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Lezione 18. Trasmissione e carico

1F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 18

1. Introduzione

2

Tra motore e carico viene di norma inserito un riduttore per adattare le velocità di rotazione e la coppia erogata alla specifica applicazione.In generale, si diminuisce la velocità di rotazione del carico rispetto a quella dell’albero motore per aumentare la coppia utile sul carico.Molto diffusi sono i riduttori epicicloidali.

A rulli A ingranaggi metalliciA ingranaggi plastici

+ Silenziosità

- Slittamento

- Ciclo vita breve

+ Affidabilità

- Peso

- Rumorosità

+ Silenziosità

+ Peso

- Coppia ridotta

F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 18

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Altri riduttori:

+ Coppia massima

+ Assenza di slittamento

- Ingombro

- Complessità progettuale

- Costo

A cascata di ingranaggi Catena Cinghia

+ Coppia massima

+ Assenza di slittamento

+ Semplicità progettuale

- Rumorosità

- Costo

+ Silenziosità

+ Costo

- Slittamento (se senza denti)

- Ciclo vita breve

- Elasticità


4

2. Modello della trasmissione

Si consideri un ingranaggio, costituito da due ruote dentate, una solidale all’albero motore, l’altra all’albero del carico.

Il motore genera una coppia motrice � che lavora contro una coppia resistente �� dovuta al carico.

Si consideri innanzitutto il comportamento statico. Al punto di contatto le ruote si scambiano una reazione vincolare.

� ��

motore carico

� �

motore

�

��

carico−�

Coppia in ingresso alla trasmissione (generata dal motore)

Coppia in uscita dalla trasmissione (verso il carico)

�� = ��

�� = −��


5

Dalle precedenti equazioni si può ricavare ��

�= � = −

��

�da cui si ottiene il rapporto di trasmissione

� =��

��= −

�

�cioè il rapporto tra la coppia in uscita dalla trasmissione verso il carico e la coppia in ingresso alla trasmissione generata dal motore.

Consideriamo ora il comportamento cinematico. Al punto di contatto le velocità tangenziali delle ruote dentate devono essere uguali. Detta dunque �� la posizione angolare dell’albero del carico e �� la posizione angolare dell’albero motore si ha che

��̇� = −��̇�

da cui si ottiene

�̇� =1

��̇�

Ciò è vero nell’ipotesi di trasmissione rigida, ovvero quando gli alberi e le ruote non subiscono deformazioni per effetto degli sforzi torsionali.


6

E’ necessario descrivere l’elasticità torsionale della trasmissione ed è possibile farlo mediante un modello «black box» che lega la coppia applicata alla posizione mediante un sistema molla (torsionale)-smorzatore (torsionale) ovvero introducendo un’elasticità ed un termine viscoso (rotatorio) di smorzamento.

�� = � �� − �� + �� ̇� − ��̇�

Lo schema a blocchi della trasmissione sarà quindi

�� + ��

�

��

��

+

−

��


7

3. Modello del carico

Il modello del carico può essere descritto da un sistema dinamico del secondo ordine senza elasticità (per dinamica rotatoria, quindi inerzia e termine viscoso rotatori) che fornisce la posizione del carico come effetto della coppia applicata

��̈� + ��̇� = �� − ��

dove �� è il momento di inerzia del carico, �� il coefficiente del termine viscoso, �� la coppia agente sul carico attraverso la trasmissione e �� la coppia di carico. Lo schema a blocchi del carico è il seguente

1

�� + ��

�̇� �

+

−1

�

��

��

��


8

4. Modello della parte meccanica di un motore DC

Similmente a quanto fatto per il carico, si può descrivere la dinamica meccanica del motore mediante un sistema dinamico del secondo ordine senza elasticità che fornisce la posizione dell’albero motore come effetto della coppia applicata

��̈� + ��̇� = � − ��

dove �� è il momento di inerzia del motore, �� il coefficiente del termine viscoso, �� la coppia effettivamente trasmessa alla trasmissione e � la coppia generata dal motore.

1

�� + ��

�̇� �

+

−1

�

� �

��

��


9

5. Modello complessivo

1

�� + �

��

� ��

� �

+

−

��

� �

�̇� �

parte elettrica del motore

1

�� + ��

�̇� �

+ −

1

�

��

��

parte meccanica del motore

�� + ��

�

��

��

+

−

��

trasmissione (elastica)

1

�� + ��

�̇� �

+

−1

�

��

��

carico

�(�) ��(�)

��(�)

��(�)


10

Schema concettuale

Motoreparte

elettrica

Motoreparte

meccanica

Trasmissione Carico�(�) �(�) ��(�) ��(�) ��(�)

��(�)

� � ��

MotoreTrasmissione

Carico

�(�)

��(�)

��(�)

Ingresso Uscita

Carico


11

6. Modello rigido di un azionamento

Se la trasmissione è rigida allora �� =�

��

Conseguentemente �̇� =�

��̇� , �̈� =

�

��̈�

Si scrivano dunque le equazioni per motore e carico

��̈� + ��̇� = � − ��

��̈� + ��̇� = �� − ��

Essendo rigida la trasmissione si ha che �� = �� e �� = −��

Si ha dunque

��̈� + ��̇� = � − �� ̈� + ��̇� = −�� − ��

Ricavando, per eliminarla, � in entrambe le equazioni si ha

� =1

�� − ��̈� − ��̇�

� = −1

��̈� + ��̇� + ��


12

Si ha quindi

−1

��̈� + ��̇� − � = −

1

��̈� + ��̇� + ��

da cui −�

�

��̈� + ��̇� − � =�

��̈� + ��̇� + ��

Ricordando che �̇� =�

��̇� , �̈� =

�

��̈�

��̈� + ��̇� − � = −1

��

1

��̈� + ��

1

��̇� + ��

Quindi

�� +1

�� ̈� + �� +

1

�� ̇� = � −

1

��

� �Infine

� �̈� + ��̇� = � −1

��

�

�� è il momento di inerzia del carico ridotto all’albero motore�

�� è il coefficiente di smorzamento del carico ridotto all’albero motore


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Lo schema a blocchi del modello rigido è il seguente

1

�� + �

�̇� �

+

−1

�

� � �� 1

�

��

1

�

��

��

� �

La funzione di trasferimento da corrente a velocità (del motore) è la seguenteΩ� �

� �=

��

�� + �La funzione di trasferimento da corrente a posizione (del motore) è la seguente��

� �=

��

� �� + �


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7. Modello elastico di un servomeccanismo

1

�� + ��

�̇� �

+

− 1

�

��

��

Partiamo direttamente dallo schema a blocchi generale visto precedentemente

��

�� + ��

�

��

+ −

��

�̇� �

+−

1

�

��

1

�� + ��X

Si può trascurare l’attrito sul carico (di solito è piccolo e consente un’analisi più accurata)

La funzione di trasferimento da corrente a velocità (del motore) è la seguente:

Ω� �

� �= �� =

= ��

�� + �� + ��

�� + �� + �� + �� + �� + �� + �� + ��

La funzione di trasferimento da corrente a posizione (del motore) è la seguente:

��

� �= �� =

1

�� F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 18

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8. Analisi di sensitività rispetto ai parametri elastici

Ω� �

� �= �� =

= ��

�� + �� + ��

�� + �� + �� + �� + �� + �� + �� + ��

Si ottiene

Ω� �

� �= �� = ��

�� + �� + ��

�� + �� + �� + �� + ��

In questo caso il polo reale è nell’origine (in generale è in bassa frequenza).

Ricordando che

Si analizzi ora la dipendenza della posizione dei poli dai parametri elastici �� e �� per valutare l’effetto delle caratteristiche della trasmissione sul comportamento del servomeccanismo.In generale, la funzione di trasferimento ha tre poli, uno reale e due complessi coniugati.Supponendo

��=0

X XX

�� = �� + ��

�� =��

��

�� + �� + ��

� �� +��

�� +��

��

=��

��

�� + ��

� + ��

� �� +��

�� +��

��F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 18

F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 18 16

�� =��

��

�� + ��

� + ��

� �� +��

�� +��

��

La funzione di trasferimento è

Essa ha, oltre al polo nell’origine, due poli complessi coniugati e due zeri complessi coniugati con le seguenti caratteristiche:

Poli

�� =��

�� = �

�

��

�� = ��

��= �

1

��

Zeri

�� =

��

��

2��

��

=1

2�

�

��

��

��

�� =��

��

2 ��

=1

2�

1

��

��

��


Nel caso i poli complessi coniugati cambiano di poco le loro proprietà ed il

terzo polo è in bassa frequenza.

�� ≠ 0

10-1

100

101

102

103

104

-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

Mag

nitud

e (

dB

)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

Kel=0; Del=0

Kel→∞

Per �� → ∞ la trasmissione è rigida. Per �� = 0, �� = 0, la trasmissione è aperta (solo motore).


Ω� �

� �= �� =

= ��

�� + �� + ��

�� + �� + �� + �� + �� + �� + �� + ��

Per �� = 0, �� = 0 si ottiene

��,� � = ��

1

�� + ��

che è la funzione di trasferimento del solo motore, scollegato dal carico

Per �� → ∞ si ottiene

��,� � = ��

��

�� + �� + ��= ��

1

�� +��

�� + ��

che è la funzione di trasferimento di motore e carico connessi da trasmissione rigida.


10-1

100

101

102

103

104

-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

Mag

nitud

e (

dB

)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

Al crescere di �� la pulsazione naturale di poli e zeri cresce (la trasmissione si irrigidisce, la «prima risonanza» si sposta in alta frequenza)


10-1

100

101

102

103

104

-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

Mag

nitud

e (

dB

)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

Del=0.002

Del=0.005

Del=0.01

Al crescere di �� lo smorzamento di poli e zeri diminuisce (la trasmissione si irrigidisce senza modificazione della «prima risonanza»)

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9. Analisi di sensitività rispetto al momento di inerzia

Si definisce rapporto di inerzia il rapporto tra il momento di inerzia del carico ed il momento di inerzia del motore riportato all’asse del carico

� =��

��

Dalla precedente espressione si può ottenere l’espressione del momento di inerzia totale e del momento di inerzia del carico in funzione di � e ��

� = �� +��

��= �� + �� = 1 + � ��

�� = ��



�� =��

�� =

�� 1 + � ��

�� =

1 + �

�

1

��

�� = ��

��= ��

��

��=

1

�

1

��

Zeri

�� =1

2�

�

��

��

��

=1

2�

1 + � ��

��

��

��

=1

2

1 + �

�

1

��

��

��

�� =1

2�

1

��

��

��

=1

2�

1

��

��

��

=1

2

1

�

1

��

��

��

E’ anche possibile esprimere le caratteristiche di poli e zeri complessi coniugati della funzione di trasferimento del sistema in funzione del rapporto di inerzia

Poli

��

��=

��

��= 1 + �


��

��=

��

��= 1 + �

Al crescere di � i due picchi di risonanza ed antirisonanza si allontanano. Al crescere di � il picco di risonanza è sempre più smorzato di quello di antirisonanza.

Nei robot � cambia in esercizio (durante il moto).

Una volta che siano note le caratteristiche inerziali di motore e carico, ovvero �� e ��

esiste una scelta ottima per il rapporto di trasmissione?

Nell’ipotesi di assenza di attriti viscosi sia sul motore che sul carico, cioè �� = �� = 0 e con trasmissione rigida, l’equazione che regola il moto del sistema è

�� +1

�� ̈� = � −

1

�� ̈� + ��

�̈�

�= � −

1

��

�̈��̈�

Dall’ultima espressione è possibile calcolare il rapporto tra l’accelerazione impressa al

carico �̈� e la coppia motrice �� = � −�

��

�̈�

��=

1

�� + ��1�

Per quale valore del rapporto di trasmissione � la coppia motrice genera la massima accelerazione? Essendo

il valore massimo si avrà per


�̈�

��=

1

�� + ��1�

�� = argmin�

�� + ��

1

�

Questa espressione è minimizzata per �� =�

�� ovvero per �� =

��

��

�� =��

��

Condizione di inertia matching

Dal momento che questa condizione si ha per � = 1�� = ��

Per � < 1 il motore è «sovradimensionato»

Per � > 1 il motore è «sottodimensionato»

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