Eserciziario Fondamenti di Automatica

8/18/2019 Eserciziario Fondamenti di Automatica

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Esercizi di Fondamenti di Automatica

Bruno Picasso

Riferimento bibliografico

In questi esercizi useremo la scrittura “ [FdA] ” per riferirci al libro di testo adottato nel corso, ossia:

P. Bolzern, R. Scattolini e N. Schiavoni, “Fondamenti di controlli automatici” – 4a edizione – McGraw-Hill.

1 Prerequisiti

1.1 Equazioni differenziali

Esercizio 1 Si consideri il seguente problema di Cauchy: ẋ(t) = 32x(t)

x(0) = 2.(1)

1. Si dica quale delle seguenti funzioni è la soluzione del problema (1):

(a) x(t) = 32t+ 32

(b) x(t) =√

3t + 4

(c) x(t) =√

3t + 1.

2. Per la soluzione x(t) al problema (1), calcolare ẋ(0).

3. Si dica se esiste una condizione iniziale x(0) = x0 ∈ R tale che il corrispondente problema di Cauchy (1) abbia per soluzione una funzione costante x(t) ≡ x0

cioè, x(t) = x0 ∀ t ≥ 0

.

1.2 Algebra lineare

Esercizio 2

1. Siano M ∈ Rh×k, N , P ∈ Ri×j e Q matrici tali che vale la seguente uguaglianza:

MN P = Q.

Si dica qual è la dimensione delle matrici N e Q.

2. Siano U ∈ Rm×n, V e Z matrici tali che vale la seguente uguaglianza:

U V = Z.

Sapendo che Z ha h colonne, si dica qual è la dimensione delle matrici V e Z .

1


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3. Si considerino i seguenti prodotti fra le matrici precedentemente introdotte:

ı) QZ ıı) ZQ

ııı) QQ⊤Z ⊤ (dove M ⊤ indica la trasposta della matrice M ).

Si dica in quali casi c’è compatibilità fra le dimensioni delle matrici (ossia, il prodotto indicato

ha senso) e, nei casi in cui è possibile eseguire il prodotto, indicare le dimensioni della matrice

risultante.

Esercizio 3 Si considerino le seguenti matrici:

A1 =

1 1

0 −2

, A2 =

1 2

1 2

, A3 =

3 0

0 3

, A4 =

1 −41 −3

, A5 =

1 5

−2 3

.

1. Calcolare la traccia, il determinante, il polinomio caratteristico e gli autovalori di ognuna delle

matrici date.

2. Si dica quali delle matrici date sono invertibili e, di quel le invertibili, si calcoli la matrice inversa.

3. Si dica quali delle matrici Ai, i = 1, . . . , 4, sono diagonalizzabili. Effettuare poi la diagonalizza-

zione di ognuna delle matrici Ai diagonalizzabili (ossia, calcolare una matrice T i invertibile ed

una matrice Di diagonale tali che T −1i AiT i = Di).

4. Calcolare due matrici T 5 ∈ C2×2 e D5 ∈ C2×2, D5 matrice diagonale, tali che T −15 A5T 5 = D5.

Esercizio 4 Sia data la matrice

M = 0 1 00 0 1−18 −3 −6

e sia s ∈ C un parametro.

1. Calcolare il polinomio caratteristico di M .

2. Calcolare (sI − M )−1.

1.3 Numeri Complessi

Esercizio 5 Si considerino i seguenti numeri Complessi:

z1 = √ 3 + j z2 = 3 j z3 = −1 − 3 j z4 = −4z5 = 2

√ 2ejπ/4 z6 = 2e−jπ/2 z7 = 3ej·0 z8 = ej2π/3.

1. Rappresentare zi, i = 1, . . . , 8, sul piano Complesso (disegnare un solo piano Complesso su cui

rappresentare tutti i numeri dati).

2. Determinare z9 = z̄1, z10 = z̄2, z11 = z̄4 e rappresentarli sul medesimo piano Complesso

impiegato per il punto precedente.

3. Calcolare: z1+z3, z1+z4−z3, z1 ·z3, z12 = 2·z1, z13 = −z1, z1 ·z̄1, z3/z1 e z3/z2. Rappresentare inoltre i numeri z12 e z13 sul piano Complesso impiegato nei punti precedenti.

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4. Scrivere l’espressione di z14 = z̄5 e rappresentare anch’esso sul piano Complesso. Calcolare poi

z5·

z6 e z5/z6.

5. Scrivere i numeri Complessi zi, i = 1, . . . , 4, in forma polare.

6. Scrivere i numeri Complessi zi, i = 5, . . . , 8, in forma cartesiana.

7. Calcolare z1 + z5 e z1·z̄3·z8

z̄5.

2 Esercizi sui sistemi dinamici a tempo continuo

Esercizio 6 Si considerino i seguenti sistemi dinamici:

S 1 :

ẋ1(t) =

−x1(t) + 2x3(t)

ẋ2(t) = x1(t) + x2(t) + x3(t) − u(t)ẋ3(t) = −2x1(t) + x3(t) + 2u(t)y(t) = −x2(t) + 4x3(t)

S 2 :

ẋ1(t) = x22(t) + u(t)

ẋ2(t) = 0ẋ3(t) = x1(t) + x2(t) − x3(t) + 2u(t)y1(t) = x1(t)

y2(t) = x2(t) + u(t)

S 3 :

ẋ(t) = −5x(t)y(t) =

x(t)

S 4 :

ẋ1(t) = 2x2(t) + u1(t)

ẋ2(t) = −x1(t) + 3x2(t)y(t) = x1(t) + u2(t)

1. Classificare ognuno dei sistemi dati specificandone l’ordine e compilando la seguente tabella (alle

domande 3. e 4. si risponda solo se il sistema non è autonomo):

1. Il sistema è lineare? ✷ S ̀I ✷ NO

2. Il sistema è autonomo? ✷ S ̀I ✷ NO

3. Il sistema è strettamente proprio? ✷ S ̀I ✷ NO

4. Il sistema è SISO? ✷ S ̀I ✷ NO

(2)

2. Fra i sistemi dati, si considerino adesso quelli lineari: si specifichino le matrici A, B, C e D.

Esercizio 7 Si consideri un veicolo elettrico rappresentato per mezzo del seguente modello che de-

scrive come la sua velocità v e lo stato di carica ξ della batteria variano nel tempo e sono influenzati

dall’angolo di apertura ϑ della manopola dell’acceleratore:

ξ̇ (t) = φ1ξ (t), v(t)v̇(t) = φ2

v(t), ϑ(t)

,

dove si suppone che le funzioni φ1 e φ2 siano note. Si vuole impiegare tale modello per lo studio di

come l’uso della manopola influenzi lo stato di carica della batteria.

1. Scrivere una rappresentazione in forma di stato per il modello del sistema considerato (dunque,

in particolare, si specifichino le variabili di stato x, le variabili d’ingresso u e di uscita y).

2. Classificare il sistema specificandone l’ordine e compilando la Tabella (2).

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Si supponga che x(0) = 1 e u(t) = sca(t).

1. Calcolare il movimento dello stato e dell’uscita.

2. Calcolare i movimenti libero e forzato dello stato e dell’uscita corrispondenti, rispettivamente,

a x(0) = 1 e a u(t) = sca(t). Quindi verificare che non è vero che la loro somma fornisce

il movimento complessivo dello stato e dell’uscita (e dunque, per tale sistema, non è valido il

principio di sovrapposizione degli effetti).

3. Analizzare le proprietà di stabilità del movimento dello stato calcolato al punto 1 (specificare,

cioè, se si tratta di un movimento asintoticamente stabile, semplicemente stabile o instabile).

Esercizio 12 Sia dato il sistema lineare

ẋ(t) = Ax(t), x ∈ Rnx(0) = x

0.

1. Verificare che se x0 è tale che Ax0 = λx0, λ ∈ R (ossia, x0 è un autovettore per la matrice Arelativo all’autovalore λ), allora il corrispondente movimento dello stato del sistema è dato da

x(t) = eλtx0.

2. Calcolare il movimento dello stato per il seguente sistema:

ẋ(t) =

2 2

−2 −3

x(t)

x(0) = −2

1 .

e rappresentare la corrispondente traiettoria nello spazio di stato.

Esercizio 13 Si consideri il sistema dinamico

ẋ(t) = ax(t) + bu(t), x ∈ R, u ∈ R. (3)

1. Calcolare il movimento forzato dello stato corrispondente al segnale d’ingresso

u(t) =

ū per 0 ≤ t < t̄0 per t ≥ t̄. (4)

2. L’andamento nel tempo del numero σ di impiegati in una grossa azienda in funzione del tassoǫ di assunzioni è modellizzato dalla seguente equazione differenziale:

σ̇(t) = −ρσ(t) + λǫ(t), ρ > 0, λ > 0.

Supponendo che σ(0) = σ0 e

ǫ(t) =

ǭ per 0 ≤ t < 100 per t ≥ 10,

calcolare σ(t) per t ≥ 0.3. Con riferimento al serbatoio rappresentato in Figura 1, l’andamento nel tempo del livello h di

liquido all’interno di esso in funzione della portata d’ingresso p è modellizzato attraverso la

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Figura 1: Il sistema serbatoio considerato nell’Esercizio 13.3.

seguente equazione differenziale:

ḣ(t) = −αh(t) + βp(t), α > 0, β > 0.

Supponendo che h(0) = h0 e

p(t) =

¯ p per 0 ≤ t < 20 per t ≥ 2,

calcolare h(t) per t ≥ 0.4. Per valori non troppo elevati della velocità v, la dinamica del moto di un grave di massa m

in un mezzo viscoso sotto l’effetto di una forza F parallela alla direzione del moto può essere

descritta dalla seguente equazione differenziale:

v̇(t) = − γ m

v(t) + 1

mF (t),

dove γ > 0 è il coefficiente di attrito. Supponendo che v(0) = v0 e

F (t) =

F̄ per 0 ≤ t < 30 per t ≥ 3,

calcolare v(t) per t ≥ 0.5. Si consideri nuovamente il movimento forzato dello stato calcolato in 1 e si considerino i par-

ticolari segnali d’ingresso (4) in cui ū = 1/t̄. Si noti che, al variare di t̄ > 0, è cosı̀ definito un

insieme infinito di segnali d’ingresso.

• Si disegni il grafico di u(t) nei tre casi in cui t̄ = 2, t̄ = 1 e t̄ = 1/2.

• Si scriva l’espressione del movimento forzato dello stato corrispondente al generico segnale d’ingresso nell’insieme considerato. Si indichi tale movimento con xF, t̄(t) (dove la presenza dell’indice t̄ richiama il valore del parametro t̄ che individua il segnale d’ingresso che ha

generato tale movimento forzato) e, nel caso in cui a < 0, si tracci un grafico qualitativo

della funzione xF, t̄(t).

• Per ogni fissato t > 0, si calcoli il seguente limite 1:

limt̄→0+

xF, t̄(t)

1Questa domanda sottintende difficoltà significativamente superiori a quelle che ci si aspetta che gli studenti delcorso siano in grado di affrontare. Vale comunque la pena di provare a rispondere in quanto è più difficile comprenderela domanda ed il suo significato “fisico” che non risolverla.

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1. Classificare il sistema specificandone l’ordine e compilando la tabella (2).

2. Posto m = 100 Kg e supponendo che v(0) > 0, calcolare limt→+∞ v(t). Determinare poi i valori di γ che garantiscono che tale limite sia maggiore di 330 m/s (cioè, circa la velocità del suono).

Esercizio 19 Si consideri il seguente sistema dinamico: ẋ(t) = x3(t) − x(t)u(t)y(t) = sin

x(t)

+ u2(t).

1. Determinare gli stati e le uscite di equilibrio corrispondenti all’ingresso costante u(t) ≡ 1.Scivere l’espressione del sistema linearizzato attorno a tali equilibri.

2. Valutare le proprietà di stabilità degli equilibri determinati.

Esercizio 20 Sia dato un sistema descritto dalla seguente equazione differenziale:

θ̈(t) + θ̇(t)sin

θ(t) − θ2(t) + θ(t)u(t) = 0.

1. Supponendo che θ sia la variabile di uscita, si dia una rappresentazione in forma di stato del

sistema dato.

2. Calcolare i valori di equilibrio dell’uscita in corrispondenza dell’ingresso costante u(t) ≡ −4 e si analizzi la stabilità dei corrispondenti stati di equilibrio.

Esercizio 21 Si consideri il seguente sistema dinamico:

ẋ1(t) =

−x1(t) x2(t) + 8u1(t)ẋ2(t) = −x2(t)u21(t) + 2x1(t) + u2(t)

y(t) = x1(t) + x2(t).

(5)

1. Classificare il sistema specificandone l’ordine e compilando la tabella (2).

2. Determinare gli stati e le uscite di equilibrio corrispondenti a u(t) ≡ ū =

2

0

.

3. Scrivere l’espressione del sistema linearizzato attorno alla coppia di equilibrio (x̄, ū) determinata

e valutarne le proprietà di stabilità. Si dica poi se la seguente affermazione è vera o falsa: “ in

presenza del segnale d’ingresso u(t) ≡ ū, qualunque sia la condizione iniziale x(0) ∈ R2, ilcorrispondente movimento dello stato x(t) per il sistema (5) è tale che limt

→+

∞x(t) = x̄”.

Esercizio 22 Un braccio robotico elementare di lunghezza l e massa m può essere modellizzato come

un pendolo (vedi Esercizio 8, useremo qui la stessa notazione). Supponiamo che la posizione di tale

braccio robotico possa essere controllata mediante l’applicazione di una coppia u. Il sistema dinamico

che descrive la dinamica di tale braccio robotico è dunque dato da:ẋ1(t) = x2(t)

ẋ2(t) = − kml2 x2(t) − gl sin

x1(t)

+ 1ml2 u(t)

y(t) = x1(t),

dove k > 0 è il coefficiente di attrito.

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1. Determinare un valore di coppia ū che permetta di mantenere il braccio robotico in equilibrio

alla posizione x̄1 = π

4

.

2. Verificare che, in presenza della coppia costante determinata al punto precedente, il braccio robo-

tico tende a riportarsi nella sua posizione di equilibrio anche nel caso in cui piccole perturbazioni

transitorie dovessero eventualmente spostare il braccio dalla sua posizione di equilibrio.

Esercizio 23 Si consideri nuovamente il serbatoio rappresentato in Figura 1 e si supponga che esso

sia cilindrico con sezione di area σ. Se il moto del liquido che fuoriesce dal serbatoio è turbolento,

l’equazione differenziale che descrive la dinamica del livello h di liquido presente nel serbatoio in

funzione della portata d’ingresso p è data da:

ḣ(t) = −α

h(t) + βp(t), α > 0, β = 1

σ > 0.

Siamo interessati a studiare l’andamento nel tempo del volume di liquido presente nel serbatoio.

1. Scrivere un modello in forma di stato per tale sistema.

Si supponga da ora in avanti che α = 5/12, β = 1/2 (ossia, σ = 2).

2. Determinare il valore ū della portata p tale che la corrispondente uscita di equilibrio sia ȳ = 8.

3. Scrivere le equazioni del sistema linearizzato attorno a tale equilibrio e si valutino le proprietà

di stabilità dell’equilibrio.

4. Si supponga che h(0) = 4 e che p(t) =

ū + 110

sca(t): impiegare il modello linearizzato trovato

nel punto precedente per determinare limt→+∞ h(t). Calcolare poi limt→+∞ h(t) impiegando il modello non lineare. Perché i due risultati sono differenti? Quale dei due risultati è da ritenersi

più attendibile?

Esercizio 24 Si consideri il sistema lineare che appare nella soluzione dell’Esercizio 17.

1. Calcolare il movimento dello stato a partire dalla condizione iniziale

x(0) =

1

−2

ed in corrispondenza del segnale d’ingresso u(t) = e−2tsca(t).

2. Calcolare la funzione (matrice) di trasferimento del sistema.

3. Calcolare il movimento dell’uscita a partire dalla stessa condizione iniziale del punto 1 ed in

corrispondenza del segnale d’ingresso u(t) = sca(t).

Esercizio 25 Si risolva nuovamente l’Esercizio 13.1 impiegando i metodi basati sulla trasformata di

Laplace ed osservando che il segnale d’ingresso specificato nell’equazione (4) può essere riscritto nella seguente forma

u(t) = ū sca(t) − ū sca(t − t̄).

Esercizio 26 Si consideri il seguente sistema dinamico: ẋ1(t) = x1(t)

x2(t) + 1

+ x2(t)

ẋ2(t) = −x1(t) + x22(t) − x2(t).

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1. Determinare gli stati di equilibrio del sistema e l’espressione del sistema linearizzato attorno a

tali equilibri.

2. Sia ẋ(t) = Ax(t) il sistema linearizzato determinato in 1: calcolare la matrice eAt e valutare le

proprietà di stabilità del sistema. Dire se da tale analisi è possibile trarre conclusioni circa le

proprietà di stabilità del corrispondente equilibrio del sistema nonlineare.

3. Impiegando il modello linearizzato, calcolare il movimento dello stato e rappresentarne la cor-

rispondente traiettoria nello spazio di stato nei due casi corrispondenti alle seguenti condizioni

iniziali:

ı) x′(0) =

2

−2

;

ıı) x′′(0) = 1

0 .Esercizio 27

1. Scrivere un esempio numerico di sistema lineare di ordine più piccolo possibile in modo tale che

tutti i seguenti requisiti siano soddisfatti: il sistema sia SISO, in corrispondenza dell’ingresso

costante u(t) ≡ 0 esso ammetta infiniti stati di equilibrio, tutti i movimenti dello stato del sistema siano instabili e la sua funzione di trasferimento sia strettamente propria.

2. Si calcoli la funzione di trasferimento del sistema prescelto e se ne specifichi l’ordine, i poli, gli

zeri e il grado relativo. Si dica inoltre se il sistema prescelto ha “parti nascoste”.

3. Per il sistema prescelto, si fissi poi una condizione iniziale x(0) e si scriva il codice Matlab che

permette di tracciare il grafico del movimento libero della prima componente dello stato a partire da tale condizione iniziale.

Esercizio 28 Calcolare il movimento dello stato per il seguente sistema dinamico:ẋ(t) =

3 −12 1

x(t)

x(0) =

1

−1

.

Esercizio 29 Si consideri il seguente sistema lineare:

ẋ(t) = Ax(t) + B1u(t) + B2w(t), x ∈Rn

, u ∈Rm

, w ∈Rq

,

dove A è una matrice i cui autovalori λ sono tali che ℜe(λ) < 0. Sia x̃,

x̃ : R+ → Rnt → x̃(t),

il movimento dello stato determinato da una data condizione iniziale x(0) = x̃0, da un dato segnale

d’ingresso ũ,ũ : R+ → Rm

t → ũ(t),

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e dal disturbo w(t) ≡ 0.Sia x∗ il movimento perturbato determinato dalla stessa condizione iniziale x(0) = x̃0, dallo stessosegnale d’ingresso ũ e da un segnale di disturbo w tale che, ∀ t ≥ T , w(t) = 0.Mostrare che

limt→+∞

x∗(t) − x̃(t) = 0.

Esercizio 30 Si supponga che le seguenti funzioni di trasferimento Gi(s) abbiano lo stesso ordine del

sistema lineare Σi che esse rappresentano:

G1(s) = 2

s − 3 ; G2(s) = 1

s; G3(s) =

s − 1s + 1

;

G4(s) = s + 2

s2 − 2s − 3 ; G5(s) = −1

(s − 1)(s + 2)2 ; G6(s) = s − 2

s3 + 7s2 + 734 s + 25;

G7(s) = s + 1

s2 ; G8(s) =

s

(s2 + 4)(s2 + s + 1) .

1. Per ognuno dei sistemi Σi, si dica se esso sia asintoticamente stabile, semplicemente stabile

oppure instabile.

2. Scrivere l’espressione dei modi naturali associati ai sistemi Σi (per il sistema Σ6, si usi l’infor-

mazione aggiuntiva che esso ammette il modo naturale φ1(t) = e−4t, t ≥ 0).3. Per i sistemi che risultano essere asintoticamente stabili, si calcoli il tempo T a di assestamento

a 0 del movimento libero dello stato.

4. Nei casi G1(s), G2(s), G3(s), scrivere un sistema lineare Σi in forma di stato la cui funzione

di trasferimento sia Gi(s).

Esercizio 31 Sia

g(t) =

e−2t + te−t

sca(t) + δ (t)

la risposta all’impulso di un sistema lineare e sia Σ(A ,B,C,D) una sua rappresentazione in forma di

stato.

1. Si dica se si tratta di un sistema SISO oppure MIMO e se il sistema è proprio o strettamente

proprio. Determinare la matrice D.

Si supponga d’ora in avanti che il sistema Σ(A ,B,C,D) sia di ordine minimo compatibilmente con

l’avere la risposta all’impulso specificata.

2. Elencare tutti i modi naturali del sistema, analizzare la stabilità di Σ(A ,B,C,D), dire qual è la dimensione della matrice A e scriverne il polinomio caratteristico.

3. Calcolare la funzione di trasferimento del sistema.

4. Calcolare l’uscita forzata yF (t) in corrispondenza di ognuno dei seguenti quattro segnali di

ingresso:

ı) u1(t) = sca(t);

ıı) u2(t) = e−3tsca(t);

ııı) u3(t) = sca(t) − e−3tsca(t);ıv) u4(t) = −sca(t − 1) + 2e−3(t−2)sca(t − 2).

11


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0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

t

y F

( t )

(a)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

1

2

3

t

y F

( t )

(b)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.1

0.2

0.3

0.4

t

y F

( t )

(c)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.1

0.2

0.3

0.4

t

y F

( t )

(d)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4−2

−1

0

1

2

3

t

y F

( t )

(e)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

1

2

3

4

t

y F ( t )

(f)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

1

2

3

4

t

y F

( t )

(g)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.1

0.2

0.3

t

y F

( t )

(h)

Figura 2: Con riferimento all’Esercizio 32.3, grafici ipotetici della risposta allo scalino.

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Esercizio 32 (Variazione dell’Esercizio 2 del compito del 7-9-2012) Sia dato il seguente si-

stema dinamico: ẋ1(t) = 2x1(t) − 4x2(t) + u(t)ẋ2(t) = 7x1(t) − 9x2(t) + 2u(t)y(t) = 2x1(t).

1. Calcolare la funzione di trasferimento del sistema e dire se il sistema è asintoticamente stabile,

semplicemente stabile oppure instabile.

2. Calcolare limt→+∞ y(t) in corrispondenza dei seguenti segnali d’ingresso:

• u1(t) = 5 sca(t);• u2(t) = δ (t);

• u3(t) = 5 sca(t − 1);• u4(t) = 2u1(t) + u2(t) − u3(t).

3. Sia yF (t) la risposta allo scalino del sistema

ossia, l’uscita forzata corrispondente all’ingresso

u(t) = sca(t)

. Calcolare limt→0+ yF (t), limt→0+ ẏF (t) e dire quale tra quelli riportati in Figura 2 è il grafico corretto di yF (t).

4. Sia g(t) la risposta all’impulso del sistema: determinare limt→0+ g(t) e limt→+∞ g(t). Inoltre,sfruttando opportunamente la conoscenza del grafico della risposta allo scalino determinata al

punto precedente, si tracci un grafico qualitativo dell’andamento di g(t).

Esercizio 33 Sia dato il sistema lineare

ẋ1(t) = 2x1(t) + u(t)

ẋ2(t) = −x1(t) − x2(t) − 2u(t)y(t) = x1(t) − 2x2(t).

(6)

(7)

1. Calcolare la funzione di trasferimento T yu(s) del sistema e specificarne i valori dei poli e degli

zeri; calcolare il guadagno statico del sistema.

2. Considerare il sistema come l’interconnessione di due sottosistemi, il primo di equazione (6)

(con variabile di uscita y1 = x1), il secondo di equazione (7) (con variabile di uscita y2 = x2).

Rappresentare i due sottosistemi mediante uno schema a blocchi, quindi rappresentare il sistema

complessivo mediante lo schema a blocchi ottenuto interconnettendo i due schemi relativi ai

sottosistemi. Infine, impiegare tale schema per il calcolo della funzione di trasferimento T yu(s).

3. Calcolare l’uscita forzata del sistema nei seguenti casi e tracciarne un grafico qualitativo che ne

evidenzi l’andamento per t → +∞ e per t → 0+:• u1(t) = δ (t);• u2(t) = etsca(t);• u3(t) = u1(t) − u2(t).

4. Analizzare le proprietà di stabilità dei tre movimenti forzati dello stato corrispondenti ai tre

ingressi considerati sopra.

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Esercizio 34 2 In Figura 3 è rappresentata la risposta al lo scalino di un sistema la cui funzione di

trasferimento è G(s).

1. Si dica quale fra le seguenti è la corretta funzione di trasferimento:

G1(s) = 12(s + 1)

(s + 2)(s + 3); G2(s) =

2(1 − s)(s + 2)(s + 3)

;

G3(s) = 12(1 − s)

(s + 2)(s + 3); G4(s) =

1200(1 − s)(s + 20)(s + 30)

.

Si consideri, d’ora in avanti, il sistema G(s) individuato al punto precedente.

2. Si calcolino le risposte di regime in corrispondenza dei seguenti ingressi:

ı) ua(t) = 5e4t;

ıı) ub(t) = 2 sin(5t).

3. Tracciare su un foglio di carta semi-logaritmica i diagrammi di Bode del modulo e della fase di

G(s) (sia quelli asintotici che, qualitativamente, quelli reali).

Esercizio 35 Si consideri il sistema dinamico descritto mediante lo schema a blocchi riportato in

Figura 4, dove u rappresenta la variabile di controllo e w rappresenta un disturbo.

1. Si supponga che la variabile di controllo u sia l’uscita di un sistema dinamico lineare con funzione

di trasferimento R(s) interconnesso in serie al sistema dato cos̀ı come descritto in Figura 5.

Determinare un sistema della forma R(s) = k ∈ R (ossia, un sistema statico) in modo tale che, quando yo(t) = sca(t) e w(t) ≡ 0, si abbia limt→+∞ y(t) = 1. Tracciare quindi un graficoqualitativo dell’andamento dell’uscita yF (t) nei seguenti casi:

• yo(t) = sca(t) e w(t) ≡ 0;• yo(t) ≡ 0 e w(t) = sca(t);• yo(t) = sca(t) e w(t) = sca(t).

2. Si supponga adesso che la variabile di controllo u sia l’uscita di un sistema dinamico lineare con

funzione di trasferimento R(s) interconnesso al sistema dato mediante lo schema in retroazione

riportato in Figura 6. Supponendo che R(s) = µs+λ , determinare l’insieme dei valori di µ ∈ Re λ ∈ R tali che entrambe le seguenti proprietà siano soddisfatte: il sistema complessivo risulti asintoticamente stabile e, per yo(t) = sca(t) e w(t) ≡ 0, si abbia limt→+∞ y(t) = 1.

2Variazione di un esercizio tratto da un compito del Prof. N. Schiavoni.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

−1

0

1

2

t

y ( t )

Figura 3: Risposta allo scalino del sistema dell’Esercizio 34.

14


15/153

Figura 4: Rappresentazione mediante schema a blocchi del sistema considerato nell’Esercizio 35.

Figura 5: Schema a blocchi del sistema di controllo considerato nell’Esercizio 35.1.

3. Tra i sistemi R(s) determinati al punto precedente, si consideri quello in cui µ = 5: sapendo

che in tal caso il polinomio caratteristico del sistema retroazionato si fattorizza nella forma

pcl(s) ≃ (s + 10.05)(s2 + 0.95s + 0.50), (8)

tracciare l’andamento qualitativo dell’uscita yF (t) nei seguenti casi:

• yo(t) = sca(t) e w(t) ≡ 0;• yo(t) ≡ 0 e w(t) = sca(t).

Infine, calcolare limt→+∞ yF (t) quando yo(t) = sca(t) e w(t) = sca(t).

Esercizio 36 Si considerino le seguenti funzioni di trasferimento:

G1(s) = 100(s + 5)

(s + 1/2)(s + 10); G2(s) =

90s(s − 2)5s2 + 12s + 180

; G3(s) = − 2s − 1(s − 15)2(s + 1)2

;

G4(s) = − 1(s + 1)(s − 1) ; G5(s) = 20

s + 2

s2 + s + 4; G6(s) = − 100(s

2 + 1)

(s + 0.1)(s2 + 2s + 100).

1. Per ognuna di esse, scrivere l’espressione della risposta in frequenza.

2. Tracciare su fogli di carta semi-logaritmica i diagrammi di Bode del modulo e della fase di tali

funzioni (sia quelli asintotici che, qualitativamente, quelli reali).

3. Si consideri il sistema G6(s) e si supponga che esso non abbia “parti nascoste”: si dica se per

tale sistema è possibile applicare il Teorema della risposta armonica e, in caso affermativo, si

calcoli l’uscita di regime yR(t) in corrispondenza dei due seguenti segnali d’ingresso:

-

Figura 6: Schema a blocchi del sistema di controllo considerato nell’Esercizio 35.2-3.

15


16/153

0 20 40 60 80 100−0.5

0

0.5

1

1.5

t

f ( t )

(a)

10−1

100

101

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Frequenza [rad/s]

S p e t t r o d i a m

p i e z z a

(b)

Figura 7: Segnale f (t) (e suo spettro di ampiezza) relativo all’Esercizio 37.

0 2 4 6 8 10−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

t

p

( t )

(a)

0 10 20 30 40 50 60 70 80

0.1

0.01

0.001

Frequenza [rad/s]

S p e t t r o d i a m p i e z z a

(b)

Figura 8: Segnale p(t) (e suo spettro di ampiezza) relativo all’Esercizio 38.

• u1(t) = sin(t);• u2(t) = sin(10t).

Si commentino i risultati ottenuti.

Esercizio 37 Si è interessati a studiare l’andamento nel tempo di una certa grandezza f . A tal

fine sono state raccolte delle misure di f a vari istanti di tempo t: in Figura 7 è rappresentato il

corrispondente grafico di f (t). Le misure di f sono state effettuate per mezzo di uno strumento

che introduce sulla misura un disturbo additivo la cui banda si trova a frequenze superiori a 10 rad/s.

Inoltre, la grandezza misurata presenta delle oscillazioni nella banda [0, 0.01] rad/s dovute a variazioni

stagionali e di cui non si vuole tenere conto. Ai fini dello studio di f , risulta quindi d’interesse solo

la componente del segnale f (t) il cui spettro insiste nella banda [0.1, 1] rad/s.

Si costruisca un sistema lineare in modo tale che, ponendo in ingresso a tale sistema il segnale f (t), la

corrispondente uscita di regime replichi le caratteristiche di f (t) all’interno della banda di interesse.

Esercizio 38 In Figura 8 è rappresentato il grafico del segnale p(t) che colleziona i valori delle misure,effettuate a vari istanti di tempo t, della posizione p della testina di riproduzione in un lettore CD.

All’interno di tale lettore CD è presente una ventola di raffreddamento che ruota a 3 3.98 Hz e che

genera una perturbazione della misura di p esattamente alla propria frequenza di rotazione.

Si costruisca un sistema lineare in modo tale che, ponendo in ingresso a tale sistema il segnale

p(t), nella corrispondente uscita di regime risulti cancellata la perturbazione causata dalla ventola

di raffreddamento e tale uscita possa essere considerata una stima dell’andamento effettivo di p.

3Conversione Hz ↔ rad/s: poiché x Hz significa x giri completati in 1 s ed 1 giro corrisponde a 2π rad, allora[x]Hz

[x]rad/s=

1

2π.

16


17/153

Esercizio 39 In Figura 9.(a), è rappresentato il grafico di un segnale w(t).

1. Osservando il grafico di w(t) si nota che, specialmente per t ≥ 5 s, il segnale ha un andamentorapidamente variabile dovuto alla presenza di armoniche ad alta frequenza. Si stimi intorno a

quale pulsazione ω si trovano le armoniche costituenti il segnale e che originano l’andamento

osservato. A tal fine si proceda nel modo seguente: si stimi il periodo delle rapide oscillazioni

presenti nel segnale w(t) e si impieghi la formula T = 2π/ω

il periodo può essere stimato a

partire dal conto del numero di oscillazioni presenti in un dato intervallo di tempo

.

2. In Figura 9.(b–d), sono riportati gli spettri di tre segnali. Si dica quale di questi spettri è quel lo

del segnale w(t).

3. Si considerino i seguenti filtri:

G1(s) =

5

s + 5 , G2(s) =

10

s + 5 , G3(s) =

50s

(s + 5)(s + 50) e G4(s) =

3s(s + 10)

(s + 50)2 .

Per ognuno di essi si tracci il diagramma di Bode del modulo, si dica di che tipo di filtro si tratta

e se ne calcoli la banda passante.

4. Si consideri il sistema rappresentato in Figura 10 nei 4 casi in cui G(s) = Gi(s), i = 1, . . . , 4:

per ognuno di essi, l’andamento dell’uscita forzata corrispondente al segnale d’ingresso w(t) è

rappresentato in Figura 11 con una linea rossa. Si determini la giusta associazione fra i sistemi

Gi(s) e i 4 grafici in Figura 11.

Esercizio 40 Si considerino le seguenti funzioni di trasferimento:

L1(s) = 100(s + 5)(s + 1/2)(s + 10)

; L2(s) = 100(s + 1/2)(s + 5)(s + 10)

; L3(s) = s + 1002(s + 5)(s + 10)

;

L4(s) = 12(1 − s)(s + 2)(s + 3)

; L5(s) = −10 1 − 0.5s(1 − 10s)(1 + 0.01s)2 ; L6(s) = −

2s − 1(s − 15)2(s + 1)2

;

L7(s) = − 1(s + 1)(s − 1) ; L8(s) =

3s(s + 10)

(s + 50)2 ; L9(s) =

1

s(s + 1)2;

L10(s) = 10

s(s + 1)2; L11(s) =

0.1(1 − 2s)s(1 + 10s)(1 + 0.1s)

; L12(s) = −3(s + 1)s

.

1. Tracciare su fogli di carta semi-logaritmica i diagrammi di Bode del modulo e della fase di tali

funzioni (sia quelli asintotici che, qualitativamente, quelli reali).

2. Si considerino adesso le 5 funzioni Li(s) corrispondenti a i = 4, 5, 9, 10, 11. Si indichi con

ωπ il valore della pulsazione ω in corrispondenza della quale ∠

Li( jω)

= −180◦. Nei 5 casi considerati, determinare approssimativamente il valore di ωπ e si calcoli |Li( jωπ)|.Al fine di stimare ωπ, si può procedere nel modo seguente:

I. A partire dai diagrammi della fase tracciati al punto precedente, si compia una prima stima

“ad occhio” di ωπ (indichiamo tale stima con ω1);

II. Si calcoli il valore effettivo di ∠

Li( jω1)

e, se significativamente diverso da −180◦, si compia una nuova stima ω2 basandosi sull’andamento del diagramma di Bode della fase;

17


18/153

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

−10

0

10

20

30

t

w ( t )

(a)

0 20 40 60 80 100 1200

1

2

3

4

Frequenza [rad/s]

M o d u l o ( s p e t t r o d i a m

p i e z z a )

(b)

0 20 40 60 80 100 1200

1

2

3

4

Frequenza [rad/s]

M o d u l o ( s p e t t r o d i a m p i e z z a )

(c)

0 20 40 60 80 100 1200

0.5

1

1.5

2

2.5

Frequenza [rad/s]

M o d u l o ( s p e t t r o d i a m p i e z z a )

(d)

Figura 9: Con riferimento all’Esercizio 39.1-2, grafico del segnale w(t) (a) e grafici ipotetici delcorrispondente spettro di ampiezza (b–d).

Figura 10: Sistema considerato nell’Esercizio 39.4.

18


19/153

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

−10

0

10

20

30

t

y F

( t )

(a)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100−20

−10

0

10

20

30

40

t

y F

( t )

(b)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

−10

0

10

20

30

t

y F

( t )

(c)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

−10

0

10

20

30

t

y F (

t )

(d)

Figura 11: Con riferimento all’Esercizio 39.4, grafico dei segnali yF (t) (linea rossa) in corrispondenzadel segnale d’ingresso w(t) (linea blu tratteggiata) e dei filtri Gi(s), i = 1, . . . , 4.

19


20/153

-

Figura 12: Sistema retroazionato negativamente con funzione di anello L(s).

III. Si ripeta il passo II. finché si perviene ad una stima accettabile di ωπ.

Nota bene: La stima di ωπ è da ritenersi accettabile solo se consente di stabilire in modo

inequivocabile se |Li( jωπ)| è maggiore o minore di 1.Per calcolare ∠

Li( jωk)

si consiglia, se possibile4, di impiegare il regolo delle fasi in quanto

accorcia notevolmente i tempi di calcolo.

3. Tracciare (qualitativamente) il diagramma di Nyquist delle funzioni di trasferimento Li(s), i =1, . . . , 12 (nei 5 casi in cui i = 4, 5, 9, 10, 11, servirsi dei risultati trovati al punto precedente

per individuare approssimativamente il punto d’intersezione del diagramma di Nyquist con il

semi-asse ℜeale negativo).4. In ognuno dei casi in cui L(s) = Li(s), i = 1, . . . , 12, analizzare l’asintotica stabilità del sistema

retroazionato rappresentato in Figura 12.

Esercizio 41 Si considerino le funzioni di trasferimento G2(s), G5(s) e G6(s) definite nell’Eserci-

zio 36 e si considerino i rispettivi diagrammi di Bode riportati nelle Figure 13, 14 e 15.

1. A partire da tali diagrammi di Bode, si traccino (qualitativamente) i diagrammi di Nyquist di

G2(s), G5(s) e G6(s). In particolare 5:

• Nel caso di G2(s) si individuino i punti di intersezione fra il diagramma di Nyquist e:la circonferenza unitaria centrata nell’origine; il semi-asse ℜeale negativo; il semi-asse ℑmmaginario positivo.

• Nel caso di G5(s) si individuino i punti di intersezione fra il diagramma di Nyquist e: il semi-asse ℜeale positivo; la bisettrice del II − IV quadrante; il semi-asse ℑmmaginarionegativo; la circonferenza unitaria centrata nell’origine.

• Nel caso di G6(s) si individuino i punti di intersezione fra il diagramma di Nyquist e: il semi-asse ℜeale negativo; la circonferenza unitaria centrata nell’origine.

2. Si analizzi l’asintotica stabilità del sistema retroazionato in Figura 12 nei casi in cui L(s) =

G2(s), L(s) = G5(s) e L(s) = G6(s).

4Si ricorda che il regolo delle fasi permette di determinare i contributi alla fase solo di poli e zeri ℜeali.5In tutti i casi, si determinino le intersezioni richieste ricavando opportunamente le informazioni dai diagrammi di

Bode e facendo meno conti possibile.

20


21/153

10−1

100

101

102

−20−15−10−5

05

101520

253035

d B

Diagramma di Bode − Modulo

Pulsazione [rad/s]

(a)

10−1

100

101

102

−360−330−300−270−240−210−180−150−120−90−60

−300

d e g

Pulsazione [rad/s]

Diagramma di Bode − Fase

(b)

Figura 13: Diagrammi di Bode di G2(s) = 90s(s−

2)/(5s2 + 12s + 180).

21


22/153

10−1

100

101

102

−15−10−5

05

101520

253035

d B

Pulsazione [rad/s]


(a)

10−1

100

101

102

−180

−135

−90

−45

045

90

d e g

Pulsazione [rad/s]


(b)

Figura 14: Diagrammi di Bode di G5(s) = 20(s + 2)/(s2 + s + 4).

22


23/153

10−2

10−1

100

101

102

−20−15−10−5

05

101520

253035

d B

Pulsazione [rad/s]


(a)

10−2

10−1

100

101

102

−270

−180

−90

0

90180

270

d e g

Pulsazione [rad/s]


(b)

Figura 15: Diagrammi di Bode di G6(s) =−

100(s2 + 1)/(s + 0.1)(s2 + 2s + 100).

23


24/153

-

Figura 16: Sistema considerato nell’Esercizio 42.

Esercizio 42 Si consideri il sistema retroazionato in Figura 16 e le funzioni di trasferimento Li(s),

i = 1, . . . , 12, definite nell’Esercizio 40.

1. Nei due casi in cui L(s) = L9(s) e L(s) = L11(s), si calcoli il margine di guadagno km del

sistema.

2. Per i = 1, . . . , 12, si dica in quali casi è possibile analizzare l’asintotica stabilità del sistema

retroazionato mediante il Criterio di Bode e, quando possibile, compiere tale analisi.

3. In ognuno dei casi in cui il Criterio di Bode permette di stabilire l’asintotica stabilità del sistema

retroazionato, si calcoli la pulsazione critica e il margine di fase.

4. In ognuno dei casi in cui il Criterio di Bode permette di stabilire l’asintotica stabilità del sistema

retroazionato, si calcoli yR(t) quando yo(t) = sca(t) e, solo nel caso L(s) = L11(s), si tracci anche

l’andamento qualitativo di yF (t).

5. Nel caso L(s) = L11(s), determinare yR(t) nei due casi seguenti:

ı) yo(t) = e0.5t;

ıı) yo(t) = et.

Esercizio 43 Si consideri nuovamente il sistema retroazionato in Figura 6 dove, come nell’Eserci-

zio 35.3,

R(s) = 5

s.

Si supponga però di non conoscere la fattorizzazione data in equazione (8) del polinomio caratteristico

del sistema retroazionato.

Verificare l’asintotica stabilità del sistema retroazionato mediante il Criterio di Bode e, servendo-

si della regola “ empirica” per l’approssimazione dei poli dominanti del sistema retroazionato, trac-

ciare l’andamento qualitativo di yF (t) quando yo(t) = sca(t) e w(t) ≡ 0. Confrontare il risultato(approssimato) ottenuto con quello (“esatto”) trovato nella risoluzione dell’Esercizio 35.3.

24


25/153

G(s)w

-H (s)

Figura 17: Sistema retroazionato dell’Esercizio 44.

ddun

yG(s)

-

uR(s)

-yo e

Figura 18: Architettura standard di controllo in retroazione.

Esercizio 44 6 Si consideri il sistema in Figura 17, dove

G(s) = 10s

(1 + s)2 e H (s) =

1

(1 + s)2.

1. Verificare l’asintotica stabilità del sistema retroazionato e calcolarne il margine di guadagno.

2. Mediante le usuali approssimazioni, tracciare il diagramma di Bode del modulo di T yw(s).

Esercizio 45 7 Con riferimento al sistema di controllo in Figura 18, sia

G(s) = 2

(1 + 0.1s)3 e R(s) = µ

1 + 0.1s

1 + 10s .

Si supponga, per il momento, che µ = 5.

1. Verificare l’asintotica stabilità del sistema retroazionato e calcolarne il margine di fase e di

guadagno.

2. Determinare eR(t) quando yo(t) = 310 sca(t) e du(t) =

15 sca(t).

3. Calcolare T un(s). Mediante le usuali approssimazioni, scriverne poi la risposta in frequenza

T̂ un( jω), se ne tracci il diagramma di Bode asintotico del modulo e si scriva la corrispondente espressione T̂ un(s). Infine, impiegando tale T̂ un(s), determinare ω0 tale che, per n(t) = sin(ω0t),

si abbia che l’ampiezza di uR(t) è pari a 0.1.

Si supponga adesso che µ ∈ R.4. Determinare l’insieme dei valori µ


26/153

o

H (s)k

-

Figura 19: Sistema retroazionato considerato nell’Esercizio 46.

Esercizio 46 Si consideri il sistema retroazionato in Figura 19, dove

H (s) = −6 s(s − 5)(s + 10)2

.

1. Si tracci il diagramma polare di H (s) e se ne determinino le intersezioni con l’asse

ℜeale e con

la circonferenza unitaria. Nel caso k = 1, si può applicare il Criterio di Bode per analizzare l’asintotica stabilità del sistema retroazionato?

2. Determinare i valori di k ∈R tali che il sistema retroazionato è asintoticamente stabile.3. Al variare dei k trovati sopra, determinare eR(t) quando yo(t) = sca(t).

4. Posto k = − 12 , tracciare un diagramma di Bode approssimato della funzione di sensitività complementare T yyo(s).

5. Sempre per k = − 12 , valutare l’ampiezza di yR(t) quando yo(t) = sin(100t).

Esercizio 47 Con riferimento al sistema retroazionato in Figura 18, si consideri la funzione di anello

L(s) = R(s)G(s) i cui diagrammi di Bode reali e asintotici sono riportati in Figura 20.1. Sapendo che L(s) ha solo singolarità Reali, scrivere l’espressione di L(s).

2. Analizzare l’asintotica stabilità del sistema retroazionato.

3. Determinare eR(t) in presenza di yo(t) = sca(t) e d(t) = ram(t). Stimare il tempo di assesta-

mento dell’errore.

4. Stimare l’ampiezza dell’errore di regime in presenza di yo(t) = ram(t), n(t) = sin(10t) e d(t) =

sca(t).

Esercizio 48 (Principio del modello interno) Con riferimento al sistema retroazionato in Figu-

ra 18 e supponendo che tale sistema sia asintoticamente stabile, mostrare che se yo(t) = sin(ω0t),

condizione necessaria e sufficiente affinché eR(t) = 0 è che la funzione di anello L(s) = R(s)G(s)abbia una coppia di poli in ± jω0

ossia, che contenga il fattore 1

s2+ω20

.

26


27/153

10−3

10−2

10−1

100

101

102

−80−60−40−20

02040

6080

100

d B

Pulsazione [rad/s]


(a)

10−3

10−2

10−1

100

101

102

−190−180−170−160−150−140−130−120−110−100

−90−80

d e g

Pulsazione [rad/s]


(b)

Figura 20: Diagrammi di Bode reali (linea blu tratteggiata) e asintotici (linea verde continua) della

funzione d’anello L(s) dell’Esercizio 47.

27


28/153

•2 •1 0 1 2 3 4 5 6 7•2

•1

0

1

2

3

4

5

67

8

x(k)

x ( k

+

1 ) =

f x ( k ) , − 1

Figura 21: Con riferimento all’Esercizio 49.5-6, grafico di f (x, −1) (linea continua) e della bisettricedel I − III quadrante (linea tratteggiata).

3 Esercizi sui sistemi dinamici a tempo discreto

Esercizio 49 (Variazione dell’Esercizio 4 del compito del 7-9-2012) Sia dato il seguente si-

stema dinamico a tempo discreto:

x(k + 1) = 2u(k) + 3x2(k)

−u(k)x(k)

y(k) = x(k). (9)

1. Determinare il valore dell’ingresso costante u(k) ≡ ū in corrispondenza del quale x̄ = 1 è unostato di equilibrio per il sistema.

2. Scrivere l’espressione del sistema linearizzato attorno alla coppia di equilibrio (x̄ = 1, ū) deter-

minata al punto precedente e dire se, per il sistema non lineare, tale coppia è asintoticamente

stabile, semplicemente stabile oppure instabile.

3. Tracciare il grafico della risposta allo scalino per il sistema linearizzato determinato al punto 2.

4. Posto x(0) = 1 e u(k) ≡ −1, impiegare il sistema linearizzato determinato al punto 2 per calcolare limk

→+∞

x(k).

D’ora in avanti, si consideri nuovamente il sistema non lineare x(k + 1) = f

x(k), u(k)

dato nel-

l’equazione (9) e si supponga che u(k) ≡ −1. In Figura 21 è tracciato il grafico della funzione f (x, −1).

5. Posto x(0) = 1, calcolare x(1) e x(2). Verificare graficamente il risultato ottenuto (a tal fine,

disegnare ciò che occorre sul grafico in Figura 21). Infine, per mezzo del medesimo procedimento

grafico (quindi, senza fare conti), determinare limk→+∞ x(k) e confrontare in modo critico il risultato ottenuto con quello trovato nello svolgimento del punto 4.

6. Sulla base del grafico in Figura 21 (quindi, senza fare conti), si risponda alle seguenti domande:

28


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• determinare lo stato di equilibrio ¯̄x corrispondente all’ingresso costante u(k) ≡ −1;

• dire quanto vale la matrice A del sistema linearizzato attorno alla coppia di equilibrio(¯̄x, ¯̄u = −1) ed analizzare le proprietà di stabilità di tale sistema linearizzato;• dire se lo studio del sistema linearizzato permette di concludere l’analisi di stabilit à della

coppia di equilibrio (¯̄x, ¯̄u = −1) per il sistema non lineare;• si dica se la coppia di equilibrio (¯̄x, ¯̄u = −1) del sistema non lineare è asintoticamente

stabile, semplicemente stabile oppure instabile.

29


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SOLUZIONI

Soluzione degli esercizi sui prerequisiti

SOLUZIONE ESERCIZIO 1.

1.1- La funzione x(t) che risolve il problema di Cauchy dato deve essere tale che sia soddisfatta la

condizione iniziale x(0) = 2 e l’equazione differenziale ẋ = 3/(2x).

Calcoliamo dapprima il valore per t = 0 delle tre funzioni candidate a risolvere il problema.

Caso (a) : x(0) = 3

0 + 3/2 = 2; caso (b) : x(0) =

√ 0 + 4 = 2; caso (c) : x(0) =

√ 0 + 1 = 1.

Possiamo dunque affermare che la funzione data in (c) non risolve il problema.

Per discriminare quale sia la soluzione fra le funzioni date in (a) e in (b), calcoliamo la derivata rispetto

al tempo di tali funzioni e vediamo quale delle due soddisfa la relazione ẋ = 32x .• Caso (a):

ẋ(t) = 3 d

dt

1

2t + 32

= 3 ·

− 1

2t + 322

· d

dt

2t +

3

2

= − 6

2t + 322 . (10)

A questo punto vediamo se l’espressione trovata per ẋ(t) è uguale a 32x(t) : si ha

3

2x(t) =

3

2 32t+3/2=

2t + 322

e tale funzione è differente dalla funzione ẋ(t) calcolata nell’equazione (10) (ad esempio, esse assumono

valori differenti per t = 0). Ciò significa che la funzione data in (a) non risolve il problema in quantonon soddisfa l’equazione differenziale.

• Caso (b):ẋ(t) =

1

2√

3t + 4 · d

dt(3t + 4) =

3

2√

3t + 4. (11)

In questo caso risulta evidente il fatto che l’espressione trovata per ẋ(t) coincide con la funzione 32x(t) ,

dunque la funzione che risolve il problema di Cauchy (1) è quella data in (b).

In alternativa, è possibile risolvere direttamente l’equazione (1) e confrontare la soluzione trovata

con le tre funzioni proposte. Mostriamo, per completezza, anche tale procedimento, si osservi però che

l’esercizio non richiede di risolvere l’equazione differenziale e che, in generale, è molto più semplice

verificare se una certa funzione risolva una data equazione differenziale piuttosto che risolvere tale

equazione. Si ha

ẋ(t) = 32x(t) ⇔ x(t)ẋ(t) = 32 ⇔ t0

x(t)ẋ(t)dt = t0

32

dt ⇔ x(t)x(0)

xdx = 32 t ⇔⇔ x22

x(t)x(0)

= 32 t ⇔ x2(t) = 3t + x(0)2

da cui x(t) =

3t + x(0)2 e, essendo x(0) = 2, la soluzione risulta x(t) =√

3t + 4.

1.2- Ponendo t = 0 nell’equazione (1), risulta ẋ(0) = 32x(0) e, essendo x(0) = 2, si ha

ẋ(0) = 3

4.

30


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In alternativa, abbiamo calcolato nell’equazione (11) l’espressione della funzione ẋ(t): valutandola

per t = 0 si ottiene ẋ(0) = 3

2√ 0+4 = 3

4

.

1.3- Supponiamo che x(t) ≡ x0 sia una soluzione del problema (1) con condizione iniziale x(0) = x0.Poiché per tale ipotetica soluzione si ha ẋ(t) ≡ 0, allora, affinché l’equazione differenziale ẋ(t) = 32x(t)sia soddisfatta, deve valere che

0 = 3

2x0.

Tale equazione, tuttavia, non è risolta per nessun valore di x0 ∈ R e dunque non esiste nessunacondizione iniziale che dia origine ad una soluzione costante.


Si ricordino, preliminarmente, i seguenti fatti:

Prodotto righe × colonne: dimensioni e compatibilità

Date due matrici A ∈ Ra1×a2 e B ∈ Rb1×b2 , è possibile eseguire il prodotto ABse e solo se il numero di colonne di A è uguale al numero di righe di B, ossia

a2 = b1.

Se tale condizione di compatibilità fra le dimensioni delle matrici è soddisfatta,

la matrice C = AB è tale che

C ∈ Ra1×b2 .

Da una diretta applicazione di tali regole, si ottengono i seguenti risultati:

2.1- N ∈ Rk×i e Q ∈ Rh×j .2.2- V ∈ Rn×h e Z ∈ Rm×h.2.3- ı) Il prodotto QZ non ha senso, in generale, perché il numero di colonne di Q è pari a j e differisce

dal numero di righe di Z che è pari a m (ha senso solo nel caso particolare in cui j = m ed in tal caso

si ha QZ ∈ Rh×h).ıı) Il prodotto Z Q ha senso perché il numero di colonne di Z è pari ad h cosı̀ come il numero di righe

di Q. Si ha che Z Q ∈ Rm×j.ııı) Si noti che Q⊤Z ⊤ = (ZQ)⊤, quindi, in virtù dei risultati trovati in ıı), il prodotto Q⊤Z ⊤ ha senso

e, posto S = Q⊤Z ⊤, si ha S = (ZQ)⊤ ∈ Rj×m. Ne consegue che QQ⊤Z ⊤ = QS e tale prodotto hasenso in quanto il numero di colonne di Q, pari a j , coincide con il numero di righe di S . Si ha infine

QQ⊤Z ⊤ = QS ∈ Rh×m.


3.1- La traccia di una matrice A, che indichiamo con tr(A), è la somma dei suoi elementi sulla

diagonale, quindi:

tr(A1) = 1 − 2 = −1; tr(A2) = 1 + 2 = 3; tr(A3) = 3 + 3 = 6;tr(A4) = 1 − 3 = −2; tr(A5) = 1 + 3 = 4.

31


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Indichiamo con det(A) il determinante di una matrice A. Si ha:

det(A1) = 1 · (−2) − 0 · 1 = −2; det(A2) = 1 · 2 − 1 · 2 = 0; det(A3) = 3 · 3 − 0 · 0 = 9;det(A4) = 1 · (−3) − 1 · (−4) = 1; det(A5) = 1 · 3 − (−2) · 5 = 13.

In generale, il polinomio caratteristico di una matrice quadrata A è dato da

pA(s) = det(sI − A),

dove I è la matrice identità di dimensioni uguali a quelle di A.

Polinomio caratteristico per matrici di dimensione 2

Nel caso particolare di matrici A di dimensione 2, si ha

pA(s) = s2 − tr(A)s + det(A).

Quindi, nei cinque casi considerati, si ha:

pA1(s) = s2 + s − 2; pA2(s) = s2 − 3s; pA3(s) = s2 − 6s + 9;

pA4(s) = s2 + 2s + 1; pA5(s) = s

2 − 4s + 13.

Gli autovalori di una matrice A sono le radici del suo polinomio caratteristico, quindi:

pA1(s) = s2 + s − 2 = (s − 1)(s + 2) ⇒ λ1 = 1, λ2 = −2

pA2(s) = s2 − 3s = s(s − 3) ⇒ λ1 = 0, λ2 = 3

pA3(s) = s2 − 6s + 9 = (s − 3)2 ⇒ λ1 = λ2 = 3

pA4(s) = s2 + 2s + 1 = (s + 1)2 ⇒ λ1 = λ2 = −1.

Nel caso A5, il discriminante del polinomio pA5(s) è dato da δ4 = −9. Tale matrice ha quindi una

coppia di radici Complesse coniugate date da λ1,2 = 2 ± 3 j. In definitiva:

pA5(s) = s2 − 4s + 13 = (s − 2 − 3 j)(s − 2 + 3 j) ⇒ λ1 = 2 + 3 j, λ2 = 2 − 3 j.

Osservazione: come immediatamente verificabile dai conti appena svolti, si ricorda che:

1. la traccia di una matrice è uguale alla somma degli autovalori della matrice stessa, il determi-

nante è uguale al prodotto degli autovalori;

2. tranne casi particolari, gli autovalori di una matrice non sono gli elementi sulla diagonale della

matrice stessa (vedi le matrici A2, A4 e A5);

3. un caso particolare in cui gli elementi sul la diagonale di una matrice coincidono con gli autovalori

della matrice stessa è rappresentato dalle matrici triangolari (vedi le matrici A1 e A3, nel caso

di A3 si tratta di una matrice diagonale, cioè un caso particolare di matrice triangolare).

32


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3.2- Una matrice è invertibile se e solo se il suo determinante non è nullo. Equivalentemente, una

matrice è invertibile se e solo se essa non ha 0 tra i suoi autovalori. In conseguenza di ciò, tutte le

matrici date, tranne A2, sono invertibili.

Inversione delle matrici di dimensione 2

Nel caso particolare di matrici

A =

a b

c d

, det(A) = 0,

di dimensione 2, si ha

A−1 = 1

det(A) d −b−c a .Ossia, si scambiano di posto gli elementi sulla diagonale, gli elementi fuori dalla

diagonale si lasciano dove sono ma si cambiano di segno, si divide il tutto per

il determinante di A

det(A) = a · d − c · b.Di conseguenza

A−11 = − 12 −2 −1

0 1

=

1 1/2

0 −1/2

; A−13 =

1/3 0

0 1/3

;

A−1

4 = −3 4−1 1 ; A−15 = 113 3 −52 1 = 3/13 −5/132/13 1/13 .3.3- Richiamiamo i fatti principali relativi al problema della diagonalizzazione di matrici.

Diagonalizzabilità e diagonalizzazione di matrici

• Autovalori: molteplicità algebrica e geometrica. Data una matrice A ∈ Rn×n, il suo polinomio caratteristico pA(s) è un polinomio di grado n e a coefficienti Reali le cui

radici sono gli autovalori della matrice A.

In virtù del Teorema Fondamentale dell’Algebra, è sempre possibile fattorizzare un polinomio

pA(s) di grado n e a coefficienti Reali nella seguente forma:

pA(s) = (s − λ1)n1(s − λ2)n2 · · · (s − λr)nr (12)

con λi ∈ C ( i = 1, . . . , r), r

i=1 ni = n e λi = λj . In altre parole, un polinomio di grado n a coefficienti Reali ha esattamente n radici in C (purché si tenga conto del la loro molteplicità).

Di conseguenza, una matrice A ∈ Rn×n ha esattamente n autovalori (contati con la loro molteplicità). Con riferimento alla fattorizzazione (12), il numero ni si dice

molteplicità algebrica dell’autovalore λi e si indica con

µa(λi).

33


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Data una matrice A ∈ Rn×n e un suo autovalore Reale λi ∈ R, un autovettore per la matrice A relativo all’autovalore λi è un vettore v

∈Rn, v

= 0, tale che

Av = λiv.

Portando il termine λiv al primo membro, tale equazione è equivalente a

(A − λiI )v = 0. (13)

Dunque, risolvendo il sistema lineare (13), è possibile determinare tutti gli autovettori per la

matrice A relativi all’autovalore λi. L’insieme delle soluzioni del sistema lineare (13) è un

sottospazio vettoriale di Rn la cui dimensione è detta molteplicità geometrica dell’autovalore

λi e si indica con

µg(λi).

• Diagonalizzabilità. Sia A ∈ Rn×n una matrice i cui autovalori sono tutti Reali. Una tale matrice si dice che è diagonalizzabile se esiste una matrice invertibile T ∈ Rn×n tale che T −1AT = DA, dove DA ∈ Rn×n è una matrice diagonale. In tal caso, la matrice DAha sulla diagonale gli autovalori di A.

Valgono i seguenti risultati:

1. Se λi ∈ R è un autovalore Reale di una matrice A ∈ Rn×n, allora

1 ≤ µg(λi) ≤ µa(λi); (14)

2. Una matrice A ∈ Rn×n i cui autovalori λi, i = 1, . . . , r, sono tutti Reali è diagonaliz-zabile se e solo se tutti i suoi autovalori hanno molteplicità geometrica uguale a quella

algebrica ciòe, ∀ i = 1, . . . , r, µg(λi) = µa(λi).3. Come diretta conseguenza dei due risultati precedenti, una condizione sufficiente di

diagonalizzabilit à di una matrice A ∈ Rn×n è che essa abbia n autovalori Reali e distinti

infatti, avere autovalori distinti significa che, ∀ i, µa(λi) = 1 e dunque, in

virtù delle disequazioni (14), non può che essere µg(λi) = µa(λi) = 1

.

• Diagonalizzazione. Data una matrice A ∈ Rn×n diagonalizzabile, una matrice invertibile T ∈ Rn×n tale che T −1AT = DA si determina nel modo seguente: si costruisce T in modotale che abbia per colonne una base di Rn fatta di autovettori per la matrice A. In pratica,

quindi, basta risolvere il sistema (13) in corrispondenza di ogni autovalore λi per la matrice

A e scegliere una base di ogni corrisponente spazio delle soluzioni. Poiché la scelta della

base non è unica (ed anzi, ci sono sempre infinite scelte), ne segue che anche la matrice T non è unica.

• Caso Complesso. Nel caso di autovalori Complessi, λi ∈ C, quanto detto sopra resta sostanzialmente immutato pur di considerare autovettori Complessi v ∈ Cn.

Alla luce dei risultati sulla diagonalizzabilità, possiamo dunque concludere che: le matrici A1 e A2 sono

diagonalizzabili in quanto hanno autovalori Reali e distinti; la matrice A3 ̀e certamente diagonalizzabile

in quanto già diagonale (in altre parole, T 3 = I è la matrice diagonalizzante). Resta da analizzare in

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dettaglio il caso A4: essendo λ1 = λ2 = −1, il sistema (13) prende la forma

(A4 + I )v = 0 ossia 2 −4

1 −2 v1

v2

= 00

le cui soluzioni sono i vettori v della forma

v =

2v2

v2

,

al variare di v2 ∈ R. Poiché vi è un solo parametro libero, cioè v2, lo spazio delle soluzioni hadimensione 1, cioè µg(−1) = 1. Dunque, 1 = µg(−1) = µa(−1) = 2 cosicché la matrice A4 non èdiagonalizzabile.

In alternativa, è possibile mostrare che la matrice A4 non è diagonalizzabile ragionando per assurdo

nel modo seguente: poiché A4 è di dimensione due ed ha due autovalori coincidenti pari a −1, allora,se fosse diagonalizzabile sarebbe DA4 = −I e T −14 A4T 4 = −I ; d’altra parte, T −14 A4T 4 = −I ⇔A4 = −T 4IT −14 ⇔ A4 = −I , il che è assurdo in quanto A4 = −I .Osservazione: la condizione di avere autovalori distinti è solo sufficiente per la diagonalizzabilità.

In presenza di autovalori coincidenti, una matrice può essere sia diagonalizzabile, come A3, che non

diagonalizzabile, come A4.

• Diagonalizzazione della matrice A1: calcoliamo T 1 e DA1 .In corrispondenza dell’autovalore λ1 = 1, il sistema (13) prende la forma

(A1 − I )v = 0 ossia

0 1

0 −3

v1v2

=

0

0


v =

v1

0

,

al variare di v1 ∈ R. Fissiamo, ad esempio, v1 = 1: in tal modo otteniamo il vettore

v =

1

0

che costituirà la prima colonna della matrice T 1.

In corrispondenza dell’autovalore λ2 = −2, il sistema (13) prende la forma

(A1 + 2I )v = 0 ossia 3 1

0 0

v1v2

=

00


v =

v1−3v1

,

al variare di v1 ∈ R. Fissiamo, ad esempio, v1 = 1: in tal modo otteniamo il vettore

v =

1

−3

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che costituirà la seconda colonna della matrice T 1.

Ponendo quindi

T 1 = 1 1

0 −3

,

si ha

T −11 A1T 1 = DA1 =

1 0

0 −2

(nota bene: l’ordine con cui appaiono gli auotovalori sulla diagonale di DA1 è conforme con l’ordine

in cui sono disposti gli autovettori nelle colonne di T 1).

• Diagonalizzazione della matrice A2: calcoliamo T 2 e DA2 .Procedendo in modo analogo a quanto fatto per la matrice A1, si ottengono i seguenti risultati: nel

caso λ1 = 0, le soluzioni del sistema (13) sono i vettori v della forma

v = −2v2

v2

,

al variare di v2 ∈ R; nel caso λ2 = 3, le soluzioni del sistema (13) sono i vettori v della forma

v =

v1v1

,

al variare di v1 ∈ R; si può quindi porre

T 2 =

−2 11 1

ed ottenere

T −12 A2T 2 = DA2 =

0 0

0 3

.

• Diagonalizzazione della matrice A3: come già osservato, T 3 = I e DA3 = A3.3.4- Poiché la matrice A5 ha autovalori Complessi, occorre declinare nel caso Complesso i risultati

sulla diagonalizzabilità e diagonalizzazione richiamati in precedenza.

La diagonalizzabilità è assicurata dal fatto che la matrice ha due autovalori distinti.

Per determinare la matrice T 5 si procede in modo del tutto analogo a quanto fatto per determinare

T 1 e T 2, l’unica differenza consiste nel fatto che si opera con numeri Complessi. In corrispondenza

dell’autovalore λ1 = 2 + 3 j, il sistema (13) prende la forma

A5 − (2 + 3 j)I v = 0 ossia −1 − 3 j 5−2 1 − 3 j v11 + jv12v21 + jv22 = 00 . (15)

Al fine di semplificare i calcoli, possiamo fissare la prima componente del vettore v ad un valore a

piacere purché non nullo. Ad esempio, possiamo porre v11 + jv12 = 1 (questo passaggio è l’analogo

dell’aver scelto v1 = 1 nel calcolo della matrice T 1). Con questa scelta, il sistema (15) diventa −1 − 3 j 5−2 1 − 3 j

1

v21 + jv22

=

0

0

,

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ossia

−1 − 3 j + 5(v21 + jv22) = 0−2 + (1 − 3 j)(v21 + jv22) = 0. (16)Le prima delle due equazioni si riscrive come

(−1 + 5v21) + (5v22 − 3) j = 0

e, uguagliando a zero la parte ℜeale e la parte ℑmmaginaria del primo membro, si ottiene

v21 = 1

5 e v22 =

3

5le due equazioni che definiscono il sistema (15) sono equivalenti – la seconda si ottiene dalla prima

moltiplicando ambo i membri per un’opportuna costante c ∈ C – in quanto il sistema (15) deve avereinfinite soluzioni non nulle corrispondenti agli autovettori per A5 relativi a λ1; di conseguenza, comeperaltro facilmente verificabile, i valori trovati per v21 e v22 risolvendo la prima delle due equazioni (16)

risolvono anche la seconda equazione del sistema (16)

.

Possiamo quindi porre la prima colonna di T 5 uguale al vettore

v =

115 +

35 j

.

Per determinare la seconda colonna di T 5 si può ripetere il conto considerando λ2 = 2 − 3 j oppure,più semplicemente, basta ricordarsi che gli autovettori relativi all’autovalore Complesso coniugato

di λ1 non sono altro che i vettori che hanno per componenti il numero Complesso coniugato delle

componenti degli autovettori relativi a λ1. Possiamo quindi direttamente scrivere che

T 5 = 1 1

15 +

35 j

15 − 35 j

ed ottenere

T −15 A5T 5 = DA5 =

2 + 3 j 0

0 2 − 3 j

.


4.1- Si ha:

pM (s) = det(sI − M ) = det

s −1 00 s −1

18 3 s + 6

=

(a)= s · det s −13 s + 6

− (−1) · det 0 −118 s + 6

== s(s2 + 6s + 3) + 18 = s3 + 6s2 + 3s + 18,

dove nell’uguaglianza (a) abbiamo usato lo sviluppo di det(sI − M ) rispetto alla prima riga.

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4.2- Si ricordi preliminarmente che:

Formula generale dell’inversa di matrice

Data una matrice quadrata A, invertibile e di dimensione n, si indichi con Âijla matrice quadrata di dimensione n −1 ottenuta da A cancellando la riga i-ma e la colonna j-ma. L’elemento di A−1 posto in posizione ij è dato da:

A−1ij = (−1)i+j · det( Âji)

det(A) (17)

(prestare attenzione al fatto che gl’indici nella matrice Â∗∗ presente al numeratore sono ji).

Applicando l’equazione (17), si ottiene:

(sI − M )−111 = (−1)2 ·det

s −13 s + 6

s3 + 6s2 + 3s + 18

= s2 + 6s + 3

s3 + 6s2 + 3s + 18

(sI − M )−112 = (−1)3 ·det

−1 03 s + 6

s3 + 6s2 + 3s + 18

= − −s − 6s3 + 6s2 + 3s + 18

...

cosicché

(sI − M )−1 = 1s3 + 6s2 + 3s + 18

s2 + 6s + 3 s + 6 1−18 s2 + 6s s−18s −3s − 18 s2

.

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Numeri Complessi

Un numero z ∈ C è rappresentato nella cosiddetta forma cartesiana se

z = a + bj o, indifferentemente, z = a + jb,

dove a ∈ R si dice parte ℜeale di z a = ℜe(z), e b ∈ R si dice parte ℑmmaginaria di zb = ℑm(z). La rappresentazione in forma polare di z ∈ C, z = 0, è

z = ρ · ejθ ,

dove ρ > 0 è il modulo di z

ρ = |z| ed è uguale alla distanza di z dall’origine, e θ ∈ R è la fase (o argomento) di z

θ = ∠(z)

e rappresenta l’angolo compreso fra il semiasse Reale

positivo e il segmento che congiunge z all’origine.

• Conversione da forma polare a forma cartesiana.

ρ · ejθ = ρ cos(θ) + j sin(θ) = ρ cos(θ) + jρ sin(θ).• Conversione da forma cartesiana a forma polare.

z = a + jb = |z| · ej∠(z),

dove:

|z| =

a2 + b2 e ∠(z) =

arctan(b/a) se a > 0

arctan(b/a) ± π se a < 0π/2 se a = 0 e b > 0

−π/2 se a = 0 e b < 0;

nel caso a < 0 è indifferente aggiungere o togliere π in virtù della periodicità di periodo

2π delle funzioni sin e cos

ossia, le scritture ρ · ej(θ+2kπ), k ∈ Z, sono infinite differenti rappresentazioni del medesimo numero Complesso

.

Con z̄ si indica il numero Complesso coniugato di z definito come segue:

In forma cartesiana: z = a + jb

→ z̄ = a

− jb

In forma polare: z = ρ · ejθ → z̄ = ρ · e−jθ .

È utile ricordare che:

• j2 = −1;• z · z̄ = |z|2 dunque, in particolare, z · z̄ ∈ R+;• se z1 = ρ1 · ejθ1 e z2 = ρ2 · ejθ2 , allora z1 · z2 = (ρ1 · ρ2) · ej(θ1+θ2) e z1/z2 = ρ1ρ2 · ej(θ1−θ2).In altre parole, il modulo del prodotto di due numeri Complessi è il prodotto dei moduli dei

due numeri, il modulo del quoziente è il quoziente dei moduli, la fase del prodotto è la somma

delle fasi, la fase del quoziente è la differenza del le fasi.

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41/153

1

2

z 4 z 11

122π/32π/32π/32π/3 π/4π/4π/4π/4

ℑm

5

8

3

9

10

6

z 13 ℜe

14

π/4π/4π/4π/4

Figura 22: Con riferimento all’Esercizio 5, rappresentazione sul piano Complesso dei numeri zi, i =1, . . . , 14.

5.6- Si ha:z5 = 2

√ 2

cos(π/4) + j sin(π/4)

= 2 + 2 j

z6 = 2 cos(−π/2) + j sin(−π/2) = −2 jz7 = 3

cos(0) + j sin(0)

= 3

z8 =

cos(2π/3) + j sin(2π/3)

= −12

+

√ 3

2 j.

5.7- Al fine di eseguire la somma fra numeri Complessi, è utile esprimerli in forma cartesiana, quindi:

z1 + z5 = (√

3 + j) + (2 + 2 j) = (√

3 + 2) + 3 j.

Al fine di eseguire prodotti e divisioni fra numeri Complessi, è utile esprimerli in forma polare, quindi:

z1 · z̄3 · z8z̄5

≃ (2 ejπ/6

) · (√ 10 e−j

·4.39

) · (ej2π/3

)2√

2 e−jπ/4 =

= 2

√ 10

2√

2ej(

π6−4.39+ 2π

3 +π

4 ) ≃

≃ √ 5e−j·0.99.

Se si preferisce, si può convertire il risultato in forma cartesiana ed ottenere

z1 · z̄3 · z8z̄5

≃√

5e−j·0.99 =√

5

cos(−0.99) + j sin(−0.99) ≃ 1.23 − 1.87 j.

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Soluzione degli esercizi sui sistemi dinamici a tempo continuo

SOLUZIONE ESERCIZIO 6.6.1- Il sistema S 1 è di ordine 3, lineare, non autonomo, strettamente proprio, SISO.Il sistema S 2 è di ordine 3, nonlineare, non autonomo, proprio (non strettamente), MIMO.Il sistema S 3 è di ordine 1 (scalare), nonlineare, autonomo.Il sistema S 4 è di ordine 2, lineare, non autonomo, proprio (non strettamente), MIMO.6.2- Per il sistema S 1:

A =

−1 0 21 1 1−2 0 1

, B = 0−1

2

, C = 0 −1 4 , D = 0.Per il sistema S 4:

A =

0 2

−1 3

, B =

1 0

0 0

, C =

1 0

, D =

0 1

.


7.1- Le incognite dell’equazione differenziale sono ξ e v , possiamo quindi porre

x =

x1x2

=

ξ

v

;

la variabile indipendente è ϑ, quindi

u = θ;

la grandezza di cui si vuole studiare l’andamento è ξ , quindi

y = ξ.

Di conseguenza, un modello in forma di stato del sistema dinamico considerato è:ẋ1(t) = φ1

x1(t), x2(t)

ẋ2(t) = φ2

x2(t), u(t)

y(t) = x1(t).

7.2- Si tratta di un sistema di ordine 2, il sistema è lineare se e solo se sia φ1 che φ2 sono funzionilineari (ma, non essendo specificata l’espressione di tali funzioni, non è possibile rispondere a tale

domanda), non autonomo, strettamente proprio, SISO.


8.1- Un modo standard per trasformare un’equazione differenziale di ordine n in un sistema di equa-

zioni differenziali di ordine 1 consiste nel considerare un vettore di stato che colleziona la funzione

incognita dell’equazione differenziale e le sue derivate fino all’ordine n − 1. Nel caso particolaredell’equazione considerata, possiamo quindi porre

x =

x1x2

=

θ

θ̇

;

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A

C

E

D

B

(a)

A

B

C

E

(b)

D

A=E

B

C

(c)

Figura 23: Con riferimento all’Esercizio 8.3-4, il pendolo (a) e rappresentazione qualitativa delletraiettorie in spazio di stato a partire dalle condizioni iniziali specificate (b-c).

l’assenza di sollecitazioni esterne sul pendolo significa che il sistema è autonomo, ossia è privo diingressi; le grandezze di cui si vuole studiare l’andamento sono θ e l’energia cinetica E c = 12ml2 θ̇2,quindi

y =

y1y2

=

θ12ml

2 θ̇2

.

Di conseguenza, un modello in forma di stato del sistema dinamico considerato è:

ẋ1(t) = x2(t)

ẋ2(t) = − gl sin

x1(t) − kml2 x2(t)

y1(t) = x1(t)

y2(t) = 12ml

2x22(t).

8.2- Il sistema ha ordine 2, è nonlineare e autonomo; la variabile di uscita y ha dimensione 2.

8.3- ı) La traiettoria richiesta è rappresentata in Figura 23.(b): si noti che quando il pendolo arriva in

posizione “C” ed inverte il moto, esso si trova ad un angolo il cui modulo è inferiore a π/2 in quanto,

a causa dell’attrito, il sistema dissipa energia; similmente, quando il pendolo arriva in posizione “E”,

esso si trova ad un angolo inferiore al modulo dell’angolo che individua la posizione “C” e cosı̀ via

finché, asintoticamente, il pendolo si ferma in θ = 0.

In virtù di tale analisi, si ha

limt→+∞

x(t) =

0

0

e, conseguentemente,

limt→+∞

y(t) = limt→+∞ x1(t)limt→+∞ 12ml

2x22(t) = 0

0 .

ıı) La condizione iniziale è di equilibrio, dunque

θ(t) ≡ θ(0) = π e θ̇(t) ≡ θ̇(0) = 0

e la traiettoria corrispondente è il punto “rosa” di Figura 23.(b) posto in x̄ = (x1 = π, x2 = 0).

Si ha

limt→+∞

x(t) = x(0) =

π

0

e lim

t→+∞y(t) = y(0) =

π

0

.

Osservazione: Si noti che nel caso ıı), il risultato non è qualitativo, è esatto.

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8.4- In assenza di attrito, l’energia meccanica del pendolo si conserva e, a partire da θ(0) = π/2 e

θ̇(0) = 0, il sistema resta in oscillazione permanente. Conseguentemente, la traiettoria in spazio di

stato è la curva chiusa rappresentata in Figura 23.(c): essa viene percorsa infinite volte. In tal caso,

quindi i due limiti richiesti non esistono.

Nel caso θ(0) = π e θ̇(0) = 0, il risultato è invece identico all’analogo caso considerato in 8.3.


A. Si tratta di un sistema dinamico in quanto la sola conoscenza dell’ammontare dei versamenti e

dei prelievi effettuati in un dato giorno

ossia, la conoscenza di u(t̄)

non è sufficiente per conoscere

il saldo del conto in quello stesso giorno

ossia, y(t̄)

.

Osservazione: approfondimento sul concetto di “variabile di stato” nei sistemi dinamici.

Questo esempio permette di fare più luce sul concetto di variabile di stato in un sistema dinamico.

Per descrivere la dinamica del saldo di un conto in banca è possibile seguire due differenti approcci:

I. il saldo attuale del conto è noto se si tiene memoria di tutta la storia di prelievi e versamenti

effettuati sul conto dal giorno della sua apertura fino all’istante attuale;

oppure,

II. si introduce una variabile di stato rappresentante il saldo del conto e, per conoscere il saldo

attuale, è sufficiente conoscere il saldo (cioè, lo stato) ad un dato istante t0 e la storia di

prelievi e versamenti sul conto solo a partire dall’istante t0 a quello attuale.

Il secondo approccio è quello a cui fa riferimento la forma di stato dei sistemi dinamici (dove t0rappresenta il cosiddetto istante iniziale, quello in cui si suppone di conoscere la “condizione” in cui

si trova il sistema e che convenzionalmente abbiamo sempre indicato con t = 0). Il vantaggio dato

dall’introduzione di una variabile di stato discende dal fatto che tutta la “storia” del sistema precedente l’istante t0 (ossia, tutte le azioni esterne fatte sul sistema fino a quell’istante) viene riassunta dal valore

x(t0) assunto dalla variabile di stato.

B. Si tratta di un sistema statico, possiamo infatti supporre con buona approssimazione che la portata

y(t̄) in uscita dal rubinetto dipenda solo da quanto esso è aperto correntemente, cioè da u(t̄).

C. Si tratta di un sistema dinamico, è lecito infatti aspettarsi che alla formazione del prezzo di un

bene ad un dato istante non concorra soltanto il tasso di produzione corrente ma anche altri fattori,

quali la presenza di riserve ancora invendute di prodotto, dipendenti dall’andamento del tasso di

produzione ad istanti precedenti quello considerato.

D. Si tratta di un sistema dinamico, è chiaro infatti che la posizione della fronte di un ghiacciaio in

un dato istante non è individuata dagli accumuli correnti di neve.

E. Si tratta di un sistema statico, infatti la seconda legge della dinamica “ F = ma ” stabilisce propriola relazione algebrica che sussiste fra la forza agente ad un dato istante su un corpo di massa m e la

sua accelerazione corrente cioè, con la notazione introdotta, y(t) = 1mu(t).

Osservazione: si noti che, invece, la relazione stabilita dalla seconda legge della dinamica fra forza

e velocità oppure fra forza e posizione di un corpo di massa m è dinamica. Da una parte questo è

chiaro in quanto sia il legame forza–velocità che quello forza–posizione sono espressi da un’equazione

differenziale

mv̇(t) = F (t) e mẍ(t) = F (t), rispettivamente

. D’altra parte è anche chiaro che, per

conoscere la velocità o la posizione di un oggetto ad un certo istante, non è sufficiente conoscere il

valore corrente della sua accelerazione (ossia, della forza agente sul corpo in quel dato istante) ma

occorre conoscere anche quale è stato l’andamento della forza negli istanti precedenti, almeno a partire

da un’istante t0 in cui si conosca il valore v(t0) (nel caso in cui si studi l’andamento della velocità)

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o x(t0) e v(t0)

nel caso in cui si studi l’andamento della posizione: in questo caso il sistema è di

ordine 2 – mẍ(t) = F (t) – e dunque occorrono 2 condizioni iniziali .SOLUZIONE ESERCIZIO 10.

• Lo stato di equilibrio x̄ si dice essere stabile se e solo se ∀ ǫ > 0, ∃δ (ǫ) > 0 tale che ∀ x∗0 conx∗0 − x̄ ≤ δ (ǫ) il corrispondente movimento x∗(t) è tale che x∗(t) − x̄ ≤ ǫ ∀ t ≥ 0.• Lo stato di equilibrio x̄ si dice essere instabile se e solo se non è stabile.• Lo stato di equilibrio x̄ si dice essere asintoticamente stabile se e solo se è stabile e inoltre ∃ρ > 0tale che ∀x∗0 con x∗0 − x̄ ≤ ρ il corrispondente movimento x∗(t) è tale che limt→+∞ x∗(t) − x̄ = 0.• Lo stato di equilibrio x̄ si dice essere semplicemente stabile se e solo se è stabile ma non asintotica-mente stabile.


11.

Eserciziario Fondamenti di Automatica

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