Nona Lezione

Il punto sui campi elettrici e magnetici statici

Riassunto della lezione precedente Forza di Lorentz in alcuni casi notevoli Forze su fili attraversati da correnti immersi in un

campo magnetico Campo magnetico prodotto da una corrente filiforme:

Formula di Laplace Caso particolare di corrente su filo lungo rettilineo:

legge di Biot-Savart Flusso di B Circuitazione di B: legge di Ampère Legge di Ampère in forma differenziale: il rotore

Due anni fa (parli del diavolo…)

ECCEZIONALE TEMPESTA ELETTROMAGNETCA Rischio blackout

Boulder (Colorado). La Noaa, il centro di Boulder nel Colorado che monitora i parametri geofisici della Terra, lancia l'allarme dopo aver registrato, domenica, una tempesta geomagnetica del massimo grado previsto, che potrebbe provocare seri ...

NOAA ISSUES SPACE WEATHER WARNING

May 15, 2005 — Forecasters at the NOAA Space Environment Center in Boulder, Colo., observed a geomagnetic storm on Sunday, May 15, which they classified as an extreme event, measuring G-5—the highest level—on the NOAA Space Weather Scales. (Click image for larger view of the sun from the SOHO spacecraft of the intense solar activity taken May 15, 2005, at 7:50 a.m. EDT. Click here to view high resolution version, which is a large file. Click here to view latest images. Please credit “SOHO.”)

"This event registered a 9 on the K-Index, which measures the maximum deviation of the Earth's magnetic field in a given three-hour period," said Gayle Nelson, lead operations specialist at NOAA Space Environment Center. "The scale ranges from 0 to 9, with 9 being the highest. This was a significant event."

Possible impacts from such a geomagnetic storm include widespread power system voltage control problems; some grid systems may experience complete collapse or blackouts. Transformers may experience damage. Spacecraft operations may experience extensive surface charging; problems with orientation; uplink/downlink and tracking satellites. Satellite navigation may be degraded for days, and low-frequency radio navigation can be out for hours. Reports received by the NOAA Space Environment Center indicate that such impacts have been observed in the United States.

NOAA forecasters said the probability of another major event of this type is unlikely, however, other minor level (G-1) geomagnetic storms are possible within the next 24 hours.

Teorema di StokesCalcoliamo il flusso del rotore di B su una superficie ortogonale a J e usiamo il th di Ampère in forma differenziale

IdSS

0 nB

Ma per il th di Ampère in forma integrale Id 0 lB

Quindi lBnB

ddSS

Riassumendo: campi STATICI

0 lE

d 0 E

D

QdsS

nDD

Id 0 lB

JB

0

0 S

ds nBB

0 B

Alcune proprietà degli operatoriVale l’identità 0 Rende conto del fatto che un campo a circuitazione

nulla può essere espresso come gradiente di un potenziale scalare

Vale l’identità 0 A

Come sappiamo, il campo elettrostatico soddisfa tale requisito; il campo magnetico (in generale) no

Il campo magnetico è solenoidale, quindi può essere espresso come rotore di un vettore, che si definisce potenziale vettore

Teorema di Helmholtz Un campo vettoriale è definito se ne assegnano

divergenza e rotore

La conseguenza è che un qualunque campo vettoriale L può essere scritto come

AL

Qualche considerazione sull’energia La densità di energia per un campo elettrico

è, in generale

ED

2

1

Ovvero per mezzi lineari isotropi, quando D=E

2

2

1E

Qualche considerazione sull’energia Dimostriamolo: se portiamo una carica q2 in prossimità di una carica q1

l’energia potenziale è12

2112 4 r

qqU

se portiamo una carica q3 in prossimità delle prime due spendiamo

23

32

13

3113 44 r

qq

r

qqU

L’energia spesa in totale è la somma, che possiamo scrivere

jir

qqU

j ij

j

ii 42

1 Il fattore 1/2 è dovuto al fatto che ogni coppia appare 2 volte

In termini di potenziale

ii

iqU 2

1 Considerando una distribuzione continua di carica, in

cui dq=dVdVU

V

2

1

Qualche considerazione sull’energia Ma per il teorema di Gauss

Utilizzando un’identità vettoriale che abbiamo già usato

Sul primo termine a destra possiamo applicare il teorema della divergenza trasformandolo

Se la superficie è una sfera di raggio che tende all’infinito tale termine tende a zero. Infatti D decresce per una carica come r2 e il potenziale come r; per distribuzioni più complicate (es. dipolo) possono decrescere solo più rapidamente; la superficie della sfera cresce invece some r2 : l’integrando va a zero. Rimane quindi

V V

dVdVU EDD

2

1

2

1

dVdVUVV

D

2

1

2

1

dVdVdVVVV DDD

2

1

2

1

2

1

SV

dsdV nDD

CVD

Qualche considerazione sull’energia

Per il campo di induzione magnetica si potrebbe fare lo stesso (con elementi di corrente al posto delle cariche) ma la dimostrazione è molto più complicata

Il risultato generale (che verificheremo in qualche caso particolare) è che la densità di energia è

Così che l’energia è

Per mezzi lineari isotropi per cui è B=H sarà

V

B dVU2

2

1H

HB

2

1

V

B dVU HB

2

1

Ma cos’è H? Il campo H, intensità di campo magnetico, era stato definito nel vuoto come

000 HB

L’atomo, attraverso diversi contributi (spin elettronico, orbita elettronica e spin dei nuceloni) ha un momento di dipolo magnetico

L’orientamento casuale dei dipoli, in gran parte della materia ordinaria, fa si che l’effetto netto complessivo sia nullo; questo non accade nei materiali magnetici

Un campo magnetico esterno produce un momento torcente, ed in alcuni materiali i dipoli si orientano producendo un campo magnetico proprio che si sovrappone al campo magnetico esterno

MBBB

0 MH

00 Definiamo M Polarizzazione Magnetica

Ma cos’è H?

Nei materiali lineari M è proporzionale ad H: si definisce il fattore di proporzionalità suscettività magnetica

HM

m

Per cui in generale

r si definisce permeabilità magnetica relativa; è un numero adimensionale e nella maggioranza dei materiali vale circa 1

HHHB

rm 00 1

Qualche esercizio: 1Un filo rettilineo, indefinito, percorso da una corrente di intensità di 5 A è immerso in un mezzo omogeneo, isotropo ed indefinito di permeabilità relativa r=1.05. Si calcoli l’intensità H del campo magnetico, l’induzione magnetica e la densità di energia in un punto distante 6 cm dal filo

Legge di Biot-Savart: mAd

IH /26.13

2

26

0 /105.17 mWHB r

Densità di Energia: 34 /1016.12

1mJW HB

EsercizioTrovare H al centro di una spira di corrente quadrata di lato L in aria

y

Simmetria: ogni mezzo lato fornisce stesso H

Per il mezzo lato 0xL/2 formula di Laplace:

2/

024

1'

L

dr

IulH

2/

0 2

322 2/

2/

4

Lyxx

Lx

LxIdx uuu

2/

034

'L

dr

IRlH

2/

0 2

322 2/

2/

4

Lz

Lx

IdxL u

2/

0 2

322 2/

2/

48'8

Lz

Lx

IdxL uHH

zL

Iu

22

xR

EsercizioDue fili rettilinei, paralleli e percorsi da corrente, si attirano nel vuoto con una forza per unità di lunghezza Fo/l=4 10-3 N/m. Con quale forza per unità di lunghezza si attirerebbero se si trovassero in un mezzo di permeabilità relativa r=0.9?

Sappiamo che la forza è legata a B, e che B, rispetto a Bo nel vuoto, è tale che B=r Bo. Per cui la forza rispetto a quella nel vuoto sarà

mmNl

F

l

Fr /6.30

EsercizioNella regione 0<r<0.5 m, in coordinate cilindriche, la densità di corrente è 22 /5.4 mAe z

ruJ

e in qualsiasi altro punto è nulla. Trovare H con la legge di Ampère.

Scegliamo un percorso circolare per applicare il th di Ampère. Se il percorso ha raggio ro la corrente sarà data dal flusso attraverso la superficie del cerchio di raggio ro:

S

z

S

dSdSI uJnJ

rr

erdrd 2

0

2

0

5.40

Dove ricordate che rdrdè l’elemento di area in coord. cilindriche 5.421

200 2

02 rr ere

La corrente ha simmetria cilindrica (non dipende da ) e ci aspettiamo che H (come pure B) conservi tale simmetria

Esercizio (Continuo)

Ora, legge di Ampère sul percorso circolare di raggio ro :

rHdc

2lH

5.4212

00 20

2 rr ereI mAere

rrr /21

4

5.400 2

02

0uH

Che è la soluzione per r<0.5m

Per r da 0.5m in poi la corrente racchiusa rimane la stessa, e la si trova sostituendo tale valore ad ro: I=1.868A

mrmAr

5.0/2

868.1

uH

EsercizioTrovare H sull’ asse di una spira di corrente circolare di raggio a

Questo per il punto evidenziato.Simmetria: elementi di corrente diametralmente opposti generano componenti r che si elidono: H sull’asse è solo lungo z

2

0 2

322

2

4 ha

dIa zu

z

h R

I dl

zr ha uuR

RlH

dr

Id

34

2

3224 ha

hadIa zr

uuu

2

322

2

2 ha

Ia z

u

EsercizioSia assegnato il campo vettoriale

zx

x eyaxy uuA

)())cos((

Trovare il rotore di A nell’origine

zyx

xx

zyx

zyx

axe

eyaxy

uuu

uuu

A

)cos(

0)cos(

E nell’origine:zyx uuuA

EsercizioCalcolare in coordinate cartesiane il rotore dell’intensità H dovuta ad un filamento di corrente disposto lungo l’asse z, con la corrente nella direzione di z

z

y

x

y

x u

Per la legge di Biot-Savart uH

r

I

2

Ma vale la trasformazione di coordinate Cilindriche->Cartesiane:

yxyx

x

yx

yuuu

2222

Esercizio (Continuo)

Calcoliamo quindi il rotore come fatto nell’es. precedente:

0

0

2222

2222

zyxzyx

zyx

yx

y

yx

x

yx

x

yx

yu

uuu

H

Questo non è vero nell’origine (x=0,y=0), dove sappiamo per la legge di Ampère:

JH

Esercizio

z

y

q1

q2

Si calcoli l’espressione del potenziale generato da due cariche puntiformi q1 e q2. q1=10C ed è posta in (0,0.05,0.02) m, mentre q2=- 20C ed è posta in (0,0.05,-0.02) m. Nel piano y=0 c’è un piano perfettamente conduttore.

z

y

q1

q2

q1i

q2i

2211 iii qqqq

Applichiamo il principio delle immagini, rimpiazzando il conduttore con due cariche immagine q1i e q1i

Ricaviamo il potenziale

21210

2121

4

1)(

ii

qiqiqqV

rrrrrrrrr

Esercizio (continuo)

dove

0.02)(0,-0.05,-

.02)(0,-0.05,0

.02)(0,0.05,-0

02)(0,0.05,0.

),,(

2

1

2

1

i

i

zyx

r

r

r

r

r

Per cui 2/12221 02.005.0 zyxrr

Volendo calcolarsi E basterebbe valutare

2/12222 02.005.0 zyxrr Ecc.

)()( rrE V

EsercizioL’elettrodo sferico di un generatore di Van der Graaff ha un diametro d=2m e viene caricato con una corrente di intensità 10 A. Se l’elettrodo è inizialmente scarico, quanto tempo occorre perché l’intensità del campo elettrico nelle immediate vicinanze dell’elettrodo raggiunga il valore E=2.106 V/m ?

2

04 r

QEr V/m102

46

20

r

ti

s .222 s 1010

102146

620

t C 022 tiQ

EsercizioSia dato il campo x

zjkzjk zz eIeI uH

21

Determinare il rotore di H. Il campo può esprimersi come gradiente di un campo scalare?

yzjkzjk

zzz eIeIjk uH

21

Non può essere il gradiente di un campo scalare, visto che in tal caso il rotore sarebbe nullo

Esercizio

Sia dato il campo rr

ruD

1

52

Trovare la densità di carica in coordinate sferiche

A

rsinsinA

rsinAr

rrr

111 22

A

In coordinate sferiche l’operatore divergenza assume la forma

Per cui 22

2

1

35

r

rD