Elementi Meccanica Civile

8/6/2019 Elementi Meccanica Civile

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Dispense di

Elementi di Meccanica Applicata

Ing. Civile

Testi consigliati:

E. Funaioli ed al. - Meccanica applicata alle macchine , Vol. 1 e 2 - Ed. Patron

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1. ALCUNE DEFINIZIONI FONDAMENTALI ...............................................................5

2. RICHIAMI DI MECCANICA E FISICA ......................................................................5

2.1. FORZA

E

SISTEMI

DI

FORZE

.................................................................................................52.2. LAVOROE POTENZADIUNAFORZA .....................................................................................6

2.3. LEGGEFONDAMENTALEDELLADINAMICADELPUNTO...............................................................7

2.4. STATICADEICORPIRIGIDI....................................................................................................8

2.5. STATICADEICORPIRIGIDIVINCOLATI....................................................................................8

2.6. PRINCIPALITIPIDIVINCOLO...............................................................................................10

2.7. DINAMICADELCORPORIGIDOVINCOLATO............................................................................12

3. COPPIE CINEMATICHE MECCANISMI ..............................................................12

3.1. ESEMPIDICOPPIEELEMENTARI...........................................................................................17

4. APPLICAZIONI DELLE EQUAZIONI CARDINALI DELLA STATICA ........ ... ..19

4.1. CASO 1: CORPORIGIDOSOTTOPOSTOADUNAFORZAOUNCOPPIA............................................21

4.2. CASO 2: CORPORIGIDOSOTTOPOSTOADUEFORZE................................................................21

4.3. CASO 3: CORPORIGIDOSOTTOPOSTOADUEFORZEEUNMOMENTOESTERNO............................. 22

4.4. CASO 4: CORPORIGIDOSOTTOPOSTOATREFORZE.................................................................24

4.5. CASO 5: CORPORIGIDOSOTTOPOSTOATREFORZEEDUNMOMENTO.........................................27

4.6. CASO 6: CORPORIGIDOSOTTOPOSTOQUATTROFORZE............................................................28

4.7. ALCUNIESERCIZI.............................................................................................................30

4.7.1. Quadrilatero articolato ......................................................................................31

4.7.2. Manovellismo di spinta .......................................................................................33

4.7.3. Meccanismo camma-bilancere ...........................................................................354.7.4. Ragno .................................................................................................................37

5. FORZE DI ATTRITO ....................................................................................................40

5.1. ATTRITODISTRISCIAMENTOFRASUPERFICIASCIUTTE - LEGGEDI COULOMB.............................40

5.2. COPPIECINEMATICHELUBRIFICATE......................................................................................44

5.3. LUBRIFICAZIONELIMITE....................................................................................................45

5.4. CONTATTOFRASUPERFICIASCIUTTESOGGETTEALOGORAMENTO (FRENIEFRIZIONI) ...................465.4.1. Perno di spinta................................................................................................... 46

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5.4.2. Pattino su superficie piana................................................................................. 49

5.4.3. Ceppopuleggia .................................................................................................50

5.5. ATTRITODIROTOLAMENTO................................................................................................51

5.5.1. Ruota e piano perfettamente elastici ..................................................................52

5.5.2. Strada deformabile e pressione proporzionale alla deformazione .....................52

5.5.3. Strada deformabile plasticamente ......................................................................53

5.5.4. Coefficiente di attrito di rotolamento .................................................................53

5.6. EFFETTODEGLIURTISULLEASPERIT..................................................................................54

5.7. CUSCINETTIAROTOLAMENTO.............................................................................................55

6. LAVORO E RENDIMENTO ........................................................................................56

6.1. MECCANISMIINSERIE.......................................................................................................58

6.2. MECCANISMIINPARALLELO...............................................................................................58

6.3. ESPRESSIONIDELRENDIMENTO...........................................................................................59

6.4. MOTORETROGRADO.........................................................................................................59

6.5. RELAZIONEFRA E .................................................................................................59

6.6. MACCHINEADARRESTOSPONTANEO...................................................................................60

6.7. RENDIMENTODELPIANOINCLINATO....................................................................................60

6.8. RENDIMENTODELLACOPPIAROTOIDALE..............................................................................62

6.9. RENDIMENTODELLACOPPIAPRISMATICA..............................................................................63

7. MECCANISMI CON ORGANI FLESSIBILI .............................................................64

7.1. EFFETTODELLANONPERFETTAFLESSIBILITDELLECINGHIE...................................................66

7.2. RENDIMENTODELLACARRUCOLAFISSA...............................................................................67

7.3. RENDIMENTODELLACARRUCOLAMOBILE............................................................................68

7.4. PARANCHI.......................................................................................................................69

7.4.1. Paranchi a tiro invertito .....................................................................................70

7.4.2. Paranchi a tiro diretto ........................................................................................71

7.4.3. Paranco differenziale .........................................................................................72

7.5. ALTREAPPLICAZIONI........................................................................................................75

8. DINAMICA DI SISTEMI LINEARI CON 1 GRADO DI LIBERT ........................768.1. POSIZIONEDIEQUILIBRIO...................................................................................................77

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8.2. EQUAZIONIDIMOTONEISISTEMILINEARI.............................................................................77

8.3. FORZEELASTICHE............................................................................................................79

8.4. FORZESMORZANTI...........................................................................................................81

8.4.1. Smorzamento viscoso .........................................................................................82

8.4.2. Smorzamento strutturale ....................................................................................83

8.5. EQUAZIONIDIMOTO.........................................................................................................85

8.5.1. Comportamento libero di un sistema con 1 GdL con smorzamento viscoso .......85

8.6. MOTOLIBERO.................................................................................................................87

8.6.1. Parametri adimensionali ....................................................................................91

8.6.2. Decremento logaritmico .....................................................................................93

8.7. NOTAZIONEESPONENZIALE (TECNICADEIFASORI) .................................................................96

8.8. MOTOFORZATO...............................................................................................................99

8.8.1. Moto forzato del sistema senza lutilizzo dei numeri complessi .......................100

8.8.2. Moto forzato del sistema con i numeri complessi .............................................103

8.9. RICETTANZA.................................................................................................................104

8.9.1. Rappresentazione della ricettanza ....................................................................105

8.10. ALTRE FUNZIONIDI RISPOSTAIN FREQUENZA..................................................................107

8.10.1. Andamenti asintotici e risonanza ....................................................................109

8.10.2. Andamenti asintotici delle altre FRFs dirette .................................................115

8.10.3. Alcuni passaggi algebrici ...............................................................................118

8.11. FUNZIONIDI RISPOSTAIN FREQUENZACONSMORZAMENTOSTRUTTURALE.............................120

8.11.1. Rappresentazione delle FRFs sul piano di Nyquist ........................................122

8.12. STRUMENTISISMICI......................................................................................................127

8.13. ISOLAMENTODALLEVIBRAZIONIEEFFICIENZADELLESOSPENSIONI.......................................136

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1. Alcune definizioni fondamentali

Macchina: sistema di organi disposti in modo da compiere sotto lazione di forze

convenientemente applicate, lavoro di interesse industriale.

Macchine motrici: (idrauliche, termiche, elettriche,) utilizzano energie naturali

trasformandole in lavoro meccanico.

Macchine operatrici: utilizzano il lavoro meccanico prodotto da una motrice per

trasformarlo in lavoro industrialmente utile (macchine utensili, per lavorazioni varie,

compressori,).

La Meccanica Applicata alle Macchine studia ci che comune alle varie categorie di

macchine a prescindere dai caratteri specifici di ciascuna di esse.

Lo studio pu essere fatto da un punto di vista puramente cinematico astraendo dalle forze

che producono il movimento o da un punto di vista dinamico considerando il moto come

effetto delle forze agenti sulla macchina. In molti casi il problema del moto risolto con le

equazioni della statica poich sono nulle o trascurabili le forze di inerzia (studio statico di

una macchina).

2. Richiami di Meccanica e Fisica2.1. Forza e Sistemi di Forze

Si chiamano forze quelle cause che modificano lo stato di moto rettilineo uniforme o di

quiete di un corpo. Lesperienza ci fa rilevare che una forza agisce in una determinata

direzione, in un determinato verso e con una certa intensit; essa possiede pertanto tutte le

caratteristiche di un vettore (che si pu pensare applicato al punto su cui la forza agisce) e

con questo ente rappresentabile.Per lo studio della statica e/o della dinamica del punto materiale e dei corpi, in particolare di

quelli rigidi, importante introdurre il significato della risultante di un sistema di forze e

del momento risultante del sistema, intesi come risultante e momento risultante del sistema

di vettori che rappresentano le forze stesse.

Due sistemi di forze rappresentati da due sistemi di vettori equivalenti sono detti sistemi di

forze equivalenti. Lequivalenza consiste nel fatto che se i due sistemi sono applicati ad un

corpo rigido provocano separatamente le stesse condizioni di un moto del corpo considerato.

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In particolare se il sistema di forze ha risultante nulla e momento risultante nullo rispetto ad

un punto1, il sistema non modifica le condizioni di moto di un corpo rigido nel senso che se

esso in quiete rimane in quiete anche dopo lapplicazione del sistema di forze, se in

movimento rimane nel suo stato come se non ci fosse applicato alcun sistema di forze. Perquesto motivo il sistema si dice in quiete.

2.2. Lavoro e Potenza di una forza

Supponiamo che una forzaFcostante sia applicata al punto P e che il punto P compia uno

spostamento rettilineo P1-P.

Si dice lavoro della forzaFnello spostamento P1-P la quantit scalare( )

oSpostament

PPFL = 1 .

Consideriamo adesso F variabile ed il punto P descriva una linea qualsiasi; per uno

spostamento infinitesimo dPil relativo lavoro elementare dL risulta dPFdL = .

Il lavoro totale compiuto daFquando P descrive larco compreso tra i punti P1 e P2 vale:

=21PP

PdFL .

1 Se la risultante nulla e si verifica che il momento risultante nullo per un polo O, allora questultimo sar pure nullorispetto a qualsiasi altro polo O.

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In queste definizioni non si prende in considerazione il tempo necessario al punto P per

compiere i relativi spostamenti. Se lo spostamento dPavviene nel tempo dt, alla seguente

quantit si d il nome diPotenza:

PdtdL = .

Essa espressa dal rapporto tra il lavoro compiuto dalla forza ed il tempo necessario per

compierlo. Quando dL e dt sono infinitesimi il loro rapporto la potenza istantanea. Se

lintervallo T e il lavoro L sono finiti il loro rapporto la potenza mediaPm.

( )

T

PPF

T

LPm

== 1 ;

essendo:

VFdt

PdF

dt

dLP === ,

risulta che la potenza istantanea pari al prodotto scalare della forza per la velocit di P.

La potenza istantanea risulta uguale alla potenza media quandoFe Vsono vettori costanti.

2.3. Legge fondamentale della dinamica del punto.

Una forza F agente su un punto materiale P imprime ad esso una accelerazione a

proporzionale adFe con lo stesso verso (legge di Newton). Si ha dunque:

amF =

dove m un coefficiente di proporzionalit positivo indipendente da Fe dallo stato di moto

diPche si dice massa del punto.

necessario precisare i sistemi di riferimento per i quali la legge valida, perch non

possono essere scelti ad arbitrio visto che a cambia al variare dei sistemi.

Per fenomeni terrestri la legge di Newton verificata in modo soddisfacente quando il

sistema solidale alla terra.Per fenomeni celesti essa vale con buona approssimazione quando il sistema di riferimento

solidale alle stelle fisse.

Comunque la meccanica classica presuppone lesistenza di un sistema di riferimento

inerziale, rispetto al quale la legge fondamentale esattamente verificata; immediato

verificare che se esiste un sistema inerziale sono tali anche tutti quei sistemi che rispetto al

primo si muovono di moto traslatorio rettilineo uniforme; infatti laccelerazione misurata

nei due sistemi identica.

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La legge fondamentale della dinamica di un punto risulta assai utile anche nel caso di corpi

e sistemi di corpi rigidi. Si ha infatti che la dinamica di in corpo rigido pu essere studiata

attraverso lo studio del moto del baricentro (e quindi ad esso si applica la legge

fondamentale della dinamica del punto) e della rotazione del corpo intorno ad esso.2.4. Statica dei corpi rigidi.

Se un corpo rigido fisso (non si muove) risulter:

=

=

0

0

K

Q

avendo indicato nella precedente:Q quantit di moto del corpo;

Kmomento della quantit di moto del corpo.

Dalle precedenti relazioni, conseguono:

=

=

0

0

)(

)(

e

O

e

M

F.

Le due precedenti relazioni costituiscono le Equazioni Cardinali della Statica, attraverso le

quali si risolvono tutti i problemi di statica, relativi sia ai corpi che ai sistemi di corpi rigidi.

Perch quindi un corpo rigido (o un sistema di) possa essere in equilibrio (possa rimanere

fermo), il sistema di forze esterne ad esso applicato deve avere risultante nulla e momento

risultante nullo rispetto ad un qualsiasi punto O (polo) dello spazio.

I sistemi di forze che godono di questa propriet si diconosistemi equilibrati.

2.5. Statica dei corpi rigidi vincolati.

Di solito i corpi rigidi che si considerano nei problemi tecnici non sono completamente

liberi di muoversi nello spazio, ma sono soggetti a vincoli, costituiti da altri corpi che

interagiscono con essi.

Dal punto di vista del modello che adottiamo per lo studio dei problemi fisici, i vincoli

impongono alcune condizioni sul moto del sistema rigido (ad es. un punto del corpo deve

rimanere fisso, tutti i punti hanno traiettorie parallele tra loro, i punti possono solo traslarein una unica direzione, ecc).

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Dal punto di vista meccanico il corpo che costituisce il vincolo esercita sul sistema un

insieme di forze di valore tale da produrre il tipo di moto imposto dal vincolo stesso (il

vincolo deve generare le forze necessarie a far muovere il sistema nel modo desiderato).

Queste forze si dicono reazioni vincolari. Le reazioni vincolari devono essere comprese frale azioni esterne e quindi fanno parte dei vettoriF(e) e M(e) che compaiono sia nelle equazioni

cardinali della dinamica (riassumibili per i moti traslatori nella legge di Newton) che della

statica. Il problema principale che esse non sono note a priori: sono delle incognite e

determinabili solo attraverso le stesse equazioni della dinamica o della statica.

Si noti a questo proposito che la posizione di un corpo rigido nello spazio dipende da 6

parametri funzione del tempo:

3 traslazioni nelle direzioni coordinate (x,y,z);

3 rotazioni attorno ad assi paralleli alle direzioni coordinate.

Se tutti i punti del sistema hanno traiettorie parallele ad un medesimo piano, si ha a che fare

con un moto piano (evidentemente alcuni vincoli dovranno costringere il sistema a

muoversi in tale modo) in cui i gradi di libert si riducono a 3 (due coordinate che

definiscono le coordinate del baricentro ed un angolo che definisce la rotazione del corpo

attorno ad esso).In questo corso si far essenzialmente riferimento a moti e problemi di statica piana (quando

non addirittura monoassiale).

Un vincolo pu sottrarre al sistema uno o pi gradi di libert, a seconda della sua natura. Le

equazioni cardinali della statica riportate in precedenza sono due equazioni vettoriali che

possono essere scomposte, nel cado pi generale di corpo che si muove nello spazio, in 6

equazioni scalari. Avendo quindi un massimo di 6 equazioni a disposizione possono essere

determinate solo 6 funzioni incognite.

Nel caso di moto piano le equazioni si riducono a 3 per cui possono essere determinate solo

3 funzioni incognite.

Il numero e la natura delle incognite dipende dal tipo di problema:

se sono completamente note le forze esterne, le incognite del sistema saranno i suoi

spostamenti;

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se invece sono noti gli spostamenti (caso in cui ricade anche la statica per la quale gli

spostamenti sono nulli), le incognite saranno le forze esterne.

Se i vincoli sopprimono tutti i 6 gradi di libert del sistema, esso non ha possibilit di moto

e le 6 equazioni cardinali della statica permetteranno di determinare almeno 6 reazionivincolari incognite.

Se i vincoli non tolgono tutti i gradi di libert, il sistema pu muoversi ed quindi

necessario ricorrere alle equazioni cardinali della dinamica.

Quando il numero dei gradi di libert soppressi dai vincoli superiore a 6 (vincoli

sovrabbondanti) il problema si dice iperstatico e le equazioni cardinali della statica del

corpo rigido non sono sufficienti a determinare le reazioni. In tali casi infatti il numero di

incognite (le reazioni vincolari) supera il numero di equazioni a disposizione (ad esempio

una trave incastrata ai due estremi e sottoposta a un qualsiasi sistema di forze e/o momenti

noti) e quindi le equazioni cardinali della statica non consentono la risoluzione completa del

problema.

Questo tipo di problemi si affronta facendo entrare in gioco il fenomeno deformazione del

sistema che diventa fondamentale per la risoluzione e non pu essere quindi trascurato.

quindi lo schema di corpo rigido che non pi in grado di risolvere questa classe di

problemi. Per arrivare alle soluzioni occorre quindi far ricorso alla statica dei corpi elastici,

che non verr trattato in questo corso.

2.6. Principali tipi di vincolo

I pi comuni tipi di vincoli per sistemi rigidi in moto piano sono:

1) Appoggio semplice

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Impedisce gli spostamenti in una direzione definita, consentendo soltanto quelli in direzione

ortogonali alla prima e le rotazioni intorno al punto vincolato (A).

La reazione del vincolo costituita da una forza normale alla direzione dello spostamento

consentito.Il vicolo sopprime un grado di libert al sistema.

2) Appoggio o cerniera

Impedisce gli spostamenti di un punto in qualsiasi direzione, consentendo soltanto la

rotazione attorno ad esso.

La reazione del vincolo una forza passante per A.Il vicolo sopprime due gradi di libert al sistema.

3) Incastro

Impedisce gli spostamenti di un punto e le rotazioni intorno ad esso. La reazione

rappresentata da un forza passante per A e da un momento.

Il vicolo sopprime tre gradi di libert al sistema.

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2.7. Dinamica del corpo rigido vincolato.

Se i vincoli sottraggono un numero di gradi di libert inferiori a 6 il corpo ha possibilit di

moto e le equazioni cardinali della dinamica permettono di determinare la legge del moto e

le reazioni dei vincoli.Un caso semplice quello di un corpo rigido vincolato a muoversi in modo traslatorio in

una sola direzione (ad esempio il moto del pistone allinterno del cilindro). In questo caso

tutti i punti hanno la stessa velocit e la prima equazione cardinale risolve il problema del

moto. Le altre due equazioni consentono lindividuazione delle reazioni vincolari.

Infatti presa questa direzione come asse x si ha:

=+

=+=

0

0

)(

)(

)(

Z

e

Z

Y

e

Y

e

X

RF

RFFxm

avendo supposto:

kFjFiFF eZe

Y

e

X

e )()()()( ++= (risultante delle forze esterne note di tipo generico con

componenti nelle 3 direzioni coordinate);

kRjRR ZY += (risultante delle reazioni - sempre forze esterne ma non note con

componenti solo nelle direzioni coordinatey ez).

Si noti che si supposto che la reazione del vincolo non abbia componente nella direzione

del moto e quindi:

0=XR .

Quando questo accade i vincoli si dicono ideali. Tuttavia i vincoli non sono mai

perfettamente ideali a causa del fenomeno dellattrito. Tale fenomeno verr analizzato inseguito.

3. Coppie cinematiche Meccanismi

Alla luce delle definizioni riportate in apertura e dei successivi richiami, quindi possibile

introdurre ulteriori definizioni di termini di largo uso nella Meccanica Applicata.

Membri di una macchina: sono i vari corpi che la compongono; in generale sono

costituiti da corpi solidi che spesso possono essere considerati rigidi, ma si usano

anche membri elastici (molle,) e flessibili (cinghie, funi,.). I vari membri sono

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collegati fra loro in modo che il movimento di ciascuno di essi dipenda dal

movimento degli altri. Questa dipendenza dovuta alla forma geometrica delle

superfici con le quali vengono a contatto i singoli membri.

Elemento cinematico: porzione di una superficie con la quale due membri vengonoa contatto.

Coppia: insieme di due elementi cinematici, appartenenti a membri diversi, fra loro

in contatto.

Coppie indipendenti: coppie che permettono un movimento relativo ad un solo

grado di libert.

Coppie combacianti: coppie in contatto attraverso porzioni di superfici di area

finita.

Tanto per fare un po di chiarezza sui termini fino qui introdotti si pu dire che una coppia

costituisce un vincolo cinematico che sottrae al sistema un determinato numero di gradi di

libert. La soppressione di tali gradi di libert dovuta al fatto che le superfici cinematiche

si scambiano delle reazioni vincolari che costringono il corpo a muoversi nel modo

assegnato. Le reazioni vincolari hanno caratteristiche variabili a seconda delle caratteristiche

della coppia che le genera; queste sono generalmente incognite e possono esseredeterminate solo tramite le equazioni cardinali della statica o della dinamica.

Sono possibili 3 soli tipi di coppie indipendenti e combacianti (dette coppie elementari):

1) Coppiaprismatica: moto di traslazione (es: cilindro + pistone);

2) Coppia rotoidale: moto di rotazione (es: cerniera);

3) Coppia elicoidale: moto elicoidale (es: vite + madrevite).

Uno dei due elementi della coppia pu essere costituito anche da un corpo che non pu

essere considerato rigido (ad es. una cinghia); la coppia cinematica si dice in questo caso

non rigida. In alcune coppie cinematiche il moto assicurato soltanto dalla forma

geometrica degli elementi che costituiscono la coppia (accoppiamento di forma); in altre il

moto si ha soltanto se c uno scambio di forze tra gli elementi cinematici (accoppiamento

di forza). Le ruote dentate costituiscono un esempio tipico di coppia cinematica rigida non

combaciante con accoppiamento di forza.

Nella tabella sono indicate tutte le possibili coppie rigide (combacianti e non) con

accoppiamento di forma.

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Gradidi

libert

Denominazionecoppia

Movimenti permessi

Descrizione della coppiarotazioni traslazioni elicoidali

1

R (elem.)

P (elem.)

E (elem.)

1

1

1

Coppia rotoidale

Coppia prismatica

Coppia elicoidale

2

RT

C (elem.)

CS

RE

2

1

1

1

1

1

1

Corpo di rivoluzione in guida torica

Coppia cilindrica

Cilindro entro scanalatura

Corpo di rivoluzione in guida elicoidale

3

S (elem.)

SA

SL

PP (elem.)

3

2

2

1

1

2

1

Sfera entro sede sferica

Sfera con perno in sede cilindrica conscanalatura

C.s. con scanalatura elicoidale

Piano su piano

4

SC

SECC

3

32

1

21

Sfera in guida cilindrica

Sfera in guida elicoidaleCilindro su piano

5 SS 3 2 Sfera su piano

Una classificazione le distingue in coppie inferiori (prismatica, rotoidale, elicoidale,

cilindrica, piana e sferica) e coppie superiori(le rimanenti).

Fra le coppie superiori si comprendono in generale anche quelle rigide e non rigide non

combacianti con accoppiamento di forza.Un sistema di membri collegati fra loro da coppie cinematiche costituisce una catena

cinematica.

La catena si dice semplice se tutti i membri hanno una o due coppie cinematiche; si dice

composta se almeno un membro possiede tre o pi coppie cinematiche.

La catena chiusa se ogni membro ha pi di una coppia cinematica; aperta in caso

contrario.

Una catena cinematica in cui un membro considerato fisso costituisce un meccanismo; il

membro fisso si dice telaio.

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Un meccanismo costituisce una macchina o una parte di essa che scambia lavoro meccanico

con lesterno; in altri termini sul meccanismo agiscono delle forze esterne che cedono

lavoro al sistema oppure assorbono lavoro da esso. I membri sui quali agiscono le forze che

cedono lavoro al sistema si dicono moventi ed il corrispondente lavoro si dice motore,mentre i membri ai quali sono applicate forze che assorbono lavoro dal sistema, si dicono

cedenti ed il relativo lavoro si dice resistente. Le corrispondenti forze si denominano

motrici e resistenti.

I membri di una macchina possono spesso essere considerati corpi rigidi e quindi il loro

moto pu essere studiato con le gi introdotte equazioni cardinali della dinamica del corpo

rigido:

b

eamQF == )(

( ) == KM e)(

Quando le forze di inerzia sono nulle (e in questo caso ricadono oltre ai corpi fermi anche i

quelli che si muovono di moto traslatorio rettilineo uniforme) per lo studio delle statica (o

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della cinetostatica) dei singoli membri o dellintero sistema sono sufficienti le equazioni

cardinali della statica:

0)( =eF

0)(

=e

OM

Per la risoluzione di tali equazioni occorre per conoscere tutte le forze applicate e quindi

anche le forze che un membro trasmette ad un altro attraverso gli elementi della coppia

cinematica che li collega. Tra queste, ai fini del corretto ed efficiente funzionamento della

macchina, particolare importanza rivestono le forze di attrito, che sono per difficilmente

valutabili con esattezza.

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3.1. Esempi di coppie elementari

Coppie prismatiche

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Coppie rotoidali

Coppie sferiche

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Coppie elicoidali

4. Applicazioni delle equazioni cardinali della statica

Nel presente capitolo verranno forniti i rudimenti per affrontare i problemi di statica e

cinetostatica.

Per problemi di statica si intende una serie di problemi legati alla individuazione delle

forze che mantengono un determinato corpo o sistema di corpi rigidi nella loro posizione di

equilibrio. Alcuni problemi possono consistere nella determinazione delle reazioni vincolari

in un corpo con 0 (zero) gradi di libert sottoposto a forze note (ma tali problemi saranno

affrontati pi approfonditamente nel corso di Scienza delle Costruzioni). La maggior parte

dei problemi che verranno qui trattati consister invece nel determinare lampiezza di una

forza (o di un momento), di cui nota la retta di applicazione, tale che il sistema,

teoricamente labile (con almeno un grado di libert), possa trovarsi in condizioni di

equilibrio.

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Con problemi di cinetostatica si intende invece indicare quella serie di problemi che

richiedono lindividuazione delle forze o momenti in grado di mantenere un determinato

corpo o sistema di corpi rigidi in moto con velocit costante. Se infatti la velocit rimane

costante, laccelerazione nulla come le forze di inerzia, e le equazioni cardinali dellastatica e della dinamica vanno a coincidere.

Per la risoluzione di tali problemi adotteremo esclusivamente la via grafica sfruttando

lanalogia tra forze e vettori. Si aggiunge inoltre che nel presente corso verranno affrontati

esclusivamente sistemi piani per cui le equazioni cardinali, una volta scelto un adeguato

sistema di riferimento con assi x e y sul piano del moto (e asse z normale ad esso), si

riducono alle sole equazioni scalari:

equilibrio alla traslazione nella direzione x;

equilibrio alla traslazione nella direzione y;

equilibrio alla rotazione (attorno alla direzione z) rispetto ad un polo generico.

Queste tre equazioni, che esprimono che la risultante e il momento risultante delle forze

esterne al sistema devono essere nulle, devono essere contemporaneamente verificate

affinch un corpo possa dirsi in equilibrio.

Vale la pena di ricordare che nel caso dei corpi rigidi le forze possono essere traslate lungola propria direzione senza determinare variazioni nella soluzione del problema. La

traslazione in direzione parallela (alla direzione della forza stessa) dovrebbe essere

compensata dallintroduzione di un momento con le seguenti caratteristiche:

modulo pari al prodotto del modulo della forza e della distanza tra le due rette di

azione (tra quella originale e quella successiva alla traslazione);

verso opposto a quello del momento generato dalla forza traslata calcolato rispetto ad

un qualsiasi punto appartenente alla retta della direzione originale.

Poich lintroduzione di tale coppia di compensazione risulta spesso di difficile

comprensione, nei problemi che verranno affrontati in seguito le forze saranno unicamente

traslate lungo la loro direzione.

Nel presente capitolo tratteremo esclusivamente corpi o sistemi di corpi rigidi collegati tra

loro tramite coppie ideali (prive di attrito). La risoluzione di problemi con attrito (coppie

reali) verr affrontata solo nel seguito quando si parler del rendimento delle macchine.

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Si ricorda infine che nei problemi di statica la forma dei corpi rigidi non influenza in

alcun modo la soluzione. Se le forze applicate al corpo e il tipo e le posizioni dei vincoli

sono le medesime, il fatto che un corpo rigido sia unasta, una patata, una sfera o assuma

una qualsiasi altra forma geometrica (regolare oppure no) non ha la minima importanza.4.1. Caso 1: corpo rigido sottoposto ad una forza o un coppia

Un corpo sottoposto ad una sola forza o coppia non nulle non pu mai essere in

equilibrio in quanto:

se fosse sottoposto ad una unica la forza non nulla, la prima equazione cardinale

(equilibrio alla traslazione) non potrebbe essere verificata. Anche la seconda

equazione cardinale (equilibrio alla rotazione) non sarebbe soddisfatta se come polo

per il calcolo dei momenti si scegliesse un qualsiasi punto non appartenete alla retta

di azione della forza;

se fosse sottoposto ad un momento non nullo, la prima equazione cardinale

(equilibrio alla traslazione) sarebbe verificata ma la seconda (equilibrio alla

rotazione) non sarebbe ovviante soddisfatta.

F

y

x

M

y

x

4.2. Caso 2: corpo rigido sottoposto a due forze

Se un corpo rigido sottoposto unicamente a due forze, condizione necessaria e sufficienteperch esso sia in equilibrio che le due forze costituiscano una coppia di braccio nullo.

Una coppia costituita da due forze di pari modulo, medesima direzione e verso opposto;

una coppia detta di braccio nullo quando le due forze (siano F1 e F2) oltre ad avere la

medesima direzione (sono quindi parallele), hanno anche la medesima retta di applicazione.

21


22/140

F1

y

x

F2=-F1

P1

P2

Ovviamente verificata la prima equazione cardinale della statica:

=+=+= 0)(0 1121)( FFFFF e .Anche la seconda equazione cardinale della statica verificata in quanto se come polo O si

sceglie un punto appartenente alla retta di azione delle due forze, entrambe le forze hanno

rispetto ad esso momento nullo ( nullo in braccio b delle due forze):

=+=+=+= 0000 2121)2()1()( FFFbFbMMM ooeo ;se come polo O si sceglie un non appartenente alla retta di azione delle due forze, entrambe

le forze hanno rispetto tale polo il medesimo braccio b, forniscono momenti opposti per cui

risulta:

=+=+=+= 0)(0 1121)2()1()(

FbFbFbFbMMM ooe

o

Quindi se un corpo sottoposto a due sole forze:

se si conosce completamente una delle due forze (modulo, direzione, verso e retta di

applicazione), si pu automaticamente conoscere anche laltra (uguale in modulo,

direzione e retta di applicazione ma con verso opposto);

se non si conosce nessuna delle due forze ma si conoscono i due punti di

applicazione (siano P1 e P2) (situazione che accade spesso in corrispondenza selle

coppie rotoidali), chiaro che la direzione e la retta di applicazione saranno

facilmente identificabili nella retta che contiene il segmento 21PP .

4.3. Caso 3: corpo rigido sottoposto a due forze e un momento esterno

Se un corpo rigido sottoposto a due forze ed un momento esterno, condizione necessaria

perch sia soddisfatta la prima equazione cardinale della statica che le due forze

costituiscano una coppia:

=+=+= 0)(0 1121)( FFFFF e .

22


23/140

Affinch sia soddisfatta la prima equazione cardinale della statica, il momento generato

dalla coppia (il cui di modulo sar pari al prodotto del modulo di una qualsiasi delle due

forze per il braccio indipendente dal polo O), dovr equilibrare il momento esterno M.

21

112112211

)2()1()(

con0)(0

bbb

MFbMFbFbMFbFbMMMM ooe

o

=

=+=++=++=++=

F1

y

x

F2=-F1

O

b

b2b1

M

Anche cambiando la posizione del polo O il valore della coppia delle due forze non

cambia poich la loro risultante nulla. Se viceversa la risultante delle forze esterne non

fosse stata nulla, al variare del polo (se da O si spostasse O) il valore del loro momentovarierebbe come il prodotto tra la risultate delle forze e la distanza tra i due poli calcolata in

direzione normale alla risultanteR (OH ).

R

y

x

F3

O

F1

F2

OH

Riportato in formule, e facendo riferimento alla figura precedente, si avrebbe in questo caso:

OHRMM eoe

o += )()( ' .

23


24/140

In pratica si ha chese la prima equazione cardinale della statica verificata e se si verifica

la seconda per un particolare polo O, allora la seconda equazione cardinale della statica

sar verificata anche rispetto ad ogni polo O O.

Quindi, per un sistema cos sollecitato: Se si conosce completamente una forza (siaF1) e il momento esterno M, si ricavano

subito modulo direzione e verso dellaltra forza (sia F2, che avr stesso modulo e

direzione ma verso opposto). La retta di applicazione della seconda sar parallela a

quella della prima e a distanza b pari al rapporto dei moduli del momento esterno e

delle forze (b=M/F1). Tra le due rette di azione che soddisfano tale condizione si

sceglie quella che consente di realizzare lequilibrio alla rotazione del corpo.

Se si conosce completamente momento esterno M, e siano noti i punti di applicazione

delle due forze unitamente alla direzione di una di loro il problema comunque

facilmente risolvibile. Dovendo le due forze essere equilibrate, allora dovranno

costituire una coppia (e quindi le due direzioni saranno le medesime). Conoscendo i

due punti di applicazione, si individuano quindi anche le rette di azione. Dalla

conoscenza del momento M e del braccio b delle due rette di azione appena

identificate si trova subito il modulo comune delle due forze pari al rapporto tramomento applicato e braccio (F1=F2=M/b). Rimane da individuare i versi delle due

forze, ma questa una operazione molto semplice in quanto basta fare in modo che la

coppia generata dalle due forze sia opposta al momento applicato.

4.4. Caso 4: corpo rigido sottoposto a tre forze

Se un corpo rigido sottoposto a tre forze, condizione necessaria perch sia soddisfatta la

prima equazione cardinale della statica che si chiuda il cosiddetto triangolo delle forze. In

pratica deve verificarsi anche graficamente la seguente relazione:

=++= 00 321)( FFFF e .Per verificare tale relazione basta prendere una qualsiasi delle tre forze (sia F1), traslare una

seconda forza (sia F2) fino a portare la sua origine sul vertice della prima; si trasla poi il

anche la terza forza (sia F3) fino a portare la sua origine sul vertice della seconda

precedentemente traslata. Se lorigine del vettore rappresentante la prima forza (F1) e il

vertice del terzo (F3) coincidono, le tre forze hanno costruito un triangolo (e pi in generale

24


25/140

una figura geometrica chiusa). In questo caso il sistema di forze ha risultante nulla, e quindi

soddisfatta la prima equazione cardinale della statica.

R=0

y

x

F3

F1

F2

F3

F1

F2

O

Si dimostra inoltre che condizione necessaria per verificare la seconda equazione cardinale

della statica (che diventa anche condizione sufficiente se si gi verificata la costruzione

del triangolo delle forze) che le forze devono essere incidenti in un unico punto2O.

Se tutte e tre le forze passano per lo stesso punto O, evidente che rispetto ad esso hanno

tutte momento nullo per cui la seconda equazione cardinale della statica sarebbe banalmente

verificata.

Al contrario, se per assurdo le tre le forze non passassero per lo stesso punto, basterebbeosservare che rispetto al polo O, punto di incontro tra le rette di applicazione di due forze

(sianoF1 eF2), il momento della terza forza (F3) non nullo. Anche il momento risultante

delle tre forze rispetto ad O, sarebbe dunque non nullo; quindi rispetto a O la seconda

equazione cardinale della statica non sarebbe verificata ed il corpo non potrebbe quindi

essere in equilibrio.

y

x

F3

F1

F2

O

2 Il punto O pu essere anche improprio, nel qual caso si avrebbe che le tre forze sarebbero parallele, e il triangolo delleforze degenererebbe in tre segmenti allineati sulla stessa retta.

25


26/140

Sono molti i casi applicativi in cui si avr a che fare con un corpo sottoposto a tre forze, e

molte le considerazioni che potrebbero essere tratte dalle regole pratiche su indicate

(triangolo delle forze e incidenza delle rette di azione). Non si ritiene n utile n facile

trattare estensivamente e in via teorica tutti i casi applicativi connessi a tale schema (di cuiperaltro si far largo uso negli esercizi, svolti e proposti anche durante le lezioni). Tuttavia il

caso pi ricorrente sar quello i cui delle tre forze:

una (siaF1) completamente nota;

di unaltra (siaF2) nota la retta di azione;

dellultima (siaF3) noto il punto di applicazione.

In questo caso si prosegue come segue:

1. deve dapprima essere individuata la retta di azione della terza forza F3. Per

fare ci si prolungano le rette di azione delle forze F1 eF2 fino a che si incontrano in

un punto O. Per lequilibrio ai momenti anche la forza F3 dovr passare per O e,

essendo gi era noto il punto di applicazione P3, la retta di applicazione passa per i

punti P3 e O.

y

x

P3(appl F3)

F1

dir F2

O

dir F2

dir F1

2. trovate le tre rette di azione necessario chiudere il triangolo delle forze. Si

parte dalla forza notaF1 e si trasla sul vertice la retta di azione di una forza

(siaF2) e sullorigine la retta di azione dellaltra (siaF2).

26


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y

x

P3(appl F3)

F1

dir F2

Odir F2

dir F1

dir F2dir F3

F1

3. Per chiudere il triangolo bisogna fare in modo che la somma vettoriale

F1+F2+F3 sia pari a zero quindi bisogner fare in modo che il vertice di

ciascun vettore coincida con lorigine di un altro (i vettori devono mordersi

la coda) ed inoltre il vertice della forza F3 deve coincidere con lorigine diF1.

dir F2dir F3

F1

F2F3

4.5. Caso 5: corpo rigido sottoposto a tre forze ed un momento

Se un corpo rigido sottoposto a tre forze ed un momento, chiaro che non potr essere in

equilibrio se le tre forze sono incidenti. La tecnica che si usa di solito quella di sommare

due delle tre forze e ridursi ad un caso pi semplice e gi noto (Caso 3).

y

x

F1

F2F1+F2

F1OM

F1+F2

F3

b

F2

dir F2

dir F3

27


28/140

Anche in questo caso sono molti i casi applicativi in cui si potrebbe avere a che fare, e

quindi non verranno trattati tutti gli aspetti ad esso connessi, tuttavia un caso abbastanza

ricorrente quello che segue:

Il momentoM completamente noto; una forza (siaF1) completamente nota;

di una forza (siaF2) sia nota la retta di azione;

dellaltra forza (siaF3) sia nota la direzione.


1. Poich le direzioni sono gi note sufficiente trovare i moduli, i versi e la

retta di azione della F3. Se la forza F1 nota, allora per lequilibrio alla traslazione la

somma (F1+F2) dovr fornire un vettore opposto alla F3 (ovvero anche

F1+F2+F3=0). Calcolando questo triangolo delle forze (si pu fare visto che si

conoscono tutte le direzioni, e modulo e verso di una delle forze) si possono

calcolare moduli e versi di tutte le forze

y

x

F1

F2F1+F2

F1

F2

OM

F1+F2=-F3

F3

b

M=bF3

2. Rispetto al punto O, dove si pu pensare applicata la somma (F1+F2), le due

forze hanno momento nullo quindi sar il momento della forzaF3 a dover equilibrare

il momento applicatoM. Da questa osservazione si ricava il braccio b della forzaF3 e

quindi la sua retta di azione.

4.6. Caso 6: corpo rigido sottoposto quattro forze

Se un corpo rigido sottoposto a quattro forze, chiaro che non si potr usare la tecnica del

triangolo delle forze. Si potr comunque utilizzare lartifizio di sommare le forze a due adue per ridursi al caso pi semplice possibile: quello di un corpo sottoposto a due sole forze

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(Caso 2). Si ricorda che della somma di due forze di cui sia nota la sola retta di azione non si

pu conoscere a priori praticamente nulla (modulo, direzione, verso), tranne che individuare

uno dei punti della sua retta di azione (che quindi pu essere preso come punto di

applicazione della somma): tale punto dato dallintersezione delle rette di azione dellerette che si vanno a sommare3.

y

x

F1

O2

dir F4

dir F3

dir F2

dir (F1+F2)

dir (F3+F4)

O1

Tra i vari casi, sicuramente il pi ricorrente quello in cui:

una forza (siaF1) completamente nota; delle altre forze (sianoF2,F3 eF4) sia nota la retta di azione.

y

x

F1

O2

dir F4

dir F3

dir F2

dir (F1+F2)

dir (F3+F4)

O1

F1

F3+F4

F2

F3

F3+F4

F4


1. Si prolungano le rette di azione di F1 e F2 fino ad incontrare il punto di

intersezione O1 in cui pu pensarsi applicata la loro somma;3 Tale punto pu essere anche improprio, tale caso si verifica quando le rette sono tra loro parallele.

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2. Si prolungano le rette di azione di F3 e F4 fino ad incontrare il punto di

intersezione O2 in cui pu pensarsi applicata la loro somma;

3. Il sistema di quattro forze si ridotto alle due forze (F1+F2) e (F3+F4), di cui si

conosce il punto di applicazione. Poich due forze per farsi equilibrio devonocostituire una coppia di braccio nullo, unendo i punti O1 e O2 si ottiene un segmento

della retta di azione comune alle due forze (F1+F2) e (F3+F4);

4. Basta a questo punto chiudere i due triangoli delle forze che corrispondono

alle due seguenti relazioni vettoriali, ciascuna contenente 3 termini:

F1+F2+(F3+F4)=0;

(F1+F2)+F3+F4=0;

5. Si inizia dalla relazione F1+F2+(F3+F4)=0 , di cui si conosce completamente

un termine e le rette di azione degli altri, con cui si pu costruire un triangolo da cui

ricavare il termine (F3+F4);

6. Individuato quindi il termine (F3+F4) basta trovare le due forze F3 e F4, note in

direzione, la cui somma pari il termine gi ricavato al punto precedente.

4.7. Alcuni esercizi

Si riportano qui di seguito quattro semplici esercizi che riguardano un quadrilateroarticolato, un manovellismo di spinta, un meccanismo camma-bilancere e il cosiddetto

ragno ovvero un meccanismo con cinque aste di cui una traslante lungo una guida

prismatica schematizzata tramite un doppio appoggio.

La risoluzione degli esercizi sar esposta piuttosto rapidamente, ma si confida che dopo la

parte introduttiva appena svolta, sar comunque di facile comprensione.

Va ricordato che un sistema si dice in equilibrio quando lo sono singolarmente tutti gli

elementi (tutti i membri) del sistema.

Per verificare le condizioni di equilibrio sufficiente considerare le forze esterne. Tuttavia

quelle che sono interne per il sistema complessivo (e quindi non andrebbero considerate

nelle equazioni di equilibrio) risultano esterne quando si vanno a verificare le condizioni per

lequilibrio dei singoli membri che lo compongono.

Vale la pena appena ricordare che vale sempre il principio di azione e reazione, e nel fare

ci si coglie anche loccasione per introdurre una convenzione consolidata nellambito della

meccanica. Per il suddetto principio si ha che se un corpo iesercita una certa azioneR su un

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31/140

corpoj, allora anche il corpojeserciter una azione sul corpo i, inoltre le due azioni saranno

pari in modulo e direzione ma avranno verso opposto.

Per indicare pi stringatamente tale principio si utilizza la convenzione di associare ad ogni

forza (vincolare) una coppia di indici in cui il primo indica il membro che esercita lazione,mentre il secondo indica il membro che la subisce. Per tale convezione si ha che:

Rijrappresenta la forza che il membro iesercita sul membroj;

Rjirappresenta la forza che il membrojesercita sul membro i.

Utilizzando tale convenzione, il principio di azione e reazione si esprime nella semplice

formulazione:

Rij= - Rji.

Si suggerisce inoltre di iniziare le analisi dei meccanismi calcolandone i gradi di libert, e di

iniziare la verifica delle Equazioni Cardinali della Statica dai membri sottoposti ad numero

ridotto di azioni, o in alternativa di membri a cui sono applicate le forze note.

A tale proposito spesso negli esercizi si inizier dai corpi sottoposti a due sole forze che,

specialmente se di forma allungata, vengono di solito impropriamente chiamati aste

scariche. In effetti tali membri non sono completamente scarichi, ovvero non soggetti ad

alcuna azione, ma sicuramente lo sono rispetto ad azioni trasversali (sono soggetti a sole

azioni di trazione o compressione lungo una sola direzione).

4.7.1. Quadrilatero articolato

Si chiede di determinare la forza esterna F da applicare allasta AB (nella direzione

assegnata) tale che il meccanismo sia in equilibrio rispetto al momento assegnato M

applicato allasta CD.

A

dir F

CB

D

M

asta 2

asta 1

asta 3

telaio

(membro 0)

31


32/140

Si osserva subito che il sistema ha 1 grado di libert essendo composto da:

3 membri mobili (sul piano) aventi ciascuno 3 gradi di libert (9 GdL totali)

4 coppie rotoidali che eliminano ciascuna 2 gradi di libert (8 GdV totali)

Gradi di libert effettivi = gradi di libert totali - gradi di vincolo totali = 9-8=1Il sistema potr essere in equilibrio solo grazie ad una opportuna forza esterna F (da

determinare).

Lanalisi inizia quindi dallasta 2 (la numerazione delle aste arbitraria, ma caldamente

consigliata), essendo lunica asta ad essere sottoposta a 2 sole forze: le reazioni R12 e R32.

Queste dovranno costituire una coppia di braccio nullo, per cui si avr che esse avranno

retta di applicazione passante per i punti B e C. Tuttavia nulla si pu ancora dire su moduli e

versi.

Passando ad analizzare lasta 3, questa sottoposta a 2 forzeR23 eR03 e un momentoM. Si

osserva subito che per il principio di azione e reazione R23 = -R32, e quindi le due forze

avranno la stessa direzione: la direzione diR23 quindi ora nota.

Poich per lequilibrio alla rotazione le due forze R23 eR03 dovranno avere risultante nulla,

anche eR03 dovr essere parallela aR23, ed inoltre dovr passare per il punto D. La retta di

azione di R03 quindi cos stata individuata. Conoscendo il braccio delle due forze esapendo che dovranno formare una coppia che equilibra il momento applicato M, quindi

possibile determinare anche moduli e direzioni diR23 eR03.

dir R12 e R32

Basta 2

C

|R23|=|R03|=M/b

dir R03

C

Masta 3

dir R23 e R32

b

R03

R23

D

Determinata la forza R23, applicando il principio di azione e reazione, si determinano

modulo e verso della R32 ed quindi possibile ritornare allequilibrio dellasta 2

risolvendolo completamente (determinando quindi ancheR12).

32


33/140

dir F

asta 1

R21

dir R01

B

A

O

R21

R01

F

Basta 2

C

R32

R12

B

|R12|=|R32|

Sempre sfruttando il principio di azione e reazione si pu conoscere la forza R21 e passarecos allequilibrio dellasta 1. Per completare il calcolo dellequilibrio di tale asta

necessario individuare la direzione della reazione R01. Di tale forza si sa per che deve

passare per il punto A e deve essere incidente, con le altre forzeR21 e F, nel punto O.

Nota quindi anche tale retta di azione, basta chiudere il triangolo delle forze partendo dalla

forza R21. Come riportato nella figura precedente quindi cos possibile determinare il

modulo e il verso della forza F che consente al quadrilatero articolato di rimanere in

equilibrio nella posizione assegnata.

4.7.2. Manovellismo di spinta

Si chiede di determinare la forza esterna F da applicare al pistone (nella direzione

assegnata) in modo tale che il meccanismo sia in equilibrio rispetto alla forza assegnata Fa

applicata alla manovella AB.

A dir FC

B

Fabiella

(asta 2)

manovella

(asta 1) pistone

(asta 3)

telaio(membro 0)

33


34/140


3 membri mobili aventi ciascuno 3 gradi di libert (9 GdL totali)

3 coppie rotoidali che eliminano ciascuna 2 gradi di libert (6 GdV)

1 guida prismatica (coppia traslazionale) che elimina 2 gradi di libert (2 GdV)

Gradi di libert effettivi = gradi di libert totali - gradi di vincolo totali = 9-(6+2)=1

Il sistema potr essere in equilibrio solo grazie ad una opportuna forza esterna F (da

determinare).

Come nel caso precedente si inizia dallasta scarica, ovvero dalla biella. Questa sottoposta

a sole due forze R12 e R32 passanti rispettivamente dai punti B e C, che devono quindi

costituire una coppia di braccio nullo. Individuata la direzione di R12,R32, ma anche di R21

(principio di azione e reazione), si pu quindi procedere allequilibrio della manovella.

Questa risulta sottoposta a tre forze di cui: una nota, una nota in direzione e laltra passante

per il punto A.

A C

Fa biella

(asta 2)manovella

(asta 1)

BB

dir R12 e R32

O

Fa

R01R21

Determinata quindi la forzaR21 tramite la chiusura del triangolo delle forze, ha che la R12

opposta, e tramite la facile risoluzione dellequilibrio della biella si ricava anche la R32, e di

conseguenza anche la R23. E dunque possibile passare a verificare lequilibrio del pistone,

che risulta essere sottoposto a tre forze.

La reazione del telaio sul pistoneR03 normale alla direzione di scorrimento del pistone, ma

non ancora nota la retta di applicazione. Questultima si ricava osservando che laR03 deve

passare, per lequilibrio alla rotazione, per il punto O in cui si incontrano le rette di azione

delle altre due forzeR23 e F4.

4 Si noti che la R03 non passa n per il baricentro del pistone, n per il suo punto medio e neppure per il centro dellacoppia rotoidale. Tale reazione passa esattamente dove serve per ottenere lequilibrio. Se tale reazione passasse per unpunto esterno alla superficie di appoggio telaio-pistone, chiaro che lequilibrio non poteva sussistere. E altres chiaroche tale reazione la risultante delle pressioni che si scambiano telaio e pistone allinterno dellarea di contatto.

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35/140

Una volta individuata la retta di azione della forza F, per trovare i moduli e versi di tutte le

forze incognite sufficiente chiudere come di consueto il triangolo delle forze.

C

biella

(asta 2)

B

R32

R12

FR03

R23

O

dir FC

pistone

(asta 3)

R23

dir R03

4.7.3. Meccanismo camma-bilancere

Si chiede di determinare la coppia M da applicare alla camma in modo tale che il

meccanismo sia in equilibrio rispetto alla forza assegnata Fa applicata allasta AB.

Camma

(membro 4)

A

B

Faasta 2

asta 1

bilancere

(asta 3)telaio

(membro 0)

telaio

(membro 0)

C

D E

H

M?




1 vincolo di contatto (camma-bilancere) che elimina 1 grado di libert (1 GdV)

Gradi di libert effettivi = gradi di libert totali-gradi di vincolo totali=12-(10+1)=1

Il sistema potr essere in equilibrio solo grazie ad una opportuna coppiaM(da determinare).

35


36/140

Lesercizio molto simile al primo, con lunica difficolt di un vincolo di contatto: in questi

casi la forza che si scambiano i due membri sempre ortogonale alla retta tangente le

superfici dei corpi nel punto di contatto.

Procedendo pi speditamente, si osserva che lasta 2 scarica quindi soggetta a due forzeuguali in modulo e direzione, ma opposte in verso, passanti entrambe per i punti B e C. Cos

facendo si individua in particolare la retta di azione delle reazioni che si scambiano i

membri 1 e 2. Cos facendo possibile risolvere con il consueto triangolo delle forze

lequilibrio dellasta 1 (determinando la direzione della reazione R01) e quindi di

conseguenza trovare anche le azioni sullasta 2.

A

BFa

asta 2asta 1

C

B

O

Fa

R01R21

R12

R32

Individuata la reazione R32, automatica la determinazione della R23 da utilizzare perlequilibrio del bilancere. Si osserva subito che la reazione R23 risulta casualmente parallela

alla reazione R43 (nel senso che tale situazione non accade per nessunaltra configurazione

dello stesso meccanismo). Questo significa che anche la reazione R03 deve essere parallela

in quanto le tre forze agenti sul membro 3 devono essere incidenti in un punto, che in questo

caso un punto improprio. Per calcolare i moduli e i versi delle forze si potrebbero

utilizzare vari metodi grafici (come i poligoni funicolari) oppure si possono impostare le

equazioni di equilibrio che, noti i bracci b1 e b2 delle due forze rispetto al punto C,

consentono di determinare rapidamente ci che manca per lequilibrio.

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37/140

=+

=++

0

0

143203

430323

bRbR

RRR

bilancere

(asta 3)C

D

H

b2

b1

R23

R23

R43R03 Camma

(membro 4)

E

H

M?b

R34

R04M=|R04|b

R43

R03

Note le reazioniR03 deve eR43, si passa allequilibrio della camma su cui agiscono due forze

e un momento incognito. La forza R34 opposta alla gi nota R43; per lequilibrio alla

traslazione anche la R04 opposta alla R34 (ed quindi uguale alla R43). E noto anche il

braccio b tra le due rette di azione quindi, con una semplice moltiplicazione, possibile

ricavare il modulo della coppia esterna M. Osservando inoltre i versi delle forze, si capisce

facilmente che il momento deve essere antiorario.

4.7.4. Ragno

Si chiede di determinare la forza Fda applicare allasta 5 in modo tale che il meccanismo

sia in equilibrio rispetto alla forza assegnata Fa applicata allasta 1.

Fa

asta 2

asta 1

asta 3

telaio

(membro 0)

F?

asta 5

asta 4



37


38/140


i due appoggi (bilateri) dellasta 3 costituiscono nel loro insieme una coppia

traslazionale che elimina 2 gradi di libert (2 GdV)

Gradi di libert effettivi = gradi di libert totali-gradi di vincolo totali=15-(12+2)=1Il sistema potr essere in equilibrio solo grazie ad una opportuna forza F(da determinare).

Lesercizio molto semplice anche per il fatto che vi sono ben due aste scariche (asta 2 e

asta 4). Si osservi inoltre che le reazioni del telaio sullasta 3 sono sempre ortogonali allasta

stessa, e quindi anche alla sua direzione di traslazione. Senza aggiungere ulteriori

spiegazioni si procede come di consueto allequilibrio delle aste 1 e 2, nonch alla

determinazione della retta di azione delle forze R34 e R54, come riportato nella figura

sottostante.

R01

Fa

R21

Fa asta 1R01

R21

asta 2

dir R12 e R32

R12

R32

asta 4

dir R34 e R54

Identificate le direzioni delle forze sullasta 2 si passa a risolvere lequilibrio dellasta 1; da

tale operazione si ricavano tutte le caratteristiche delle forze a cui sottoposto, e da ci si

ricavano anche i moduli e i versi delle azioni sullasta 2. Si imposta quindi lequilibrio

dellasta 4 e si trova la direzione delle forze che agiscono su di essa.

Sfruttando il principio di azione e reazione e passando allequilibrio dellasta 3 si ha che:

si conosce completamente la forzaR23;

della forzaR43 si conosce solo la retta di azione;

anche delle forze R03A e R03B (reazioni dei due appoggi) si conoscono le rette di

azione (supponendo che le reazioni passino per il centro degli appoggi).

38


39/140

R23

asta 3

dir R03A

dir (R23+R03A) e (R43+R03B)

dir R03B

dir R43

R03A

R23

R23+R03A

R03B

R23+R03A

R23+R03A=(R23+R03A)

R43+R03B+(R23+R03A) =0

R43

H

K

E questo dunque il classico caso del corpo sottoposto a 4 forze. Si procede sommando

quindi a due a due le forze agenti sullasta, riducendosi quindi al caso di una sola coppia di

forze. La somma delle forze R23 e R03A passer per il punto H; la somma delle forze R43 e

R03B passer per il punto K; entrambe giaceranno sulla retta contenente il segmento HK.

Imponendo per via grafica che la somma delle forze R23 eR03A risulti sulla direzione HK, e

successivamente anche lequilibrio delle forze ( R43+R03B+(R23+R03B)=0 ) si determinacompletamente la forzaR43.

R54

asta 4

R34

FR45

R05F

asta 5

R45

R05

Nota la forza R43 e sfruttando il principio di azione e reazione si impone lequilibrio

dellasta 4 determinando in particolare la forzaR54. Quest ultima sar opposta alla forzaR45

agente sullasta 5. Imponendo la chiusura del triangolo delle forze si trovano molto

facilmente anche il modulo e il verso della forza Fche mantiene il sistema in equilibrio.

39


40/140

5. Forze di attrito

Fino ad adesso le reazioni vincolari sono sempre state considerate come normali allo

spostamento consentito ai corpi rigidi. In tali condizioni queste non fanno lavoro (negativo)

e quindi non dissipano energia. Tuttavia di comune esperienza il fatto che per spostare unoggetto facendolo traslare su una superficie anche perfettamente orizzontale bisogna faticare

un po. Questo succede perch la reazione della superficie non perfettamente verticale: a

causa dei fenomeni di attrito si crea anche una componente orizzontale (nella direzione

degli spostamenti, se ve ne sono, o delle forze che tenderebbe a far spostare il corpo) che si

oppone al moto (effettivo o in potenza).

Esistono vari tipi di modelli con i quali studiare leffetto di tali componenti dissipative:

1) Attrito di strisciamento fra superfici asciutte.

2) Coppie cinematiche lubrificate.

3) Lubrificazione limite.

4) Contatto fra superfici asciutte soggette a logoramento (freni e frizioni).

a) Perno di spinta.

b) Pattino su superficie piatta.

c) Ceppo puleggia.5) Attrito di rotolamento.

a) Ruota e piano perfettamente elastici.

b) Solo la strada deformabile e la pressione proporzionale alla deformazione.

c) Strada deformabile plasticamente (pressione indipendente dalla

deformazione).

6) Effetto degli urti sulle asperit.

7) Cuscinetti a rotolamento.

5.1. Attrito di strisciamento fra superfici asciutte - Legge di Coulomb

A stretto rigore due superfici si dicono asciutte quando tra gli atomi e le molecole

appartenenti alle superfici in contatto non sono interposte molecole o atomi di altre

sostanze; tali condizioni non sono mai verificate in pratica nelle macchine.

La legge di Coulomb mette in relazione la forza di attrito T con la forza normale N (di

compressione) che si scambia tra i due corpi a contatto. Esistono due tipi di attrito: statico e

di manico.

40


41/140

Per il primo (attrito statico), che si riscontra quando i corpi a contatto sono tra loro fermi, si

ha che:

NfT s ;

e il valore effettivo di T quello per cui si ha lequilibrio del corpo (quello sufficiente a farrimanere fermo il corpo).

Nel secondo caso (attrito dinamico o cinetico) si ha che i due corpi sono in moto relativo

con velocit v, e tra le forze normali e tangenziali alla velocit si ha la seguente relazione:

NfT d = .

Il coefficiente di attrito dipendente dai materiali dalla natura delle superfici e al pi dalla

velocit.

1. fs statico perV=0;2. fdcinetico (o dinamico) perV 0;

3. fs statico > fd cinetico.fs=tg(s)

fs=tg(s)

sNT

R

Fe

fd=tg( d)

dNT

R

Fe

|Fe|=T

41


42/140

-1 strato facilmente asportabile

-2 e 3 strato difficilmente asportabili

42


43/140

Valori del coefficiente di attritofd:

Per 3 strati fd 0.1 0.3

Per 2 strati fd 0.3 0.6 (metalli diversi)

Per 2 strati fd 0.8 2.0 (metalli uguali o che formano facilmente soluzionisolide)

Dipendenza di f dalla pressione di contatto

43


44/140

5.2. Coppie cinematiche lubrificate.

Quando fra gli elementi cinematici di una coppia viene di proposito interposto un fluido di

adeguate caratteristiche, la coppia si dice lubrificata e con il termine lubrificazione si indica

la disciplina che studia i fenomeni che avvengono nelle coppie lubrificate.Se gli elementi della coppia sono separati da uno strato continuo di lubrificante il cui

spessore, pur piccolo in senso assoluto, notevolmente maggiore della rugosit superficiale

degli elementi stessi la lubrificazione si dice idrodinamica. Il carico che la coppia pu

sopportare dovuto al campo di pressione che si istaura allinterno del lubrificante; la

pressione tuttavia non cos grande (in genere minore di 5MPa) da provocare sensibili

deformazioni delle superfici che delimitano il lubrificante.

Le perdite sono in questo caso in diretta dipendenza con le propriet del fluido e in

particolare con la sua viscosit. Quando il campo di sovrapressione nasce in conseguenza

del moto relativo degli elementi cinematici della coppia, si parla di lubrificazione naturale,

se invece esso ottenuto alimentando il volume ripieno di lubrificante (meato) con un fluido

messo in pressione con mezzi esterni (pompa di alimentazione) si parla di lubrificazione

idrostatica o forzata. In questo secondo caso il moto relativo degli elementi cinematici pu

anche essere nullo o avvenire con velocit molto bassa. Nelle coppie cinematichecorrettamente lubrificate, lusura degli elementi cinematici pressoch nulla.

La lubrificazione si dice elastoidrodinamica quando le deformazioni degli elementi

cinematici, rispetto alle dimensioni del meato, sono sensibili. Essa interessa principalmente

le coppie superiori (ruote dentate, camme, etc.) e si pu a sua volta distinguere in

elastoidrodinamica rigida (hard) e soffice (soft) rispettivamente quando gli elementi

cinematici sono costituiti da materiale con modulo di elasticit molto elevato o viceversa.

La prima eventualit si manifesta ad esempio negli ingranaggi e nelle camme: lo spessore

minimo del metallo dellordine di 0,1 m e la pressione varia da 0,5 a 3 GPa, in queste

condizioni la variazione di viscosit con la pressione non pu essere trascurata.

Il secondo caso si presenta essenzialmente nelle tenute quando sono presenti guarnizioni in

elastomero e nelle coppie per protesi artificiali; lo spessore minimo del meato di circa 1

m ed i valori massimi di pressione dellordine di 1 MPa. Le variazioni del coefficiente di

viscosit con la posizione sono di nuovo trascurabili.

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45/140

Sostanzialmente il problema elastoidrodinamico differisce da quello idrodinamico perch la

forma del meato non nota a priori, ma dipende dal campo di pressione.

5.3. Lubrificazione limite

Tale tipo di lubrificazione si ha quando lo spessore del lubrificante molto sottile

(centesimi di m) e non riesce ad impedire del tutto il contatto fra le micro-asperit tra le

due superfici. Tuttavia la sua presenza riesce a ridurre la superficie delle microgiunzioni,

provocando quindi una riduzione del coefficiente di attrito f. Questa azione tanto pi

sensibile quanto pi il lubrificante tende ad aderire alle superfici. Laderenza molto

aumentata se le molecole sono polarizzate; si formano cos strati molecolari (epilamine) congrandissime resistenze allo schiacciamento e minime allo scorrimento. Le sostanze che

formano epilamine hanno tuttavia spesso la caratteristica di ossidarsi alle alte temperature.

Non possono quindi sostituire gli olii normali ma devono essere miscelate con esse (olii

addittivali).

Fra queste sostanze si ricordano:

a) acidi grassi che hanno molecole polari ma si dissociano alle alte temperature;

b) composti di P, S, Cl che formano epilamine per reazione chimica con la superficie

metallica (composti E.P.) efficaci solo ad alte temperature

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5.4. Contatto fra superfici asciutte soggette a logoramento (freni e frizioni)

Conseguenza dellattrito fra superfici asciutte il logoramento, che produce in genere una

maggiore levigatezza delle superfici e quindi una riduzione dif(rodaggio).

Quando interessa che uno dei due elementi mantenga invariata la propria forma si costruisce

laltro elemento di un materiale assai meno duro del primo (freni).

Ipotesi di Reye :Il volume di materiale asportato durante il logoramento proporzionale

al lavoro resistente di attrito.

Questa ipotesi pu servire a determinare la distribuzione della pressione nella superficie di

contatto.

5.4.1. Perno di spinta.

Supponendo valida lipotesi del Reye si ha:f

hdrrdrrfp 22 2 ;

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con:f= coefficiente di attrito (il contatto secco);

p = pressione;

h = spessore parte usurata, supposta costante su tutta la superficie di contatto;

= rotazione del perno che ha determinato lusura h;

r= raggio generico(r[R1,R2]);

essendo inoltre:

2 r dr= superficie della corona circolare (infinitesima) di raggio re spessore dr.

Dallipotesi del Reye si ottiene quindi:

r

c

rp =

1;

ovvero il fatto che la pressione inversamente proporzionale al raggio ed ha quindi un

andamento iperbolico (perr=0 la pressione sarebbe teoricamente infinita). Tale circostanza

potrebbe essere dannosa per il perno, tant vero che il perno ha un foro centrale proprio per

evitare che la pressione di contatto raggiunga valori troppo elevati. La costante c va

calcolata imponendo la condizione di equilibrio nella direzione verticale del perno:

( )122222

1

2

1

RRcdrcrdrpPR

R

R

R=== .

47


48/140

( )122 RRP

c

=

e quindi

( ) rRRP

rp1

2)( 12 =

Ma= momento dattrito, tale momento va equilibrato da un momento esterno se si vuole

mantenere il perno in rotazione con velocit angolare costante.

( ) medioaR

R

R

Ra rPfM

RRPf

RR

RRPfdrrcfdrrpfM =

+=

=== 222212

12

21

222 2

1

2

1

.

Lipotesip=c=costante (ovviamente non corretta) avrebbe prodotto il seguito risultato:

( )

( )

=

=

=

21

2

2

3

1

3

22

1

2

2

1

2

2

2

1

2

2

3

22

RR

RRPfd rrf

RR

PM a

RR

Pp

R

R

Gli stessi risultati valgono pure nel caso di un innesto a frizione monodico, ovviamente solo

quando questa viene studiata nel suo comportamento a regime (con temperatura

stabilizzata).

I risultati teorico-sperimentali sembrano convalidare pienamente lutilizzo dellipotesi di

Reye.

48


49/140

5.4.2. Pattino su superficie piana.

Ipotesi di usura:

+=

+=

a1

a0

010

xmhx

hhhh

con

0

01

h

hhm=

m = coefficiente direttamente proporzionale al coefficiente angolare (inclinazione) dellaretta rappresentante il piano di usura (coeff. angolare = (h1-h0)/a = h0m/a).

Dallipotesi del Reye

( ) ( )dxhfpXdxbdxhfpXdxb

essendo:

h dx = volume infinitesimo;

p = pressione;

b = spessore pattino;

X= spazio percorso dal pattino per determinare lusura ipotizzata.

+=

a1

xmchp

Landamento della pressione lineare crescente con la coordinatax.

Dallequilibrio alla traslazione verticale:

+=

+== 2100

amacdxaxmcdxpP

aa

49


50/140

da cui si ottiene:

2

ama

Pc

+=

e quindi, infine:

( )

+

+=

a

xm

ama

Pxp 1

2

.

Dallequilibrio alla rotazione, essendox0 leccentricit del carico P, si ha anche:

( )

+=

+==

+

+=

32

1

222

0

2

00 amacdx

axmxcdxpxPx

a

xm

ama

Pxp

aa

da cui

m

m

ax+

+=

2

3

21

0

Per lequilibrio alla traslazione orizzontale si ottiene la forza (tangenziale) necessaria per

mantenere in moto il pattino con velocit costante:

PfdxpfTa

== 0Si verifica che se leccentricit nulla, il piano di usura orizzontale. Dalle precedenti si ha

infatti che:

02

0 == ma

x .

5.4.3. Ceppopuleggia

E il caso tipico dei freni a ceppo e tamburo: il ceppo si accosta al tamburo, traslando lungo

una direzione detta direzione di accostamento di una quantit h. Il volume del materiale

asportato in corrispondenza di un elemento Rd individuato dalla posizione Rd

hcos . Per lipotesi di Reye si ha:

50


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Calcolando il lavoro delle forze di attrito si ottiene:

dRpfRdRpf2

=

da cui

dRpfdRh 2cos

= rotazione corrispondente allusura h.

5.5. Attrito di rotolamento

Le cause dellattrito di rotolamento sono da attribuire a:

a) Elasticit imperfetta

b) Elasticit ritardata (deformazione che ritarda ad essere recuperata)

c) Urti fra le asperit

51


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Una legge che possa mettere in relazione il parametro di attrito volvente u con il carico e/o

altri parametri pu essere determinata in base alla natura del contatto. Ovviamente u una

frazione della semilunghezza c della zona deformata, ovvero u=c con


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5.5.3. Strada deformabile plasticamente

Tale ipotesi pu essere in pratica riassunta nel fatto di ritenere la pressione di contatto

indipendente dalla deformazione della strada.

In tale ipotesi si avr:bcP ;

da cui, semplicemente:

b

Pkcu == .

5.5.4. Coefficiente di attrito di rotolamento

Sia MX il momento che deve essere applicato alla ruota per affinch questa rimanga in moto

con velocit costante. Calcolando il lavoro dissipato per unit di percorso (considerando

unitarie le distanze percorse), si ottiene:

Pfr

Pu

rML vXdiss ===

1.

Quindi, come nel caso dellattrito di strisciamento, il lavoro di attrito per lo spostamento

unitario proporzionale alla forza normale che si scambiano i due corpi. Si pu quindi

definire, in analogia al coefficiente di attrito radente, la seguente grandezza chiamata

coefficiente di attrito di rotolamento.

r

ufv = .

Nei tre casi gi precedentemente analizzati, il coefficiente di attrito di rotolamento risulta:

a)br

Pkfv Ruota e piano perfettamente elastici.

b)3

2br

Pkf

v

Strada deformabile.

53


54/140

c)br

Pkfv Strada deformabile plasticamente.

5.6. Effetto degli urti sulle asperit

Se si considera leffetto delle asperit, si pu considerare il moto di rotolamento del corpo

lungo il piano come una successione di rotolamenti sulla punta delle asperit.

Istantaneamente quindi la velocit v del centro della ruota ortogonale alla congiungente tra

il centro della ruota e il centro di istantanea rotazione (la punta dellasperit). Quando la

ruota si trova istantaneamente tra due asperit, parte dellenergia cinetica viene trasformata

in energia elastica di deformazione e in parte viene persa. Questo accade perch una

componente della velocit v risulta istantaneamente ortogonale al terreno.

Langolo (individua le distanze fra le asperit), e facendo riferimento al seguente disegnisi ottiene:

Velocit perduta =v sen

= Parametro delasticit del piano (tiene conto del fatto che una parte dellenergia

cinetica va nella deformazione elastica del terreno e pu quindi essere restituita)

Energia cinetica (lavoro) corrispondente alla velocit perduta 22

1m

Non vi un ritorno elastico completo quindi, ameno del coefficiente , lenergia cinetica

persa nellurto (in ogni urto) :2

222222

2

1)1(

2

1)1()(

2

1)1(

2

1)1(

==

r

smvmvsenmvm

essendo: (sen( ) );

54


55/140

s = passo fra le asperit;

1/s = numero di passi rispetto ad un metro (percorso unitario).

Il lavoro perduto nel percorso unitario vale dunque:

( )sr

smvLp

11

2

12

22 =

Essendo il lavoro unitario e il carico costituito dal peso, si ha:

( )2

2

21

r

s

g

v

mg

LfLPfT

p

vpv ====

5.7. Cuscinetti a rotolamento

I cuscinetti sono normalmente dei seguenti tipi:

Cuscinetti per carichi radiali1) radiali rigidi con una o due corone di sfere

2) radiali orientabili con due corone di sfere

3) radiali con una o due corone di rulli cilindrici

4) radiali orientabili con una o due corone di rulli a botte

5) a rullini

6) obliqui con una o due corone di sfere

7) a rulli conici

Cuscinetti per carichi assiali:

1) assiali a sfere a semplice e a doppio effetto


3) a rulli conici con una o due corone di sfere

55


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Cuscinetti per carichi radiali e assiali

1) radiali rigidi a sfere


3) a rulli conici

4) assiali orientabili a rulli

Vantaggi dei cuscinetti a rotolamento

1) Coefficiente di attrito piccolo 0.001 0.002

2) Coefficiente di attrito circa indipendente dalla velocit, anche a velocit uguale a

zero3) Coefficiente di attrito poco dipendente dal carico e dalle propriet del lubrificante

4) Lubrificazione semplice ed economica

Sono molto vantaggiosi nelle macchine che devono funzionare a velocit variabile e con

frequenti arresti.

6. Lavoro e rendimento

Delle forze applicate ai membri di una macchina, alcune sono applicate alle parti mobili,

altre al telaio. Tra le prime, alcune compiono lavoro positivo e si dicono motrici, altre

lavoro negativo e si dicono resistenze. Queste ultime possono essere ulteriormente suddivise

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in resistenze utili (per vincere le quali la macchina stata costruita) e resistenze passive

(che assorbono lavoro senza produrre effetto utile ai fini della macchina).

Le forze applicate al telaio si dicono reazioni.

Il membro al quale applicata la forza motrice si dice movente; si dice cedente quello alquale applicata la resistenza utile.

In un determinato intervallo di tempo la forza motrice compir un lavoro Lm, la resistenza

utile un lavoroLr e le resistenze passive un lavoroLp. Per tutte le macchine sono soddisfatte

le seguenti equazioni:

= n ii EE 1 (lenergia cinetica della macchine la somma delle energie cinetiche dei varimembri che la compongono);

ELLL prm = ; (Teorema delle forze vive)

avendo indicato con E lincremento dellenergia cinetica della macchina.

Se E= 0 in ogni istante (E = costante) la macchina si dice a regime assoluto. Per essa si

ha:

prm LLL += .

Spesso E una funzione periodica del tempo di periodo T; in tal caso lespressione

precedente ancora valida purch si considerino lavori effettuati in intervalli di tempo

multipli interi di T. La macchina si dice funzionante a regime periodico se:

E= 0 per t= hTcon h intero.

Consideriamo una macchina a regime, si dice rendimento meccanico della macchina il

rapporto:

m

r

L

L= ;

e poichLp 0 (quanto del lavoro motore riusciamo ad utilizzare), sar sempre:

1


58/140

m

ri

dL

dL= ;

da cui si pu passare al rendimento medio:

===

m

mi

m

r

m

r

dLdL

dLdL

LL .

6.1. Meccanismi in serie

Pi meccanismi si dicono in serie quando il cedente di ognuno il movente del successivo

Il rendimento dellintera serie :

n

nm

nr

nm

nr

m

r

m

r

m

rn

L

L

L

L

L

L

L

L

L

L .......... 21

1

1

3

2

2

1

1

===+

;

ovvero basta un solo meccanismo con un basso rendimento a ridurre drasticamente il

rendimento dellintera serie.

6.2. Meccanismi in parallelo

Pi meccanismi si dicono disposti in parallelo quando il moto trasmesso da un unico

movente a pi meccanismi diversi, o viene comunicato da pi meccanismi ad un solocedente

Il rendimento complessivo si calcola come segue:

nmmm

nmnmm

nmmm

nrrr

m

r

LLL

LLL

LLL

LLL

L

L

++++++

=++++++

==.....

.....

.....

.....

21

2211

21

21 ;

ovvero il rendimento complessivo la media pesata dei vari rendimenti, avendo come pesi i

relativi lavori motori. In sostanza il meccanismo, anche se con bassissimo rendimento, non

influenza sostanzialmente il rendimento globale se il suo lavoro motore limitato (rispettoagli altri).

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6.3. Espressioni del rendimento

Se ad una macchina sono applicate una forza motrice P ed una forza resistente Q che

rimangono costanti durante il funzionamento, detti sp e sq gli spostamenti dei punti di

applicazione delle forze (misurati nella direzione delle forze), risulta:pm PsL = ;

qr QsL = .

Per una macchina identica ma priva di perdite (macchina ideale) e per i medesimi

spostamenti, si ha pure:

p00mr sPLL == ;

da cui si ottiene unaltra espressione del rendimento:

P

P

L

L

L

L

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