Fondamenti di automatica - relazione prof. Stefano … di fondamenti di automatica – Riccardo...

Università degli studi di Cassino – relazione finale corso di fondamenti di automatica

ElaboratoJ

Relazione diFondamenti di automatica

Docente del corso:Stefano Chiaverini

Riccardo Galletti

Matr. 1265

- 2 - Relazione di fondamenti di automatica – Riccardo Galletti - www.riccardogalletti.com/appunti_gratis

- 3 -

FUNZIONE DI TRASFERIMENTO

In esame si ha lo studio dell’impianto P caratterizzato dal modello implicito ingresso-uscita lineare e stazionario:

)(15)(30)(25)(10)(2

2

3

3

tudttdu

dttdy

dttyd

dttyd +=++

Trasformiamo secondo Laplace, tenendo conto del fatto che le condizioni iniziali sono nulle:

)()1530()()2510( 23 sUssYsss +=++ ⇒

⇒ 223 )5(1530

25101530

)()(

)(+

+=

+++

==sss

ssss

sUsY

sP

La F.d.t. trovata presenta un polo nell’origine e due poli identici a parte reale negativa, poiché 01 =s , 32 5 ss =−= .

CONTROLLO IN RETROAZIONE

Il progetto del controllore riguarda la creazione della struttura dei blocchi di f.d.t. C e H affinché l’uscita Y segua l’andamento voluto Yd. I riferimenti dati impongono:

)(4)( 3 ttr −= δ ⇒ )(12)( 3 ttyd −= δ e )(4)( 3 ttr −= δ ⇒ 15)(, =∞ teA

Quindi: calcoliamo Kd e H(s) tale che:

)(4)( 3 ttr −= δ ⇒ )(12)( 3 ttyd −= δ nel dominio di Laplace equivalgono a :

34

)(s

sR = 312

)(s

sYD =

poiché )()( tRKsY dD ⋅= si ha

==)(sR

YK dd 3

12s

34

3

=⋅ s

da cui ricavo H(s) come:

==dK

sH1

)(31

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La seconda specifica può essere soddisfatta con diverse scelte del controllore. Esse sono:A) Introduzione di poli nell’origine;B) Attribuzione di un opportuno guadagno di Bode Kc;

Calcoliamo quindi C(s) tale che )(4)( 3 ttr −= δ 15)(, =⇒ ∞ teA :Per avere un errore a regime finito occorre avere l’uguaglianza: hk =dove k indica l’ordine (diminuito di 1 unità) del riferimento, mentre h è il numero dei poli nell’origine nella G(s), ossia la F.d.T di catena diretta.Nel nostro caso abbiamo:k=2, cioè abbiamo come riferimento una rampa parabolica, e dobbiamo avere h=2.Dato che l’impianto già possiede un polo nell’origine, dobbiamo inserirne uno nel controllore C(s), che quindi assumerà una struttura del tipo:

sK

sC c=)(

15)(, =∞ teA ma dato che aa

dA KK

RKte

43)(

20

2

,⋅

=⋅

=∞ si ha 4.21536

==aK ; inoltre essendo

2515

2515

)5(1530

lim)(lim 22

0

2

0 ccc

sasa KKsss

sK

sKsGsK ==+

+=⇒⋅=

→

⋅

→

cioè 4.253

=cK ⇒ 4=cK

Per vedere se il sistema a ciclo chiuso è astatico nei confronti di )()( 1 ttd −= δ , (gradino

unitario), devo verificare la seguente disuguaglianza: kh >1 , dove h1 sta ad indicare il numero dei poli dell’origine di C(s) e k è l’ordine, diminuito di un’unità, dell’ingresso non manipolabile.Dunque:

14

)( 11=→== h

ssK

sC hc 0

1)( 1

0 =→== + kss

DsD k

Quindi è verificata la relazione kh >1 che rende il sistema astatico nei confronti di d(t).

PROPRIETA’ DI STABILITA’

Per l’analisi della stabilità del sistema è necessario conoscere i poli della f.d.t. a ciclo chiuso, pari a:

)()()(1)()(

)(1)(

)(sHsPsC

sPsCsFsGsW

⋅⋅+⋅

=+

=

Occorre dunque analizzare le radici dell’equazione:

2)5(1530

31

1)()()(1)(1+

+⋅⋅+=⋅⋅+=+sss

sK

sHsPsCsF c


- 5 -

Tali radici si ricavano risolvendo l’equazione: 0)1530)2510(30)1530()5(30)](1[ 2222 =++++⇒=+⋅++↔=+ ccc KsKssssKsssFnumcioè 0153075303 234 =++++ cc KsKsss

Se e solo se tutti i poli della f. d. t. ad anello chiuso hanno parte reale strettamente negativa il sistema è asintoticamente stabile in quanto la risposta in transitorio tende a 0 nel tempo.Il criterio che mi permette di dterminare, in modo semplice quanto veloce, il segno dei poli senza risolvere l’equazione è il criterio di Routh.In particolare, condizione necessaria e sufficiente affinchè un sistema lineare e stazionario sia asinntoticamente stabile è che gli elementi della prima colonna della tabella di Routh associata al polinomio caratteristico siano tutti dello stesso segno.Costruiamo, a questo punto, la tabella di Routh:

4

3

2

1

0

3

30

c

d

e

75

30 Kc

c’

0

0

15 Kc

0

0

0

0

Ricaviamo c, c’, d, e :

det301

⋅−=c cK3030

753 c

c KK

37530

902250−=

−=

det301

' ⋅−=c 030153 cK cK15=

det1

⋅−=c

d '3030ccK c det

3751

⋅−

−=cK

cc

c

KKK

153753030

−

c

cc

c

ccc

KK

KK

KKK−

−=−

−−⋅=

25150

30375

450)375(30


- 6 -

det1

⋅−=d

e 0'

dcc

cKc 15' ==

Per la condizione imposta sulla stabilità otteniamo il sistema:

0375 >− cK

0

25150

30 >−

−c

cc K

KK

015 >cK

Dato che 25-Kc>0, basta imporre che 015030750 2 >−− ccc KKK cioè che 0)30600( >− cc KK ,

cioè 0)30600( >− cK .In sintesi, condizione per avere asintotica stabilità sul sistema a ciclo chiuso è che

200 << cK

Essendo Kc pari a 4 e dunque appartenente all’intervallo [0,20], possiamo affermare che il nostro sistema è asintoticamente stabile.

Per avere un riscontro dei risultati ottenuti, ai fini della stabilità del sistema, si ricorre ad un metodo di indagine basato sulla conoscenza della f.d.t di anello F(s): il criterio di Nyquist.

Secondo tale metodo condizione necessaria e sufficiente per garantire l’asintotica stabilità del sistema a ciclo chiuso è che il diagramma di Nyquist completo della F(jω) circondi il punto critico (-1, j0), senza toccarlo, un numero di volte pari al numero di poli a parte reale strettamente positiva della F(s). Il numero dei circondamenti è contato positivamente in senso antiorario, negativamente in senso orario.

Nel nostro caso 2)5(1530

31

)()()()(++

⋅⋅=⋅⋅=sss

sK

sHsPsCsF c possiamo vedere che non ha poli a

parte reale positiva, ma ha un polo nell’origine con molteplicità 2.

25<cK

0

25150

30 >−

−c

cc K

KK

0>cK


- 7 -

Tracciamo il diagramma di Nyquist con Kc =4;

-1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Nyquist Diagram

Real Axis

Imagin

ary

Axis

Come potevamo aspettarci, in prossimità della pulsazione 0=ω abbiamo una singolarità nell’applicazione del suddetto criterio. Sfruttando il diagramma ottenuto in Matlab e tenendo

conto che 2234 )()(

~

)(25)(10)(2040)(

ωω

ωωωωω

jjF

jjjjjF =

+++= e che 0)(~lim

0=∠

→ω

ωjF

Si ha: πωω

−=∠+→

)(lim0

jF e πωω

+=∠−→

)(lim0

jF

Si nota dunque che per ω tendente a 0+ il diagramma di Nyquist tende asintoticamente al semiasse reale negativo, e per ω tendente a 0 - tende asintoticamente al semiasse reale >0.

e dunque, chiudendo il grafico con due mezzi giri orari da 0- a 0+ il numero dei circondamenti del punto critico rimane pari a zero. Essendo zero il numero dei poli a parte reale >0 di F(s) (si ricorda che l’aggiramento in senso antiorario nel dominio ci fa considerare, ai fini dell’applicazione del criterio di Nyquist, il polo nell’origine come polo a


-0.22 -0.2 -0.18 -0.16 -0.14 -0.12 -0.1 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02-0.1

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

+ ∞

− ∞

0

0+

−

-15 -10 -5 0

x 104

-6000

-4000

-2000

0

2000

4000

6000Nyquist Diagram

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

- 8 -

parte reale negativa), il criterio di Nyquist è verificato.

Dato che il diagramma di Nyquist interseca l’asse negativa dei reali in corrispondenza di -0.1978, siamo in presenza di una stabilità regolare, assicurata per valori del guadagno

d’anello aperto 06.51978.01~ =<K . Ciò significa che posso moltiplicare Kc =4 al massimo per

5.06. Arrivo cioè a circa 20, cioè quanto mi aveva detto il criterio di Routh.

AZIONE CORRETTRICE

Dal diagramma di Nichols della F(jω) si ha:

-360 -315 -270 -225 -180 -135 -90 -45 0-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

-100 dB

-80 dB

-60 dB

-40 dB

-20 dB

-120 dB

-1 dB

-6 dB

0.5 dB

0 dB

-3 dB 6 dB

-12 dB

3 dB

1 dB

0.25 dB

System: F Gain (dB): -15.9 Phase (deg): -186 Frequency (rad/sec): 5

Dunque si ricava che il punto di lavoro alla ωt =5 rad/s si trova in corrispondenza di:dBjF 9.15|)(| −=ω e °−=∠ 186)( ωjF .

Considerato che mφ=40° e quindi °−=+−=∠ 140)( ϕπω mjF la correzione da apportare prevede un’amplificazione di 15.9 dB e un anticipo di fase pari a 46°.Dovremo utilizzare una rete anticipatrice, caratterizzata da una f.d.t. pari a :

τsα1τs1⋅⋅+

⋅+


- 9 -

Tramite il modulo e la fase del vettore di correzione si ricava la struttura del nuovo controllore mediante il calcolo di α e τ:

τsα1τs1

)(⋅⋅+

⋅+⋅=

sK

sC c

Utilizzando il diagramma per reti anticipatrici, si ha:0970.0α ≅ e 5273.1τ ≅ ⇒ 1481.0τα ≅⋅

Con questi valori il controllore assumerà la struttura:

1481.0s15273.1s14

)(⋅+⋅+

⋅=s

sC ;

Di conseguenza la f.d.t. di anello aperto dopo la correzione è:

2345

2

2 s 25 + s 13.7 + s 2.48 + s 0.1520 + s 70.55 + s 61.1

)5(1530

1481.0s15273.1s14

31)()()()( =

++⋅

⋅+⋅+⋅⋅=⋅⋅=

sss

ssHsPsCsF

Il diagramma di Nichols della F(jω) dopo la correzione è:

-360 -315 -270 -225 -180 -135 -90 -45 0-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

-80 dB

-60 dB

-40 dB

-20 dB

1 dB

-100 dB

-1 dB

-6 dB

0.5 dB

0 dB

-3 dB 6 dB

-12 dB

3 dB

0.25 dB

System: F Gain (dB): -0.0191 Phase (deg): -140 Frequency (rad/sec): 5


- 10 -

PARAMETRI TEMPORALI CARATTERISTICI

Sfruttando, a questo punto, i parametri ottenuti nel dominio della frequenza e i legami globali otteniamo i corripondenti parametri caratteristici nel dominio del tempo, facendo riferimento alla f.d.t. a ciclo chiuso:

=⋅⋅+

⋅=

+=

)()()(1)()(

)(1)(

)(sHsPsC

sPsCsFsG

sW

500 + s 2038 + s 3169 + s 1700 +s 473.8 + s 84.62 + s 10.26 + s 0.74 + s 0.021500 + s 6113 + s 7631 + s 3045 +s 486.3 + s 27.5

2345678

23 45

=

Il guadagno statico è W(j0)=3, dunque diagrammiamo tramite Bode la W(s) normalizzata:

10-1

100

101

-270

-225

-180

-135

-90

-45

0

Phas

e (d

eg)

System: W_norm Frequency (rad/sec): 15.3 Phase (deg): -214

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

System: W_norm Frequency (rad/sec): 9.01

Magnitude (dB): -6 System: W_norm Frequency (rad/sec): 15.3 Magnitude (dB): -20

System: W_norm Frequency (rad/sec): 8.15 Magnitude (dB): -3

Mag

nitu

de (

dB)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)


- 11 -

Da questi ricaviamo:

15.83 =dBω rad/s ⇒ 30.13 =dBB Hz

01.96 =dBω rad/s ⇒ 43.16 =dBB Hz

3.1520 =dBω rad/s ⇒ 21420 −=dBϕ °

06.7' =ω rad/s ⇒ 12.1' =B Hz

31.4=rM dB 64.1=

TEMPO DI SALITA 315.043.145.045.0

6

===B

ts s

TEMPO ALL’EMIVALORE 299.043.1

|214|002.0||

002.06

20 =−⋅=⋅=B

tsϕ

s

PERIODO DI PRIMA OSCILLAZIONE 089.112.122.1

'22.1 ===B

T s

SOVRAELONGAZIONE MASSIMA 348.018.043.1

30.164.1log42.018.0log42.0

6

3 =+

⋅

⋅=+

⋅⋅= e

re B

BMs

TEMPO DI ASSESTAMENTO AL 5% 972.14.043.1

30.164.116.2

43.11

4.016.21

6

3

6%5, =

−

⋅⋅⋅=

−

⋅⋅⋅=BBM

Bt ra s


- 12 -

SIMULAZIONE

Per finire, utilizzando lo strumento di simulazione SIMULINK® verifichiamo nel dominio del tempo la correttezza dell’analisi e della sintesi svolta nel dominio di Laplace e della frequenza.

Nelle pagine successive, nell’ordine, saranno presentati i modelli e i grafici relativi all’analisi della risposta indiciale, della risposta complessiva in presenza del riferimento dato e dell’ingresso non manipolabile, infine sarà rappresentato l’errore assoluto a regime.


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