Formulario analisi 1

1 www.groups.google.com/group/fisici_ct

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USARE A PROPRIO RISCHIO E PERICOLO Limiti notevoli

1lim 1

x

xe

x→∞

� �+ =� �� lim 1

xt

x

te

x→∞

� �+ =� � lim 1

nxnt

x

te

x→∞

� + =� ��

1 1lim 1

x

x x e→−∞

� �− =� ��

( )1

0lim 1 axx

ax e→

+ = ( )0

lim ln 0 0a

xx x a

+

−

→= > ( ) ( )

0

lg 1 1lim 0, 1

lna

x

xa a

x a→

+= > ≠

( )0

ln 1lim 1x

x

x→

+=

0

1lim 1

x

x

e

x→

− = ( )0

1 1lim

a

x

xa

x→

+ −= ( )

0

1lim ln 0

x

x

aa a

x→

− = > ( )0

1 1lim 1

a

x

x

ax→

+ −=

limx

ax

e

x→+∞= +∞ ( )ln

lim 0 0ax

xa

x+

→+∞= >

1

lnlim 1

1x

x

x→=

−

1

0lim(1 ) x

xx e

→+ =

lim 0a x

xx e−

→+∞= −

1

0

1lim(1 ) x

xx

e→− =

1 , , 0a p n∀ > ∈ ∀ ∈ ∀ > ∈� � �

limx

px

a

x→+∞= +∞

lim x n

xa x

→−∞= +∞ log

lim apx

x

x→+∞= +∞ 0

lim log 0pa

xx x

→=

0 1 , , 0a p n∀ < < ∈ ∀ ∈ ∀ > ∈� � �

limx

nx

a

x→−∞= ∞

lim 0x p

xa x

→+∞= log

lim apx

x

x→+∞= +∞ 0

lim log 0pa

xx x

→=

!

limpn

n

n→+∞= +∞

!lim

nn

n

a→+∞= +∞

!lim

nn

n

n→+∞= +∞

!lim 1

2n nn

n

n e nπ−→+∞= lim 0

!

n

n

x

a→+∞=

( )( )

2 !!lim 1

2 1 !! 2n

n

n nπ→+∞=

−

Limiti goniometrici

0

sinlim 1x

x

x→=

0

sinlimx

ax a

bx b→=

0

tanlim 1x

x

x→=

0

tanlimx

ax a

bx b→=

0

1 coslim 0x

x

x→

− = 20

1 cos 1lim

2x

x

x→

− = 30

sin 1lim

6x

x x

x→

− = 30

arg tan 1lim

3x

x x

x→

− =

0

arcsinlim 1x

x

x→=

0

arcsinlimx

ax a

bx b→=

0

arg tanlim 1x

x

x→=

0

arctanlimx

ax a

bx b→=


Tavola delle derivate fondamentali

0k � 1n nx nx −� 1x�

xx

x�

2

1 1

x x� −

1

2x

x

�

1

1n

n nx

n x −

� 1 1 1

log loglna ax e

x x a� =

1ln x

x�

lnx xa a a� x xe e� sin cosx x�

cos sinx x − 22

1tan 1 tan

cosx x

x! = + 2

2

1cot (1 cot )

sinx x

x" − = − +

2

1arcsin

1x

x

#−

2

1arccos

1x

x

$ −−

2

1arctan

1x

x%

+

2

1arccot

1x

x& −

+

1ln x

x' [ ] [ ] 1 '( ) ( ) ( )

n nf x n f x f x

−(

( ) ( ) 'ln ( )f x f xa a a f x) ⋅ ( ) ( ) '( )f x f xe e f x* ⋅ '( )ln ( )

( )

f xf x

f x+

Regole di derivazione Somma di funzioni [ ] ' '( ) ( ) ( ) ( )D k f x h g x k f x h g x⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅

Derivata di un prodotto [ ] ' '( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )D f x g x f x g x f x g x⋅ = ⋅ + ⋅

Derivata di un rapporto

[ ]' '

2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

f x f x g x f x g xD

g x g x

, -⋅ + ⋅=. /0 1

Derivata di funzione composta [ ] ' '( ( )) ( ( )) ( )D f g x g f x f x= ⋅

Derivata di funzione esponenziale [ ] [ ]

'( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ln ( )( )

g x g x g x f xD f x f x f x

f x

⋅= ⋅ +

Derivata Funzione inversa

1

1

( )

1( )

( )x f y

D f yf x −

−

=

2 32 3= 4 56 7 6 7


Studio di funzione.

:f I → 8f è continua in I, f è derivabile in I 1° Dominio della funzione e studio della continuità. Se esistono punti di discontinuità dichiararne

il tipo. Le principali limitazioni sono: ( )

( ) 0( )

f xg x

g x9 ≠

log 0, 1, 0a x a a x: > ≠ > ( ) ( ) 0f x f x; ≥

arcsin( ( )) 1 ( ) 1y f x f x= < − ≤ ≤ arccos( ( )) 1 ( ) 1y f x f x= = − ≤ ≤ ( )( ) ( ) 0g xf x f x> >

2° Eventuali simmetrie della funzione, funzione pari, dispari, periodicità (sin,cos). 3° Calcolo dei limiti della funzione per x c→ dove c sono i punti di discontinuità di f \c DA A∈

(A = dominio di F) 4° Dove possibile calcolare il segno della funzione f(x)>0 e i punti di zero 5° Calcolo della derivata prima e studio della monotonia, trovare, se esistono, i punti di estremi

relativi, cioè:

' '( ) 0, ( ) 0f x f x≥ > Funzione non decrescente, funzione crescente. ' '( ) 0, ( ) 0f x f x≤ < Funzione non crescente, funzione decrescente. ' ( ) 0f x = Punti di estremi relativi, (vedi derivata seconda) ' '( ) ( )f x f x− +≠ Punto angoloso

6° Calcolo della derivata seconda e studio della convessità e punti di flesso, cioè:

'' ''( ) 0, ( ) 0f x f x≥ > La f è convessa, strettamente convessa ? '' ''( ) 0, ( ) 0f x f x≤ < La f è concava, strettamente concava @ '' ( ) 0f x = Punto di flesso

7° Ricerca degli asintoti:

0

lim ( )x x

f x→

= ±∞ Asintoto verticale. Retta 0x x=

0lim ( )x

f x y→±∞

= Asintoto orizzontale Retta 0y y=

( )lim

lim ( )lim ( )

x

x

x

f xm

xf xf x xm q

→±∞→±∞

→±∞

A∃ =B

= ±∞CB∃ − =D

Asintoto obliquo. Retta y mx q= +

8° Calcolo di alcuni valori della funzione, e di alcune rette tangenti alla f(x), utili per tracciare il grafico. La retta tangente del punto 0x è data da:

'0 0 0( ) ( )( )y f x f x x x− = −


Integrali indefiniti immediati 1

( 1)1

xx dx C

αα α

α

+

= + ≠+

E

1lndx x C

x= +

F sin cosxdx x C= − +

G

cos sinxdx x C= +H

ln

xx a

a dx Ca

= +I

x xe dx e C= +

J

2

1tan

cosdx x C

x= +

K

2

1cot

sindx x C

x= − +

L

2

1arctan

1dx x C

x= +

+

M

2

1arcsin

1dx x C

x= +

−

N

2

1arccos

1dx x C

x= − +

−

O

[ ] [ ] 1

' ( )( ) ( ) ( 1)

1

f xf x f x dx C

αα α

α

+

⋅ = + ≠+

P

'( )ln ( )

( )

f xdx f x C

f x= +

Q

( )( ) '( )

ln

f xf x a

a f x dx Ca

⋅ = +R

'sin ( ) ( ) cos ( )f x f x dx f x C⋅ = − +

S

'cos ( ) ( ) sin ( )f x f x dx f x C⋅ = +T

'

2

( )tan ( )

cos ( )

f xdx f x C

f x= +

U

'

2

( )arcsin ( )

1 ( )

f xdx f x C

f x= +

−

V

'

2

( )arctan ( )

1 ( )

f xdx f x C

f x= +

+

W

Metodi di integrazione Per sostituzione

Formula Generale: '

( )( ) ( ( )) ( )

t t xf x dx f x t x t dt

=

X Y= Z [\ \

Dove ( )t x è la funzione inversa di ( )x t

Si pone ( )t f x= e si trova la 1( )x f t−= con 1[ ( )]dx D f t−= Per Parti

Formula Generale: ' '( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x g x g x f x dx= −] ]

Dato un integrale si cerca una ( )f x di cui e facile fare l’integrale e una ( )g x dove applicare la derivata Razionali fratte

Calcolare l’integrale del tipo ( )

( )

P xdx

Q x

^ dove il grado del polinomio ( )P x deve essere minore del

grado del polinomio ( )Q x in caso contrario si procede alla divisione tale che ( ) ( )

( )( ) ( )

P x R xM x

Q x Q x= +

Occorre conoscere le radici del polinomio ( )Q x


Integrazione funzioni irrazionali

, nax b

R x dxcx d

_ `+a ba b+c de

si pone

nax b

tcx d

+ =+

e si ottiene: n

n

t d bx

a t c

−=−

e ( )2n

ad bcdx dt

a t c

−=−

( )2,R x ax bx c dx+ +f

si distinguono due casi

0a > si pone: 2 ( )ax bx c a x t+ + = + e si ottiene : 2

2

t cx

b at

−=−

e

2

2

2 2 2

( 2 )

bt at acdx dt

b at

− −=−

0a < dette α e β le radici dell’equazione 2ax bx c+ + si pone : ( )( ) ( )a x x x tα β α− − = −

con t variabile positiva se α β< negativa in caso contrario, quindi si ottiene:

2

2

a tx

a t

β α−−

e 2 2

2 ( )

( )

a tdx

a t

β α−=−

Integrale Binomio

( )m n px a bx+g

su distinguono tre casi:

p intero: si pone rx t= dove r è il m.c.m. di m e n 1m

n

+ intero: si pone n sa bx t+ = dove s è il denominatore di p (

xp

s

∀= )

1mp

n

++ intero: si pone n

sn

a bxt

x

+ = dove s è il denominatore di p (x

ps

∀= )

Integrazione funzioni trascendenti

( )sin ,cosR x x dxg

si pone:

tan2

xt= e ricordando che

22

2 tan 22sin11 tan

2

xt

xx t

= =++

e

22

22

1 tan 12cos11 tan

2

xt

xx t

− −= =++

si ottiene

2arctanx x= e 2

2

1dx

t=

+

( )2 2sin ,cos , tanR x x x dxh

si pone:

tanx t= e ricordando che 2 2

22 2

tansin

1 tan 1

x tx

x t= =

+ + e 2

2 2

1 1cos

1 tan 1x

x t= =

+ + si ottiene:

arctanx x= e 2

1

1dx

t=

+

( )xR e dxi

si pone:


xe t= e si ottiene : lnx t= e 1

dx dtt

=


Integrali calcolati:

1[ ] coscos

sinaxx D adx x

aCx

adxαα = ⋅⋅ ⋅ = +

jj

1 cossin [ ] sin

axx dx D ax x dx C

a aα α⋅ = ⋅ ⋅ = − +

k k

sin 1 [cos ]tan 1 ln cos

cos cos

x D xx dx dx dx x C

x x

− ⋅⋅ = ⋅ = − ⋅ ⋅ = − +l l l

cos [sin ]cot ln sin

sin sin

x D xx dx dx dx x C

x x⋅ = ⋅ = ⋅ = +

m m m

21 sin

sin cos sin [sin ]2

xx x dx xD x dx C⋅ = ⋅ = +

n n

(*)(*) sin 2 2 sin cos

1 1 cos 2sin cos 2sin cos sin 2

2 2 4x x x

xx x dx x x dx x dx C =⋅ = ⋅ = ⋅ = − +

o o o

1sinsin cos sin [sin ]

1

xx x dx xD x dx C

αα α

α

+

⋅ = ⋅ = ++

p p

1coscos sin 1 cos [cos ]

1

xx x dx xD x dx C

αα α

α

+

⋅ = − ⋅ = − ++

q q

1 [ln ]ln ln

ln ln

D xdx x C

x x x= = +

r r

2

2

arctan arctan[arctan ] arctan

1 2

x xdx D x x C

x= ⋅ = +

+

p p

2 2 2 221 1 12 [ ]

2 2 2x x x xxe dx xe dx D x e dx e C= = = +

s s s

( )2

224 4 2

1 2 1 [ ] 1arctan

1 2 1 2 21

x x D xdx dx dx x C

x x x= = = +

+ + +

t t t

2 2 2

2 2 2 2 2

1 1 1 1 11 arctan

1 1 1 1 1

x x xdx dx dx dx dx dx x x C

x x x x x

+ − += = − = − = − ++ + + + +

u u u u u u

2 2 2

22

2 2

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1

1 [1 ]arcsin 1

1 2 1

x x x x x xdx dx dx dx dx dx

x x x x x x x

D xdx dx x x C

x x

+ + + + += = = = + =− − − + − − −

−− = − − +− −

v v v v v vv v

3 2 2 2

2 2

21

cos cos cos (1 sin )cos cos sin cos

sin sin sin sin

cos sin cos cos sin cos

sin sin sin sin

cos [sin ] sinsin cos sin [sin ] ln sin

sin sin

x x x x x x x xdx dx dx dx

x x x x

x x x x x xdx dx dx dx

x x x x

x D x xdx x xdx dx xD x dx x

x x

− −= = = =

− = − =

− = ⋅ − ⋅ = −

w w w ww w w ww w w w

2C+


2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

1 sin cos sin cos

sin cos sin cos sin cos sin cos1 1

cot tancos sin

x x x xdx dx dx dx

x x x x x x x x

dx dx x x Cx x

+= = + =⋅ ⋅ ⋅ ⋅

+ = − + +

x x x xx x

2

2 2 2 2 2 2 2

2

3 1 3 1 3 2 1 3 [ ] 1

1 1 1 2 1 1 2 1 13

ln(1 ) arctan2

x x x D xdx dx dx dx dx dx dx

x x x x x x x

x x C

+ = + = + = + =+ + + + + + +

+ + +

y y y y y y y

2 22

2 2 2

sin 1 cos 1tan 1 tan

cos cos cos

x xxdx dx dx dx dx x x C

x x x

−= = = − = − +z z z z z

1 1 1 [ ]1 ln(1 )

1 1 1 1 1

x x x x xx

x x x x x

e e e e D edx dx dx dx dx dx x e C

e e e e e

+ − += = − = − = − + ++ + + + +

{ { { { { {

( )2 2 22 2 2

2

11 1 1 1 1 1

arctan 0

1 1 1

xD

xaadx dx dx dx C axa x a a a a ax xa a a

| }~ �� = = = = + ∀ >

+ � � � �+ + +� � � ��

� � � �

( ) ( )( ) ( ) ( )222

Trovare A e B con1 1 1

l'integrazione razionali

fratte

A Bdx dx dx dx

x a x a x a x a x ax a

� �� = = = +� �

− − + − +− � ��

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

2 2

2 2

2 22 2

2 2 2 2

1 1 1

ln( )

21

2

x a x x a xdx dx dx

a x x a x a x a x x a x

D x a xdx x a x C

x a x

x x a xD x a x

a x a x

+ + + += = =+ + + + + + +� �+ +� �

= + + ++ +

+ +� �+ + = + =� �

+ +

� � �

�

( )2 2 2 2 2

2

11 1

arcsin 0

1 1 1

xD

xaadx dx dx dx C aaa x x x xa

a a a

� �� = = = = + ∀ >

− � � � �− − −� � � ��

¡ ¡ ¡ ¡

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1

( ) ( ) ( )

a a b x b x dx b xdx dx dx

x a b x a x a b x a x a b x a x a

+ −= = = −+ + +

¢ ¢ ¢ ¢x 2 2 2

22 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

( )

1 1 2 1 1 1 1ln ln( ) ln ln ( )

2 ( ) 2

1ln

( )

dxa b x

dx b xdx x a b x x a b x

a x a a b x a a a a

xC

a a b x

=+

− = − + = − + =+

++

¢¢ ¢


2 2 2

2 2

1 1

(1 ) (1 )

dx x x xdx

x x x x

+ − += =+ +

£ £2(1 )x x+

2xdx −

£x

222

2

2

1 2 1ln ln ln(1 )

2 (1 ) 2(1 )

ln ln (1 ) ln(1 )

xdx x dx x x

xx

xx x C

x

= − = − + =++

− + = ++

£ £


( ) ( )2 2 22 arcsin

1 1 1

D x dxdx dx dxx C

x xx x x x x

¤ ¥¦ §= = = +

−− − −

¨ ¨ ¨

[ ] 2ln 1ln ln ln

2

xdx xD x dx x C

x= = +

© © - [ ] 1ln 1

ln ln ln1

nn nx

dx xD x dx x Cx n

+= = ++

ª ª

2 2

tan2 2 2

sin 2sin cos sin 2 tan cos tan cos tan2 2 2 2 2 2 2 22 cos cos

2 2cos2

log tan2

x x xD dx D D dx

dx dx dx dxx x x x x x x xx

x xx

xC

« ¬ « ¬ « ¬ ® ® ®¯ ° ¯ ° ¯ °= = = = = =

+

± ± ± ± ± ±

ln tancos 2 4

sin2

dx dx x

xx

ππ

² ³= = +

´ µ² ³ ¶ ·+

´ µ¶ ·¸

Vedi integrale sopra.

2ln

( )

mx n m np mq m np mq dx m np mqdx dx dx x px q C

px q p p px q p p px q p p

+ − − −= = + = + + + ++ + +

¹ ¹ ¹ ¹

2 2 2 2 2 2

2 2

2xa x dx x a x dx x a x x

a x

−− = − − = − −−

º º2

x 2 2 22 2

2 2 2 2

2 2 22 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

( 1) 1( 1) da cui si ricava

x a adx x a x dx

a x a x

x a ax a x dx dx x a x a x dx a dx

a x a x a x

+ −= − + =− −

− −− + − − = − − − −− − −

º ºº º º º

2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2

1 12 e ricordando che arcsin si ha:

1arcsin

2

xa x dx x a x a dx dx C C

aa x a x

xa x dx x a x a C C

a

− = − − = + +− −» ¼

− = − − + +½ ¾¿ À

Á Á ÁÁ

2 2 2 2 2 2

2 2

2xa x dx x a x dx x a x x

a x+ = + − = + −

+

Â Â2

x 2 2 22 2

2 2 2 2

2 2 22 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

1 da cui si ricava

x a adx x a x dx

a x a x

x a ax a x dx dx x a x a x dx a dx

a x a x a x

+ −= + − =+ +

+ −+ − − = + − + ++ + +

Â ÂÂ Â Â Â

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

1 12 e ricordando che ln( ) si ha:

1ln( )

2

a x dx x a x a dx dx x a x Ca x a x

a x dx x a x a x a x C

+ = + + = + + ++ +Ã Ä

+ = + + + + +Å Æ

Ç Ç ÇÇ

1 1ln ln

1

nn x

x xdx xn x

+

= −+

1nx +È È( )

1 1 1

2

1

ln ln1 1 1 1 1

1ln

1 1

n n n n

n

x x x xdx x dx x C

n n n n n

xx C

n n

+ + +

+

= − = − + =+ + + + +É Ê

− +Ë Ì+ +Í Î

Ï


Integrali calcolati con formula di riduzione o ricorrente 2 2

2 2 1 2 1

1

(1 ) 2( 1)(1 ) 2( 1) (1 )n n n

x x xdx dx

x n x n x− −= ++ − + − +

Ð Ð da cui

1 1 12 1 2 1

1 1... (1 )

2( 1)(1 ) 2( 1) 2( 1)(1 ) 2( 1)n n n nn n

x xI I I I

n x n n x n− − −− −= + − = + −− + − − + −

e quindi:

12 1

2 3

2( 1)(1 ) 2( 1)n nn

x nI I

n x n −−

−= +− + −

n xnI x e dx= Ñ per n=1 si ha:

x x x x xxe dx xe e dx xe e C= − = − +Ò Ò

Per n>1 abbiamo: 1

1( 1) ( 1)n x n x n x n xn nI x e dx x e n x e dx x e n I−

−= = − − = − −Ó Ó

sinnnI xdx= Ô con n intero non negativo:

In caso di n pari: 00 sinI xdx dx x C= = = +Õ Õ

, in caso di n dispari: 11 sin cosI xdx x C= = − +Ö

1

2

sin cos 1n

n n

x x nI I

n n

−

−−= − +

cosnnI xdx= × con n intero non negativo:

In caso di n pari: 00 cosI xdx dx x C= = = +Ø Ø

, in caso di n dispari: 11 cos sinI xdx x C= = +Ù

1

2

cos sin 1n

n n

x x nI I

n n

−

−−= +

Integrali Generalizzati Criterio di integrabilità. Sia ( )f x una funzione definita dell’intervallo [ [,a b con b un punto di infinito, se esiste un

numero reale α con 0 1α< < tale che il limite ( )

lim1x b

f xl

x bα

→ −=

−

esiste ed è finito, allora la funzione

( )f x e’ assolutamente integrabile, se 1α ≥ la funzione non è integrabile.

Integrali impropri Criterio di integrabilità. Sia ( )f x una funzione definita dell’intervallo [ [,a ∞ , se esiste un numero reale α con 1α > tale

che il limite ( )

lim1x

f xl

xα

→+∞= esiste ed è finito, allora la funzione ( )f x e’ assolutamente integrabile,

se 0 1α< ≤ la funzione non è integrabile.


Trigonometria – Formule di addizione e sottrazione

2 2cos sin 1+ = ( )sin sin cos sin cosx y x y y x± = ± ( )cos cos cos sin cosx y x y x y= ±Ú

( ) tan tantan ,

1 tan tan 2

x yx y x y k

x y

π π± Û Ü± = ≠ +Ý Þß àá

Trigonometria – Formule di duplicazione sin 2 2sin cosx x x= 2 2cos2 cos sinx x x= −

2

2 tantan 2

1 tan

xx

x=

−

Trigonometria – Formule di bisezione

2 1 cos 2sin

2

xx

−= 2 1 cos2cos

2

xx

+= 2 1 cos2tan

1 cos 2 2

xx x k

x

π π− â ã= ∀ ≠ +ä å

+ æ ç

Trigonometria – Formule di prostaferesi

sin sin 2sin cos2 2

x y x yx y

+ −+ = sin sin 2cos sin2 2

x y x yx y

+ −− =

cos cos 2cos cos2 2

x y x yx y

+ −+ = cos cos 2sin sin2 2

x y x yx y

+ −− = −

Trigonometria – Formule parametriche 2

22

tansin

1 tan

xx

x=

+

22

1cos

1 tanx

x=

+

2

2 tan2sin

1 tan2

x

xx

=+

2

2

1 tan2cos

1 tan2

x

xx

−=

+

Le funzioni seno e tangente sono dispari, la funzione coseno è pari

sin cos2

x xπ

è é+ =

ê ëì í sin cos2

x xπ

î ï− = −

ð ñò ó sin cos2

z xπè é

− =ê ëì í

cos sin2

x xπ

ô õ+ = −

ö ÷ø ù cos sin2

x xπ

è é− =

ê ëì í cos sin2

x xπè é

− =ê ëì í

1tan

2 tanx

x

πú û

+ = −ü ýþ ÿ

1tan

2 tanx

x

πú û

− = −ü ýþ ÿ

1tan

2 tanx

x

πô õ

− =ö ÷ø ù

3sin cos

2x x

π� �

+ = −� ��

3sin cos

2x x

π� �

− =� �

3sin cos

2x x

π� �

− = −� ��

3cos sin

2x x

π� �

+ =� �

3cos sin

2x x

π� �

− = −� ��

3cos sin

2x x

π� �

− = −� ��

3 1tan

2 tanx

x

π�

+ = −� ��

3 1tan

2 tanx

x

π� �

− = −� ��

3 1tan

2 tanx

x

π� �

− =� ��

( )sin sinx xπ± = − ( )sin sinx xπ − = ( )sin sinx x− = −

( )cos cosx xπ± = − ( )cos cosx xπ − = − ( )cos cosx x− =

( )tan tanx xπ± = ( )tan tanx xπ − = − ( )tan tanx x− = −


Trigonometria – Angoli

Gradi Radianti sin Cos tan 1/tan 0° 0 0 1 0 Non esiste

15° 12

π 4

26 − 4

26 + 32− 32+

18° 10

π

4

15 −

4

5210+ 5

521− 525+

'22 30° 8

π 2

22− 2

22+ 12 − 12 +

30° 6

π

1

2 3

2

3

3

3

45° 4

π 2 1

;2 2

2 1

;2 2

1 1

60° 3

π 3

2

1

2 3 3

3

'67 30° 3

8π 2

22+ 2

22− 12 + 12 −

75° 5

12π 4

26 + 4

26 − 32+ 32−

90° 2

π

1 0 Non esiste 0

120° 2

3π 3

2

1

2− 3− 3

3−

135° 3

4π 2 1

;2 2

2 1

;2 2

− − 1− 1−

150° 5

6π

1

2 3

2−

3

3−

3−

180° π 0 -1 0 Non esiste

270° 3

2π

-1 0 Non esiste 0


Formule Varie

1 (1 )nnx x+ ≤ + ( 1)1 2 3 ...

2

n nn

++ + + + = ; ( , 0)n na b a b a b< ⇔ < > 12 3 4

π π π= −

xy x y= x y x y x y− ≤ ± ≤ + 21 2

1 2 1 2

( )( )

;

ax bx c a x x x x

b cx x x x

a a

+ + = − −

+ = − − =

2 22

1Posto:

1si ha: 2

x yx

x yx

+ =

+ = − 1 2 2 1( )( ...n n n n n na b a b a a b ab b− − − −− = − + + + +

2 2

2 2

a a b a a ba b

+ − − −± = ± solo se 2a b− è un quadrato perfetto

( )( )2 2a b a b a b− = + − ( )( )3 3 2 2a b a b a ab b− = − + + ( )( )3 3 2 2a b a b a ab b+ = + − +

( )( )( )4 4 2 2a b a b a b a b− = − + + ( )( )4 4 2 2 2 22 2a b a ab b a ab b+ = + + − +

( )3 3 2 2 33 3a b a ba b a b+ = + + + ( )3 3 2 2 33 3a b a ba b a b− = − + − ( )1 ! !( 1)n n n+ = +

( )! ( 1)!n n n= −

1 1; ;

zi zz z

z z i= = − = ( )

2 2

2 2 2 2

cos sin

;cos ;sin

a ib i

a ba b

a b a b

ρ ϑ ϑ

ρ ϑ ϑ

+ = +

= + = =+ +

2 2z x iy z x y= + � = + ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

cos sin ; cos sin

cos sin

cos sin

i i

i

i

α ρ ϑ ϑ β ρ ϑ ϑ

αβ ρρ ϑ ϑ ϑ ϑα ρ ϑ ϑ ϑ ϑβ ρ

′ ′ ′= + = +

′ ′ ′�

= + + +! "′ ′

� = + + +! "

′

( ) ( )cos sin cos sinn ni n i nρ ϑ ϑ ρ ϑ ϑ

# $+ = +% &

( )1

cos sin

2 2cos sin

n

n

i

k ki

n n

ρ ϑ ϑ

ϑ π ϑ πρ

+ =

+ +' (

+) *+ ,

Esponenti e logaritmi

log 1 0a = log 1a a = loga ba b= log log loga a abc b c= +

log log loga a a

bb c

c= − log logp

a ab p b= log log logc c ba b a= 1log loga a b

b= −

1log

log ba

ab

= 1

log 1a a= −

loglog

log

aa β

αβ α

= log logb aa bα α=

0 1a = x y x ya a a ++ = x

x yy

aa

a−= ( ) ( )y xx xy ya a a= =

( )xx xa b ab= 1 1x

xxa

a a− - .= = / 01 2

xx

x

a a

b b

3 4= 5 67 8


Disequazioni irrazionali

2 ( ) 0( ) ( )( ) ( )

( ) 0( ) 0

A xA x B xA x B x

B xB x

≥9

≥9

≥ : :<≥ ;;

<

2( ) ( )

( ) ( ) ( ) 0

( ) 0

A x B x

A x B x A x

B x

=≤>

≤ ≥?>

≥@

2( ) ( )( ) ( )

( ) 0

A x B xA x B x

B x

A=

= B≥

C

Formule per i quadrati

22 2 22 2

2

4

4 4 2 4

, , 4 0

p p p p qx px q x px q x

p q p q

−D E

+ + = + − + + = + −F GH I

∈ + >J

22 2 22 2

2

4

4 4 2 4

, , 4 0

p p p q px px q x px q x

p q p q

−K L

+ + = + − + + = + +M NO P

∈ − <Q

22

2

2

, , 4 0

px px q x

p q p q

R S+ + = +

T UV W∈ − =

X

22 2 22 2

2

4

4 4 2 4

, , 4 0

p p p p qx px q x px q x

p q p q

+Y Z

− + + = − + − + + = − − +[ \] ^

∈ + >_

Disequazioni trigonometriche sin ;( 1)x l l< ≤ − Impossibile

sin ;( 1)x l l< > é verificata per ogni x sin ;( 1)x l l< =

é verificata per ogni x escluso 22

kπ π+

sin ;( 1)x l l< < La sin x è crescente dell’intervallo ,

2 2

π π` a−b cd e e la soluzione è:

2 2 2a k x a kπ π π π− + < < + + sin ;( 1)x l l> ≥ Impossibile

sin ;( 1)x l l> < − é verificata per ogni x

sin ;( 1)x l l> = − é verificata per ogni x escluso 2

2k

π π+

sin ; ( 1)x l l> < La sin x è crescente dell’intervallo ,

2 2



2 2a k x a kπ π π+ < < − + cos ;( 1)x l l< ≤ − Impossibile cos ;( 1)x l l< > é verificata per ogni x cos ;( 1)x l l< = é verificata per ogni x escluso 2kπ

cos ;( 1)x l l< < La cos x è decrescente dell’intervallo ] [0,π e la soluzione è:

2 2 2a k x a kπ π π+ < < − + cos ;( 1)x l l> ≥ Impossibile

cos ;( 1)x l l> < − é verificata per ogni x

cos ;( 1)x l l> − é verificata per ogni x escluso 2kπ π+

cos ;( 1)x l l> < La cos x è decrescente dell’intervallo ] [0,π e la soluzione è:

2 2a k x a kπ π− + < < + tanx l<

La tan x è crescente dell’intervallo ,2 2


2k x a k

π π π− + < < +

tanx l> La tan x è crescente dell’intervallo ,

2 2


2a k x k

ππ π+ < < +

Disequazioni trigonometriche notevoli

cos sin 0a x b x c+ + > Dato

2 2cos

a

a bϕ =

+ e

2 2sin

b

a bϕ =

+si ha:

2 2 2 2 2 2cos sin 0

a b cx x

a b a b a b+ + >

+ + + ovvero:

2 2sin cos cos sin 0

cx x

a bϕ ϕ+ + >

+ per cui:

2 2sin( )

cx

a bϕ + > −

+

2 2cos sin cos cos 0a x b x x c x+ + > Dividendo per 2cos x abbiamo:

2tan tan 0a x b x c+ + >

2 2cos sin cos cos 0a x b x x c x d+ + + > Ricordando che 2 2*1 *(cos sin )d d x x= +

dividendo per 2cos x abbiamo: 2( ) tan tan ( ) 0a d x b x c d+ + + + >


Valore Assoluto ( )A x k< ( )

( )

A x k

A x k

<fg

> −h

( )A x k> ( )

( )

A x k

A x k

>fg

< −h

Il trinomio 2ax bx c+ + se 0∆ > assume valore concorde al primo coefficiente per tutti e solo i valori esterni alle sue radici 1 2,x x , mentre assume valore opposto per tutti e solo i valore interni

all’intervallo 1 2,x x , se 0∆ = assume segno concorde ad a per tutti i valori della x escluso la

soluzione 2

b

a− , 0∆ < assume segno concorde ad a per tutti i valori della x

Equazione reciproche Prima specie = coefficienti uguali Seconda specie = coefficienti opposti

( ) ( )3 2 20 1 0ax bx bx a x ax a b x ai j

+ + + = k + + − + =l m

( ) ( )3 2 20 1 0ax bx bx a x ax a b x an o

+ − − = p − + + + =q r

4 3 2 22

2 2 22

1 10 0

1 1Posto: e quindi 2 ( 2) 0

ax bx cx bx a a x b x cx x

z x z x a z bz cx x

s t s t+ + + + = u + + + + =

v w v wx y x y= + − = + u − + + =

4 3 0 soluzioni -1 e +1 (Applicare Ruffini 2 volte)ax bx bx a+ − − = z


( )1( ) 0,n pari

nf x n

x= > ( )1

( ) 0,n disparin

f x nx

= >

( )( ) 1xf x a a= > ( )( ) 0 1xf x a a= < <

( )( ) n parinf x x= ( )( ) disparinf x x n=

( )( ) 1,pf x x p p R= > ∈ ( )( ) 0 1,pf x x p p R= < < ∈


( ) log ( ) ( 1)af x x a= > ( ) log ( ) (0< 1)af x x a= <

( ) sin( )f x x= ( ) arcsin( )f x x=

( ) cos( )f x x= ( ) arccos( )f x x=

( ) tan( )f x x= ( ) arctan( )f x x=


Serie

Serie numerica 1 20

... ...n nn

a a a a∞

== + + +

{, Somma parziale 1 2 ...n nS a a a= + + + , Se la successione

delle somme parziali nS converge ad un numero S, si dice che la serie 1

nn

a∞

=

|è convergente e ha

come somma il numero S, cioè 1

nn

S a∞

==

{. La serie può essere convergente, divergente, o

oscillante. Se la serie 1

nn

S a∞

==

{è convergente detta ns la sua ridotta n-sima si dice resto nR n-sino

la differenza n nR S s= − . Se la serie converge si ha lim 0nnR

→∞= . Se si modificano dei termini finiti

della serie il carattere della serie non cambia. Se due serie sono convergenti, anche la loro somma lo è. Condizione necessaria affinché la serie converga è che il termine generale della successione sia infinitesimo Serie di Mengoli

1 1 1 1...

1 2 2 3 3 4 ( 1)nSn n

= + + + ++ + + +

in generale

1 1 1

( 1) ( 1)n

n n nS

n n n n

+ − += = =+ + ( 1)n n +

n−n

1 1

( 1)( 1) n nn= −

++cioè

11

2nS = − 1

2

} ~+

� �� 1

3− 1

3

} ~+

� �� 1

4− 1

...n

} ~+ +

� �� 1 11

1 1n n

} ~− = −

� �+ +� � quindi la serie converge ed ha

come limite 1. L'espressione "serie telescopica" è un termine informale con cui si indica una serie

i cui termini appaiono nella forma 1 2 2 3 11

( ) ( ) ... ( )n n nn

S a a a a a a∞

+=

= − + − + + −�

e il calcolo della

serie si riduce al calcolo del limite ( )1 ( 1)lim nn

a a +→∞−

Serie Armonica

1

1

n n

∞

== +∞

�,

1 1 11 ... ...

2 3 n+ + + + + diverge

Serie Geometrica 2

0

1 ... ...n n

n

x x x x∞

== + + + + +

�

Ricordando che 2 11 ...

1

nn

n

xS x x x

x

−= + + + + =−

ricavato da 21 (1 )(1 ... )n

n n

S

x x x x x− = − + + + +�� si ha:


2 11 1 1 1 ... 1

1 11

1 1

11 diverge a

11 oscillante e infinitamente grande

0 se n è pari 1

1 se n è dispari

nn

n

n

n

n

x S n

xx S

x x

xx S

xx

x

−�

= � = + + + + =�−

�< � = =�

− −�−

�> � = + ∞

�−�

< −��

= −��

Serie a termini non negativi

Sia 1

nn

a∞

=

�una serie a termini non negativi, cioè 0na ≥ , questa serie è regolare

Criterio del confronto

1

1) nn

a∞

=

�

1

2) nn

b∞

=

� se n na b≤ si dice che:

la (1) è maggiorata o è una serie minorante dalla (2) la (2) è minorata o è una serie maggiorante della (1) Considero le serie (1) e (2) a termini non negativi e che (1) sia maggiorata da (2) (n na b≤ ) si ha:

Se (2) è convergente anche (1) è convergente Se (1) è divergente anche (2) è divergente Criterio del rapporto

Data la serie 1

nn

a∞

=

�a termini positivi se la successione 1n

n

a

a+ converge si ha:

1

1

1

lim 1, la serie risulta convergente

lim 1,(anche+ )la serie risulta di divergente a +

lim 1, Nulla si può dire su carattere della serie

n

nn

n

nn

n

nn

al

a

al

a

a

a

+

→∞

+

→∞

+

→∞

�= <

��= > ∞ ∞

��=

��

Criterio della radice

Data la serie 1

nn

a∞

=

�a termini non negativi se la successione n

na e convergente si ha:

lim 1, la serie risulta convergente

lim 1,(anche+ )la serie risulta di divergente a +

lim 1, Nulla si può dire su carattere della serie

nnn

nnn

nnn

a l

a l

a

→∞

→∞

→∞

�= <��

= > ∞ ∞��

=��

Osservazione: Se fallisce il criterio della radice, fallisce il criterio del rapporto Criterio di Raabe

Data la serie 1

nn

a∞

=

�a termini positivi si ha:


1

1

1

lim 1 1,(anche+ )la serie risulta convergente

lim 1 1,(anche- )la serie risulta di divergente

lim 1 1, Nulla si può dire su carattere della serie

n

nn

n

nn

n

nn

an l

a

an l

a

an

a

→∞+

→∞+

→∞+

� � �− = > ∞

� � � ¡�� − = < ∞

¢ � � ¡� �

− =� � ¡

��£

Serie assolutamente convergente

La serie 1

nn

a∞

=

¤è assolutamente convergente se la serie

1n

n

a∞

=

¥ è convergente. Se la serie

1n

n

a∞

=

¥ non

è convergente non è detto che la serie 1

nn

a∞

=

¤non lo sia. Esempio la serie

11 1 1 11 ... ( 1) ...

2 3 4n

n−− + − + + − è convergente, ma la serie dei sui valori assoluti è la serie armonica

che diverge. Se una serie è assolutamente convergente la serie risulta convergente. Se una serie è

assolutamente convergente gode della proprietà commutativa. Se la serie 1

nn

a∞

=

¤ma la serie

1n

n

a∞

=

¥

diverge non vale la proprietà commutativa. Se la serie 1

nn

a∞

=

¤converge e vale la commutativa allora

la serie è assolutamente convergente. In generale se una serie convergente converge assolutamente vale la proprietà commutativa Criterio di convergenza di Cauchy

1n

n

a∞

=

¤è convergente se vale 1 20 : , ...n n n pn n n p a a aε ε+ + +∀ > ∃ ∈ ∀ > ∃ ∈ ¦ + + + <

§ §

Serie alternate Una serie si dice alternate se 1 0n na a +⋅ ≤ ovvero si alternano termini positivi e negativi

Se la serie 1

nn

a∞

=

¤è alternante e la successione { }na è monotona la serie o converge o risulta

oscillante. Se la successione { }na risulta non crescente, cioè 1n na a +≥ , e lim 0nn

a→∞

= la serie

risulta convergente e si ha: 1n ns s a +− ≤ detta s la somma della serie. Se invece si ha lim 0nn

a→∞

≠ la

successione è oscillante Criterio del confronto asintotico

Siano 1

nn

a∞

=

¤e

1n

n

b∞

=

¨due serie a termini positivi se esiste il limite ] [lim 0,n

nn

al

b→∞= ∈ +∞ allora le due

serie hanno lo stesso carattere,se lim 0n

nn

a

b→∞= possiamo solo dire che n na b< se invece lim n

nn

a

b→∞= ∞ si

ha n na b> . Molto spesso si usa per nb la serie armonica 1

nα


Serie Armonica Generalizzata

Consideriamo la serie 1

1

n nα

∞

=

©applicando il criterio di Raabe si ha:

11 1

( 1) 1 1lim 1 lim 1 lim 1 1 lim

1n n n n

nn nn n n

n n nn

α

α αα

α α→∞ →∞ →∞ →∞

ª «¬ + −

® ¯° ±² ³ ² ³ ´ µ² ³+ +

® ¯¬ ¬ ¶ ·− = − = + − = =

® ¯ ® ¯® ¯ ° ± ° ±´ µ ´ µ® ¯ ® ¯¶ · ¶ · ¶ ·

(vedi limite notevole ( )

0

1 1lim

a

x

xa

x→

+ −= ) Quindi la serie armonica generalizzata converge per

1α > diverge per 0 1α< < e assume per 1α = la forma 1

1

n n

∞

=

¸ che diverge. Per 1α < il termine

generale della serie non è infinitesimo quindi la serie diverge. Ricapitolando si ha:

1, la serie diverge a +

1, la serie converge

αα≤ ∞

¹º>

»

Serie Esponenziale

Consideriamo la serie 1 !

n

n

x

n

∞

=

¼applicando il teorema del rapporto si ha per 0x > :

11 !

( 1)!

n nn

nn

a x n x

a n x

++ = =

+ !

x

n

!

( 1)

n

n + nx ( 1)

x

n=

+ quindi 1lim 0

( 1)n

nn

a x

a n+

→∞= =

+ la serie converge

Per 0x = la serie fa zero. Per 0x < si ha considera la serie 1 1! !

nn

n n

xx

n n

∞ ∞

= =

=½ ½

che è assolutamente

convergente quindi la serie è convergente. Serie logaritmica

Consideriamo la serie 1

n

n

x

n

∞

=

¼ applicando il teorema del rapporto si ha per 0x > :

11

( 1)

n nn

nn

a x n x

a n x

++ = =

+ ( 1) n

x n

n x+ ( 1)

nx

n=

+ quindi 1lim

( 1)n

nn

a nx x

a n+

→∞= =

+,quindi la serie converge per

0 1x≤ < , per 1x = , si ha la serie armonica, quindi diverge, per 1x > la serie diverge a +∞ .

Considero 1 0x− < < in questo caso considerando che la serie 1 1 !

nn

n n

xx

n n

∞ ∞

= =

=¾ ¾

è assolutamente

convergente lo è anche la serie 1

n

n

x

n

∞

=

¿dell’intervallo 1 0x− < < , Considero 1x = − in questo caso

la serie è alternate. Infatti 1

( 1)n

n n

∞

=

−Àconsiderando il teorema delle serie alternate si ha che

( 1) 1n

nan n

−= = → decrescente e infinitesima, quindi la serie converge, però non è assolutamente


convergente. Per 1x < − si ha che la serie è definitivamente non decrescente, quindi la serie oscilla.

Infatti si può scrivere: [ ] [ ]

1 1 1

( 1)( ) ( )( 1)

n nnn

n n n

x xx

n n n

∞ ∞ ∞

= = =

− − −= = −

Á Á Á considerando la successione

n

n

xa

n= e applicando il criterio del rapporto si ha:

1

1lim( 1)

nn

nnn

n

xxa n

a n x

++

→∞= =

+ ( 1) n

x n

n x+1

( 1)

nx x

n= = >

+ da cui si ricava che 1n na a+ ≥ cioè la

successione na e definitivamente non decrescente. Considerando che il resto delle successione

non è infinitesimo si ha che la serie oscilla. Ricapitolando si ha che la serie logaritmica è: 1 1, la serie converge

1, la serie diverge

1, la serie oscilla

x

x

x

− ≤ ≤ÂÃ

>ÄÃ

< −Å

Studio la serie 1

1log(1 )

n nα

∞

=+

Æ

Applico il criterio del confronto asintotico si ha 1

log 11 1

lim log 1 log 1 log 11

n

n

nn e

n nn

αα

αα α

α→∞

Ç È+

É Ê Ç È Ç ÈË Ì= + = + = =É Ê É ÊË Ì Ë Ì quindi il carattere della serie

1

1log(1 )

n nα

∞

=+

Æ ha lo stesso carattere della serie

1

1

n nα

∞

=

Í(serie armonica generalizzata))

Studio la serie [ ]1

log(1 )n

n

n−∞

=+

Î

Applico il criterio della radice si ha: 1 1

lim 0log(1 ) log(1 )

nnn n n→∞

= =+ +

quindi la serie è convergente

Studio la serie 1

!n

n

xn

n

∞

=

Ï ÐÑ ÒÓ ÔÕ

Per 0x = la serie è uguale a zero. Per 0x > si ha: Serie a termini positivi, applico il criterio del rapporto

1

1

1lim( 1)! lim ( 1)

( 1) !

n n

n nn n

x nn n

n n x

+

+→∞ →∞+ = +

+!n

nx

( 1) ( 1)n

x

n n+ +1

!n

n

n

n

xlim

( 1)

lim lim( 1) 1

1

n

nn

n nn n

n

nx

n

x x x

n en n

→∞

→∞ →∞

= =+

= =+ Ö ×

+Ø ÙÚ Û

Quindi per 0 1 0x

x ee

< < → < < la serie è convergente, per x e> la serie diverge, per x e= se


consideriamo che la successione 1

1n

n

Ü Ý+

Þ ßà á tende a e in mode crescente si ha 1

1n

en

Ü Ý+ <

Þ ßà á è quindi

11

1n

e

n

>â ã+

ä åæ ç da cui la serie diverge

Per 0x < si ha: Considerando i valori assoluti si ha per 0e x− < < la serie è alternate è converge perché assolutamente convergente, per x e> − la serie è alternate e monotona crescente quindi oscillante. Ricapitolando si ha

, la serie converge

, la serie diverge

, la serie oscilla

e x e

x e

x e

− < <èé

≥êé

≤ −ë

Studio la serie 2

3 21

162nx

n

n

n n n

∞

=

−+ +

ì

Osservo che la serie è definitivamente positiva per 5n ≥ , e che la quantità 2nx è sempre positiva.

Considero la successione 2

3 2

16n

na

n n n

−=+ +

è applico il criterio del confronto asintotico:

2

22 22 2 23 2

3 33

2 2 2

16 16 1616 1 1 1lim lim lim lim 1

1 1 1 1 1 1 11 1 1

n n n n

n nn n nn n nn n n n

n nn

n n n n n n n

α αα

α

+

→∞ →∞ →∞ →∞

í î í î í î− − − −

ï ð ï ð ï ðñ ò ñ ò ñ ò+ + = = = =í î í î í î

+ + + + + +ï ð ï ð ï ðñ ò ñ ò ñ ò

devo trovare un coefficiente α tale che il limite abbia valore maggiore di zero. Cioè deve essere: 2 3α + = da cui si ricava 1α = e si deduce che la serie è divergente visto che assume lo stesso

carattere della serie armonica 1

1

n

Formulario analisi 1

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