Mazzoldi, Nigro, Voci

Elementi di Fisica Meccanica-Termodinamica

Capitolo 2

Moto del Proiettile

Moto del Proiettile

Oggetto puntiforme lanciato da terra verso l’alto

in direzione a con l’orizzontale con velocità v0

Moto del Proiettile

Moto del Proiettile

Ǝ una accelerazione

g

Accelerazione del sistema : g

ax = 0

ay = -g

Accelerazione del sistema : g

ax = 0

ay = -g

Condizioni iniziali: r0=0 , v0

x0 = 0 vx0 = v0 cosa

y0 = 0 vy0 = v0 sena

Accelerazione del sistema : g

ax = 0 moto rettilineo uniforme

ay = -g moto uniformem. accelerato

Condizioni iniziali:

x0 = 0 vx0 = v0 cosa

y0 = 0 vy0 = v0 sena

Legge oraria del Moto - Equazione della velocità

x = vx0 t vx = vx0

y = vy0 t - 1/2 g t2 vy = vy0 - gt

vy = vy0 - gt

Traiettoria parabolica

Traiettoria parabolica

Legge oraria del Moto x = vx0 t y = vy0 t - 1/2 g t2 Ricaviamo t dalla prima: t = x/vx0 Sostituiamo nella seconda: y = vy0 x/vx0 - 1/2 g (x/vx0)

2

Parabola in forma

parametrica

Parabola y(x)

Traiettoria parabolica al variare di a

Traiettoria parabolica al variare di a

y = vy0 x/vx0 - 1/2 g (x/vx0)2 vx0 = v0 cosa

vy0 = v0 sena

y = x v0sena /v0 cosa - 1/2 g (x/ v0 cosa )2 = = x tg a - 1/2 g (x/ v0 cosa )2

Altezza massima

A) Punto in cui velocità è orizzontale

Altezza massima

A) Punto in cui velocità è orizzontale

vy = 0

Altezza massima

A) Punto in cui velocità è orizzontale

vy = 0

vy = vy0 – gt = 0 th = vy0 / g

Altezza massima

A) Punto in cui velocità è orizzontale

vy = 0

vy = vy0 – gt = 0 th = vy0 / g sostituiamo: y = vy0 t - 1/2 g t2 = = vy0 vy0 /g- 1/2 g(vy0 /g)2 = 1/2 (vy0)

2/g x = vx0 t = vx0 vy0 / g

Altezza massima

Dove in x?

sostituiamo th = vy0 / g x = vx0 t = vx0 vy0 / g O anche:

metà della gittata…. x = vx0 vy0 / g = R/2

Gittata

B) Punto in cui y = 0

y = vy0 t - 1/2 g t2 = 0 t (vy0 - 1/2 g t ) = 0 t1 = 0 t2 = 2 vy0 / g (NB è il doppio di th)

Sostituiamo t2 :

x = vx0 t2 = 2 vy0 vx0 / g = R

Gittata massima

x = 2 vy0 vx0 / g = R = 2 v0

2 cosa sena / g = v0

2 sen2a / g

Gittata massima

x = 2 vy0 vx0 / g = R = 2 v0

2 cosa sena / g = v0

2 sen2a / g

X MAX sen2a MAX

2a = p/2

a = p/4

Altezza massima

y = 1/2 (vy0)2/g

= 1/2 v02 (sena) 2/ g

y MAX sena MAX

a = p/2

Esercizio

Lancio orizzontale

Esercizio

Lancio orizzontale Con velocità v0

Da altezza h

Accelerazione del sistema : g

ax = 0

ay = -g

Condizioni iniziali: r0 , v0

x0 = 0 vx0 = v0

y0 = h vy0 = 0

Accelerazione del sistema : g

ax = 0 moto rettilineo uniforme

ay = -g moto uniformem. accelerato

Condizioni iniziali:

x0 = 0 vx0 = v0

y0 = h vy0 = 0

Legge oraria del Moto - Equazione della velocità

x = vx0 t vx = vx0

y = h - 1/2 g t2 vy = - gt

Tempo impiegato per giungere a terra

???

Dove tocca terra

Con che velocità arriva a terra

Tempo impiegato per giungere a terra

???

Dove tocca terra

Con che velocità arriva a terra

Posizioni ad istanti successivi

Tempo impiegato per giungere a terra

???

Legge oraria del Moto x = vx0 t y = h - 1/2 g t2

y=0

y = h - 1/2 g t2 = 0 t = √ ( 2h/g)

???

Dove tocca terra

Legge oraria del Moto x = vx0 t y = h - 1/2 g t2

t = √ ( 2h/g)

x = vx0 t = vx0 √ ( 2h/g)

???

Con che velocità arriva a terra

Equazione della velocità vx = vx0 vy = - gt

t = √ ( 2h/g)

vx = vx0 vy = - gt = – g √ (2h/g)

v = √ (vx 2 + vy

2) tg a = vy / vx

Esercizio

Lancio di oggetto da altezza h con velocità inclinata di q rispetto all’orizzontale

Accelerazione del sistema : g

ax = 0

ay = -g

Condizioni iniziali: r0 , v0

x0 = 0 vx0 = v0 cosq

y0 = h vy0 = v0 senq

Accelerazione del sistema : g

ax = 0 moto rettilineo uniforme

ay = -g moto uniformem. accelerato

Condizioni iniziali:

x0 = 0 vx0 = v0 cosq

y0 = h vy0 = v0 senq

Legge oraria del Moto - Equazione della velocità

x = vx0 t vx = vx0

y = h + vyo t- 1/2 g t2 vy = vyo - gt

?????

Tempo impiegato Dove arriva Velocità finale

?????

Tempo impiegato

?????

Tempo impiegato

Legge oraria del Moto x = vx0 t y = h + vy0 t - 1/2 g t2

y=0

1/2 g t2 - vy0 t – h = 0

t=1/g [vy0 ±√(vy02 + 2gh) ]

?????

Dove arriva

Legge oraria del Moto x = vx0 t y = h + vy0 t - 1/2 g t2

tf=1/g [vy0 ±√(vy02 + 2gh) ]

xf = vx0 tf

?????

Velocità finale

Equazione della velocità vx = vx0 vy = vy0 - gt

tf=1/g [vy0 ±√(vy02 + 2gh) ]

v = √(vxf2 + vyf

2) tg a = vyf / vxf

velocità proiettile accelerazione