Introduzione e strumenti -...

Controlli automatici Matlab e Simulink per i sistemi di controllo

© 2007 Politecnico di Torino 1

Introduzione e strumenti

2

Matlab e Simulink per i sistemi di controllo

IntroduzioneAnalisi e simulazione in ambiente MatlabIntroduzione all’utilizzo di SimulinkSimulazione in ambiente Simulink




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Introduzione (1/2)

L’utilizzo del linguaggio MATLAB© permette di realizzare facilmente i principali passi necessari per l’analisi ed il progetto di sistemi di controllo:

Manipolazione di funzioni di trasferimento e calcolo delle loro principali caratteristiche (singolarità, guadagno, ecc.)Analisi del comportamento in frequenza di un sistema mediante il tracciamento di diagrammi di Bode, di Nyquist e di Nichols della sua fdtSimulazione della risposta di un sistema ad un ingresso assegnato



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Introduzione (2/2)

L’utilizzo del toolbox SIMULINK© di Matlabfacilita la simulazione di sistemi interconnessi, consentendo la loro rappresentazionedirettamente per mezzo del corrispondenteschema a blocchiL’utilizzo congiunto di Matlab e Simulink permettedi sviluppare interamente il progetto di un sistema di controllo, verificando agevolmente ilsoddisfacimento delle specifiche di progetto, nonché la valutazione delle prestazioni di interesse

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Prerequisiti

Nella trattazione verranno considerate giànote le nozioni basilari del linguaggio Matlab(preparazione, salvataggio ed esecuzione di file, definizione di variabili, vettori e matrici, svolgimento delle principali operazionimatematiche, tracciamento di grafici)Alcuni comandi già introdotti ed utilizzati nelcorso di “Fondamenti di Automatica”, relativi alladefinizione e simulazione di sistemi dinamici, saranno ripresi in considerazione per essereutilizzati in caso di sistemi interconnessi



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Note

Nella trattazione verrà utilizzata la versione 6.5 di Matlab, a cui è associata la versione 5 di SimulinkPossono essere impiegate versioni successive di Matlab e Simulink, fatte salve eventuali piccole differenze nella sintassi di alcuni comandi e/o nella definizione di particolari blocchi in SimulinkI principali comandi Matlab introdotti ed utilizzati durante il corso sono riassunti nel file pdf allegato, insieme alle loro modalità di impiego

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Un esempio applicativo

L’utilizzo di Matlab e Simulink per l’analisi e la simulazione di un sistema di controllo saràillustrato nel caso di un servomotore in c.c.rappresentabile per mezzo dello schema a blocchiequivalente sviluppato nella Lezione “Schema tecnologico di un sistema di controllo”

Vr,Ia

+–

)s(CΩ

Vr,Ω

Kcond

VΩKD

+

– Vc

)s(CIa

Rs

Ia

A

Va

a

1Ls R+

Ia Tm

+

– Ω

Km

Tc

VD

β+Js1




10

Vr,Ia

+–

)s(CΩ

Vr,Ω

Kcond

VΩKD

+

– Vc

)s(CIa

Rs

Ia

A

Va

a

1Ls R+

Ia Tm

+

– Ω

Km

Tc

VD

β+Js1

Calcolo della fdt del motore

Primo obiettivo: calcolo della fdt del motore(incluso anello di corrente) per Tc = 0

r,Ia

V (s)F(s)V (s)

Ω=



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Calcolo della fdt del motore

Primo obiettivo: calcolo della fdt del motore(incluso anello di corrente) per Tc = 0

Ia

KC (s)

s=

r,Ia

V (s)F(s)V (s)

Ω=

Tc= 0

Vr,Ia

+–

)s(CΩ

Vr,Ω

Kcond

VΩKD

+

– Vc

)s(CIa

Rs

Ia

A

Va

a

1Ls R+

Ia Tm

+

– Ω

Km

VD

β+Js1

12

Preparazione del file Matlab: 1a parte (1/3)

clear allclose all

Si consiglia di porre all’iniziodi un nuovo file, aperto con l’editor di Matlab, i comandi di “pulizia”dello spazio di lavoro e di chiusura delle finestregrafiche eventualmente giàaperte



13


Questi comandipermettono di “ripartire da zero”ogni volta in cui ilfile viene eseguito

clear allclose all

Si consiglia di porre all’iniziodi un nuovo file, aperto con l’editor di Matlab, i comandi di “pulizia”dello spazio di lavoro e di chiusura delle finestregrafiche eventualmente giàaperte

14


clear allclose alls=tf(’s’);

Si consiglia di porre all’iniziodi un nuovo file, aperto con l’editor di Matlab, i comandi di “pulizia”dello spazio di lavoro e di chiusura delle finestregrafiche eventualmente giàaperteSi definisce la variabilecomplessa s per un’agevole definizione dellefdt di sistemi o sottosistemi



15


Il comando tfpermette di definiree/o di calcolare la fdt di un sistema LTI secondo diverse modalità

clear allclose alls=tf(’s’);

Si consiglia di porre all’iniziodi un nuovo file, aperto con l’editor di Matlab, i comandi di “pulizia”dello spazio di lavoro e di chiusura delle finestregrafiche eventualmente giàaperteSi definisce la variabilecomplessa s per un’agevole definizione dellefdt di sistemi o sottosistemi

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clear allclose alls=tf(’s’);Ra=6;L=3.24e-3;Km=0.0535;J=20e-6;beta=14e-6;KD=0.0285;Kcond=0.67;Rs=7.525;A=2.925;K=1000;CIa=K/s;

Si assegnano ai parametridel sistema i corrispettivivalori numerici (nelleappropriate unità di misura) e si definisce CIa(s)



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Si calcola la fdt fra Vr,Ia(s) e Ia(s) (indicata come Fr,Ia(s)) con il comando feedback


FrIa=feedback(CIa*A/(L*s+Ra),Rs);

Tc= 0

Vr,Ia

+–

)s(CΩ

Vr,Ω

Kcond

VΩKD

+

– Vc

)s(CIa

Rs

Ia

A

Va

a

1Ls R+

Ia Tm

+

– Ω

Km

VD

β+Js1

18



1° argomento: fdtdel ramo diretto


Tc= 0

Vr,Ia

+–

)s(CΩ

Vr,Ω

Kcond

VΩKD

+

– Vc

)s(CIa

Rs

Ia

A

Va

a

1Ls R+

Ia Tm

+

– Ω

Km

VD

β+Js1



19



2° argomento: fdt dellaretroazione


Tc= 0

Vr,Ia

+–

)s(CΩ

Vr,Ω

Kcond

VΩKD

+

– Vc

)s(CIa

Rs

Ia

A

Va

a

1Ls R+

Ia Tm

+

– Ω

Km

VD

β+Js1

20


La retroazione è assuntaautomaticamente negativa



Tc= 0

Vr,Ia

+–

)s(CΩ

Vr,Ω

Kcond

VΩKD

+

– Vc

)s(CIa

Rs

Ia

A

Va

a

1Ls R+

Ia Tm

+

– Ω

Km

VD

β+Js1



21


FrIa=feedback(CIa*A/(L*s+Ra),Rs);F=FrIa*Km/(J*s+beta)*KD*Kcond

Si calcola la F(s) cercata (cascatadi blocchi)

Per visualizzare ilrisultato non si mette il ;


Tc= 0

Vr,Ia

+–

)s(CΩ

Vr,Ω

Kcond

VΩKD

+

– Vc

)s(CIa

Rs

Ia

A

Va

a

1Ls R+

Ia Tm

+

– Ω

Km

VD

β+Js1

22

Fdt del motore e schema a blocchi risultante

L’esecuzione della prima parte del file Matlab cosìpreparata dà come risultato:

Transfer function:2.988

-------------------------------------------------------------------6.48e-008 s^3 + 0.00012 s^2 + 0.4403 s + 0.3081



23

–

e u yF(s)CΩ(s)

ydes

+

rKr


Per Tc = 0 lo schema a blocchi diventa pertanto:



-------------------------------------------------------------------6.48e-008 s^3 + 0.00012 s^2 + 0.4403 s + 0.3081

24

–

e u yF(s)CΩ(s)

ydes

+

rKr

ydes = Vr,Ω

u = Vr,Ia

y = VΩ


Per Tc = 0 lo schema a blocchi diventa pertanto:



-------------------------------------------------------------------6.48e-008 s^3 + 0.00012 s^2 + 0.4403 s + 0.3081



25

Simulazione del sistema ad anello chiuso

–

e u yF(s)CΩ(s)

ydes

+Kr

r

Secondo obiettivo: simulazione della risposta del sistema ad anello chiuso ad un riferimento a gradino unitario, per diversi controllori CΩ(s)

26


–

e u yF(s)CΩ(s)

ydes

+

rKr

r = gradino unitario

Kr = 1




27


Da progettare: ad esempioP (proporzionale) o PI(proporzionale-integrativo)


–

e u yF(s)CΩ(s)

ydes

+

rKr

r = gradino unitario

Kr = 1

28


Si assegna a Kr il valore 1 Kr=1;



29


Si assegna a Kr il valore 1Si definisce la fdt del controllore: Kp(proporzionale)

Kr=1;Kp=0.4;C_omega1=Kp;

30

Si assegna a Kr il valore 1Si definisce la fdt del controllore: Kp(proporzionale)Kp+Ki/s (proporzionale-integrativa)


Kr=1;Kp=0.4;C_omega1=Kp;Ki=2;C_omega2=Kp+Ki/s;



31

Si assegna a Kr il valore 1Si definisce la fdt del controllore: Kp(proporzionale)Kp+Ki/s (proporzionale-integrativa)Si calcola la fdt ad anello chiuso nei due casi



W1=Kr*feedback(C_omega1*F,1);W2=Kr*feedback(C_omega2*F,1);

32



Si applica il gradino unitariocon il comando step

W1=Kr*feedback(C_omega1*F,1);W2=Kr*feedback(C_omega2*F,1);step(W1,5)hold onstep(W2,5)hold off



33



2° argomento: istantefinale della simulazionea partire da t = 0



34



Tutti i grafici vengono riportatinella medesima finestra per un più agevole confronto





35

Risultato della simulazione

Risposta al gradinounitario con CΩ(s) = Kp

Risposta al gradino unitariocon CΩ(s) = Kp + Ki/s

L’esecuzione della seconda parte del file Matlabcosì preparata effettua la simulazione desiderata:

36

Analisi della risposta del sistema (1/3)

e 0∞ =

e 0.205∞ =

Valutazione del valore della risposta in regime permanente e calcolo dell’errore di inseguimento finale



37


s

ta(calcolato al 2%)

Valutazione della sovraelongazione massima e del tempo di assestamento

38


tr

ts

Valutazione del tempo di salita (secondo le definizioni date per tr e ts)



39

Poli del sistema ad anello chiuso (1/2)

Il diverso comportamento del sistema ad anello chiuso con i due controllori adottati può essere giustificato calcolando il valore dei poli della funzione W(s) nei due casi:

damp(W1)damp(W2)

Il comando damp determinai poli della fdt nella forma “parte reale + parte immaginaria” e ne fornisceanche pulsazione naturale e fattore di smorzamento

40


2.61e+0033.55e-001-9.25e+002 – 2.44e+003i

2.61e+0033.55e-001-9.25e+002 + 2.44e+003i

3.42e+0001.00e+000-3.42e+000

Freq. (rad/s)DampingEigenvalue

damp(W1)damp(W2)



41


2.61e+0033.55e-001-9.25e+002 – 2.44e+003i

2.61e+0033.55e-001-9.25e+002 + 2.44e+003i

3.42e+0001.00e+000-3.42e+000


3.69e+0004.63e-001-1.71e+000 + 3.27e+000i

2.61e+0033.55e-001-9.25e+002 - 2.44e+003i

2.61e+0033.55e-001-9.25e+002 + 2.44e+003i

3.69e+0004.63e-001-1.71e+000 - 3.27e+000i


damp(W1)damp(W2)

42

Riconoscimento dei poli dominanti

2.61e+0033.55e-001-9.25e+002 – 2.44e+003i

2.61e+0033.55e-001-9.25e+002 + 2.44e+003i

3.42e+0001.00e+000-3.42e+000


3.69e+0004.63e-001-1.71e+000 + 3.27e+000i

2.61e+0033.55e-001-9.25e+002 - 2.44e+003i

2.61e+0033.55e-001-9.25e+002 + 2.44e+003i

3.69e+0004.63e-001-1.71e+000 - 3.27e+000i


Polidominanti



43


2.61e+0033.55e-001-9.25e+002 – 2.44e+003i

2.61e+0033.55e-001-9.25e+002 + 2.44e+003i

3.42e+0001.00e+000-3.42e+000


3.69e+0004.63e-001-1.71e+000 + 3.27e+000i

2.61e+0033.55e-001-9.25e+002 - 2.44e+003i

2.61e+0033.55e-001-9.25e+002 + 2.44e+003i

3.69e+0004.63e-001-1.71e+000 - 3.27e+000i


W1(s) ha un polo dominantereale

Polidominanti

44


2.61e+0033.55e-001-9.25e+002 – 2.44e+003i

2.61e+0033.55e-001-9.25e+002 + 2.44e+003i

3.42e+0001.00e+000-3.42e+000


3.69e+0004.63e-001-1.71e+000 + 3.27e+000i

2.61e+0033.55e-001-9.25e+002 - 2.44e+003i

2.61e+0033.55e-001-9.25e+002 + 2.44e+003i

3.69e+0004.63e-001-1.71e+000 - 3.27e+000i


W2(s) ha unacoppia di polidominanticomplessiconiugati

W1(s) ha un polo dominantereale

ζ = 0.463Polidominanti




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Il toolbox Simulink (1/2)

Il toolbox SIMULINK© permette di rappresentare il sistema direttamente per mezzo del corrispondente schema a blocchi e di simularne il comportamento



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Il toolbox Simulink (2/2)

In particolare è possibile:Assegnare agevolmente differenti segnali di riferimento Considerare la contemporanea presenza di disturbi lungo l’anelloVisualizzare direttamente l’andamento di più variabili di interesse (ad es. l’uscita, l’errore di inseguimento, il comando)Salvare in un file il risultato della simulazione e/o renderlo disponibile nello spazio di lavoro di Matlab

48

Per aprire Simulink, è sufficiente digitare la parola “simulink” nella finestra di comando di Matlab oppure cliccare sulla corrispondente icona

Apertura di Simulink (1/2)



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Dalla finestra del “Simulink Library Browser” èpossibile:

Creare un nuovo modello o aprirne uno già esistente (file .mdl) dal menu “File”Individuare gli elementi di interesse nella libreria principale di Simulink o fra i toolbox disponibiliModificare alcune proprietà generali (ad esempio le caratteristiche dei font utilizzati)

Apertura di Simulink (2/2)

50

Creazione di un modello Simulink (1/4)

Per inserire un blocco nel modello (o più in generale qualunque elemento disponibile nelle librerie), è sufficiente selezionarlo e trascinarlo nella finestra del modello, mantenendo premuto il tasto sinistro del mouse



51


Per collegare due blocchi mediante un ramo, è sufficiente cliccare sul morsetto di uscita del primo e trascinare il cursore (tenendo premuto il tasto sinistro del mouse) fino a raggiungere l’ingresso del secondo oppure selezionare i due blocchi (nella sequenza desiderata) tenendo premuto il tasto CTRL

52


Per collegare due blocchi mediante un ramo, è sufficiente cliccare sul morsetto di uscita del primo e trascinare il cursore (tenendo premuto il tasto sinistro del mouse) fino a raggiungere l’ingresso del secondo oppure selezionare i due blocchi (nella sequenza desiderata) tenendo premuto il tasto CTRL



53


È possibile modificare i parametri di un blocco facendo un doppio click sul blocco stesso: si apre in questo modo una finestra di interfaccia, contenente appositi campi per l’assegnazione dei parametri del blocco modificabili dall’utente

54


È possibile modificare i parametri di un blocco facendo un doppio click sul blocco stesso: si apre in questo modo una finestra di interfaccia, contenente appositi campi per l’assegnazione dei parametri del blocco modificabili dall’utentePer rinominare un blocco è sufficiente cliccare sul nome assegnato automaticamente e modificarlo secondo quanto desiderato



55


Premendo il tasto destro del mouse in corrispondenza di un blocco selezionato, si apre un menu a tendina che consente di agire su tutte le caratteristiche del blocco, sia di contenuto (parametri) sia grafiche (font, rotazioni del blocco, colori, ecc.)

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Blocchi ed elementi principali (1/9)

Nella cartella “Continuous” sono disponibili i principali blocchi associati alla rappresentazione di sistemi dinamici a tempo continuo, mentre nella cartella “Discrete” si possono trovare quelli associati alla rappresentazione di sistemi dinamici a tempo discreto



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È possibile definire direttamente un sistema Lineare Tempo-Invariante, sia a tempo continuo sia a tempo discreto, secondo tutte le modalità ammesse dal “Control System Toolbox”(fdt o rappresentazione in variabili di stato) usando il blocco “LTI System” disponibile nella libreria di tale toolbox

58


La definizione della fdtviene automaticamenteproposta per mezzo del comando tf



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Se il sistema è già stato definito nello spazio di lavoro di MATLAB, è sufficiente associare al blocco la sua fdt già calcolata

60


Nella cartella “Math Operations” si trovano tutti gli elementi che realizzano le operazioni matematiche, tra cui i blocchi “Gain”(guadagno) e “Sum” (sommatore)



61


Nella cartella “Sources” si trovano i blocchi che permettono di applicare un segnale generato a piacere, tra cui “Step”, “Ramp”, “Sine Wave” e “Signal generator”, oppure salvato in un file .mat o predefinito nello spazio di lavoro di MATLAB

62


Nella cartella “Signal Routing” si trovano blocchi utili per la gestione dei segnali, tra cui “Mux” e “Demux” (per le funzioni di multiplexere demultiplexer) e gli interruttori manuale (“Manual Switch” ) ed automatico (“Switch”)



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Nella cartella “Sinks” sono disponibili i blocchi per visualizzare immediatamente una variabile (“Scope” ), per renderla disponibile nello spazio di lavoro di Matlab (“To Workspace”) o per salvarla in un file .mat (“To File”)

64


È possibile raggruppare una parte di un sistema complesso in un unico blocco disottosistema (“Subsystem” ), mantenendo inalterati i suoi collegamenti per mezzo di porte di ingresso e di uscita (“In” e “Out” ), utilizzando gli elementi disponibili nella cartella “Ports & Subsystems”



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Con un doppio click sul blocco di sottosistema, siapre la finestra in cui dovrà essere costruito il suomodello. È possibile inserire ulteriori ingressi e/ouscite aggiungendo ulteriori elementi di “In” e “Out”

66

Esecuzione della simulazione (1/2)

I parametri di simulazione (istante iniziale ed istante finale, algoritmo di integrazione numerica, passo di integrazione e tolleranze sull’errore) possono essere modificati selezionando “Simulationparameters”dal menu “Simulation”



67

Esecuzione della simulazione (2/2)

Per eseguire la simulazione, è sufficiente selezionare “Start” dal menu “Simulation”(oppure utilizzare il tasto rapido di “Start simulation” sulla barra degli strumenti)




69

Applicazione ad un servomotore in c.c. (1/3)

Il modello del servomotore in c.c.(rappresentato dal suo schema a blocchiequivalente) può essere facilmente realizzatoin Simulink, dopo aver definito nello spazio di lavoro in Matlab tutti i parametri e le fdt che in esso compaiono

Vr,Ia

+–

)s(CΩ

Vr,Ω

Kcond

VΩKD

+

– Vc

)s(CIa

Rs

Ia

A

Va

a

1Ls R+

Ia Tm

+

– Ω

Km

Tc

VD

β+Js1

70


Il modello del servomotore in c.c.(rappresentato dal suo schema a blocchiequivalente) può essere facilmente realizzatoin Simulink, dopo aver definito nello spazio di lavoro in Matlab tutti i parametri e le fdt che in esso compaiono

A tale scopo è sufficiente eseguire la prima parte del file Matlab prima creato, completata dalladefinizione della fdt dei controllori che si voglionoapplicare (ad esempio i controllori P e PI precedentemente considerati)



71


Per simulare il comportamento del sistemacontrollato non sarà necessario calcolarepreventivamente la fdt del servomotore F(s), così come sarà possibile includere anche la contemporanea presenza di una coppia di disturbo Tc

72

Dopo l’esecuzione del file, i parametri e le fdt presentinello spazio di lavorosaranno automaticamentericonosciuti dai blocchiSimulink che li contengonoed a ciascuno di essi saràassociata la rispettivaespressione definita in Matlab

File Matlab di definizione del modello

clear allclose alls=tf(’s’);Ra=6;L=3.24e-3;Km=0.0535;J=20e-6;beta=14e-6;KD=0.0285;Kcond=0.67;Rs=7.525;A=2.925;K=1000;CIa=K/s;

Prima parte del file: definizione deiparametri del servomotore



73

Dopo l’esecuzione del file, i parametri e le fdt presentinello spazio di lavorosaranno automaticamentericonosciuti dai blocchiSimulink che li contengonoed a ciascuno di essi saràassociata la rispettivaespressione definita in Matlab

File Matlab di definizione del modello


Seconda parte del file: definizione dei controllori P e PI

74

Modello Simulink del servomotore (1/7)



75


Blocco Stepda Sources

76


Blocco Stepda Sources



77


Blocchi Gain eSum da Math Operations

78


Blocco LTI System daControl System Toolbox



79


BloccoConstant daSources

80


Il disturbo è impostonullo come nellasimulazione in Matlab

BloccoConstant daSources



81


Subsystem (da Ports & Subsystems)

82


Blocco In aggiuntivo rispetto agli In e Outpreesistenti

Subsystem (da Ports & Subsystems)



83


Blocco Mux daSignal Routing

84


Blocchi Scope e To File daSinks



85

Simulazione 1: controllore P, Tc = 0 (1/3)

Parametri di simulazione

86


Risultato visibilesull’oscilloscopio

Conferma del risultatoottenuto con Matlab: elevato errorefinale



87

Creazione del file “simul.mat” contenente

la variabile “simulazione”


La variabile “simulazione”generata ha tre righe:

1) campioni del tempo

2) campioni dell’uscita

3) campioni del riferimento

88

Simulazione 2: controllore P, Tc = 0.005

Si riscontra unasignificativavariazionedell’errore finale




89

Simulazione 3: controllore PI, Tc = 0

Conferma del risultatoottenuto con Matlab: presenza di significativasovraelongazione, errore finale nullo


90

Simulazione 4: controllore PI, Tc = 0.005

Si riscontra un elevatoaumento dellasovraelongazione, mentre l’errore finale rimane nullo


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