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Lezione 9. Calcolo dell’antitrasformata di Laplace

F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez. 9 2

Schema della lezione

1. Introduzione

2. Antitrasformazione di Laplace

3. Strumenti per l’antitrasformazione

4. Teorema del valore iniziale

5. Teorema del valore finale

6. Antitrasformazione mediante sviluppo di Heaviside

F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez. 9 3

1. Introduzione

S yu

Equazioni algebriche

Equazioni differenziali

( )tu

Dominio del tempo

Dominio delle

trasformate

L

1-L

( )sU

( )ty ( )sY

F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez. 9 4

t0

( )tf2

( )tf1

( )tf

0≥t

Si ha corrispondenza biunivoca considerando uguali le funzioni che lo sono:

• per • a meno di un insieme di misura

nulla (singoli punti) 1−L

L

( )tf ( )sF

2. Antitrasformazione di Laplace

( )tf1

( )tf2

-1L( )tf

( )sFL

L

F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez. 9 5

( ) ( )[ ]sFtf1−

=L

3. Strumenti per l’antitrasformazione di Laplace

Formula esplicita

Teorema del valore iniziale

Teorema del valore finale

Sviluppo di Heaviside (solo per razionale)( )sF

( )0f

( )∞f

F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez. 9 6

( ) ( )[ ]tfsF L=

( ) ( )ssFfs ∞→

= lim0 se esiste finito

4. Teorema del valore iniziale

F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez. 9 7

( ) ( )[ ] ( )[ ] 22cosω+

=ω==s

sttfsF LL

( ) ( )[ ] ( ) ( ) 22

2

0?0ω+ω−

=−==s

fssFtff L

( ) ( ) 1lim0 ==∞→

ssFfs

infatti ( ) ( ) 10cos0 ==f

( ) 0lim0 22

2

=ω+ω−

=∞→ s

sfs

infatti ( ) ( ) 00sin0 =−=f

Esempio

F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez. 9 8

( ) ( ) ( )ssFtffst 0limlim →∞→

=≡∞

( )sF ha solo:• poli con parte reale negativa• poli nulli, cioè in 0=s

Ipotesi

se esiste finito

5. Teorema del valore finale

( ) ( )[ ]tfsF L=

F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez. 9 9

Poli in ω± j il Teorema del valore finale non è applicabile !

( ) ( )[ ] 22cosω+

=ω=s

stsF L

( ) 11lim0

=⋅=∞→ s

sfs

( ) ( )[ ]s

tsF 1sca ==L

Esempio

F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez. 9 10

Applicabile solo per razionali( )sF

( ) ( )( ) nm

asasabsbsb

sDsNsF

nnn

mmm

≤++++++

== −

−

1

10

110

( ) ( ) ( ) ++= sFsFsF 21

( ) ( ) ( )tftftf =++ 21

6. Antitrasformazione mediante sviluppo di Heaviside

1−L 1−L

L’idea è scomporre nella somma di elementi per i quali è nota l’antitrasformata.

( )sF

F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez. 9 11

Si considerano solo i seguenti casi:

con poli reali distinti

con poli reali multipli

con poli complessi coniugati

con grado del denominatoreuguale al grado del numeratore (m=n)

( )sF

( )sF

( )sF

( )sF

F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez. 9 12

( )n

n

pspspssF

+α

++α

++α

= 2

2

1

1

1−L

tpe 11

−α tpe 22

−α ( ) ∑=

−α=n

i

tpi

ietf1

( ) ( )( ) ( )npspspsasD +++= 210

ip−poli in con ji pp ≠ ji ≠ ,

1−L

Poli reali distinti

0≥ttp

nne−α

1−L

F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez. 9 13

Esempio( ) ( )( )16

2++

+=

sssssFCalcolare l’antitrasformata di

( ) ( )( ) =+α

++α

+α

=++

+=

16162 321

ssssssssF

( )( ) ( ) ( )( )( ) =

+++α++α+++α

=16

6116 321

sssssssss

( ) ( )( )( )16

667 13212

321

++α+α+α+α+α+α+α

=sss

ss

=α=α+α+α

=α+α+α

26167

0

1

321

321

Devono essere uguali

F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez. 9 14

=α=α+α+α

=α+α+α

26167

0

1

321

321

Bisogna risolvere un sistema di tre equazioni in tre incognite

=α

=α+α+

=α+α+

31

1637

031

1

32

32

=α

=α+−α−

−α−=α

31

1631

37

31

1

33

32

=α

−=α

−α−=α

31

51

31

1

3

32

−=α

−=α

=α

5115

23

1

3

2

1

( ) ( )( ) 15

1

615

23

1

162

+−

+−=

+++

=ssssss

ssF

F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez. 9 15

E’ quindi possibile calcolare l’antitrasformata

( ) ( )( ) 15

1

615

23

1

162

+−

+−=

+++

=ssssss

ssF

( ) ( ) 0per 51

152sca

31 6 ≥−−= −− teettf tt

Si può scrivere anche così:

( ) 0per 51

152

31 6 ≥−−= −− teetf tt

F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez. 9 16

( ) ( ) 1>+= kpssD k

( )( ) ( )

++β

+++β

++β

+= kk

pspspssF 2

21

pte−β1ptte−β2

( )pt

k

k ekt −

−

−β

!1

1

1−L 1−L 1−L

Poli reali multipli

Ci possono essere poli multipli

F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez. 9 17

Esempio( ) ( )1

22 ++

=ss

ssFCalcolare l’antitrasformata di

=α=α+α=α+α

210

12

1211

211

Devono essere uguali

( ) ( ) =+α

+α

+α

=++

=11

2 221211

2 sssssssF

( ) ( )( ) =+

α++α++α=

111

2

221211

ssssss

( ) ( )( )12

1212112

211

+α+α+α+α+α

=ss

ss

=α=α−=α

12

1

2

12

11

F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez. 9 18

( ) ( ) 1121

12

22 +++−=

++

=sssss

ssF

E’ quindi possibile calcolare l’antitrasformata

( ) ( ) ( ) 0per ram2sca ≥++−= − tetttf t

Si può scrivere anche così:

( ) 0per 21 ≥++−= − tettf t

F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez. 9 19

( ) ( )( ) ω+σ−ω−σ−= jsjssD

( )( )

+ω+σ−

γ+β+=

22sssF

( ) 22 ω+σ−s poli in ω±σ j

1−L

Poli complessi coniugati

( ) ( ) ( ) 222222 ω+σ−ω

ωβσ+γ

+ω+σ−

σ−β=

ω+σ−βσ+βσ−γ+β

sss

ss

1−Lte t ωσ cos te t ωσ sin

F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez. 9 20

( ) ( ) ( ) ...sincos... +ωωβσ+γ

+ωβ+= σσ tetetf tt 0≥t

( )( )

+ω+σ−

γ+β+=

22sssF

1−L

F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez. 9 21

Esempio( ) ( )( )252

432 +++

−=

sssssFCalcolare l’antitrasformata di

( ) ( )( ) =++γ+β

++α

=+++

−=

52225243

22 sss

ssssssF

( ) ( )( )( )( ) =

++++γ+β+++α

=252

2522

2

sssssss

( ) ( ) ( )( )( )252

25222

2

+++γ+α+γ+β+α+β+α

=sss

ss

−=γ+α=γ+β+α

=β+α

425322

0

Devono essere uguali

=γ=β−=α

32

2

F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez. 9 22

( )52

322

22 ++

++

+−=

sss

ssF

Si ha quindi la seguente scomposizione:

( ) ...2 2 +−= − tetf ?

Non ha un’antitrasformata immediata

( ) =+++

++

+−=

+++

++

−=412

322

252

322

222 ss

ssss

ss

sF

E’ però possibile riscrivere il denominatore del secondo termine in modo differente:

( ) 4132

22

2 +++

++

−=s

ss

Qual è l’antitrasformata ?

F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez. 9 23

( ) ( ) ( )=

+++

+++

=++

+41

241

141

3222212 s

ks

sks

s

( ) 22 ω+σ+ω

s

( ) 22 ω+σ+σ+

ss

( ) 0per sin ≥ωσ− tte t

( ) 0per cos ≥ωσ− tte t

Quindi:

Pro memoria

( ) 412

2211

++++

=s

kksk

=+=

322

21

1

kkk

=

=

212

2

1

k

k

F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez. 9 24

E’ quindi possibile calcolare l’antitrasformata

( )( ) ( ) 41

221

4112

22

22 +++

+++

++

−=ss

ss

sF

( ) ( ) ( ) 0per 2sin212cos22 2 ≥++−= −−− tteteetf ttt

F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez. 9 25

Se il numeratore e il denominatore hanno lo stesso grado, nella scomposizione di bisogna aggiungere un termine costante.

( ) 0α+=sF

( ) ( )ttf imp... 0α+=

1−L

( )sF( )sN ( )sD

Grado relativo nullo (m=n)

F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez. 9 26

Esempio( ) ( )

( )12 2

++

=ss

ssFCalcolare l’antitrasformata di

( ) ( )( ) =α+

+α

+α

=++

= 021

2

112

ssssssF

( ) ( )( ) =+

+α+α++α=

111 021

ssssss

( )( )1

10212

0

+α+α+α+α+α

=ss

ss

=α=α+α+α

=α

44

1

1

021

0

Devono essere uguali

−=α=α=α

141

2

1

0

F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez. 9 27

E’ quindi possibile calcolare l’antitrasformata

( ) ( ) ( ) 0per impsca4 ≥+−= − ttettf t

Si può scrivere anche così:

( ) ( ) 0per imp4 ≥+−= − t tetf t

( ) =++

−= 11

14ss

sF

F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez. 9 28

( ) ( ) ( )tutyty +−=

( ) ( )s

sYs 141 +=+

( ) ( )11

14

++

+=

ssssY

( ) ( )( ) ( )sUsYyssY

+−==−

0( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]tusU

tysY

LL=

=

Esempio esplicativo(Trasformazione di Laplace per la risoluzione di equazioni differenziali)

( ) ( )ttu sca=( ) 40 =y

Con( ) ( ) ( ) ( )sUsYyssY +−=− 0

F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez. 9 29

111+

−ss

te−4

( ) ( )11

14

++

+=

ssssY

)(sca t te−−( )1314

+=

=−+=−

−−

t

tt

eeety

0≥tper