CURVE NELLO SPAZIO

α(t) = (x(t), y(t), z(t)) curva regolare;α′(t) = (x′(t), y′(t), z′(t)) campo vettoriale tangente

Lunghezza dell’arco di curva da α(a) ad α(b) e ascissa curvilinea:

Lba(α) =

∫ b

a

‖α′(t)‖ dt =∫ b

a

√x′(t)2 + y′(t)2 + z′(t)2 dt; s(t) =

∫ t

a

‖α′(u)‖du

Triedro e formule di Frenet per una curva β(s) parametrizzata con l’ascissa curvilinea:

T (s) = β′(s), N(s) =1

‖T ′(s)‖T ′(s), B(s) = T (s) × N (s)

T ′(s) = k(s)N(s)

N ′(s) = −k(s)T (s) + τ(s)B(s)

B′(s) = −τ(s)N (s)

Curvatura: k(s) = ‖T ′(s)‖. Torsione: τ (s) = −B′(s) · N(s).

Triedro e formule di Frenet per una curva a(t) con parametro qualsiasi:

T (t) =α′(t)

‖α′(t)‖ , N (t) = B(t) × T (t), B(t) =α′(t) × α′′(t)

‖α′(t) × α′′(t)‖

T ′(t) = k(t)α̇(t)N (t)

N ′(t) = −k(t)α̇(t)T (t) + τ (t)α̇(t)B(t)

B′(t) = −τ (t)α̇(t)N (t)

α̇(t) = ‖α′(t)‖, k(t) =‖α′(t) × α′′(t)‖

‖α′(t)‖3 τ(t) =α′(t) × α′′(t) · α′′′(t)

‖α′(t) × α′′(t)‖2

CURVE PIANE

α(t) = (x(t), y(t)) curva regolare; α′(t) = (x′(t), y′(t)), Iα′(t) = (−y′(t), x′(t))

T (t) =1

‖α′(t)‖α′(t), N(t) =

1‖α′(t)‖

Iα′(t)

T ′(t) = k(t)α̇(t)N(t), α̇(t) = ‖α′(t)‖, k(t) =α′′(t) · (Iα′(t))

‖α′(t)‖3

1

2

SUPERFICI

M superficie regolare; ϕ(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) parametrizzazione locale

ϕu(u, v) =(

∂x

∂u,∂y

∂u,∂z

∂u

), ϕv(u, v) =

(∂x

∂v,∂y

∂v,∂z

∂v

), N (u, v) =

ϕu × ϕv

‖ϕu × ϕv‖

E = ϕu · ϕu, F = ϕu · ϕv, G = ϕv · ϕv,

l = N · ϕuu, m = N · ϕuv, n = N · ϕvv

Lunghezza dell’arco di curva α(t) = ϕ(u(t), v(t)) da α(a) ad α(b):

Lba(α) =

∫ b

a

√E(u′)2 + 2Fu′v′ + G(v′)2 dt, u′ =

du

dt, v′ =

dv

dt

Area della superficie ϕ(D):

A =∫∫

D

√EG − F 2 dudv

Matrice dell’operatore forma SP rispetto alla base (ϕu ϕv):(

a bc d

)dove

a =Gl − Fm

EG − F 2 , b =Gm − Fn

EG − F 2 , c =Em − F l

EG − F 2 , d =En − Fm

EG − F 2

Curvatura Gaussiana: K =ln − m2

EG − F 2 Curvatura media: H =En − 2Fm + Gl

EG − F 2

Curvature principali: k1(P ) e k2(P ). Sono le radici di: λ2 − Hλ + K = 0

Direzioni principali di curvatura: e1 ed e2, base ortonormale di autovettori di SP taleche SP (e1) = k1e1 e SP (e2) = k2e2

Curvatura normale nella direzione del versore u: kn(u) = SP (u) · u

Formula di Eulero: kn(u) = k1 cos2 ϑ + k2sen2 ϑ con ϑ = ˆue1

P ∈ M punto ellittico se K(P ) > 0; P ∈ M punto iperbolico se K(P ) < 0

P ∈ M punto parabolico se K(P ) = 0 con k1(P ) 6= 0 e k2(P ) = 0 ,

P ∈ M punto planare se K(P ) = 0 con k1(P ) = k2(P ) = 0