Elettrostatica 113 maggio 2011

Campi scalari e vettoriali

Operatori differenziali sui campi

Vettore area

Operazioni integrali sui campi

Teoremi integrali

Campi

• Matematicamente sono funzioni reali (o complesse) che rappresentano grandezze fisiche

• Sono definiti nello spazio tridimensionale e nel tempo (o in opportuni sottoinsiemi)

• Se non dipendono dal tempo sono detti statici

• Se hanno ovunque (nell’insieme spaziale di definizione) lo stesso valore sono detti uniformi

),,,( tzyxF

),,( zyxG

2

Campi

• Se basta una sola funzione a definirli completamente, il campo e` detto scalare (campo della temperatura)

• Se occorre una funzione per ogni dimensione spaziale, il campo e` detto vettoriale (campo della velocita` di un fluido)

),,,( tzyxfAx

),,,( tzyxf

),,,( tzyxgAz ),,,( tzyxgAy

ktzyxAjtzyxAitzyxA

tzyxAtzyxAtzyxAtzyxA

zyx

zyx

ˆ,,,ˆ,,,ˆ,,,

,,,,,,,,,,,,,,

3

Operazioni differenziali sui campi

• Sono operazioni di derivazione delle componenti del campo. Agiscono su campi e definiscono nuovi campi.– Gradiente– Divergenza– Rotazione (o rotore)– Laplaciano

• Siccome le componenti sono funzioni di piu` variabili, avremo derivate parziali

4

Gradiente di un campo

• In coordinate cartesiane:

• Formalmente, l’operatore gradiente si scrive:

• Il gradiente di un campo scalare e` un campo vettoriale

• Puo` anche agire su una qualunque componente di un campo vettoriale:

zk

yj

xi

ˆˆˆ

z

Ak

y

Aj

x

AiA kkk

k

ˆˆˆ

zk

yj

xi

ˆˆˆ

5

Gradiente di un campo

• In coordinate cilindriche (r,,z):

• Un campo ha simmetria cilindrica se non dipende da • Ha simmetria di traslazione lungo z se non dipende da z• In tal caso la parte del gradiente nel rettangolo rosso si annulla

• In coordinate sferiche (r,):

• Un campo ha simmetria sferica se non dipende da • In tal caso la parte del gradiente nel rettangolo rosso si annulla

zk

ˆ1ˆˆ

sin

1ˆ1ˆˆrrr

r

6

Divergenza di un campo vettoriale

• In coordinate cartesiane:

• Formalmente si puo` considerare come il prodotto scalare tra l’operatore gradiente e il campo vettoriale:

• E` un campo scalare

z

A

y

A

x

AA zyx

kAjAiAz

ky

jx

iA zyxˆˆˆˆˆˆ

7

Divergenza di un campo vettoriale

• In coordinate cilindriche:

• In coordinate sferiche:

z

AAAA z

11

A

rA

rAr

rrA r sin

1sin

sin

11 22

8

Rotazione di un campo vettoriale

• In coordinate cartesiane:

• Formalmente si puo` considerare come il prodotto vettoriale tra l’operatore gradiente e il campo vettoriale:

• Dalla presenza di versori, si evince che e` un campo vettoriale

y

A

x

Ak

x

A

z

Aj

z

A

y

AiA xyzxyz ˆˆˆ

zyx

zyx

AAAzyx

kji

kAjAiAz

ky

jx

iA

ˆˆˆ

ˆˆˆˆˆˆ

9

Rotazione di un campo vettoriale

• In coordinate cilindriche:

• In coordinate sferiche:

AAk

A

z

A

z

AAA zz 1ˆˆ1

ˆ

rr ArA

rrrA

rr

A

r

AA

rrA

1ˆ1

sin

1ˆsinsin

1ˆ

10

Laplaciano di un campo

• In coordinate cartesiane:• Il laplaciano di un campo scalare e` un campo

scalare• E` la divergenza del gradiente:• Formalmente:

• Puo` agire anche su una qualunque componente di un campo vettoriale:

2

2

2

2

2

2

zyx

2

2

2

2

2

2

z

A

y

A

x

AA kkkk

2

2

2

2

2

2

2ˆˆˆˆˆˆ

zyxzk

yj

xi

zk

yj

xi

11

Vettore area

• Due vettori nello spazio a e b, linearmente indipendenti, definiscono un piano

• L’area del parallelogramma che si puo` costruire coi due vettori e`:

• Alla coppia a, b si puo` associare un vettore perpendicolare al piano e di modulo pari ad A, cioe` il loro prodotto esterno:

• Quindi: dati due vettori indipendenti l’area del parallelogramma associato e` data dal modulo del loro prodotto vettoriale.

sinabA

baA

a

b

a

b

A

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Area dei parallelogrammi proiezione

• Proiettiamo i due vettori a e b sui tre piani coordinati di una terna cartesiana

• Per ciascun piano xixj otteniamo una coppia di vettori aij ,bij proiezioni della coppia a,b (ovvero un parallelogramma proiezione del parallelogramma associato alla coppia)

• Determiniamo la coppia proiettata, ad esempio, sul piano xy:

• Determiniamo l’area del parallelogramma associato:

• Che altro non e` se non la componente z del vettore area A.

• Quindi la proiezione di un elemento di area su un piano coordinato e` la componente nella direzione normale al piano del vettore area associato all’elemento.

kbabajbibjaiabaA yxyxyxyxxyxyxyˆˆˆˆˆ

z

xy

a

b

jaiaa yxxyˆˆ

jbibb yxxyˆˆ

zzyxyxxy AbababaA

kAjAiAA zyxˆˆˆ

13

Operazioni integrali sui campi• Circuitazione: integrale lungo una linea (1-dim)

• Flusso: integrale su una superficie (2-dim)

• Integrale nello spazio (di volume): 3-dim

V

dV

C

ldA

SS

adAdanA

ˆ

V

S

A

C

A

14

Teoremi integrali

• Esistono due teoremi che coinvolgono integrali multipli degli operatori differenziali:– Teorema della divergenza– Teorema di Stokes

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Teorema della divergenza

• Lega il flusso di un campo vettorale all’integrale di volume della divergenza del campo stesso

• (Flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie chiusa) = (Integrale della divergenza del campo nello spazio interno alla superficie)

VS

dVAadA

A

A

S

V

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Teorema di Stokes

• Lega la circuitazione di un campo vettoriale al flusso della rotazione del campo stesso

• (Circuitazione di un campo vettoriale lungo una linea chiusa) = (Flusso della rotazione del campo attraverso una qualunque superficie aperta che poggia su tale linea)

SC

adAldA

A

A

C

S

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