ECONOMIA APPLICATA DISPENSA 1 Prof.ssa Mariarosaria …
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1 1 ECONOMIA APPLICATA DISPENSA 1 Prof.ssa Mariarosaria Agostino PRODUCTION FUNCTIONS Nicholson-Snyder, cap. 9, ( X edizione) 2 Production Function • La funzione di produzione di un bene (q) indica il massimo ammontare del bene che può essere prodotto usando combinazioni alternative di capitale (k)e lavoro (l) q = f(k,l)
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ECONOMIA APPLICATA
DISPENSA 1Prof.ssa Mariarosaria Agostino
PRODUCTION FUNCTIONSNicholson-Snyder, cap. 9,
( X edizione)
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Production Function
• La funzione di produzione di un bene (q)indica il massimo ammontare del beneche può essere prodotto usandocombinazioni alternative di capitale (k) elavoro (l)
q = f(k,l)
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• La funzione di produzione include soloprocessi di produzione efficienti.Un’impresa che max il profitto non èinteressata ai processi produttiviinefficienti, che sprecano input
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Prodotto marginale• Definiamo prodotto marginale fisico
l’output addizionale che può essereprodotto impiegando un’unità addizionaledi quell’input mantenendo gli altri inputcostanti
kk fk
qMP =
∂
∂== capital of product physical marginal
lll
fq
MP =∂
∂== labor of product physical marginal
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Produttività marginale decrescente
• Il prodotto marginale di un input dipendeda quanto input è usato
• In generale, si assume produttivitàmarginale decrescente
02
2
<=∂
∂=
∂
∂kk
k fk
f
k
MP0
2
2
<=∂
∂=
∂
∂ll
l fl
f
l
MP
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• Questa legge stabilisce che se unfattore di produzione aumenta mentregli altri rimangono fissi, gli aumenti dellaproduzione finiranno per decrescere.
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Average Physical Product
• Per produttività del lavoro si intende laproduttività media
l
l
ll
),(input labor
output kfqAP ===
(nota: APl dipende anchedall’ammontare di capitale impiegato)
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Isoquant Maps• Una funzione di produzione può essere
rappresentata graficamente attraverso unamappa di isoquanti
• Un isoquanto mostra tutte le combinazioni(efficienti) di k e l che possono produrre undato livello di output (q0)
f(k,l) = q0
Nel l.p. variano sia k che lNel b.p. manteniamo fisso k e facciamo variare l
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Marginal Rate of Technical Substitution (RTS)
• Il saggio marginale di sostituzionetecnica mostra il tasso al quale il lavoropuò essere sostituito con il capitalemantenendo l’output costante lungo unisoquanto
0
) for ( qqd
dkkRTS
=
−=
ll
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RTS e Produttività Marginali• Calcoliamo il differenziale totale della
funzione di produzione:
dkMPdMPdkk
fd
fdq k ⋅+⋅=⋅
∂
∂+⋅
∂
∂= ll
ll
• Lungo un isoquanto dq = 0, per cui
dkMPdMP k ⋅−=⋅ ll
kqq MP
MP
d
dkkRTS l
ll =
−=
= 0
) for (
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Le funzioni di produzione sonocaratterizzate da due attributi:
• Rendimenti di scala (returns to scale)• Elasticità di sostituzione
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Returns to Scale
• Come risponde l’output a variazioniproporzionali di tutti gli input ?
– Supponiamo che tutti gli input vengano raddoppiati, l’output raddoppia?
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Returns to Scale
• Returns to scale have been of interestto economists since the days of AdamSmith, who identified two forces thatcome into operation as inputs aredoubled– greater division of labor and specialization
of function– loss in efficiency because management
may become more difficult given the larger scale of the firm
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• Per bassi livelli di produzione l’impresa traevantaggio dall’aumento delle dimensioni, perchégode degli effetti di una maggiorespecializzazione
• Ad elevati volumi di produzione tutti i beneficidella specializzazione sono sfruttati e siaggravano i problemi di coordinamento
• Per cui la curva di costo medio di lungo periodoè decrescente a bassi volumi di produzionegrazie ai benefici della specializzazione, ecrescente ad elevati volumi a causa di problemidi coordinamento (forma ad U)
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Returns to Scale• Consideriamo una funzione di produzione
(FP) con n inputq = f(x1,x2,…,xn)
• Se tutti gli input sono moltiplicati per una costante positiva t, abbiamo
f(tx1,tx2,…,txn) = tkf(x1,x2,…,xn)=tkq
– Se k = 1, rendimenti costanti– Se k < 1, rendimenti decrescenti– Se k > 1, rendimenti crescenti
Omogeneità (p.141 Nicholson)
• In generale una funzione è detta omogenea di grado k se moltiplicando tutte le variabili indipendenti per una costante t, la variabile dipendente è moltiplicata per tk
f(tx1, tx2,…txn)=tk f(x1, x2,…xn) per ogni t>0.
• I casi più comuni di funzioni omogenee sono k=0 e k=1
� Se k=0, se moltiplichiamo per t>0 tutti i suoi argomenti f rimane inalterata in valore.
� Se k=1, se moltiplichiamo per t>0 tutti i suoi argomenti il valore di f sarà moltiplicato per t volte.
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Returns to Scale
• È possibile che una FP esibiscarendimenti costanti di scala per alcunilivelli di input e rendimenti crescenti odecrescenti per altri livelli
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Constant Returns to Scale• FP caratterizzate da rendimenti di scala
costanti sono omogenee di grado 1negli input
f(tk,tl) = t1f(k,l) = tq
• Per cui le funzioni di prodotto marginalesono omogenee di grado zero– Perchè: if a function is homogeneous of
degree k, its derivatives are homogeneousof degree k-1
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l
lkfMP
k
lkfMP
ltletting
l
tltkf
l
lkfMP
k
tltkf
k
lkfMP
l
k
l
k
∂
∂=
∂
∂=
=
∂
∂=
∂
∂=
∂
∂=
∂
∂=
)1,/(
)1,/(
/1....
),(),(
),(),(
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Constant Returns to Scale
• Il prodotto marginale di un input dipendedal rapporto tra k e l (non dai livelliassoluti di questi input)
• Ne deriva che il SMST (o RTS) tra k e l
dipende solo dal rapporto tra k e l, nondalla scala di produzione
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Constant Returns to Scale
• La FP è omotetica.• Geometricamente, gli isoquanti sono
espansioni radiali uno dell’altro
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Constant Returns to Scale
l
k
• Lungo un raggio che fuoriesce dall’origine (k/l costante), RTS è lo stesso su tutti gli isoquanti
q = 3
q = 2
q = 1
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Elasticità di sostituzione• L’ elasticità di sostituzione (σ) misura la
variazione proporzionale del rapporto k/lrelativa alla variazione proporzionale delSMST (o RTS) lungo un isoquanto
RTS
lk
lk
RTS
RTS
lk
RTS
lk
ln
)/ln(
/
)/(
%
)/(%
∂
∂=⋅
∆
∆=
∆
∆=σ
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Approssimazione logaritmica del tasso di crescita di una variabile
Il tasso di crescita di una variabile èapprossimativamente uguale alla differenza deilogaritmi naturali dei livelli iniziale e finale (purché taledifferenza non sia grande rispetto al livello iniziale).
Δln(Xt) = ln(Xt)- ln(Xt-1)= ln(Xt/Xt-1)= ln[(Xt-1+ ΔXt)/Xt-1]= ln[1 + ΔXt/Xt-1]≅ ΔXt/Xt-1.
• Nell’ultimo passaggio viene applicata una proprietà dei logaritminaturali, ossia ln(1+z) ≅ z se il numero z è abbastanza piccolo. 27
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Figure 9.3 p. 306 Nicholson
Q=q0
L
K
A
B
inclinazione tangente verde= RTS in Ainclinazione tangente fucsia= RTS in Binclinazione raggio 0A = k/L in Ainclinazione raggio 0B = k/L in B
0
σ è una misura della curvatura degli isoquanti
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Elasticity of Substitution
l per period
k per period
• Both RTS and k/l will change as we move from point A to point B
A
Bq = q0
RTSA
RTSB
(k/l)A
(k/l)B
σ is the ratio of theseproportional changes
σ measures thecurvature of theisoquant
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Elasticity of Substitution
• Se σ è alto, SMST (RTS) non cambiamolto relativamente a k/l– Isoquanto relativamente piatto
• Se σ è basso, SMST cambia molto alvariare di k/l– Isoquanto più curvo
• è possibile che σ cambi lungo unisoquanto o al variare della scala diproduzione.
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The Linear Production Function
q = f(k,l) = ak + bl
• Questa funzione di produzione esibisce rendimenti di scala costanti
f(tk,tl) = atk + btl = t(ak + bl) = tf(k,l)
• Gli isoquanti sono linee rette– SMST è costante– σ = ∞
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The Linear Production Function
l per period
k per period
q1q2 q3
Capital and labor are perfect substitutes
RTS is constant as k/l changes
slope = -b/a σ = ∞
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Fixed Proportions
• Supponiamo che la FP siaq = min (ak,bl) a,b > 0
• Capitale e lavoro devono essere usati in un rapporto fisso – L’impresa opera lungo un raggio su cui k/l
è costante
• Siccome k/l è costante, σ = 0
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Fixed Proportions
l per period
k per period
q1
q2
q3
Non è possibile sostituire lavoro con capitale, e viceversa
σ = 0
k/l è fisso a b/a
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Cobb-Douglas Production Function
q = f(k,l) = Akalb A,a,b > 0
• Tale FP può esibire qualsiasi tipo di rendimento di scala
f(tk,tl) = A(tk)a(tl)b = Ata+b kalb = ta+bf(k,l)�a + b = 1 ⇒ constant returns to scale�a + b > 1 ⇒ increasing returns to scale�a + b < 1 ⇒ decreasing returns to scale
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Cobb-Douglas Production Function
Dimostriamo che σ =1• RTS=fl/fk=(b/a) (k/l)• ln RTS=ln (b/a)+ln(k/l)
1ln
)/ln(=
∂
∂=
RTS
k lσ
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Cobb-Douglas Production Function
• La FP Cobb-Douglas è lineare nei logaritmiln q = ln A + a ln k + b ln l
�a is the elasticity of output with respect to k�b is the elasticity of output with respect to l�These constants can be estimated from actual data,
and such estimates may be used to measure returns
to scale (a+b)
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CES Production Functionq = f(k,l) = [kρ + lρ] γ/ρ ρ ≤ 1, ρ ≠ 0, γ > 0
� γ > 1 ⇒ increasing returns to scale� γ < 1 ⇒ decreasing returns to scale� γ = 1 ⇒ constant returns to scale
• σ = 1/(1-ρ)�ρ = 1 ⇒ FP lineare�ρ = -∞ ⇒ FP con proporzioni fisse�ρ = 0 ⇒ Cobb-Douglas
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Important Points to Note:
• If all but one of the inputs are heldconstant, a relationship between thesingle variable input and output can bederived– the marginal physical productivity is the
change in output resulting from a one-unitincrease in the use of the input
• assumed to decline as use of the inputincreases
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Important Points to Note:
• The entire production function can beillustrated by an isoquant map– the slope of an isoquant is the marginal
rate of technical substitution (RTS)• it shows how one input can be substituted for
another while holding output constant• it is the ratio of the marginal physical
productivities of the two inputs
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Important Points to Note:
• The returns to scale exhibited by aproduction function record how outputresponds to proportionate increases inall inputs– if output increases proportionately with input
use, there are constant returns to scale
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Important Points to Note:
• The elasticity of substitution (σ)provides a measure of how easy it is tosubstitute one input for another inproduction– a high σ implies nearly straight isoquants– a low σ implies that isoquants are nearly
L-shaped
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• Dimostrare che, per una CES σ = 1/(1-ρ)
• Esempio 9.3
Translog function
La forma funzionale logaritmicatrascendentale o translogaritmica(Translog) è una forma più generale eflessibile rispetto alle funzioni di tipo CES,che nello stesso tempo rappresenta unavalida approssimazione per le stesse.
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Si configura come un’approssimazione diTaylor del secondo ordine (per i logaritmidelle variabili esplicative)È caratterizzata dal fatto che tutte leelasticità parziali di sostituzione possonoassumere valori tra loro differenti.
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C-D and Translog (2 inputs)
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Cobb-Douglas:
lnq = β0 + β1lnx1 + β2lnx2
Translog:
lnq = β0 + β1lnx1 + β2lnx2 + 0.5β11(lnx1)2 +
0.5β22(lnx2)2 +β12lnx1lnx2
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Cobb-Douglas:
Production elasticity for j-th input is: Ej =
βj , Scale elasticity is: ε = E1+E2
Translog:
Production elasticity for i-th firm and j-th
input is: Eji = βj+ βj1lnx1i+ βj2lnx2i
Scale elasticity for i-th firm is: εi = E1i+E2i49
Translog production function (n inputs)
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Vantaggi• Flessibile (less restrictions on production
elasticities and substitution elasticities)• Funzione lineare nei logaritmi, quindi può
essere utilizzata nell'ambito di analisieconometriche basate sul modellolineare classico di regressione(assumendo la validità delle ipotesiclassiche sul termine di errore)
Svantaggi
• Requires estimation of manyparameters
• Multicollinearity problems
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