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Antonino Passarello

Controlli Automatici

FORMULARIO DI CONTROLLI AUTOMATICI Sistema x (t) = A x (t) + B u (t) y (t) = C x (t) + D u (t) Funzione di trasferimento G (s) = y (s) / u (s) = C (sI A)-1 B + D Sistema Serie prodotto delle G (s) G (s) = !i Gi (s) Sistema Parallelo somma delle G (s) G (s) = "i Gi (s) Sistema in Retroazione Negativa G (s) = G1 (s) / [ 1 + G1 (s) G2 (s) ] Sistema in Retroazione Positiva G (s) = G1 (s) / [ 1 G1 (s) G2 (s) ] Funzione danello L (s) = G1 (s) G2(s) Risposta in Frequenza G (jw) = y (jw) / u (jw) = C (jwI A)-1 B + D PS: in sostanza si trasforma la s in jw Diagrammi di Bode Vengono rappresentati su carta semilogaritmica, distinguendo due diagrammi: quello del modulo (ascisse w poste in decadi, ordinate in dB decibel) e quello della fase che vede nelle ascisse gli w, anche qui posti in decadi, e nelle ordinate i gradi.

Fattorizzazione della G (s) e della G (jw)

Antonino Passarello


dove indichiamo con: Guadagno della Funzione

Zero semplice

Zero complesso coniugato

Polo nellorigine se g>0, zero nellorigine se g

Antonino Passarello


Tracciati tutti i contributi si sommano algebricamente, formando il diagramma asintoticoe da questo si traccia qualitativamente il diagramma reale.

Diagramma della fase PS: sono tutte linee orizzontali parallele

> 0 retta orizzontale a 0 su tutto il diagramma < 0 retta orizzontale a 180 su tutto il diagramma

g > 0 retta orizzontale a 90g su tutto il diagramma g < 0 retta orizzontale a 90g su tutto il diagramma

Retta orizzontale a 90 che parte dal punto

Retta orizzontale a 90 che parte dal punto T

Retta orizzontale a 180 che parte dal punto wn

Retta orizzontale a 180 che parte dal punto wn

Diagramma de valore (il suo valore sempre compreso tra 0 e 1)

Tracciati tutti i contributi si sommano algebricamente, formando il diagramma asintoticoe da questo si traccia qualitativamente il diagramma reale.

Criterio di Bode Se la funzione di trasferimento danello L (s) non ha poli con parte reale positiva (P=0) e se inoltre il diagramma del modulo di Bode della L (s) attraversa una sola volta lasse a 0dB allora il sistema si dir asintoticamente stabile se risulta > 0 e margine della fase > 0. Margine di guadagno Km Misura la distanza in corrispondenza alla pulsazione wp per la quale si ha una fase di 180 tra il valore del modulo della funzione e lasse a 0 dB. Se tale valore non esiste allora Km = #

Antonino Passarello


Margine di fase Misura la differenza tra 180 ed il valore il modulo della fase o calcolata in corrispondenza alla pulsazione wc che rende unitario il modulo della funzione. Se tale valore non esiste allora = #

Diagramma di Nyquist Il diagramma di Nyquist ci da informazioni importanti per verificare il criterio di Nyquist, mostrando attraverso il piano di Gauss, il diagramma polare della fase della funzione. lim [G (s)] valore da cui inizia il diagramma di Nyquist qualitativo s$0

lim [G (s)] valore in cui finisce il diagramma di Nyquist qualitativo s$!

Si traccia il diagramma della fase di Bode e da esso si ricava il diagramma polare percorrendo il percorso del diagramma asintotico e riportandolo qualitativamente sugli assi cartesiani. Da questo tracciamo il suo opposto, prendendo come asse simmetrico quello delle ascisse. Il grafico ottenuto il diagramma di Nyquist Criterio di Nyquist P = numero di poli a parte reale positiva della G(s) N = numero di circonduzioni che il diagramma di Nyquist fa attorno al punto (-1,0) Condizione necessaria e sufficiente affinch il sistema sia asintoticamente stabile : N = P Routh Hurwitz Indica la stabilit interna del sistema G(s) = N(s) / D(s) d(s) = D(s) + KN(s) d(s) = ansn + an-1 sn-1 + an-2sn-2 + + a1s + a0 = an(s) + an-1(s)

Antonino Passarello


Se la prima colonna mantiene lo stesso segno in tutti I suoi elementi, il sistema asintoticamente stabile, instabile altrimenti. Inoltre ad ogni cambio di segno corrisponde una radice instabile In presenza di parametri k nella prima colonna, si pone il termine >0 e risolvendo tale/i disequazione/i si trovano i valori di k affinch il sistema risulti stabile. Funzioni di Sensitivit S(s) = 1 / [1 + R(s)G(s) ] Funzione di Sensitivit F(s) = [R(s)G(s)] / [1 + R(s)G(s)] Funzione di Sensitivit Complementare Q(s) = [R(s)] / [1 + R(s)G(s)] Funzione di Sensitivit del Controllo Risposte in Frequenza delle Funzioni di Sensitivit |S(jw)| = |L(jw)| per w > wc altrimenti 1 |F(jw)| = 1 / |L(jw)| per w wc altrimenti 1 / [|G(jw)|] Progettazione del Controllore Viene utilizzata la tecnica della Sintesi per Tentativi, che vede via via in base a delle specifiche date incrementare il controllore. E utile scomporre il controllore in due parti: R(s) = R1(s) R2(s) dove: R1(s) = R / sg parte statica del regolatore R2(s) = (!i ) / (!i ) parte dinamica o rete stabilizzatrice Le specifiche per la progettazione del regolatore si traducono sempre in margine di fase e di guadagno. Per modificarli quindi bisogna aggiungere poli (per abbassare il grafico) oppure zeri (per alzarlo) oppure aggiungendo il guadagno. Regola: ad ogni polo o zero aggiunto, si deve inserire rispettivamente uno zero o polo arbitrario magari alla fine del grafico in modo che non dia fastidio Polo o zero (1 + sT) dove la T = 1 / w, dove w il valore preo dal grafico per cui la ns. specifica verificata. Progetto controllore parte statica Si riferisce sempre allerrore a regime per una forma dingresso di un riferimento. Si vede la tabella sotto e si pone il valore corrispondente paragonato alla specifica data. Si risolve leventuale disequazione ed il risultato, fratto eventuali poli (si vede dalla colonna g) il regolatore statico.

Progettazione in presenza di specifiche dinamiche (cenni)

Presenza di disturbo d a bassa frequenza Si pone la risposta in frequenza della S(s)

Antonino Passarello


Sovraelongazione S%

S% = 100e "#/V1-"2 oppure possiamo ricavare " direttamente dal grafico accanto

= 100"

Specifica Kv

E il prolungamento del polo o zero nellorigine del diagramma asintotico fino ad intersecare lasse a 0dB. La differenza tra il punto dellintersezione e il punto in perpendicolare che tocca il grafico il Kv. NB: esistono altre specifiche che per riguardo questo corso abbiamo solo accennato e quindi non il caso di inserirle. Inoltre in caso di aumento del margine di fase pu essere utilizzata una rete anticipatrice, mentre in caso di diminuzione, una rete ritardatrice.

4.5. CRITERIO DI NYQUIST 4.5 4

radici

R. Zanasi - Controlli Automatici - 2011/12 4. STABILITA` E RETROAZIONE

52 Chapter 2 Mathematical Models of Systems linear, dynamic elements is given in Table 2.2 [5]. The equations in Table 2.2 are ideal-ized descriptions and only approximate the actual conditions (for example, when a linear, lumped approximation is used for a distributed element) .

Table 2.2 Summary of Governing Differential Equations for Ideal Elements Type of Element

Physical Element

Governing Equation

Energy or Power SP Symbol

( Electrical inductance

Inductive storage < Translational spring

Rotational spring

Fluid inertia

Electrical capacitance

Translational mass

Capacitive storage ^ Rotational mass

Fluid capacitance

< Thermal capacitance

( Electrical resistance

Translational damper

Energy dissipators < Rotational damper

Fluid resistance

Thermal resistance

_ di

21 = J. dF_ k dt

1 dT

Section 2.4 The Laplace Transform 59 The transformation integrals have been employed to derive tables of Laplace trans-forms that are used for the great majority of problems. A table of important Laplace transform pairs is given in Table 2.3, and a more complete list of Laplace transform pairs can be found at the MCS website.

Table 2.3 Important Laplace Transform Pairs m F(s) Step function, u(t)

sin cot

COS bit

t"

dkf(t) dtk

I f(t)dt Impulse function 8(t) e sin cut

e "' cos bit

-[(a - a)2 + bi2]V2e-al sin(bit + cf>).

+or*~l- = tan

s + a bi

S2 + bi2 s

S2 + bi2

nl

skF{s) - 5*_,/(0") - sk-2f'(Q-) - . . . - / ^ - ^ ( 0 - )

s 1

(s

(s

+ s

+ s

1 s j bi

a)2 + + a

af + + a

j -oo

bi2

bi"

2 a. ,.2 (s + af + bi

Vl-2 1

^ = e _ f a , n ' sin binVl - 2t, < 1

1 a1 + to" bi\/a2 + bi'

e atsm(bit - ),

_i bi = tan l a 1 . * e"{V sin(Vl - eft + ),

V l - C2 = cos_1, < 1 a 1

a1 + b/ (o (a - a)2 + to2

a2 + co2 1/2

e~al %m.{bit + ).

t o n 1 (f) = tan t a n - 1 a a a

S + 2b)nS + bin 1

s[(s + a)2 + bi2]

S(S + 2b)nS + bin)

s + a s[(s + a)2 + bi2]

Section 2.6 Block Diagram Models 81 Here the Y and R matrices are column matrices containing the I output and the J input variables, respectively, and G is an I by J transfer function matrix. The matrix representa-tion of the interrelationship of many variables is particularly valuable for complex multi-variable control systems. An introduction to matrix algebra is provided on the MCS website for those unfamiliar with matrix algebra or who would find a review helpful [21].

The block diagram representation of a given system often can be reduced to a simplified block diagram with fewer blocks than the original diagram. Since the transfer functions represent linear systems, the multiplication is commutative. Thus, in Table 2.6, item 1, we have

X3(s) = G2{s)X2{s) = Gl{s)G2{s)Xx{s).

Table 2.6 Block Diagram Transformations Transformation Original Diagram Equivalent Diagram 1. Combining blocks in cascade x.

2. Moving a summing point behind a block

G,(s) G2(s)

X, +

X, * l

or * i

* i

n.n~ l T [ 0 2

G2Gl

G

* 3

X*

__/^__l x%

3. Moving a pickoff point ahead of a block i " I G

X, I 1 G +I

X,

4. Moving a pickoff point behind a block xt r~ I G

X,

* l

* l

G

1 G

X2

5. Moving a summing point ahead of a block

X-y

x, + * i

6. Eliminating a feedback loop x, + ~\ fc t> * f

G

H

572 Chapter 8 Frequency Response Methods

Table 8.3 Asymptotic Curves for Basic Terms of a Transfer Function Term Magnitude 20 log|G| Phase )

l.Gain, G(J(o) = K

40

20 20 log K dB * 0

-20

-40

r " "~ ! !

1 1 I !

90

45

4>(co) if

-45

-90

! T7. 2. Zero,

C O ) = 1 + j(o/(t)\

3. Pole, G

Section 7.11 Summary 519

Table

7.11

Ro

ot Lo

cus P

lots f

or Ty

pical

Tran

sfer F

uncti

ons

G(s)

Root

Loc

us

G$)

Root

Loc

us

' ST\

+ 1

S

Root

locus

,

* X

a <

X

* (ST

X +

\){ST

2 + 1

) f

* *(ST

! + 1

) |

0 '1

''I

X X

O-

X X

U '2

0 r 2

' (ST

, +

l){sr

z + 1

)( JT 3

+ 1

) LO

V,

' J(5

TI +

l)(

sr2

+ 1)

I/

- y

_* (^

"

-*

*-t*

>2

N

520 Chapter 7 The Root Locus Method Ta

ble

7.11

(con

tinue

d)

G{s)

Root

Loc

us

l G

{s)

Root

Loc

us

K(sr

a + 1)

10.

-^

f S*

(STI

+ 1)

X(5T

a + 1

) 53

K(sr

a + 1

)

*(

-! +

\){ST

2 + 1)

52(5

Tj +

1)

Doub

le po

le

Doub

le po

le


Table

7.11

(co

ntinu

ed)

G(s)

Root

Loc

us

G(s

) Ro

ot L

ocus

K(sr (

t + 1

)(^, +

1)

jo,

K(sr

a + 1

) j*

,

/ '

\ Tri

ple

r, /

Doub

le

X(jT

g + l)

(STb +

1)

> ' s

iSTi +

1)(W

2 + 1

)(JT 3

+ 1

)(ST 4

+ 1)

rS

T 4

T 3

T fr

T a

T 2 n

S

Tabl

e 8.5

Bo

de D

iagr

am P

lots

for T

ypica

l Tra

nsfe

r Fun

ctio

ns

G(s)

Bo

de D

iagra

m

G(s)

Bo

de D

1. K

ST]

+ 1

2. K

{ST X

+ 1

)(5T 2

+ 1

)

K

-20

dB/de

c

40 dB

/dec

(s Tl

+ 1)(

ST2

+ 1)

(ST 3

+1

)-18

0

-270

K(sr 0

+ 1)

^(S

Tj +

1)(S

T 2 +

1)

K_

2

-180

9. K

/(i'T

, +

1)

Tabl

e 8.

5 (c

ontin

ued)

G(

s)

Bode

Diag

ram

4* s

5. K

S(ST

! + 1

)

-40d

B/de

c

K S(

ST]

+ l)(

ST2

+ 1)

-90

-180

-270

-20s

OdB

>\

l/Ti

I\\

-60d

B/de

c\M

log co

G(s)

10. K

(sra

+ 1)

S2(S

T t +

1)

11

K 11

s3

12. K

(ff

+ 1)

Tabl

e 8.

5 (c

ontin

ued)

G(s

) Bo

de D

iagr

am

13. K

(sr a

+ \)

(ST

+ 1

)

-90

-270

log co

20

dB/de

c

14.

K{ST

a +

l)jST

b +

1)

-90

S(STt

+ 1

)(ST 2

+ 1

)(ST 3

+ 1

)(*T 4

+1

)-lo

g ^ i 1\ T] T2

/ Phase margin

log (o \ - 4 0 dB/dec

K (ST! + 1)(5T2 + 1)(S73 + 1)

Gain margin

60 dB/dec

4.K s

| w=0

i CO I

- 1 ft) = oc I

+ co I I

ft>-0 1*-- '

-90

20 dB/dec

(continued)


Table 9.6 (continued) Nichols Diagram Root Locus Comments

OdB

OdB

J

Root locus < r _\_

-*- -*-

JO) A

Stable; gain margin = oo

Elementary regulator; stable; gain margin - oo

M Phase

L - CHX Regulator with additional energy-storage component; unstable, but can be made stable by reducing gain

M

UdB - I

Phase margin

30

1" -90

r

J"J

- Ideal integrator; stable

706 Chapter 9 Stability in the Frequency Domain

Table 9.6 (continued)

L(s) Polar Plot Bode Diagram

5. K

S(STX + 1)

ft>-0 - a co

-} V. ? + 0)

co-*0 L_

s \

\ I V ~iV r 4

+w w-*0' L

~*X s S

* \ \ \ B - \ 1

/ /

*-"'

Phase margin Gain margin

7. /C(*7a + 1)

(JT, + 1) (5T 2 + 1)

w^O A co/

1 \

+



OdB Elementary instrument servo; inher-ently stable; gain margin = oo

Instrument servo with field control motor or power servo with elemen-tary Ward-Leonard drive; stable as shown, but may become unstable with increased gain

Elementary instrument servo with phase-lead (derivative) compensator; stable

M

OdB

Phase margin = 0

-270 -180 -90 0

" (O^'-Z

A.

Double pole v 0 r\

Ly2

Inherently marginally stable; must be compensated

708 Chapter 9 Stability in the Frequency Domain

Table 9.6 (continued)

L{s) Polar Plot Bode Diagram

9. K S2{S7X + 1)

(p M

-180

-270

\ - 4 0 dB/dec

OdB^X v n

i \ /

^N

Phase margin s (negative)

log ft)

\ - 6 0 dB/dec

10. K(STa + 1) SL{S7l + 1)

^Y" s

* t I 1 - f t )

4-.

Section 9.12 Summary 709 Table 9.6 (continued)

Nichols Diagram Root Locus Comments

M A O.dB

-270 |-180 -90 . Phase ' margin

(negative) Double

pole

Inherently unstable; must be compensated

Phase margin Double pole

Stable for all gains

M

OdB

Phase margin

-270 -180 -90 Inherently unstable

Phase margin

/ft)

Triple . pole >

-OO Inherently unstable

710 Chapter 9 Stability in the Frequency Domain Table 9.6 (continued) L(s) Polar Plot Bode Diagram

13. K{sra + l)(srh+ 1)

-90 M

-180

-270

\ - 6 0 d B / d e c \ - 4 0 d B / d e * ^ ^ ^ "

1 >. y/C I / \

*S Gain margin

Phase margin ^"""-^.^ log to

-20dB/dec

14. K(STa + l){STb + 1) S(ST[ + 1)(572 + 1 ) ( 3 + 1)(574 + 1)

15. K(sra + 1) S2(ST} + 1)(572 + 1)

1 1

- w s * *

/ t\^sr W V * + o \

^-

0)

- -

""""A

= oc

\ \ * \ 1 t / / /

/ *r

Gain mare in

Skills Check 711


Gain margin x,

T j O d E -270 -180'

Phase / margin

90 Conditionally stable; becomes unstable if gain is too low

-2701 -1801 -90 i

'5 '4 r3

T4 r 3 Tb Ta T2 T\

Conditionally stable; stable at low gain, becomes unstable as gain is raised, again becomes stable as gain is further increased, and becomes unstable for very high gains

Conditionally stable; becomes unstable at high gain

m SKILLS CHECK In this section, we provide three sets of problems to test your knowledge: True or False, Multiple Choice, and Word Match. To obtain direct feedback, check your answers with the answer key provided at the conclusion of the end-of-chapter problems. Use the block diagram in Figure 9.70 as specified in the various problem statements.

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