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Fondamenti di Controlli Automatici

1 Temi d'esame

© Politecnico di Torino Pagina 1 di 25Data ultima revisione 19/09/00 Autore: Indri Marina

Politecnico di TorinoCeTeM

ATTENZIONE: i temi d’esame e gli esercizi proposti riguardano (per ora)solo la parte di analisi di sistemi di controllo; per quanto riguarda ilprogetto, si faccia riferimento agli esercizi proposti nelle schede FCA9,FCA10, FCA11 delle dispense disponibili presso Politeko (l’elencocompleto delle schede utilizzate è riportato all’interno della descrizione delprogramma del tutorato).


1 Temi d'esame



Temi d’esame ed esercizi di preparazione all’esame

Tema 1

Es.1

Sia dato il seguente sistema elettrico:

y = I1R1 = 2, R2 = 1/4C1 = 1/3 , C2 = 3

Scrivere le equazioni del modello in variabili di stato.

Es.2

Sia dato un sistema a tempo continuo, descritto in variabili di stato dalle seguenti matrici:

[ ] [ ]��

��

��50 5050

6

151

516

15151

=−−=

=

−−−−

= DCBA

Discutere la stabilità interna (autovalori). Calcolare la funzione di trasferimento fra ingresso euscita, mettendone in evidenza zeri, poli e guadagno stazionario.Calcolare quindi la risposta al gradino per condizioni iniziali nulle.

Es. 3

Data ��

23

310.5)G(

2

2

+++=

ss

sss tracciare i diagrammi di Bode di G(s), e dire per quali valori di K

il sistema è asintoticamente stabile in catena chiusa.

I1

+u

RC C

R

K G(sr +

-

e u y


1 Temi d'esame



Es. 5

Calcolare la risposta al gradino del sistema descritto dalle matrici A, B, C, D date nell’es.2, per condizioni iniziali nulle.


1 Temi d'esame




1 Temi d'esame



Soluzione tema 1

Es. 1

Variabili di stato:x1 e x2 tensioni suicondensatori

Vettore di stato:

2

1

x

x

Dalle relazioni:

22RR21

222111

2111

RI I II

C I C I

IRu

x

xx

xx

=+===++=

�

� ��

considerando I1 come uscita, si ricavano le equazioni del modello in variabilidi stato:

DuCxy

BuAxx

+=+=�

con

=

−−=

=

+−−

−−=

111

21

11

222121

1111

R

1

R

1

R

1

CR

1CR

1

CR

1

CR

1

CR

1CR

1

CR

1

DCBA �� .

Sostituendo i valori numerici indicati, si ottengono le matrici indicate nell’esercizio 2.

+u

RC C

R

I1

x x

IR

I2


1 Temi d'esame



Es. 2

Gli autovalori della matrice A sono: λ1 = -1 e λ2 = -2; essendo reali negativi, il sistema èasintoticamente stabile internamente.La funzione di trasferimento può essere calcolata come:

DBAsICs +−= -1)()G(

Si ottiene la funzione G(s) proposta nell’es. 3, avente uno zero in 31�− , unpolo in 1− ed uno in 2− e guadagno stazionario nullo.

Es. 3

Diagrammi di Bode di G(s):

Frequency (rad/sec)

Pha

se (

deg)

; M

agni

tude

(dB

)

Bode Diagrams

-50

-40

-30

-20

-10

0From: U(1)

10-2 10-1 100 1010

20

40

60

80

100

To: Y

(1)


1 Temi d'esame



Es. 4

La stabilità del sistema in catena chiusa al variare di K può essere valutatasia ricorrendo al criterio di Nyquist (dopo aver tracciato il diagramma diNyquist di G(s)), sia applicando il criterio di Routh al polinomio caratteristicoad anello chiuso, dato da:

2 K)(3 0.5K)(1 K)(322 ++++= sssd �

Poiché il polinomio è di secondo grado, affinché le sue radici siano tutte a parte realenegativa, è sufficiente imporre che tutti i coefficienti siano positivi; si ottiene così che ilsistema in catena chiusa è asintoticamente stabile per K > -2 (naturalmente con K 0≠ ).

Come ulteriore esercizio, si consiglia di ritrovare tale risultato applicando ilcriterio di Nyquist.

Es. 5

La risposta al gradino può essere calcolata agevolmente utilizzando lafunzione di trasferimento calcolata precedentemente. Ricordando che la

trasformata di Laplace della funzione gradino è data da s

1 , la trasformata

della risposta cercata è data da:

23

31.0.5)(

2 +++=

ss

ssy

Scomponendo y(s) in fratti semplici come

++

+=

210.5 )( 3

231

sssy ed

antitrasformando si ottiene:tt eety 2

31

61)( −− += .


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Tema 2

Es.1

Sia dato il seguente sistema elettrico:

y = I1R1 = 2, R2 = 1/4C1 = 2/3 , C2 = 3, C3=2/3

Scrivere le equazioni del modello in variabili di stato.

Es.2


[ ] [ ]��

�

��

��

50 05050

16

151

500

0516

105151

=−−=

=

−

−−−−

= DCBA

Discutere la stabilità interna (autovalori). Calcolare la funzione di trasferimento fra ingresso euscita, mettendone in evidenza zeri, poli e guadagno stazionario.

Es. 3

+u

RC

C

R

C

I1

K G(sr +

-

e u y


1 Temi d'esame



Data �)10010(

1005)G(

2 +++=

sss

ss rispondere alle seguenti domande:

1. Tracciare i diagrammi di Bode di G(s)2. Discutere la stabilità in catena chiusa per K = 1, rilevando i margini di stabilità di fase e

di guadagno.3. Dire per quali valori di K il sistema è asintoticamente stabile in catena chiusa.


1 Temi d'esame



Soluzione tema 2

Es. 1

Variabili di stato:x1, x2, x3 tensioni suicondensatori

Vettore di stato:

3

2

1

x

x

x

Dalle relazioni:

223321

22233111

32111

RI I II

C I CC I

IRu

x

xxx

xxx

=+====

+++=

�

� ��

considerando I1 come uscita, si ricavano le equazioni del modello in variabilidi stato:

DuCxy

BuAxx

+=+=�

con

+u

RC

C

R

C

I1 I2

I3

xx

x


1 Temi d'esame



=

−−−=

=

−−−

−

+−−

−−−

=

1111

31

21

11

313131

21222121

111111

R

1

R

1

R

1

R

1

CR

1CR

1CR

1

CR

1

CR

1

CR

1CR

1

CR

1

CR

1

CR

1CR

1

CR

1

CR

1

DC

BA

�

��

.

Sostituendo i valori numerici indicati, si ottiene:

[ ] [ ]��

�

�

�

�

��

��

��

50 505050

750

61

750

750750750

615161

750750750

=−−−=

=

−−−−−−−−−

= DCBA

Es. 2

Gli autovalori della matrice A data sono: -1, -2, -5. Essendo tutti reali negativi, il sistema èasintoticamente stabile internamente.

La funzione di trasferimento può essere calcolata come:

DBAsICs +−= -1)()G(

ottenendo così:

��

23

310.5)G(

2

2

+++=

ss

sss

avente uno zero in 31�− , un polo in 1− ed uno in 2− e guadagno stazionarionullo.


1 Temi d'esame



Es. 3

Diagrammi di Bode di G(s):

Poiché il sistema è a stabilità regolare, è possibile dedurre l’asintotica stabilitàad anello chiuso per K = 1 direttamente dai diagrammi di Bode, da cui sirilevano i seguenti valori per i margini di stabilità:

margine di fase = 53o

margine di guadagno = 7 dB

Frequency (rad/sec)

Pha

se (

deg)

; M

agni

tude

(dB

)

Bode Diagrams

-150

-100

-50

0

50From: U(1)

10-1 100 101 102 103-250

-200

-150

-100

-50

To: Y

(1)


1 Temi d'esame




K500 K)5(100 10K)( 23 ++++= ssssd �

Condizione necessaria affinché tutte le radici di tale polinomio siano a partereale negativa è che i suoi coefficienti siano tutti concordi in segno (in questocaso positivi), da cui si ricava la condizione K > 0.Dalla tabella di Routh:

K 500

K 450-1000

K 50010

K51001 +

si ricava che la radici del polinomio d(s,K) sono tutte a parte reale negativa, e quindi ilsistema in catena chiusa è asintoticamente stabile, per 0 < K < 2.22. (Si noti che, aconferma di quanto precedentemente trovato, il valore K = 1 appartiene all’intervallo distabilità).

Come ulteriore esercizio, si consiglia di ritrovare tale risultato applicando ilcriterio di Nyquist.


1 Temi d'esame



Tema 3

Es. 1

Dato il sistema in retroazione riportato in figura:

verificare l’asintotica stabilità del sistema in catena chiusa. Calcolare quindi il margine di fase ed ilmargine di guadagno, dopo aver determinato la pulsazione di attraversamento.

Es. 2

Dato il sistema in retroazione riportato in figura:

dire per quali valori di K il sistema è asintoticamente stabile in catena chiusa.

0.)1(

10

++ss

s+

-

K5))(s1(

1+−s

+

-


1 Temi d'esame



Es. 3


[ ] [ ]�� 0 100

1

0

0

111

100

100

==

−=

−−−

= DCBA

Discutere la stabilità interna (autovalori), l’osservabilità e la controllabilità. Determinareinoltre la funzione di trasferimento fra ingresso e uscita.


1 Temi d'esame



Soluzione tema 3

Es. 1

Si può facilmente verificare che il sistema in catena chiusa è descritto dalla seguente funzione ditrasferimento:

111

1102 ++

+ss

s

�

�

avente due poli a parte reale negativa in 8350550 �� ±− (corrispondenti a ωn = 1 e ζ = 0.55):tale sistema è pertanto asintoticamente stabile.Dai diagrammi di Bode della funzione ad anello aperto, sotto riportati:

si possono leggere i valori richiesti, ovvero:• pulsazione di attraversamento: ωt = 0.78 rad/s• margine di fase: 56o

Frequency (rad/sec)

Pha

se (

deg)

; M

agni

tude

(dB

)

Bode Diagrams

-60

-40

-20

0

20

40From: U(1)

10-2 10-1 100 101 102-160

-140

-120

-100

-80

To: Y

(1)


1 Temi d'esame



• margine di guadagno: infinito

Es. 2


5K 4 K)( 2 −++= sssd �

Poiché il polinomio è di secondo grado, affinché le sue radici siano tutte a parte realenegativa, è sufficiente imporre che tutti i coefficienti siano di segno concorde (in questocaso positivi); si ottiene così che il sistema in catena chiusa è asintoticamente stabile perK > 5.

Come ulteriore esercizio, si consiglia di ritrovare tale risultato applicando ilcriterio di Nyquist al diagramma di Nyquist della funzione in catena apertasotto riportato:

Es. 3

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

Nyquist Diagrams

-1 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

From: U(1)

To: Y

(1)


1 Temi d'esame



Gli autovalori della matrice A data sono: 0, -0.5000 + 1.3229i, -0.5000 - 1.3229i. Poichéuno solo di essi è nullo, mentre tutti gli altri sono a parte reale strettamente negativa, ilsistema è semplicemenre stabile.La matrice di raggiungibilità del sistema è data da:

−−−

=111

110

110

R

Poiché la matrice ha rango 2, il sistema non è completamente raggiungibile; in particolare, ilsottospazio di raggiungibilità ha dimensione 2.La matrice di osservabilità del sistema è data da:

−−−−=

111

111

100

O

Poiché la matrice O ha rango 2, il sistema non è completamente osservabile; in particolareil sottospazio di osservabilità ha dimensione 2.

La funzione di trasferimento può essere calcolata come:

DBAsI C sG +−= -1)()(

ottenendo così:

2)(

2 ++−=

ss

ssG

(Si noti l’avvenuta cancellazione di una coppia zero-polo in s = 0, corrispondente al modonon osservabile del sistema).


1 Temi d'esame



Altri esercizi

Risolvere i seguenti esercizi, facendo riferimento alla figura sotto riportata:

Es. A

Data 3

2)1(10)G(

s

ss

+= �, rispondere alle seguenti domande:

1. Con l’ausilio del criterio di Routh, dire per quali valori di K il sistema è asintoticamentestabile in catena chiusa.

2. Tracciare i diagrammi di Bode e di Nyquist del sistema in catena aperta per K = 0.5 efare un’analisi di stabilità del sistema in catena chiusa (se instabile, dire quanti sono ipoli instabili; se stabile, dire quanto valgono i margini di stabilità di fase e di guadagno).

3. Ripetere quanto richiesto al punto 2 per K = 50.

Es. B

Data 317020

50000)G(

2 −+−=

sss , rispondere alle seguenti domande:

1. Tracciare i diagrammi di Bode ed il diagramma di Nyquist di G(s).2. Dire per quali valori di K il sistema in catena chiusa è asintoticamente stabile.

Soluzione es. A

1. La stabilità del sistema in catena chiusa al variare di K può essere valutataapplicando il criterio di Routh al polinomio caratteristico ad anello chiuso, datoda:

K10K 20K 10 s K)( 23�� +++= sssd

K G(sr +

-

e u y


1 Temi d'esame



Condizione necessaria affinché tutte le radici di tale polinomio siano a partereale negativa è che i suoi coefficienti siano tutti concordi in segno (in questocaso positivi), da cui si ricava la condizione K > 0.Dalla tabella di Routh:

K 0.1

K 0.1-0.02K

K 0.10.1K

.2K01

2

si ricava che la radici del polinomio d(s,K) sono tutte a parte reale negativa, e quindi ilsistema in catena chiusa è asintoticamente stabile, per K > 5.

2. Dai diagrammi di Bode di 0.5 G(s) sotto riportati, si vede che per K = 0.5 il sistema incatena chiusa è instabile (i margini di stabilità sono negativi):

Frequency (rad/sec)

Pha

se (

deg)

; M

agni

tude

(dB

)

Bode Diagrams

-50

0

50

100From: U(1)

10-2 10-1 100 101-300

-250

-200

-150

-100

To: Y

(1)


1 Temi d'esame



Applicando il criterio di Nyquist al diagramma di Nyquist di 0.5 G(s), si ricava inoltre che ilnumero di poli instabili è pari a due, poiché il diagramma della funzione compie duerotazioni orarie attorno al punto critico –1.

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

Nyquist Diagrams

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.5

0

0.5

1

From: U(1)

To: Y

(1)

Il punto corrispondente a ω=0- deve essereraccordato al punto simmetrico, corrispondente aω=0+, con tre semicerchi all’infinito, percorsi insenso orario.


1 Temi d'esame



3. Dai diagrammi di Bode di 50 G(s) sotto riportati, si vede che per K = 50 il sistema incatena chiusa è asintoticamente stabile con margine di fase di 68o.

Frequency (rad/sec)

Pha

se (

deg)

; M

agni

tude

(dB

)

Bode Diagrams

-50

0

50

100

150From: U(1)

10-2 10-1 100 101-300

-250

-200

-150

-100

To: Y

(1)


1 Temi d'esame



Il guadagno può essere aumentato a piacimento, continuando a mantenere l’asintoticastabilità del sistema, ma non può essere ridotto al di sotto di 0.1 (confermando così irisultati ottenuti dall’analisi fatta con il criterio di Routh). Tale risultato è ritrovabile anchedall’applicazione del criterio di Nyquist al diagramma di Nyquist di 50G(s), sotto riportato(N.B. la rotazione antioraria attorno al punto –1 è compensata dalla rotazione orariadeterminata dai semicerchi all’infinito):

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

Nyquist Diagrams

-30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

From: U(1)

To: Y

(1)


1 Temi d'esame



Soluzione es. B

1. Diagrammi di Bode di G(s):

2. Diagramma di Nyquist di G(s):

La funzione G(s) data ha due poli reali, uno negativo (in –6.72) e l’altro positivo (in 4.72).Applicando il criterio di Nyquist al diagramma sopra riportato, si ricava che:

Frequency (rad/sec)

Pha

se (

deg)

; M

agni

tude

(dB

)

Bode Diagrams

-40

-20

0

20

40From: U(1)

101 102 1030

5

10

15

To: Y

(1)

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

Nyquist Diagrams

-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2From: U(1)

To: Y

(1)


1 Temi d'esame



• per qualunque K > 0, il sistema in catena chiusa presenta un polo instabile (non c’ènessuna rotazione anti-oraria della funzione a compensare il polo instabile già presentead anello aperto);

• per K < -0.0634, il sistema in catena chiusa è asintoticamente stabile (il punto critico diNyquist cade all’interno della curva chiusa antioraria);

• per –0.0634 < K < 0, il sistema in catena chiusa presenta un polo instabile (non c’ènessuna rotazione anti-oraria della funzione a compensare il polo instabile già presentead anello aperto).

È possibile ritrovare l’intervallo di valori di K per cui il sistema in catena chiusa èasintoticamente stabile, considerandone il polinomio caratteristico, dato da:

K500003170 02 K)( 2 −−+= sssd �

Poiché il polinomio è di secondo grado, affinché le sue radici siano tutte a parte reale negativa, èsufficiente imporre che tutti i coefficienti siano di segno concorde (positivo, in questo caso); siritrova così che il sistema in catena chiusa è asintoticamente stabile per K < -0.0634.

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