Fondamenti di Automatica e Controllo dei Veicoli Aerospaziali · Prefazione vii Fondamenti di...

ARACNE

Fondamenti diAutomatica e Controllodei Veicoli Aerospaziali

Luigi Mangiacasale

Copyright © MMVIIIARACNE editrice S.r.l.

[email protected]

via Raffaele Garofalo, 133 A/B00173 Roma

(06) 93781065

ISBN 978–88–548–1434–9

I diritti di traduzione, di memorizzazione elettronica,di riproduzione e di adattamento anche parziale,

con qualsiasi mezzo, sono riservati per tutti i Paesi.

Non sono assolutamente consentite le fotocopiesenza il permesso scritto dell’Editore.

I edizione: gennaio 2008

PREFAZIONE

Questo libro ha essenzialmente lo scopo di raccogliere in modo più

organico ed ampliato le lezioni tenute dall’Autore alla Scuola di Inge-

gneria Aerospaziale dell’Università di Roma “La Sapienza” relative

all’insegnamento di:

FONDAMENTI DI AUTOMATICA E CONTROLLO DEI

VEICOLI AEROSPAZIALI

Queste lezioni trattano soprattutto argomenti legati più specificata-

mente al controllo automatico e sono incentrate sull’impiego di quelle

tecniche di progetto dei sistemi a maglia chiusa spesso definite con-

venzionali e che sono il Luogo delle Radici, i diagrammi di Bode, di

Nyquist e di Nichols. L’insieme degli argomenti è suddiviso in venti

capitoli nei quali vengono richiamati concetti di base, ben noti a colo-

ro che hanno una cultura controllistica, e sviluppati alcuni esempi

anche complessi che possono essere di supporto ad una più immediata

comprensione di quanto è stato trattato. Vengono risolti problemi di

base legati al mondo aerospaziale per mostrare applicazioni di control-

lo automatico al satellite, al razzo, al velivolo.

Il Capitolo 1 presenta una breve introduzione alla teoria dei segnali

avente lo scopo di mostrare come si elabora un segnale, in termini di

trasformata di Fourier, per analizzarne il contenuto in frequenza

nell’ottica di una migliore comprensione del “mondo delle frequenze”

così importante nel progetto dei sistemi di controllo in generale. Il ri-

sultato dell’elaborazione consente poi di capire come rispondono i

sistemi fisici ai segnali eccitatori sposando lo spettro del segnale con

quello del sistema dinamico rappresentato dai suoi autovalori. Viene

fatto un breve accenno allo strumento Power Spectral Density (PSD)

v

vi Prefazione

L. Mangiacasale

per mostrare come anche questo possa essere impiegato, in alternativa

o insieme all’analisi di Fourier, per scoprire informazioni significative

che siano annegate in un segnale rumoroso.

Il Capitolo 2 introduce alla dinamica dei sistemi con esempi estre-

mamente semplici ma significativi. Si discute infatti il sistema

dinamico massa-smorzamento-elasticità il quale, in qualche modo,

può essere esso stesso considerato un sistema controllato. Segue

l’introduzione alla Trasformata di Laplace che gioca un ruolo impor-

tantissimo nel progetto dei sistemi di controllo nel dominio delle

frequenze. Si presenta in modo molto succinto anche l’argomento tra-

sformata inversa in quanto il suo approfondimento richiederebbe

spazio e tempo. I lettori interessati possono trovare ampi sviluppi sui

testi di Controlli Automatici. Tuttavia il metodo è ormai caduto in di-

suso nell’esecuzione dei calcoli a seguito dello sviluppo delle tecniche

computazionali legate alle variabili di stato. L’accenno alla fisiologia

del controllo può essere utile per capire eventi fondamentali su come

opera il controllo a maglia chiusa.

Il Capitolo 3 tratta l’argomento delle variabili di stato con lo scopo

essenziale di mostrare come la descrizione di un sistema dinamico nel

dominio del tempo e quella nel dominio delle frequenze sono stretta-

mente legate. La funzione di trasferimento ottenuta dalla formulazione

nel tempo consente di avere una semplicissima interpretazione, tutta-

via spesso richiamata nel seguito, di quelli che sono gli zeri delle

funzioni di trasferimento. L’essenziale discussione dell’argomento Fe-

edback serve ad introdurre l’importante problema dell’errore a regime

nei sistemi asserviti. Si presenta in modo semplicissimo il problema

ampiamente trattato in tutta la letteratura controllistica e si sviluppa un

argomento indispensabile a capire la filosofia del controllo e legato al

concetto di sensitività.

Il Capitolo 4 introduce alcuni strumenti di progetto incentrati sul

Luogo delle Radici. Si presenta il concetto di base, si danno le regole

essenziali per la tracciatura manuale del luogo unitamente a qualche

semplice esempio chiarificatore. Viene poi presentato il criterio di sta-

bilità di Nyquist applicandolo esplicitamente a sistemi stabili e a

sistemi instabili a maglia aperta. Si forniscono inoltre alcune regole,

ben note tuttavia, che consentono di completare la tracciatura del con-

torno di Nyquist quando questo sia stato ottenuto da computer ed il

sistema dinamico, cioè la funzione di trasferimento in oggetto, presen-

Prefazione vii

Fondamenti di Automatica

ti poli all’origine (integratori). Si comincia a trattare la risposta in fre-

quenza, nella sua rappresentazione sotto forma di diagrammi di Bode,

e a discutere il significato dei margini di guadagno e di fase nei sistemi

a maglia chiusa.

Il Capitolo 5 sviluppa il progetto della compensazione con l’impiego

del Luogo delle Radici, senza però ignorare alcuni aspetti più specifi-

catamente frequenziali legati alle interpretazioni di Bode e di Nyquist.

Vengono trattati i sistemi a fase non minima per metterne in risalto al-

cune peculiarità e per mostrare come questa caratteristica abbia non

trascurabile impatto sulle prestazioni ottenibili dalla maglia chiusa.

Viene poi discusso un interessante problema aeronautico per mostrare

come si possa trasformare una funzione di trasferimento a fase non

minima in una a fase minima, cosa spesse volte necessaria per ottenere

sistemi controllati di elevate prestazioni. Viene anche proposto un e-

sempio in qualche modo non aeronautico per mostrare la flessibilità

del metodo di progetto anche in problemi di convenzionale meccanica

delle macchine.

Il Capitolo 6 continua la problematica della compensazione appro-

fondendo la procedura Bode ed applicandola ad alcuni casi canonici

relativamente semplici. Vengono analizzate le caratteristiche frequen-

ziali di alcune reti di compensazione da impiegare nel progetto. Si

presentano alcuni esempi caratteristici riguardanti la compensazione

Lead e quella Lag, legandola alle richieste di prestazione del sistema a

maglia chiusa. Viene fatto un accenno al concetto di robustezza del si-

stema controllato e all’uso del diagramma di Nichols utilissimo per

affinare il progetto preliminare.

Il Capitolo 7, partendo dall’esempio significativo del doppio integra-

tore, sviluppa un semplicissimo progetto di controllo d’assetto di un

satellite dotato di un propulsore con spinta costante a direzione varia-

bile (attuazione TVC). Viene di nuovo presentato un problema

riguardante la dinamica di corto periodo del velivolo discutendone al-

cune funzioni di trasferimento di particolare interesse. Si richiama il

ben noto fenomeno del Tail Wags Dog e lo si presenta in modo al-

quanto dettagliato mettendo in risalto il significato degli zeri del TWD

in relazione alla banda passante ottenibile per la maglia chiusa. Il pro-

blema particolarmente interessante si incontra nel progetto dei sistemi

di controllo d’assetto dei razzi dotati di Thrust-Vector-Control ed è

causato dallo sbilanciamento di massa dell’elemento ruotante. Infine si

viii Prefazione

L. Mangiacasale

approfitta dell’argomento per proporre il progetto di un sistema di

controllo accelerometrico impiegato nei missili tattici atmosferici.

Il Capitolo 8 è dedicato allo studio delle reti elettriche ed ha il sem-

plice obiettivo di mostrare come si dimensionano le reti elettriche

impiegate nella compensazione dei sistemi di controllo in campo ana-

logico (Continuous Control Systems). L’argomento non appartiene

specificatamente al dominio dei sistemi di controllo ma può essere

sotto certi aspetti interessante per avere una visione d’insieme delle

varie problematiche che convivono nel mondo dell’automatica.

Il Capitolo 9 è dedicato al motore elettrico in corrente continua. Si

presentano in modo informale alcune caratteristiche costruttive e due

tabelle contenenti parametri di interesse servotecnico. Viene poi svi-

luppato il modello matematico del motore, se ne costruisce uno

schema di lavoro Simulink e si progetta una maglia chiusa affrontando

alcuni problemi di interesse come la risposta al comando e il compor-

tamento in presenza di disturbo (di coppia) esterno. L’argomento può

essere interessante dato che il motore elettrico viene sovente impiegato

nei sistemi di controllo angolare dei satelliti quando si usino ruote

d’inerzia o giroscopi. Una semplice applicazione viene infatti presen-

tata relativa al progetto di un sistema di controllo d’assetto (Pitch) con

ruota d’inerzia.

Il Capitolo 10 è dedicato ad un argomento (Cart with Pendulum) che

non appartiene al mondo aerospaziale in senso stretto ma che coinvol-

ge eventi servotecnici con interessanti ricadute su di questo. Viene

progettato il sistema di compensazione per due situazioni interessanti

(Bob-down e Bob-up) la prima delle quali è caratterizzata da una di-

namica stabile e la seconda da una instabile. Lo studio viene poi

completato con il progetto di una forzante ottima che stabilisce come

eccitare in tensione, in funzione del tempo, il motore elettrico che

muove il Cart per portare il pendolo dalla posizione iniziale down a

quella finale up. Nelle vicinanze della posizione up entra in azione il

controllore automatico il quale corregge eventuali errori, della dinami-

ca a maglia aperta, in posizione del Cart ed in angolo del pendolo e

mantiene quest’ultimo nella condizione up con errori minimi.

Il Capitolo 11 introduce alcuni semplici concetti distintivi della Gui-

da e del Controllo e presenta un primo esempio (definito primordiale)

di controllo angolare del corpo rigido. Si farà riferimento ad un satelli-

te (Spacecraft) dotato di propulsione e se ne progetta un semplicissimo

Prefazione ix


sistema di controllo d’assetto, con l’impiego del luogo delle radici,

sfruttando il principio del Thrust-Vector Control (TVC). Viene suc-

cessivamente trattato un problema di particolare interesse legato al

controllo di un sistema elastico. Si tratta di progettare la compensazio-

ne per un satellite composto da due corpi collegati tra di loro da un

elemento elastico. Si introducono i concetti di co-locazione e di non

co-locazione misura-controllo che trovano ampio riscontro nei sistemi

Multi-Body.

Il Capitolo 12 introduce il concetto di sistema Multi-Loop per mo-

strare come si possano migliorare le prestazioni della maglia chiusa

(qualora ciò sia richiesto) rispetto al caso precedentemente analizzato

di Single-Loop con compensazione dinamica. Si indica come deve es-

sere strutturato il sistema per rispondere a diversi requisiti tecnici quali

capacità di inseguimento del comando, robustezza e insensitività. Si

mostra ancora, in modo molto semplice, come si può affrontare il pro-

blema del rumore di misura che spesso costruisce severi limiti alle

prestazioni in termini di precisione e stabilità del puntamento.

Il Capitolo 13 è dedicato allo studio dello Sloshing e contiene uno

sviluppo relativamente semplice delle equazioni che consentono di

modellizzare la dinamica delle masse liquide all’interno dei serbatoi di

razzi e di satelliti soprattutto in fase propulsa. Nota questa dinamica è

quindi possibile valutare le azioni inerziali che dette masse esercitano

sul razzo in modo da poter poi progettare un sistema di controllo

d’assetto per un satellite presentato in un successivo capitolo.

L’insieme costituito dal Capitolo 14 e dal Capitolo 15 è dedicato allo

studio delle traiettorie. Vengono sviluppate innanzitutto le equazioni

di moto della massa puntiforme, su terra sferica e ruotante, corrente-

mente impiegate negli studi di ottimizzazione di traiettorie. Esse

vengono poi applicate alla soluzione (ottimizzazione) di un semplice

problema di iniezione in orbita di un corpo (Spacecraft) propulso da

un motore a razzo a propellente liquido. Infine di studia l’influenza

della rotazione terrestre sulla traiettoria di razzi non guidati a corta-

media gittata per mostrare che questa rotazione deve essere presa in

considerazione nella costruzione di tavole di tiro quando la velocità di

volo e/o il tempo di volo sono rilevanti. Viene inoltre affrontato un

semplice problema riguardante la stabilità locale delle orbite e legato

ad alcuni risultati trovati nel capitolo successivo. Il Capitolo 16 af-

fronta il problema del controllo di assetto e di traiettoria dello

x Prefazione

L. Mangiacasale

spacecraft per la realizzazione di una corretta iniezione in orbita e pra-

ticamente conclude l’argomento aperto con il Capitolo 14. Viene

infatti verificato che il semplice controllo d’assetto non è sufficiente a

garantire la corretta (quella ottima progettata nel Capitolo 15) traietto-

ria di inserimento in orbita quando sul corpo agiscano varie azioni

disturbanti generate per esempio dal disassamento della spinta, oppure

quando esistano differenze tra le condizioni iniziali del progetto nomi-

nale ottimo e quelle reali. Si studiano allora dei Loops di controllo che

operano sull’errore di pendenza e su quello di quota (o raggio) per ri-

stabilire la funzionalità e recuperare i voluti livelli di prestazione.

Rimangono tuttavia da approfondire alcuni aspetti legati alla stabilità

del controllo in posizione (pendenza di traiettoria e quota) ed alla pre-

cisione dei parametri orbitali in funzione delle condizioni finali di

iniezione. Si propone allo scopo un semplice metodo per quantificare

le caratteristiche di un’orbita collegate all’incertezza (errori di veloci-

tà, di pendenza e di raggio) nelle condizioni di iniezione.

L’insieme dei successivi quattro capitoli tratta l’argomento Minilan-

ciatore. Nel Capitolo 17 viene progettata una traiettoria ottima di

salita per un piccolo non orbitale lanciatore a due stadi. Si tratta di cal-

colare una legge di guida (chiamata spesso Thrust Angle-of-Attack)

che consenta al lanciatore di raggiungere la massima velocità finale

per il primo e per il secondo stadio rispettivamente con il vincolo dato

di assegnate pendenze finali (per ognuno dei due stadi) della traietto-

ria. La verifica della legge di guida ottenuta verrà successivamente

condotta con l’impiego di un modello matematico a sei gradi di libertà

su terra sferica e ruotante del corpo rigido. Viene infine discusso in

modo molto sintetico il problema che va sotto il nome di Gravity-Turn

e che può essere qualche volta interessante nello studio di primo ap-

proccio delle traiettorie dei lanciatori.

Il Capitolo 18 indica come detto modello matematico (della meccani-

ca del volo) sia stato costruito in ambiente Simulink. Questo modello

è stato anche utilizzato per il progetto del sistema (o leggi) di controllo

sviluppato nel Capitolo 19. A conclusione di questa fase di studio si

scopre che il controllore d’assetto non è sufficiente a garantire l’otte-

nimento della traiettoria ottima in quanto i vari disturbi in fase di

separazione, l’azione della spinta fuori asse del propulsore principale e

quella del vento (fatti necessariamente ignorati nello sviluppo della

guida ottima) alterano la traiettoria in modo rilevante. Per realizzare

Prefazione xi


una traiettoria quasi-ottima è stato necessario progettare un sistema di

controllo a maglia chiusa che operi almeno sull’errore di pendenza e lo

corregga.

Il Capitolo 20 è dedicato al progetto di detta legge di controllo ed alla

sua verifica mediante simulazioni non lineari. Si dimostra che il siste-

ma riacquista funzionalità quasi ottimale e si mostra come l’azione del

vento dopo la separazione del primo stadio abbia un notevole impatto

sulla durata consentita della fase di Coasting del secondo, almeno per

il caso esaminato. Il controllore di quota non è stato preso in conside-

razione ma può essere agevolmente sviluppato con semplici estensioni

del modello Simulink.

Chiude il tutto l’Appendice A che contiene esercizi e problemi di va-

ria natura - anche non aerospaziale - che possono essere affrontati e

risolti con le tecniche messe a punto nel corpo del volume.

Ruota d’inerzia

xii Prefazione

L. Mangiacasale

Nella speranza che gli argomenti trattati abbiano suscitato l’inte-

resse degli ascoltatori o dei lettori e che possano rappresentare per

qualcuno di essi un modestissimo punto di partenza per attività più

consistenti, l’Autore augura a tutti un felice e fattivo futuro industriale

o accademico.

Grazie per l’attenzione e buona fortuna.

Mangiacasale Luigi

Roma - Novembre 2007

Università degli Studi di Roma “La Sapienza”

Scuola di Ingegneria Aerospaziale

Stadio di trasferimento d’orbita


CONTENUTO

PREFAZIONE v

CONTENUTO xiii

Capitolo 1 - SEGNALI E SISTEMI 1

1.1 Introduzione 1

1.2 La Serie di Fourier 2

1.3 Elaborazione su segnali campionati 6

1.4 Conclusioni sull’elaborazione 11

1.5 Dinamica dei sistemi 11

1.6 Alterazione di segnale 16

1.7 Analisi di Power Spectral Density 21

1.8 Conclusioni 25

Simboli e Notazioni 26

Riferimenti - Bibliografia 27

Capitolo 2 - DINAMICA DEI SISTEMI 29

2.1 Sistemi dinamici 29

2.2 Semplici concetti sulla stabilità 29

2.3 Equazioni della dinamica 30

Esempio 1 31

Esempio 2 34

2.4 Osservazioni 37

2.5 La Trasformata di Laplace 42

Esempio 3 42

Esempio 4 44

Esempio 5 44

2.6 Teoremi sulla Trasformata 44

Il Teorema del Valore Finale 47

Esempio 6 48

Esempio 7 49

Esempio 8 49

2.7 La Trasformata inversa di Laplace 49

Esempio 9 50

Esempio 10 51

2.8 Frazioni Parziali - Residui 52

xiv Contenuto

L. Mangiacasale

2.9 La Funzione di Trasferimento 57

Esempio 11 59

2.10 Fisiologia del controllo 60

2.11 Un esempio non aeronautico 64

2.12 Alcuni concetti 68



Capitolo 3 - VARIABILI DI STATO 71

3.1 Variabili di stato 71

Esempio 1 74

3.2 Autovalori Autovettori 76

3.3 Zeri-Poli 77

3.4 Preparazione al Feedback 78

3.5 Architettura del Feedback 79

3.6 Errore a regime 81

Esempio 2 86

3.7 Introduzione alla stabilità 89

Esempio 3 90

3.8 Argomentazioni sul Feedback - Sensitività 92

3.9 Algebra degli schemi a blocchi 95

Esempio 4 96

3.10 Dal dominio t al dominio s 97

Esempio 5 99



Capitolo 4 - STRUMENTI DI PROGETTO 105

Luogo delle Radici

4.1 Introduzione 105

4.2 Luogo delle Radici 106

Tracciatura del luogo 109

Le regole del luogo 111

Esempio 1 113

Criterio di Nyquist

4.3 Il criterio di Nyquist 115

Esempio 2 120

Esempio 3 121

Risposta in Frequenza

4.4 Definizioni 122

Esempio 4 123

4.5 I diagrammi di Bode 124

Definizioni 124

Il diagramma asintotico 127

Esempio 5 131

Contenuto xv


Impiego degli Strumenti

4.6 Margini - Uso dei diagrammi 133

Impiego dei diagrammi di Nyquist 134

Impiego dei diagrammi di Bode 136

Impiego del diagramma di Nichols 137

Alcune riflessioni sui margini 138

Analisi del Time Delay 141

Esempio 6 143

4.7 Alcuni approfondimenti 146

Il Break-away point 146

Esempio 7 148

Valutazioni grafiche 149

Considerazioni sulla risposta in frequenza 152

4.8 Conclusioni 154



Capitolo 5 - COMPENSAZIONE - I 157

Luogo delle Radici - Nyquist


5.2 Definizione di architetture 159

5.3 Progetto della compensazione 160

Esempio 1 161

Esempio 2 164

Sistemi a Fase non-minima

5.4 Definizione 168

Esempio 3 168

5.5 Controllo di un sistema 169

Esempio 4 169

Esempio 5 172

Applicazioni caratteristiche

5.6 Un problema aeronautico 174

5.7 Un esempio non aeronautico 178

Equazioni di moto 179

Sviluppo del progetto 180

5.8 Studio di un puntatore di sole (Sun-seeker) 186

Generalità 186

Progetto dell’asservimento 188

5.9 Conclusioni 192

Capitolo 6 - COMPENSAZIONE - II 193

Nyquist - Bode - Nichols


6.2 La Funzione di Trasferimento e Bode 194

Esempio 1 197

xvi Contenuto

L. Mangiacasale

6.3 Reti di compensazione 198

6.4 Caratterizzazione asintotica 207

Esempio 2 208

Esempio 3 209

6.5 Progetto della compensazione 210

Il doppio integratore 211

Integratore semplice e filtro (comp. Lead) 214

Integratore semplice e filtro (comp. Lag) 217

Paragone Lead-Lag 219

6.6 La robustezza del sistema 220

6.7 Architettura della maglia 223

6.8 Alcune relazioni utili 224

Rapporto di smorzamento 225

Pulsazione propria 226

Alcune definizioni 228

6.9 Conclusioni 230


Capitolo 7 - IL DOPPIO INTEGRATORE - TWD 231


7.2 Le equazioni 231

7.3 Applicazione al satellite 235

7.4 Reti di compensazione 239

FdT del Corto Periodo

7.5 Generalità 243

7.6 Esempio Short-Period 244

7.7 La FdT dell’accelerazione normale 247

Tail Wags Dog

7.8 Introduzione al TWD 249

7.9 Equazioni di moto 250

7.10 Progetto del sistema di controllo 253

7.11 Interpretazione degli zeri del TWD 257

7.12 Sviluppo dell’equazione (7.8) 259

Applicazione di Corto Periodo

7.13 Il Corto Periodo semplificato 261

7.14 Il controllo del missile tattico 263

7.15 Alcune considerazioni sulle FdT del lanciatore 269



Capitolo 8 - RETI ELETTRICHE 273


8.2 Reti elettriche 273

Rete RLC - Serie 274

Rete RLC - Parallelo 282

Contenuto xvii


Impiego delle impedenze complesse 285

Rete Lead 286

Rete Lag 289

Rete Bridged-T (1) 291

Rete Lag-Lead 295

Rete Bridged-T (2) 297


Capitolo 9 - IL MOTORE ELETTRICO 303


9.2 Il motore in corrente continua 303

9.3 Dati caratteristici 308

9.4 Un modello matematico 308

9.5 Uno schema Simulink 312

9.6 Progetto di un sistema 313

Analisi preliminare e progetto 313

Progetto per disturbo esterno 314

Una simulazione 319

9.7 Uno schema di lavoro 320

IL SATELLITE CON RUOTA D’INERZIA

9.8 Controllo d’assetto con ruota d’inerzia 322

Generalità 322

Il sistema ruota-motore 323

Progetto della compensazione 327

Risposta a disturbo esterno 330

Risposta a condizione iniziale 331

Conclusione 332



Capitolo 10 - IL PENDOLO 335


10.2 Equazioni di moto ed autovalori 335

10.3 Il controllo della configurazione Bob-down 344

10.4 Il controllo della configurazione Bob-up 351

10.5 Erezione del pendolo 359

Generalità 359

Preparazione del problema 359

Le equazioni di moto 362

Il programma Driver 365

Il processo di ottimizzazione 370

Simulazione della manovra e controllo 373

10.6 Conclusioni 378



xviii Contenuto

L. Mangiacasale

Capitolo 11 - LA GUIDA ED IL CONTROLLO 381


Esempio 1 381

Esempio 2 382

Esempio 3 384

11.2 Primi schemi di controllo 386

11.3 Esempio di sistema da controllare 389

11.4 Progetto di compensazione per un satellite 392

11.5 Gli zeri della FdT e la risposta transitoria 397

11.6 Satellite composto 401

Equazioni di moto 401

Progetto della compensazione - sistema A 406

Progetto della compensazione - sistema B 412




Capitolo 12 - I SISTEMI MULTI-LOOP 421


12.2 Introduzione ai sistemi Multi-Loop 422

12.3 Un progetto di compensazione del satellite 424

12.4 Progetto per un comando a rampa 429

12.5 Risposta a disturbo esterno 431

12.6 Analisi di sensitività 432

Variazioni parametriche 432

Variazioni di banda passante 433

12.7 Risposta al rumore di misura 434

12.8 Conclusioni sul controllo 437



Capitolo 13 - LO SLOSHING 441


13.2 Equazioni dello Sloshing-Pendulum 442

13.3 Azioni sul razzo 447

13.4 La funzione di trasferimento 448

13.5 Caratterizzazione servotecnica 451

13.6 Progetto del sistema di controllo 457




Capitolo 14 - TRAIETTORIE 461

14.1 Terne di riferimento - Equazioni 461

14.2 Le forze agenti 467

14.3 Forma intermedia delle equazioni 470

Contenuto xix


14.4 Forma finale delle equazioni 471




Capitolo 15 - INIEZIONE IN ORBITA 477

15.1 Introduzione - Equazioni 477

15.2 Una soluzione 481

Esempio - Lancio verso East 489

Esempio - Lancio verso West 492

15.3 Analisi di stabilità 493

Un modello Simulink 493

15.4 Soluzioni “alla Bryson” 500

Una introduzione formale al metodo 500

Formulazione del problema e soluzione 505




Capitolo 16 - CONTROLLO DELL’INIEZIONE 521


16.2 Progetto del controllore d’assetto 523

Maglia di velocità angolare 524

Maglia di assetto 527

16.3 Verifica del progetto ottimo 529

16.4 Controllo di traiettoria 532

Controllore di pendenza 532

Controllore di raggio 538

Analisi dell’influenza sull’orbita 543

Considerazioni sul progetto sviluppato 544

16.5 Accuratezza di iniezione 548



Capitolo 17 - MINILANCIATORE Traiettoria di Salita 555


17.2 Equazioni di moto 556

17.3 I programmi di calcolo 558

17.4 Risultati 566

17.5 Traiettorie sulla terra 570

Esempio 573

16.6 La Gravit-Turn 574



xx Contenuto

L. Mangiacasale

Capitolo 18 - MINILANCIATORE Modello Matematico 581


18.2 Il sistema completo 583

18.3 Il modello dell’aerodinamica 586

18.4 Il modello della propulsione 587

18.5 Sintesi delle equazioni di moto 589

Equazione delle forze 589

Equazione dei momenti 591

Equazioni di traiettoria 591

Equazioni di assetto 593



Capitolo 19 - MINILANCIATORE Controllo d’Assetto 595


19.2 La maglia di accelerazione normale 597

Generalità - Architettura 597

Luogo delle radici del sistema basico 598

Il sistema con compensazione dinamica 601

19.3 La maglia di velocità angolare 604


Analisi della maglia 605

19.4 Il controllo d’assetto 609

Conclusioni sul progetto dei Loops interni 609


Analisi della maglia 610

Alcune considerazioni 613

19.5 Il modello di simulazione 614

Un Sample Case 614

Alcune considerazioni 618

19.6 Estrazione delle matrici 619


Capitolo 20 - MINILANCIATORE Controllo di Pendenza 625


20.2 La maglia di pendenza 626

20.3 Simulazione del sistema 630

Architettura del sistema di comando 630

Risultati di simulazione 631

Influenza del ritardo di accensione 634

20.4 Il modello di simulazione Simulink 635

Presentazione di qualche elemento 635

Lancio della simulazione 637


APPENDICE A - INDICE 641

1

1. CAPITOLO 1

SEGNALI E SISTEMI

1.1 Introduzione

L’analisi ed il progetto dei sistemi di controllo non può prescindere da una inequivocabile comprensione fisiologica dei fenomeni chiamati in causa. Un generico sistema controllato o non controllato, per il momento non specificatamente individuato, vive di segnali che corro-no nel suo circuito e ad essi risponde attraverso quella che viene chiamata correntemente la sua dinamica. È quindi conveniente dare a questi segnali una qualche caratterizzazione che possa poi essere utile alla comprensione della dinamica esplicitata dal sistema e nell’appli-cazione delle teorie e delle tecniche di progetto dei sistemi di controllo automatico. Uno strumento fondamentale nello studio dei segnali è co-stituito da quella che viene correntemente chiamata l’analisi di Fourier. Non si entrerà naturalmente nei dettagli alquanto complessi della teoria sulla quale poggia lo strumento, ma si indicherà nel seguito del capitolo come questo possa essere impiegato per inter-pretare la struttura, o composizione, di un segnale. Una volta circoscritto il problema si passerà ad analizzare il comportamento di-namico di qualche sistema per trarre le opportune conclusioni che possono essere sintetizzate in: • come sono strutturati i segnali, • come rispondono i sistemi dinamici quando da questi segnali ven-

gono eccitati.

Capitolo 1

L. Mangiacasale

2

Nel paragrafi seguenti si presenterà in modo alquanto conciso il pro-blema dell’espansione in serie di Fourier di una funzione del tempo e si analizzeranno alcuni casi applicativi ricorrendo anche allo strumen-to di calcolo numerico contenuto nel Rif. 1-1.

1.2 La serie di Fourier

Lo sviluppo in serie di Fourier di una funzione periodica f(t) con periodo T viene definito in forma cartesiana come:

0

2 2( ) cos( ) sin( )

N

k k

k

kt ktf t A B

T T

π π→∞

=

= + ∑ (1.1)

nella quale i coefficienti della serie sono rappresentati da:

/ 2

/ 21, 2, ....

2 2( )cos( ) ,

T

kT

kkt

A f t dtT T

π−

= ∞= ∫ (1.2)

/ 2

0 / 2

2( )

T

TA f t dt

T −= ∫

/ 2

/ 21, 2,....

2 2( )sin( ) ,

T

kT

kkt

B f t dtT T

π−

= ∞= ∫ (1.3)

0 0B =

In sintesi le formule (1.2) ed (1.3) consentono di valutare i coefficienti della serie i quali, inseriti poi nell’equazione (1.1), permettono di rico-struire l’originaria funzione del tempo. Il procedimento potrebbe sembrare a prima vista una tautologia, tuttavia esso può essere utilis-simo per capire quanto sono importanti le singole componenti nella ricostruzione della funzione originaria. Infatti la ricostruzione sarebbe perfetta solo se venisse impiegato un numero infinitamente elevato (N→∞) di componenti. L’impiego della (1.1) è quindi utile per scopri-re quante componenti sono necessarie per ricostruire in modo accettabile un segnale funzione del tempo quando di questo siano stati calcolati i coefficienti della serie di Fourier. Questo strumento pertanto può essere usato per dare una caratterizzazione frequenziale al segna-

Fondamenti di Automatica e Controllo dei Veicoli Aerospaziali · Prefazione vii Fondamenti di...

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