un cerchio è la sezione aurea del raggio.

Relazioni notevoli

_________ r = √ a2 + ( l/2)2

__ l3 = r √ 3 ___ l4 = r √ 2 _________ l5 = [ r( √ 10 – 2√ 5 ) ] / 2 l6 = r __ l10 = [ r (√ 5 – 1 ) ] / 2

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14

CIRCONFERENZA

Figura Nomenclatura specifica c = circonferenza r = raggio

r O

Formule dirette c = 2 π r

Formule inverse r = c / 2 π Relazioni notevoli

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15

ARCO

Figura Nomenclatura specifica

l = misura dell’arco r = raggio della circonferenza n° = misura, in gradi dell’angolo al centro

B r l O n° A

Formule dirette

2π r : 360° = l : n° quindi l = (π r n°) / 180°

Formule inverse

n° = 180°l / π r r = 180°l / π n°

Relazioni notevoli

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16

CERCHIO

Figura Nomenclatura specifica

l = misura dell’arco r = raggio della circonferenza n° = misura, in gradi dell’angolo al centro

r O

Formule dirette S = π r2

Formule inverse

______ r = √(S / π)

Relazioni notevoli

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17

SETTORE CIRCOLARE

Figura Nomenclatura specifica

r = raggio della circonferenza n° = ampiezza angolo al centro del settore l = lunghezza dell’arco

B r l O n° A

Formule dirette

Dalle proporzioni: l : π r = n° : 180° S : π r2 = n° : 360° Otteniamo : S = (π r2 n°) / 360 S = lr /2

Formule inverse

______ r = √(360°S / π n°) n° = 360°S / π r2 l = 2S / r r = 2S / l

Relazioni notevoli

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18

SEGMENTO CIRCOLARE AD UNA BASE

Figura Nomenclatura specifica

r = raggio della circonferenza

Formule dirette

S = [(π r2 n°) / 360] – (r 2sen n°) / 2 p = [(π r n°) / 180] + 2rsen (n°/ 2)

Formule inverse Relazioni notevoli

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19

CORONA CIRCOLARE

Figura Nomenclatura specifica

R = raggio del cerchio maggiore r = raggio del cerchio minore

B r O A R

Formule dirette S = π ( R2 – r2 ) = π ( R – r )( R + r ) 2p = 2 π ( R + r )

Formule inverse Relazioni notevoli

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20

PRISMA RETTO

Figura Nomenclatura specifica 2p = perimetro di base

Formule dirette

Sb = dipende dalla figura di base Sl = 2ph St = Sl + Sb V = Sb h

Formule inverse

h = Sl / 2p 2p = S l /h Sb = V / h h = V / Sb

Relazioni notevoli

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21

PARALLALEPIPEDO RETTANGOLO

Figura Nomenclatura specifica

a, b = dimensioni di base c = altezza d2 = diagonale del parallelepipedo d1 = diagonale della base

Formule dirette

Sb = a b Sl = 2( a + b ) c St = 2 ( ab +bc + ac ) V = a b c

Formule inverse

c = Sl / 2 (a + b ) 2 ( a + b ) = S l /c a b = V / c c = V / a b

Relazioni notevoli Dai triangoli rettangoli: ACD e ABC

__________ d2 = √ a2 + b2 + c2

_______ d1 = √ a2 + b2

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22

CUBO

Figura Nomenclatura specifica

AB = BC = DA = l l = spigolo del cubo d1 = diagonale di base del cubo d2 = diagonale del cubo

Formule dirette

Sb = l2 Sl = 4 l2 St = 6 l2 V = l3

Formule inverse

_____ l = √ Sl / 4 _____ l = √ St / 6

l = ∛∛∛∛ V

Relazioni notevoli

__ d1 = l √ 2 __ d2 = l √ 3 = 1,7320 l

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23

PIRAMIDE RETTA

Figura Nomenclatura specifica

VA = s = misura dello spigolo laterale della piramide, VH = h = misura dell'altezza della piramide VK = a = apotema della piramide BC = l = misura del lato della base, HK = b = misura dell'apotema di base, HB = r = misura del raggio della base, p = semiperimetro di base

Formule dirette

Sb = dipende dalla figura di base Sl = p a St = Sl + Sb Per la piramide retta St = Sl + Sb = p a + pb =p ( a + b ) V = (Sb h) / 3

Formule inverse

p = Sl / a a = Sl / p Sb = 3V / h h = 3V / Sb

Sezionando una piramide con un piano parallelo alla base, si ottiene un poligono sezione che è simile alla base. Inoltre la piramide data e quella che si ottiene per sezione sono tali che gli elementi lineari omologhi sono proporzionali, due facce omologhe stanno come i quadrati costruiti su due spigoli corrispondenti; le due piramidi stanno come i cubi costruiti su due segmenti omologhi

Relazioni notevoli Dai triangoli rettangoli:

s2 = h2 + r2 (da VHB) a2 = h2 + b2 (da VHK) r2 = (l/2)2 + b2 (da BKH per pir. Reg.) s2 = (l/2)2 + a2 (da VKB per pir. Reg.)

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24

TRONCO DI PIRAMIDE RETTA

Figura Nomenclatura specifica

AB = h = misura dell’altezza del tronco CD = a = apotema del tronco 2p’ = perimetro della base minore 2p = perimetro della base maggiore Sb = area base minore SB = area base maggiore

Formule dirette

Sb = dipende dalla figura di base Sl = ( p + p’ ) a St = Sl + Sb + SB ____ V = h (Sb + SB + √Sb SB ) / 3

Formule inverse

p + P = S l / a a = Sl / ( p+ P )

Si ricordi che le basi Sb, SB sono due poligoni simili, e che stanno fra loro, oltre che come i quadrati di due lati omologhi, anche come i quadrati delle loro distanze dal vertice della piramide cui appartiene il tronco.

Relazioni notevoli

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25

Tetraedro

Figura Nomenclatura specifica

Atri = area triangolo equilatero (una faccia) Atot = area totale l = spigolo ( VC=BC=AV ecc ) h = altezza (VO)

Formule dirette

A tri = l2 √3 / 4 si avrà A tot = 4 ( l2 √3 / 4) = l2 √3 V = [ (l 2 √3 / 4) (l √6 / 3) ] / 3 = l3 √2/12

Formule inverse Relazioni notevoli

Per il teorema di Pitagora si ha poi: ____________ VO = h = √[ l2 – ( l√3 / 3)2 = (l √6) / 3

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26

Ottaedro

Figura Nomenclatura specifica

Atri = area triangolo equilatero (una faccia) Atot = area totale l = spigolo ( VC=BC=AV=BU ecc ) h = altezza piramide(VO) AC = diagonale

Formule dirette

A tri = l2 √3 / 4 si avrà A tot = 8 ( l2 √3 / 4) = 2 l2 √3 V = [ (2l 2 /3) (l√2 / 2) ] cioé = (l3 √2)/3

Formule inverse Relazioni notevoli AC = l √2

VO = (l √2) / 2

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27

Dodecaedro

Figura Nomenclatura specifica

Apeni = area pentagono regolare (una faccia) Atot = area totale l = spigolo

Formule dirette

________ A tot = 3 (√25 + 10√5) l2 __ V = ( 15 + 7√5 ) l3 / 4

Formule inverse Relazioni notevoli

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28

Icosaedro

Figura Nomenclatura specifica

Atri = area triangolo equilatero (una faccia) Atot = area totale l = spigolo

Formule dirette

A tot = 5 l2√3 __ V = ( 3 + √5 ) 5l3 / 12

Formule inverse Relazioni notevoli

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29

CILINDRO CIRCOLARE

Figura Nomenclatura specifica

BC = r = misura raggio di base AB = h = misura dell’altezza del cilindro

Formule dirette

Sb = π r2 Sl = 2πr h St = 2πr ( h + r ) V = π r2h

Formule inverse

h = S l / 2πr r = S l / 2πh h = V / π r2

_______ r = √ V / πh

Relazioni notevoli

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30

CILINDRO EQUILATERO

Figura Nomenclatura specifica

r = raggio di base h = 2r La sezione mediana individuata dai punti ABCD è un quadrato.

r A B h C D

Formule dirette

Sb = π r2 Sl = 4πr2 St = 6πr2 V = 2π r3

Formule inverse

______ r = √ Sl / 4π _______ r = √ St / 6π _______

r = ∛( V / 2π )

Relazioni notevoli

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31

CONO CIRCOLARE RETTO

Figura Nomenclatura specifica

HB = r = misura raggio di base VB = a = misura apotema del cono VH = h = misura dell’altezza del cono

Formule dirette

Sb = π r2 Sl = πr a St = πr ( a + r ) V = ( π r2 h )/3

Formule inverse

a = Sl / πr r = S l / πa h = 3V / π r2 ________

r = √√√√ ( 3V / πh )

Relazioni notevoli

Dai triangoli rettangoli :

a2 = h2 + r2 ( da VHB)

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32

CONO EQUILATERO

Figura Nomenclatura specifica

r = raggio di base a = 2r

Formule dirette

Sb = π r2 Sl = 2π r2 St = 3π r2 __

V = ( π r3 √√√√ 3 ) / 3

Formule inverse

_______

r = √√√√ Sl / 2πr _______

r = √√√√ Sl / 3π h = 3V / π r2 ________

r = √√√√ ( 3V / πh )

Relazioni notevoli __

h = r √√√√ 3

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33

TRONCO DI CONO CIRCOLARE RETTO

Figura Nomenclatura specifica

AB = h = misura altezza del tronco CD = a = misura apotema del tronco BD = r = misura raggio della base magg. AC = r’ = misura raggio della base min. ED = r – r ‘

Formule dirette

Sb = π r’ 2 SB = π r2 Sl = πa ( r + r’ ) St = πa ( r + r’ ) + π (r2 + r’ 2 ) = = π[a ( r + r’ ) + r 2 + r’ 2 ] V = π h ( r2 + r’ 2 + rr’ )/ 3

Formule inverse

a = Sl / π ( r + r’ ) ( r + r’ )= S l / πa

Relazioni notevoli Da triangoli rettangoli :

a2 = h2 + ( r - r’ ) 2 ( da CED )

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34

SFERA

Figura Nomenclatura specifica

r = raggio

Formule dirette

S = 4π r2 V = 4π r3 / 3

Formule inverse

_______ r = √ S / 4π _________

r = ∛∛∛∛ 3 V / 4π

Relazioni notevoli

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35

CALOTTA SFERICA E SEGMENTO SFERICO AD UNA BASE

Figura Nomenclatura specifica

OB = R = misura raggio della sfera AC = h = misura altezza della calotta CB = r = misura raggio cerchio base calotta e segmento

Formule dirette

Area calotta S = 2πR h Volume segmento ad una base V = πh2 ( R – h / 3 )

Formule inverse Relazioni notevoli

Da triangoli rettangoli

r2 = h ( 2R – h ) ( da ABD per il 2° teor. Euclide)

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36

ZONA SFERICA E SEGMENTO SFERICO A DUE BASI

Figura Nomenclatura specifica

OA = R = misura raggio della sfera BC = h = misura altezza della zona e segmento BA = r1 = misura raggio di una base CD = r2 = misura raggio altra base

Formule dirette

Area zona S = 2πR h Volume segmento ad due basi V = πh/6 ( 3r1

2 + 3r22+ h2 )

Formule inverse Relazioni notevoli

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37

FUSO SFERICO o SPICCHIO

Figura Nomenclatura specifica

n° = ampiezza angolo del fuso e spicchio OA = R = misura raggio della sfera

Formule dirette

Area fuso S = πR2 n° / 90 Volume spicchio V = S R / 3 = πR3 n° / 270

Formule inverse _________ R=√90 A / πn°

Relazioni notevoli Sussistono le proporzioni 1) 4πR2 : A = 360° : n° 2) (4 πR3 ) / 3 : V = 360° : n °

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38

EQUIVALENZA E SIMILITUDINE NELLO SPAZIO

Concetti fondamentali e definizioni Nomenclatura specifica

S, S’ = superfici di poliedri V, V’ = volumi di poliedri l, l’ = spigoli omologhi di poliedri

Due solidi si dicono equivalenti quando occupano la stessa porzione di spazio.

Detto volume di un solido, la misura dello spazio che esso occupa, si può dire che:due solidi sono equivalenti quando hanno ugual volume

Due figure nello spazio sono simili se una di esse è congruente ad una figura omotetica dell’altra.

Due poliedri si dicono simili se hanno rispettivamente uguali gli angoloidi, e ordinatamente simili le facce che li comprendono.

Teorema 1° Le superfici di due poliedri simili sono proporzionali ai quadrati degli spigoli omologhi

Relazioni notevoli

S : S’ = l 2 : l’ 2

Teorema 2° I volumi di due poliedri stanno fra loro come i cubi di due spigoli omologhi o delle rispettive altezze.

Relazioni notevoli

V : V’ = l 3 : l’ 3 = h3 : h’ 3

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39

TEOREMA DI PITAGORA (per i triangoli rettangoli)

Figura Nomenclatura specifica

a = ipotenusa be c = cateti

Formule dirette

_______ a =√ b2 + c2 S = ah/2 =bc/2

Formule inverse

_______ ____________ b =√ a2 – c2 = √ (a – c )(a + c ) _______ _____________ c =√ a2 – b2 = √ (a – b )(a + b )

La mediana relativa all’ipotenusa è uguale al raggio del cerchi circoscritto al triangolo e, quindi, alla metà dell’ipotenusa. ma = a/2

Relazioni notevoli

ah = bc = 2S ah = bc da cui h = bc/a S = |xy|

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40

I° TEOREMA DI EUCLIDE (per i triangoli rettangoli)

Figura Nomenclatura specifica

a = ipotenusa b e c = cateti n = proiezione di b sull’ipotenusa m= proiezione di c sull’ipotenusa

Formule dirette

b2 = a n a = b2 / n

c2 = a m a = c2 / m

Formule inverse

____ b = √ a n n = b 2 / a

____ c = √ a m m = c 2 / a

Relazioni notevoli Dividendo membro a membro le ultime due relazioni delle formule inverse otteniamo:

n / m = b 2 / c2

e cioè il rapporto delle proiezioni dei due cateti sulla ipotenusa di un triangolo rettangolo è uguale al quadrato del rapporto dei corrispondenti cateti.

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41

II° TEOREMA DI EUCLIDE (per i triangoli rettangoli)

Figura Nomenclatura specifica

a = ipotenusa b e c = cateti m e n = proiezioni di c e b sull’ipotenusa h = altezza relativa all’ipotenusa ma = lunghezza mediana relativa all’ipotenusa

Formule dirette h2 = m n

Formule inverse

m = h 2 / n n = h 2 / m _____ h = √ m n

Relazioni notevoli Dal triangolo di Pitagora applicato ai triangoli ABC, ACH, ABH abbiamo: a2 = b2 + c2 ; b 2 = h2 + n2 ; c 2 = h2 + m2

per lo stesso teorema applicato al triangolo AHM si ha: (ma)

2 = h2 + MH2 = h2+ ( MB – HB ) 2 ma essendo MB = a / 2 = m a e HB = m

(ma)2 = h2 + ( ma – m )2 = h2+ ( n – m a )

2 Dall’uguaglianze S = bc/2 = ah/2 si deduce bc = ah da cui h = bc /a

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42

RAGGIO DEL CERCHIO INSCRITTO (in un triangolo qualsiasi)

Figura Nomenclatura specifica

r = raggio del cerchio inscritto S = area del triangolo p = semiperimetro del triangolo

Formule dirette r = S / p

Formule inverse Relazioni notevoli

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RAGGIO DEL CERCHIO CIRCOSCRITTO (ad un triangolo qualsiasi)

Figura Nomenclatura specifica

r = raggio del cerchio circoscritto S = area del triangolo a, b, c = lati del triangolo

Formule dirette r = abc / 4S

Formule inverse Relazioni notevoli

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QUADRILATERO CONVESSO INSCRITTO IN UNA CIRCONFERENZA (Teorema di Tolomeo)

Figura Nomenclatura specifica

r = raggio del cerchio circoscritto a, b, c, d = lati del quadrilatero

Formule dirette mn = bd + ac

Formule inverse Se un quadrilatero convesso è inscritto in una circonferenza, il rettangolo delle diagonali è equivalente alla somma dei rettangoli che hanno per dimensioni i lati opposti. In un quadrilatero convesso, inscritto in una circonferenza, gli angoli opposti sono supplementari.

Relazioni notevoli α + γ = 180°

QUADRILATERO CONVESSO CIRCOSCRITTO AD UNA CIRCONFERE NZA

Figura Nomenclatura specifica

r = raggio del cerchio circoscritto AB, CD, AD, BC = lati del quadrilatero

Formule dirette AB + DC = AD + BC

Formule inverse In un quadrilatero circoscritto ad un cerchio la somma dei lati opposti è uguale alla somma degli altri due.

Relazioni notevoli

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45

RAGGIO DEL CERCHIO EXINSCRITTO (in un triangolo qualsiasi)

Figura Nomenclatura specifica

ra = raggio del cerchio exinscritto sul lato a rb = raggio del cerchio exinscritto sul lato b rc = raggio del cerchio exinscritto sul lato c S = area del triangolo p = semiperimetro del triangolo

Formule dirette

ra = S / p – a rb = S / p – b rc = S / p – c

Formule inverse Relazioni notevoli

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46

TRIANGOLO EQUILATERO (relazioni notevoli)

Figura Nomenclatura specifica

h = altezza l = lato del triangolo S = area Tutti gli angoli uguali a 60°

Formule dirette

h = ( l√3 ) / 2 = 0,8660 l S = ( l2 √3 ) / 4 = h2√3 / 3 h = h 1 + h2 + h3

Formule inverse l = 2h / √3 = (2h √3) /3 = h / 0,8660

Le formule trovate per il quadrato e per il triangolo equilatero sono particolarmente utili nel caso di problemi nei quali compaiono fig. aventi angoli di 45°, 30°, 60°, 120° . Infatti, in tali problemi è possibile ricondursi a considerare quadrati o triangoli equilateri o, più spesso, loro parti.

Relazioni notevoli

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47

TRIANGOLO ISOSCELE – TRIANGOLO ISOSCELE CIRCOSCRITTO (relazioni notevoli)

Figura Nomenclatura specifica

h = altezza l = lato del triangolo b = base del triangolo S = area k = altezza relativa ad un lato = angolo retto

Formule dirette

________ l = √b2 /4 + h2

S = bh/2 = lk/2

1) la bisettrice dell’angolo al vertice, l’altezza e la mediana relative alla base coincidono;

2) Le altezze relative ai lati uguali sono uguali, come pure le mediane relative a quei lati e le bisettrici degli angoli alla base.

Formule inverse k = bh / l

Relazioni notevoli

l2 = h2 + (b/2)2

CT = l – b/2 Dai triangoli simili COT e CHB si ha : l : h – r = b/2 : r = h : l – b/2

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48

TEOREMA DI PITAGORA GENERALIZZATO (per i triangoli qualsiasi)

Figura Nomenclatura specifica

a = ipotenusa b e c = cateti B = angolo acuto

Formule dirette

Se B = angolo acuto ____________ b =√ a2 + c2 – 2am Se B = angolo ottuso _____________ b =√ a2 + c2 + 2am

Formule inverse

Se B = angolo acuto _____________ a =√ b2 – c2 + 2am _____________ c =√ b2 – a2 + 2am Se B = angolo ottuso _____________ a =√ b2 – c2 – 2am _____________ c =√ b2 – a2 – 2am

Relazioni notevoli

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49

APPLICAZIONI DELLA SIMILITUDINE (teoremi: bisettrici, corde, secante, tangente)

Figura Nomenclatura specifica

Formule

AB = c CA = b BP = m PC = n QB =prolungamento lato BC che incontra in Q la bisettrice esterna AP bisettrice angolo interno A AQ bisettrice angolo esterno A

Teoremi delle bisettrici I° Teorema c : b = m : n ed anche c : b = QB : QC II° Teorema (AP)2 + mn = b c

AB e CD corde passanti per P AP = a PB = b CP = c PD = d

Teorema delle corde a : c = d : b cioè ab = cd

AB e CD due corde i cui prolungamenti passano per P AP = a BP = b CP = c DP = d PT = t OT = r OP = e

Teorema delle due secanti a : c = d : b cioè ab = cd Teorema della secante e della tangente a : t = t : b cioè ab = t 2 = e2 – r2

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TRAPEZI CIRCOSCRITTI A SEMICERCHI (relazioni notevoli)

Figura

Considerazioni

Disegnamo la figura del trapezio circoscritto ad un semicerchio ed indichiamo con S, M, T i punti di contatto dei lati BC, CD, DA, con il semicerchio e con O, H, K, il centro del semicerchio e le proiezioni dei vertici C, D, sulla retta AB. Osserviamo che i triangoli CHB, OSB sono uguali per avere l’angolo B comune e i cateti VH, OS uguali perché entrambi uguali al raggio OM del semicerchio. I ha quindi: CH = OS HB = SB CB = OB Analogamente, sono uguali i triangoli DKA, OTA, per cui si ha pure DK = OT KA = TA DA = OA Applicando il teor. di Pitagora ai triangoli rettangoli CHB, DKA, otteniamo: HB2 = CB2 – HC2 e KA2 = DA2 – KD2

Poiché i segmenti di tangente condotti da uno stesso punto ad una medesima circonferenza sono ugiuali, abbiamo: CD =CS + DT = (CB – SB) + (DA – TA) = (CB – HB) + (DA – KA)

La proprietà detta è di carattere generale ed in particolare Se il trapezio è rettangolo il quadrilatero OBCM è un quadrato

Se infine il trapezio è isoscele i quattro triangoli CHB, OSB, DKA,OTA sono uguali e fra le misure B, b,r della base maggiore, della base minore e del raggio sussiste la relazione dovuta al teor. di Pitagora :

(B/2)2 = r2 + [( B-b)/2] 2 cioè

4 r2 + b2 = 2Bb

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TRAPEZI CIRCOSCRITTI A CERCHI (relazioni notevoli)

Figura

Considerazioni Disegnamo la figura del trapezio circoscritto ad un cerchio ed indichiamo con H, K, O, i punti di contatto del cerchio con la base maggiore e con la base minore e il centro del cerchio. Osserviamo, intanto, che il triangolo COB è retto in O. Infatti, dall’uguaglianza dei triangoli KOC, SOC e dei triangoli HOB,SOB risulta KOC = SOC = α HOB = SOB = β e poiché KOH = 180° , si ha: 2 α + 2 β = 180° α + β = COB = 90° In modo del tutto analogo si dimostra che anche il triangolo DOA è retto in O. Si osserva inoltre, che i raggi OS, OT sono le altezze relative alle ipotenuse BC, DA di detti triangoli. Inoltre ricordando che i segmenti di tangente condotti da uno stesso punto ad una medesima circonferenza sono ugiuali abbiamo: AB – CD = ( AH + HB ) – ( CK + KD ) = ( AT + BS ) – ( SC + DT )

La proprietà detta è di carattere generale, e si può affermare che in ogni trapezio circoscritto ad un cerchio: 1) il triangolo, ottenuto congiungendo gli estremi di uno dei

lati obliqui col centro del cerchio è retto 2) il raggio del cerchio è medio proporzionale fra due

segmenti nei quali il punto di tangenza divide un lato obliquo.

Se, in particolare, il trapezio è isoscele indicate con B, b, r le misure della base maggiore, della base minore e del raggio si ha : _______ r2 = (B/2) (b/2) da cui r = √ B/2 b/2 ovvero (2r)2 = Bb da cui si deduce che il diametro del cerchio ( cioè l’altezza del trapezio) è la media geometrica delle due basi.

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I° TEOREMA DI GULDINO

Figura Considerazioni

1° Teorema di Guldino La ricerca del volume di un solido generato dalla rotazione attorno ad un asse di una superficie piana, la si può fare tenendo presente il seguente teorema: Il volume del solido generato dalla rotazione di una superficie piana attorno ad un asse complanare e che non l’attraversi, è dato dal prodotto dell’area della superficie per la lunghezza della circonferenza, descritta dal baricentro. Sia data, una superficie piana, chiusa, di area S, limitata dagli archi di due curve rispettivamente di equazioni: y = f(x) e y = g(x) ( con la condizione che per ogni a ≤ x ≤ b, si abbia: f(x) > g(X), e che tanto la f(x), quanto la g(x) siano funzioni continue, positive, ad un sol valore). Il volume V del solido, che tale superficie genera ruotando attorno all’asse x, sarà evidentemente dato dalla differenza dei volumi generati dalla rotazione attorno a detto asse, dei trapezoidi di base (a.b) e limitati rispettivamente dall’arco di curva y = f(x) e y = g(x). Cioè:

=−= ∫∫b

a

b

a

dxxgdxxfV 22 )()( ππ

[ ] [ ] ∫ −=b

a

dxxgxf 22 )((π (*)

Dal caso generale, indicando con G ed YG, rispettivamente il baricentro dell’area S piana (consideriamola come una sottile lamina di densità costante e nota) e la sua ordinata, per quanto affermato dal teorema enunciato, si potrà scrivere:

V = [ ] [ ] ∫ =−b

a

dxxgxf 22 )()(π 2πYG • S

Tale formula consente: di determinare il volume V senza ricorrere all’operazione di integrazione, una volta nota l’area della superficie S, e la misura della distanza YG del baricentro dall’asse di rotazione; di determinare la distanza YG del baricentro, dall’asse di rotazione, noti il volume del solido e l’area S della superficie che lo genera; di determinare l’area S della superficie che ruota, noti il volume V del solido e la distanza YG del baricentro dall’asse di rotazione. Per il volume V del solido delimitato dalla superficie torica si ottiene l’espressione

V = 2d(πr)2

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II° TEOREMA DI GULDINO

Figura Considerazioni

2° Teorema di Guldino Inoltre la ricerca della superficie di un solido generato dalla rotazione attorno ad un asse di una superficie piana, la si può fare tenendo presente il seguente teorema: L’area della superficie generata dalla rotazione di un arco di linea piana, attorno ad un asse, complanare e che non l’attraversi, è misurata dal prodotto della lunghezza dell’arco per la circonferenza descritta dal baricentro della linea. (la linea piana AB la si può pensare come un’asta pesante, di sezione estremamente piccola, e di densità costante e nota). Volendo determinare la lunghezza l dell’arco di curva AB di equazione: y = f(x) (con la condizione che f(x) sia continua, positiva e ad un sol valore, per ogni x compreso in (a,b)), si consideri un elemento piccolissimo, dell’arco AB , tale da confondersi con la sua corda. Detti: dx e dy, rispettivamente l’intervallino base e l’incremento della funzione, relativi all’elemento dl, si può scrivere:

22 )()( dydxdl +=

da cui dxdx

dydl

2

1

+=

conseguentemente la lunghezza dell’arco sarà:

+=

b

a

dxdx

dy2

1l

cioè:

dxxfb

a

∫ += 2)('1l (**)

Indicando con G ed YG, il baricentro e la sua distanza rispetto all’asse di rotazione, e con S l’area della superficie, descritta dall’arco di lunghezza l, potremo scrivere

S = 2πYG l = 2πYG [ ] dxxfb

a

∫ +• 2)('1

Tale formula consente:

a) di trovare S, noti l ed YG; b) di trovare l, noti S ed YG; c) di trovare YG, noti S ed l.

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ESEMPI SVOLTI PER SOLIDI DI ROTAZIONE

Figura

Considerazioni

La fìg. 28 mostra i solidi ottenuti facendo ruotare di un giro completo determinati poligoni intorno alla retta r (asse) del loro piano, che non li attraversa. Qui di seguito diamo le espressioni che consentono di calcolare il volume V e l'area A di tali solidi. a) V= πAD2.DH + (πBH2 HC) / 3 = π AD2(3 DH + HC) ; A = πAD2 + 2 π AD AB + π BH BC = πAD.AD + 2 AB + BC). Si noti che abbiamo sfruttato l'uguaglianza AD = BH . b) V = πAK 2 AB – (πAK 2 KC)/3 – (πBH2 CH )/3= = (πAK 2)/3 [3 AB – (KC + CH )] = (πAK 2)/3 (3 AB – AB )= (2πAK 2AB)/3;

A = 2π AK•AB + πAK•AC + πBH•CB = πAK(2AB + AC + CB); dove si è considerato AK = BH e KC + CH = KH = AB . c) V = (π MK)/3 (AM2+ BK 2 + AM • BK) + (π KH )/3 (CH2 + BK 2 + CH•BK) - πAM2 • MH=

= π/3 (AM2 + BK 2 + AM•BK) (MK + KH) - πAM2 • MH= = π/3 (AM2 + BK 2 + AM•BK) MH - πAM2 MH= = π MH /3 (AM2 + BK 2 + AM•BK - 3 AM2) = π MH /3 [BK 2 + AM (BK-2AM)]; A = π (AM+BK)•AB + π (HC+BK)•BC+2π AM•AC = π [(AM + BK) (AB + BC) + 2 AM•AC]; avendo considerato che si ha: AM = CH ed MK + KH = MH = AC. d) V = π AM2•MK + (π KH)/3 [BK 2 + CH2 + BK•CH) – πDM2•MH; A = π ( AM2 - DM2 ) + 2 π AM•AB + π BC•(BK + CH) +2 π DM•DC. REGOLA PRATICA. Mentre il volume di un solido di rotazione si ottiene come somma algebrica (cioè somma o differenza) di altri solidi di volume noto, la superficie del solido stesso si ottiene come somma (aritmetica) delle superficie generate nella rotazione dai singoli lati del poligono ruotante, che non giacciono sull'asse di rotazione. NOTA. Facciamo rilevare agli alunni che, nella ricerca del volume e dell'area della superficie di un solido di rotazione, è opportuno impostare, prima, le operazioni usando le lettere della figura e, solo dopo, sostituire i dati numerici o letterali forniti dall'enunciato del problema o deducibili da questo. Infatti, spesso ciò consente di effettuare delle semplificazioni preliminari, mediante le quali si possono evitare i calcoli relativi alla ricerca dei valori di determinati segmenti. Così, nell'esempio b), i passaggi relativi al calcolo di V consentono, qualora l'enunciato assegni solo le lunghezze del lato AB e dell'altezza AK ad esso relativa, di evitare la ricerca della misura delle due proiezioni KC e CH. La precedente avvertenza vale, in particolare, per i problemi che richiedono la determinazione di un rapporto di volumi o di aree. In questi problemi, infatti, gli enunciati forniscono solo i dati essenziali, cioè quelli delle grandezze che non vengono semplificate. Pertanto chi, senza impostare i rapporti e fare le relative semplificazioni, passasse subito alla ricerca dei valori delle grandezze necessarie per la determinazione dei singoli volumi o delle singole aree, rischierebbe di trovarsi ad un punto morto per mancanza di dati.

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ESEMPIO SVOLTO CON IL I° TEOREMA DI GULDINO

Figura Considerazioni

I° Teorema di Guldino Per il volume V del solido delimitato dalla superficie torica si ottiene l’espressione

V = 2d(πr)2

come già detto.

Vediamone l’impostazione teorica:

La superficie torica, o toro, è la superficie generata dalla rotazione completa di una circonferenza intorno ad una retta del suo piano e non secante rispetto ad essa. Riferiamo il piano ad un sistema cartesiano così fatto: l’asse delle x coincidente con l’asse di rotazione, l’asse delle y passante per il centro C dalla circonferenza e diretto positivamente da O verso C. In tale sistema se a è l’ordinata di C e r il raggio della circonferenza (r ≤ a) l’equazione di questa è:

x2+ (y – a)2 = r2

Il volume V richiesto è la differenza fra il volume V1 del solido generato dalla rotazione del trapezoide M’MPNN’ e il volume V2 generato dalla rotazione del trapezoide M’MQNN’ . Le semicirconferenze MPN e MQN hanno rispettivamente le equazioni

y = a + 22 xr − y = a – 22 xr − conseguentemente applichiamo la (*):

V = V1 – V2 = π −−+∫−

dxxrar

r

222 )(

π dxxrar

r

222 )(∫−

−− =

= π [ ]dxxraxrar

r∫−

−−−−+ 222222 )()( = 4aπ dxxrr

r∫−

− 22 =

4aπ =2

2rπ2a(πr)2

e quindi : V = 2a(πr)2

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ESEMPIO SVOLTO CON IL II° TEOREMA DI GULDINO

Figura Considerazioni

II° Teorema di Guldino Analogamente per l’area S della superficie torica si ottiene l’espressione

S = 2πd(2πr)

Vediamone l’impostazione teorica:

Facendo riferimento al precedente esempio e figura, la superficie torica si può pensare generata dalla rotazione delle due semicirconferenze

y = a + 22 xr − y = a – 22 xr − intorno all’asse x. Si ha, per tutte e due le curve,

ds = 22 xr

rdx

Data la simmetria della superficie rispetto al piano perpendicolare ad Ox e passante per Oy si può calcolare solo la metà dell’area. Per la (**), risulta:

rdxxr

xraS r

∫ −

−+=0

22

22

22

π + rdxxr

xrar

∫ −

−−

022

22

2π =

= ∫ −

r

xr

dxar

022

4π = 4πar

r

r

xarcsen

0

= 2π2ar

e quindi S = 4π2ar

Bibliografia

Autore

Titolo opera Casa editrice - anno Volumi

E. Bovio – G. Repetti Geometria

Nuovi orientamenti Lattes 1986 I° e II°

L. Cateni – R. Fortini Il pensiero geometrico Le Monnier 1966 I° e II° S. Perotti Vanni Aritmetica – Geometria – Algebra Signorelli 1936

E.Carboni –F.Ventola Corso di Matematica Paccagnella Ed. BO 1983 IV°

Alla memoria di mia madre.