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F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 8 1

Lezione 8.

Luogo delle radici


1. Introduzione

2. Definizione

3. Regole di tracciamento

4. Analisi di sistemi retroazionati mediante luogo delle radici

5. Sintesi di controllori mediante luogo delle radici

Schema della lezione


1. Introduzione

Il luogo delle radici è uno strumento grafico per l’analisi e lasintesi di sistemi retroazionati. Sarà definito a tempo continuo.Il tracciamento a tempo discreto è (ovviamente, come vedremo)identico; diverso è il modo in cui deve essere usato per l’analisi.

E’ un ulteriore metodo di progetto non basato sull’analisi infrequenza (loop shaping) ed è applicabile anche a processi percui non valgono le ipotesi di applicabilità del criterio di Bode(quindi anche i sistemi instabili).

E’ applicabile solo a sistemi descritti da funzioni di trasferimentorazionali (quindi non può trattare ritardi).


2. Definizione

Si consideri il seguente sistema retroazionato

w y

–+ L(s)

dove

sD

sN

ps

zs

sLn

ii

m

ii *

1

1

I poli del sistema in anello chiuso coincidono con le radici dell’equazione caratteristica

01 sL


Definizione

Si definisce luogo delle radici, il luogo geometrico dei punti delpiano complesso descritto dalle radici dell’equazionecaratteristica al variare del parametro ρ da –∞ a +∞ con ρ≠0.

In particolare, si dice luogo diretto (LD) la parte di luogo delleradici corrispondente a ρ>0 e luogo inverso (LI) la parte diluogo corrispondente a ρ<0.

Note

La costante di trasferimento ρ è proporzionale al guadagno d’anello .

Il caso ρ=0 corrisponde all’assenza di retroazione.


l’equazione si può scrivere come da cui:

sD

sNsL

*

01 sL

Dal momento che

01*

sD

sN

1*

sD

sN

Essendo la precedente un’equazione in campo complesso, i valori di s (complessi) che la soddisfano devono soddisfare le seguenti due equazioni, una per il modulo ed una per la fase:

1

*

sD

sN

(LI) 0 , 1802

(LD) 0 , 18012arg180argarg *

k

ksDsN k intero

Caratteristiche principali


L’equazione per la fase caratterizza geometricamente il luogo; quella relativa al modulo fornirà la punteggiatura in ρ.

Infatti:

m

ii

m

ii

m

ii zszssN

111

* argargarg

n

ii

n

ii

n

ii pspssD

111

argargarg

dove θi e φi indicano gli angoli formati dalla congiungente il generico punto s, rispettivamente, con lo zero –zi e con il polo –pi, con il semiasse reale positivo.

Im s

Re×–p1 –z1

–z2

–z3

φ1

θ2

θ3

θ1

η1

λ2

λ3λ1


I punti s del piano complesso per cui risulta

1801211

kn

ii

m

ii

appartengono al luogo diretto.

I punti s del piano complesso per cui risulta

180211

kn

ii

m

ii

appartengono al luogo inverso.

I punti s del piano complesso per cui non risulta verificata nessuna delle due precedenti non appartengono al luogo.


Per punteggiare in ρ i punti del luogo delle radici, cioè per assegnare ad ogni punto del luogo il corrispondente valore di ρ si sfrutta l’equazione del modulo.

1

1

1

*

n

ii

m

ii

ps

zs

sD

sNDefinendo ii zs

ii ps

per i soli punti s appartenenti al luogo

si può scrivere:

m

ii

n

ii

1

1

sIm

Re×–p1 –z1

–z2

–z3

φ1

θ2

θ3

θ1

η1

λ2

λ3λ1


Matlab

Una volta definita nel Workspace una funzione d’anello L è possibile tracciare il luogo delle radici con il comando

>> rlocus(L)

Per tracciare il luogo inverso è sufficiente usare il comando

>>rlocus(-L)


3. Regole di tracciamento

Si danno 11 regole che consentono il tracciamento (qualitativo) delluogo delle radici, ovvero l’individuazione dei punti del pianocomplesso che appartengono al luogo.

Ciò è particolarmente utile per effettuare analisi di sensitività delleprestazioni di un sistema retroazionato rispetto al guadagnod’anello.


Regola 1

Il luogo delle radici è costituito da 2n rami: n del luogo diretto ed ndel luogo inverso.

Regola 2

Il luogo delle radici è simmetrico rispetto all’asse reale.

Regola 3

I rami sono orientati e partono dai poli di L(s) (con ρ = 0).

Regola 4

I rami arrivano negli zeri (per ρ→∞). In particolare, considerandogli n rami di uno dei due luoghi, m rami arrivano negli zeri di L(s)e i restanti ν rami tendono all’infinito, dove ν = n–m è il gradorelativo di L(s).


Regola 5

I rami che tendono all’infinito lo fanno lungo asintoti che si intersecano sull’asse reale nel punto di ascissa

n

ii

m

iia pzx

11

1

e formano con l’asse reale angoli pari a

(LI) 0 , 1,,1,0 , 1802

(LD) 0 , 1,,1,0 , 18012

kk

kk

ak


Regola 6

Tutti i punti dell’asse reale, tranne quelli corrispondenti asingolarità di L(s), appartengono al luogo delle radici.

In particolare, fanno parte del luogo diretto tutti i punti a sinistra diun numero dispari di singolarità di L(s). Fanno parte del luogoinverso tutti i punti a sinistra di un numero pari (o nullo) disingolarità di L(s).

Regola 7

Quando ν ≥ 2, la somma della parte reale dei poli del sistema in anello chiuso non dipende da ρ (regola del baricentro)


Regola 8 (opzionale)

(LI) 0 , 1,,1,0 , 18021

(LD) 0 , 1,,1,0 , 180121

1

1

jji

i

m

ii

j

jji

i

m

ii

j

jk

hkkh

hkkh

Si consideri il generico polo –pj di L(s) e si supponga che abbiamolteplicità hj. Gli hj rami del luogo diretto e gli hj rami del luogoinverso che partono da questo polo hanno in quel punto tangentiche formano con l’asse reale angoli pari a


In particolare, se il polo –pj fosse semplice, la tangente dei due rami uscenti (uno per il LD, l’altro per il LI) presenta un angolo

(LI) 0 ,

(LD) 0 , 180

1

1

jii

m

ii

jii

m

ii

j


Regola 9 (opzionale)

(LI) 0 , 1,,1,0 , 18021

(LD) 0 , 110 , 180121

1

1

j

n

ii

jii

j

j

n

ii

jii

j

jk

hkkh

,h,,kkh

Si consideri il generico zero –zj di L(s) e si supponga che abbiamolteplicità hj. Gli hj rami del luogo diretto e gli hj rami del luogoinverso che arrivano in questo zero hanno in quel punto tangentiche formano con l’asse reale angoli pari a


In particolare, se zero –pj fosse semplice, la tangente dei due rami entranti (uno per il LD, l’altro per il LI) presenta un angolo

(LI) 0 ,

(LD) 0 , 180

1

1

n

ii

jii

n

ii

jii

j


Regola 10

Eventuali punti di incrocio di rami sull’asse reale (in cui si hannoquindi radici reali coincidenti) si possono determinare trovando iminimi ed i massimi relativi della funzione

xN

xDx

* x

Specificamente, se è un punto di minimo ed il punto appartiene al luogo diretto, allora esistono due rami complessi che confluiscono sull’asse reale in .

Se invece è un punto di massimo ed il punto appartiene al luogo diretto, allora esistono due rami reali che si incontrano in e poi si separano diventando complessi.

La situazione è rovesciata se si considera il luogo inverso.

Attenzione! I valori non possono essere poli o zeri di L(s)

x xs

x

x xs

x

x


Regola 10 (alternativa)

Eventuali punti di incrocio di rami sull’asse reale si possono determinare trovando le soluzioni della seguente equazione:

011

11

m

i i

n

i i zxpx

Le soluzioni xd di questa equazione sono le ascisse dei punti di incrocio dei rami con l’asse reale di entrambi i luoghi (sia diretto che inverso).

Questa equazione non ci dà nessuna informazione sul tipo di “diramazione”, ovvero se siano due poli reali che diventano complessi coniugati o viceversa. Tale informazione va dedotta dal contesto.


Regola 11

In ogni punto del luogo il valore di è dato da

m

ii

n

ii

m

ii

n

ii

zs

ps

1

1

1

1


4. Analisi di sistemi retroazionati mediante luogo delle radici

In questa sezione sarà illustrato, mediante esempi, come è possibile usare il luogo delle radici per l’analisi di sistemi retroazionati.


Esempio

Si consideri un sistema retroazionato con

53

ssssL

Utilizzando il luogo delle radici valutare la posizione dei poli in anello chiuso al variare di ρ.

Si cominci tracciando il luogo diretto.


Regola 1

Il luogo delle radici diretto è costituito da 3 rami.

Regola 4

I rami vanno tutti all’infinito lungo asintoti, poichè ν = n–m = 3

Regola 5

603

1800a

1803

5401a

3003

9002a

3

8530

3

1ax

I tre asintoti del LD si intersecano sull’asse reale nel punto di ascissa

I tre asintoti del LD formano con l’asse reale angoli pari a


Regola 6

Fanno parte del LD i punti dell’asse reale di ascissa x < –5 e –3 < x < 0

A questo punto resta da applicare la regola 10 (la regola 7 non è costruttiva, le regole 8 e 9 sono opzionali, la regola 11 serve solo per punteggiare in ρ).

E’ però consigliabile cominciare prima a tracciare sul piano complesso le informazioni già note.


Re

Im

× ××0–3–5

60°


Regola 10

xxxxxxxxxx 15815853 232

015163 2

xx

dx

xd

3

1982,1

x

166

2

2

xdx

xd 0

21

2

dx

xd12.4

3

1981

x minimo

0

22

2

dx

xd21.1

3

1982

x massimo

2x appartiene al LD ed è un massimoDue rami reali che diventano complessi


05

1

3

11

xxx

Alternativamente:

053

3553

xxx

xxxxxx

015163 2 xx

21.1

12.4

3

456482,1x

Osservando il grafico parziale sul lucido 25 si capisce che in −1.21 due rami da reali diventano complessi. Il punto −4.12 è invece nel luogo inverso.


-16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10Root Locus

Real Axis

Imagin

ary

Axis


In corrispondenza di valori il sistema retroazionato è instabile.

Per calcolare il valore si può sfruttare la

Regola 7

Siccome il grado relativo di L(s) è 3, la somma della parte reale dei poli non dipende da ρ ed in questo caso è pari a –8.

Ciò deve valere anche per : in questo caso due poli hanno parte reale nulla e quindi il terzo polo si troverà in s = –8. In questo punto si può applicare la

1208533

10

1

3

1

ii

ii

ii

zs

ps

Regola 11

120Quindi


Seguendo la medesima procedura è possibile tracciare anche il luogo inverso.

Regola 1

Il luogo delle radici inverso è anch’esso costituito da 3 rami.

Regola 4

I rami vanno tutti all’infinito lungo asintoti, poichè ν = n–m = 3

Regola 5

I tre asintoti del LI si intersecano sull’asse reale nel medesimo punto del LD

3

8530

3

1ax

I tre asintoti del LI formano con l’asse reale angoli pari a

00a

1203

3601a

2403

7202a


Regola 6

Fanno parte del LI tutti i punti dell’asse reale che non fanno parte del LD, ovvero i punti dell’asse reale di ascissa –5 < x < –3 e x > 0

Regola 10

1x appartiene al LI ed è un minimoDue rami reali che diventano complessi

(I calcoli sono già stati eseguiti)


-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-15

-10

-5

0

5

10

15Root Locus

Real Axis

Imagin

ary

Axis

Si osservi che uno dei rami si sviluppa completamente nel semipiano destro. Il sistema è instabile per ogni ρ<0.


Esempio


22

22

ss

ssL

Utilizzando il luogo delle radici valutare la posizione dei poli in anello chiuso al variare di ρ.


Si osservi che in questo caso ρ è proprio il guadagno d’anello.

Nota


Regola 1


Regola 4

Un ramo termina nello zero in –2, un ramo va all’infinito lungo un asintoto, poichè ν = n–m = 1

Regola 5

L’asintoto del LD forma con l’asse reale un angolo pari a 1800a

0112 ax

L’unico asintoto del LD interseca l’asse reale nel punto di ascissa

Regola 6

Fanno parte del LD i punti dell’asse reale di ascissa x < –2.


Re

Im

×

×

–2

j

–j

–1


Regola 10

2

222

x

xxx

02

24

2

222222

2

2

2

x

xx

x

xxxx

dx

xd

44

22

2

2

2

88

2

2242242

x

x

x

xxxxx

dx

xd

0

21

2

dx

xdminimo

0

22

2

dx

xd massimo

1x appartiene al LD ed è un minimoDue rami complessi che diventano reali

222,1 x

41.3221 x

59.0222 x


02

1

1

1

1

1

xjxjx

Alternativamente:

0

222

2221212

2

xxx

xxxjxxjx

0242 xx

59.0

41.32422,1x

Osservando il grafico parziale sul lucido 36 si capisce che in −3.41 due rami da complessi diventano reali. Il punto −0.59 è invece nel luogo inverso.


-6 -5 -4 -3 -2 -1 0-3

-2

-1

0

1

2

3Root Locus

Real Axis

Imagin

ary

Axis


Il sistema retroazionato è as. stabile per ogni valore di ρ>0.

Al crescere di ρ lo smorzamento dei poli in anello chiuso cresce fino a che essi diventano reali.

Per completare l’esempio si tracci anche il luogo inverso.


Regola 1

Il luogo delle radici inverso è anch’esso costituito da 2 rami.

Regola 4

Un ramo termina nello zero in –2, un ramo va all’infinito lungo un asintoto, poichè ν = n–m = 1

Regola 5

L’asintoto del LI forma con l’asse reale un angolo pari a 00a

0112 ax

L’unico asintoto del LI interseca l’asse reale nel medesimo punto del LD di ascissa

Regola 6

Fanno parte del LI i punti dell’asse reale di ascissa x > –2.


Regola 10

(Calcoli già svolti)

2x appartiene al LI ed è un massimoDue rami complessi che diventano reali


-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2Root Locus

Real Axis

Imagin

ary

Axis


Per valori di il sistema retroazionato è instabile. E’ possibile determinare tale valore limite mediante la

Regola 11

12

22

1

1

1

1

m

ii

n

ii

m

ii

n

ii

zs

ps

1Quindi


Esempio


12

12

ss

sL

Utilizzando il luogo delle radici valutare la posizione dei poli in anello chiuso al variare dello smorzamento ξ > 0.


01 sL

L’equazione caratteristica del sistema retroazionato è

01122 ss

ssN *~ 2

~ 2 ssD

2~

2

~~

~~~

2

*

s

s

sD

sNsL

Ha la stessa equazione caratteristica del problema originario

0~

1 sL

02~2 ss

2~con

01 sD

sN 0 sDsN

0222 ss

0222 ss


Regola 1


Regola 4

Un ramo termina nello zero in 0, un ramo va all’infinito lungo un asintoto, poichè ν = n–m = 1

Regola 5

L’asintoto del LD forma con l’asse reale un angolo pari a 1800a

000 ax

L’unico asintoto del LD interseca l’asse reale nel punto di ascissa

Regola 6

Fanno parte del LD i punti dell’asse reale di ascissa x < 0.


Regola 10

x

xx

22

0

2222

2

2

2

x

x

x

xxx

dx

xd

44

22

2

2 4222

x

x

x

xxxx

dx

xd

0

21

2

dx

xd

massimo 0

22

2

dx

xd

minimo

1x appartiene al LD ed è un minimoDue rami complessi che diventano reali

22,1 x

41.121 x

41.122 x


01

2

1

2

1

xjxjx

Alternativamente:

0

2

2222

2

xx

xjxxjxx

022 x

41.1

41.12,1x

Il punto −1.41 appartiene al luogo diretto. Il punto 1.41 è invece nel luogo inverso (che non interessa questo problema).


-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5Root Locus

Real Axis

Imagin

ary

Axis

~


Per valori di i poli del sistema retroazionato sono reali. ~

Regola 11

222

22~

1

1

1

1

m

ii

n

ii

m

ii

n

ii

zs

ps

Quindi 22

~

Si può quindi concludere che i poli del sistema retroazionato sono complessi coniugati per e reali per 20 2


5. Uso del luogo delle radici nella sintesi del controllore

In modo analogo a quanto avviene per i noti metodi di progetto infrequenza, la sintesi del controllore mediante luogo delle radiciviene effettuata per tentativi.

In particolare, il luogo delle radici è uno strumentoparticolarmente efficace nel progetto quando gli obiettivi delcontrollo possono essere espressi direttamente mediante laposizione dei poli in anello chiuso.


I vincoli sulla posizione dei poli in anello chiuso sono del tipo seguente.

Vincoli sullo smorzamento

Corrispondono ad imporre che i poli si trovino in regioni del piano complesso come la seguente

Re

Im

arccos


E’ noto che la risposta allo scalino di un sistema a tempo continuoas. stabile può presentare oscillazioni dipendentemente dal valoredello smorzamento ξ dei poli dominanti.

Inoltre, in un sistema retroazionato, lo smorzamento dei polidominanti è strettamente connesso al margine di fase(e quindi alla robustezza della stabilità del sistema).

Quindi, richiedere che il valore dello smorzamento ξ sia superiore ad un certo valore , equivale a richiedere che i transitori del sistema non presentino oscillazioni eccessive prima di raggiungere il regime.

Si tratta quindi di un vincolo sulla robustezza e sulla precisione dinamica del sistema.


Vincoli sullo pulsazione naturale nn

Corrispondono ad imporre che i poli si trovino all’esterno di circonferenze di raggio e centro l’origine

Re

Im

n

nj


In un sistema retroazionato, la pulsazione naturale dei poli dominanti è (approssimativamente) pari alla pulsazione critica del sistema retroazionato. E’ quindi strettamente connessa alla banda passante di un sistema retroazionato

Quindi, richiedere che il valore della pulsazione naturale ωn dei poli dominanti di un sistema retroazionato sia superiore ad un valore assegnato , equivale a richiedere che la banda passante del sistema abbia limite superiore a tale valore.

Si tratta quindi di un vincolo sulla velocità del sistema.

n


Tali vincoli si possono esprimere richiedendo che la parte reale dei poli in anello chiuso sia maggiore in modulo di un valore assegnato, cioè . Ciò corrispode a richiedere che i poli stiano nel semipiano definito da

Vincoli sul massimo tempo di assestamento

Re

Im

s


E’ noto che la risposta allo scalino di un sistema a tempo continuo as. stabile ha (approssimativamente) tempo di assestamento pari a:

5at

dove σ è la parte reale (senza segno) dei poli dominanti del sistema.

Quindi, richiedere che il valore assoluto della parte reale dei poli dominanti sia superiore ad un certo valore , equivale a richiedere che la durata dei transitori del sistema sia inferiore a .

Si tratta quindi di un vincolo sulla velocità del sistema.

5at


Si progetti un regolatore proporzionale tale che il tempo di assestamento della risposta ad uno scalino unitario del riferimento sia inferiore od uguale a

Esempio

G(s)y(t)w(t)

+ _R(s)

u(t)e(t)

Si consideri il seguente sistema di controllo

con 101

3

sss

ssG

RsR

s 5.2at


Una specifica sul tempo di assestamento può essere interpretata come una richiesta sulla posizione dei poli dominanti del sistema in anello chiuso.

Infatti, in un sistema retroazionato il tempo di assestamento può essere approssimato (sotto opportune ipotesi) come segue:

5at

Quindi, la specifica può essere riscritta come aa tt at

5

at

5 I poli dominanti in anello chiuso

devono avere parte reale inferiore a (nel caso considerato −2)

at

5

essendo –σ è la parte reale di un polo dominante (reale).

at

5


101

3

sss

ssGsRsL R

La funzione di trasferimento d’anello è

Quindi, ponendo , è possibile tracciare il luogo delle radici e cercare (se esistono!) i valori di per cui i poli dominanti in anello chiuso rispettano la specifica di avere parte reale inferiore a –2.


R

R


Regola 1


Regola 4

Un ramo termina nello zero in –3; due rami vanno all’infinito lungo asintoti, poichè ν = n–m = 2

Regola 5

902

1800a

270

2

5401a

4101032

1ax

I due asintoti del LD si intersecano sull’asse reale nel punto di ascissa

I due asintoti del LD formano con l’asse reale angoli pari a

Regola 6

Sono del LD i punti dell’asse reale di ascissa –10 < x < –3 e –1 < x < 0


-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25Root Locus

Real Axis

Imagin

ary

Axis


In corrispondenza di valori il controllore rispetta le specifiche.

Per calcolare il valore si può sfruttare la

R

Regola 7

Siccome il grado relativo di L(s) è 2, la somma della parte reale dei poli non dipende da ρ ed in questo caso è pari a –11.

Ciò deve valere anche per : in questo caso due poli hanno parte reale –2 e quindi il terzo polo si troverà in s = –7. In questo punto si può applicare la

Regola 11

5.31R

Quindi5.314

763

1

1

1

1

m

ii

n

ii

m

ii

n

ii

zs

ps


Esempio

Si consideri il seguente sistema retroazionato

225.0

5.12

zzz

zzG

Utilizzando il luogo delle radici progettare un controllore R(z)=ρ>0 in modo tale che il sistema retroazionato sia asintoticamente stabile.

G(z)y(k)w(k)

+ _R(z)

u(k)e(k)

con

approfondimento


225.0

5.12

zzz

zzGzRzL

La funzione di trasferimento d’anello è:

Si deve quindi tracciare il luogo delle radici diretto

approfondimento


Regola 1


Regola 4

Un ramo termina nello zero in –1.5, due rami vanno all’infinito lungo due asintoti, poichè ν = n–m = 2

Regola 5

Gli asintoti del LD formano con l’asse reale angoli 900a

2115.05.12

1ax

Gli asintoti del LD intersecano l’asse reale nel punto di ascissa

Regola 6

Fanno parte del LD i punti dell’asse reale di ascissa –1.5<x < 0.5

2701a

approfondimento


Re

Im

×

×0 0.5–1.5

×

1

j

– j

2

approfondimento


-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Real Axis

Imagin

ary

Axis

Due rami del luogo si sviluppano interamente fuori dal cerchio di raggio unitario e quindi non esiste ρ>0 che stabilizza il sistema.

approfondimento


Esempio

Si consideri un processo descritto dalla seguente funzione di trasferimento

2.0

1

ssG

Usando un periodo di campionamento T=1 s progettare, se possibile, un regolatore digitale R(z) tale che la funzione di trasferimento d’anello sia di tipo 1 ed il sistema in anello chiuso sia asintoticamente stabile.

approfondimento


Utilizzando l’approccio a tempo discreto per il progetto del controllore digitale, si faccia riferimento al seguente schema:

_R*(z)

u*(k)+

w*(k) e*(k)G*(z)

y*(k)

con y(t)u(t)G(s)D/A

u*(k) y*(k)A/D

Per prima cosa si deve calcolare la funzione di trasferimento del sistema a segnali campionati.

Per fare ciò si utilizzi il metodo basato sull’equivalenza della risposta allo scalino.

zG*

approfondimento


1. 2.0

1

sss

sGsY

2. Antitrasformando si ha

0per ,55 2.0 tety t

,2,1,0per ,55 2.0* kekTyky kT

3. Effettuando la trasformazione Z

Tez

z

z

zzY

2.0

* 5

1

5

4. La funzione di trasferimento del sistema a segnali campionati è

221.1

107.155155

15

1

52.0

2.0

1

2.02.0

*

zez

e

ez

z

z

z

ez

z

z

zzG

T

TT

2.0

55

2.0

1

sssssY

da cui

approfondimento


221.11221.11

107.1***

zzzzzGzRzL R

Dal momento che è di tipo 0, il regolatore deve avere un integratore. Un possibile controllore è quindi

zG*

11

*

zz

TzR RR

da cui

R 107.1con

Tracciando il luogo delle radici di si può verificare se esistono valori di ρ che stabilizzano il sistema.

zL*

approfondimento


Regola 1


Regola 4

Entrambi i rami vanno all’infinito lungo due asintoti, poichè ν = n–m = 2

Regola 5

Gli asintoti del LD formano con l’asse reale angoli 900a

110.1221.1102

1ax

Gli asintoti del LD intersecano l’asse reale nel punto di ascissa

Regola 6

Fanno parte del LD i punti dell’asse reale di ascissa 1<x < 1.221

2701a

approfondimento


0221.1

1

1

1

xx

Regola 10 (versione semplificata)

0221.11 xx 110.1x

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Root Locus

Real Axis

Imagin

ary

Axis

Non esiste ρ>0 che stabilizzi il sistema retroazionato.

Si provi quindi a tracciare il luogo inverso.

approfondimento


Regola 1

Il luogo delle radici inverso è costituito da 2 rami.

Regola 4

Entrambi i rami vanno all’infinito lungo due asintoti, poichè ν = n–m = 2

Regola 5

Gli asintoti del LI formano con l’asse reale angoli 00a

Gli asintoti del LI intersecano l’asse reale nello stesso punto di ascissa trovato per il LD.

Regola 6

Fanno parte del LI i punti dell’asse reale di ascissa x <1 e x >1.221

1801a

approfondimento


-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Root Locus

Real Axis

Imag

ina

ry A

xis

Il LI ha un ramo che giace interamente fuori dal cerchio unitario.

Quindi, non esiste ρ<0 che stabilizzi il sistema retroazionato.

Bisogna cambiare la struttura del regolatore!

Osservando il LD si nota che l’introduzione di uno zero all’interno del cerchio potrebbe “attirare” i rami a giacere almeno parzialmente nella regione di asintotica stabilità.

approfondimento


221.11

8.0

221.11

8.0107.1***

zz

z

zz

zzGzRzL R

1

8.0

1

8.0*

z

z

z

zTzR RR

da cui

Si può scegliere

Tracciando il luogo delle radici di si può verificare se esistono valori di ρ che stabilizzano il sistema.

zL*

approfondimento


Regola 1


Regola 4

Un ramo termina nello zero in 0.8, un ramo va all’infinito lungo un asintoto, poichè ν = n–m = 1

Regola 5

L’asintoto del LD forma con l’asse reale un angolo 1800a

021.3221.118.0 ax

L’asintoto del LD interseca l’asse reale nel punto di ascissa

Regola 6

Fanno parte del LD i punti dell’asse reale di ascissa x < 0.8 e 1<x<1.221

approfondimento


08.0

1

221.1

1

1

1

xxx

Regola 10 (versione semplificata)

0221.118.01221.18.0 xxxxxx

0221.1221.28.08.19768.0021.2 222 xxxxxx

05558.06.12 xx

510.0

090.12,1x

approfondimento


-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Real Axis

Imag

ina

ry A

xis

1

2

1

Il sistema retroazionato è as. stabile per 21

E’ possibile calcolare , mentre può solo essere valutato approssimativamente per via grafica.

21

approfondimento


Regola 11

468.28.1

221.22

1

12

m

ii

n

ii

zz

pz

28.0

1

11

m

ii

n

ii

zz

pz

Un possibile regolatore che rispetta le specifiche si ha scegliendoda cui si ha 1 9.0R

1

8.09.0*

z

zzR

approfondimento

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