L8

Proprietà strutturali

Controlli automatici

L8 2/82

Proprietà strutturali

Modi propri e modi forzatiStabilitàControllo degli stati e controllabilitàOsservazione degli stati e osservabilità

L8

Modi propri e modi forzati

Proprietà strutturali

L8 4/82

Modi propri e modi forzati TC

)t(Du)t(Cx)t(y)t(Bu)t(Ax)t(x

L

)s(Du)s(Cx)s(y)s(Bu)s(Ax)0(x)s(sx

liberaevoluzione

1

forzata evoluzione

1

11

)0(x)AsI(C)s(uDB)AsI(C)s(y

)0(x)AsI()s(uB)AsI()s(x

L8 5/82

ubububub

yayayayay

012)m(

m

012)1n(

1n)n(

libera evoluzione

01n

0o

forzata evoluzione

01n

01m

m

001m

m

001n

asas)s(U)s(Y

)s(uasasbsbsb

)s(y

)s(U)s(ub)s(sub)s(usb

)s(Y)s(ya)s(sya)s(ys

Modi propri e modi forzati TC

L8 6/82

Per sistemi lineari invarianti la fdt G(s) èuna funzione razionale:

nm con asasbsbsb

)s(G

D)AsI(detB)AsI(adj C

DB)AsI(C)s(G

)t(yL)s(u)s(y

)s(G

01n

01m

m

1

,fnulle iniziali condizioni

s in polinomi sono )s(D e )s(N dove ,)s(D)s(N

)s(G

Funzione di trasferimento (fdt) in s

L8 7/82

• Il passaggio VS fdt è dato dalla relazione

nm conasasbsbsb

)AsI(det)AsI(detDB)AsI(adj C

D)AsI(detB)AsI(adj C

DB)AsI(C )s(G

01n

01m

m

1

Funzione di trasferimento (fdt) in s

L8 8/82

Analisi della dinamica TC

libera evoluzioneforzata evoluzione

11

)AsI(det)0(x)AsI(adjC

)s(u)AsI(det

D)AsI(detB)AsI(adjC)s(y

)0(x)AsI()s(Bu)AsI()s(x

libera evoluzione

01n

0o

forzata evoluzione

01n

01m

m

asas)s(U)s(Y

)s(uasasbsbsb

)s(y

Ipotesi semplificativa:)s(D)s(N

)s(uu

u

D(s)

N(s) N0(s)

L8 9/82

Ipotesi semplificativa: D(s) e Du(s) hanno radici distinte.

libera evoluzione

n

1i i

i0

forzata evoluzione

n

1i ui

uin

1i i

i

n

1iiuu

n

1ii

0

u

u

sr

sr

sr

)s(y

)s()s(D

)s()s(D

)s(D)s(N

)s(D)s(N

)s(D)s(N

)s(y

u

u

Analisi della dinamica TC

L8 10/82

L’evoluzione forzata è una combinazione lineare di modi propri e di modi forzatiL’evoluzione libera è una combinazione lineare di modi propriNel caso di poli complessi coniugati e/o multipli, i risultati assumono forma simile

liberaevoluzione

n

1i

ti0

forzata evoluzione

n

1i

tui

n

1i

ti

iu

uii ererer)t(y

L-1

forzatimodie

propri modi et

t

ui

i

Modi propri e modi forzati

L8 11/82

soluzione:

Calcolare la risposta nel tempo del sistema descritto dalla fdt G(s), per un ingresso a gradino ampio 5 eda condizioni iniziali Y0

11

)0(y)0(y

Y;s5

)s(u 5)t(u

)3s)(2s(12

)s(G

0

t0t3t2

lib. ev.

proprimodi

t3t2

forz. ev.

forz. modo

t0

proprimodi

t3t2

e10e21e32

e1e2e10e20e30)t(y

Esempio TC

L8 12/82

poli: radici del denominatorezeri: radici del numeratoreguadagno stazionario:

)s(D)s(N

)s(G fdt:

A autval.0)s(D i

i0)s(N

iintegrator di numero i con

,)s(GslimK i

0sst

Kaaccelerazione2

Kvvelocità1

Kpposizione0

simb.guadagno dii

Parametri della fdt in s

L8 13/82

Definite le grandezze precedenti, è possibile rappresentare la fdt in diversi modi; di volta in volta, in base al problema corrente, si potràscegliere la forma più conveniente.

costanti di tempo:

guadagno a

reali) poli(per 1

ii

)s(GslimK mn

s

con.) compl. poli reale parte( 1

ii

Parametri della fdt in s

L8 14/82

Forme canoniche della fdt in s

polinomiale:

fattorizzata:

frazioni parziali:

costanti di tempo:

casi particolari …

01n

01m

m

asasbsbsb

)s(G

)s()s()s()s(

K)s(Gn1

m1

sempl.) (poli s

rs

r)s(G

n

n

1

1

jj

ii

n1

m1st

1,

1 :con

s1s1s1s1

K)s(G

L8 15/82

Modi del primo ordine

Il modo del primo ordine corrisponde a un polo reale:

grafica forma Ke)t(g

sK

)s(g

t

L8 16/82

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Tempo t

Am

piez

ze

Modi propri del primo ordine: exp(lambda*t) con lambda=-2, -1, 0, 1

-2

-1

0

1

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Tempo t

Am

piez

ze

Modi propri del primo ordine: exp(lambda*t) con lambda=-2, -1, 0, 1

-2

-1

0

1lambda

Modi del primo ordine

L8 17/82

Risposta al gradino unitario 1° ordine

t

e1)t(y,s1

1)s(G

1e

L8 18/82

Modi del secondo ordine

1,

2T

grafica forma )t(sineK

)t(g

s2sK

)js)(js(K

a>b4

bassK

)s(g

oo

ot

o

2nn

2

oo

2

2

Modi del secondo ordine (coppia poli c.c.)

L8 19/82

n

jo

o

2o

2n

2no

n

atan

1

-jo

n

)sin(

Modi del secondo ordine (coppia poli c.c.)

L8 20/82

0 5 10 15 20 25-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Tempo normalizzato wn*t

Am

pie

zze

Modi propri del secondo ordine: exp(-z*wn*t)*sin[wn*t*(1-z^2)^0.5] con z=0.9,

0.90.5

0.2

0.05

-0.05

0 5 10 15 20 25-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Tempo normalizzato wn*t

Am

pie

zze

Modi propri del secondo ordine: exp(-z*wn*t)*sin[wn*t*(1-z^2)^0.5] con z=0.9, 0

0.90.5

0.2

0.05

-0.05

wn

z

n

L8 21/82

Risposta al gradino unitario (2° ordine)

oo

t

o

n

2n2t

2

2nn

2

2n

tanatsine1

11

tanat1sine1

11)t(y

,s2s

)s(G

n

il prodotto nt si può definire come nuova variabile

indipendente(tempo normalizzato)

L8 22/82

Risposta al gradino unitario (2° ordine)

2.o ordine: risposta al gradino unitario

0 5 10 15 200

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

Am

piez

za

s

st t

rt

t

t

L8 23/82

: sovraelongazione massima relativa;

: tempo corrispondente alla ;

ts : tempo di salita;

tr : tempo di salita 10%90%

t : tempo di assestamento a .

s

t s

Risposta al gradino unitario (2° ordine)

L8 24/82

Bolzern, Scattolini, Schiavoni: “Fondamenti di controlli automatici”, McGraw-Hill

Esempi di modi propri (poli singoli)

L8 25/82

Bolzern, Scattolini, Schiavoni: “Fondamenti di controlli automatici”, McGraw-Hill

Esempi di modi propri (poli doppi)

L8 26/82

Z)i(Du)i(Cx)i(y

)i(Bu)i(Ax)1i(x

)z(Du)z(Cx)z(y

)z(Bu)z(Ax)0(zx)z(zx

libera evoluzione

1

forzataevoluzione

11

111

)0(x)AzI(zC)z(uzDB)AzI(zC)z(y

)0(x)AIz(z)z(uzB)AzI(z)z(x

Si ricordi: u() è causale

Modi propri e modi forzati TD

L8 27/82

)i(ub)1i(ub)2i(ub)mi(ub

)i(ya)1i(ya)2i(ya)1ni(ya)ni(y

012m

0121n

libera evoluzione

01n

0o

forzata evoluzione

01n

01m

m

001m

m

001n

azaz)z(U)z(Y

)z(uazazbzbzb

)z(y

)z(U)z(ub)z(zub)z(uzb

)z(Y)z(ya)z(zya)z(yz

Modi propri e modi forzati TD

L8 28/82

Per sistemi lineari invarianti la fdt G(z) èuna funzione razionale:

01n

01m

m

1

,fnulle iniziali condizioni

azazbzbzb

)z(G

D)AzI(detB)AzI(adj C

DB)AzI(C)z(G

)i(yL)z(u)z(y

)z(G

z in polinomi sono )z(D e )z(N dove ,)z(D)z(N

)z(G

Funzione di trasferimento (fdt) in z

L8 29/82

• Il passaggio VS fdt è dato dalla relazione

nm conazazbzbzb

)AzI(det)AzI(detDB)AzI(adj C

D)AzI(detB)AzI(adj C

DB)AzI(C )z(G

01n

01m

m

1

Funzione di trasferimento (fdt) in z

L8 30/82

poli: radici del denominatorezeri: radici del numeratoreguadagno stazionario:

)z(D)z(N

)z(G fdt:

A autval.0)z(D i

i0)z(N

Kaaccelerazione2

Kvvelocità1

Kpposizione0

simb.guadagno dii

Parametri della fdt in z

iintegrator di numero i con

G(z)T

1zlimK

i

1zi

L8 31/82

Definite le grandezze precedenti, è possibile rappresentare la fdt in diversi modi; di volta in volta, in base al problema corrente, si potràscegliere la forma più conveniente.

costanti di tempo:

guadagno a

reali) poli(per 1

1

ii

)z(GzlimK mn

z

con.) compl. poli odulomr( r1

1i

Parametri della fdt in z

L8 32/82

Forme canoniche della fdt in z

polinomiale:

fattorizzata:

frazioni parziali:

costanti di tempo:

casi particolari …

01n

01m

m

azazbzbzb

)z(G

)z()z()z()z(

K)z(Gn1

m1

sempl.) (poli z

rz

r)z(G

n

n

1

1

jj

ii

n1

m1st

11

,1

1 :con

)1z(1)1z(1)1z(1)1z(1

K)z(G

L8 33/82

++u(i) x(i)x(i+1)

C

A

z-1

D

By(i)

L8 34/82

1

0

0

Bc

…..

1nn1n

0n0

'

abb

abb

Cc

……

..

01n

01n

n

aza...z

bzb...zbG(z)

nc bD

1n10

c

a...aa

1

10

A

……

..

y

+++ . . . .

. . . .

. . . .

bn

z-1

xn(i)

-an-1

bn-1

u

-a1

b1 b0

z-1 z-1

-a0

x2(i) x1(i)x3(i)

+

+++

L8 35/82

1

0

0

C'

0

…..

1nn1n

1n1

0n0

0

abb

abb

abb

B

…..

01n

01n

n

aza...z

bzb...zbG(z)

n0 bD

1n

1

0

0

a1

a1

a0

A ……

.. …..

. . . .

. . . .

. . . .

bn

z-1

xn-1(i)

-an-1

bn-1

u

-a1

b1b0

z-1z-1

-a0

x2(i)x1(i)

+++xn(i)

+y

L8 36/82

DDj

1jk

jk

j1

j

b

b

b

B

.….

…

1jk

jk

j1

'j

c

c

c

C

.….

…

kk

1

j

pq

10A

…

.…..

1j1j1 rc b

k1jk1jkjkjk sc b c b

D...qzpz

tzs...

z

rG(z)

kk2

kk

1

1

kkkjkk1jkjkjk1jk tp c b q c b c b

.….

.….

L8 37/82

y

. . .

.

-pk

-qk

xk(i)

sk

tku

r1

D

z-1

1

x1(i)

++

+

xk+1(i)= xk(i+1)

. . .

.

. . .

. . .

. .

. . .

. . .

. .

z-1

z-1

L8 38/82

Modi del 1° ordine (polo = ; || = r)

0 i

y(i) = ri

0 i

y(i) = ri

0 i

y(i) = ri

0 i

y(i) = 1

1

z1

x

1

z1

x

1

z1

x

1

z1

x

passi) di (n. tempo di costante 1

1

L8 39/82

1

z1

x

1

z1

x

1

z1

x

1

z1

x

0 iy(i) = (i)

0 i

y(i) = (-1)i

0 i

y(i) = (-1)i ri

0 i

y(i) = (-1)i ri

Modi del 1° ordine (polo = ; || = r)

L8 40/82

1

z1

x

1

z1

x

1

z1

x

T0

T0

T0

f

2 T0 = periodo oscillazioni (n.o di passi)

r11

costante di tempo (n.o di passi)

Modi del 2° ordine (polo = ; || = r; =f)

L8 41/82

T0

T0

T0

1

z1

x

1

z1

x

1

z1

x

f sin1

inviluppo iniziale valore

Modi del 2° ordine (polo = ; || = r; =f)

L8 42/82

Analisi di stabilità TC

Stabilità interna modi propri degli stati autovalori di AStabilità esterna modi propri dell’uscita poli della fdt Stabilità 1: se tutti i modi propri rimangono limitati per ogni t.Stabilità 2: se tutti gli stati rimangono limitati per ogni u(t) limitato e per ogni t.Stabilità 3: se l’uscita rimane limitata per ogni u(t) limitato e per ogni t.Stabilità 4: .....

L8 43/82

Criteri di stabilità TC

Dalle espressioni sopra riportate si deduce quanto segue:

modi propri semplici:

)t(sine e/o e ott

modi propri multipli:

)t(sinet e/o et otiti

modi propri e forz. semplici:

)t(sine e/o e ott

modi propri e forz. multipli:

)t(sinet e/o et otiti

L8 44/82

Stabilità TC

Un sistema è asintoticamente stabile se tutti i suoi poli (autovalori) sono reali negativi o complessi coniugati a parte reale negativa (stabilitàasintotica).Se il sistema possiede anche dei poli (autovalori) nulli o a parte reale nulla e semplici allora èsemplicemente stabile (stabilità semplice).Un sistema è instabile se possiede almeno un polo (autovalore) reale positivo ovvero almeno una coppia di poli (autovalori) complessi coniugati a parte reale positiva ovvero ancora poli multipli a parte reale nulla (instabilità).

L8 45/82

Stabilità BIBO TC

DefinizioneVale quanto già riportato, con l’eccezione che non sono stabili i poli a parte reale nulla. Infatti, un sistema con un polo nullo (o con coppia di poli complessi coniugati a parte reale nulla) eccitato con un ingresso caratterizzato da una trasformata con poli identici, presenterebbe un’uscita non limitata.Esempio 1: integratore eccitato da un gradino.Esempio 2: oscillatore ideale eccitato da una sinusoide di frequenza identica a quella propria del dispositivo.

L8 46/82

piano C

S t

a b

i l i

t

S t

a b

i l i

t

S t

a b

i l i

t àà à

I n

s t

a b

i l i

t

I n

s t

a b

i l i

t

I n

s t

a b

i l i

t àà à

Casi particolariCasi particolariCasi particolari

Im

Re

Stabilità TC

L8 47/82

Analisi di stabilità TC

Poli (autovalori) polinomio caratteristico calcolo delle radici problema: evitare il calcolo delle radici ovvero analisi della stabilità dai coefficienti del pol. caratteristico

Soluzione: criterio di Routh

L8 48/82

Criterio di Routh

dove i coefficienti b, c, ... , x sono cosìdeterminati:

D s s a s a s ann

n( )

11

1 0

1 0

0

0

0

0

0

2 4

1 3 5

1 2 3

1 2

1

a a

a a a

b b b

c c

x

n n

n n n

tabella di Routh

(monico)

L8 49/82

b

a

a a

ab

a

a a

ab

a

a a

a

c

a a

b b

bc

a a

b b

b

x

n

n n

n

n

n n

n

n

n n

n

n n n n

1

2

1 3

12

4

1 5

13

6

1 7

1

1

1 3

1 2

12

1 5

1 3

1

1

1 1 1

, , ,

, ,

Criterio di Routh

L8 50/82

Criterio di Routh: “Un sistema possiede tanti poli a parte reale positiva quante sono le variazioni di segno nella prima colonna della tabella di Routh”

“Un sistema è stabile (asintoticamente) se non ci sono variazioni di segno nella prima colonna della tabella di Routh”

Casi particolari: elemento/i della prima colonna = 0

Criterio di Routh

L8 51/82

Analisi di stabilità: criteri polinomiali TC

Condizione necessaria e sufficiente (CNS) perchètutti i poli siano strettamente nel semipiano di sinistra è che sia soddisfatto il criterio di Routh. Condizione solo necessaria (CN) perchè tutti i poli siano strettamente nel semipiano di sinistra è che i coefficienti del polinomio caratteristico (monico!) siano tutti positivi. N.B:

qualche coefficiente negativo implica certamente qualche polo nel semipiano di destra;tutti i coefficienti positivi non è detto che implichino tutti i poli nel semipiano di sinistra;se tutti i poli sono nel semipiano di sinistra allora tutti i coefficienti del polinomio caratteristico sono positivi.

L8 52/82

CNS per la stabilità TC: casi particolari

dca

ac

>b

0>d0>c0>a

dcsbsass)s(D

ac

>b

0>c0>a

cbsass)s(D

0>b0>a

bass)s(D

0>aas)s(D

234

23

2

a0

b

a

b

c/a1

a > 0c > 0

b

d

a/ca > 0c > 0

c/a

L8 53/82

La stabilità di un sistema (modello) TD dipende dalla posizione dei poli sul piano complesso z.

= zona di stabilità1

z1

stabilità

instabilità

casi partico

lari

Stabilità TD

L8 54/82

Un sistema discreto e’ stabile (asintoticamente) se tutti i suoi poli hanno modulo minore di uno.Un sistema discreto e’ stabile (asintoticamente) se tutti i suoi poli si trovano dentro la circonferenza di raggio unitario.Un sistema discreto e’ instabile se presenta almeno un polo fuori dalla circonferenza di raggio unitario.Poli sulla circonferenza di raggio unitario si considerano stabili se hanno molteplicita’ 1.

Stabilità TD

L8 55/82

Criterio di Jury (C.N.S.)

1

11

L8 56/82

01)F(1)( n

1

1n+1 costraintsn+1 costraints

Criterio di Jury (C.N.S.)

L8 57/82

Per i sistemi del 1o ordine è banale (C.N.&S.):

Per i sistemi del 2o ordine:

Criterio di Jury (as. stabilità)

1

,1

,1 2

ab

abbazz

b

1 aaz

1

1

-1

-1 2

b

a

1C.S.

1&2C.N.

ba

ba

a

-1 1

L8 58/82

Criterio di Jury (as. stabilità)

Per i sistemi del 3o ordine:

)1()1(

1

1

1

2

attivonon

2

23

cacbcac

cab

cab

ccbzazz

L8 59/82

Criterio di Jury (as. stabilità)

Per i sistemi del 3o ordine:

)1()1(

1

1

1

2

attivonon

2

23

cacbcac

cab

cab

ccbzazz

L8 60/82

a

b

asint. stabilitàall’interno del triangolo con

–1 < c < 1

cc 21,2

1, c

cc 21,2 cab 1

21 ccab

cab 1

Criterio di Jury (as. stabilità 3° ordine)

L8 61/82

Retroazione dagli stati

x

u y

d

S_

+

K

r

L8 62/82

rDDx

C

)DKC(yr

B

Bx

A

)BKA(x

KxruDuCxyBuAxx

cc

cc

)i(rDD)i(x

C

)DKC()i(y)i(r

B

B)i(x

A

)BKA()1i(x

)i(Kx)i(r)i(u)i(Du)i(Cx)i(y

)i(Bu)i(Ax)1i(x

cc

cc

Retroazione dagli stati

L8 63/82

Retroazione dagli stati: schema equivalente

Se il modello A,B,C,D è esatto, questo schema è algebricamente equivalente al precedente

BAsIK)s(D)s(N

,DBAsIC)s(D)s(N dove

1

P

K1

P

P

Sistemau y

x

+

–

r

P

K

NN

L8 64/82

Controllabilità: possibilità di trasferire lo stato in uno stato desiderato e prefissato (detto stato zero).Raggiungibilità: possibilità di raggiungere qualsiasi stato a partire da uno stato desiderato e prefissato (detto stato zero).Per sistemi lineari invarianti:

controllabilità raggiungibilità

Un sistema (lin. e inv.) è completamente controllabile se la matrice di controllabilità C è a rango pieno.

BABAABB Sia 1n2 CC

Controllabilità

L8 65/82

Guadagno stazionario in catena chiusa Kst,cc:

Polinomio in catena chiusa:)BKAsI(det=Dcc

Poli in catena chiusa cci noti e dati

n

1iccicc )s(D

Zeri in catena chiusa: coincidenti con quelli della catena aperta

n

1icci)s()BKAsIdet( :da K

In maniera identica per i sistemi TD BACDK 1

cccc,st

Retroazione dagli stati

L8 66/82

Retroazione dagli stati: specifiche

Poli in catena chiusa (possibilmente due complessi coniugati “dominanti” che impongano la banda): B n

Guadagno stazionario in catena chiusa: Kst,cc

L8 67/82

Es. 1: controllo di posizione di un motore cc

0D 010C

10

B 2.00

10A

Specifiche:• poli in catena chiusa:• guadagno stazionario:

8.0j1cc 1K cc,st

Verifiche: simulazioni (e verifica sperimentale)

L8 68/82

ilecontrollab compl. non

0D 10C

11

B 3120

A

Specifiche:• poli in catena chiusa: 2cc1cccc ,

Sistema di eq. risultante:

2cc1cc21

2cc1cc21

2kk

3kk

Sistema non invertibile in generale; invertibile se cc1= -1, per qualunque cc2)

Esempio 2

L8 69/82

Retroazione dagli stati ricostruiti

Problema: utilizzare i vantaggi della retroazione dagli stati evitando di misurare gli stessi.

Soluzione: ricostruire gli stati sulla base delle misure di ingresso e uscita.

Tecnica 1: ricostruzione istantanea.Tecnica 2: ricostruzione asintotica.

L8 70/82

)1n(T)1n(T

2n1n

2

uuuuU ;yyyyY

DCBCABBCA

DCBCABDCB

D

H ;

CA

CACAC

dove )HUY(x

O

O

O

O-1

Ricostruzione istantanea dello stato T.C.

da cui, derivando e sostituendo:Modello:

DuCxyBuAxx

Attenzione! O deve essere invertibileAttenzione! O deve essere invertibileO

L8 71/82

T1210 ,,,,con ns ssss

Sistemau y

– +

sH1O s1O

x

Ricostruzione istantanea dello stato T.C.

L8 72/82

e)LCA(e

xxe

e stima di errorel' definisce Si

LyuLDBx)LCA(x

)DuxCy(LBuxA)yy(LBuxAx

DuxCyx:oreRicostrutt

DuCxy BuAxx :Sistema

Ricostruzione asintotica dello stato T.C.

L8 73/82

L viene calcolato imponendo i poli del ricostruttore (autovalori di ALC).Attenzione! Anche in questo caso la matrice di osservabilità O deve essere invertibile

Ricostruzione asintotica dello stato T.C.

e)LCA(e

yu

LLDBx)LCA(x

LyuLDBx)LCA(x

L8 74/82

Ricostruzione asintotica dello stato T.C.

Sistemau y

D

L

CB 1AsI yx

eL

L8 75/82

)i(u)1i(u)2ni(u)1ni(uU

)i(y)1i(y)2ni(y)1ni(yY

:dove )HUY()n1i(x

T

T

OO-1

Ricostruzione istantanea dello stato T.D.

da cui:Modello:

)i(Du)i(Cx)i(y)i(Bu)i(Ax)1i(x

Attenzione! O deve essere invertibileAttenzione! O deve essere invertibileO

O e H sono definiti come per i sistemi TC

L8 76/82 T013n2n1n

s z,z,,z,z,z con

Sistemau(i) y(i)

– +

s1HO s

1O

x

Ricostruzione istantanea dello stato T.D.

L8 77/82

)i(e)LCA()1i(e

xxe

e stima di errorel' definisce Si

LyuLDBx)LCA()1i(x)DuxCy(LBuxA)yy(LBuxA)1i(x

DuxCyx:oreRicostrutt

)i(Du)i(Cx)i(y )i(Bu)i(Ax)1i(x :Sistema

Ricostruzione asintotica dello stato T.D.

L8 78/82

L viene calcolato imponendo i poli del ricostruttore (autovalori di ALC).Attenzione! Anche in questo caso la matrice di osservabilità O deve essere invertibile

Ricostruzione asintotica dello stato T.D.

)i(e)LCA()1i(e

)i(y)i(u

LLDB)i(x)LCA()1i(x

)i(Ly)i(uLDB)i(x)LCA()1i(x

L8 79/82

Ricostruzione asintotica dello stato T.D.

Sistemau y

D

L

CB 1AzI yx

eL

L8 80/82

Un sistema (lineare e invariante) ècompletamente osservabile (ricostruibile) se la matrice di osservabilità O è a rango pieno O è invertibile det(O)0

Un sistema (lineare e invariante) ècompletamente controllabile (raggiungibile) se la matrice di controllabilità C è a rango pieno C è invertibile det(C) 0

Ricostruibilità/Osservabilità dello stato

L8 81/82

Se un sistema non è completamente controllabile e/o non completamente osservabile allora alcuni autovalori saranno “cancellati” da altrettanti zeri, ovvero: i polinomi

avranno una o più radici in comuneSi ricordi che det(sIA) e Cadj(sIA)B+Ddet(sIA)sono rispettivamente numeratore e denominatore della funzione di trasferimentoNB: questa eventualità è stata già citata in L5

NOTA IMPORTANTE

)AsIdet(DB)AsI(adjC e )AsIdet(

L8 82/82

Retroazione dagli stati ricostruiti: schema

Ricostr.re

K

r

Sistemau y

x

+

-

x