Stabilità dei sistemi di controllo in...

Controlli automatici Casi di studio

© 2007 Politecnico di Torino 1

Stabilità dei sistemi di controllo in retroazione

2

Casi di studio

Un esempio di analisi della stabilitàIl caso di un sistema a non minima rotazione di fasePendolo inverso su carrelloLevitatore magnetico



3

Casi di studio


Utilizzo di Matlab

4

Casi di studio


Utilizzo di Matlab

File Matlab:

“Caso1_U2L6.m”



5

Casi di studio

Un esempio di analisi della stabilitàIl caso di un sistema a non minima rotazione di fasePendolo inverso su carrelloLevitatore magnetico Stabilità in catena

chiusa per valori negativi del guadagno

6

Casi di studio

Un esempio di analisi della stabilitàIl caso di un sistema a non minima rotazione di fasePendolo inverso su carrelloLevitatore magnetico Stabilità in catena

chiusa per valori negativi del guadagno

File Matlab:

“Caso2_U2L6.m”



7

Casi di studio


Esempi di casi reali

Casi di studio



9

Definizione del problema (1/2)

Si consideri il consueto schema di controllo

con:

–

e u yd

++

F(s)ydes

+

rKr

C(s)

c r2

200(s 0.1)F(s) , C(s) K , K 1

s(s 0.2s 1)(s 10)+

= = =+ + +

10


con: c r2

200(s 0.1)F(s) , C(s) K , K 1

s(s 0.2s 1)(s 10)+

= = =+ + +


–

e u yd

++

F(s)ydes

+

rKr

C(s)

Fdt già usata in precedenti lezioni per la costruzione di DdB, DdN e DdNic

Controllore statico da progettare



11



con:

Trovare l’intervallo di valori di Kc per cui si ha asintotica stabilità in catena chiusa. Determinare i margini di stabilità e Mr per un particolare valoredi Kc scelto all’interno di tale intervallo

–

e u yd

++

F(s)ydes

+

rKr

C(s)

c r2

200(s 0.1)F(s) , C(s) K , K 1

s(s 0.2s 1)(s 10)+

= = =+ + +

12

Applicazione del criterio di Nyquist (1/5)

Per determinare l’intervallo di valori di Kc per cui si ha asintotica stabilità in catena chiusa, èsufficiente tracciare il DdN di F(jω) ed applicare ilcriterio di Nyquist a Ga(jω) = Kc F(jω), considerando il punto critico variabile (-1/Kc, 0)



13



-300 -200 -100 0 100 200 300-300

-200

-100

0

100

200

300Nyquist Diagram

Real Axis

Imag

inar

yA

xis

A

ni,a = 0(-13.24,0)Ottenuto con il

comando nyquist(F)con l’aggiunta manuale del semicerchio di raggio infinito e dello zoom

14



-300 -200 -100 0 100 200 300-300

-200

-100

0

100

200

300Nyquist Diagram

Real Axis

Imag

inar

yA

xis

A

(-13.24,0)(-1/Kc, 0)

per 0<Kc<0.076

ni,a = 0



15



-300 -200 -100 0 100 200 300-300

-200

-100

0

100

200

300Nyquist Diagram

Real Axis

Imag

inar

yA

xis

A

(-13.24,0)(-1/Kc, 0)

per 0<Kc<0.076

ni,a = 0

N = 0

16



-300 -200 -100 0 100 200 300-300

-200

-100

0

100

200

300Nyquist Diagram

Real Axis

Imag

inar

yA

xis

A

(-13.24,0)(-1/Kc, 0)

per 0<Kc<0.076

ni,a = 0

N = 0 i,cn 0=



17



-300 -200 -100 0 100 200 300-300

-200

-100

0

100

200

300Nyquist Diagram

Real Axis

Imag

inar

yA

xis

A

ni,a = 0(-13.24,0)(-1/Kc, 0)

per Kc>0.076

18



-300 -200 -100 0 100 200 300-300

-200

-100

0

100

200

300Nyquist Diagram

Real Axis

Imag

inar

yA

xis

A

ni,a = 0(-13.24,0)(-1/Kc, 0)

per Kc>0.076

N = 2



19



-300 -200 -100 0 100 200 300-300

-200

-100

0

100

200

300Nyquist Diagram

Real Axis

Imag

inar

yA

xis

A

ni,a = 0(-13.24,0)(-1/Kc, 0)

per Kc>0.076

i,cn 2=N = 2

20



-300 -200 -100 0 100 200 300-300

-200

-100

0

100

200

300Nyquist Diagram

Real Axis

Imag

inar

yA

xis

A

ni,a = 0(-13.24,0)(-1/Kc, 0)

per Kc< 0



21



-300 -200 -100 0 100 200 300-300

-200

-100

0

100

200

300Nyquist Diagram

Real Axis

Imag

inar

yA

xis

A

ni,a = 0(-13.24,0)(-1/Kc, 0)

per Kc< 0

N = 1

22



-300 -200 -100 0 100 200 300-300

-200

-100

0

100

200

300Nyquist Diagram

Real Axis

Imag

inar

yA

xis

A

ni,a = 0(-13.24,0)(-1/Kc, 0)

per Kc< 0

i,cn 1=N = 1



23


Il sistema in catena chiusa risulta pertantoasintoticamente stabile per 0<Kc<0.076Si osserva in particolare che per Kc= 1 (cioèchiudendo semplicemente F(jω) in retroazionenegativa unitaria) si ottiene un sistema instabilein catena chiusa

24

Scelta di Kc e verifica della stabilità

Il valore prescelto di Kc è 0.015Si può verificare l’asintotica stabilità del sistemain catena chiusa calcolandone i poli con Matlab:

2.32e-0021.00e+000-2.32e-002

1.14e+0006.47e-002-7.35e-002 + 1.13e+000i

1.14e+0006.47e-002-7.35e-002 - 1.13e+000i

1.00e+0011.00e+000-1.00e+001

Freq. (rad/s)DampingEigenvalue



25

Valutazione dei margini di stabilità sul DdN

Sul DdN della fdt d’anello Ga(jω) = Kc F(jω), per Kc = 0.015, si individuano i margini di stabilità

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Real Axis

Imag

inar

yA

xis

1/mG

(-0.199,0)

mϕ

C

A

G

o

m 5

m 36

≅

≅ϕ

26

Lettura dei margini di stabilità sul DdB

Sui DdB della fdt d’anello Ga(jω) = Kc F(jω) sipossono leggere più accuratamente i margini

-200

-150

-100

-50

0

50

Mag

nitu

de(d

B)

10 -3 10 -2 10 -1 10 0 101 10 2 10 3-270

-225

-180

-135

-90

-45

0

Phas

e(d

eg)

Frequency (rad/sec)

mG,dB = 13.7 dB

mϕ = 35.7o

A

C

Ottenuti con il comando bode(Ga)



27

Lettura dei margini di stabilità sul DdB

Sul DdB della fdt d’anello Ga(jω) = Kc F(jω) sipossono leggere più accuratamente i margini

-200

-150

-100

-50

0

50

Mag

nitu

de(d

B)

10 -3 10 -2 10 -1 10 0 101 10 2 10 3-270

-225

-180

-135

-90

-45

0

Phas

e(d

eg)

Frequency (rad/sec)

mG,dB = 13.7 dB

mϕ = 35.7o

Verificare la correttezza della risposta ottenuta dal comandomargin(Ga)

A

C

28

Lettura dei margini di stabilità sul DdNic

Sul DdNic della fdt d’anello Ga(jω) = Kc F(jω) si possono ritrovare i margini letti sui DdB

-270 -225 -180 -135 -90 -45 0

-20

-10

0

10

20

30

-20 dB

1 dB -1 dB

0.5 dB

0.25 dB

0 dB

-12 dB

-3 dB

-6 dB

Open-Loop Phase (deg)

Ope

n-Lo

opG

ain

(dB)

mϕ

mG,dB

6 dB

3 dB



29

Stima di Mr dalla carta di Nichols

Sovrapponendo la carta di Nichols al DdNic dellafdt d’anello Ga(jω) si può stimare il picco di risonanza Mr in catena chiusa

-270 -225 -180 -135 -90 -45 0

-20

-10

0

10

20

30

-20 dB

1 dB

6 dB

3 dB

-1 dB

0.5 dB

0.25 dB

0 dB

-12 dB

-3 dB

-6 dB

Open-Loop Phase (deg)

Ope

n-Lo

opG

ain

(dB)

Il picco di risonanza Mrè stimato fra 3 e 6 dB

La carta di Nichols èsemplicemente generata dal comando grid

30

Stima di Mr dai luoghi a M costante

Mr può essere valutato anche sul piano complesso, sovrapponendo i luoghi a modulo M costante al DdN della fdt d’anello Ga(jω)

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

20 dB

-20 dB

-6 dB

-4 dB

-2 dB

20 dB

10 dB

2 dB

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

4 dB

6 dB

-10 dB

Il picco di risonanza Mrè stimato fra 4 e 6 dB

Anche i cerchi M sono generati semplicemente dal comandogrid



31

Lettura di Mr sul DdB di Wy(jω)

Sui DdB della fdt in catena chiusa Wy(jω) sipuò leggere accuratamente il valore di Mr

10-3

10-2

10-1

100

101

102

103

-270

-225

-180

-135

-90

-45

0

Phas

e(d

eg)

-160

-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

Mag

nitu

de(d

B)

Frequency (rad/sec)

Ottenuti con il comando bode(W), avendo calcolato W con il comando feedback

32

Lettura di Mr sul DdB di Wy(jω)

Sul DdB della fdt in catena chiusa Wy(jω) sipuò leggere accuratamente il valore di Mr

10-3

10-2

10-1

100

101

102

103

-270

-225

-180

-135

-90

-45

0

Phas

e(d

eg)

-160

-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

20

Mag

nitu

de(d

B)

System: WyPeak gain (dB): 5.06 At frequency (rad/sec): 1.13

Frequency (rad/sec)

Letto da Matlab come Peak Responsefra le caratteristiche del sistema

0



Casi di studio

34



con:

–

e u yd

++

F(s)ydes

+

rKr

C(s)

c r2

s 1F(s) , C(s) K , K 1

s(s 2.5s 4)(s 0.2)−

= = =+ + +



35



con:

Tracciare i DdB ed il DdN di F(jω)Studiare la stabilità del sistema in catena chiusaal variare di Kc. Determinare mG e mϕ per un particolare valore di Kc per cui si ha stabilità

–

e u yd

++

F(s)ydes

+

rKr

C(s)

c r2

s 1F(s) , C(s) K , K 1

s(s 2.5s 4)(s 0.2)−

= = =+ + +

36

Analisi delle caratteristiche di F(jω)

Prima di determinare esattamente i diagrammi di Bode di F(jω) con l’ausilio di Matlab, è possibile prevederne l’andamento osservando le principali caratteristiche della funzione:



37



Zero in +1Poli in 0, -0.2, n1.25 1.56j ( 2, 0.625)− ± ω = ζ =

38



Zero in +1Poli in 0, -0.2, n1.25 1.56j ( 2, 0.625)− ± ω = ζ =

Sistema a non minima rotazione di fase



39



Zero in +1Poli in 0, -0.2,

Per 0.125

0 : F(j )j

ω → ω → −ω

n1.25 1.56j ( 2, 0.625)− ± ω = ζ =

40




Per 0.125

0 : F(j )j

ω → ω → −ω

n1.25 1.56j ( 2, 0.625)− ± ω = ζ =

Pendenza iniziale del modulo: -20dB/decFase iniziale: -270°

(= +90o sul piano complesso)



41




Per

Per 3

1: F(j )

jω → ∞ ω →

ω

n1.25 1.56j ( 2, 0.625)− ± ω = ζ =

0.1250 : F(j )

jω → ω → −

ω

42




Per

PerPendenza finale del modulo: -60dB/decFase finale: -270°

(avendo perso 360°)

n1.25 1.56j ( 2, 0.625)− ± ω = ζ =

3

1: F(j )

jω → ∞ ω →

ω

0.1250 : F(j )

jω → ω → −

ω



43

Tracciamento dei DdB di F(jω)

Diagrammi di Bode di F(jω):

-150

-100

-50

0

50

Mag

nitu

de(d

B)

10 -2 10-1 10 0 101 102-270

-180

-90

0

90

Phas

e(d

eg)

Frequency (rad/sec)

Ottenuti con il comando bode(F)

Bode Diagram

44

Tracciamento dei DdB di F(jω)

Diagrammi di Bode di F(jω):

-150

-100

-50

0

50

Mag

nitu

de(d

B)

10 -2 10-1 10 0 101 102-270

-180

-90

0

90

Phas

e(d

eg)

Frequency (rad/sec)

Bode Diagram

B

A Attraversamenti dell’asse reale del DdN

Ottenuti con il comando bode(F)



45

Tracciamento del DdN di F(jω)

Diagramma di Nyquist di F(jω):

-1 0 1 2 3 4 5-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5Nyquist Diagram

Real Axis

Ottenuto con il comando nyquist(F)con l’aggiunta manuale del semicerchio di raggio infinito e dello zoom

Imag

inar

y A

xis

A

B

46

Applicazione del criterio di Nyquist per Kc = 1

-1 0 1 2 3 4 5-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5Nyquist Diagram

Real Axis

A

Imag

inar

y A

xis

Studio della stabilità in catena chiusa (1/6)

(-0.0545,0)

ni,a = 0

(2.02,0)

B

Punto critico di Nyquist (-1,0)



47


-1 0 1 2 3 4 5-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5Nyquist Diagram

Real Axis

Imag

inar

y A

xis


Punto critico di Nyquist (-1,0)

(-0.0545,0)

ni,a = 0

N = 1

A

B

(2.02,0)

48


-1 0 1 2 3 4 5-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5Nyquist Diagram

Real Axis

Imag

inar

y A

xis


(-0.0545,0)

ni,a = 0

i,cn 1=

A

B

(2.02,0)Punto critico di Nyquist (-1,0)

N = 1



49

Applicazione del criterio di Nyquist con Kcvariabile

-1 0 1 2 3 4 5-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5Nyquist Diagram

Real Axis

Imag

inar

y A

xis


(-0.0545,0)

ni,a = 0

A

B

(2.02,0)

(-1/Kc, 0)

per 0<Kc<18.39

50

(-1/Kc, 0)

per 0<Kc<18.39


-1 0 1 2 3 4 5-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5Nyquist Diagram

Real Axis

Imag

inar

y A

xis


(-0.0545,0)

ni,a = 0

N = 1

A

B

(2.02,0)



51


-1 0 1 2 3 4 5-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5Nyquist Diagram

Real Axis

Imag

inar

y A

xis


(-0.0545,0)

ni,a = 0

i,cn 1=

A

B

(2.02,0)

(-1/Kc, 0)

per 0<Kc<18.39

N = 1

52


-1 0 1 2 3 4 5-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5Nyquist Diagram

Real Axis

Imag

inar

y A

xis


(-0.0545,0)

ni,a = 0

A

B

(2.02,0)

(-1/Kc, 0)

per Kc>18.39



53


-1 0 1 2 3 4 5-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5Nyquist Diagram

Real Axis

Imag

inar

y A

xis


(-0.0545,0)

ni,a = 0

(-1/Kc, 0)

per Kc>18.39

N = 3

A

B

(2.02,0)

54


-1 0 1 2 3 4 5-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5Nyquist Diagram

Real Axis

Imag

inar

y A

xis


(-0.0545,0)

ni,a = 0

i,cn 3=

A

B

(2.02,0)

(-1/Kc, 0)

per Kc>18.39

N = 3



55


-1 0 1 2 3 4 5-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5Nyquist Diagram

Real Axis

Imag

inar

y A

xis


(-0.0545,0)

ni,a = 0

A

B

(2.02,0)

(-1/Kc, 0)

per Kc<-0.495

56


-1 0 1 2 3 4 5-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5Nyquist Diagram

Real Axis

Imag

inar

y A

xis


(-0.0545,0)

ni,a = 0

(-1/Kc, 0)

per Kc<-0.495

N = 2

A

B

(2.02,0)



57


-1 0 1 2 3 4 5-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5Nyquist Diagram

Real Axis

Imag

inar

y A

xis


(-0.0545,0)

ni,a = 0

i,cn 2=

A

B

(2.02,0)

(-1/Kc, 0)

per Kc<-0.495

N = 2

58


-1 0 1 2 3 4 5-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5Nyquist Diagram

Real Axis

Imag

inar

y A

xis


(-0.0545,0)

ni,a = 0

A

B

(2.02,0)

(-1/Kc, 0)

per -0.495<Kc<0



59


-1 0 1 2 3 4 5-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5Nyquist Diagram

Real Axis

Imag

inar

y A

xis


(-0.0545,0)

ni,a = 0

(-1/Kc, 0)

per -0.495<Kc<0

N = 0

A

B

(2.02,0)

60


-1 0 1 2 3 4 5-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5Nyquist Diagram

Real Axis

Imag

inar

y A

xis


(-0.0545,0)

ni,a = 0

i,cn 0=

A

B

(2.02,0)

(-1/Kc, 0)

per -0.495<Kc<0

N = 0



61

Dall’applicazione del criterio di Nyquist, il sistema in catena chiusa risulta asintoticamente stabile per valori negativi del guadagno Kc(in particolare per -0.495 < Kc < 0) La condizione di asintotica stabilità è altresìraggiunta considerando una retroazionepositiva con Kc di valore compreso fra 0 e 0.495


62

Scelta di Kc e verifica della stabilità

Il valore prescelto di Kc è -0.2Si può verificare l’asintotica stabilità del sistemain catena chiusa calcolandone i poli con Matlab:

2.19e-0012.61-001-5.72e-002 + 2.12e-001i

2.19e-0012.61-001-5.72e-002 - 2.12e-001i

2.04e+0006.34e-001-1.29e+000 + 1.58e+000i

2.04e+0006.34e-001-1.29e+000 - 1.58e+000i

Freq. (rad/s)DampingEigenvalue



63


Sul DdN della fdt d’anello Ga(jω) = Kc F(jω), per Kc = -0.2, si individuano i margini di stabilità

G

o

m 2.47

m 30

≅

≅ϕ

-1.5 -1 -0.5 0 0.5-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1 Nyquist Diagram

Real Axis

Imag

inar

yA

xis

mϕ

1/mG

(-0.404,0)

64


Sul DdN della fdt d’anello Ga(jω) = Kc F(jω), per Kc = -0.2, si individuano i margini di stabilità

G

o

m 2.47

m 30

≅

≅ϕ

-1.5 -1 -0.5 0 0.5-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1 Nyquist Diagram

Real Axis

Imag

inar

yA

xis

mϕ

1/mG

(-0.404,0)Il significato dei margini di stabilità è quello “standard” di max aumento del guadagno e maxperdita di fase ammissibili



65

Lettura automatica dei margini di stabilità

È possibile valutare automaticamente il valore di mG e mϕ per mezzo del comando margin(Ga)

-150

-100

-50

0

50

Mag

nitu

de(d

B)

10-2 10-1 100 101 102-90

0

90

180

270

Pha

se(d

eg)

Bode DiagramGm = 7.87 dB (at 0.336 rad/sec) , Pm = 29.8 deg (at 0.186 rad/sec)

Frequency (rad/sec)

66

Lettura automatica dei margini di stabilità

È possibile valutare automaticamente il valore di mG e mϕ per mezzo del comando margin(Ga)

-150

-100

-50

0

50

Mag

nitu

de(d

B)

10-2 10-1 100 101 102-90

0

90

180

270

Pha

se(d

eg)

Bode DiagramGm = 7.87 dB (at 0.336 rad/sec) , Pm = 29.8 deg (at 0.186 rad/sec)

Frequency (rad/sec)

Lettura corretta dei margini di stabilità

mϕ

mG,dB

Gm = 7.87 dB (at 0.336 rad/sec) Pm = 29.8 deg (at 0.186 rad/sec)



Casi di studio

68

Il sistema fisico

α

x Motore carrello

Asta

Cerniera passiva

Tensione contr.

Carrello

Cinghia dentata



69

Rappresentazione del sistema fisico

u = tensione di controllo motore (in V)ys= posizione angolare α (in rad)y = misura dell’angolo α (in V)d = disturbi vari riportati sull’uscita (in V)F(s) = y(s)/u(s) modello lineare del sistema

u yd

++

F(s)

70

Il modello

Un modello lineare che approssima sufficientemente bene il sistema in esame nell’intorno del punto di equilibrio (instabile) ècostituito dalla seguente fdt

Si noti che il sistemaÈ instabile Ha due zeri nell’origine (derivatore doppio)Ha le restanti singolarità con modulo nell’intervallo 5÷110 rad/s

)12100s120)(s5)(s5)(s14(s)100(ss1100)s(F 2

2

++−+++−

=



71

Il controllore

Si consideri il controllore caratterizzato dalla seguente funzione di trasferimento

progettato per il soddisfacimento di adeguate specifiche (secondo quanto discusso successivamente nel corso)

Si noti che il controllore è instabile

)3.0s()3(s

)90(s)15(s

)4(s216)s(C

++

⋅++

⋅−

−=

72

L’anello di controllo

La struttura del sistema di controllo fa riferimento a quella presentata nelle lezioni precedenti (con Kr=1 e quindi ydes= r)

La funzione d’anello è definita come:

–

e u yd

++

F(s)+

rC(s)

aG (s) C(s)F(s)=



73

DdN di Ga(s) ed analisi della stabilità

-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Asse reale

Ass

e im

mag

inar

io

ni,a= 2

N = -2

i,cn 0=

74

Valutazione dei margini sul DdN di Ga (1/6)

Asse reale

Ass

e im

mag

inar

io

R = 1

Due intersezioni del DdN con la circonferenza di raggio unitario

-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5



75Asse reale

Ass

e im

mag

inar

io

R = 1

1mϕ


Massimo aumentodi fase (circa 33°)

-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

76Asse reale

Ass

e im

mag

inar

io

R = 12mϕ


-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Massima perditadi fase (circa 57°)



77


Asse reale

Ass

e im

mag

inar

io

Due intersezioni del DdN con l’asse reale

-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

78Asse reale

Ass

e im

mag

inar

io

G11 /m


(-1.83,0)

G1m 0.54≅Massima attenuazionedel guadagno

-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5



79Asse reale

Ass

e im

mag

inar

io


G21 / m

(-0.195,0)

Massima amplificazionedel guadagno

G2m 5.13≅

-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

80

Lettura di Mr dai luoghi a M costante

Asse reale

Ass

e im

mag

inar

io

Mr=8 dBωr=2.35 rad/s

-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5



81

Riepilogo dei punti di lettura dei parametri

Asse reale

Ass

e im

mag

inar

io

1mϕ

1Gm

2mϕ

2Gm

Mr

R = 1

-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

82

Lettura dei margini sui DdB di Ga

10-1 100 101 102 10390

135

180

225

270

Fase

(deg

)

-80

-60

-40

-20

0

20

Mod

ulo

(dB

)

1mϕ

1Gm

2mϕ

2Gm

1ϕω 1Gω 2ϕω 2Gω

1

1

G1

G1

2

2

G2

G2

m 33

1.5 rad/s

m 5.3 dB

3.3 rad/s

m 57

21 rad/s

m 14 dB

102 rad/s

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

= −

ω =

= −

ω =

=

ω =

=

ω =



83

Lettura dei margini sul DdNic di Ga (1/4)

0 45 90 135 180 225 270 315 360-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Fase catena aperta (deg)

Gua

dagn

o ca

tena

ape

rta

(dB

)

1mϕ

84

0 45 90 135 180 225 270 315 360-50

-40

-30

-20

-10

0

10


Gua

dagn

o ca

tena

ape

rta

(dB

)

2mϕ




85


0 45 90 135 180 225 270 315 360-50

-40

-30

-20

-10

0

10


Gua

dagn

o ca

tena

ape

rta

(dB

)

1Gm

86


0 45 90 135 180 225 270 315 360-50

-40

-30

-20

-10

0

10


Gua

dagn

o ca

tena

ape

rta

(dB

)

2Gm



87

Lettura di Mr dalla carta di Nichols

0 45 90 135 180 225 270 315 360-50

-40

-30

-20

-10

0

10


Gua

dagn

o ca

tena

ape

rta

(dB

)

Mr = 8 dB

88


0 45 90 135 180 225 270 315 360-50

-40

-30

-20

-10

0

10


Mod

ulo

cate

na a

pert

a (d

B)

1mϕ 2mϕ

2Gm

Mr1Gm



89

Osservazioni finali

Il sistema in catena chiusa è asintoticamente stabileGa(s) è caratterizzata da:

Due margini di fase, uno positivo e l’altro negativo ⇒ risultano nocivi, rispettivamente, sia una diminuzione sia un incremento di fase Due margini di guadagno, uno positivo e l’altro negativo in dB ⇒ risultano nocivi, rispettivamente, sia un aumento sia una diminuzione di guadagno

La fdt in catena chiusa presenta un solo picco di risonanza

Casi di studio



91

Il sistema fisico (1/2)

Elettromagnete

Sferetta ferrosa, posizione z

Tensione di controllo

Trasduttore senza contatto

Misura della posizione z (tens.)

92

Il sistema fisico (2/2)

Trasduttore senza contatto

Sferetta ferrosa

Fotodiodi all’infrarosso(trasmittenti)

Fototransistor all’infrarosso(riceventi)



93

Rappresentazione del sistema fisico

u = tensione di controllo (impone la corrente nell’elettromagnete) (in V)ys= posizione verticale z della sferetta (in m)y = tensione proporzionale alla posizione z (in V)d = disturbi vari riportati sull’uscita (in V)F(s) = y(s)/u(s) modello lineare del sistema

u yd

++

F(s)

94

Il modello

Un modello lineare che approssima sufficientemente bene il sistema in esame nell’intorno di un punto di equilibrio (instabile) ècostituito dalla seguente fdt

Si noti che il sistemaÈ instabile Ha due poli di modulo 30 rad/s

)30)(s30(s7000)s(F

−+−

=



95

Il controllore

Si consideri il controllore caratterizzato dalla seguente funzione di trasferimento

progettato per il soddisfacimento di adeguate specifiche (secondo quanto discusso successivamente nel corso)Si noti che il controllore cambia segno al guadagno d’anello (il che equivale a realizzare una retroazione positiva con guadagno positivo)

)600(s)40(s

s)10s(13)s(C

++

⋅+−

=

96

L’anello di controllo

La struttura del sistema di controllo fa riferimento a quella presentata nelle lezioni precedenti (con Kr=1 e quindi ydes= r)

La funzione d’anello è definita come:

–

e u yd

++

F(s)+

rC(s)

aG (s) C(s)F(s)=



97

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1

-3

-2

-1

0

1

2

3

Asse reale

Ass

e im

mag

inar

io

ni,a= 1

N = -1

i,cn 0=

DdN di Ga(s) ed analisi della stabilità

98

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1

-3

-2

-1

0

1

2

3

Asse reale

Ass

e im

mag

inar

io


R = 1ϕm

Massima perditadi fase (circa 57°)



99

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1

-3

-2

-1

0

1

2

3

Asse reale

Ass

e im

mag

inar

ioValutazione dei margini sul DdN di Ga (2/2)

G1 /m

Gm 0.177≅

Massima attenuazionedel guadagno

-15 dB

100

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1

-3

-2

-1

0

1

2

3

Asse reale

Ass

e im

mag

inar

io

Lettura di Mr dai luoghi a M costante

Mr = 2.6 dBωr = 63 rad/s



101

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1

-3

-2

-1

0

1

2

3

Asse reale

Ass

e im

mag

inar

io

ϕmGm

Mr

R = 1


102Gω100 101 102 103 104-270

-225

-180

-135

-90

Fase

(deg

)

-40

-20

0

20

40

Mod

ulo

(dB

)

ϕω

ϕm

Gm

Lettura dei margini sui DdB di Ga

rad/s 146

57m

rad/s 21

dB 15m

G

G

=ω

=

=ω

−=

ϕ

ϕ



103

-360 -315 -270 -225 -180 -135 -90 -45 0-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40


Mod

ulo

cate

na a

pert

a (d

B)

ϕm


104

-360 -315 -270 -225 -180 -135 -90 -45 0-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40


Mod

ulo

cate

na a

pert

a (d

B)

Gm




105

-360 -315 -270 -225 -180 -135 -90 -45 0-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40


Mod

ulo

cate

na a

pert

a (d

B) Mr = 2.6 dB

Lettura di Mr dalla carta di Nichols

106

Osservazioni finali

Il sistema in catena chiusa è asintoticamente stabileGa(s) è caratterizzata da:

Margine di fase positivo ⇒ risulta nociva una diminuzione di fase Margine di guadagno negativo in dB ⇒ risulta nociva una diminuzione di guadagno

La fdt in catena chiusa presenta un solo picco di risonanza

Stabilità dei sistemi di controllo in...

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