dispensa statistica

Lezioni di Statistica

Giovanni M. Marchetti

Universit�a di Sassari, Facolt�a di Scienze Politiche, Anno accademico 1996{1997

Indice

1 Concetti introduttivi 1

1.1 Fenomeni collettivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Unita' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.3 Caratteri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4 Processo di rilevazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.5 Osservazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.6 Tipi di indagine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.7 Campioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.8 Censimenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.9 Confronti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.10 Studi osservazionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.11 Esperimenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.12 Confronti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.13 De�nizione delle unita' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.14 Dati individuali e aggregati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.15 Tipi di caratteri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.16 Caratteri continui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.17 Caratteri discreti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.18 Modalita' di un carattere continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.19 Discretezza delle misurazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.20 Caratteri ordinali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.21 Caratteri sconnessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.22 Tempo e spazio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.23 Spazio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.24 Rilevazioni statiche e dinamiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.25 Serie storiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Distribuzioni di frequenza 13

2.1 Successioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2 Frequenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3 Presentazioni tabulari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.4 Distribuzione di frequenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.5 Costruzione delle distribuzioni di frequenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

i

ii

2.6 La struttura del fenomeno collettivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.7 Calcoli per le frequenze relative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.8 Percentuali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.9 Frequenze relative percentuali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.10 Eliminazione di N e confronti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.11 Il problema delle frequenze piccole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.12 Aggregazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.13 Classi per caratteri continui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.14 Distribuzioni in classi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.15 Ampiezza delle classi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.16 Confronti tra frequenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.17 Densita' di frequenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3 Rappresentazioni gra�che 23

3.1 Visualizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.2 Scatter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.3 Istogrammi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.4 Diagrammi a barre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.5 Altre rappresentazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.6 Confronto tra una torta e un diagramma a barre . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4 Sintesi di distribuzioni univariate 29

4.1 Rapporti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.2 Variabili discrete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.3 Mutabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.4 Sintesi di una distribuzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.5 Caratteri ordinali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.6 Media aritmetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.7 Media di una variabile discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.8 Media e mediana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.9 Confronti di medie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.10 Confronti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.11 La media e' interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.12 Medie di trasformazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.13 Medie di trasformazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.14 Ammontare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.15 Medie di medie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.16 Medie ponderate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.17 Medie di medie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.18 Ogni media e' imprecisa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.19 Equazione base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.20 Proprieta' degli scarti dalla media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.21 Varianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.22 Variabilita' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

iii

4.23 Unita' di misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.24 Interpretazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.25 Proprieta' dello sqm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.26 Scarto quadratico medio di distribuzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.27 Calcoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.28 Varianza di una variabile discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.29 Intervalli intorno alla media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.30 Esempi della regola dei tre sqm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.31 Trasformazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5 Serie storiche 45

5.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.2 Variazioni e tassi di variazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.3 Numeri indici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485.4 Varaizioni relative complessive e medie di numeri indici . . . . . . . . . . . . 525.5 Numeri indici composti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545.6 De azionamento di valori espressi in moneta corrente . . . . . . . . . . . . . . 56

6 Distribuzioni di due caratteri 59

6.1 Distribuzioni doppie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596.2 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626.3 Medie di distribuzioni doppie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666.4 Associazione tra due caratteri quantitativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676.5 Covarianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

7 Relazioni tra due caratteri: correlazione 75

7.1 Dipendenza e interdipendenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 757.2 Misure di interdipendenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 767.3 Standardizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 797.4 Correlazione e standardizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

8 Dipendenza e indipendenza 83

8.1 Distribuzioni condizionate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 838.2 Indipendenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 878.3 Relazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

9 Confronti di medie 97

9.1 Medie condizionate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 979.2 Varianza interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1009.3 Varianza tra gruppi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

10 Regressione 107

10.1 Funzione di regressione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10710.2 Varianze condizionate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11210.3 Approssimazioni analitiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

iv

10.4 Funzione di regressione lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

11 Interpolazione 119

11.1 Tipi di interpolazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11911.2 Interpolazione per punti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12111.3 Fasi dell'interpolazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12311.4 Metodo dei minimi quadrati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12411.5 Valori adattati e residui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12811.6 Bonta' di adattamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13511.7 Analisi dei residui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

12 Campioni casuali e probabilita' 145

12.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14512.2 Campioni casuali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14712.3 Probabilita' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15412.4 Operazioni con gli eventi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15612.5 Calcolo delle probabilita' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15812.6 Probabilita' condizionata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16012.7 Indipendenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

13 Campionamento da una popolazione dicotomica 165

13.1 Variabili aleatorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16513.2 Variabile di Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16613.3 Campionamento e universo dei campioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16913.4 Distribuzione campionaria di una proporzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

14 Campionamento da una popolazione Gaussiana 181

14.1 Variabili aleatorie continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18114.2 Variabile aleatoria Gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18314.3 Probabilita' per la normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18514.4 Modelli Gaussiani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18814.5 Campionamento da una popolazione normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18914.6 Distribuzione campionaria della media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

15 Introduzione alla stima 195

15.1 Problemi di stima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19515.2 Come si valuta una stima? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

A Dati 203

A.1 Dati sui frequentanti di un corso di Statistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

B Tavola della distribuzione normale 207

SETTIMANA 1

Concetti introduttivi

1.1 Fenomeni collettivi

1. Che cos'e' la statistica?

La Statistica si occupa dell'analisi quantitativa dei fenomeni collettivi.

2. Che cosa sono i fenomeni collettivi?

Sono fenomeni composti da un gran numero di unita' elementari, ma che sfuggono all'os-servazione diretta. Possono essere studiati rilevando su ciascuna unita' gli aspetti misurabiliritenuti importanti e analizzando in modo opportuno le misure ottenute.

Il metodo statistico permette di far emergere delle regolarita' che non potrebbero esserenotate altrimenti.

� L'insieme degli studenti di un corso universitario. Quali sono le caratteristiche deglistudenti?

� Un campione di elettori estratto per stimare la proporzione di favorevoli al capo digoverno

� L'insieme dei potenziali pazienti so�erenti di ipertensione. Il farmaco A e' migliore delfarmaco B per regolarizzare la pressione?

� L'economista sa che il consumo delle famiglie dipende dal reddito, secondo una leggecrescente. La legge che lega il consumo al reddito e' un fenomeno collettivo che nasceda una molteplicita' di comportamenti individuali.

1.2 Unita'

3. Come si puo' de�nire un fenomeno collettivo?

1

2

Vi sono tre concetti, intimamente legati, che permettono di de�nire quantitativamenteun fenomeno collettivo e cioe' il concetto di unita', il concetto di carattere e il concetto diprocesso di rilevazione.

4. Che cos'e' un'unita' statistica?Le entita' elementari del fenomeno collettivo si chiamano unita' statistiche o unita' di

osservazione e l'insieme che le comprende si dice popolazione o collettivo.

1.3 Caratteri

5. Che cos'e' un carattere?Il fenomeno collettivo viene studiato prendendo in esame una o piu' caratteristiche og-

getto di interesse. Tali caratteristiche non possono essere rilevate direttamente sul fenomenocollettivo, ma sulle singole unita' di osservazione che lo compongono. Ogni caratteristicastudiata si dice carattere o fenomeno e le sue possibili manifestazioni si chiamano modalita'del carattere.

1.4 Processo di rilevazione

6. Che cos'e' il processo di rilevazione?E' necessario intraprendere un processo di rilevazione durante il quale ciascuna unita'

viene osservata per vedere come le caratteristiche in questione si manifestano.

7. In cosa consiste?Esso consiste nell'associare a ciascuna unita' del collettivo una e una sola modalita' del

carattere.

8. Che cos'e' una modalita' di un carattere?Una modalita' e' uno dei possibili modi con cui il carattere si puo' manifestare.

9. Che cos'e' una determinazione di un carattere?Una determinazione e' una realizzazione del carattere su una particolare unita' statistica.

10. Dati sul collettivo dei frequentanti del corso di Statistica di questa facolta'

� Include anche studenti di altre facolta'

� Il numero di unita' e' variabile, rilevazione con un questionario anonimo

� Caratteri

Carattere Modalita'sesso fm, fgscuola fliceo, istituto tecnico, altrogvoto maturita' f36,37, . . . , 59, 60gcomponenti famiglia f1, 2, 3, . . . gdurata (minuti) qualsiasi tempo � 0

3

1.5 Osservazioni

11. Come possono essere le modalita' teoriche di un carattere?Per alcuni caratteri le modalita' sono numeriche mentre per altri sono categorie.

12. Tutti i caratteri hanno una unita' di misura?Alcuni caratteri (es. la durata) hanno una unita' di misura ed e' necessario sceglierla.

Altri caratteri hanno una unita' di misura naturale (es. il numero di componenti). Altricaratteri non hanno unita' di misura (il sesso).

13. Che cos'e' il raggruppamento in classi?

Quando le modalita' di un carattere sono molte (es. tipo di scuola) puo' essere utileraggrupparle in un numero minore di classi (sottoinsiemi di modalita').

14. Che cos'e' lo strumento di misura usato nel processo di rilevazione?E' il mezzo tecnico con cui il dato statistico viene rilevato. Nell'esempio e' il questionario.

15. Che cosa sono gli errori di misura?Sono gli errori che si commettono nel rilevare il dato a causa di una imperfezione sistema-

tica dello strumento di misura. Ad esempio se il questionario e' mal realizzato o distribuito idati rilevati sono presumibilmente a�etti da errori di misura

16. Che associazione produce il processo di rilevazione?

Esso realizza l'associazione di una e una sola modalita' di ciascun carattere a ciascunaunita'.

17. Che cosa sono i dati mancanti?Si hanno dati mancanti quando, per vari motivi, non e' possibile rilevare il dato relativo

a un carattere su una particolare unita'. Nel caso di indagini tramite questionario essi sonoassociati a non risposte

18. Come si chiama il dato osservato su ogni unita'?

Si dice determinazione o realizzazione del carattere.

19. Risultati dei primi 5 questionari relativi all'anno accademico 95{96 e per i due caratterisesso e voto.

studente 1 2 3 4 5

sesso m f f f fvoto 46 54 57 48 58

20. Quante sono le modalita' del sesso?Due.

4

21. Quante sono le determinazioni del sesso in questo esempio?

Sono 5, una per ogni unita'.

1.6 Tipi di indagine

22. Quali sono i tipi fondamentali di indagine?

Si distinguono

(a) le indagini campionarie

(b) i censimenti

(c) gli studi osservazionali

(d) gli esperimenti

1.7 Campioni

23. Che cos'e' una indagine campionaria?

E' caratterizzata dall' estrazione di un campione, di solito con metodi probabilistici dauna popolazione e dalla rilevazione di un certo numero di caratteri.

24. Che cos'e' un campione?

E' un sottoinsieme della popolazione.

25. Come si chiama la branca della statistica che si occupa della progettazione delle indaginicampionarie?

Campionamento statistico.

26. Qual'e' l'obbiettivo delle indagini campionarie?

Il loro obbiettivo e' quello di fornire stime di medie, proporzioni o totali relativi allapopolazione oggetto di studio.

1.8 Censimenti

27. Che cos'e' un censimento?

E' un indagine che si propone di rilevare un certo numero di caratteri sul tutte le unita'di una popolazione a una certa data.

28. Esempi rilevanti?

Ogni dieci anni l'Istituto Nazionale di Statistica (istat) e�ettua il Censimento della Po-polazione, il Censimento dell'Industria, del Commercio, dei Servizi e dell'Artigianato e ilCensimento dell' Agricoltura.

5

1.9 Confronti

29. Qual'e' la di�erenza essenziale tra indagini campionarie e censimenti?

Nelle prime si opera una rilevazione parziale, mentre nei secondi si opera una rilevazionecompleta.

30. Quali sono i vantaggi e gli svantaggi?

I censimenti pur utilissimi sono indagini estremamente costose e quindi sono e�ettuati soloogni 10 anni. Le indagini campionarie sono assai meno costose e possono fornire informazionitempestive.

31. Quali tipi di errori sono rilevanti nelle indagini campionarie?

Gli errori di campionamento, cioe' l'errore dovuto dall'aver trascurato una parte dellapopolazione.

32. Quali tipi di errori sono rilevanti nei censimenti?

Gli errori non campionari, cioe' gli errori di misura dovuti all'errato riempimento deiquestionari presentati dagli u�ciali di censimento.

33. E'possibile stimare l'ordine di grandezza degli errori?

E'possibile per gli errori di campionamento se il campionamento e' casuale. Gli errorinon campionari sono talvolta rilevanti e possono essere ridotti solo migliorando il processo dirilevazione.

1.10 Studi osservazionali

34. Che cos'e' un indagine osservazionale?

E' un'indagine realizzata raccogliendo dati, cosi' come si presentano, sulle unit�a apparte-nenti a qualche sistema. Si parla di indagini basate su osservazioni passive. In questo caso ilricercatore non ha alcun controllo sulla raccolta dei dati.

35. Quali scienze utilizzano dati osservazionali?

Per esempio l'astronomia e l'economia. Gli astronomi e gli economisti cercano di control-lare e interpretare le indagini utilizzando le relative costruzioni teoriche. Solo in questo modoessi possono veri�care teorie contrapposte.

1.11 Esperimenti

36. Che cos'e' un esperimento?

Un esperimento e' un' indagine accuratamente controllata e progettata per scoprire co-sa succede ad un carattere oggetto di studio (la risposta) quando uno o piu' caratteri (itrattamenti), vengono fatti variare.

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37. Come e' e�ettuato un esperimento?Si sceglie un certo numero di unit�a sperimentali, a ciascuna unita' si assegna un tratta-

mento scelto opportunamente, e alla �ne si rileva un carattere sulle unita' cosi' trattate.

38. Come e' assegnato il trattamento?L'assegnazione del trattamento all'unita' sperimentale e' decisa in modo casuale. Il

procedimento in questione si dice randomizzazione.

1.12 Confronti

39. Qual'e' la di�erenza essenziale tra esperimenti e indagini osservazionali?Negli esperimenti il sistema e' controllato dal ricercatore. Solo i trattamenti possono

in uenzare la risposta e sono assegnati a caso. Invece nelle indagini osservazionali il sistemanon e' controllato dal ricercatore. Molti caratteri possono in uenzare la risposta e alcuni nonsono noti.

40. Come si fa a stabilire se il trattamento ha e�etto?Se alla �ne si osserva una di�erenza nella risposta a due trattamenti questa puo' essere

attribuita solo ai trattamenti e non ad altro. Se non vi e' di�erenza i trattamenti non sonosigni�cativamente diversi.

1.13 De�nizione delle unita'

41. Che cos'e' una popolazione?Una popolazione raccoglie delle unita' statistiche caratterizzate dal fatto di possedere delle

proprieta' comuni ed e' pertanto un insieme strutturato, dotato di rilevanza scienti�ca.

42. Che cosa si intende per de�nizione delle unita'?Si intende il procedimento con cui si de�nisce in modo univoco l'unita' di osservazione in

modo da evitare incertezze.

43. Se si studia il collettivo delle famiglie residenti in un certo comune, occorre de�nire inmodo preciso che cosa si intende per famiglia. E' una famiglia un convento, un ospedale, unapersona che vive sola?

44. Si puo' lasciare la de�nizione delle unita' al rilevatore?No. Se la scelta non viene de�nita in modo preciso e universale, l'intero procedimento ne

risulta a�etto e i confronti con altre rilevazioni non sono possibili.

1.14 Dati individuali e aggregati

45. Come possono essere le unita' statistiche?Si distinguono unita' statistiche individuali in cui la determinazione del carattere e' riferita

a un entita' indivisibile e unita' aggregate che sono costituite da insiemi di unita' del primotipo.

7

46. Fare un esempio di unita' individuale.Un'unita' individuale e' un individuo, una famiglia, una azienda, un nato, una partita

esportata, un punto geogra�co.

47. Fare un esempio di unita' aggregata.Un insieme di residenti in uno stesso comune, un insieme di nati in un comune in un certo

mese, una regione geogra�ca.

48. Qual'e' il problema dell'unita' modi�cabile?Siccome il raggruppamento e' arbitrario, le unita' aggregate sono entita' modi�cabili che

non hanno una connotazione intrinseca.

1.15 Tipi di caratteri

49. Qual'e' la classi�cazione fondamentale dei caratteri?Una possibile classi�cazione distingue

� i caratteri continui,

� i caratteri quantitativi discreti,

� i caratteri ordinali,

� i caratteri sconnessi o nominali

� i caratteri dicotomici o binari.

1.16 Caratteri continui

50. Quali sono i caratteri continui?I caratteri continui sono quelli le cui modalita' possono essere, almeno in linea di principio,

espresse da qualsiasi numero reale compreso in un intervallo.

51. Quante sono le modalita' teoriche di un carattere continuo?Sono in�nite non numerabili. Di solito derivano da un operazione di misura con qualche

strumento.

1.17 Caratteri discreti

52. Quali sono i caratteri quantitativi discreti?I caratteri quantitativi discreti sono quelli le cui modalita' sono numeri naturali, cioe'

sottoinsiemi di f0; 1; 2; 3; : : :g. Di solito derivano da un operazione di conteggio.

53. Qual'e' il signi�cato delle di�erenze tra modalita'?Nei caratteri continui e in quelli quantitativi discreti le modalita' sono espresse da numeri

ed esprimono l'intensita' del carattere. Pertanto le di�erenze sono interpretate come unamisura della separazione tra le modalita'.

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54. Un medico e' interessato a studiare un gruppo di pazienti a�etti da disturbi cardiaci.Per ciascun paziente rileva i seguenti caratteri.

Carattere Modalita' teoriche

pressione sanguigna (mm) x reale tale che 80 � x � 250numero di battiti al minuto f20, 21, 22, . . . , 200galtezza (cm) x reale tale che 150 � x � 200

55. Classi�care i caratteri precedenti.

La pressione e' un carattere continuo misurato con un strumento chiamato s�gmomano-metro. L'unita' di misura e' in mm di mercurio.

Il numero di battiti e' un carattere discreto perche' e' un conteggio.

L'altezza e' anch'essa un carattere continuo perche' si assume che essa vari in uno stessoindividuo con continuita' e non a salti.

1.18 Modalita' di un carattere continuo

56. Che cosa si intende per unita' minima di misurazione?

Si intende quella tollarenza posseduta da ogni strumento di misura al di la' della qualeesso non riesce a distinguere.

57. Fare un esempio.

Il metro per misurare l'altezza ha una unita' minima di misurazione che e' il mm.

58. Che cosa si intende per modalita' teoriche di un carattere continuo?

Sono le modalita' che sono concepibili a priori per il carattere e che lo strumento di misuradovrebbe rilevare. I caratteri continui hanno un numero in�nito di modalita' teoriche.

1.19 Discretezza delle misurazioni

59. Che cosa sono le modalita' e�ettive di un carattere continuo?

Sono le modalita' che e�ettivamente si possono distinguere con lo strumento di misura eche dipendono dalla unita' minima di misurazione dello stesso.

60. Quante sono le modalita' e�ettive di un carattere?

Sono sempre �nite e discrete.

61. Come si interpretano le modalita' e�ettive di un carattere continuo?

Come degli intervalli di numeri.

62. Quante sono le modalita' e�ettive dell'altezza se e' misurata in cm ed e' compresa tra150 e 200 cm?

Il carattere rilevato ha solo 51 possibili modalita' contro le in�nite possibili.

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63. Se l'altezza di un individuo e' misurata in 175 cm qual'e' l'intervallo di misure corri-spondente?

L'intervallo di misure che vanno da 174.5 cm a 175.5 cm.

1.20 Caratteri ordinali

64. Quali sono i caratteri ordinali?

I caratteri ordinali (o ordinabili), sono quelli che hanno delle modalita' che possono essereordinate.

65. Fare esempi di caratteri ordinali.

I caratteri che esprimono graduatorie come il titolo di studio con modalita': senza titolo,licenza elementare, licenza media, diploma, laurea, dottorato.

I giudizi espressi su scale a cinque valori come totalmente contrario, contrario, neutrale,daccordo, totalmente daccordo.

66. Si possono interpretare le di�erenze tra modalita' di caratteri ordinali?

No, le di�erenze tra le modalita' non si possono interpretare come per i caratteri continuio quantitativi discreti. In tali casi e' possibile stabilire che una unita' e' maggiore o minoredi un altro, ma non si sa stabilire di quanto.

67. Se si associano dei punteggi numerici alle modalita' di un carattere ordinale, si possonointerpretare le di�erenze tra punteggi?

No non e' possibile.

68. I caratteri continui e quantitativi discreti sono ordinali?

Si', sono ordinali perche' le loro modalita' possono essere ordinate.

1.21 Caratteri sconnessi

69. Che cosa e' un carattere sconnesso?

I caratteri sconnessi (o nominali) sono quelli che hanno come modalita' degli attributisenza un ordine naturale. L'insieme delle modalita' di un carattere sconnesso e' un insiemedi categorie completamente privo di struttura i cui elementi si possono permutare. Talvoltale modalita' vengono chiamate classi.

70. Quali sono i caratteri dicotomici?

I caratteri dicotomici o binari sono quelli che misurano la presenza o l'assenza di unaparticolare caratteristica dell'unita'. Essi pertanto hanno due sole modalita'.

71. La segreteria dell'Universita' rileva per tutti gli studenti iscritti all'Ateneo vari caratteritra cui i seguenti

10

Carattere Modalita'

sesso fm,fge' in regola? fsi', nogfacolta' (elenco di tutte le facolta')anno di iscrizione f1, 2, 3, 4, 4o ripetente, fuori corsog

72. Classi�care i caratteri dell'esempio.Il carattere sesso e' dicotomico, perche' le mod unita'.

73. Classi�care i caratteri X2; X3; X4; X8 e X10.Il carattere X2, numero di componenti della famiglia e' quantitativo discreto.Il carattere X3, scuola di provenienza e' sconnesso.Il carattere X4, voto alla maturita' e' ordinabile.Il carattere X8, quanti minuti impieghi a raggiungere l'universita'?, e' continuo.Il carattere X10, fumi?, e' binario.

74. Il carattere voto alla maturita' e' quantitativo discreto?A rigore no, perche' non e' possibile interpretare le di�erenze tra punteggi dicendo, ad

esempio che la di�erenza tra un punteggio di 60 e uno di 54 e' la stessa esistente tra 42 e 36.E' possibile invece ordinare gli studenti dai meno bravi ai piu' bravi.

75. Il carattere religione che tipo di carattere e'?Sconnesso.

76. Il carattere numero di �gli che tipo di carattere e'?Quantitativo discreto.

77. Qual'e' l'unita' statistica cui va riferito il carattere precedente?La famiglia.

1.22 Tempo e spazio

78. E' importante il tempo in un indagine statistica?Si e' importante. Su ogni unita' statistica e' possibile rilevare il tempo al quale la

rilevazione e' avvenuta.

79. Come si distinguono i fenomeni in relazione alla rilevazione nel tempo?Certi fenomeni si possono rilevare in un preciso istante di tempo e vengono detti fenomeni

di stato, mentre per altri la rilevazione deve avvenire necessariamente in un intervallo di tempoe vengono detti fenomeni di movimento o di usso.

80. Quando si ottengono tipicamente i dati di usso?Quando si contano eventi che avvengono secondo un processo temporale.

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81. Fare esempi di dati di stato e di usso.

L'eta' di un individuo, la sua altezza, la posizione nel lavoro sono tutti fenomeni di stato.

Invece il numero di nati puo' essere rilevato solo facendo riferimento a un intervallo ditempo e pertanto e' un dato di usso.

82. Qual'e' il processo temporale sottostante all'esempio dei nati?

Le nascite sono eventi che avvengono ad istanti precisi, secondo un processo temporale.Il numero di nati al mese misura la velocita' con cui avvengono le nascite.

83. Fare altri esempi di dati di usso.

Il numero di incidenti su un tratto di strada.

I consumi mensili di una famiglia.

La consistenza del conto in banca di un cliente di una banca e' un dato di stato perche'puo' essere rilevato in un istante di tempo. Il numero di prelievi e', invece, un dato di usso.

1.23 Spazio

84. Perche' ha rilevanza la collocazione spaziale di una unita'?

Perche' alcuni fenomeni possono essere rilevati in un punto geogra�co preciso mentre altridebbono essere riferiti a una zona di territorio.

85. Fare degli esempi di fenomeni che possono essere riferiti a un punto geogra�co.Ad ogni famiglia si puo' associare la residenza mediante la posizione su un arco di strada

della mappa del comune.

In ogni punto geogra�co si puo' rilevare un carattere come la temperatura o la pressione.

86. Fare esempi di fenomeni che debbono essere riferiti a zone.

La popolazione residente, puo' essere riferita solo a una unita' statistica che e' una zonadel territorio, per esempio un comune. Non e' possibile rilevare la popolazione in un punto.

1.24 Rilevazioni statiche e dinamiche

87. Che cosa si intende per rilevazione statica?

E' una rilevazione in cui si vuole cogliere un immagine istantanea del fenomeno collettivo,e l'aspetto dinamico (nel tempo) viene ignorato perche' ritenuto non di interesse primario.

88. Che cosa e' una rilevazione dinamica?

Si ha quando la dinamica temporale non puo' essere trascurata perche' e' proprio attra-verso di essa che si colgono gli aspetti piu interessanti del fenomeno collettivo.

89. Che cosa e' una indagine longitudinale?Si ha quando il carattere oggetto di studio viene rilevato in piu' tempi successivi. Si

dispone pertanto di dati longitudinali ossia di misure ripetute per ciascuna unita'.

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90. Fare degli esempi di indagine statica.Se si rilevano i consumi di un collettivo di famiglie ad un certo tempo, i dati sono statici.

91. Fare esempi di dati e indagini dinamiche.Il prodotto interno lordo italiano negli ultimi 10 anni.Le indagini cliniche che seguono nel tempo campioni di soggetti per osservare alla �ne

un evento oggetto di interesse (l'insorgenza di una malattia, la guarigione completa dopo unintervento).

92. Qual'e' la distinzione essenziale tra indagini statiche e dinamiche?Nelle prime vi e' essenzialmente una sola rilevazione, mentre nelle seconde vi sono piu'

rilevazioni sulle stesse unita' in tempi diversi.

1.25 Serie storiche

93. Che cos'e' una serie storica?E' un insieme di dati rilevati in tempi successivi su una sola unita'.

94. Fare degli esempi di serie storiche.Un pediatra e' interessato a studiare la crescita di un bambino e a rilevare, per esempio,

l'altezza a intervalli di tempo, durante i primi due anni di vita. La successione di misureripetute su un solo bambino e' una serie storica.

La successione degli incassi di un supermercato a �ne della giornata, per un mese e' unaserie storica.

SETTIMANA 2

Distribuzioni di frequenza

2.1 Successioni

In quello che segue si considera il caso piu' semplice in cui si dispone di una popolazione diunita' osservata a un certo tempo, e su cui viene rilevato un solo carattere.

95. Che cos'e' la successione delle determinazioni?

Al termine della rilevazione, l'insieme dei dati rilevati sul carattere per ciascuna unita'.Esso e' chiamato insieme delle osservazioni o successione delle determinazioni.

96. La successione puo' essere compattata?

Siccome spesso le modalita' del carattere sono molto minori del numero di osservazioni,la successione puo' essere compattata elencando accando alle modalita' teoriche il numero divolte che esse sono ripetute.

2.2 Frequenze

97. Come si chiama il numero di volte che una modalita' si ripete?

Si dice frequenza assoluta, o semplicemente frequenza, associata alla modalita'.

98. Che cos'e' una frequenza?

La frequenza associata a una modalita' indica il numero di unita' statistiche nella popo-lazione che possiedono quella modalita'.

99. Qual'e' la successione delle determinazioni della Scuola di provenienza per i dati suifrequentanti?

E' composta delle 94 osservazioni seguenti

13

14

I L L L L L L L I L I I I L L L I I A II A I I L I I L L I I L I L L I L A I LA A A L I I A I L I L I L L L I I L I LL I L I I L L A I L L L L I I I I I I II L I L I L I L L L L I I I

dove L = Liceo, I = Istituti tecnici, e A = Altre scuole.

100. Quali sono le frequenze?Una semplice operazione di spoglio permette di riassumere l'insieme delle osservazioni

nella tabella seguente

Modalita' Frequenza

L 42I 44A 8

2.3 Presentazioni tabulari

101. Come si presentano le frequenze?La tabella e' migliorata aggiungendo il totale delle osservazioni e scrivendo per esteso le

modalita', per esempio

Tipo di scuola StudentiLiceo 42Istituti tecnici 44Altre scuole 8Totale 94

102. Si possono mettere le frequenze per colonne?Ovviamente si'. Per esempio,

Tipo di scuola Liceo Istituti tecnici Altre scuole TotaleStudenti 42 44 8 94

2.4 Distribuzione di frequenze

103. Che cos'e' una distribuzione di frequenze?E' la tabella che si ottiene associando ad ogni modalita' teorica le frequenze osservate,

alludendo al fatto che le unita' vengono distribuite ossia classi�cate secondo le modalita' delcarattere.

104. Che signi�ca distribuzione di frequenze semplice?Distribuzione di frequenze di un solo carattere.

105. Che cosa si perde passando dalla successione alla distribuzione?Non si puo' piu' conoscere il dato relativo a ciascuna unita'.

15

106. Costruire la distribuzione di frequenza secondo il numero di componenti della famiglia.

Numero di componenti 1 2 3 4 5 6 7 8 TotaleStudenti 1 1 15 44 19 8 2 2 92

107. Perche' il totale e' 92 e non 94?

Perche' ci sono due dati mancanti.

2.5 Costruzione delle distribuzioni di frequenza

108. Come si costruiscono usualmente le tavole di frequenza?

Spesso l'operazione di classi�cazione e tabulazione delle osservazioni e' realizzata \conl'elaboratore".

109. Quali sono i passi necessari per costruire una buona tabella?

(a) La successione delle osservazione deve essere registrata in modo opportuno su un ar-chivio elettronico (�le), (b) deve essere scritto un opportuno programma che usi un algoritmoper classi�care le osservazioni, (c) il programma deve essere fatto girare con i dati registratie, in�ne, (d) i risultati forniti dall'elaboratore debbono essere riscritti in forma leggibile.

110. Dati della World Fertility Survey, anno 1974 per le isole Figi. La popolazione e'costituita da donne sposate di eta' tra 15 e 49 anni. Il carattere rilevato e' la residenza conmodalita': Suva (la capitale), Altre zone urbane, Zona rurale, Non precisata. La distribuzionedi frequenza e' la seguente

Residenza Numero di donneSuva 800Altre zone urbane 964Zona Rurale 3146Non precisata 18Totale 4928

2.6 La struttura del fenomeno collettivo

La distribuzione di frequenza non e' soltanto un modo per compattare la successione delleosservazioni, ma e' anche un modo per fare emergere la struttura del fenomeno collettivo.

111. Qual'e' il modo migliore per evidenziare la struttura della popolazione?

Il modo migliore e' prescindere dall'e�ettiva numerosita' del collettivo. Questo si puo'ottenere calcolando per ogni modalita' la proporzione di unita' della popolazione che lapossiedono.

112. Che cos'e' una frequenza relativa?

E' il rapporto tra ogni frequenza e il numero totale di unita' statistiche.

16

2.7 Calcoli per le frequenze relative

113. Se si denota con n la frequenza di una certa modalita' e N il numero totale di unita'come si calcola la frequenza relativa?

Si calcola col rapporto

f =n

N:

114. La somma delle frequenze relative a cosa e' eguale?Poiche' sono quote della popolazione esse sommano a uno.

2.8 Percentuali

115. Che cos'e' una percentuale?Dato un rapporto a=b si dice che si esprime in percentuale se si trova quel valore x tale

chea

b=

x

100

116. Esprimere 1=2 in percentuale.E' 50%. Infatti, 1 sta a 2 come 50 sta a 100.

117. Dato un rapporto, come si trasforma in percentuale?Si moltiplica per 100 e si aggiunge il simbolo %.

118. Data una percentuale come si trasforma in numero?Basta togliere il simbolo % e dividere per 100.

2.9 Frequenze relative percentuali

119. Che cos'e' una frequenza relativa percentuale?E' una frequenza relativa espressa in forma percentuale.

120. Che informazioni fornisce una frequenza relativa percentuale?Esprime la percentuale di popolazione (cioe' di unita') che possiede la modalita' associata.

121. Quant'e la somma delle frequenze percentuali?E' 100 (a meno di errori di arrotondamento).

122. Ottenere la distribuzione di frequenza relativa del tipo di scuola, dai dati sui frequen-tanti.

Modalita' Frequenza Frequenza relativa %Licei 42 0.446 44.6Istituti Tecnici 44 0.469 46.9Altre scuole 8 0.085 8.5Totale 94 1.0000 100.0

17

123. Come e' stata ottenuta la percentuale 44:6%?Col calcolo 42=94� 100%.

2.10 Eliminazione di N e confronti

124. Qual'e' in sintesi l'utilita' dell'aver calcolato le frequenze relative?E' il fatto di rendere possibili i confronti. Questi possono essere e�ettuati poiche' e' stato

eliminato l'e�etto della numerosita' della popolazione. Infatti, poiche' si e' fatto 100 il totaledel collettivo e si sono ricalcolate le frequenze in proporzione, e' possibile mettere a confrontodistribuzioni aventi numerosita' diverse, ma le stesse modalita'.

125. I dati seguenti riguardano tutti i casi giudicati in Florida dal 1976 al 1987, per omicidimultipli, classi�cati a seconda che l'accusato abbia ricevuto la pena capitale oppure no. Icollettivi studiati sono due: quello relativo agli accusati di razza bianca e quello degli accusatidi razza nera.

Razza biancaPena capitale? S�� No TotaleFrequenza 53 430 483

Razza neraPena capitale? S�� No TotaleFrequenza 15 176 191

Fonte: M. L. Radelet e G. L. Pierce, FloridaLaw Rev. 43: 1{34 (1991).

126. Calcolare le frequenze relative sui dati dell'esempio precedente, per i due collettivi.

Razza biancaPena capitale? S�� No TotaleFrequenza % 11.0 89.0 100

Razza neraPena capitale? S�� No TotaleFrequenza % 7.9 92.1 100

127. Confrontare i due collettivi.Il confronto che non e' agevole con le frequenze assolute e' immediato con le frequenze

relative. L'11% degli accusati di razza bianza ha ricevuto la pena capitale, contro il 7.9%degli accusati di razza nera. Se le due distribuzioni fossero relative a due collettivi del tuttouguali tranne che per la razza, sarebbe possibile concludere che c'e' discriminazione razzialenell'assegnazione della pena capitale. Altrimenti l'interpretazione precedente e' fallace.

2.11 Il problema delle frequenze piccole

128. Perche' talvolta si osservano frequenze piccole?Perche' le frequenze sono associate a modalita' rare nel collettivo.

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129. Le frequenze possono essere uguali a zero?Se nessuna unita' del collettivo possiede una modalita' quella modalita' ha frequenza nulla.

130. Che cosa succede se le modalita' del carattere sono molte?E' probabile che vi siano molte modalita' con frequenza zero e che le modalita' osservate

abbiano frequenza 1.

131. Trovare la distribuzione di frequenza dell'altezza per i primi dieci studenti frequentanti.La distribuzione e' la seguente

154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170

1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 3

132. I dati seguenti sono le intensita' (in gradi Richter) dei principali terremoti avvenutinel mondo dal 1966 al 1976.

6:9 7:4 7:4 7:7 6:5 6:9 6:2 6:3 6:8 7:5 6:5

E' utile costruire una distribuzione di frequenza?No in quanto il numero di modalita' e' molto elevato e le frequenze sono molto piccole.

2.12 Aggregazione

133. E' possibile diminuire il numero delle modalita'?Si'. Basta aggregare le modalita' in classi, de�nendo una partizione delle modalita'.

134. L'aggregazione e' arbitraria?Il numero di classi e la loro de�nizione puo' essere scelto arbitrariamente, ma esistono

modi piu' o meno buoni di farlo.

135. Le classi [151; 155]; [156; 160]; [161; 165]; [166; 170] indicano degli intervalli di altezze,estremi inclusi. Sono delle classi corrette?

Si', se le altezze sono rilevate in cm, perche' ogni determinazione puo' essere asseganata auna e una sola classe.

2.13 Classi per caratteri continui

136. Come si fanno le classi per i caratteri continui?Si costruiscono delle successioni di intervalli in modo che ogni unita' possa essere attribuita

a uno e un solo intervallo.

137. Come possono essere le classi?Possono essere

� intervalli contenenti entrambi gli estremi, es. [151; 155] indicato con 151 - 155

� intervalli contenenti solo un estremo, es. [151; 155) indicato con 151 - 155| oppure(151; 155] indicato con 151 - 155|.

19

2.14 Distribuzioni in classi

138. Trovare la distribuzione di frequenza dei primi 10 studenti avendo de�nito le seguenticlassi di altezza: [151; 155]; [156; 160]; 161; 165]; [166; 170].

La distribuzione e'

151-155 156-160 161-165 166-170 Totale

1 3 2 4 10

139. Trovare la distribuzione di frequenza dei terremoti, con delle classi di intensita' (6; 6:5],(6:5; 7], (7; 7:5], (7:5; 8].

La distribuzione e'

6 -| 6.5 6.5 -| 7.0 7.0 -| 7.5 7.5 -| 8.0 Totale

4 3 3 1 11

2.15 Ampiezza delle classi

140. Che cos'e' l'ampiezza di una classe?

Per caratteri continui, l'ampiezza e' la lunghezza dell'intervallo che de�nisce la classe.

141. Come si calcola l'ampiezza?

Se l'intervallo e' indicato nella forma [a; b) o (b; a] l'ampiezza e' b � a. Se l'intervallo e'nella forma [a; b] l'ampiezza e' b� a+ 1.

142. Le classi devono essere tutte della stessa ampiezza?

Non e' necessario. In certi casi e' comunque piu' semplice de�nire classi tutte uguali.

2.16 Confronti tra frequenze

143. Le frequenze di classi di ampiezza diversa si possono confrontare?

Direttamente no, ma e' possibile farlo dopo eliminato l'e�etto della diversa ampiezza.

144. Come si elimina l'e�etto delle diverse ampiezze?

Si divide la frequenza della classe per l'ampiezza della classe, calcolando la frequenza perunita' di misura del carattere.

145. Come si chiama la frequenza per unita' di del carattere?

Si dice densita' di frequenza.

146. Si confrontino le frequenze della distribuzione seguente di una popolazione classi�catasecondo l'eta'.

20

Eta' Frequenza %

0 -| 10 10

10 -| 20 10

20 -| 40 20

40 -| 60 30

60 -| 100 30

Totale 100

E' possibile fare il confronto tra le frequenze delle due prime classi, che hanno la stessaampiezza, ma sarebbe errato confrontare ad esempio le frequenze delle ultime due perche'hanno ampiezze diverse.

147. Confrontare le frequenze delle ultime due classi.

Il 30% della popolazione ha un'eta' compresa tra 40 e 60 anni (ampiezza di 20 anni) e il30% della popolazione ha un'eta' compresa tra 60 e 100 anni (ampiezza di 40 anni).

Quindi nel secondo caso la stessa frequenza insiste su una classe di ampiezza doppia.Dunque la densita' di frequenza deve essere minore nella seconda classe.

2.17 Densita' di frequenza

148. Calcolare le densita' di frequenza e fare i confronti.

Eta' Frequenza % Ampiezza Densita'

0 -| 10 10 10 1.00

10 -| 20 10 10 1.00

20 -| 40 20 20 1.00

40 -| 60 30 30 1.50

60 -| 100 30 40 0.75

149. Qual'e' la classe con maggiore densita'?

La classe da 40 a 60 anni. In questa classe vi e' una densita' di 1.5 punti percentuali peranno.

150. Perche' la seconda e la terza classe hanno uguale densita' pur avendo frequenze diverse?

La classe da 20 a 40 anni ha una frequenza doppia della classe da 10 a 20 anni ma ancheun'ampiezza doppia.

151. Se si cambiano le classi di un carattere continuo le densita' restano le stesse?

No, le densita' dipendono dal modo con cui sono state costruite le classi.

152. E' possibile risalire dalle densita' alle frequenze?

Si' basta moltiplicare le densita' per le ampiezze delle classi.

21

153. La distribuzione seguente riguarda gli alberghi di un comprensorio, classi�cati secondola super�cie. Trovare le densita'.

Superficie Alberghi % Densita'

200 |- 400 23 31.9 0.16

400 |- 800 15 20.8 0.05

800 |- 1600 22 30.6 0.03

1600 |- 3000 12 16.7 0.01

Totale 72 100.0

SETTIMANA 3

Rappresentazioni gra�che

3.1 Visualizzazione

154. Si possono fare dei gra�ci per rappresentare le distribuzioni?

Le tecniche appropriate che dipendono dal tipo di carattere studiato. Si da' la preferenzaa rappresentazioni delle frequenze o delle densita' su un gra�co in coordinate Cartesiane.

155. Esiste una classi�cazione dei gra�ci per distribuzioni?

I gra�ci piu' di�usi sono

� gli scatter unidimensionali per i caratteri quantitativi

� gli istogrammi per i caratteri continui raggruppati in classi

� i diagrammi a barre per le altre distribuzioni

3.2 Scatter

156. Che cos'e' uno scatter unidimensionale?

E' una rappresentazione talvolta usata per caratteri quantitativi in cui si riportano le de-terminazioni x del carattere come punti su un asse su cui si e' �ssato un sistema di riferimentoCartesiano. Se ci sono determinazioni ripetute i punti si riportano uno sopra all'altro.

157. Rappresentare la seguente successione di voti alla maturita'

f40; 36; 52; 36; 60; 55; 56; 40; 40; 40g:

Si ottiene

23

24

o

o

o o

o o o o o o

+-----------+-----------+-----------+-----------+

36 42 48 54 60

158. Quando e' utile lo scatter?

Se il carattere e' continuo (non raggruppato) e numero di osservazioni non e' molto elevato(minore di 500).

159. Come si visualizzano i caratteri continui raggruppati in classi?

Con un istogramma.

160. Disegnare gli scatter per la distribuzione degli studenti frequentanti relativamente alvoto alla maturita' e al tempo impiegato per raggiungere l'universita'.

Voto alla maturita'

5 40 45 50 55 60

Tempo per arrivare all'Universita'

0 10 20 30 40 50 60

3.3 Istogrammi

161. Cosa sono gli istogrammi?

Sono rappresentazioni gra�che della densita' delle classi di una distribuzione continuaraggruppata.

162. Come si rappresentano le densita' delle classi?

Come una funzione costante a tratti, cioe' una funzione a gradini in cui ogni gradino haun'altezza pari alla densita' e una larghezza pari alla ampiezza della classe.

25

163. Rappresentare l'istogramma della distribuzione del problema 146.

2 +

|

| +-------+

| | |

1 +---+---+-------+ |

| | | | +---------------+

| | | | | |

| | | | | |

+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+

0 10 20 40 60 100

Eta'

164. E' necessario che l'unita' di misura sia la stessa per le ascisse e per le ordinate?

No, non e' necessario.

165. L'istogramma de�nisce una successione di rettangoli di base uguale all'ampiezza diclasse e di altezza uguale alla densita'. A cosa e' uguale l'area di ogni rettangolo?

Alla frequenza della classe (relativa percentuale se questa e' stata usata per calcolare ladensita').

166. L'area totale sotto l'istogramma a cosa e' uguale?

Alla somma delle frequenze, cioe' a 100 se si sono usate frequenze percentuali.

167. Rappresentare l'istogramma della super�cie degli alberghi.

Superficie

Den

sita

’

200 800 1600 3000

0.0

0.05

0.10

0.15

0.20

26

168. Come sono rappresentate le frequenze in un istogramma?

Sono aree di rettangoli. Due frequenze uguali sono rappresentate da rettangoli aventiuguale area. Se le frequenze insistono su classi aventi diverse ampiezze l'altezza dei rettangolisono diverse.

169. Che cosa sono le altezze dei rettangoli?

Le densita' delle classi. Piu' alti sono i rettangoli e maggiore e' la densita' delle osservazioniper unita' di carattere.

170. Nell'ultimo istogramma la prima classe ha densita' 0:16 e la seconda ha densita' 0:05.Come si interpreta questo fatto?

La prima classe ha una densita' tripla della seconda.

171. Che cosa signi�ca istogramma?

Diagramma per aree (dal greco).

3.4 Diagrammi a barre

172. Come si costruisce un diagramma a barre?

Si riportano in ascisse le modalita' del carattere (se sono attributi si elimina l'asse gra-duato) e si disegnano sopra di esse dei segmenti di lunghezza uguale alle frequenze.

173. Visualizzare la distribuzione degli studenti per tipo di scuola.

L I A

010

2030

4050

Scuola

Fre

quen

za

3.5 Altre rappresentazioni

174. Esistono altre rappresentazioni che possono essere impiegate al posto dei diagrammi abarre?

27

Esistono i diagrammi a settori circolari (le cosiddette `torte') tipici dei programmi automa-tici. Sono da evitare perche' la percezione delle lunghezze e' molto migliore della percezionedegli angoli.

In particolare sono da evitare le torte in prospettiva e tridimensionali, che oltre che dicattivo gusto peggiorano ulteriormente la percezione della struttura della distribuzione.

175. Confrontare le rappresentazioni a barre e a settori circolari sulla distribuzione seguente

Corsi di laurea Studenti iscritti 1991, Italia

Gruppo scientifico 117552

Gruppo medico 48307

Gruppo ingegneria 192444

Gruppo agrario 20024

Gruppo economico 181832

Gruppo politico-sociale 88680

Gruppo giuridico 163419

Gruppo letterario 196344

Diplomi 13758

Totale 1022260

3.6 Confronto tra una torta e un diagramma a barre

Diplomi

Agr.

Medico

Politico

Scient.

Giur.

Eco

.

Ing.

Lett.

28

Diplomi Agr. Medico Politico Scient. Giur. Eco. Ing. Lett.

050

000

1000

0015

0000

2000

00

Gruppi di Facolta’

Num

ero

di is

critt

i

Il diagramma a barre e' preferibile perche' la percezione delle lunghezze e' migliore dellaprecezione degli angoli. Ogni abbellimento del gra�co a torta (torte in prospettiva, tridimen-sionali, con fette che escono) sono da sconsigliare perche' aggiungono elementi inutili e ingenere fuorvianti.

SETTIMANA 4

Sintesi di distribuzioni univariate

4.1 Rapporti

176. Sono stati utilizzati due tipi di rapporti �nora. Quali?Il rapporto tra frequenza di una modalita' e frequenza totale per costruire le frequenze

relative e il rapporto tra frequenza di una classe e l'ampiezza della classe per costruire ledensita'.

Il primo rapporto (di una parte al tutto) si dice di composizione il secondo si dice didensit�a.

177. A quale scopo si utilizzano i rapporti?Per poter e�ettuare confronti eliminando l'e�etto di elementi che lo impediscono. I rappor-

ti di composizione rendono possibili i confronti di distribuzioni che hanno le stesse modalita'ma numerosita' diverse. I rapporti di densita' permettono i confronti tra classi di ampiezzadiversa.

4.2 Variabili discrete

Una distribuzione di frequenza di un carattere quantitativo discreto si dice variabile discreta.

178. Che cos'e' una variabile discreta?

E' de�nita da un carattere quantitativo X avente modalita'

x1; x2; : : : ; xk

e frequenze relative associate

f1; f2; : : : ; fk

maggiori o uguali a zero e a somma 1.

29

30

4.3 Mutabili

Una distribuzione di frequenza di un carattere sconnesso si dice mutabile.

179. Che cos'e' una mutabile?

E' de�nita da un carattere quantitativo A avente modalita'

a1; a2; : : : ; ak

e frequenze relative associate

f1; f2; : : : ; fk

maggiori o uguali a zero e a somma 1.

180. La distribuzione degli studenti frequentanti secondo il numero di auto possedute infamiglia e' la seguente

N. Auto1 2 3 4 5 6 Totale29 52 8 2 1 2 94

Scrivere i valori della variabile e le frequenze usando dei simboli.

x1 = 1; x2 = 2; x3 = 3; x4 = 4; x5 = 5; x6 = 6f1 =

29

94; f2 =

52

94; f3 =

8

94; f4 =

2

94; f5 =

1

94; f6 =

2

94

4.4 Sintesi di una distribuzione

E' utile fare una sintesi estrema di una distribuzione individuando un valore rappresentativodella stessa. Questo valore e' ovviamente solo una approssimazione, ma nondimeno utileper i confronti. Esistono molti modi per trovare un valore rappresentativo. Ogni indicerappresentativo e' detto genericamente una media.

In una distribuzione sconnessa la media piu' usata e' la modalita' con frequenza piu' altache si chiama moda della distribuzione.

181. Trovare la moda della distribuzione degli studenti per scuola di provenienza.

La moda e' rappresentata dagli Istituti tecnici.

182. E' vero che la moda della distribuzione del problema 146 e' 196344?

No, la moda non e' la frequenza piu' alta, ma la modalita' ad essa associata, cioe' il gruppoletterario.

183. La seguente distribuzione mostra gli alberghi del comprensorio di Assisi secondo lacategoria (30-6-1987).

31

Categoria n. alberghi1 stella 232 stelle 373 stelle 144 stelle 4Totale 78

Qual'e' il valore modale della distribuzione?

La seconda categoria.

4.5 Caratteri ordinali

Per caratteri ordinali si usa spesso un valore rappresentativo detto mediana.

184. Che cos'e' la mediana?

La mediana e' quella modalita' che ha e' piu' grande del 50% delle osservazioni e piu'piccola del 50% delle osservazioni.

185. Trovare la mediana della successione seguente di punteggi all'esame di laurea

110; 98; 105; 102; 104; 99; 90; 110; 105; 103; 100

Prima si ordinano le osservazioni dalla piu' bassa alla piu' alta

90; 98; 99; 100; 102; 103; 104; 105; 105; 110; 110

Quindi si trova il punteggio centrale cioe' 103, che e' migliore di 5 punteggi e peggiore di altri5. La mediana dei punteggi e' 103.

186. Come si trova la mediana se il numero di osservazioni e' pari?

Si trovano le due osservazioni centrali nella successione ordinata e si prende come medianaqualsiasi modalita' compresa tra le due.

187. Trovare la mediana della successione di punteggi di laurea

98; 105; 102; 104; 99; 90; 110; 105; 103; 100

Nella successione ordinata

90; 98; 99; 100; 102; 103; 104; 105; 105; 110

si trova la coppia di elementi centrali, 102 e 103. La mediana e' qualsiasi punteggio compresotra 102 e 103. Per esempio la semisomma 102.5.

32

188. Trovare la mediana della distribuzione seguente di 10 individui secondo il titolo distudio.

Titolo Modalita' Frequenza

Analfabeti A 1

Alfabeti senza titolo B 9

Licenza Elementare C 20

Licenza Media D 12

Diploma E 6

Laurea F 1

189. La distribuzione vista come successione ordinata e'

A

BBBBBBBB

CCCCCCCCCCCCCCCCCCCC

DDDDDDDDDDDD

EEEEEE

F

Il totale di osservazioni e' 49, quindi il l'osservazione centrale sta al 24-esimo posto. Taleosservazione sta nella terza classe (Licenza Elementare) che e' appunto la classe mediana.

190. Trovare la mediana della distribuzione della popolazione residente da sei anni in poiper grado di istruzione al 25 ottobre 1981.

Titolo Frequenze (migliaia) Frequenze Cumulate

Analfabeti 1608 1608

Alfabeti senza titolo 9548 11156

Licenza Elementare 21778 39934

Licenza Media 12481 45415

Diploma 6019 51434

Laurea 1477 52911

E' facile osservare che l'unita' centrale e' al posto 26456 (26455+1+26455=52911). Que-sta sta nella terza classe come si vede guardando le frequenze cumulate. Quindi il valorerappresentativo del grado di istruzione e' Licenza Elementare.

191. Qual'e' la mediana della distribuzione del problema 183?Ci sono 78 osservazioni (78= 36+36) quindi i due elementi centrali sono il 36 e il 37.

Entrambe le unita' sono alberghi a due stelle, percio' la categoria mediana e' due stelle.

192. Qual'e' la mediana della distribuzione del problema 180?La mediana si puo' trovare anche per i caratteri quantitativi discreti, perche' sono ordi-

nabili. Le osservazioni sono 94 = 47 + 47, quindi le due unita' centrali sono la 47 e la 48 cheappartengono entrambe alla seconda classe. Percio' il numero mediano di auto possedute e'di due.

33

4.6 Media aritmetica

193. Che indice si usa tipicamente per caratteri quantitativi?La media aritmetica.

194. Che cos'e' la media aritmetica?E' un indice che come la mediana e la moda individua un valore di sintesi della distribu-

zione che ne individua la posizione.

195. Qual'e' l'idea di base della media aritmetica?Quella di equiripartire fra le unita' statistiche l'ammontare totale del carattere. Per questo

ha senso calcolare una media aritmetica se il carattere e' additivo.

196. Calcolare la media e la mediana di 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7.Si ha

m =1+ 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7

7= 4

e med = 4.

197. Calcolare la media della distribuzione del numero di auto possedute.

N. Auto1 2 3 4 5 6 Totale29 52 8 2 1 2 94

Il numero di auto complessivo e'

1� 29 + 2� 52 + 3� 8 + 4� 2 + 5� 1 + 6� 2 = 182

che ripartito fra i 94 nuclei famigliari da' m = 182=94 = 1:93 auto per famiglia. La medianae' invece pari a 2.

198. La tavola seguente riporta le abitazioni di proprieta' occupate e il numero di stanze,per la Sardegna e per l'Italia nel complesso

ZONA TERRITORIALE ABITAZIONI STANZE Censimento 1991

Sardegna 393622 1955978

Italia 13419121 61059498

199. Qual'e' il numero medio di stanze per abitazione per la Sardegna e per l'Italia?Sono due collettivi di abitazioni su cui si e' rilevato il carattere numero di stanze. Gli

ammontari totali sono gia' calcolati. Le medie sono

m1 =1955978

393622= 4:9 m2 =

61059498

13419121= 4:5

34

4.7 Media di una variabile discreta

200. Qual'e' in generale la media aritmetica di una variabile discreta?La media e'

m = x1f1 + x2f2 + x3f3 + � � �

201. Un collettivo di famiglie e' classi�cato secondo il numero di �gli. Trovare la mediaaritmetica della distribuzione.

N. Figli N. Famiglie Freq. relativa

0 10 0.125

1 40 0.500

2 30 0.375

Il numero totale di �gli e' 100 che diviso per 80 famiglie da' una media di 1:25 �gli.

202. Far vedere che si puo' usare anche la formula della media aritmetica per una variabilediscreta.

Infatti

m =0� 10 + 1� 40 + 2� 30

80

= 0� 10

80+ 1� 40

80+ 2� 30

80= 0� 0:125 + 1� 0:5 + 2� 0:375 = 1:25

4.8 Media e mediana

203. Supponiamo che per sbaglio i dati

1; 2; 3; 4; 5; 6; 7

siano stati trascritti come

1; 2; 3; 4; 5; 6; 700:

Come si trasformano la media e la mediana?La mediana resta invariata, mentre la media diventa 103. La mediana e' piu' resistente

quando un solo valore della successione viene alterato, mentre la media e' molto sensibile.

204. Che cos'e' un valore atipico?E' un dato che e' molto diverso dal resto della distribuzione. (Ad esempio, 700 nel

problema precedente.)

205. Come si comportano la media e la mediana in presenza di dati atipici?La mediana ne e' scarsamente a�etta in confronto alla media che invece ne risente sensi-

bilmente.

35

4.9 Confronti di medie

206. Vengono osservati due popolazioni di individui di eta' tra 40 e 50 anni, una di maschie una di femmine, e su ciascuna viene rilevato il carattere pressione sanguigna. Si ottengonole medie di 135 per i maschi e di 130 per le femmine. Che cosa si puo' dire?

Il livello medio della pressione di�erisce nel gruppo dei maschi rispetto a quello dellefemmine, con un livello maggiore per i maschi. Poiche' gli individui sono tutti della stessaeta', questa non in uenza il confronto.

207. La di�erenza di pressione puo' essere attribuita al sesso?

No, solo se non esistono altri aspetti rilevanti di di�erenziazione tra le popolazioni chepotrebbero esercitare un e�etto sulla pressione.

4.10 Confronti

208. In Sardegna c'e' stato il seguente movimento di clienti italiani e stranieri negli esercizialberghieri (1994).

Clienti Arrivi PresenzeStranieri 124458 646613Italiani 852011 3806049

Confrontare la durata media della permanenza per gli italiani e gli stranieri.

Gli arrivi sono il numero di clienti che si presentano e le presenze sono il numero di nottitrascorse. Il rapporto tra presenze e arrivi e' il numero medio di notti. Si ottengono 5:19notti per gli stranieri e 4:46 notti per gli italiani.

4.11 La media e' interna

209. Si veri�chi che ogni media e' interna ai dati.

Occorre veri�care che ogni media e' compresa tra il dato piu' piccolo e il dato piu' grande.Questo e' immediato per la mediana. Si puo' dimostrare anche per la media aritmetica. Adesempio

min = 1 =1 + 1+ 1

3� 1 + 2 + 3

3� 3 + 3 + 3

3= 3 = max

4.12 Medie di trasformazioni

210. Se una la successione viene trasformata aggiungendo uno stesso valore a tutti i dati,la media si trasforma aumentando di quel valore.

Ad esempio se X = (1; 2; 3; 4; 5) viene trasformata, aggiungendo 5, in Y = (6; 7; 8; 9; 10)la media passa da 3 a 3 + 5 = 8.

211. Gli impiegati di una ditta hanno uno stipendio medio mensile di 1:6 milioni. Ladirezione decide di dare a tutti una grati�ca di 200 mila lire. Qual'e' lo stipendio medio alla�ne?

E' di 1.8 milioni.

36

4.13 Medie di trasformazioni

212. Se una la successione viene trasformatamoltiplicando uno stesso valore per tutti i dati,la media risulta moltiplicata per tale valore.

Ad esempio se X = (100; 200; 300) viene trasformata, moltiplicando per 0.1 (dividendoper 10), in (10; 20; 30) la media passa da 200 a 200� 0:1 = 20:

213. Cinque libri costano rispettivamente 35; 50; 25; 90 e 110 mila lire. Calcolare il prezzomedio in lire e il prezzo medio in dollari dopo aver e�ettuato la trasformazione da lire a dollari(1000 lire = $0:625).

La media dei prezzi e' 62 mila lire cioe' 68� 0:625 = $38:75. Lo stesso valore si ottienefacendo la media degli importi in dollari

21:87; 31:25; 15:625; 56:25; 68:75:

4.14 Ammontare

214. Come si passa da una media aritmetica a l'ammontare?Poiche' la media aritmetica e' un rapporto

m =Ammontare

Totale unita'

l'ammontare complessivo si ottiene moltiplicando la media per il numero di unita'.

215. In Sardegna ci sono 521179 famiglie. Il numero medio di componenti per famiglia e'di 3:1 componenti. Stimare il numero totale dei componenti.

Poiche' 3:1 = componenti=521179, i componenti sono 1615700. Si tratta di una ap-prossimazione perche' la media non e' un valore esatto. Il numero vero di componenti e'1636551:

4.15 Medie di medie

216. Se due collettivi hanno rispettivamente medie aritmetiche m1 e m2 e numero di unita'n1 e n2 la media del collettivo ottenuto combinando i due e'

m =m1n1 +m2n2

n1 + n2:

Dimostrare l'a�ermazione.L'ammontare complessivo e'm1n1, per il primo collettivo em2n2, per il secondo. La media

combinata si ottiene ripartendo l'ammontare combinato (la somma dei due) per il numerototale di unita'.

217. La media di (1; 2; 3) e' 2 e di (20; 30; 40; 50; 60) e' 40. Qual'e' la media di

(1; 2; 3; 20; 30; 40; 50; 60)?

37

La media ottenuta direttamente e' 25:75. Questa si puo' ottenere anche con la formula

2� 3 + 40� 5

3 + 5= 25:75:

218. La tabella seguente rissume la distribuzione del voto alla maturita' per il gruppo deimaschi e delle femmine dei frequentanti.

Voto medio StudentiMaschi 43:28 36Femmine 48:36 58

Qual'e' il voto medio per tutto il collettivo?E'

36� 43:28+ 58� 48:36

94= 46:41:

4.16 Medie ponderate

219. Uno studente supera gli esami di Sociologia con 30, Statistica con 25 e Inglese con 27.Calcolare il voto medio tenendo conto della di�colta' degli esami: la di�colta' di Statisticae' doppia di quella di Sociologia e la di�colta' di Inglese e' 2:5 volte quella di Sociologia.

In questo caso e' opportuno calcolare una media aritmetica ponderata dei punteggi conpesi 1; 2 e 2:5. Percio'

m =30� 1 + 25� 2 + 27� 2:5

1 + 2 + 2:5= 26:82

220. Che cos'e' una media aritmetica ponderata?E' una media per dati che non hanno ciascuno peso uguale a 1, ma pesi diversi. Per

esempio, se le determinazioni sono x1; x2; x3 e hanno pesi w1; w2; w3 la media e'

m =x1w1 + x2w2 + x3w3

w1 + w2 + w3

221. Che succede alla media ponderata se i pesi sono tutti uguali?Si ottiene la usuale media aritmetica.

4.17 Medie di medie

222. Supponiamo di avere i voti medi di laurea per tre gruppi di laureati in Scienze Politiche,distinti a seconda della scuola superiore di provenienza, come segue

Scuola Voto medio NumeroLicei 105:9 200

Istituti Tecnici 102:8 300Altro 100:2 100

Trovare il voto medio di laurea.

38

La somma dei voti per ciascuna scuola e', rispettivamente, 105:9� 200 = 21180, 102:8�300 = 30840 e 100:2� 100 = 10020. Quindi la media e' il totale voti 62040 ripartito su 600studenti, cioe' 103:4.

223. La media sopra calcolata e' una media ponderata?

Si' e' una media delle tre medie con pesi uguali alle numerosita' dei tre gruppi.

224. Calcolare la media ponderata di 0 e 1 con pesi 25 e 75. Il risultato e' piu' vicino a 0 oa 1?

Il risultato e' 0:75, piu' vicino a 1 perche' il valore 1 pesa di piu'.

225. Quali proprieta' della media aritmetica valgono anche per la mediana?

La mediana si trasforma come la media quando i dati vengono trasformati per aggiuntadi una costante o per moltiplicazione per una costante. Invece, dati due collettivi di cui siconoscono le mediane non e' possibile calcolare la mediana dei due collettivi combinati conuna regola semplice.

4.18 Ogni media e' imprecisa

Una media e' una sintesi imperfetta di una distribuzione. Assieme alla media occorre avereuna misura di questa imprecisione.

226. Fare degli esempi di distribuzioni diverse che hanno la stessa media.

Per esempio X = (1; 2; 3; 4; 5) e Y = (3; 3; 3; 3; 3) hanno la stessa media e anche Z =(0; 0; 0; 0; 15) o U = (2:6; 2:8; 3; 3:2; 3:4).

227. Dire nei casi precedenti quando la media e' una buona sintesi e quando e' meno buona.

Si possono ordinare dal caso peggiore al caso migliore Z, X , U , Y .

4.19 Equazione base

Immaginando di sostituire a ogni osservazione, la media si commette un errore pari al datomeno la media. Chiamiamo l'errore scarto oppure residuo.

228. Come si puo' esprimere ogni dato?

Poiche'

residuo = dato�m

risulta che

dato = m + residuo

39

4.20 Proprieta' degli scarti dalla media

229. Mostrare che la somma dei residui e' sempre nulla.La somma dei residui e' la somma dei dati meno la somma delle medie. Ma la somma

delle medie e' uguale alla somma dei dati e dunque segue che la di�erenza e' zero.

230. Dato X = (2; 10; 20; 28; 40) calcolare la media, i residui e mostrare che la somma deiresidui e' zero.

m = 20 e i residui sono �18;�10; 0; 8; 20 la cui somma e' zero.

4.21 Varianza

Quanto piu' sono grandi i residui (a parte il segno) e tanto piu' imprecisa e' la sintesi operatadalla media. Una misura della imprecisione e' la varianza della variabile.

231. Che cos'e' la varianza di una variabile?E' la media dei residui al quadrato.

232. Qual'e' la varianza della variabile X precedente?E'

182 + (�10)2 + 0 + 82 + 202

5= 888=5 = 177:6:

233. Perche' si fanno i quadrati?Ci sono delle ragioni teoriche, tra cui quella di prendere misure di errore solo positive,

altrimenti misure positive e negative si elidono.

4.22 Variabilita'

234. Che caratteristica della distribuzione misura la varianza?Essa misura la variabilita' della distribuzione cioe' l'attitudine del carattere ad assumere

valori diversi dalla media.

235. Si puo' misurare la variabilita' di un carattere qualitativo con la varianza?No, la varianza e' adatta solo per caratteri quantitativi. Per i caratter qualitativi si parla

di misure di eterogeneita'.

4.23 Unita' di misura

236. La media ha una unita' di misura?Si' la stessa unita' di misura del carattere.

237. Qual'e' l'unita' di misura della varianza?L'unita' di misura del carattere al quadrato. Ad esempio, una varianza di altezze misurate

in cm risulta in cm2. Per questo si introduce un'indice di migliore interpretazione dellavarianza chiamato scarto quadratico medio, ottenuto facendo la radice quadrata della varianza.

40

238. Che cos'e' lo scarto quadratico medio?E' la radice della varianza. Esso ha la stessa unita' di misura del carattere.

239. Siano date 5 altezze X = (175; 170; 168; 180; 165). Calcolare lo sqm.m = 171:6 quindi la varianza e'

s2 =1

5f(175� 171:6)2+ (170� 171:6)2+ (168� 171:6)2+

+(180� 171:6)2+ (165� 171:6)2g= 28:24

e lo sqm e' s = 5:3:

4.24 Interpretazione

240. Come si puo' interpretare lo sqm?E' il residuo medio, ossia l'errore medio che si compie sostituendo ai dati la loro media

aritmetica. Nel problema precedente l'errore medio che si compie e' di 5:3cm.

241. Calcolare gli sqm per le variabili del problema 226.Si ha

Variabile sqmX = (1; 2; 3; 4; 5) 1:4Y = (3; 3; 3; 3; 3) 0:0Z = (0; 0; 0; 0; 15) 6:0

U = (2:6; 2:8; 3; 3:2; 3:4) 0:28

4.25 Proprieta' dello sqm

242. Quando lo sqm si annulla?Lo scarto quadratico medio e' zero se e solo se tutte le determinazioni del carattere sono

uguali, cioe' quando non c'e' variabilita'.

243. La media puo' essere negativa? Si'.

244. Lo sqm puo' essere negativo?No, perche' la radice quadrata di un numero e' sempre positiva.

4.26 Scarto quadratico medio di distribuzioni

245. Quali sono i residui al quadrato della seguente variabile \numero di �gli"?

Numero di �gli N. di donne0 201 302 203 10

41

La media e' 100=80 = 1:25. I residui al quadrato sono i seguenti con accanto la frequenza concui sono ripetuti.

Numero di �gli N. di donne(0� 1:25)2 = 1:5625 20(1� 1:25)2 = 0:0625 30(2� 1:25)2 = 0:5625 20(3� 1:25)2 = 3:0625 10

4.27 Calcoli

246. Calcolare lo sqm dell'esercizio precedente.La varianza si ottiene facendo la media dei residui al quadrato ottenuta tenendo conto

delle frequenze:

s2 =1:5625� 20 + 0:0625� 30 + 0:5625� 20 + 3:0625� 10

20 + 30 + 20 + 10= 1:007

Lo sqm e', pertanto, dip1:007 � 1 �glio.

4.28 Varianza di una variabile discreta

247. Scrivere formalmente la varianza di una variabile discreta X con modalita' xi e fre-quenze relative fi, (i = 1; 2; 3; : : :).

Risultas2 = (x1 �m)2f1 + (x2 �m)2f2 + (x3 �m)2f3 + � � �

248. Qual'e' lo sqm di X = (0; 1; 2) con frequenze relative (0:2; 0:3; 0:5)?La media e' m = 1� 0:3 + 2� 0:5 = 1:3. La varianza e'

s2 = (0� 1:3)2 � 0:2 + (1� 1:3)2� 0:3 + (3� 1:3)2 � 0:5 = 1:81

Lo sqm e' s = 1:3.

4.29 Intervalli intorno alla media

249. Come si interpretano congiuntamente media e sqm?La media e' un valore tipico che indica il centro della distribuzione. Lo sqm e' una misura

dell'imprecisione della media, cioe' della variabilita' dei dati attorno alla media.

250. E' possibile utilizzare media e sqm per ottenere una sintesi ulteriore?Si' si usa calcolare un intervallo con estremo inferiore

m� 3� s

ed estremo superiorem+ 3� s

a delimitare la distribuzione.

42

251. Che interpretazione hanno gli estremi di tale intervallo?

E' possibile dimostrare che l'intervallo (m � 3s;m + 3s) contiene sempre una frequenzarelativa maggiore di 8=9 � 89%. Cioe' in tutte le distribuzioni gli 8=9 delle unita' hannovalori compresi tra la media meno 3 sqm e la media piu' 3 sqm.

4.30 Esempi della regola dei tre sqm

252. I bambini alla nascita hanno un peso medio di 3:1kg e uno sqm di 0:5kg. Qual'e'l'interpretazione?

La distribuzione dei pesi varia attorno a 3.1 chili e l'ordine di grandezza dei residui e' dimezzo chilo. Circa l'89% dei bambini alla nascita hanno un peso compreso nell'intervallo

2:8� 3� 0:5 = 1:6kg; 3:1 + 3� 0:5 = 4:6kg:

253. I voti all'esame di statistica sono in media 25 con una varianza di 1:44. Interpretare.

Gli 8=9 degli studenti che danno l'esame prendono voti compresi tra

25� 3� 1:2 = 21:4; 25 + 3� 1:2 = 28:6:

4.31 Trasformazioni

254. Se si trasforma una variabile X aggiungendo ad ogni modalita' una costante come sitrasforma lo sqm della variabile?

La varianza resta la stessa e quindi lo sqm resta uguale a prima.

255. Esempli�care.

Se X = (1; 2; 3) la varianza e' s2 = (1 + 0 + 1)=3 = 2=3: Trasformando ora X in Y =X + 100 = (101; 102; 103) la media si sposta da 2 a 102 e quindi i residui restano gli stessi ela varianza e' ancora s2 = (1 + 0 + 1)=3:

256. Se si trasforma una variabile X moltiplicando la variabile per una costante, come sitrasforma la varianza della variabile?

La varianza risulta moltiplicata per quella costante elevata al quadrato.

257. Esempli�care.

Se X = (1; 2; 3) e viene trasformata in Z = X � 10 = (10; 20; 30) la media passa da 2 a 20e i residui risultano tutti moltiplicati per 10. I residui al quadrato sono moltiplicati per 100e cosi' pure la varianza.

258. Se si moltiplica una variabile per una costante (positiva) come si trasforma lo sqm?

Lo sqm risulta moltiplicato per tale costante.

43

259. Calcolare lo scarto quadratico medio relativo ai problemi 211 e 213.Lo scarto quadratico medio degli stipendi non varia prima e dopo la grati�ca (l'impreci-

sione resta la stessa aggiungendo a tutti i dati una costante). Lo scarto quadratico medio delprezzo dei libri espresso in dollari e' 0:625 per lo sqm del prezzo dei libri espresso in migliaiadi lire (l'imprecisione ha una unita' di misura).

SETTIMANA 5

Serie storiche

5.1 Introduzione

260. Fare alcuni esempi di serie storiche.

La popolazione residente a Sassari dal 1989 al 1994.

Anni Popolazione

1989 119717

1990 120011

1991 120556

1992 121961

1993 122010

1994 121889

Numero di abbonati alla Televisione a Sassari dal 1988 al 1993. In assoluto e rapporto ogni1000 abitanti

Anni abbonati abbonati per 1000 abitanti

1988 107292 237

1989 108328 239

1990 110206 242

1991 222224 322

1992 113610 249

1993 117110 256

261. Quali rappresentazioni gra�che si usano per le serie storiche?

Si usano dei gra�ci Cartesiani ponendo sull'asse delle ascisse il tempo e sull'asse delleordinate la scala della variabile rilevata.

45

46

240

260

280

300

320

1988 1989 1990 1991 1992 1993

Anni

Abb

onam

enti

/ 100

0 ab

itant

i

262. Quali aspetti si possono vedere dall'esame analitico e gra�co di una serie storica?

� I tassi di variazione

� L'andamento di fondo (trend).

� La variabilita' attorno all'andamento di fondo.

� La stagionalita'.

263. Un esempio di curva dell'andamento di fondo. Numero di morti per AIDS in Australiaper i trimestri da Gennaio-Marzo 1983 a Aprile-Giugno 1986. La curva passa nel tra i punti.

0

10

20

30

40

2 4 6 8 10 12 14

Anni

N. d

i mor

ti pe

r A

IDS

264. Un esempio di serie storica con un marcato andamento stagionale. Numero di mortiper malattie polmonari nel Regno Unito. Dati mensili dal Gennaio 1974 al Dicembre 1980.

47

Anni

Mor

ti pe

r m

alat

tie p

olm

onar

i

500

1000

1500

2000

2500

1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980

5.2 Variazioni e tassi di variazione

265. Quali sono le prime elaborazioni possibili su una serie storica?

Innanzitutto conviene studiare il livello medio della serie ed esaminare quindi le variazioniassolute e relative.

266. Che cos'e' una variazione assoluta?

Ad esempio, la variazione assoluta nella popolazione a Sassari tra il 93 e il 94 e' la di�erenzatra il dato al 1994 e il dato al 1993. Quindi,

1993 122010

1994 121889 VA = 121889 - 122010 = -121

si calcola che la popolazione e' scesa di 121 unita'.

In generale se x1 e' il dato a un tempo 1 e x0 e' il dato a un tempo base 0 (di solitoprecedente) la variazione assoluta e'

VA = x1 � x0:

267. Che cos'e' una variazione relativa? Quando e' utile?

Se si vuol confrontare la variazione per due serie diverse con livelli medi diversi le variazioniassolute non sono opportune.

Comune di Sassari Comune di Cagliari

1993 122010 178063

1994 121889 176236

VA -121 -1827

48

La variazione assoluta e' maggiore a Cagliari, ma il confronto e' distorto dal diverso livellodelle due serie. Percio' si calcola quanto e' in percentuale la variazione assoluta rispetto allivello del tempo base. Ad esempio,

Comune di Sassari Comune di Cagliari

-121/122010 = -0.1% -1827/178063 = -1.03%

Percio' a Sassari c'e' stato nel 94 un calo della popolazione di 0:1% rispetto al 93, mentre aCagliari c'e' stato un calo di circa un punto percentuale.

Pertanto, nella notazione prima introdotta

VR =x1 � x0x0

Le variazioni relative si dicono anche tassi di variazione tra il tempo 1 e il tempo 0.

268. Calcolare VA e VR per xb = 200 e xt = 300.La variazione assoluta e' 100. La variazione relativa e' del 50%.

269. Si osservi che VR puo' essere positiva (se x1 e' maggiore di x0) o negativa (se x1 < x0).E' zero se non c'e' variazione.

270. La popolazione e' di 50000 unita'. Se subisce una variazione relativa del +2% in uncerto periodo, come si trasforma?

Risulta che la popolazione e'

50000 + 0:02� 50000 = 50000� 1:02 = 51000

In generale,x1 = x0 + VR� x0 = (1 + VR)x0:

271. Se la VR tra il dato al 1994 e il dato al 1995 e' +5% la VR tra il dato al 1995 e il datoal 1994 e' �5%?

No, la VR e' asimmetrica. Ad esempio, la VR tra 100 e 105 e' 105�100

100= 5% mentre la

VR inversa e' 100�105

105= �4:76%:

5.3 Numeri indici

272. Il rapporto tra il dato al tempo t e il dato al tempo b si dice numero indice relativo alperiodo da b a t

NI =x1x0:

273. Calcolare il numero indice tra il numero di abbonamenti TV del 1989 e il 1989, aSassari.

Si ha NI = 108328

107292= 1:01.

49

274. Qual'e' la relazione tra numero indice e variazione relativa?

Risulta che la variazione relativa e' uguale al numero indice meno uno:

VR = NI � 1 =x1x0

� 1 =x1 � x0x0

Ovviamente il NI e' uguale alla VR piu' uno.

275. Si osservi che spesso anche i numeri indici sono espressi in forma percentuale.

Ad esempio, il numero indice tra il numero di abbonamenti TV del 1989 e il 1988, a Sassarie' 101, (1989 = 100). Questo signi�ca che c'e' stato un aumento dell'1%.

276. Che cosa signi�ca un NI maggiore di 100? Se il NI e' maggiore di 100 signi�ca che c'e'stato un incremento, cioe' la VR e' positiva. Al contrario, se e' minore di 100 signi�ca chec'e' stata una diminuzione, cioe' la VR e' negativa.

277. Come si presentano usualmente i numeri indici?

Ci sono due modi fondamentali.

� I numeri indici a base �ssa. Si prendono i rapporti tra ciascun dato e un dato �sso diun tempo preso come base costante. Il numero indice relativo al tempo base e' 1. Iltempo base non e' necessariamente il primo.

� I numeri indice a base mobile. Si prendono i rapporti tra ciascun dato e il precedente.In questo caso la base cambia ad ogni rapporto. Il numero indice relativo al primotempo non si puo' calcolare poiche' non si conosce il dato del tempo precedente.

278. Calcolare i NI a base mobile e a base �ssa (basi 1989 e 1992) per la serie storica dellapopolazione a Sassari.

Anni Popolazione Base mobile Base 1989=100 Base 1992=100

1989 119717 * 100 98.16

1990 120011 100.2 100.2 98.40

1991 120556 100.5 100.7 98.85

1992 121961 101.2 101.9 * 100

1993 122010 100.0 101.9 100.04

1994 121889 99.9 101.8 99.94

279. Interpretare i risultati della tabella precedente. Dai NI a base mobile si deduce che itassi di variazione percentuali annuali sono stati 0:2%; 0:5%; 1:2%; 0%; �0:1%. Quindi, visono stati prima tassi di crescita in aumento e quindi una essione. Il tasso di variazione tral'89 e il 94 (quinquennale) e' dell'1:8%.

50

280. Talvolta non si hanno i dati grezzi, ma si richiede di trasformare una serie di NI a base�ssa in una serie di NI a base mobile. Come si procede?

Si prendono i NI a base �ssa e si costruiscono i rapporti tra ogni NI e il precedente.Pertanto, sui NI precedenti in base 1989 = 100, si lavora come segue

Anni Base 1989=100 Base mobile

1989 100

1990 100.2 100.2 / 100 = 1.002 = 100.2 %

1991 100.7 100.7 / 100.2 = 1.005 = 100.5 %

1992 101.9 101.9 / 100.7 = 1.012 = 101.2 %

1993 101.9 101.9 / 101.9 = 1.000 = 100.0 %

1994 101.8 101.8 / 101.9 = 0.999 = 99.9 %

281. Si puo' calcolare la VR per il periodo 89{92, senza fare riferimento ne' ai dati grezzi,usando i NI a base �ssa 1992?

Si' si calcola il NI partendo dalla serie dei NI a base �ssa a base 1992. Il NI per quelperiodo e' 100

98:16= 1:019, per cui la VR e' 0:019, cioe' l'1:9%. Guardando i NI a base �ssa

1989, si puo' fare la riprova.

282. Si puo' passare da una serie di NI a base mobile alla serie corrispondente a base �ssa?Si', per trovare un NI a base �ssa basta moltiplicare fra loro tutti i numeri indici a

base mobile esistenti tra il tempo base e il tempo studiato. Per esempio, se si ha una seriex1; x2; x3; x4, il prodotto dei numeri indice a base mobile

6 x2x1

6 x36 x2

x46 x3 =

x4x1

e' uguale al NI a base �ssa tra x4 e x1.

283. Calcolare la serie dei numeri indice a base �ssa 1988 = 100 dalla seguente serie dinumeri indice a base mobile (tratta dalla serie degli abbonati alla TV).

Anni NI a base mobile

1988

1989 100.97

1990 101.73

1991 201.64

1992 51.12

1993 103.08

Si elimina prima la forma percentuale e quindi si calcolano i prodotti cumulati.

Anni NI a base mobile Prodotti cumulati NI base 1988=100

1988 100

1989 1.0097 1.0097 101.0

1990 1.0173 1.027 102.7

51

1991 2.0164 2.071 207.1

1992 0.5112 1.059 105.9

1993 1.0308 1.091 109.1

Fare la riprova usando dati grezzi.

284. Date due o piu' VR per dei periodi consecutivi e' possibile costruire la VR per ilperiodo nel complesso? Ad esempio, se si hanno 2 VR semestrali del 4% e del 6%, qual'e' laVR complessiva annuale?

Se il dato all'inizio dell'anno fosse 100, dopo un semestre diventa 100(1 + 1:04) = 104 ealla �ne dell'anno 104(1+ 0:06) = 110:24, quindi la VR complessiva e' del 10:24%.

In generale, se le variazioni relative sono r1 e r2 la variazione complessiva e'

(1 + r1)(1 + r2)� 1

Notare che i termini tra parentesi sono due NI a base mobile consecutivi il cui prodotto da'il rapporto tra il dato alla �ne e il dato all'inizio.

La generalizzazione a piu' di due VR e' ovvia.

285. Qual'e' l'uso tipico delle serie di numeri indici in campo economico?

� Controllare l'evoluzione dei prezzi (di beni o quotazioni di titoli).

� Valutare il tasso di variazione medio dei prezzi di un certo bene.

� Costruire delle serie medie di numeri indici di piu' beni (o di piu' titoli).

� De azionare le serie in valuta.

286. Valutare l'andamento del prezzo della tazzina di ca�e' a Milano dal 1981 al 1988.

Anni Prezzo di una tazzina di caffe'

1981 350

1982 350

1983 500

1984 600

1985 600

1986 700

1987 700

1988 800

La serie dei NI a base �ssa 1980=100 e' la seguente

Anni Prezzo tazzina NI base mobile NI a base 1981=100

1981 350 100.0

1982 350 100.0 100.0

1983 500 142.9 142.9

52

1984 600 120.0 171.4

1985 600 100.0 171.4

1986 700 116.7 200.0

1987 700 100.0 200.0

1988 800 114.3 228.6

5.4 Varaizioni relative complessive e medie di numeri indici

287. Se si ha una variazione relativa annuale e' possibile calcolare la variazione relativatrimestrale? Ad esempio se la variazione relativa annuale nella quotazione di un titolo diBorsa e' stata del 46:41% qual'e' la variazione relativa trimestrale?

Senza disporre dei dati trimestrali occorre fare delle assunzioni, cioe' immaginare unalegge di variazione del prezzo durante l'anno in modo da ripartire la variazione annuale neitrimestri. Nell'esempio se le variazioni relative trimestrali fossero state costanti e uguali al10% si sarebbe avuto l'andamento seguente

Trimestre VR NI base mobile NI base fissa

gen-mar 0.10 1.10 1.10

apr-giu 0.10 1.10 1.10 * 1.10 = 1.21

lug-set 0.10 1.10 1.10 * 1.10 * 1.10 = 1.3321

ott-dic 0.10 1.10 1.10 * 1.10 * 1.10 * 1.10 = 1.461

e alla �ne dell'anno la VR e' appunto quella osservata di 46:1%. Il tasso stimato di variazionetrimestrale e' pertanto del 10%. Si osservi che non si ottiene tale valore dividendo 46:1 per 4(il numero di trimestri).

288. Qual'e' la regola generale per determinare il tasso trimestrale?

La regola consiste nel calcolare4pVR + 1� 1

Infatti, nell'esempio precedente si ottiene

4p1:461� 1 = 1:1� 1 = 0:1 = 10%

ogni trimestre.

289. Come si procede per calcolare la variazione relativa mensile?

Seguendo la stessa idea, si calcola

12pVR+ 1� 1:

Nell'esempio, si ha12p1:461� 1 = 1:032� 1 = 0:032 = 3:2%

ogni mese.

53

290. Un prezzo di un bene aumenta del 10% in un anno. Qual'e' il tasso di variazionestimato semestrale?

E' 2p1:1� 1 = 0:0488 = 4:88%:

291. Se si hanno due VR e' possibile farne la media?Si', ma non conviene farne la media aritmetica. Si ragiona come segue. Si de�nisce la VR

media quella variazione relativa costante che sostituita a quelle osservate produce la stessavariazione relativa complessiva.

Ad esempio supponiamo di avere un prezzo di un bene con due VR del 2% e del 10% perdue semestri consecutivi. Allora la VR complessiva annuale e' del 1:02� 1:10� 1 = 12:2%.Pertanto, la VR semestrale media si puo' ottenere con la regola spiegata in precedenza, cioe'(trattandosi di due periodi)

2p1:122� 1 = 1:059� 1 = 5:9%:

L'interpretazione e' la seguente: se il tasso di variazione semestrale fosse stato del 5:9%,alla �ne dell'anno il tasso di variazione complessivo sarebbe stato uguale a quello osservatoottenuto combinando quello del 2% e del 10%.

292. Un bene ha i seguenti tassi di variazione annuali dal 1990 al 1993

4%; 7%; 2%; 1%

Qual'e' la variazione relativa media?Il tasso medio di variazione e'

4p1:04� 1:07� 1:02� 1:01� 1 =

4p1:146� 1 = 1:034� 1 = 3:4%

Si osservi che la media aritmetica 3:5% non sarebbe una media corretta, benche' non moltodiversa numericamente.

Il tasso medio di variazione e' detto anche tasso medio composto di variazione.

293. Scrivere in modo teorico la formula del tasso medio di variazione di tre VR r1; r2 e r3.Si ha

Tasso medio di variazione = 3

q(1 + r1)(1 + r2)(1 + r3)� 1:

294. Si puo' calcolare la media di una serie di NI a base mobile?Si', poiche' ogni numero indice e' uguale a VR + 1 risulta che il numero indice medio e'

ottenuto facendo il prodotto dei numeri indici a base mobile ed estraendo quindi la radice diordine uguale al numero degli indici. Per esempio, i NI a base mobile degli abbonati alla TVa Sassari dal 1989 al 1992 sono

Anni NI base mobile

1989 100.97

1990 101.73

1991 201.64

1992 51.12

54

il numero indice medio e'

4p1:0097� 1:0173� 2:0164� 0:5112 =

4p1:0587 = 1:0144 = 101:44%:

Infatti si puo' osservare che il tasso di variazione medio e' 1:44%.

295. Che tipo di media e' quella con cui si calcola il numero indice medio?Una media geometrica. Una media geometrica di una successione di dati e' ottenuta

appunto facendo il prodotto delle osservazioni ed estraendo la radice di ordine uguale alnumero di osservazioni. Tale media gode di molte delle proprieta' della media aritmetica.

5.5 Numeri indici composti

296. Se si hanno due (o piu') serie di numeri indici relative ai prezzi di due (o piu') be-ni e' possibile combinarle insieme in un'unica serie di numeri indici composti che evidenzil'andamento medio dei prezzi dei beni?

E' necessario de�nire in un modo sensato una media delle due serie. Per esempio suppo-niamo di avere i NI a base �ssa 1992 = 100 del prezzo della benzina e del prezzo del pane pertre anni successivi

Anni Benzina Pane

1992 100 100

1993 103 101

1994 104 101

1995 106 105

1996 108 110

Se si calcolasse la media aritmetica dei due NI della benzina e del pane per ogni anno siotterrebbe in e�etti una serie media di NI. Tuttavia, con la media aritmetica semplice si da'un peso uguale ai due beni. Cio' non sembra corretto in quanto i due beni hanno un pesodiverso nel bilancio di una famiglia.

Pertanto, se nel bilancio di una famiglia ogni 10 lire in pane si spendono 90 lire in benzina(cioe' l'importanza relativa dei due beni e' 0:9 per la benzina e 0:1 per il pane, e' opportunocalcolare una media ponderata dei due NI per ogni anno, con pesi 0:9 e 0:1. Si ottiene

Anni NI composto

1993 103 * 0.9 + 101 * 0.1 = 92.7 + 10.1 = 102.8

1994 104 * 0.9 + 101 * 0.1 = 93.6 + 10.1 = 103.7

1995 106 * 0.9 + 105 * 0.1 = 95.4 + 10.5 = 105.9

1996 108 * 0.9 + 110 * 0.1 = 97.2 + 11.0 = 108.2

297. Come si calcolano i pesi?I pesi sono quantita' spese per l'acquisto dei vari beni a un certo tempo. Pertanto si

determinano da modelli di spesa che si desumono dall'analisi del comportamento individuale.Maggiore e' la spesa per un particolare titolo in un portafoglio di investimenti, o maggiore e'la spesa per un particolare bene in un paniere dei consumatori, maggiore e' il peso da dare ai

55

NI di quel titolo o di quel bene. Per calcolare la spesa occorre dunque conoscere le quantita'acquistate dei beni, q e i loro prezzi p dai quali si puo' desumere le spese sostenute pq. I pesisono in proporzione di tali spese.

Si osservi che se si usano le spese di una anno base, calcolate come prezzi dell'anno baseper quantita' dell'anno base, si ottiene un sistema di pesi �sso.

Per esempio, dati due beni A e B, e i rispettivi prezzi e quantita' scambiate

Bene A Bene B

Anni Prezzo Quantita' Prezzo Quantita'

1994 28 750 200 1250

1995 30 900 235 1300

1996 31 920 250 1100

per calcolare i pesi �ssi bisogna trovare una anno base, per esempio il 1994. La spesa per idue beni in quell'anno e' stata 28 � 750 = 21000 e 200 � 1250 = 250000. Le proporzioni dispesa sono percio'

21000

271000= 0:078;

250000

271000= 0:922

Quindi, si calcolano i NI a base �ssa e la media ponderata nel modo seguente

Anni Bene A (Peso = 0.078) Bene B (peso = 0.922) Media

1994 100 % 100 % 100.00

1995 30/28 = 1.071 = 107.1 % 235/200 = 1.175 = 117.5 % 116.68

1996 31/28 = 1.107 = 110.7 % 250/200 = 1.250 = 125.0 % 123.88

I pesi de�niti nel modo precedente sono stati proposti da Laspeyres. I NI composti ottenutisi dicono ottenuti con la formula di Laspeyres. Esistono altri modi piu' complessi di de�nireil sistema dei pesi, facendolo variare da periodo a periodo.

298. Quali sono i principali numeri indici calcolati dall'istat?

� NI dei prezzi alla produzione dei prodotti industriali. Misurano l'evoluzione dei prezzidei prodotti industriali al primo stadio della commercializzazione.

� NI dei prezzi all'ingrosso. Servono per misurare le variazioni dei prezzi che si formanonelle vendite e�ettuate nell'ambito del settore delle imprese.

� NI dei prezzi al consumo per tutta la collettivita' nazionale. Servono per misurare levariazioni nei prezzi che si riferiscono alle vendite e�ettuate dal settore delle imprese alsettore delle famiglie.

� NI dei prezzi al consumo per le famiglie di operai e impiegati. Forniscuno una misuradelle variazione dei prezzi al dettaglio di beni e servizi acquistati da una famiglia tipo.I beni e servizi considerati nel bilancio sono raggruppati in 5 capitoli (alimentazione,abbigliamento, elettricita' e combustibili, abitazione, beni e servizi vari). Il tasso divariazione in questa serie di NI e' una misura dell'in azione.

� NI della produzione industriale. Misurano l'evoluzione delle quantita' �siche di beniprodotte dalle industrie.

56

299. Che tipo di medie ponderate vengono usate nel calcolo dei NI precedenti?

Vengono sempre usate le formule di Laspeyres. Ad esempio, alcuni coe�cienti di ponde-razione (in %) dei capitoli di spesa nei NI dei prezzi al consumo, sono, per gli anni 1938, 1980e 1985,

Base

Capitoli 1938=100 1980=100 1985=100

Alimentazione 66.40 34.97 30.92

Abbigliamento 5.30 10.46 8.67

Elettr. e combustibili 7.20 3.39 4.72

Abitazione 14.30 4.82 4.97

Beni e servizi vari 6.8 46.36 50.72

Notare la forte evoluzione nella struttura percentuale dei consumi.

5.6 De azionamento di valori espressi in moneta corrente

300. Che cosa signi�ca de azionare una serie economica?

Quando una serie economica e' espressa in moneta corrente e' necessario depurare i suoi va-lori dalle variazioni del metro monetario. Il de azionamento consente di valutare l'evoluzionedel fenomeno in termini reali anziche' in termini puramente monetari.

301. Siano dati i seguenti fatturati (in migliaia di lire) di un azienda in tre anni

Anni Fatturati NI base=1994

1994 1.5 100

1995 2.0 110

1996 3.0 120

dove i NI sono indici composti dei prezzi all'ingrosso. Trovare la serie storica del fatturato aprezzi costanti del 1994.

Per risolvere il problema si ragiona in questo modo: nel primo periodo i prezzi sonoaumentati del 10%, quindi il dato del fatturato del secondo anno e' gon�ato del 10%. Quindi,se x95 e' il fatturato del secondo anno, in realta' tale valore e' x95 = x�

95� 1:1 dove x�

95e' lo

stesso dato de azionato. Pertanto, il dato de azionato e' il dato in moneta corrente divisoper il NI: 2=1:1 = 1:82. Quindi passando al terzo periodo il dato del fatturato si de azionacalcolando 3=1:2 = 2:5. La serie dei fatturati in lire del 1994 e'

Fatturati

Anni in lire correnti in lire costanti del 1994

1994 1.5 1.5

1995 2.0 1.82

1996 3.0 2.5

57

302. Qual'e'la regola generale?Se

x0; x1; x2; : : :

e' la serie in moneta corrente,1; i1; i2; : : :

e' la serie dei numeri indici dei prezzi a base 0, allora la serie de azionata in lire del tempo 0risulta x0

1;

x1i1;

x2i2; : : : :

303. De azionare una serie produce risultati rilevanti?In periodi di forte in azione si possono avere risultati molto distorti se non si determina

la serie in termini reali. Per esempio, i redditi medi a prezzi correnti per occupato dipendentesono i seguenti, in migliaia di lire.

Anni Reddito a prezzi correnti NI base mobile NI dei prezzi

1980 12396 100

1981 15113 121.9 118.7

1982 17727 117.3 138.1

Nel prospetto sono riportati i NI a base mobile della serie, e la serie dei NI dei prezzi alconsumo per le famiglie di operai e impiegati in base 1980 = 100. La serie dei redditi intermini reali, in lire del 1980 e i corrispondenti NI a base mobile sono riportati nella tavolasottostante.

Anni Reddito a prezzi 1980 NI base mobile

1980 12396

1981 12732 102.7

1982 12836 100.8

La serie presenta aumenti contenuti. nel 1981 il reddito medio per occupato dipendente e'aumentato solo del 2:7% in termini e�ettivi, contro un aumento del 21:9% in termini monetari(cioe' nominali o apparenti).

SETTIMANA 6

Distribuzioni di due caratteri

6.1 Distribuzioni doppie

In questo capitolo studieremo un collettivo di unita' statistiche su cui sono stati rilevati due opiu' caratteri. In certi casi i caratteri sono rilevati tutti allo stesso tempo e dunque il tempo e'�sso, in altri casi i caratteri sono rilevato in tempi diversi. Il ruolo del tempo dipende dunquedal tipo di rilevazione.

304. Come si studia la distribuzione congiunta di due caratteri?Utilizzando la distribuzione doppia dei due caratteri.

305. Come si costruisce una distribuzione doppia?Una distribuzione doppia si costruisce classi�cando le unita' secondo le modalita' congiunte

dei due caratteri.

306. Che cosa sono le modalita' congiunte dei due caratteri?Ad esempio, si considerino le variabili Sesso e Fumo tratte dai dati sugli studenti (vedi

appendice). Le modalita' del sesso sono due (m, f) e le modalita' del fumo sono due (si', no).Ogni studente puo' avere le seguenti modalita' dei due caratteri:

Sesso Fumom si'm nof si'f no

Queste sono le modalita' congiunte dei due caratteri; esse sono 2 � 2 quante sono le combi-nazioni di modalita' del primo carattere e del secondo carattere. Le modalita' congiunte sidicono talvolta celle.

59

60

307. Come si calcolano le frequenze?Ogni unita' viene classi�cata in una delle modalita' congiunte dei due caratteri, con la

consueta operazione di spoglio. Al termine, le frequenze sono il numero di unita' che possie-dono contemporaneamente una modalita' del primo e una modalita' del secondo carattere.Ad esempio nell'esempio precedente si ottiene

Sesso Fumo Frequenzam si' 17m no 19f si' 18f no 40Totale 94

Le frequenze cosi' trovate si dicono frequenze congiunte dei due caratteri o frequenze doppie.

308. De�nire un modo alternativo di rappresentare le frequenze doppie.Si usa il formato di matrice, de�nendo un insieme ordinato di righe e colonne: tante righe

quante sono le modalita' del primo carattere e tante colonne quante sono le modalita' delsecondo carattere. Ad esempio,

Fuma?

Sesso si' no

m 17 19

f 18 40

Quindi, ad esempio, 17 studenti hanno sesso maschile e fumano, 40 sono di sesso femmini-le e non fumano. La tavola precedente si chiama tavola (o tabella) di contingenza. Essasi dice ottenuta dall'incrocio dei due caratteri. All'incrocio di ogni riga e di ogni colonnasta la frequenza corrispondente al presentarsi contemporaneo delle due modalita' associaterispettivamente alla riga e alla colonna.

309. Si faccia un diagramma di Venn disegnando l'insieme degli studenti maschi e l'insiemedi coloro che fumano. Descrivere l'intersezione dei due insiemi e il complementare dei dueinsiemi.

m & si’: 17 m & no: 19f & si’: 18

f & no: 40

Nel diagramma l'insieme a sinistra e' l'insieme dei maschi e l'insieme di destra e' quello deifumatori. L'intersezione contiene i 17 studenti maschi fumatori. Al di fuori dei due insiemistanno le 40 femmine non fumatrici.

61

310. E' possibile determinare le frequenze separate dei due caratteri, dalla distribuzionedoppia?

Si'. Ad esempio, per trovare la frequenza di studenti maschi si somma il numero di studentimaschi e fumatori piu' il numero di studenti maschi e non fumatori, cioe' 17 + 19 = 36: Ingenerale per trovare la frequenza di una certa modalita' di un carattere, si sommano tutte lefrequenze congiunte che contengono quella modalita'.

Le frequenze di ciascun carattere si dicono frequenze marginali del carattere.

311. Perche' si chiamano frequenze marginali?Perche' si calcolano facilmente dalla tavola di contingenza, determinando i totali di riga

e di colonna della tavola. Le somme si riportano al margine della tavola e pertanto si diconomarginali. E' importante distinguerle dalle frequenze congiunte che stanno all'interno dellatabella.

312. Calcolare le frequenze marginali nell'esempio precedente. Si ottiene subito

Fuma?Sesso si' no Totalem 17 19 36f 18 40 58

Totale 35 59 94

Nella tavola si e' calcolato anche il numero totale di osservazioni che e' riportato in basso adestra.

313. La distribuzione doppia di due caratteri si puo' dedurre dalle distribuzioni marginali?No, in generale almeno non e' possibile, perche' distribuzioni doppie diverse possono avere

gli stessi totali marginali.

314. Estendere il concetto di frequenza relativa alle distribuzioni doppie.Una frequenza relativa e' una frequenza assoluta divisa per il totale delle osservazioni.

Pertanto, ad esempio la frequenza relativa di maschi che fumano e' di 17=94 = 0:18 = 18%:

315. Calcolare le frequenze relative nell'esempio precedente.La tabella seguente riporta le frequenze relative percentuali. Anche le frequenze marginali

sono espresse in percentuale rispetto al numero totale delle osservazioni.

Fuma?

Sesso si' no Totale

m 18.09 20.21 38.30

f 19.15 42.55 61.70

Totale 37.24 62.76 100.00

Quindi, il 20:2% degli studenti sono maschi e non fumano, il 19:1 sono femmine che fumanoe il 42:5 sono femmine che non fumano.

62

316. Per quale tipo di analisi si utilizza una distribuzione doppia di frequenza?Per l'analisi congiunta dei due caratteri, ossia per lo studio dell'interdipendenza, quando

i due caratteri sono posti sullo stesso piano.

317. Come si indicano le frequenze relative congiunte?Se indichiamo con X e Y i due caratteri e con x e y due modalita' generiche dei due

caratteri, possiamo indicare con

p(X = x; Y = y) =# di unita' che possiedono la modalita' x di X e y di Y

# totale di unita'

la frequenza relativa congiunta (p() sta qui per proporzione). A volte, per semplicita' siscrivera' p(x; y) invece di p(X = x; Y = y).

318. Come si calcola dunque una frequenza relativa marginale partendo dalle frequenzacongiunte?

Per calcolare la frequenza relativa marginale p(X = x) (che indicheremo anche piu' bre-vemente con p(x)) basta sommare tutte le frequenze relative congiunte p(X = x; Y = y) pertutte le modalita' y di Y , cioe'

p(x) =Xy

p(x; y)

dove il simboloP

y (detto di sommatoria) indica che si stanno sommando tutte le frequenzep(x; y) rispetto a y, cioe' facendo assumere a y via via tutte le modalita'.

6.2 Esempi

319. Dai dati sugli studenti (vedi appendice) costruire la distribuzione doppia per i caratteriNumero di auto possedute in famiglia (con modalita' da 1 a 6) e Residenza a Sassari (si', no).

Si ottiene una tabella 6�2 che incrocia un carattere quantitativo e un carattere dicotomico.Riportiamo la tavola con le frequenze assolute.

Residenza a Sassari?

Numero di auto si' no Totale

1 14 15 29

2 32 20 52

3 8 0 8

4 2 0 2

5 1 0 1

6 2 0 2

Totale 59 35 94

Si nota che solo i ragazzi residenti a Sassari hanno in famiglia un numero di auto superiore a2. Questa informazione non si poteva desumere dalla distribuzione marginale degli studentisecondo il numero di auto. E' un primo esempio di relazione trovata osservando la tavoladoppia.

63

320. Ancora dai dati sugli studenti costruire la distribuzione doppia per i caratteri Tipo discuola (con modalita' Licei, Istituti tecnici, Altro) e Residenza a Sassari (con modalita' si',no).

Risiede a Sassari?

Scuola si' no Totale

Liceo 27 15 42

Istituto tecnico 29 15 44

Altro 3 5 8

Totale 59 35 94

321. I dati seguenti riguardano sei modelli di auto Alfa Romeo a benzina a trazione ante-riore. Si sono rilevati i cavalli e il prezzo (marzo 1990).

Auto Cavalli Prezzo

33 1.7 ie 107 20638

33 1.7 ie 16V 133 22126

164 2.0 i ts 145 32967

164 2.0 i turbo 171 42606

164 3.0 i v6 179 54680

164 3.0 i aut. 179 57495

Studiare la distribuzione doppia delle variabili Cavalli e Prezzo.Poiche' i due caratteri hanno molte modalita' conviene fare un gra�co come il seguente.

Cavalli

Pre

zzo

120 140 160 180

2000

030

000

4000

050

000

Il gra�co riporta sull'asse delle ascisse le determinazioni della variabile Cavalli e sull'asse delleordinate le determinazioni della variabile Prezzo. I punti sul gra�co rappresentano le unita'statistiche osservate, individuate da una coppia di coordinate. Il gra�co si chiama gra�codi dispersione (scatterplot) o scatter. Il fatto abbastanza naturale che il prezzo aumentaall'aumentare dei cavalli si traduce sul gra�co nell'andamento tendenzialmente crescente deipunti.

64

322. Nello scatter sottostante sono rappresentate le variabili Prezzo e Cilindrata per uncampione di auto (con la cilindrata sotto 2000 cc). I dati sono tratti da Quattroruote (marzo,1996). Interpretare il gra�co.

0

20

40

60

80

100

1000 1200 1400 1600 1800 2000

cil

prez

zo

Si osserva che c'e' un andamento crescente del prezzo medio all'aumentare della cilindrata.Anche la variabilita' del prezzo tende a crescere con la cilindrata (osservare la variabilita' deipunti in verticale).

323. Nello scatter sottostante sono rappresentati per gli studenti del corso di Statistica(vedi appendice). Sul gra�co sono distinti gli studenti per sesso (m=maschi, f=femmine).Interpretare il gra�co.

Altezza

Sca

rpe

150 160 170 180

3638

4042

44

m

f

f

ff

m

f

f

f

f

f

f

f

f

m

f

m

f

f

f

f

m

m

f

m

m

m

f

m

m

m

m

m

m

m

f

m

f

f

m

f

f f

f

m

f

m

f f

f

f

m

m

f

f

f

m

m

m

f

m

f

m

m

m

f

f

f

f

f

f

f

f

ff

f

f

f

f

f

f

f

m

m

f

f

f

m

f

m

m

m

m

f

Si osserva una associazione tra altezza e numero di scarpe. La taglia media delle scarpe crsceal crescere dell'altezza. La variabilita' della taglia e' stabile. I maschi sono nella parte altadello scatter, come ci si poteva attendere. Si osservi che sul gra�co sono riportati tre caratteri:altezza, scarpe e sesso.

65

324. E' possibile costruire delle tavole doppie di frequenza per due variabili continue?Si', basta raggruppare le variabili in classi. Ad esempio, la tabella seguente incrocia per

un collettivo di 246 sposi, l'eta' della sposa al matrimonio e l'eta' dello sposo al matrimonio.

Eta' Sposo

Sposa -| 22 22 -| 26 26 -| 30 30 - Totale

-| 22 32 3 1 0 36

22 -| 26 35 20 10 2 67

26 -| 30 23 33 27 12 95

30 - 8 13 15 12 48

Totale 98 69 53 26 246

325. Si osservi la di�erenza tra una successione doppia e la distribuzione doppia corrispon-dente. Ad esempio sia X il numero di �gli e Y il numero di auto possedute relativi a uncollettivo di famiglie.

Successione Distribuzione

Unita' X Y Y

1 1 2 X 1 2 Totale

2 0 1

3 1 1 0 1 0 1

4 2 2 1 1 2 3

5 1 2 2 0 2 2

6 2 2 Totale 2 4 6

326. Sia Y = voto alla laurea, e A = facolta' (Lettere, Ingegneria, Economia e Commercio).

Y A

104 Ec

98 Ec

102 Lett

90 Ing

110 Lett

108 Ing

110L Lett

Si costruisca la distribuzione doppia dopo aver formato due classi di voto: < 105 e 105+.Si ottiene

VotoFacolta' < 105 105+ TotaleEc 2 0 2Lett 1 2 3Ing 1 1 2Totale 4 3 7

66

6.3 Medie di distribuzioni doppie

327. La media di una variabile X si usa denotare con un simbolo �X (la lettera greca miminuscola con un su�sso X) o con l'operatore E(X). Talvolta e' comodo usare la notazioneseguente per la media di una variabile X avente modalita' discrete x e frequenze relative p(x):

�X =Xx

x � p(x)

dove il simboloP

x indica che si sta facendo la somma rispetto a x (P

e' la lettera grecasigma maiuscola). La notazione e' simile a quella usata in precedenza in cui le modalita' sonoindicate con x1; x2; x3; : : : e le frequenze relative con f1; f2; f3; : : :.

328. In una distribuzione doppia in cui entrambi i caratteri X e Y sono quantitativi, quantemedie e' possibile calcolare?

Due medie marginali, la media di X e la media di Y .

�X =Xx

x � p(x); �Y =Xy

y � p(y):

329. Calcolare le due medie marginali per il problema 325.Si possono calcolare le medie direttamente dalla successione ottenendo

�X = 7=6 = 1:17; �Y = 10=6 = 1:67:

Lo stesso risultato si ottiene dalle distribuzione marginali

x : 0 1 2p(x) : 1=6 3=6 2=6

y : 1 2p(y) : 2=6 4=6

Infatti,

�X = 0 � 1=6 + 1 � 3=6 + 2 � 2=6 = 7=6; �Y = 1 � 2=6 + 2 � 4=6 = 10=6:

330. Fare uno scatterplot dei dati seguenti e riportare sul gra�co il punto di coordinateuguali alle medie di X e di Y .

Unita' x y1 4 4.262 5 5.683 6 7.244 7 4.825 8 6.956 9 8.817 10 8.048 11 8.339 12 10.8410 13 7.5811 14 9.96

67

Le medie sono rispettivamente 9 e 7:5, il gra�co e' riportato nella �gura sottostante.

X

Y

4 6 8 10 12 14

46

810

Il gra�co e' stato diviso in quattro parti facendo passare due rette perpendicolari nel puntodi coordinate (9; 7:5). Tale punto e' detto baricentro della distribuzione. Si osservi infatti cheil punto e' situato circa a meta' della nuvola di punti. In generale, il baricentro e' de�nito dauna coppia di coordinate uguali rispettivamente alla media di X e alla media di Y .

6.4 Associazione tra due caratteri quantitativi

331. Su ogni unita' statistica su cui si sono rilevati i caratteri X e Y e' possibile rilevarese x e' piu' grande o piu' piccolo della propria media �X e se y e' piu' grande o piu' piccolodella propria media �Y . Possiamo avere i casi seguenti

xy minore della media maggiore della mediamaggiore della media discordi concordiminore della media concordi discordi

Se x e y sono entrambi sopra le rispettive medie o entrambi sotto, diremo che sono concordi,altrimenti diremo che sono discordi. Si osservi che x e y sono concordi se gli scarti dalle mediex � �X e y � �Y hanno lo stesso segno e sono discordi se hanno segni opposti.

332. Se due caratteri sono entrambi quantitativi, diremo che sono associati positivamente, oche c'e' concordanza, se in media osservazioni sopra la media di X sono associate a osservazionisopra la media di Y e osservazioni sotto la media di X sono associate a osservazioni sotto lamedia di Y .

333. Fare esempi di caratteri concordanti.Ad esempio, le spese alimentari e il reddito di una famiglia, l'altezza e il numero di scarpe

di un individuo, l'eta' della sposa e l'eta' dello sposo al matrimonio.

334. I dati �ttizi seguenti riguardano l'eta' e lo stipendio mensile di dieci impiegati di unaazienda.

68

Unita' Eta' Stipendio1 27 1.262 29 1.583 34 1.874 35 1.415 35 2.196 37 1.677 44 2.098 44 1.479 45 1.8710 50 2.37

Veri�care se c'e' concordanza.Si calcolano gli scarti di X (l'eta') dalla media e gli scarti di Y (lo stipendio) dalla media

e si controlla quelli che hanno segni concordi e quelli che hanno segni discordi. L'eta' mediae' 38 anni e lo stipendio medio e' 1 milione e 780 mila lire al mese. Gli scarti dalla mediasono i seguenti.

Unita' x� 38 y � 1:781 �11 �0:5182 �9 �0:1983 �4 0:092 *4 �3 �0:3685 �3 0:412 *6 �1 �0:1087 6 0:3128 6 �0:308 *9 7 0:09210 12 0:592

Nella tavola solo tre individui (indicati con un asterisco) hanno segni discordi. Pertanto c'e'evidenza di una certa concordanza tra stipendio ed eta'.

335. Disegnare il gra�co di dispersione e segnare le unita' concordi e quelle discordi.

Eta’

Stip

endi

o

30 35 40 45 50

1.4

1.6

1.8

2.0

2.2

2.4

•

•

•

69

Nel gra�co seguente le unita' concordi sono indicate con un cerchietto vuoto e quelle discordicon un cerchietto pieno. Si osservi che le unita' concordi stanno nel primo e terzo quadrante eche quelle discordi stanno nel secondo e quarto quadrante (sono le unita' 3, 5 e 8). Pertanto, selo scatterplot presenta una nuvola di punti che copre in prevalenza il primo e terzo quadrantec'e' concordanza tra i caratteri (all'aumentare dell'uno aumenta l'altro e al diminuire dell'unodiminuisce l'altro). Se invece i punti sono in prevalenza nel secondo e quarto quadrante c'e'discordanza (all'aumentare di un carattere l'altro diminuisce e al diminuire di un caratterel'altro aumenta).

336. Si osservi in generale la regola:

1. Se la maggior parte dei punti sta nel I e III quadrante

� la covarianza e' positiva

� a scarti di un certo segno dalla media di X corrispondono scarti dello stesso segnodalla media di Y ,

� concordanza positiva

2. Se la maggior parte dei punti sta nel II e IV quadrante

� la covarianza e' negativa

� a scarti di un certo segno dalla media di X corrispondono scarti del segno oppostodalla media di Y ,

� concordanza negativa

337. Si osservi la �gura sottostante in cui sono rappresentate tre distribuzioni doppie: A incui i caratteri sono discordanti, C in cui i caratteri sono concordanti. Il caso B e' un casoincerto , intermedio fra i due.

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-2

-1

0

1

2

A

-2 -1 0 1 2

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•

B

-2 -1 0 1 2

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•••

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••

C

-2 -1 0 1 2

X

Y

6.5 Covarianza

338. Per misurare la concordanza e la discordanza si calcola un indice sintetico chiamatocovarianza tra X e Y che si calcola facendo la media dei prodotti degli scarti (X � �X) e(Y � �Y ). Calcolare i prodotti degli scarti e la loro media per i dati sull'eta' e lo stipendio.

Gli scarti e il loro prodotto sono riporati nella tavola seguente

70

Unita' X � �X Y � �Y Prodotto1 �11 �0:518 5:702 �9 �0:198 1:783 �4 0:092 �0:374 �3 �0:368 1:105 �3 0:412 �1:246 �1 �0:108 0:117 6 0:312 1:878 6 �0:308 �1:859 7 0:092 0:6410 12 0:592 7:10

Media 0 0:000 1:49

Pertanto la covarianza e' 1:49.

339. Perche' la covarianza misura se vi e' associazione positiva o negativa?

Poiche' il prodotto degli scarti e' positivo solo se gli scarti sono entrambi positivi o en-trambi negativi la covarianza e' positiva se in prevalenza vi sono coppie di scarti concordanti.Viceversa il prodotto degli scarti e' negativo solo se gli scarti sono di segno opposto, quindi

la covarianza e' negativa se in prevalenza vi sono coppie di scarti discordanti.

Nell'esempio, si nota che la media dei prodotti e' positiva poiche' 7 unita' hanno valoriconcordi e solo 3 discordi. Inoltre vi e' un contributo positivo elevato specialmente delle unita'1 (valori (27; 1:26)) e 10 (valori (50; 2:37))

340. Come si interpreta la covarianza?

Si interpreta innanzitutto il segno. Se la covarianza e' positiva diremo che vi e' associazionepositiva e se e' negativa diremo che vi e' associazione negativa.

341. La covarianza si puo' calcolare per una distribuzione doppia di frequenze relative?

Si', si calcola la media dei prodotti degli scarti ponderati con le frequenze relative p(x; y).Pertanto,

�XY = Ef(X � �X)(Y � �Y )g:

342. Sia data la seguente distribuzione di frequenze relative (�ttizia) dell'altezza e delnumero di scarpe.

Scarpe

Altezza 38 40 42 Totale

160 0.2 0.1 0 0.3

170 0.1 0.3 0.2 0.6

180 0 0 0.1 0.1

Totale 0.3 0.4 0.3 1.0

Calcolare la covarianza.

71

La media di X =altezza e'

�X = 160 � 0:3 + 170 � 0:6 + 180 � 0:1 = 168:

La media del numero di scarpe e' �Y = 40. Si costruiscono gli scarti dalla media per X e Ye si calcola il prodotto come nella tavola seguente.

Prodotti Scarti Y

Scarti X -2 0 2

-8 16 0 -16

2 -4 0 4

12 -24 0 24

Si sono ottenuti 9 prodotti e di questi si fa la media ponderando per le 9 frequenze relativecongiunte. Il prodotto tra gli scarti e le frequenze relative e' il seguente.

16 0 �16�4 0 4�24 0 24

�0:2 0:1 00:1 0:3 0:20 0 0:1

=3:2 0 0:0

�0:4 0 0:80:0 0 2:4

La media dei 9 numeri e' la covarianza

cov(X; Y ) =3:2� 0:4 + 0:8 + 2:4

9= 0:667

che e' positiva, come ci si attendeva.

343. Come si denota la covarianza?Con l'operatore cov(X; Y ) o con il simbolo �XY (lettera greca sigma minuscola).

344. Si osservi che la covarianza tra una variabile e se stessa e' uguale alla varianza dellavariabile.

Infatti, se X = Y , la media dei prodotti (X��X )(X��X) = (X��X )2 e' per de�nizione

la varianza di X . Pertanto,cov(X;X) = var(X):

Si usa di solito anche un simbolo classico per la varianza, cioe'

�XX = �2X :

Percio' lo scarto quadratico medio si indica con �X . Si faccia attenzione a non confondere�XX che e' una varianza, con �X che e' lo sqm.

345. La covarianza e' un indice assoluto o relativo?E' un indice assoluto nel senso che dipende dall'unita' di misura dei due caratteri. Se X

e' misurato in chili e Y in grammi, la covarianza e' misurata in kg � g.

72

346. Qual'e' il campo di variazione della covarianza?In ogni caso la covarianza puo' assumere valori solo dentro l'intervallo

��X�Y � cov(X; Y ) � +�X�Y :

347. Che cosa signi�ca quando la covarianza e' uguale a uno degli estremi?Se la covarianza e' uguale al prodotto degli scarti (l'estremo superiore) vuol dire che la

variabile X e' funzione lineare crescente di Y . In questo caso le due variabili sono esattamentelegate fra loro. Non solo all'aumentare di X , Y tende ad aumentare, ma e' noto esattamentedi quanto aumenta.

348. Fare un esempio.Ad esempio, se x e' la temperatura in gradi Celsius e y e' la temperatura in gradi

Fahrenheit e' noto che si puo' passare da una scala all'altra con la regola

y =9

5x+ 32

Si noti che y e' funzione lineare crescente di x. Se la temperatura in gradi Celsius e' rilevata suun certo numero di unita' possiamo ottenere una distribuzione X . A questa corrisponde unadistribuzione Y di temperature in gradi Fahrenheit. La covarianza tra X e Y e' uguale alloraper forza al suo valore massimo cioe' al prodotto degli scarti. E' chiaro che in questo caso e'sensato che l'associazione debba essere massima, perche' Y e' una trasformazione esatta diX . Si osservi che pero' la trasformazione e' particolare, cioe' e' lineare.

Anche la covarianza tra un distribuzione di prezzi espressi in lire e in marchi da' luogo auna covarianza massima.

349. Quando avviene che la covarianza assume il valore minimo, cioe' meno il prodotto degliscarti quadratici medi?

Quando la variabile Y e' funzione lineare decrescente di X .

350. Se si disegna lo scatter della distribuzione doppia, quando la covarianza e' massima,cosa si osserva?

I punti (x; y) si dispongono esattamente su una retta crescente.

351. Se si disegna lo scatter della distribuzione doppia, quando la covarianza e' minima,cosa si osserva?

I punti (x; y) si dispongono esattamente su una retta decrescente.

352. Come si valuta la forza dell'associazione?L'associazione e' tanto piu' forte quanto piu' la covarianza e' diversa da zero e vicina agli

estremi. Quando la covarianza e' vicina al massimo i punti (x; y) sullo scatter sono vicini adisporsi su una retta crescente. Quando la covarianza e' vicina al minimo i punti (x; y) sulloscatter sono vicini a disporsi su una retta decrescente. In questo senso la covarianza misural'allineamento dei punti (x; y) lungo una retta crescente o decrescente. Quindi la covarianzamisura la forza della relazione lineare fra le variabili.

73

353. I due diagrammi di dispersione seguenti sono relativi a due collettivi di studenti lau-reatisi nella facolta' A e nella facolta' B. Entrambi i collettivi hanno numerosita' 200. Si sonorilevate le variabili X , voto medio al termine degli esami e Y , voto di laurea.

Voto medio

Vot

o di

laur

ea

18 20 22 24 26 28 30

9095

100

105

110

Facolta’ A sxy = 3.4 sx = 1.5 sy = 2.5

Voto medio

Vot

o di

laur

ea

18 20 22 24 26 28 30

9095

100

105

110

Facolta’ B sxy = 3.4 sx = 1.8 sy = 2.9

La covarianza tra X e Y e' la stessa nei due collettivi: �XY = 3:4. I due scarti quadraticimedi sono nella facolta' A: �X = 1:5 e �Y = 2:5 e nella facolta' B: �X = 1:8 e �Y = 2:9. Inquale facolta' le due variabili sono maggiormente associate linearmente?

Nella facolta' A, come si vede anche dallo scatterplot. Infatti, nella facolta' A la covarianzapuo' variare nell'intervallo (�3:75; 3:75) (dove 3:75 e' il prodotto degli scarti quardatici medi),mentre nella facolta' B la covarianza puo' variare in un intervallo maggiore (�5:22; 5:22):Pertanto il valore osservato della covarianza e' molto piu' vicino all'estremo 3:75 per la Facolta'A che all'estremo 5:22 per la facolta' B.

354. Se i punti (x; y) sono sono allineati su una retta crescente o decrescente, che tipo direlazione esiste tra X e Y ?

Una relazione lineare, del tipoY = a+ bX

dove b e' positivo se la retta e' crescente e b e' negativo se la retta e' decrescente. Se a e'uguale a zero la retta passa per l'origine.

355. Se tra le variabili X e Y esiste una relazione non lineare esatta per esempio

Y = a+ bX + cX2 (equazione di una parabola)

la covarianza e' uguale a uno dei due estremi del suo campo di variazione?No, perche' la covarianza e' uguale a uno degli estremi solo in caso di esatto allineamento

su una retta.

SETTIMANA 7

Relazioni tra due caratteri: correlazione

7.1 Dipendenza e interdipendenza

356. Come viene studiata la relazione fra due caratteri?Per studiare la relazione tra due caratteri e' necessario speci�care se

� i due caratteri sono considerati sullo stesso piano, oppure

� i due caratteri sono cosiderati su due piani diversi.

357. Quando due caratteri sono considerati sullo stesso piano?Quando ai �ni dell'analisi, sono entrambi oggetto di studio ed e' importante studiare il

loro comportamento congiunto.

358. Fare degli esempi.

� Un medico che rileva la pressione massima e minima dei pazienti ed e' interessato alcomportamento congiunto delle due variabili.

� L'oculista che rileva il grado di miopia dell'occhio sinistro e dell'occhio destro dei suoipazienti.

� Un insegnante che rileva i voti presi dai suoi studenti in varie materie alla �ne dell'annotratta i punteggi sullo stesso piano.

359. Quando due caratteri sono considerati su piani diversi?In molti casi uno dei caratteri e' un antecedente logico dell'altro ed e' pensato come una

possibile in uenza dell'altro. In questo caso si dice che un carattere e' esplicativo e che l'altroe' dipendente.

75

76


� Ad esempio, in un collettivo di famiglie il consumo in generi alimentari dipende dalreddito, quindi il consumo e' una variabile dipendente e il reddito e' una variabileesplicativa.

� In un collettivo di studenti iscritti all'universita' il voto alla maturita' puo' essere unfattore, tra gli altri, che spiega l'eventuale seguente abbandono degli studi.

� Il prezzo di un bene in uenza la quantita' venduta.

� Il consumo di carburante si puo' pensare dipendente dalla cilindrata.

� In un esperimento in genere si somministra un trattamento a un certo numero di unita'e si osserva quindi la risposta delle unita' (fertilizzante, quantita' raccolta; farmaco,miglioramento; fattore di rischio, malattia). La risposta e' il carattere dipendente e iltrattamento e' il carattere esplicativo.

Si osservi che talvolta due variabili sono considerate sullo stesso piano ai �ni di un'analisi edistinte in esplicativa e dipendente ai �ni di un'altra analisi.

Si osservi anche che in generale un carattere puo' dipendere contemporaneamente da pi�ucaratteri esplicativi. Ad esempio, l'altezza di un individuo dipende tra le altre cose dall'eta'e dal sesso. Il numero di �gli di una donna puo' dipendere dall'eta' della donna, ma anchedal grado di istruzione.

361. Come si distingue lo studio della relazione tra due caratteri?

Si distingue

� l'analisi della interdipendenza tra due caratteri, quando essi sono considerati ai �nidell'analisi sullo stesso piano

� l'analisi della dipendenza di un carattere dall'altro quando essi sono trattati su due pianidiversi.

362. La distinzione tra carattere esplicativo e carattere dipendente e' di natura stratistica?

No, tale distinzione e' extra statistica, ma dipende dal campo di studio e dalla speci�caapplicazione.

7.2 Misure di interdipendenza

363. Come si misura tipicamente l'interdipendenza di due caratteri X e Y quantitativi?

Si misura tramite il coe�ciente di correlazione tra X e Y . Esso misura l'associazionelineare tra le variabili, ossia indica quanto e' forte il grado di allineamento tra X e Y .

77

364. Come e' de�nito il coe�ciente di correlazione lineare?

E' indicato con corr(X; Y ) = �XY , dove

�XY =�XY

�X�Y

cioe' dal rapporto tra la covarianza e il prodotto degli scarti quadratici medi.

365. Perche' l'indice e' costruito in questo modo?

Poiche' la covarianza �XY e' sempre compresa tra ��X�Y e �X�Y , il coe�ciente di cor-relazione risulta sempre compreso tra �1 e +1. L'indice e' quindi normalizzato e quale chesia la distribuzione doppia dei due caratteri, esso risulta sempre uguale a un numero com-preso tra �1 e +1. Cio' e' utile per confrontare l'associazione lineare in collettivi diversi.Ovviamente, quando il coe�ciente di correlazione e' uguale a +1 la covarianza e' uguale alsuo valore massimo, cioe' c'e' perfetto allineamento su una retta crescente, e quando e' ugualea �1 la covarianza e' uguale al suo valore minimo e c'e' perfetto allineamento su una rettadecrescente. Nei casi intermedi, l'allineamento e' tanto piu' forte quanto piu' vicino e' ilcoe�ciente di correlazione agli estremi �1 o +1.

366. La �gura seguente rappresenta 6 scatter ciascuno con un grado di allineamento diverso.Sotto lo scatter e' indicato il coe�ciente di correlazione.

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cor = 0.6

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3-2

-10

12

3

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cor = -1

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3-2

-10

12

3

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cor = -0.8

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3-2

-10

12

3

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cor = 0.9

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3-2

-10

12

3

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cor = 0

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3-2

-10

12

3

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cor = -0.5

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3-2

-10

12

3

367. Se si scambia l'ordine dei caratteri come cambia il coe�ciente di correlazione?

Il coe�ciente di correlazione non cambia se si permutano i due caratteri. Percio' �Y X =�XY : Infatti, si dice che l'indice e' simmetrico, in X e Y e che per questo e' una misura diinterdipendenza tra i due caratteri.

78

368. Calcolare il coe�ciente di correlazione tra voto medio e voto di laurea dai dati delproblema 343.

Nella facolta' A il coe�ciente di correlazione e' 3:4=(1:5� 2:5) = 0:9, mentre nella facolta'B e' 3:4=(1:8� 2:9) = 0:65. Pertanto c'e' maggiore associazione lineare tra le variabili nellafacolta' A.

369. Quando l'associazione lineare tra X e Y risulta perfetta?

Quando il coe�ciente di correlazione e' uguale a +1 o a �1. In tal caso X e' funzionelineare di Y e viceversa. Pertanto e' possibile prevedere esattamente un carattere conoscendol'altro.

370. Che cosa signi�ca un coe�ciente di correlazione uguale a zero?

La situazione in cui �XY = 0 si ha quando vi e' indecisione sulla concordanza o discordanzatra X e Y . Tale situazione e' chiamata incorrelazione. Evidentemente vi e' incorrelazione sela covarianza e' zero, cioe' se in media i prodotti degli scarti valgono zero. Come si vedra'piu' avanti l'incorrelazione e' una forma debole di indipendenza.

371. In tutti i casi rappresentati negli scatter sottostanti vi e' incorrelazione.

0 50 100

-10

010

20

0 20 40 60

05

1015

0 10 20 30 40

05

1015

2025

4 6 8 10 14

01

23

4

372. Il coe�ciente di correlazione ha una unita' di misura?

No il coe�ciente di correlazione e' adimensionale, perche' e' un rapporto in cui al nume-ratore vi e' la covarianza che e' espressa nel prodotto delle unita' di misura di X edi Y e al

79

denominatore vi e' il prodotto degli scarti q. medi che e' anch'esso espresso nel prodotto delleunita' di misura dei due caratteri.

7.3 Standardizzazione

373. Data una variabile X con media �X , la variabile si dice espressa in scarti dalla mediase viene trasformata in

X 0 = X � �X :

374. Uno studente ha fatto 5 esami prendendo i voti

22; 28; 27; 30; 28:

Esprimere la variabile in scarti dalla media.La media e' 27. Pertanto la variabile espressa in scarti dalla media e'

�5;+1; 0;+3;+1

L'interpretazione e' semplice: il primo esame ha un voto che e' 5 punti sotto la media, ilsecondo e' un punto sopra, il terzo e' uguale alla media, etc.

375. A cosa e' uguale la media di una variabile espressa in scarti dalla media?La media e' sempre uguale a zero, perche' la somma degli scostamenti dalla media di una

variabile qualsiasi e' sempre zero.

376. Si osservi che la covarianza e' la media dei prodotti delle variabili espresse in sacrtidalla media.

377. Data una variabile X con media �X e scostamento quadratico medio �X , la varia-bile si dice espressa in scarti standardizzati o, piu' semplicemente, standardizzata se vienetrasformata in

ZX =X � �X�X

:

378. Uno studente ha fatto 5 esami prendendo i voti

23; 20; 26; 22; 24:

Standardizzare la variabile.La media e' 23 e la varianza e' 4. Pertanto, la variabile espressa in scarti dalla media e'

0;�3;+3;�1;+1

e, dividendo questi valori per lo scarto quadratico medio che e' 2, si hanno i punteggistandardizzati

0;�1:5;+1:5;�0:5;+0:5

80

379. Qual'e' l'interpretazione dei punteggi standardizzati?

Standardizzare un dato signi�ca trovare quanti scostamenti quadratici medi dista dallamedia. Ad esempio, nel problema 378 il secondo voto standardizzato (20) e' �1:5 perche' haun valore inferiore alla media (23) di uno scarto quadratico medio e mezzo (1:5� 2 = 3).

380. Che valori ci si puo' aspettare per un punteggio standardizzato?

Poiche' almeno gli 8=9 dei dati sono compresi nell'intervallo

�X � 3�X ; �X + 3�X

almeno gli 8=9 dei punteggi standardizzati sono compresi nell'intervallo

�3; +3:

381. Qual'e' la media dei punteggi standardizzati?

E' sempre zero, perche' i punteggi standardizzati sono scarti dalla media.

382. Qual'e' la varianza dei punteggi standardizzati?

E' sempre 1. Infatti,

varf(X � �X)=�Xg = var(X � �X)=�2

X = �2X=�2

X = 1

poiche', nella frazione, la varianza var(X � �X) e' uguale alla varianza di X .

383. Pertanto, che cosa signi�ca standardizzare una variabile?

Signi�ca trasformarla linearmente in modo da ridurla ad avere sempre media zero evarianza 1.

7.4 Correlazione e standardizzazione

384. Qual'e' il coe�ciente di correlazione tra due variabili standardizzate?

Si puo' dimostrare che e' uguale al coe�ciente di correlazione tra le variabili originarie.Pertanto

corr(ZX ; ZY ) = corr(X; Y );

dove ZX e ZY sono le variabili X e Y standardizzate. Tenendo conto del fatto che le variabilistandardizzate hanno varianza 1 (e quindi scostamento quadratico medio 1) risulta che ilcoe�ciente di correlazione e'

corr(X; Y ) =cov(ZX ; ZY )pvar(ZX)var(ZY )

= cov(ZX ; ZY )

e' uguale alla covarianza tra le variabili standardizzate.

81

385. Calcolare il coe�ciente di correlazione tra eta' e stipendio (vedi problema 325), inmodo diretto e come covarianza tra le variabili standardizzate.

PostoX = eta' e Y = stipendio, risulta che �X = 38, �y = 1:778, �X = 7:085 e �Y = 0:34.Dai calcoli fatti in precedenza risulta anche che �XY = 1:49. Direttamente risulta dunqueche �XY = 1:49=(7:085�0:34) = 0:61. L'eta' e lo stipendio standardizzati sono riportati nellatabella sottostante

ZX ZY ZXZY

�1:553 �1:524 2:365�1:270 �0:582 0:740�0:565 0:271 �0:153�0:423 �1:082 0:458�0:423 1:212 �0:513�0:141 �0:318 0:0450:847 0:918 0:7770:847 �0:906 �0:7670:988 0:271 0:2671:694 1:741 2:949

Nella terza colonna sono calcolati i prodotti tra ZX eZY necessari per calcolare la covarianza(La covarianza e' la media dei prodotti delle variabili espresse in scarti dalla media, ma qui lemedie sono zero perche' si tratta di punteggi standardizzati.) La media dell'ultima colonnae' appunto 0:61.

SETTIMANA 8

Dipendenza e indipendenza

8.1 Distribuzioni condizionate

Lo strumento fondamentale per studiare la dipendenza di un carattere da un altro e' il concettodi distribuzione condizionata.

386. Che cos'e' una distribuzione condizionata?Dati due caratteri, una distribuzione condizionata e' la distribuzione di uno di essi tenendo

�sso l'altro.

387. Come si de�nisce la distribuzione di un carattere Y condizionata all'aver �ssato l'altrocarattere X ad assumere una modalita' x?

E' la distribuzione di Y per quelle unita' statistiche per le quali X e' uguale alla modalita'�ssata x. La distribuzione condizionata si costruisce prima selezionando quella parte dellapopolazione le cui unita' hanno tutte lo stesso valore x della variabile esplicativa X e quinditrovando la distribuzione del carattere dipendente Y solo per tali unita'. Di solito si calcolanole frequenze relative.

388. Fare degli esempi.Dato il reddito e il titolo di studio di un collettivo di individui si puo' de�nire la di-

stribuzione del reddito per tutti coloro che hanno lo stesso titolo di studio. Ad esempio, ladistribuzione del reddito per tutti i laureati. Questa e' la distribuzione del reddito condizio-nata al titolo di studio, cioe' avendo vincolato il titolo di studio ad assumere la modalita'`laureato'.

La distribuzione reddito per tutti coloro che hanno solo il titolo delle medie inferiori, e'un'altra distribuzione condizionata.

Dato un collettivo di automobili, su cui si e' rilevato il consumo di benzina e la cilindrata,si puo' de�nire la distribuzione del consumo per tutte le auto che hanno la stessa cilindrata.

83

84

Per ogni valore possibile di cilindrata si puo' individuare la sottopopolazione di auto chehanno quella cilindrata e descriverle con la loro distribuzione di frequenza.

Dato un collettivo di individui si puo' misurare la pressione sanguigna e l'eta' e quindiottenere, per ogni eta', le relative distribuzioni condizionate della pressione.

389. Come si indica la distribuzione di Y condizionata a X?

Si indica in modo simbolico Y j (X = x) e si legge `Y dato X '.

390. Ad esempio, si consideri la distribuzione degli studenti secondo il fumo e il sesso. Ladistribuzione congiunta, con i totali marginali di riga, e' la seguente

Fuma?Sesso si' no Totalem 17 19 36f 18 40 58

Per studiare se il fumo dipende dal sesso e' conveniente confrontare la proporzione di fumatoritra i maschi e tra le femmine che sono appunto le due distribuzioni condizionate Fumo jSesso = m e Fumo j Sesso = f :

Fuma?Sesso si' no Totalem 17=36 19=36 36=36f 18=58 40=58 58=58

La distribuzione dei fumatori quando Sesso = m e' riportata nella prima riga della tabellaottenuta dividendo ciascuna frequenza congiunta della prima riga per la frequenza marginale.Analogamente, la distribuzione dei fumatori quando Sesso = f e' riportata nella seconda rigadella tabella. Usando le frequenze relative percentuali si ottiene

Fuma?Sesso si' no Totalem 47:22 52:78 100f 31:03 68:97 100

Le due distribuzioni condizionate si possono confrontare perche' relativizzando si e' reso ugualea 100 la numerosita' del colletivo per i maschi e per le femmine. Si nota una certa di�erenzatra la proporzione di maschi fumatori e di femmine fumatrici, con una maggior propensioneper i maschi a fumare.

391. Osservare che calcolando le frequenze condizionate relativizzando al totale di rigale frequenze relative congiunte anziche' le frequenze assolute congiunte, si ottiene lo stessorisultato.

Infatti, poiche' il numero totale di unita' e' 94, la distribuzione congiunta relativa e quellamarginale relativa sono ottenute dividendo tutte le frequenze assolute per 94, come segue

85

Fuma?Sesso si' no Totalem 17=94 19=94 36=94f 18=94 40=94 58=94

Dunque i rapporti delle frequenze congiunte per le frequenze marginali restano gli stessi.

392. Pertanto, come e' de�nita in generale una frequenza condizionata di Y = y j X = x?E' il rapporto tra la proporzione di osservazioni per cui X = x e Y = y e la proporzione

di osservazioni per cui X = x. Cioe'

p(Y = y j X = x) =p(X = x; Y = y)

p(X = x)=

p(x; y)

p(x):

393. Si consideri l'esempio seguente (�ttizio). X e' il titolo di studio e Y e' il reddito di unindividuo. Si abbia la seguente tavola di contingenza

Reddito

Titolo di studio Basso Medio Alto Totale

Elementari 88 143 120 351

Medie 9 38 38 85

Superiori 3 19 42 64

Totale 100 200 200 500

Qual'e' la frequenza di quelli che hanno il reddito medio, condizionata a: titolo = elementari?Utilizzando la formula generale, risulta

p(Y = medio j X = elementari) =p(X = elementari; Y = medio)

p(X = elementari)=

143=500

351=500= 0:408:

Cioe' il 40.8% di coloro che hanno il titolo delle elementari ha un reddito medio. Inoltre letre distribuzioni di Y condizionate a X = elementari, X = medie e X = superiori sono leseguenti

Reddito


Elementari 26.0 40.8 34.2 100

Medie 10.6 44.7 29.7 100

Superiori 4.7 29.7 65.6 100

Totale 20.0 40.0 40.0 100

Nella tabella e' riportatata anche la distribuzione marginale del reddito.

394. Qual'e' la frequenza di quelli che hanno il titolo delle superiori, condizionata al redditobasso?

Anche in questo caso, utilizzando la formula generale, risulta

p(X = superiori j Y = basso) =p(X = superiori; Y = basso)

p(Y = basso)=

3=500

100=500= 0:03 = 3%

86

cioe' il 3% di coloro che hanno il reddito basso hanno il titolo delle superiori. Inoltre le tredistribuzioni di X condizionate a Y = basso, Y = medio e Y = alto sono le seguenti

Reddito


Elementari 88.0 71.5 60.0 70.2

Medie 9.0 19.0 19.0 17.0

Superiori 3.0 9.5 21.0 12.8

Totale 100.0 100.0 100.0 100.0

Nella tavola, l'ultima colonna e' la distribuzione marginale del titolo di studio.

395. Se X e Y sono caratteri discreti, e' possibile costruire una tavola di contingenza in cuile righe sono le modalita' di X e le colonne sono le modalita' di Y . In tal caso le distribuzionicondizionate di Y j X sono le righe della tabella divise per i rispettivi. Invece, le distribuzionicondizionate di X j Y sono le colonne divise per i rispettivi totali.

396. Se i caratteri sono continui non e' possibile rappresentare le distribuzioni congiuntein tavole di contingenza. Tuttavia e' semplice individuare le distribuzioni condizionate sulloscatter. Per esempio, consideriamo di nuovo i dati sulle altezze e il numero di scarpe deglistudenti di Statistica. Nel gra�co si vede la distribuzione congiunta delle due variabili.

scarpe

alte

zza

36 38 40 42 44

150

160

170

180

Nel gra�co seguente, invece sono state selezionate le distribuzioni condizionate dell'altezzadato il numero di scarpe X = 36; X = 38; eX = 44: Le distribuzioni delle altezze condizionateal numero di scarpe sono delimitate dalle strisce verticali centrate su 36; 38 e 44.

87

scarpe

alte

zza

36 38 40 42 44

150

160

170

180

8.2 Indipendenza

Le distribuzioni condizionate permettono di de�nire esattamente il concetto di dipendenza edi indipendenza.

397. Quando si vuole studiare la dipendenza di Y da X qual'e' la cosa fondamentale dafare?

La cosa fondamentale e' studiare come varia la distribuzione del carattere dipendente Ycondizionata al carattere esplicativo X . Questo permette di controllare qual'e' l'e�etto di Xsulla distribuzione di Y j X .


Ad esempio, per studiare se l'altezza dipende dal numero di scarpe, (cioe' se la lunghezzadei piedi permette di prevedere l'altezza), conviene studiare come varia la distribuzione dellaaltezza condizionata al numero di scarpe.

Per studiare se lo stipendio dipende dall'anzianita' conviene studiare le distribuzioni dellostipendio condizionate all'anzianita'.

Per studiare se la pena di morte dipende dalla razza, si deve studiare la distribuzione dellapena di morte condizionata alla razza.

Per studiare se la concentrazione di ozono nell'aria dipende dalla temperatura si studianole distribuzioni condizionate della concentrazione di ozono a varie temperature.

Per studiare se la spesa per generi alimentari dipende dal reddito si studiano le distribu-zioni delle spese per vari livelli di reddito.

Per studiare se la quantita' venduta di un bene dipende dal prezzo si studiano le distri-buzioni condizionate delle quantita' vendute a vari livelli di prezzo.

88

399. Quando si puo' a�ermare che un carattere dipendente Y e' indipendente da un carattereesplicativo X?

Un carattere Y e' indipendente (in distribuzione) da un carattere Y quando tutte le di-stribuzioni condizionate di Y j (X = x) sono identiche, quale che sia il livello x. In tal caso,comunque sia �ssataX , la distribuzione di Y j X non cambia. Questo permette di concludereche conoscere X non fornisce un aiuto per prevedere Y .

400. Fare un esempio.Il gruppo sanguigno (Rh+ e Rh-) e' indipendente dal sesso? Se la distribuzione teorica

relativa a una certa popolazione e' la seguente

Gruppo

Sesso Rh+ Rh- Totale

Maschi 120 30 150

Femmine 80 20 100

Totale 210 40 250

Si ottengono le seguenti distribuzioni condizionate del gruppo sangugno dato il sesso.

Gruppo


Maschi 0.8 0.2 1.0

Femmine 0.8 0.2 1.0

Come si vede, una volta relativizzate per il totale di riga le frequenze condizionate sonouguali. Quindi sia tra i maschi che tra le femmine c'e' la stessa proporzione di Rh positivie Rh negativi. Questo signi�ca che il fatto di conoscere il sesso non aiuta nel prevedere ilgruppo sanguigno, perche' la distribuzione del gruppo sanguigno e' la stessa per i due sessi.Conclusione: il gruppo sanguigno e' indipendente dal sesso.

401. La tavola seguente riporta la distribuzione degli studenti secondo la facolta' (Scienzepolitiche, Economia, Lettere) e la sede (citta' A, citta' B).

Facolta'

Sede S. Politiche Economia Lettere Totale

A 25 50 75 150

B 50 100 150 300

Totale 75 250 225 450

La facolta' e' indipendente dalla sede?Le distribuzioni condizionate della facolta' data la sede sono uguali:

Facolta'

Sede S. Politiche Economia Lettere Totale

A 1/6 1/3 1/2 1

B 1/6 1/3 1/2 1

Pertanto, la facolta' e' indipendente dalla sede. Interpretazione: sia nella sede A che nellasede B vi sono le stesse proporzioni di studenti delle tre facolta'.

89

402. Nella tavola precedente, la sede e' indipendente dalla facolta'?Le distribuzioni condizionate della sede data la facolta' sono le seguenti.

Facolta'

Sede S. Politiche Economia Lettere

A 1/3 1/3 1/3

B 2/3 2/3 2/3

Totale 1 1 1

Risultano dunque tre distribuzioni condizionate identiche. Pertanto, vi e' indipendenza dellasede dalla facolta'. Interpretazione: gli studenti delle tre facolta' si distribuiscono sempre perun terzo nella sede A e per due terzi nella sede B.

403. L'esempio precedente suggerisce che se Y e' indipendente da X , anche X e' indipen-dente da Y . Questa a�ermazione e' sempre vera?

Si', e' vero che Y e' indipendente da X se e solo se X e' indipendente da Y . Per questosi dice semplicemente che X e Y sono indipendenti fra loro.

8.3 Relazione tra le distribuzioni condizionate e la distribuzione marginale

404. Sia data la seguente distribuzione di votanti secondo il partito scelto (Destra, Sinistra)e il comune di residenza (comuni A, B e C).

Partito

Comune Destra Sinistra Totale

A 600 1800 2400

B 1190 510 1700

C 450 450 900

Totale 2240 2760 5000

Tale distribuzione si puo' completamente ricavare dalla tavola delle distribuzioni condizionatedel partito dato il comune piu' la distribuzione marginale dei votanti per comune

Partito

Comune Destra Sinistra Totale Comune Votanti

A 0.25 0.75 1.0 A 2400

B 0.70 0.30 1.0 B 1700

C 0.50 0.50 1.0 C 900

Totale 5000

Infatti per trovare per esempio nel comune A i 600 votanti per la Destra, basta moltiplicare2400 per 0.25. Analogamente, per trovare per esempio i 450 votanti per la sinistra nel comuneC basta moltiplicare 900 per 0.5.

Le frequenze congiunte sono percio' le seguenti

Partito

Comune Destra Sinistra

90

A 0.25 x 2400 0.75 x 2400

B 0.70 x 1700 0.30 x 1700

C 0.50 x 900 0.50 x 900

Totale 2240 2760

Dunque i totali marginali dei vari partiti si ottengono per somma, ad esempio

2240 = (0:25� 2400)+ (0:70� 1700)+ (0:50� 900):

La frequenza relativa marginale dei votanti per la Destra e'

2240

5000= 0:25� 2400

5000+ 0:70� 1700

5000+ 0:50� 900

5000:

Si osservi che 2400

5000; 17005000

e 900

5000sono le frequenze marginali dei comuni e sommano a uno.

Percio', l'equazione precedente si puo' interpretare come una media ponderata delle frequenzecondizionate con pesi uguali a 2400

5000= 0:48; 1700

5000= 0:34 e 900

5000= 0:18.

405. Esprimere la frequenza relativa marginale delle sinistre come media ponderata dellefrequenze condizionate.

Risulta2760

5000= 0:75� 0:48 + 0:30� 0:34 + 0:50� 0:18:

406. Si abbia la seguente distribuzione di laureati a un anno dalla laurea secondo il tipo dilaurea (Scienze politiche, Economia, Letter) e la posizione sul lavoro (In cerca di occupazione,Occupato).

Occupato?

Laurea No Si' Totale

S. politiche 0.5 0.5 1.0

Economia 0.3 0.7 1.0

Lettere 0.8 0.2 1.0

Qual'e' la percentuale di disoccupati nel complesso? E' noto che la distribuzione dei laureatie' la seguente

Laurea Frequenza

S. politiche 0.4

Economia 0.2

Lettere 0.6

Totale 1.0

La percentuale dei disoccupati nel complesso non e' la media aritmetica delle percentualidi disoccupati provenienti dalle tre facolta', a meno che la proporzione di laureati sia la stessa.

La percentuale di disoccupati nel complesso e' una media ponderata delle tre percentualicon pesi uguali a 0.4, 0.2 e 0.6, cioe'

0:5� 0:4 + 0:3� 0:2 + 0:8� 0:6 = 0:74 = 74%:

Notare che la percentuale e' alta a causa di Lettere che ha un peso elevato e un tasso didisoccupazione elevato (dati ipotetici!).

91

407. * La relazione precedente si puo' scrivere in modo simbolico come

p(y) =Xx

p(y j x)p(x)

dove p(y j x) sono le frequenze condizionate e p(x) sono i pesi uguali alle frequenze marginalidel carattere esplicativo. Dimostrarlo.

Infatti, p(y j x) = p(x; y)=p(x) per cui il secondo membro della formula precedente e'

Xx

p(x; y)

p(x)p(x) =

Xx

p(x; y):

Ma la somma delle proporzioni congiunte p(x; y) rispetto a x e' proprio la proporzionemarginale p(y).

408. Dimostrare che se tutte le distribuzioni condizionate sono uguali (caso di indipendenzain distribuzione) allora la distribuzione marginale e' uguale ad esse.

In caso di indipendenza di Y da X tutte le proporzioni p(y j x) sono uguali fra loro.Allora la distribuzione marginale de�nita da p(y) e' una media ponderata di p(y j x) (chesono eguali) con pesi uguali a p(x). Ora una media ponderata di quantita' identiche e' perforza uguale ad esse.

Pertanto, se Y e' indipendente in distribuzione da X tutte le frequenze condizionate p(yjx)non variano al variare di x e sono uguali alle frequenze marginali p(y). In simboli, per ogni x,

p(y j x) = p(y)

equazione che esprime bene il fatto che la distribuzione condizionata di Y j (X = x) nondipende da x.

409. Se esiste indipendenza in distribuzione di Y da X risulta sempre, per ogni coppia divalori x e y,

p(x; y) = p(x)p(y)

cioe' la distribuzione congiunta delle due variabili e' uguale al prodotto delle distribuzionimarginali.

La dimostrazione e' banale perche' partendo da p(y j x) = p(y) (de�nizione di indipen-denza) risulta (sostituendo a p(y j x) la sua de�nizione p(x; y)=p(x))

p(x; y)

p(x)= p(y)

da cui si ha che p(x; y) = p(x)p(y).

410. Si osservi che dalla relazione precedente segue immediatamente che se Y e' indipen-dente da X anche X e' indipendente da Y e viceversa.

92

411. La distribuzione congiunta del sesso e del gruppo sanguigno e' la seguente

Gruppo


Maschi 0.48 0.12 0.6

Femmine 0.32 0.08 0.4

Totale 0.80 0.20 1.0

Come si e' visto prima, vi e' indipendenza tra i due caratteri. Veri�care che la distribuzionecongiunta e' il prodotto delle due distribuzioni marginali.

Si ha infatti la seguente tabella

0.48 = 0.8 x 0.6 0.12 = 0.2 x 0.6

0.32 = 0.8 x 0.4 0.08 = 0.2 x 0.4

412. In una popolazione ci sono il 10% di disoccupati. La stessa popolazione e' per il 30%composta da individui di razza nera e per il 70% da individui di razza bianca. Costruire ladistribuzione doppia congiunta secondo la posizione sul lavoro e la razza, nell'ipotesi che idue caratteri siano indipendenti.

La distribuzione doppia si presenta come segue

Situazione

Razza Occupato Disoccupato Totale

Bianca 0.7

Nera 0.3

Totale 0.90 0.10 1.0

Le frequenze delle quattro celle sono incognite. Ma se vi e' indipendenza tra i due caratteri,e' possibile ricostruirle come prodotto delle frequenze marginali. Si ottiene

Situazione


Bianca 0.9 x 0.7 0.1 x 0.7 0.7

Nera 0.9 x 0.3 0.1 x 0.3 0.3

Totale 0.90 0.10 1.0

cioe'

Situazione


Bianca 0.63 0.07 0.7

Nera 0.27 0.03 0.3

Totale 0.90 0.10 1.0

Si oosservi che i totali riga e colonna della tavola di indipendeza cosi' costruita corrispondonoperfettamente ai totali marginali dati.

93

413. Talvolta e' opportuno confrontare una distribuzione data con una distribuzione teoricache e' uguale a quella data per quanto riguarda i totali marginali, ma costruita (con la regolaspiegata sopra) in modo che vi sia indipendenza. Tale tabella e' detta tavola teorica incaso di indipendenza. Ad esempio, trovare la tavola teorica in caso di indipendenza per ladistribuzione seguente relativa a un collettivo classi�cato secondo il sesso e il partito preferito(dati della General Social Survey, USA, 1991)

Partito

Sesso Democratici Indipendenti Repubblicani Totale

Femmine 0.28 0.08 0.23 0.59

Maschi 0.17 0.05 0.19 0.41

Totale 0.45 0.13 0.42 1.00

Moltiplicando i totali marginali si ottiene

Partito

Sesso Democratici Indipendenti Repubblicani Totale

Femmine 0.2655 0.0767 0.2478 0.59

Maschi 0.1845 0.0533 0.1722 0.41

Totale 0.45 0.13 0.42 1.00

Il confronto tra le frequenze teoriche in caso di indipendenza e le frequenze osservate permettedi vedere le celle piu' devianti dalla situazione di indipendenza.

414. Le di�erenze tra frequenze osservate e frequenze teoriche in caso di indipendenza sidicono contingenze.

415. Dalle frequenze relative teoriche in caso di indipendenza si possono dedurre le frequenzeassolute teoriche, moltiplicando le frequenze relative per il numero di unita' statistiche.

416. Trovare le frequenze assolute teoriche in caso di indipendenza per la distribuzioneseguente ottenuta da un collettivo di madri, che hanno partorito presso un ospedale, classi�-cate a seconda dello stato diabetico (Non diabetiche, pre-diabetiche, diabetiche) e secondo lapresenza o meno di malformazioni nel bambino nato (Nessuna, una o piu' malformazioni).

Malformazioni

Stato della madre Nessuna Una o piu' Totale

Non diabetica 754 31 785

Pre-diabetica 362 13 375

Diabetica 38 9 47

Totale 1154 53 1207

La distribuzione doppia delle frequenze relative e'

Malformazioni


94

Non diabetica 0.6247 0.0257 0.6504

Pre-diabetica 0.2999 0.0108 0.3107

Diabetica 0.0315 0.0075 0.0389

Totale 0.9561 0.0439 1.0000

Pertanto la distribuzione relativa delle frequenze teoriche e'

Malformazioni


Non diabetica 0.6218 0.0286 0.6504

Pre-diabetica 0.2970 0.0136 0.3107

Diabetica 0.0372 0.0017 0.0389

Totale 0.9561 0.0439 1.0000

Moltiplicando quest'ultima tavola per il totale di osservazioni 1207, si ottiene la tavola dellefrequenze assolute teoriche in caso di indipendenza:

Malformazioni


Non diabetica 750.5 34.5 785

Pre-diabetica 358.5 16.5 375

Diabetica 44.9 2.0 47

Totale 1154.0 53.0 1207

Le frequenze assolute teoriche possono essere numeri con la virgola. Osservando le contingenzesi vede che la tavola presenta delle frequenze teoriche molto vicine a quelle osservate tranneper una cella, quella relativa alle donne diabetiche con �gli con malformazioni. Le frequenzeteoriche in caso di indipendenza sono molto piu' basse di quelle osservate.

417. Quando di studiano due variabili continue e' bene dare un occhiata allo scatter perrendersi conto se vi e' o meno indipendenza. Le tre �gure sottostanti rappresentano duesituazioni (a sinistra e al centro) in cui vi e' indipendenza e una (a destra) in cui non vi e'indipendenza.

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x

y

5 6 7 8 9 10

02

46

810

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x

y

5 6 7 8 9 10

02

46

810

95

Infatti nei primi due casi le distribuzioni condizionate di Y j X sono uguali (approssimati-vamente) mentre nel secondo caso tali distribuzioni condizionate hanno delle medie e dellevarianze diverse fra loro. Maggiori dettagli verranno dati nella prossima lezione.

SETTIMANA 9

Confronti di medie

In questa lezione supporremo sempre che Y sia un carattere quantitativo e che X sia uncarattere qualitativo o quantitativo discreto, cioe' con un certo numero di classi. Pertanto,la popolazione risulta suddivisa in gruppi dal carattere X , dove ciascun gruppo comprendetutte le unita' che hanno la stessa modalita' di X .

9.1 Medie condizionate

Se c'e' dipendenza tra una variabile numerica Y e un carattere qualsiasi X le distribuzionicondizionate Y j X non sono uguali fra loro. Poiche' Y e' quantitativa, si possono calcolarele medie delle distribuzioni condizionate e confrontarle.

418. Ogni distribuzione condizionata di una variabile quantitativa Y dato un caratterequalsiasi X ha una media e una varianza. Come si chiamano?

Si chiamano media condizionata e varianza condizionata.

419. Come si indicano?La media condizionata di Y j (X = x) si indica con E(Y j x) o anche con �Y (x) e la

varianza condizionata si indica con var(Y j x) o anche con �2Y (x).

420. Fare degli esempi.Consideriamo l'altezza Y degli studenti di statistica e il sesso X . La tavola seguente

riporta le medie e le varianze condizionate dell'altezza dato il sesso.

Media Varianza Numero

Maschi 174.9 24.06 36

Femmine 162.0 38.36 58

Totale 166.9 72.08 94

97

98

Sesso

Alte

zza

150

160

170

180

190

maschi femmine

La distribuzione della altezza per i maschi ha una media maggiore e una varianza minorecome appare anche dallo scatter in cui si e' riportato il sesso in ascisse e l'altezza in ordinate.Le distribuzioni condizionate sono rappresentate come strisce verticali di punti (questi sonostati un po' perturbati orizzontalmente per evitare le sovrapposizioni).

421. Consideriamo un secondo esempio. Siano Y il consumo di benzina (a 120 km/h inautostrada, in litri per 100 km) e X la cilindrata suddivisa in classi: sotto 1200 cc, da 1200a 1600, da 1600 a 2000, oltre 2000 cc. I dati di Quattroruote su 193 auto, italiane ed esterepossono essere sintetizzati nella tavola e nello scatter seguenti.

Cilindrata Numero Media Varianza

sotto 1200 14 6.579 1.013

da 1200 a 1600 54 6.933 0.551

da 1600 a 2000 76 7.417 1.751

oltre 2000 49 9.314 3.522

Totale 193 7.703 2.760

Classi di cilindrata

Con

sum

o

<1200 1200 - 1600 1600 - 2000 >2000

46

810

1214

99

Lo scatter evidenzia la dipendenza delle medie condizionate del consumo dalla cilindrata.Il consumo medio aumenta all'aumentare della cilindrata. Si osserva che anche le varianzecondizionate non sono costanti, ma tendono ad aumentare con la cilindrata.

Gli esempi precedenti evidenziano una dipendenza di Y da X riscontrabile nel fatto chele medie e le varianze condizionate dipendono da X . Se ci fosse indipendenza le medie e levarianze condizionate dovrebbero essere invece uguali.

422. Dagli esempi fatti, e' semplice veri�care che la media della variabile dipendente e' unamedia ponderata delle medie condizionate. Ad esempio, per i dati sul consumo,

7:703 = 6:57914

193+ 6:933

54

193+ 7:417

76

193+ 9:314

49

193

I pesi sono le frequenze relative della variabile esplicativa (cioe' le proporzioni dei gruppi).

423. Talvolta le medie condizionate sono uguali fra loro. E' utile dare un nome a questasituazione particolare. Quando le medie condizionate E(Y j x) sono tutte uguali (e quindinon dipendono da x) si dice che Y e' indipendente in media da X .

424. Se Y e' indipendente in media da X allora la media di Y e' uguale a tutte le mediecondizionate.

Infatti, poiche' la media di Y e' la media ponderata delle medie condizionate, essendoqueste uguali fra loro, la media di Y risulta ad esse uguale.

425. Confrontare i concetti di indipendenza in media e di indipendenza in distribuzione.

Y e' indipendente in distribuzione da X se tutte le distribuzioni condizionate Y j X sonouguali alla distribuzione marginale Y . Y e' indipendente in media da X le le medie delledistribuzioni condizionate Y j X sono uguali alla media della distribuzione marginale Y .

426. Qual'e' la relazione esistente fra i due tipi di indipendenza?

L'indipendenza in distribuzione implica l'indipendenza in media (se le distribuzioni con-dizionate sono identiche, a maggior ragione sono identiche le loro medie). Tuttavia l'indipen-denza in media non e' su�ciente perche' vi sia indipendenza in distribuzione. Per questo sidice che l'indipendenza in media e' una forma piu' debole di indipendenza.

427. Lo scatter seguente esempli�ca un caso di indipendenza in media, ma di dipendenzain distribuzione. Tutte le distribuzioni condizionate hanno la stessa media E(Y j x) = 10,ma non vi e' indipendenza in distribuzione, perche' le distribuzioni condizionate sono diverse(ad esempio, le loro varianze sono evidentemente diverse).

100

X

Y

1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

510

1520

9.2 Varianza interna

428. Si osservi che, mentre

E(Y ) =Xx

E(Y j x)p(x)

cioe' la media marginale e' una media ponderata delle medie condizionate, invece, la varianzamarginale var(Y ) non e' una media ponderata delle varianze condizionate. Ad esempio, peri dati sull'altezza, la media ponderata delle varianze e'

24:0636

94+ 38:36

58

94= 32:88

che e' molto minore della varianza vera 72.08. Per i dati sul consumo, la media ponderatadelle varianze e'

1:01314

193+ 0:551

54

193+ 1:751

76

193+ 3:522

49

193= 1:811

che, anch'essa, e' minore della varianza vera 2.76.

429. Come si chiama la media ponderata delle varianze condizionate?

Si chiama varianza interna ai gruppi. I gruppi sono le classi del carattere X (esplicativo).Infatti, la varianza interna e' un indicatore medio delle varianze della variabile dipendentenelle classi.

430. Come si indica la varianza interna?

Useremo il simbolo E(var(Y j X)) che indica appunto che si tratta della media dellevarianze condizionate. Piu' precisamente la varianza interna e'

Xx

var(Y j x)p(x):

101

431. Che cosa misura la varianza interna?Essa misura la dispersione delle osservazioni attorno alle rispettive medie di gruppo. Quan-

to minore e' e tanto piu' ogni dato (appartenente a un certo gruppo) e' vicino alla media delsuo gruppo.

432. Quando la varianza interna risulta nulla?Quando in ogni gruppo le varianze sono zero, cioe' se ogni grupo e' composto da osser-

vazioni tutte uguali. Ad esempio, per le altezze e il sesso, quando tutti i maschi hanno lastessa altezza e quando le femmine hanno tutte la stessa altezza. Per i dati sul consumo delleautomobili, la varianza interna e' nulla se tutte le auto sotto 1200 cc di cilindrata hanno lostesso consumo, se tutte le auto tra 1200 e 1600 cc hanno lo stesso consumo etc.

433. Che valori puo' assumere la varianza interna?Puo' assumere valori solo positivi e al massimo uguali alla varianza del carattere Y . Infatti

la varianza interna e' sempre minore o uguale alla varianza di Y . Questo fatto concorda coni calcoli ottenuti sugli esempi.

434. Esprimere questo risultato in simboli.Risulta sempre che

varianza interna = E(var(Y j X)) � var(Y ):

9.3 Varianza tra gruppi

435. La di�erenza tra la varianza di Y e la varianza interna ai gruppi e' chiamata varianzatra gruppi.

436. Calcolare la varianza interna e varianza tra gruppi negli esempi precedenti.Nell'esempio dell'altezza la varianza interna e' 32.88, mentre la varianza tra gruppi e'

72:08� 32:88 = 39:2.Nell'esempio del consumo e della cilindrata, la varianza interna e' 1.557, mentre la varianza

tra gruppi e' 2:76� 1:811 = 0:949.

437. L'ordine di grandezza della varianza interna e della varianza tra gruppi dipende ov-viamente dall'unita di misura del carattere oggetto di studio. Per quanto detto sopra risultasempre per de�nizione la seguente scomposizione della varianza

varianza di Y = varianza interna + varianza tra gruppi

438. L'interpretazione della varianza tra gruppi e' chiarita da un risultato fondamentale.La varianza tra gruppi e' uguale sempre alla varianza delle medie condizionate, cioe'

varianza tra gruppi = var(E(Y j X)):

.

102

439. Calcolare la varianza delle medie condizionate nell'esempio della altezza.

Le medie condizionate sono 174.9 e 162, mentre la media marginale (la media di talimedie) e' 166.9. Percio' la varianza delle medie e'

(174:9� 166:9)236

94+ (162� 166:9)2

58

94= 64� 0:38 + 24:01� 0:62 = 39:2:

Come si vede questo calcolo produce lo stesso valore della varianza tra gruppi ottenuta comedi�erenza tra la varianza di Y e la varianza interna ai gruppi.

440. Calcolare la varianza tra gruppi nell'esempio del consumo.

Come prima si calcolano gli scarti al quadrato tra le medie condizionate e la media generalee se ne fa la media ponderata con pesi uguali alle proporzioni di unita' nei gruppi:

(6:579�7:703)214

193+(6:933�7:703)2

54

193+(7:417�7:703)2

76

193+(9:314�7:703)2

49

193= 0:949

che e' uguale alla varianza generale meno la varianza interna.

441. Che cosa misura la varianza tra gruppi?

La varianza tra gruppi misura la variabilita' esistente tra i gruppi, o meglio, la varianzadelle loro medie rispetto alla media generale.

442. Come si denota la varianza tra gruppi?

Useremo il simbolo var(E(Y j X)). Piu' precisamente, la varianza tra gruppi e'

Xx

(E(Y j x)� E(Y ))2p(x):

443. Qual'e' l'interpretazione della varianza tra gruppi?

Quanto piu' e' piccola la varianza tra gruppi e tanto meno diverse fra loro sono le mediecondizionate. Quanto piu' e' grande e tanto piu' di�eriscono fra loro le medie dei gruppi.

444. Qual'e' il valore minimo della varianza tra gruppi?

Essendo una varianza, la varianza tra gruppi e' sempre positiva. Al minimo puo' valerezero e questo avviene quando le medie dei gruppi sono uguali fra loro. Pertanto e' zero quandoc'e' indipendenza in media di Y daX . Nell'esempio delle altezze una varianza tra gruppi nullasigni�cherebbe che i maschi e le altezze hanno la stessa altezza media. Nell'esempio del con-sumo, invece, implicherebbe che il consumo medio non dipende dalla cilindrata. Ovviamente,in questi due esempi ci aspettiamo invece una varianza tra gruppi diversa da zero.

Se la varianza tra gruppi e' zero, naturalmente la varianza interna e' uguale alla varianzamarginale. Infatti, essa e' la di�erenza tra la varianza marginale e la varianza interna.

103

445. Qual'e' il valore massimo della varianza tra gruppi?

Al massimo la varianza tra gruppi puo' essere uguale alla varianza marginale e questoavviene quando la varianza interna e' zero, cioe' quando la variabilita' e' nulla nei gruppi.Percio' si hanno le due situazioni opposte seguenti

Indipendenza in media Variabilita' nulla nei gruppiVarianza interna massima zeroVarianza tra gruppi zero massima

446. Riassumere i concetti di varianza interna e varianza tra gruppi.

Nello studio della dipendenza in media di Y da X e' fondamentale l'analisi delle mediecondizionate E(Y j x) e delle varianze condizionate var(Y j x). La varianza tra gruppi e' lavarianza delle medie e misura quanto queste sono diverse. La varianza interna e' la media dellevarianze e misura quanta variabilita' c'e' nei gruppi. Nei calcoli delle medie e delle varianzesi usano le frequenze marginali p(x) per dare un peso diverso alle distribuzioni condizionate.

447. Riassumere il signi�cato della varianza interna zero e della varianza tra gruppi zero.

La varianza interna e' nulla solo se le tutte le varianze dei gruppi sono zero. Cioe', neigruppi tutte le osservazioni sono uguali alla media. In questa situazione tutta la variabilita'var(Y ) e' il risultato delle di�erenze tra le medie dei gruppi. Infatti, se la varianza internae' zero, la varianza di Y e' uguale alla varianza tra gruppi. E' la situazione di massimadipendenza tra Y e X .

La varianza tra gruppi e' zero solo se tutte le medie condizionate sono uguali. E' lasituazione di indipendenza in media di Y da X . La variabilita' var(Y ) in questo caso e'dovuta alle di�erenze tra i dati e la media generale e non a di�erenze tra le medie dei gruppi.

448. Dare una interpretazione della scomposizione della varianza.

La varianza di Y e' la somma di due componenti: la varianza tra i gruppi e la varianzainterna. Quindi la variabilita' generale e' imputabile in parte alle di�erenze delle medierispetto alla media generale (variabilita' tra gruppi) e in parte alle di�erenze delle osservazionirispetto alla propria media (variabilita' interna). Si dice percio' che la variabilita' in parte `e'spiegata' dalle di�erenze tra i gruppi e in parte dalle di�erenze entro i gruppi.

449. Un indice importante e' il rapporto tra la varianza fra gruppi e la varianza marginale.Tale indice e' denotato con �2Y X (eta quadro)

�2Y X =varianza tra gruppi

var(Y )

ed e' chiamato rapporto di correlazione. Di solito e' riportato in forma percentuale.

450. Come si interpreta il rapporto di correlazione?Il rapporto di correlazione indica quanta parte della varianza marginale e' spiegata dalle

di�erenze tra i gruppi cioe' dalle modalita' del carattere esplicativo X .

104

451. Esprimere il rapporto di correlazione in funzione della varianza interna e della varianzamarginale.

Ovviamente risulta

�2Y X = 1� varianza interna

var(Y ):

452. Qual'e' il campo di variazione del rapporto di correlazione?

Il rapporto di correlazione, essendo un rapporto di una parte a tutta la varianza, e' unaproporzione sempre compresa tra 0 e 1.

453. Come si interpreta il caso �2 = 0?

Il rapporto di correlazione e' zero solo se la varianza tra gruppi e' zero, cioe' se vi e'indipendenza in media tra Y e X .

454. Come si interpreta il caso �2 = 1?

Il rapporto di correlazione e' 1 solo se la varianza interna e' zero e la varianza tra gruppie' uguale alla varianza marginale, cioe' se la variabilita' e' tutta dovuta alle di�erenze tra lemedie di gruppo. Cioe' entro i gruppi le osservazioni sono uguali.

455. Come si interpretano i casi intermedi?

Quanto piu' il coe�ciente si avvicina a zero e tanto piu' ci si avvicina alla situazione diindipendenza in media di Y da X . Quanto piu' �2 si avvicina a 1 e tanto maggiore e' il gradodi dipendenza in media di Y da X .

456. Calcolare il rapporto di correlazione nell'esempio delle altezze.

Nell'esempio dello studio della dipendenza dell'altezza dal sesso si ha la seguente scompo-sizione della varianza della altezza

Variabile dipendente: altezza Esplicativa: sesso

Fonte della variabilita' Valore Percentuale

Esterna 39.20 54.38

Interna 32.88 45.61

Totale 72.08 100.00

Il rapporto di correlazione e' �2 = 39:2=72:08 = 0:5438: Dunque la variabilita' delle altezzee' dovuta al sesso per il 54.4%. Per il restante 45.6% la variabilita' delle altezze e' dovuta afattori diversi non riconducibili al sesso, cioe' alla variabilita' intrinseca delle altezze all'internodel gruppo dei maschi e delle femmine. Il valore di �2 e' abbastanza alto da fare escluderel'indipendenza in media dell'altezza dal sesso.

457. Calcolare il rapporto di correlazione nell'esempio dei consumi.

Costruendo anche in questo caso la tavola di scomposizione della varianza

105

Variabile dipendente: consumo Esplicativa: classi di cilindrata

Fonte della variabilita' Valore Percentuale

Esterna 0.949 34.38

Interna 1.811 65.62

Totale 2.760 100.00

si ottiene un rapporto di correlazione del 34.4%. Pertanto, si conclude che la variabilita' deiconsumi e' imputabile per circa il 35% alle diverse classi di cilindrata delle auto e per il 65%ad altri fattori.

458. Si osservi il gra�co seguente. Esso rappresenta due scatter. Nel primo a sinistra ci sonodue gruppi: le medie condizionate sono 5 e 10 e le varianze condizionate sono uguali a 1. Nelsecondo ci sono ancora due gruppi: le distribuzioni hanno sempre medie condizionate 5 e 10,ma le varianze condizionate sono uguali a 4. I gruppi sono tutti composti da 50 osservazioni.

X

Y

1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0

05

1015

sqm=1

X

Y

1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0

05

1015

sqm=2

Percio', in entrambi i casi, le medie di�eriscono di 5 e la media generale e' 7.5, quindi levarianze esterne sono eguali. Tuttavia, le varianze interne sono diverse: nel primo esempio lavarianza interna e' piu' bassa, mentre nel secondo e' piu' alta. Quindi anche se la di�erenzatra le medie e' la stessa, nel secondo esempio la separazione tra i gruppi e' piu' netta. Questoporta a concludere che la dipendenza in media di Y da X e' piu' marcata. Le considerazioniprecedenti suggeriscono che non e' opportuno usare la varianza tra gruppi come misura delladipendenza in media.

Invece il rapporto di correlazione ri ette la situazione. Infatti, la varianza tra gruppi e',in entrambi i casi,

(5� 7:5)250

100+ (10� 7:5)2

50

100= 6:25

mentre le varianze interne sono, rispettivamente 1 50

100+ 1 50

100= 1 e 4 50

100+ 4 50

100= 4. Percio' i

rapporti di correlazione sono, rispettivamente, �2 = 6:25=(1+6:25) = 0:8621 e �2 = 6:25=(4+6:25) = 0:6098: Quindi, nel primo caso, i due gruppi spiegano circa l'86% della variabilita',mentre nel secondo essi spiegano solo il 60%.

106

459. Gli esempi e la discussione precedente mettono in luce vari aspetti legati al rapporto dicorrelazione. (a) Si tratta di un numero adimensionale (e' una percentuale). (b) Permette dimisurare il grado di dipendenza di Y da X determinando la parte di variabilita' spiegata dalleclassi del carattere esplicativo. (c) Ovviamente, per poterlo calcolare occorre che la variabiledipendente sia quantitativa e il carattere esplicativo sia suddiviso in classi.

SETTIMANA 10

Regressione

In questa lezione consideriamo la dipendenza di un carattere quantitativo Y da un carattereesplicativo X quantitativo. Alla base delle tecniche introdotte sta il problema concreto dellamisura dell'e�etto di una variabile X su una variabile Y . Percio', e' opportuno ricordare ildiverso ruolo (esplicativo, dipendente) svolto dalle due variabili.

10.1 Funzione di regressione

460. Se X ha un certo numero di modalita' x e se per ciascuna modalita' x si calcola lamedia condizionata E(Y j x), l'insieme delle coppie di valori (x;E(Y jx)) e' chiamato funzionedi regressione di Y da X .

461. Un esempio gia' visto piu' volte nelle lezioni scorse e' quello dell'altezza e del numerodi scarpe di un collettivo di studenti. I dati completi sono riportati nella tabella seguente,in cui ogni riga rappresenta una distribuzione condizionata dell'altezza, dato il numero discarpe.

Scarpe Altezza

35 : 150 150 153 155 162

36 : 150 150 152 156 158 160 160 162 165

36.5 : 165

37 : 150 152 159 160 160 160 160 160 162 165 167 170 170

38 : 154 157 160 160 161 163 163 164 164 165 165 170

39 : 162 163 163 164 164 165 165 166 166 170 170 170 170 173 175

40 : 163 165 170 170 170 172 172

41 : 165 166 170 170 173 173 173 174 175 179

42 : 169 171 175 175 175 175 178 180

42.5 : 170 176

43 : 173 178 180

44 : 176 178 179 185 187

45 : 173 180 180 182

107

108

Se si calcola, per ogni riga, la media condizionata delle altezze si ottiene il prospettoseguente,

Scarpe Altezza media

35 154.0

36 157.0

36.5 165.0

37 161.2

38 162.2

39 167.1

40 168.9

41 171.8

42 174.8

42.5 173.0

43 177.0

44 181.0

45 178.8

Il prospetto de�nisce la funzione di regressione dell'altezza dal numero di scarpe.

462. Che cos'e' una funzione?Una funzione e' una corrispondenza che associa ad ogni numero x appartenente a un certo

insieme uno e un solo numero y = f(x). La funzione e' indicata talvolta con x 7! f(x).Se i possibili x sono in numero �nito, la funzione e' perfettamente de�nita dalla tabella

dei valori x, f(x) per tutti i possibili x. E' comunque possibile rappresentare gra�camente lecoppie di valori associati (x; f(x)) su un sistema di assi coordinati. Il luogo dei punti (x; f(x))si dice gra�co della funzione.

Ad esempio, la funzione radice quadrata associa ad ogni numero x positivo un numeropositivo y =

px che e' la sua radice quadrata. In questo caso non e' possibile de�nire tutta

la funzione con una tabella perche' le modalita' non sono �nite. Il gra�co della funzione e'riportato nella �gura sottostante.

x

y

0 5 10 15 20 25

01

23

45

Grafico della radice quadrata

463. Allo stesso modo la funzione di regressione x 7! E(Y j x) associa ad ogni modalita'di un carattere X la media della distribuzione condizionata di un altro carattere Y , �ssatoX = x.

109

464. Anche la funzione di regressione puo' essere rappresentata su un sistema di assi car-tesiani e, spesso, viene riportata sullo stesso scatter. Disegnare la funzione di regressionedell'altezza rispetto al numero di scarpe.

Riportando i punti (x;E(Y j x)) sul diagramma, si ottiene il gra�co seguente.

Scarpe

Alte

zza

36 38 40 42 44

150

160

170

180

Funzione di regressione dell’altezza dal numero di scarpe

I punti sono stati uniti da segmenti per evidenziare l'andamento della funzione.

465. Se le variabili X e Y sono continue, e' possibile che ad ogni determinazione x di Xsia associata una determinazione di Y . Pertanto ogni distribuzione condizionata ha una solaosservazione. In teoria, la media condizionata E(Y j x) e' uguale a quell'unico valore. Lafunzione di regressione e' pertanto lo stesso scatter.

Tuttavia, spesso e' opportuno suddividere in classi il carattere X e calcolare le mediacondizionate per ogni classe, al �ne di \lisciare" l'andamento della funzione di regressione.Ad esempio, si considerino i dati seguenti rilevati su un collettivo di 40 famiglie, tutte composteda 3 componenti. Le variabili sono X , il reddito mensile, e Y , la spesa per generi alimentari(entrambe in migliaia di lire).

Reddito Spesa Reddito Spesa Reddito Spesa Reddito Spesa

1 761.1 249.7 11 1490.5 513.7 21 1900.3 469.1 31 2180.0 807.3

2 905.8 278.8 12 1553.1 470.7 22 1900.8 592.4 32 2200.0 1085.6

3 1122.0 391.0 13 1561.0 866.2 23 1906.9 603.8 33 2202.0 406.0

4 1234.2 573.1 14 1603.3 584.2 24 1906.9 700.1 34 2424.0 471.8

5 1274.9 601.7 15 1613.6 619.3 25 1938.8 554.4 35 2424.0 674.3

6 1287.5 480.2 16 1665.8 443.8 26 1960.2 990.5 36 2454.0 1029.6

7 1310.8 580.8 17 1741.3 563.6 27 1974.0 572.6 37 2512.0 539.6

8 1371.2 478.4 18 1753.0 392.6 28 2015.0 723.4 38 2677.0 794.6

9 1434.3 610.6 19 1859.1 871.2 29 2139.0 810.2 39 3013.0 551.8

10 1448.6 501.6 20 1860.7 665.0 30 2161.0 516.4 40 3048.0 1285.9

Scegliendo delle classi di reddito, ad esempio, meno di 1 milione, [1000; 1500), [1500; 2000),[2000; 2500), 2 milioni e mezzo e oltre al mese, si ottengono le medie condizionate

Classi < 1000 1000 - 1500 1500 - 2000 2000 - 2500 2500+

Punti centrali 850 1250 1750 2250 2750

Medie 264.2 525.7 622.5 725 793

110

La funzione di regressione si puo' disegnare riportando sullo scatter i punti aventi comecoordinate i punti centrali delle classi e le medie ed in�ne unendoli con dei segmenti.

Reddito

Spe

sa

1000 1500 2000 2500 3000

400

600

800

1200

Funzione di regressione della spesa dato il reddito

466. La funzione di regressione permette di studiare come varia la media della variabiledipendente per valori �ssati della variabile esplicativa. In tal senso e' utile per studiare ladipendenza in media. Dato che X e' quantitativa, la funzione di regressione suggerisce unalegge di variazione di Y in funzione di X .

Ad esempio, i due esempi precedenti suggeriscono che l'altezza media e' una funzionecrescente del numero di scarpe. Analogamente la spesa e' una funzione crescente del reddito.

L'origine del termine regressione risale alle prime applicazioni di questa tecnica allo studiodella dipendenza dell'altezza dei �gli dall'altezza dei padri (Galton, 1986). Galton osservo'che la statura media dei �gli tendeva a crescere con la statura del padre, ma non allo stessolivello (padri piu' alti tendono ad avere �gli alti, ma un po' piu' bassi di loro; padri piu' bassitendono ad avere �gli bassi ma piu' alti di loro). Egli chiamo' questo fenomeno regressioneverso la mediocrita'.

467. La funzione di regressione di X da Y e' uguale alla funzione di regressione di Y datoX?

No, e' diversa, in generale. Questo fatto e' opportuno perche' lo studio della dipendenzae' per sua natura asimmetrico.

468. A conferma delle considerazioni precedenti, si studi la funzione di regressione delnumero di scarpe dall'altezza.

L'altezza ha un numero troppo elevato di modalita', per cui e' opportuno suddividerla inclassi. Ad esempio,

Classi < 155 155 - 160 160 - 165 165 - 170 170 - 175 175 - 180 180+

Punti centrali 151.5 157.5 162.5 167.5 172.5 177.5 183.5

Medie 36.2 36.92 38.15 39.47 41.31 43.23 44.5

111

Il gra�co di (y; E(X j y)) e' stato riportato sullo stesso scatter, visto sopra, con in ascisse ilnumero di scarpe e in ordinate l'altezza. Per questo si sono rappresentati i punti (E(X j y); y)con le coordinate scambiate.

Scarpe

Alte

zza

36 38 40 42 44

150

160

170

180

Funzione di regressione del numero di scarpe dall’altezza

469. In molti fenomeni si osserva una funzione di regressione decrescente. Ad esempio, se Xe' la cilindrata e Y e' il consumo, in km con un litro, ci si attende che, in media, all'aumentaredella cilindrata diminuiscano i km percorsi con un litro di benzina. Il diagramma seguentee' costruito dai dati di Quattroruote (Y e' il consumo urbano in km per un litro e X e' lacilindrata in cc). La funzione di regressione e' decrescente.

x

y

1000 2000 3000 4000 5000 6000

510

1520

Cilindrata

Km

con

un

litro

470. Spesso, come negli esempi fatti �n qui, la funzione di regressione e' monot�ona, cioe' ocrescente, o decrescente. Talvolta essa non e' monot�ona nel senso che per certi valori di x e'crescente e per altri e' decrescente.

112

Esempi tipici di questo comportamento sono certe serie storiche. Ad esempio, nel gra�coseguente e' rappresentata la serie storica (mensile) dei tassi di natalita' cioe' del numero dinati ogni 1000 abitanti per gli Stati Uniti dal 1940 al 1947. (U. S. Department of Health,Education and Welfare, National Center for Health Statistics, series 21, no. 9).

1940 1941 1942 1943 1944 1945 1946 1947 1948

1520

2530

Tasso di natalita’ in USA

Nelle serie storiche, la variabile X e' particolare perche' rappresenta il tempo a cui e' stata fattala rilevazione. Di solito, inoltre, per ogni tempo, esiste un solo valore di Y , come nell'esempiodei tassi di natalita'. Spesso, anche se non sempre, il dato rilevato di Y e' aggregato e quindipuo' essere pensato come un dato medio.

La funzione di regressione nel caso delle serie e' chiamata comunemente trend della serie,cioe' andamento di fondo tendenziale. Nella serie esempli�cata il trend non e' monot�ono, masegue delle uttuazioni, in parte stagionali entro l'anno (il minimo e' all'inizio dell'estate eil massimo in autunno), in parte dovute a fatti congiunturali (la rapida crescita del tasso dinatalita' inizia circa 9 mesi dopo il rientro delle truppe americane dopo la seconda guerramondiale).

10.2 Varianze condizionate

471. La funzione di regressione e' il luogo delle medie condizionate. Le medie condizionatenon sono i soli aspetti delle distribuzioni condizionate che cambiano al variare di X . Spessoanche le varianze condizionate var(Y j x) cambiano. Questo si puo' vedere facilmente dagliscatter degli esempi precedenti.

Se dispersione verticale dei punti attorno alla funzione di regressione e' piu' o meno co-stante, vuol dire che le varianze condizionate sono costanti. Questo e' il caso, per esempio,delle distribuzioni condizionate dell'altezza dato il numero di scarpe.

Se, al contrario, i punti hanno una dispersione che varia al variare di x (dando luogotipicamente a delle forme `a megafono') cio' signi�ca che le varianze condizionate sono diver-se. Ad esempio, le distribuzioni condizionate della spesa dato il reddito hanno varianze checrescono al crescere del reddito. Cio' signi�ca che la variabilita' della spesa e' minore per lefamiglie con i redditi bassi e va via via crescendo per le famiglie con i redditi piu' alti.

472. Come si comportano le varianze condizionate nell'esempio del consumo e della cilin-drata?

113

Le varianze prima aumentano e poi diminuiscono all'aumentare della cilindrata. La va-riabilita' nel numero di km con un litro e' minore per le vetture con una cilindrata maggiore.Per le vetture di media cilindrata la variabilita' e' massima. Per le utilitarie la variabilita' delconsumo e' minore.

473. Si osservi che una determinazione della distribuzione condizionata Y j (X = x),chiamiamola y j x si puo' sempre scomporre nel modo seguente

y j x = E(Y j x) + fY j x� E(Y j x)g = E(Y j x) + " j x

dove " j x e' lo scostamento tra il dato e la sua media. Se questo scostamento fosse nullo,il dato sarebbe esattamente uguale alla media condizionata e dunque Y sarebbe funzioneesatta di X seguendo perfettamente la funzione di regressione. In generale, tutti i fenomeniosservati presentano, in maggiore o minor misura, un certo grado di variabilita' attorno allafunzione di regressione. E' quindi importante ricordare la relazione fondamentale precedente,che potremmo sintetizzare come

risposta = funzione di regressione + perturbazione

dove con risposta si indica la variabile dipendente e con perturbazione lo scostamento tra ildato e la media condizionata.

10.3 Approssimazioni analitiche

474. La funzione di regressione e' una sintesi della distribuzione doppia, tuttavia non e' unasintesi particolarmente maneggevole.

Infatti, e' necessario trovare le medie condizionate per un certo numero di valori di X .Quindi se si hanno, per esempio, 6 valori di X occorre costruire una tavola di 6 coppie di nu-meri (x; �Y (x)), dove, lo ricordiamo, �Y (x) e' un altro modo di indicare la medie condizionatadi Y j (X = x).

Questa di�colta' nasce dunque dal fatto che la funzione di regressione e' costruita perpunti e non e' una funzione de�nita da una formula (una funzione analitica). Se, per esempio,la funzione di regressione fosse esattamente

�Y (x) =px

l'andamento della media di Y in funzione di x pootrebbe essere riassunto semplicementecon una radice quadrata. Ossia, basterebbe ricordare che per ogni valore di x la mediacondizionata e' la radice quadrata di x.

475. Viste le considerazioni precedenti, spesso si cerca di sostituire alla funzione di regres-sione vera una funzione analitica approssimata f(x). La funzione analitica e' un modo perriassumere la funzione di regressione.

114

476. Talvolta la funzione analitica viene usata per de�nire la relazione teorica tra unavariabile statistica Y e una variabile esplicativa X .

Dal punto di vista statistico, la relazione tra due variabili non viene concepita come unarelazione matematica funzionale del tipo

y = f(x)

ma come una relazione funzionale perturbata del tipo

y = f(x) + ":

dove f(x) e' appunto la funzione di regressione teorica e " e' la di�erenza tra i dati e lafunzione stessa.

10.4 Funzione di regressione lineare

477. Osservando l'andamento della funzione di regressione su esempi concreti si osserva cheesso somiglia spesso a quello di funzioni analitiche semplici, ad esempio spesso e' lineare. Inquasi tutti gli esempi fatti in precedenza, salvo il caso della serie storica dei tassi di natalita',la funzione di regressione non si discosta molto da una retta. Pertanto e' naturale sostiturealla funzione di regressione vera una funzione lineare.

478. Che cos'e' una funzione lineare?

E' una funzione per i cui punti (x; y = f(x)) sono tutti allineati. Il suo gra�co e' pertantoquello di una retta. La funzione lineare, per de�nizione, ha la forma

y = �+ �x

dove � e � indicano due numeri reali. Talvolta si dice che y = � + �x e' l'equazione di unaretta.

479. Che cosa bisogna conoscere per de�nire l'equazione di una retta?

L'equazione della retta e' completamente determinata dai due coe�cienti � e �.

480. Qual'e' il signi�cato dei due coe�cienti � e � nell'equazione di una retta?

Facciamo un esempio. Supponiamo che � = 2 e � = 1 e che dunque l'equazione dellaretta sia

y = 2 + x

Il gra�co della funzione e' disegnato nella �gura sottostante, in alto a sinistra.

115

x

y

-2 2 4 6 8 10-2

2

4

6

8

10

E(Y|x) = 2 + 1 x

x

y

-2 2 4 6 8 10-2

2

4

6

8

10

E(Y|x) = 0 + 0.5 x

x

y

-2 2 4 6 8 10-2

2

4

6

8

10

E(Y|x) = 8 - 1.5 x

x

y

-2 2 4 6 8 10-2

2

4

6

8

10

E(Y|x) = 4 + 0 x

Il coe�ciente 2, detto anche termine costante, indica l'ordinata del punto in cui la rettaincontra l'asse verticale e cioe' � e' il valore di y quando x vale zero.

Il coe�ciente � denota la pendenza (o coe�ciente angolare) della retta che indica diquanto varia y se x varia di 1. In questo esempio, � = 1 indica che se si fa crescere un xqualsiasi di 1, la funzione aumenta di 1. In altri termini se si considerano due valori qualsiasix e x0 la cui di�erenza e' 1, i valori corrispondenti 2 + x e 2 + x0 di�eriscono di 1 (veri�careprendendo per esempio x = 11 e x0 = 10). Si osservi che la retta si alza di 1 ogni volta che xsi sposta a destra di 1.

Nella �gura, in alto a destra e' rappresentata la retta

y = 0 + 0:5x

La pendenza di questa retta e' 0:5 cioe' ad ogni aumento unitario di x, corrisponde un aumentodi 0:5 di y. Ovvero, se si considerano due valori qualsiasi x e x0 la cui di�erenza e' 1, i valoricorrispondenti 0:5x e 0:5x0 di�eriscono di 0.5 (veri�care prendendo per esempio x = 11 ex0 = 10). Si osservi che sul gra�co la retta si alza di 1=2 ogni volta che x si sposta a destradi 1.

La pendenza puo' essere positiva, negativa o nulla. E' negativa se il coe�ciente � e'negativo, e' nulla se e' zero. Nella �gura a sinistra in basso e' disegnata una retta con la

116

pendenza negativa

y = 8� 1:5x:

Ogni incremento unitario di x da' luogo a una variazione negativa, cioe' a una diminuzione di�1:5 in y. Si osservi che sul gra�co la retta scende di 11

2ogni volta che x si sposta a destra

di 1.

La retta passa inoltre per il punto (0; 8), cioe' y e' 8 quando x = 0.

Nell'ultima �gura a destra in basso e' disegnata una retta con pendenza zero

y = 4+ 0 � x

La retta e' parallela all'asse delle ascisse. Ogni incremento di 1 in x non comporta alcunavariazione in y.

481. Qual'e' la caratteristica fondamentale di una funzione lineare?

E' il fatto di avere la pendenza costante. Cioe' la pendenza e' sempre la stessa ed ugualea �. La pendenza di una funzione y = f(x) in due punti x e x0 e' per de�nizione il rapporto

f(x)� f(x0)

x� x0

ed esso dipende, in generale, dai punti x e x0 scelti. Basta fare qualche prova con la funzioney =

px per notare che la pendenza e' maggiore per x e x0 vicini a zero e minore per x e x0

lontani da zero (guardare il gra�co della funzione).

Invece, per le funzioni lineari f(x) = � + �x avviene che la pendenza e'

(�+ �x)� (�+ �x0)

x� x0=

�(x� x0)

x � x0= �

qualsiasi siano x e x0. Per questo motivo la pendenza � contiene tutta l'informazione neces-saria per capire il modo con cui varia y al variare di x.

482. Come si calcola la pendenza di una retta?

Basta considerare due valori diversi x e x0 e i corrispondenti valori f(x) = � + �x ef(x0) = � + �x0 e costruire il rapporto

� =f(x)� f(x0)

x� x0:

La pendenza e' dunque il rapporto tra la variazione di y e la variazione di x.

483. Da � si puo' dedurre se la retta cresce o decresce?

Si'. Se � > 0 la retta e' crescente, se � < 0 la retta e' decrescente, se � = 0, la retta e'costante.

117

484. Che cosa e' una funzione di regressione lineare?

Puo' essere vista in due modi. (a) Come funzione di regressione teorica del tipo

E(Y j x) = �+ �x

(b) Come un modo matematico per riassumere in modo semplice l'andamento delle mediecondizionate anche quando non seguono esattamente tale legge. Infatti, in taluni casi, anchese la funzione di regressione non e' esattamente lineare e' conveniente sacri�care l'esattezzaalla semplicita'.

485. Quando e perche' viene usata una funzione di regressione approssimata lineare?

(a) Quando la funzione di regressione e' monotona e non evidenzia una curvatura notevole.

(b) Quando la funzione di regressione e' non lineare, ma viene ridotto il campo di variazionedi X . In questo caso, delle approssimazioni lineari sono spesso adeguate.

(c) Perche' e' una funzione semplice. Supponiamo infatti di poter determinare una fun-zione di regressione lineare che non si discosta molto dalla vera funzione di regressione. In talcaso possiamo disporre di un modo estremamente sintetico per descrivere l'andamento dellamedia di Y j x in funzione di x. Infatti, sarebbe su�ciente ricordare i due valori � e � percogliere l'intera funzione di regressione.

(d) Perche' e' facile da capire e da comunicare.

(e) Perche' talvolta e' possibile ottenere una funzione di regressione lineare trasformandole variabili.

486. Qual'e' l'interpretazione di � e � per una funzione di regressione (esattamente) lineare?

Il coe�ciente � e' il valore di y quando x = 0 cioe' e' la media condizionata E(Y j X = 0).Questo coe�ciente ha un senso se si dispone di dati per X = 0.

Il coe�ciente � e' la variazione della media condizionata E(Y j X) se X aumenta di1. Meglio, e' la di�erenza tra le medie condizionate E(Y j x) e E(Y j x + 1). Esprimecioe' la di�erenza che c'e' tra le medie della variabile dipendente in due sottopopolazioni chedi�eriscono di 1 nella variabile esplicativa.

487. Ad esempio, supponiamo che la funzione di regressione dell'altezza dal numero discarpe sia

E(altezza j scarpe) = 60 + 2:5� scarpe:

Come si interpreta?

I due coe�cienti � = 60 e � = 2:5 riassumono gli aspetti salienti della relazione tral'altezza media e il numero di scarpe. In particolare, possiamo dire che, se il numero di scarpeaumenta di un numero l'altezza aumenta di 2.5 cm. Naturalmente, questa espressione e' unmodo comodo per esprimere una relazione complessa. Non e' possibile cioe' fare aumentare ilnumero di scarpe di 1 e vedere cosa succede all'altezza. Tuttavia se la funzione di regressionee' quella speci�cata sopra, e' vero che se si considerano due sottopopolazioni di individui chedi�eriscono di 1 nel numero di scarpe, le loro altezze medie di�eriscono di 2.5 cm.

118

488. Se la funzione di regressione della spesa dal reddito fosse

E(spesa j reddito) = 190 + 0:25� reddito

come si dovrebbe interpretare?L'e�etto del reddito sulla spesa e' racchiuso nel coe�ciente �. Pertanto se il reddito

aumenta di 1 (migliaia di lire) la spesa aumenta di 0.25 (migliaia di lire). Analogamente, seil reddito mensile aumentasse di 100 mila lire la spesa aumenterebbe di 250 mila lire.

489. Non si interpreta mai �?Raramente. Poiche' � e' il valore medio di Y quando X e' uguale a zero, deve avere un

senso porre X uguale a zero. In molte applicazioni quando X e' zero esso perde di signi�catoconcreto e quindi l'interpretazione di � e' ridicola. Inoltre, occorre tener conto che unafunzione lineare e' teoricamente de�nita per x che va da �1 a +1, mentre nelle applicazioniovviamente x ha un campo di variazione limitato, che spesso non comprende lo zero. Quindiil signi�cato della funzione di regressione lineare va limitato a quell'intervallo. Dunque, se ilcampo di variazione della variabile non comprende lo zero, non ha senso interpretare �.

Nell'esempio dell'altezza, ha poco senso interpretare il termine costante 60 come l'altezzamedia quando il numero di scarpe e' zero.

Nell'esempio della spesa, il termine costante 190 ha il signi�cato di spesa media quando ilreddito e' zero. Pertanto corrisponde a quello che gli economisti chiamano consumo autonomoe cioe' e' la spesa che comunque una famiglia sostiene per nutrirsi anche se il suo reddito e'nullo. Anche se il termine costante in questo caso ha un signi�cato teorico (perche' in teoriail reddito potrebbe assumere un valore zero), dal punto di vista empirico non e' giusto consi-derare 190 come una stima precisa del consumo autonomo, perche' il campo di variazione deiredditi osservati e' compreso tra 1 milione e 3 milioni al mese circa, senza alcuna osservazionesulla spesa di famiglie aventi un reddito zero o prossimo allo zero.

490. Qual'e' l'unita' di misura di � e �?L'unita' di misura di � e' quella di della variabile dipendente Y , dato che � = E(Y j x)

e' una media di Y condizionata a X = 0.Invece l'unita' di misura di � e' il rapporto tra l'unita' di Y e l'unita' di X . Ad esempio,

se � = 2:5 per la funzione di regressione dell'altezza dal numero di scarpe, signi�ca 2.5 cmper numero di scarpe. Infatti, la pendenza della retta e' il rapporto tra la variazione di Yrispetto alla variazione di X .

Nell'esempio della spesa e del reddito la paendenza � = 0:25 e' espressa in migliaia di liredi spesa per ogni migliaio di lire di reddito.

SETTIMANA 11

Interpolazione

In questa lezione si parla di come si approssima una funzione di regressione con una funzionelineare. E' il seguito naturale della lezione sulla regressione. Se si riesce a sintetizzare lafunzione di regressione con una retta, e' su�ciente riportare i coe�cienti della retta (in modoparticolare la pendenza) per riassumere sinteticamente come varia Y al variare di X . Anche inquesta lezione Y eX sono rispettivamente una variabile dipendente e una variabile esplicativa,entrambe quantitative.

11.1 Tipi di interpolazione

491. Volendo approssimare la funzione di regressione, usando una funzione analitica f(x),quali �nalita' si devono tenere presenti?

(a) Innanzitutto si vuole riassumere la funzione di regressione, con una funzione semplice,che dipende, cioe', da pochi coe�cienti. Di modo che l'intera funzione di regressione si possadescrivere approssimativamente conoscendo questi coe�cienti.

(b) Talvolta l'approssimazione e' utilizzata per lisciare la funzione di regressione cheappare troppo irregolare.

(c) Una delle �nalita' e' anche quella di interpolare le medie condizionate, cioe' di stimarele medie condizionate per dei valori di x interni al campo di variazione di X per cui questenon si conoscono.

(d) In�ne talvolta una delle �nalita' e' quella di estrapolare le medie condizionate, cioe'di stimare le medie condizionate per dei valori di X esterni (ma non troppo) al campo divariazione.

492. Il processo con cui si adatta una funzione di regressione e' chiamato interpolazionestatistica.

119

120

493. Che cos'e' l'interpolazione statistica?Per interpolazione statistica si intende far passare una funzione tra le distribuzioni condi-

zionate di Y j X in modo che tale funzione riassuma la funzione di regressione.

494. Se f(x) e' la funzione interpolata, il valore calcolato in corrispondenza di un dato x e'uguale al valore osservato di y?

No, perche' la funzione non passa per tutti i punti osservati (x; y). Infatti, con l'interpo-lazione statistica si tollera che possa esistere una discrepanza tra il dato osservato y j x (cioe'il dato in corrispondenza di un certo valore di x) e il dato interpolato f(x). La di�erenza trail dato osservato e il dato interpolato e' stata indicata anche in precedenza con

" j x = y j x� f(x):

Essa e' dunque lo scostamento tra l'osservazione relativa a una certa unita' e il dato medioottenuto per interpolazione. E' giusto infatti che esista un certo grado di variabilita' attornoalla funzione interpolata dovuto alle particolarita' individuali che fanno si che il dato osservatosi discosti dalla tendenza media di fondo.

495. Si ottiene dunque la relazione base, piu' volte sottolineata

y j x = f(x) + " j xche puo' essere illustrata gra�camente come segue.

0 x

0

f(x)

y|x

Nella �gura f(x) e' una funzione lineare e passa attraverso le distribuzioni condizionate. Loscostamento " j x e' la di�erenza tra l'ordinata del punto e l'ordinata della sua proiezioneverticale sulla funzione.

496. Lo scostamento e' la lunghezza del segmento che unisce i due punti?No, perche' una lunghezza e' sempre positiva, mentre lo scostamento puo' essere positivo

(se il punto e' sopra la funzione) o negativo (se e' sotto).

121

11.2 Interpolazione per punti

497. Perche' non si interpola una funzione su�cientemente essibile che passi per tutti ipunti in modo da annullare esattamente gli scostamenti?

Interpolare una funzione in modo che passi per tutti i punti si dice interpolazione perpunti o interpolazione matematica. L'interpolazione per punti ha delle �nalita' diverse dal-l'interpolazione statistica ed e' in generale poco utile a �ni statistici per vari motivi. Il casopiu' semplice di interpolazione matematica e' l'interpolazione lineare.

498. Che cosa signi�ca interpolazione lineare?

Facciamo un esempio. Sappiamo, dai dati degli studenti, (vedi lezione precedente) che chiha numero di scarpe 43 e' alto in media 177 cm mentre chi ha numero di scarpe 36 e' altoin media 157 cm. Usando queste sole informazioni, potremmo tentare di ricostruire quantoe' alto chi ha numero di scarpe 40? Una tecnica molto usata e' quella dell'interpolazionelineare. Essa procede in due passi. (a) Si rappresentano i due punti (43; 177) e (36; 157)sul piano Cartesiano e si fa passare una retta per i due punti. Cioe' si suppone che esistauna funzione lineare che passa esattamente per i due punti. (b) Conoscendo l'equazione dellaretta che passa per tali punti, si sostituisce nell'equazione x = 40 e si calcola quanto vale y incorrispondenza di tale valore. Il valore risultante si dice ottenuto per interpolazione lineare.Il gra�co sotto riportato visualizza il procedimento.

x

y

36 38 40 42 43 44

150

157

160

170

177

180

La retta che passa per i due punti ha una pendenza (177� 157)=(43� 36) = 2:587. Quindiha una forma

y = �+ 2:587x:

Inoltre, deve passare per il punto (36; 157) quindi, sostituendo a x 36 e a y 157, deve risultareuna identita'. Dunque occorre che

157 = �+ 2:587� 36

122

da cui si ricava � = 63:87: La retta che passa per i due punti e'

y = 63:87 + 2:587x

e pertanto, sostituendo alla �ne x = 40 si ottiene il valore interpolato di y cioe'

63:87 + 2:587� 40 = 167:4:

Controllare sulla �gura il risultato.

499. Che signi�ca in generale interpolare per punti?Signi�ca far passare una funzione esattamente per un certo numero di punti. Come nel

caso dell'interpolazione lineare, dati due punti si fa passare per essi una retta, cosi' si puo'generalizzare l'idea a piu' di due punti. Naturalmente, se i punti sono piu' di due non si puo'usare una retta per fare l'interpolazione. Percio' si utilizza qualche funzione piu' essibile, masempre continua (senza interruzioni) e abbastanza regolare (senza punti angolosi) che passiesattamente attraverso i punti.

500. E' utile l'interpolazione matematica per sintetizzare una funzione di regressione?No, non e' molto utile, perche' si puo' dimostrare che all'aumentare dei punti da interpolare

e' necessario complicare sempre di piu' la funzione introducendo un numero sempre maggioredi coe�cienti. Ad esempio, per interpolare due punti, si usa una retta che ha due coe�cienti �e �. Per interpolare 3 punti si puo' usare una funzione quadratica (equazione di una parabola)

f(x) = �+ �x + x2

che ha 3 coe�cienti, tanti quanti i punti da interpolare. Percio', volendo interpolare i puntidi una funzione di regressione, si dovrebbe utilizzare una funzione con tanti coe�cienti quantisono i punti da interpolare e la �nalita' di sempli�care la funzione di regressione non sarebbeovviamente raggiunta.

Un secondo motivo per cui l'interpolazione per punti non e' conveniente e' illustratonell'esempio seguente.

1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 20000

50

100

150

200

250

300

350

400Interpolazione di un polinomio di grado 9

Pop

olaz

ione

US

A, m

ilion

i

227.5

123

Nel gra�co si vede l'andamento della serie storica della popolazione (in milioni) degli StatiUniti, dall'inizio del secolo al 1990. Supponiamo di voler interpolare la serie per prevedere lapopolazione nel 2000.

Interpolando una funzione che passa per tutti i punti (un polinomio di nono grado) siottiene una curva ondeggiante con delle evoluzioni che non hanno niente a che fare con ilfenomeno, ma che sono semplicemente dovute al tipo di funzione utilizzata, e che si formanoperche' la funzione e' vincolata a passare per i punti.

Inoltre, la funzione ha un brusco cambiamento proprio dopo il 1990 e cala improvvisa-mente. Pertando usando questa funzione a scopo estrapolativo, si prevede che la popolazionedegli Stati Uniti decresce a 227:5 milioni di abitanti.

In�ne, la funzione ha di nuovo un brusco cambiamento di tendenza dopo il 2000 e cominciaa crescere a un tasso molto maggiore di prima.

La lezione e' chiara. Se si insiste a far passare una funzione esattamente per tutti i dati,la funzione tende a seguire tutte le minime ondulazioni e non a lisciare l'andamento. Inoltrepuo' essere che produca non linearita' non coerenti con i dati, ma spurie1.

11.3 Fasi dell'interpolazione

501. Quali sono le fasi dell'interpolazione statistica?

Ci sono tre fasi distinte.

(a) La scelta della famiglia di funzioni da interpolare.

(b) L'adattamento vero e proprio di una funzione nell'ambito della famiglia scelta, sullabase di un criterio oggettivo.

(c) La veri�ca del grado di accostamento tra le osservazioni vere y e le osservazioni teorichef(x) e la misura complessiva della bonta' di adattamento.

502. Da cosa e' caratterizzata le fase (a)?

Nella fase (a) si deve tener conto delle informazioni a priori e si deve esaminare lo scatterper individuare che tipo di funzione utilizzare per approssimare la funzione di regressione.Come detto, se non c'e' evidenza di curvatura, spesso viene speci�cata la famiglie delle rette.

503. Se c'e' evidenza di non linearita' quali sono le strategie possibili?

(a) Trasformare le variabili in modo da ottenere uno scatter piu' lineare.

(b) Limitare il campo di variazione della variabile esplicativa, in modo che su questointervallo ridotto l'approssimazione lineare sia su�ciente.

(c) Speci�care una famiglia di funzioni non lineari, come le parabole, ad esempio.

504. Fare un esempio di trasformazione di variabile che migliora l'allineamento dei puntisullo scatter.

1Esempio tratto da Forsythe, Malcom, Moler (1977) Computer Methods for Mathematical Computations,Prentice Hall.

124

Ad esempio, nell'esempio del consumo e della cilindrata, il consumo Y e' espresso in kmper un litro. Lo scatter mostra una certa curvatura. Se si trasforma il consumo in

Y 0 =100

Y

si ottiene una variabile Y 0 che esprime il consumo in litri per 100 km. Il gra�co di X e Y 0

riportato sotto, dimostra una maggior linearita' rispetto al gra�co di X e Y .

Cilindrata

Litr

i per

100

km

1000 2000 3000 4000 5000 6000

510

1520

25

Osservare che la funzione di regressione diventa crescente (con una maggior cilindrata si tendea consumare in media piu' litri di benzina per fare 100km).

11.4 Metodo dei minimi quadrati

505. Una volta scelta la famiglia di funzioni da interpolare, diciamo la famiglia delle rette,come si fa a trovare la retta migliore, cioe' quella, tra tutte le possibili, che approssima megliola funzione di regressione?

Tra tutte le rette possibili si cerca di trovare, quella che ha la distanza minore dallemedie condizionate. Il metodo piu' usato per e�ettuare l'adattamento e' chiamato metodo deiminimi quadrati ed e' dovuto a Legendre e a Gauss.

506. Spiegare i dettagli del metodo dei minimi quadrati.Il metodo si propone di determinare la retta che rende minima la distanza globale tra

la retta e la funzione di regressione. Come distanza globale si usa la media di tutti gliscostamenti al quadrato tra i valori osservati y j x della variabile dipendente in corrispondenzadi una determinazione x della variabile esplicativa e i valori teorici ottenuti sostituendo talex nell'equazione della retta, cioe' la media degli scostamenti al quadrato

fy j x� (�+ �x)g2

La �gura sottostante illustra il criterio. La distanza tra la retta disegnata e i valori osservatie' la media delle lunghezze al quadrato dei segmenti verticali.

125

0 2 4 6 8 10

05

1015

2025

30

507. Se per X = x c'e' piu' di un valore osservato di Y e la frequenza relativa di coppie divalori (x; y) e' p(x; y) l'indice di distanza precedente si puo' scrivere comeX

x;y

fy j x� (�+ �x)g2p(x; y):

508. Come si determina la retta da interpolare?Cercando i coe�cienti � e � che rendono minima la media la distanza quadratica appena

descritta. Tali coe�cienti si dicono stimati con i minimi quadrati e la retta ottenuta si diceretta dei minimi quadrati.

509. E' possibile determinare esplicitamente i coe�cienti?Si' e' possibile. La retta dei minimi quadrati ha equazione

y = a+ bx

e i coe�cienti dei minimi quadrati a e b sono unici e si ottengono esplicitamente con le formuleseguenti

b =cov(X; Y )

var(X); a = �Y � b�X :

purche' la varianza var(X) sia diversa da zero (cioe' basta che la variabile esplicativa non siacostante). La dimostrazione e' omessa.

510. Come si chiamano i coe�cienti a e b?Il coe�ciente b si dice coe�ciente di regressione di Y da X . E' un coe�ciente che esprime

la dipendenza di Y daX , ottenuto come rapporto tra la covarianza e la varianza della variabileesplicativa. Per evidenziare la variabile dipendente e la variabile esplicativa il coe�ciente diregressione dei minimi quadrati si denota talvolta con bYX (il primo su�sso e' la variabiledipendente). Pertanto,

bY X =�XY

�2X:

Il coe�ciente a e' il termine costante.

126

511. Come si chiama la retta adattata?

Si dice retta di regressione o retta dei minimi quadrati.

512. Supponiamo che si voglia studiare la dipendenza del consumo di gasolio necessario perriscaldare un ambiente e la temperatura esterna.

In 5 intervalli di tempo diversi si registra la temperature esterna (in gradi Celsius) e ilconsumo di gasolio (in litri). I dati ottenuti sono i seguenti.

Temperatura Gasolio

-3 150

-1 140

1 130

-5 170

-7 210

Interpolare la retta dei minimi quadrati, calcolando il coe�ciente di regressione e il terminecostante.

Lo scatter plot sotto disegnato mostra un andamento decrescente approssimativamentelineare.

Temperatura

Con

sum

o

-10 -8 -6 -4 -2 0 2

120

140

160

180

200

220

I calcoli per determinare il coe�ciente di regressione si ottengono organizzando la seguentetabellina in cui la temperatura e' X e il consumo di gasolio e' Y . La media del consumo e'160 litri e la temperatura media e' �3 gradi.

x y x � �X y � �Y (x� �X)(y � �Y ) (x� �X )2

�3 150 0 �10 0 0�1 140 2 �20 �40 41 130 4 �30 �120 16

�5 170 �2 10 �20 4�7 210 �4 50 �200 16

0 0 �380 40

127

Si deduce che la covarianza e' �XY = �380=5 = �76 mentre la varianza di X e' �2X = 40=5 =8: La covarianza negativa indica che vi e' discordanza tra le due variabili. Il coe�ciente diregressione del consumo dalla temperatura e' dunque

bY X = �76

8= �9:5 litri per grado:

Il termine costante e'

�Y � bYX�X = 160� (�9:5)� (�3) = 160� 28:5 = 131:5 litri:

Pertanto, la retta interpolata e' y = 131:5� 9:5x.

513. Interpretare i coe�cienti ottenuti.

Per ogni aumento di un grado la temperatura il consumo medio teorico diminuisce di 9.5litri.

Quando la temperatura esterna e' di zero gradi il consumo medio teorico e' di 131.5 litri.Notare che in questo esempio, si puo' interpretare il termine costante perche' il campo divariazione comprende lo zero.

-10 -8 -6 -4 -2 0 2

120

140

160

180

200

220

distanza = 1895-10 -8 -6 -4 -2 0 2

120

140

160

180

200

220

distanza = 1009.87

-10 -8 -6 -4 -2 0 2

120

140

160

180

200

220

distanza = 501.56-10 -8 -6 -4 -2 0 2

120

140

160

180

200

220

Minimi quadrati: distanza = 78

128

514. Nel gra�co precedente e' rappresentato l'adattamento di varie rette, tra cui (in bassoa destra) la retta dei minimi quadrati, ai dati sul consumo di gasolio. Per ogni caso e' fornitol'indice di distanza tra i punti e la retta, cioe' la media degli scostamenti al quadrato tra ipunti e la retta.

Il valore piu' basso dell'indice e' in corrispondenza della retta dei minimi quadrati. Comedetto, non e' possibile trovare una retta, che dia luogo a un valore piu' basso di 78 dell'indice(in questo esempio).

11.5 Valori adattati e residui

515. Una volta adattata la retta dei minimi quadrati, che cosa sono i valori adattati (ovalori teorici)?

I valori adattati sono i valori teorici che si ottengono sostituendo nell'equazione della rettadei minimi quadrati ad x i valori osservati della variabile esplicativa X . Sono i valori cheapprossimano i valori osservati della variabile Y (le medie condizionate E(Y j x) in generale).

516. Calcolare i valori adattati per i dati del consumo di gasolio.

La retta dei minimi quadrati e'

y = 131:5� 9:5x

percio' i valori adattati si calcolano come segue.

Temperatura Consumo teorico Consumo vero

-3 131.5 - 9.5 (-3) = 160 150

-1 131.5 - 9.5 (-1) = 141 140

1 131.5 - 9.5 ( 1) = 122 130

-5 131.5 - 9.5 (-5) = 179 170

-7 131.5 - 9.5 (-7) = 198 210

Essi indicano i valori che sono stati calcolati come approssimazioni dei valori osservati.L'equazione che descrive i valori teorici si puo' scrivere in modo piu' comprensibile come

dconsumo = 131:5� 9:5 temperatura:

517. Come si indicano i valori adattati? I valori adattati sono indicati con y (leggere `ycappello'), cioe'

y = a+ bx

dove x assume come valori le determinazioni di X .

518. Dove si riconoscono sul gra�co i valori adattati?

Sono i valori sulla retta di regressione in corrispondenza degli x osservati.

129

519. Che cosa sono i residui dei minimi quadrati?Sono le di�erenze tra i valori osservati y e i valori adattati y. Si indicano con e e misurano

gli errori di interpolazione. Pertanto,

e = y � y:

520. Calcolare i residui dei minimi quadrati dai dati sul consumo di gasolio.Basta calcolare la di�erenza tra il consumo vero di gasolio e il consumo interpolato, come

si vede nella tavola seguente

Consumo vero Consumo teorico Residui

150 160 -10

140 141 -1

130 122 8

170 179 -9

210 198 12

Totale 800 800 0

521. Che proprieta' hanno i valori adattati e i residui dei minimi quadrati?(a) La somma dei valori adattati e' sempre uguale alla somma dei valori osservati.(b) La somma dei residui e' sempre zero.(c) La media dei quadrati dei residui e' la distanza (globale) esistente tra la retta dei minimi

quadrati e i dati. Tale valore non puo' essere ridotto da nessuna altra retta interpolata.

522. La media dei quadrati dei residui si chiama varianza residua o varianza non spiegata.Si indica con var(e) e formalmente si puo' scrivere come

var(e) =Xx;y

(y j x� y)2p(x; y)

dove la somma e' estesa a tutte le coppie di modalita' di X e di Y . Nel caso piu' frequente,non esistono valori ripetuti di (x; y) e dunque p(x; y) = 1=(Totale osservazioni). Pertanto lavarianza residua e' semplicemente la somma di tutti i quadrati dei residui, divisa per quantisono.

523. Veri�care che la varianza residua e' 78, nell'esempio del consumo di gasolio.Basta impostare la tavola seguente

Residui Residui al quadrato

-10 100

-1 1

8 64

-9 81

12 144

Totale 0 390

e calcolare var(e) = 390=5 = 78:

130

524. (Esempio dell'altezza e del numero di scarpe). Le statistiche fondamentali sono leseguenti (sqm e' lo scarto quadratico medio).

Numero di scarpe Media = 39.3 sqm = 2.69

Altezza Media = 166.9 sqm = 8.49

Covarianza = 19.54

Trovare la retta di regressione dell'altezza dal numero di scarpe.

Il coe�ciente di regressione e'

bY X =19:54

2:692= 2:7 cm / numero


a = 166:9� 2:7� 39:3 = 60:8 cm

e dunque la retta dei minimi quadrati e'

y = 60:8 + 2:7x:

I valori adattati dell'altezza sono ottenuti come segue

daltezza = 60:8 + 2:7� numero di scarpe

L'interpretazione e' la seguente. La covarianza e' positiva indicando che statura e numero discarpe sono concordanti. Per ogni aumento di 1 nel numero di scarpe la statura cresce di 2.7cm. Il termine costante non ha un'interpretazione.

525. Calcolare il valore interpolato dell'altezza in corrispondenza del numero di scarpe 40.

E' y = 60:8 + 2:7� 40 = 168:8 cm:

526. Calcolare il valore interpolato dell'altezza in corrispondenza del numero di scarpemedio.

La media del numero di scarpe e' 39:3. Pertanto sostituendo nell'equazione della rettax = 39:3 si ottiene

y = 60:8 + 2:7� 39:3 = 166:9 cm:

Osservare che il valore interpolato e' esattamente uguale alla media aritmetica delle altezze.

527. (Esempio del reddito e della spesa). Le statistiche fondamentali sono le seguenti.

Reddito (migliaia di lire) Media = 1844.7 sqm = 512.4

Spesa (migliaia di lire) Media = 622.9 sqm = 213.1

Covarianza = 61276.5

131

Determinare la retta di regressione della spesa dal reddito.Il coe�ciente di regressione e'

bYX =61276:5

512:42= 0:233


a = 622:9� 0:233� 1844:7 = 193 mila lire


y = 193 + 0:233x:

I valori interpolati della spesa sono

dspesa = 193 + 0:233� reddito

L'interpretazione e' la seguente. Ogni lira in piu' di reddito la spesa per generi alimentaricresce di 0.233 lire. Quindi ogni 100 mila lire in piu' di reddito la spesa cresce di 23300 lire.O meglio, la di�erenza di spesa tra due gruppi di famiglie, che hanno redditi che di�erisconodi 100 mila lire, e' di 23300 lire.

La concordanza tra reddito e spesa e' evidente anche dal valore positivo della covarianza.

528. Calcolare la spesa interpolata per una famiglia che ha un reddito uguale alla mediadei redditi.

Sostituendo il valor medio del reddito si ha

dspesa = 193 + 0:2333� 1844:7 = 622:9

cioe' il valore interpolato e' uguale alla spesa media.

529. Dimostrare che il risultato precedente e' sempre vero. Cioe' il valore teorico di y perX uguale alla media e' la media di Y .

Basta osservare che la retta di regressione ha la forma

y = a+ bx = (�Y � b�X) + bx

cioe', raccogliendo a fattor comune b,

y = �Y + b(x� �X):

In questa forma si vede subito che se x e' uguale alla media y e' uguale alla media di Y (infattix � �X = 0 e y = �Y ).

530. Qual'e' l'interpretazione geometrica del risultato precedente?Signi�ca semplicemente che la retta dei minimi quadrati passa sempre per il baricentro

dello scatter cioe' per il punto di coordinate (�X ; �Y ).

132

531. Dimostrare che la somma dei residui dei minimi quadrati e' sempre zero.

Infatti la somma dei residui e' la somma delle quantita' y � y cioe' di

y � f�Y + b(x� �X)g = (y � �Y )� b(x� �X):

La somma e' zero perche' e' la somma di scarti dalla media di Y meno b volte la somma discarti dalla media di X (come si ricordera' la somma di scarti dalla media e' sempre nulla).

532. (Esempio del consumo e della cilindrata). Le statistiche fondamentali sono

Cilindrata (cc) Media = 2037.10 sqm = 892.26

Consumo (km con un litro) Media = 10.54 sqm = 2.95

Covarianza = -1652.44

Determinare la retta di regressione del consumo dalla cilindrata.


bY X = �1652:44

892:262= �0:002


a = 10:54� (�0:002)� 2037:1 = 14:6 km con un litro


y = 14:6� 0:002x:

I valori interpolati del consumo sono

dkm con un litro = 14:6� 0:002� cilindrata

L'interpretazione e' la seguente. Per ogni cc di cilindrata in piu' l'auto fa 0.002 km in menoper litro di benzina. Ogni 1000 cc di cilindrata in piu', l'auto fa 2 km in meno con un litro dibenzina. Si osservi che c'e' discordanza tra le due variabili perche' la covarianza e' negativa.

533. Da che cosa e' determinato il segno del coe�ciente di regressione?

Il coe�ciente di regressione e' il rapporto tra la covarianza e la varianza della variabileesplicativa. Percio' il denominatore e' sicuramente positivo. Il segno del coe�ciente di re-gressione e' dunque il segno del numeratore, cioe' della covarianza. Conclusione, se fra Xe Y c'e' concordanza, il coe�ciente di regressione e' positivo e la retta e' crescente; se c'e'discordanza, il coe�ciente di regressione e' negativo e la retta e' decrescente.

133

534. Si consideri, in�ne, ancora il problema del consumo e della cilindrata, ma con la varibiledipendente Y trasformata in 100=Y per passare da km con un litro a litri per 100 km. Gliindici fondamentali sono i seguenti.

Cilindrata (cc) Media = 2037.10 sqm = 892.26

Consumo (litri per 100 km) Media = 10.39 sqm = 3.59

Covarianza = 2596.36

Determinare la retta di regressione del consumo dalla cilindrata.


bY X =2596:36

892:262= 0:0033


a = 10:39� 0:0033� 2037:1 = 3:7 litri per 100 km


y = 3:7 + 0:0033x:

I valori interpolati del consumo sono

dlitri per 100 km = 3:7 + 0:0033� cilindrata

L'interpretazione e' la seguente. Per ogni cc in piu' l'auto consuma 0.0033 litri in piu' perfare 100 km. Ossia, per ogni 1000 cc in piu' l'auto consuma 3.3 litri in piu' per fare 100 km.

535. Si osservi che le due equazioni stimate

dkm con un litro = 14:6� 0:002� cilindratadlitri per 100 km = 3:7 + 0:0033� cilindrata

non possono essere dedotte l'una dall'altra tenendo conto del fatto che

km con un litro =100

litri per 100 km:

536. Le rette di regressione ricavate per gli esempi discussi in precedenza sono riportatenella �gura seguente.

134

Scarpe

Alte

zza

34 36 38 40 42 44 46

150

160

170

180

190

Reddito

Spe

sa

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500

200

400

600

800

1000

1200

1400

Cilindrata

km c

on u

n lit

ro

0 1000 3000 5000 7000

05

1015

20

Cilindrata

Litr

i per

100

km

0 1000 3000 5000 7000

510

1520

2530

Si osservi che l'intercetta tra la retta e l'asse verticale non sempre corrisponde al valore stimatoa, perche' l'asse verticale non passa in tutti casi per x = 0. L'unico caso in cui l'intercetta e'uguale ad a e' quello in basso a sinistra relativo alla regressione del consumo (in km con unlitro) dalla cilindrata.

537. Se il coe�ciente di regressione e' zero che cosa signi�ca?Signi�ca che la retta ha pendenza zero cioe' e' costante. Infatti, usando la retta dei minimi

quadrati ha equazioney = �Y + bY X(x� �X)

per cui, se bY X = 0 la retta diventay = �y

cioe' e' una retta con quota costante uguale alla media di Y . In questo caso, tutti i valoriadattati sono sempre uguali alla media di Y quale che sia x.

Si osservi, inoltre, che se il coe�ciente di regressione e' zero allora deve essere zero il suonumeratore, cioe' la covarianza tra le due variabili.

Dunque se il coe�ciente di regressione e' nullo le variabili X e Y sono incorrelate. Vice-versa, in caso di incorrelazione, se si adatta una retta di regressione, la pendenza stimata con

135

i minimi quadrati e' identicamente zero. Questo risultato permette di chiarire maggiormen-te il signi�cato di incorrelazione lineare: in caso di incorrelazione lineare, l'adattamento diuna retta porta a interpolare una retta costante, cioe' a concludere che teoricamente Y nondipende linearmente da X .

Come si e' gia' rilevato in precedenza, puo' accadere, tuttavia, che la retta dei minimiquadrati abbia pendenza zero, ma che cio' nasconda in realta' una dipendenza non lineare diY da X .

11.6 Bonta' di adattamento

538. Dagli esempi fatti e' evidente che la retta interpolata in taluni casi e' vicina ai dati,e quindi e' un buon riassunto degli stessi, mentre in altri casi e' lontana e quindi non da'luogo a un buon adattamento. Fondamentalmente che cosa dobbiamo esaminare per valutarenumericamente l'adattamento?

Per valutare l'adattamento ci si basa sui residui di interpolazione e = y�y. Infatti, usandoi residui e' possibile fornire una nuova versione della relazione fondamentale:

dato = modello + residuo

e cioe'y = y + e

da cui si deduce che quanto piu' la parte residua e e' piccola e tanto migliore e' l'adattamento.

539. Che informazioni forniscono dunque i residui?I residui danno due tipi di indicazione. (a) La prima indicazione e' dedotta dalla dimensio-

ne dei residui. Questa permette di valutare la bonta' di adattamento perche' l'adattamentoe' tanto migliore quanto piu' i residui sono vicini a zero. (b) La seconda indicazione e' de-dotta dalla struttura dei residui cioe' dal loro comportamento complessivo. L'idea e' che sei residui risultano indipendenti dalla variabile esplicativa X allora possiamo concludere chesi e' riusciti a includere tutta la dipendenza di Y da X nella retta di regressione. Se invece iresidui dipendono da X la retta di regressione non e' in grado di spiegare completamente ladipendenza di Y da X .

Pertanto, in generale, i residui vanno esaminati in due fasi diverse. Nella prima fase sicostruisce un indice globale di bonta' di adattamento tenendo conto della dimensione deiresidui. In una seconda fase si esamina se i residui sono indipendenti da X oppure risultanoancora associati a X . Dalla prima fase si puo' concludere se, avendo scelto come modellouna funzione lineare, tale funzione adattata e' vicina ai dati oppure no. Dalla seconda faseinvece si puo' controllare se la pretesa di riassumere la funzione di regressione con una rettae' sostenibile oppure se e' necessario rivedere la speci�cazione della funzione.

540. Come si costruisce un indice globale di bonta' di adattamento?L'indice fondamentale e' chiamato indice di determinazione lineare, indicato da R2 (erre

quadro). La sua de�nizione e' la seguente

R2 = 1� var(e)

var(Y )

136

cioe' e' il complemento a uno del rapporto tra la varianza residua e la varianza della variabiledipendente.

541. Che valore assume l'indice di determinazione lineare se l'adattamento e' esatto?L'adattamento e' esatto se tutti i valori interpolati sono uguali ai valori osservati di Y .

Cioe' se tutti i residui sono nulli. In tal caso la varianza residua (che e' la media dei quadratidei residui) e' ovviamente zero e dunque l'R2 e' uguale a 1.

542. L'indice di determinazione lineare puo' essere piu' grande di 1?No, non puo' essere piu' grande di 1. Infatti, se i residui non sono tutti nulli i loro quadrati

sono positivi e la varianza residua e' positiva. Pertanto, il rapporto var(e)=var(Y ) e ' positivo,viene tolto da 1 e quindi lo riduce.

543. Come si interpreta l'indice di determinazione lineare?Per interpretare l'indice occorre discutere preliminarmente un risultato fondamentale e

cioe' la scomposizione della varianza nella regressione.

544. Enunciare la scomposizione della varianza nella regressione.Una volta adattata con i minimi quadrati una funzione

y = �+ �x

e ottenuti i coe�cienti a e b, i valori interpolati Y e i residui e, la varianza della variabiledipendente Y , var(Y ) e' scomponibile sempre in due parti di cui essa e' la somma: la primaparte e' detta varianza di regressione o varianza spiegata, var(Y ) e la seconda parte e' lavarianza residua, o varianza non spiegata, var(e). Pertanto,

var(Y ) = var(Y ) + var(e)

545. Che cos'e' la varianza spiegata?La varianza spiegata e' semplicemente la varianza dei valori adattati. Cioe' e' la varianza

dei valori interpolati y = a+ bx con i minimi quadrati.

546. Che cos'e' la varianza non spiegata?E' la varianza dei residui, cioe', ricordando che i residui hanno sempre somma zero e quindi

media zero, la media dei quadrati dei residui

e = y � y:

547. Come si dimostra la scomposizione della varianza?Si parte dalla scomposizione fondamentale

Y = Y + e

e da questa si puo' dimostrare che

var(Y ) = var(Y + e) = var(Y ) + var(e):

137

548. Come si interpreta la scomposizione della varianza nella regressione?La varianza dei dati e' ricostruibile come somma di due parti: la varianza dei valori

adattati e la varianza dei residui. La prima parte e' spiegata dal modello lineare usato. Laseconda parte e' non spiegata dal modello. Per questo la variabilita' osservata in parte e'riconducibile alla dipendenza lineare di Y da X e in parte e' riconducibile a fattori residuinon legati linearmente a X .

549. Usando la scomposizione della varianza come si puo' scrivere l'indice di determinazionelineare?

Si puo' scrivere come

R2 =var(Y )

var(Y )=

varianza spiegata

varianza di Y

Infatti dividendo ambo i membri dell'identita' var(Y ) = var(Y )+var(e) per var(Y ) si ottiene

1 =var(Y )

var(Y )+

var(e)

var(Y )

da cuivar(Y )

var(Y )= 1� var(e)

var(Y )= R2:

550. Come si interpreta allora l'indice di determinazione lineare?L'R2 indica quanta parte della variabilita' di Y e' spiegata dal modello lineare interpolato

Y = a+ bx. Spesso l'indice di determinazione lineare e' espresso in forma percentuale.R2 = 100% implica che la variabilita' osservata e' interamente spiegata dal modello lineare

interpolato.R2 = 0% implica che la variabilita' osservata e' interamente non spiegata dal modello

lineare, cioe' non e' dovuta in alcun modo alla dipendenza lineare di Y da X (piu' avantimaggiori dettagli).

551. (Esempio del consumo di gasolio e della temperatura). Riprendendo i valori adattatie i residui del modello lineare, veri�care la scomposizione della varianza.

Il consumo medio �Y di gasolio e' di 160 litri. Consideriamo allora la tabella seguente

y y � �Y (y � �Y )2 y y � �y (y � �Y )2 e e2

150 �10 100 160 0 0 �10 100140 �20 400 141 �19 361 �1 1130 �30 900 122 �38 1444 8 64170 10 100 179 19 361 �9 81210 50 2500 198 38 1444 12 144

4000 3610 390

da cui si calcola che

var(Y ) = 4000=5 = 800; var(Y ) = 3610=5 = 722; var(e) = 390=5 = 78:

La scomposizione e' dunque veri�cata.

138

552. Qual'e' l'indice di determinazione lineare nell'esempio?E' il rapporto 722=800 = 1�78=800 = 0:9: Percio' l'R2 e' il 90%. Possiamo concludere che

su questi dati l'adattamento di una retta spiega il 90% della variabilita'. Cioe' la variabilita'del consumo di gasolio si puo' spiegare per il 90% con il legame lineare con la temperaturaesterna. Per il 10% la variabilita' del consumo di gasolio e' dovuta ad altri fattori nonconsiderati.

553. Dimostrare che la varianza spiegata si puo' calcolare con la formula alternativa

var(Y ) = b2var(X)

La dimostrazione e' molto semplice. Si ha

var(Y ) = var(a+ bX) = var(bx) = b2var(X)

usando le regole fondamentali del calcolo con la varianza.

554. Determinare la scomposizione della varianza e l'indice di determinazione lineare perl'esempio dell'altezza e del numero di scarpe,

Usando la formula appena spiegata (e gli indici forniti in precedenza) risulta

var(Y ) = 2:72 � 2:692 = 52:75

mentre var(Y ) = 8:492 = 72:08: Pertanto la tavola di scomposizione della varianza e'

Variabilita' Varianza

Spiegata 52.75

Residua 19.33

Totale 72.08 Indice di determinazione = 73.2%

dove l'R2 e' ottenuto come rapporto tra 52.75 e 72.08. La variabilita' dell'altezza e' imputabileper il 73% al modello di dipendenza lineare tra essa e il numero di scarpe.

555. Dimostrare che l'indice di determinazione lineare e' uguale al quadrato del coe�cientedi correlazione lineare.

Per de�nizione

R2 =var(Y )

�2Y=

b2�2X�2Y

Inoltre e' noto che il coe�ciente di regressione e'

b =cov(X; Y )

var(X)=

�XY

�2X

Sostituendo questa relazione nella precedente si ottiene

R2 =�XY

�2X

�XY

�2X

�2X�2Y

=�XY

�2X

�XY

�2Y=

��XY

�X�Y

�2

= �2XY :

139

556. Trovare l'indice di determinazione lineare per la regressione della spesa dal reddito.Il coe�ciente di correlazione tra spesa e reddito (ottenuto dai dati riportati in precedenza)

e'

�XY =61276:5

512:4� 213:1= 0:561

e denota una certo grado di correlazione lineare positiva. L'indice di determinazione linearee' semplicemente il quadrato di questo valore cioe'

R2 = 0:5612 = 0:31

Pertanto il grado di adattamento e' modesto. Solo il 31% della variabilita' dei consumi e'spiegabile dalla relazione lineare adattata con il reddito. Il 69% della variabilita' dei consumie' dovuto a residui non spiegati al modello.

557. Qual'e' il campo di variazione dell'indice di determinazione lineare?L'indice R2 assume sempre valori compresi tra 0 e 1. Infatti e' un rapporto tra due

grandezze positive di cui la prima e' una parte della seconda. Alternativamente, lo si puo'dedurre ricordando che e' il quadrato del coe�ciente di correlazione che varia tra �1 e +1.

558. Qual'e' l'interpretazione del caso in cui l'indice di determinazione e' zero?Se l'indice di determinazione e' nullo, vuol dire che le due variabili sono incorrelate. Infatti,

in caso di incorrelazione,(a) il coe�ciente di correlazione e' zero e dunque anche il suo quadrato, l'R2, e' zero;(b) la covarianza tra le due variabili e' nulla e dunque il coe�ciente di regressione b e'

zero. Percio' la varianza spiegata var(Y ) = b2�2X che e' il prodotto del quadrato di b per lavarianza di X e' zero e dunque, in�ne l'indice di determinazione che e' il rapporto tra varianzaspiegata e varianza totale, e' zero.

L'interpretazione di questo caso e' dunque la stessa del caso in cui b = 0: la variabiledipendente non dipende linearmente dalla variabile esplicativa. Cioe' interpolando la retta ivalori adattati sono costanti e uguali alla media,

y = �Y + 0� (x� �X) = �Y :

In questo senso l'adattamento di una retta che dipenda da X e' il peggiore possibile.

559. Consideriamo i seguenti due esempi (vedi scatter sottostanti) in cui la retta di regres-sione ha una pendenza molto vicina a zero e l'indice di determinazione lineare e' prossimo azero.

(a) Il primo esempio si riferisce a dei dati meteorologici. Ogni coppia (x; y) sullo scatterriguarda la quantita' di neve caduta a Mineapolis (Minnesota) in un certo anno. Piu' preci-samente, x e' la quantita' di neve (in pollici) caduta nel mese di Novembre, y e' la quantita'di neve caduta nel resto dell'anno. Sono stati considerati gli anni dal 1950 al 1969. La rettadi regressione interpolata e'

y = 42:15� 0:021x

140

con un R2 = :00000824. L'esempio e' dovuto a Mosteller F., Fienberg S. E. e R. E. K. Rourke(1983) Beginning statistics with data analysis, Addison-Wesley, Reading, MA. Gli autori sisono divertiti a confutare l'opinione di un meteorologo che alla televisione sosteneva chepoteva prevedere l'ammontare di neve che sarebbe caduta nel resto dell'anno basandosi sullaquantita' di neve caduta all'inizio dell'inverno. Dall'analisi si vede la sostanziale indipendenzatra le due variabili.

(b) Il secondo esempio si riferisce ai dati sulla serie storica (mensile) dei tassi di natalita'USA dal gennaio al dicembre del 1940. La retta ha un coe�ciente di regressione di 0.054.L'indice di determinazione lineare e' 0.000463. La media dei tassi di natalita' e' 19.4.

Neve caduta in Novembre

Nev

e ca

duta

il r

esto

del

l’ann

o

0 2 4 6 8 10 12

020

4060

8010

0

Tempo

Tas

so d

i nat

alita

’ US

A

G F M A M G L A S O N D

18.5

19.0

19.5

20.0

20.5

21.0

560. Entrambi i casi precedenti danno luogo a un R2 praticamente nullo. Si osservi che inaltri esempi abbiamo trovato il coe�ciente di regressione vicino a zero, ma con l'R2 ben diversoda zero. Questo mette in luce che e' di�cile valutare l'incorrelazione basandosi sul coe�cientedi regressione, perche' questo dipende dall'unita' di misura dei due caratteri. Invece l'indicedi determinazione ha una interpretazione assoluta perche' e' un numero puro (come del restoanche il coe�ciente di correlazione lineare).

561. Perche' l'indice di determinazione lineare e' un numero puro?Perche' e' il rapporto di due varianze e quindi l'unita' di misura al numeratore e al

denominatore si elidono.

11.7 Analisi dei residui

562. Abbiamo osservato prima che i residui sono importanti non solo per ottenere un indiceglobale di adattamento (come l'R2) ma anche per controllare se la speci�cazione della funzioneinterpolante e' adeguata. Un esempio di questo secondo uso dei residui e' fornito dai due casi(a) e (b) esaminati poco fa.

Per i dati meteorologici e' evidente che i punti sono disposti intorno alla retta senza unastruttura particolare, mentre per la serie dei tassi di natalita' i punti seguono un precisoandamento stagionale. Pertanto, mentre nel primo caso i residui appaiono indipendenti daX , nel secondo caso questo non e' vero. Osservando lo scatter dei tassi e' di�cile sostenere che

141

siccome la retta e' orizzontale e l'R2 e' zero allora i tassi non dipendono dal tempo. In e�ettila serie mostra una dipendenza dei tassi dal tempo, solo che la dipendenza non e' lineare. Ilfatto che la retta interpolata risulti orizzontale testimonia solo che la serie e' stazionaria inmedia nel periodo considerato. Ma l'andamento uttuante puo' essere spiegato con altri tipidi funzione del tempo.

563. Qual'e' l'interpretazione se R2 = 1?

Come abbiamo gia' detto prima l'adattamento di una retta e' perfetto. Tutti i puntisono allineati su una retta. In questo caso il coe�ciente di correlazione e' per forza o +1o �1. �XY = 1 se l'allineamento avviene su una retta con pendenza positiva �XY = �1 sel'allineamento avviene su una retta con pendenza negativa.

Se l'allineamento avviene su una retta orizzontale, il coe�ciente di correlazione e' inde-terminato perche' la covarianza e' zero e la varianza di Y e' zero.

564. Un modo per studiare se i residui sono indipendenti da X o no e' quello di costruireuno scatter ponendo in ascisse X e in ordinate i residui dei minimi quadrati e. Nel primoscatter a sinistra riportato sotto, ogni punto (x; y) rappresenta un anno dal 1959 al 1983, incui x e' il consumo aggregato per generi alimentari degli Stati Uniti in miliardi di dollari (avalori costanti del 1971) e y e' il reddito disponibile aggregato degli Stati Uniti (sempre inmiliardi di dollari del 1971). Sopra ogni punto e' riportato l'anno di riferimento.

Reddito disponibile

Con

sum

o pe

r ge

neri

alim

enta

ri

5960616263

64

6566

67

6869

70 7172

7374

75

76

77 7879

808182

83

400 500 600 700 800 900 1000

9010

011

012

013

014

015

016

017

0

Reddito disponibile

Res

idui

400 500 600 700 800 900 1000

-8-6

-4-2

02

4

Sul gra�co e' sovrapposta la retta dei minimi quadrati y = 55:3 + 0:093x il cui indice dideterminazione lineare e' molto buono, R2 = 97:8%.

Tuttavia, dallo scatter dei residui di interpolazione, a destra, e' possibile osservare unacerta struttura dei residui dipendente da X e dal tempo. Si osservi che il gra�co dei residuipermette di vedere ampli�cati gli scostamenti rispetto alla retta.

La struttura dei residui permette di vedere dove la funzione lineare e' mal speci�cata equindi di criticare il modello proposto, nonostante il valore eventualmente elevato dell'R2.Gli scostamenti piu' evidenti in questo esempio sono associati agli anni della crisi petrolifera.

142

565. Che cosa dunque permette di fare l'esame gra�co dei residui?Esaminando i residui e' possibile:

(a) studiare i punti che si discostano maggiormente dalla funzione interpolata;

(b) individuare i valori atipici che possono condizionare i coe�cienti stimati;

(c) criticare il modello se i residui risultano ancora dipendenti da X ; in particolarerendersi conto se Y dipende da X in modo non lineare.

566. Illustrare le a�ermazioni appena fatte.Si consideri l'esempio seguente dovuto a Anscombe, F. J. (1973) Graphs in statistical

analysis, American Statistician, 27, 17{21. L'autore ha inventato quattro insiemi di dati:

1 2 3 4

x y x y x y x y

10 8.04 10 9.14 10 7.46 8 6.58

8 6.95 8 8.14 8 6.77 8 5.76

13 7.58 13 8.74 13 12.74 8 7.71

9 8.81 9 8.77 9 7.11 8 8.84

11 8.33 11 9.26 11 7.81 8 8.47

14 9.96 14 8.10 14 8.84 8 7.04

6 7.24 6 6.13 6 6.08 8 5.25

4 4.26 4 3.10 4 5.39 8 5.56

12 10.84 12 9.13 12 8.15 8 7.91

7 4.82 7 7.26 7 6.42 8 6.89

5 5.68 5 4.74 5 5.73 19 12.50

per ciascuno dei quali gli indici statistici fondamentali sono gli stessi e cioe'

�X = 9; �2X = 10

�Y = 7:5 �2Y = 3:75

�XY = 5

R2 = 0:67

y = 3 + 0:5x

Cio' nonostante, guardando gli scatter sotto riportati ci si rende conto che gli indici nascon-dono delle situazioni molto diverse tra loro.

Nel gra�co in alto a sinistra e�ettivamente i residui non hanno un struttura sistematica edunque la retta adattata appare adeguata al �ne di riassumere la dipendenza di Y da X .

Nel gra�co in alto a destra, invece, i residui mettono in evidenza una curvatura marcatae suggeriscono una funzione di regressione non monot�ona.

Nel gra�co in basso a sinistra, c'e' evidenza di un unico valore atipico che fa crescere lapendenza della retta interpolata. Pertanto, in questo caso il modello lineare e' correttamentespeci�cato, ma un unico dato atipico disturba l'adattamento. Rimuovendo quel solo puntol'adattamento e' perfetto con un R2 = 1:

143

x

y

4 6 8 10 12 14

45

67

89

1011

x

y

4 6 8 10 12 14

34

56

78

910

x

y

4 6 8 10 12 14

46

810

1214

x

y

8 10 12 14 16 18 20

46

810

1214

In�ne, nel gra�co in basso a destra la situazione e' del tutto patologica, nel senso che ladistribuzione di X e' costante, con l'eccezione di un unico valore. Rimuovendo l'unico puntoa destra la varianza di X e' zero e dunque risulta impossibile adattare una retta ai dati.

dattare una retta ai dati.

SETTIMANA 12

Campioni casuali e probabilita'

Gran parte dei concetti spiegati �no ad ora fanno parte della cosiddetta statistica descrittiva.La statistica descrittiva raccoglie quel complesso di tecniche destinate a descrivere una popo-lazione avendo a disposizione tutti i dati che la compongono. Nelle lezioni di questa e delleprossime settimane discuteremo invece di inferenza statistica.

12.1 Introduzione

567. Che cos'e' l'inferenza statistica?Il problema dell'inferenza statistica e' quello di descrivere la popolazione quando non si

dispone di tutti i dati che compongono la sua distribuzione, ma solo di una parte di essa. Initaliano la parola inferenza ha un signi�cato piu' generale. Lo Zingarelli riporta le de�nizioniseguenti.

Inferenza: processo logico per il quale, da una o piu' premesse, e' possibile trarre unaconclusione.

Inferenza statistica: procedimento di generalizzazione dei risultati ottenuti mediante unarilevazione parziale per campioni.

Pertanto, l'inferenza statistica e' collegata col processo di induzione.Induzione: procedimento logico che consiste nel ricavare da osservazioni e esperienze

particolari i principi generali in esse impliciti.

568. Fare degli esempi.(a) Prima delle elezioni e' d'uso sondare l'opinione di un campione di elettori per conoscere

in anticipo i risultati. Il campione raccoglie un sottoinsieme della popolazione degli elettori.Il problema di prevedere i risultati senza disporre dei dati de�nitivi, ma solo di uno spoglioparziale e' un problema di inferenza statistica.

(b) Tutti i processi produttivi moderni hanno una fase di controllo di qualita'. Ad esem-pio, i condizionatori d'aria montati sugli aerei di linea sono prodotti in serie e sottostanno a

145

146

un certo numero di controlli. Dopo quanto tempo avviene il primo guasto? Per avere unaindicazione di questo tempo si fanno funzionare ininterrottamente un certo numero di con-dizionatori e si registra dopo quanto tempo si guastano. E' ovvio che non e' possibile fareuna rilevazione di questo dato su tutti i condizionatori prodotti. Stimare dopo quanto tempo(in media) avviene il primo guasto per tutti i condizionatori facendo un controllo solo su uncampione e' un problema di inferenza statistica.

(c) Il tasso di disoccupazione e' un dato economico estremamente importante. Il tassodi disoccupazione varia continuamente in dipendenza di un gran numero di fattori. Come sifanno ad ottenere dati continuamente aggiornati sul tasso di disoccupazione? Non e' conve-niente procedere con dei censimenti sistematici su tutta la forza lavoro, a causa dei costi. E'possibile tuttavia ricorrere a campioni estratti dall'intera popolazione. L'istat svolge infattiun'indagine trimestrale sulle forze di lavoro, rilevando sia coloro che fanno parte delle forzedi lavoro sia coloro che non ne fanno parte. Inoltre, quelli che ne fanno parte vengono sud-divisi a seconda che siano occupati, disoccupati e in cerca di prima occupazione. L'indaginecampionaria delle forze di lavoro si propone di dare una stima del tasso di disoccupazionee�ettivo per tutta l'Italia al momento della rilevazione, pur disponendo di dati parziali.

(d) Il fumo e' pericoloso per la salute? La ricerca medica negli anni piu' recenti ha cercatodi dimostrare anche statisticamente che i tumori all'apparato respiratorio sono \causati"dal fumo. La dimostrazione statistica e' basata sul ragionamento seguente. Esistono duepopolazioni, quella dei fumatori e quella dei non fumatori. Se la proporzione di tumori e'\signi�cativamente" maggiore per la seconda popolazione, allora dobbiamo concludere che ilfumo e' un fattore di rischio. Come si fa a veri�care che la proporzione di tumori e' maggioreper l'intera popolazione dei fumatori? Si osservi infatti che tale popolazione e' in�nita perche'comprende tutti gli esseri umani (anche coloro che devono ancora nascere). La tecnica usatadagli statistici consiste nell'estrarre due campioni, uno dalla popolazione dei non fumatori euno dalla popolazione dei fumatori e quindi nel confrontare le proporzioni di tumori nei duecampioni. Il confronto viene quindi esteso opportunamente alle due popolazioni, utilizzandole tecniche dell'inferenza statistica.

569. Che distinzione fondamentale si puo' tracciare tra popolazioni oggetto di indaginicampionarie?

Vi sono popolazioni �nite e popolazioni in�nite. Nell'esempio del sondaggio elettoralela popolazione e' l'insieme �nito degli aventi diritto al voto. In altri esempi (quello deicondizionatori e quello del fumo) la popolazione non e' ben identi�cabile perche' e' potenzialee teoricamente in�nita. Nelle popolazioni �nite, nei casi migliori, si ha la lista completa delleunita' componenti.

570. Che cos'e' un campione?

Si chiama campione un qualsiasi sottoinsieme di unita' della popolazione. Si osservi cheun campione contiene piu' unita'. Non si dice: \ho estratto 100 campioni dalla popolazione",ma \ho estratto un campione di dimensione 100 (o di numerosita' 100) dalla popolazione".I dati del campione si chiamano dati campionari. Tutti gli indici statistici calcolati sui dati

147

del campione possono essere quali�cati come campionari: ad esempio, la media campionariasi distingue dalla media della popolazione.

571. In generale, le conclusioni ottenute dai dati campionari sono valide per l'intera popo-lazione?

In generale, non e' possibile estendere i risultati, perche' la rilevazione campionaria e'parziale. Ci aspettiamo percio' che le statistiche campionarie siano diverse dalle corrispondentistatistiche a livello della popolazione di un ammontare imprecisato. Le statistiche campionariesono percio' a�ette da errore.

572. A che cosa e' dovuto l'errore?

L'errore puo' essere (a) campionario e (b) non campionario.

573. Qual'e' l'errore campionario?

E' l'errore dovuto al fatto che la rilevazione e' parziale e non completa.

574. Qual'e' l'errore non campionario?

E' l'errore che non e' dovuto al fatto che la rilevazione e' parziale, ma ad altre cause. Taleerrore, quindi, si potrebbe manifestare anche se la rilevazione fosse completa. Esempi di errorinon campionari sono gli errori dovuti alla difettosa de�nizione delle unita' della popolazione,gli errori dovuti all'inesperienza dei rilevatori, gli errori materiali di scrittura dei dati. Questierrori sono a volte molto rilevanti proprio nei censimenti.

575. L'errore si puo' misurare?

L'errore non campionario e' molto di�cile da valutare.

Se il campione e' casuale l'errore campionario si puo' misurare.

Se il campione non e' casuale l'errore campionario e' ignoto.

12.2 Campioni casuali

Nel seguito supporremo di avere a che fare con rilevazioni campionarie in cui l'errore noncampionario e' assente.

In questo paragrafo vogliamo dimostrare l'a�ermazione fatta in precedenza secondo cuil'errore campionario si puo' misurare solo se il campione e' estratto casualmente. In questocaso l'inferenza statistica e' possibile.

576. Per dare un idea concreta dei concetti di campione e di popolazione si osservi lapopolazione �ttizia seguente composta di 100 elettori dei quali 25 votano la sinistra e 75 ladestra.

148

S S S S S S S S S S

S S S S S S S S S S

S S S S S D D D D D

D D D D D D D D D D

D D D D D D D D D D

D D D D D D D D D D

D D D D D D D D D D

D D D D D D D D D D

D D D D D D D D D D

D D D D D D D D D D

Supponiamo di voler estrarre un campione di 34 elettori per stimare la proporzione di votantiper la sinistra nella popolazione. La proporzione vera a livello della popolazione e' ovviamente0.25. Il campione puo' essere estratto in modi diversi. La �gura seguente illustra alcunepossibilita'.

S S S S S S S S S S

S S S S S S S S S S

S S S S S D D D D D

D D D D D D D D D D

D D D D D D D D D D

D D D D D D D D D D

D D D D D D D D D D

D D D D D D D D D D

D D D D D D D D D D

D D D D D D D D D D

Proporzione di S = 0.76

S S S S S S S S S S

S S S S S S S S S S

S S S S S D D D D D

D D D D D D D D D D

D D D D D D D D D D

D D D D D D D D D D

D D D D D D D D D D

D D D D D D D D D D

D D D D D D D D D D

D D D D D D D D D D

Proporzione di S = 0

S S S S S S S S S S

S S S S S S S S S S

S S S S S D D D D D

D D D D D D D D D D

D D D D D D D D D D

D D D D D D D D D D

D D D D D D D D D D

D D D D D D D D D D

D D D D D D D D D D

D D D D D D D D D D


S S S S S S S S S S

S S S S S S S S S S

S S S S S D D D D D

D D D D D D D D D D

D D D D D D D D D D

D D D D D D D D D D

D D D D D D D D D D

D D D D D D D D D D

D D D D D D D D D D

D D D D D D D D D D


Tutti i campioni hanno una dimensione n = 34. I primi due campioni in alto sono sceltiestraendo delle unita' contigue. Gli altri due in basso sono estratti casualmente. Sotto ogni�gura e' riportata la proporzione di votanti per la sinistra nel campione. In alcuni casi laproporzione stimata e' grossolanamente errata. La scelta casuale, invece, fa in modo chele unita' selezionate siano uniformemente distribuite nelle popolazione. Di conseguenza, la

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proporzione di votanti per la sinistra nel campione pur essendo diversa da 0.25, e' vicinaa questo valore. Il punto importante non e' tanto che la proporzione stimata nei campionicasuali e' vicina al vero, ma che e' possibile sapere di quanto e' errata. Esiste infatti unarelazione tra l'errore e la dimensione del campione.

Con altri metodi, per quanto intelligenti, non e' possibile sapere l'ordine di grandezzadell'errore.

577. Un metodo, utilizzato spesso in passato, e' il campionamento per quote. L'idea e' quelladi costruire un campione che riproduca la popolazione in alcune caratteristiche importantiche si pensano collegate al voto, assegnando agli intervistatori delle `quote' di interviste deivari tipi da fare, ma per il resto, lasciando ad essi liberta' di scelta.

578. Ad esempio, supponiamo di sapere che il voto e' associato all'eta': gli elettori conun'eta' maggiore o uguale a 30 anni tendono a votare per la destra. Supponiamo che nellapopolazione vi sia la situazione seguente:

Eta'

Voto <30 30+ Totale

D 15 60 75

S 15 10 25

Totale 30 70 100

Ovviamente, non possiamo conoscere le frequenze interne alla tavola, ma e' noto che vi e'associazione tra il voto e l'eta'. Ne' si conosce il totale di votanti per la destra e la sinistra,perche' e' proprio cio' che si vuole stimare. Tuttavia, supponiamo di conoscere, da un recentecensimento, il numero di elettori di eta' inferiore a 30 e il numero di elettori di eta' superiorea 30, sappiamo cioe' che il 30% della popolazione e' `giovane' e il 70% della popolazionee' `vecchio'. Pertanto, decidiamo di costruire un campione che rispetti questa proporzione e,siccome dobbiamo estrarre un campione di n = 34 elementi, facciamo in modo che il campionecontenga 10 `giovani' e 24 `vecchi' (10 e' circa il 30% di 34). Cio' fatto, siamo liberi di sceglierechi vogliamo purche' nel campione alla �ne compaiano 10 `giovani' e 24 `vecchi'.

Ora, questa prescrizione non e' miracolosa, perche' non impedisce che avvengano distor-sioni a favore della destra o della sinistra. Per esempio, supponiamo che gli elettori di sinistrasiano piu' facili da trovare e che gli elettori di destra siano piu' scorbutici. L'intervistatorescegliera' i 10 `giovani' includendo troppi votanti di sinistra e i 24 `vecchi' includendo, anche inquesto caso, troppi votanti di sinistra semplicemente perche' l'intervistatore tende a sceglierechi (avendo le caratteristiche prescritte) consente di concludere prima le interviste.

Pertanto, il campione tende a essere composto complessivamente da una proporzionetroppo alta di votanti di sinistra, portando a una distorsione della stima. Si osservi chel'ammontare della distorsione non e' noto e non si puo' controllare.

579. 1I candidati alle elezioni presidenziali del 1948 negli Stati Uniti erano Truman (de-mocratico), Dewey (repubblicano), Thurmond e Wallace. I sondaggi di tre agenzie (Crossley,

1L'esempio seguente e' ripreso da Freedman D., Pisani R., Purves R. e Adhikari A. (1991) Statistics, Norton,New York.

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Gallup e Roper) dettero favorito Dewey. I risultati delle elezioni assegnarono invece la vittoriaa Truman, con una percentuale nettamente diversa da quella prevista dai sondaggi.

Candidati Crossley Gallup Roper Risultati definitivi

Truman 45 44 38 50

Dewey 50 50 53 45

Thurmond 2 2 5 3

Wallace 3 4 4 2

Il metodo di campionamento usato allora era il campionamento per quota. Ogni intervista-tore doveva rispettare delle quote �sse di soggetti da intervistare a seconda del sesso, dellaresidenza, dell'eta', della razza e dello stato economico. In tal modo il campione �nale rispec-chiava la struttura della popolazione (nota dal censimento) per quanto riguardava i caratterielencati. A parte il vincolo appena spiegato ogni intervistatore era libero di scegliere i soggettiche voleva.

La scelta soggettiva degli intervistatori e' stata la causa della distorsione del campione afavore di Dewey, cioe' dei Repubblicani. Infatti, i Repubblicani, nel 48, avevano un gradodi istruzione piu' elevato, erano in media piu' ricchi dei Democratici era piu' probabile cheavessero un telefono e una residenza stabile. Pertanto, in conclusione, i Repubblicani eranopiu' facili da trovare e da intervistare dei Democratici. Questo fu precisamente cio' che causo'la distorsione a favore di Dewey nei campioni per quota del 1948.

Dopo il 1948 tutte le agenzie statistiche passarono al campionamento casuale nelle loroindagini. Questa tecnica ha permesso di eliminare la distorsione non intenzionale tipica delcampionamento per quota.

580. Che cos'e' un campione casuale?E' un campione costruito selezionando le unita' dalla popolazione secondo una procedura

ben de�nita che comporta l'utilizzazione di un sorteggio. Nei campioni casuali semplici ogniunita' della popolazione ha la stessa probabilita' di essere sorteggiata, come in una lotteria.

581. Corrisponde a includere le unita' nel campione scegliendole a caso?L'espressione `a caso' e' imprecisa se non si speci�ca esattamente il suo signi�cato. Ad

esempio, un campione di studenti della facolta' costruito includendo i primi 50 studenti chearrivano la mattina da' l'impressione di essere casuale, ma non lo e' nel senso sopra descritto.In un campione casuale semplice deve essere possibile a�ermare che ogni unita' della popola-zione (di studenti, in questo caso) ha la stessa probabilita' di far parte del campione. In questocaso sembra di�cile a�ermare che uno studente che non frequenta ha la stessa probabilita' diessere scelto di uno che frequenta.

582. Come si realizza una estrazione causale?Con un meccanismo di sorteggio tipo `urna rotante' del Lotto, o similare. Lo strumento

tipico e' un urna piena di palline numerate, tante quante sono le unita' della popolazione,tutte dello stessa dimensione e peso. Se l'urna e' continuamente mescolata e viene estrattauna pallina, ogni pallina ha la stessa probabilita' di essere estratta.

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583. Se la popolazione e' composta di migliaia di unita', la tecnica dell'urna sembra scomo-da. Come si procede allora?

Si usano le tavole dei numeri casuali oppure dei generatori di numeri pseudo-causalisimulati da un computer.

584. Che cosa sono le tavole dei numeri casuali?

E' una raccolta di milioni di numeri da 0 a 9 estratti con il procedimento dell'urna ognivolta reinserendo il numero estratto. Con questa tecnica i numeri da 0 a 9 hanno (circa) lastessa frequenza nella tavola. Non solo, ma anche i numeri da 0 a 99 hanno la stessa frequenzae cosi' i numeri da 0 a 999, etc.

Volendo estrarre un numero di tre cifre, basta prima estrarre a caso una riga e una colonnadi partenza (con qualche metodo semplice) e quindi prendere tre cifre contigue.

4 1 9 8 5 8 7 7 7 7 3 2 0 2 7 5 8 2 5 4 8 5 7 2 8 4 5 3 9 1 3 1 3 6 2 6 1 8 9 76 0 1 1 7 2 8 5 7 9 3 7 8 4 1 5 7 9 9 2 7 9 3 1 6 2 3 8 8 4 5 7 2 0 6 3 8 1 0 16 9 4 0 0 4 9 9 7 6 4 2 3 5 0 2 4 7 8 4 6 5 1 5 6 9 0 7 8 5 7 9 3 9 9 9 5 1 7 52 5 4 4 3 8 4 0 3 9 7 5 6 0 0 9 2 0 5 9 7 7 8 3 6 7 9 5 9 7 8 0 7 4 7 9 8 1 3 43 9 7 7 5 0 0 8 3 9 4 1 4 3 5 2 5 5 8 0 2 9 4 8 2 0 1 5 4 6 4 7 4 8 6 8 5 0 2 73 1 4 9 4 1 6 1 3 9 8 8 5 0 4 8 4 1 0 5 2 8 9 8 2 4 4 2 5 0 9 0 6 1 8 3 9 7 9 82 1 0 1 5 5 3 5 7 0 0 7 7 2 5 1 8 1 1 9 6 0 1 1 6 1 3 0 9 0 3 6 8 2 5 8 3 2 9 03 4 7 5 4 8 5 3 1 7 2 4 2 0 0 7 1 9 6 0 2 1 8 5 6 0 6 3 2 4 3 4 0 6 5 1 8 0 9 56 4 9 0 4 7 0 6 3 1 8 4 6 7 7 1 3 4 7 3 5 3 7 1 5 4 8 1 9 4 0 1 6 8 0 3 1 9 3 68 0 0 3 1 1 1 0 9 6 7 9 8 0 3 0 6 2 6 6 6 5 3 1 1 9 2 6 2 5 4 5 5 5 0 6 5 0 9 15 1 2 8 4 0 2 4 3 1 9 6 9 6 6 3 3 9 7 8 8 8 8 6 6 7 3 8 2 6 9 1 4 0 1 2 8 9 4 55 5 2 0 8 0 2 8 2 2 9 3 9 9 9 9 6 5 7 5 7 4 8 9 4 2 9 0 3 7 1 6 1 6 9 3 6 3 2 52 7 9 8 3 4 2 1 2 9 9 3 1 5 8 0 8 8 9 2 7 1 6 9 6 6 9 1 2 2 2 1 6 1 0 3 2 4 8 49 5 4 2 1 3 9 0 4 5 1 9 8 7 8 7 7 4 2 0 6 6 5 3 0 2 2 3 0 0 2 1 8 0 4 0 7 3 0 12 7 9 7 4 7 1 5 6 5 2 0 0 1 5 6 4 4 5 5 8 9 5 3 5 1 3 5 7 1 1 5 2 8 6 4 8 4 2 63 1 6 9 9 5 8 5 4 3 2 6 8 7 7 3 1 3 4 4 4 5 5 7 5 2 2 2 6 2 1 1 2 0 6 0 2 3 2 77 8 2 6 1 8 4 7 9 3 1 8 4 6 3 2 0 0 6 3 0 8 6 8 5 1 3 5 8 7 5 0 2 3 5 6 4 3 4 94 0 4 9 6 5 3 8 9 9 7 7 6 4 3 2 7 2 9 1 5 7 7 3 4 5 4 1 5 8 0 1 6 8 2 0 9 2 7 20 8 8 7 7 8 5 0 6 1 3 7 7 7 5 7 5 4 6 2 8 8 0 3 2 9 0 4 8 6 2 3 6 1 2 6 9 5 4 18 3 1 4 0 2 1 3 6 6 1 9 5 5 0 8 0 5 2 6 6 7 3 0 0 1 9 1 6 0 4 2 0 5 4 9 8 5 9 48 2 0 3 8 7 0 2 5 3 6 7 9 0 8 5 1 5 8 4 1 4 0 9 4 1 1 7 6 9 2 5 1 5 4 0 2 4 6 09 7 6 9 0 4 7 3 4 0 8 0 7 8 5 0 0 8 1 4 8 6 7 2 4 9 6 9 8 3 0 2 2 8 0 0 5 6 0 66 2 3 8 7 8 0 8 4 6 9 7 6 5 8 8 9 5 9 5 8 2 1 7 5 8 0 7 8 8 2 0 1 7 9 9 0 7 5 20 3 1 3 7 1 8 9 4 7 7 8 2 2 3 4 4 5 9 1 3 7 8 2 5 3 6 0 3 6 9 1 6 4 7 5 7 3 7 34 5 7 0 0 7 6 1 9 3 2 1 0 6 7 8 4 7 5 9 8 5 2 9 7 9 4 3 3 0 1 3 4 6 4 2 6 4 5 72 6 4 1 1 8 2 2 6 1 2 1 4 3 3 3 4 9 2 9 8 4 8 2 4 5 0 6 5 6 8 2 2 6 3 6 0 7 2 13 8 9 0 9 6 8 9 9 5 6 0 2 3 7 6 1 8 6 7 9 0 7 9 1 5 2 3 1 9 6 0 2 5 9 9 4 7 6 63 9 8 2 2 0 6 7 7 3 5 7 4 5 3 1 4 3 1 6 6 1 4 3 1 2 4 4 7 3 0 6 6 9 1 7 8 5 3 04 4 1 0 3 6 3 4 0 5 5 0 1 1 9 8 9 7 2 4 7 5 1 6 6 7 4 3 7 6 7 2 4 4 2 2 1 1 2 42 9 3 2 1 0 0 0 9 6 4 7 8 4 4 8 5 3 8 6 6 5 0 0 5 3 8 5 0 0 2 5 9 9 1 0 3 3 6 86 8 0 6 8 9 9 9 1 2 1 3 4 4 8 6 7 2 9 6 1 5 2 9 1 8 5 3 5 8 7 1 3 1 1 7 4 5 7 23 0 6 1 9 1 5 5 7 2 3 4 5 1 3 1 1 3 3 9 7 7 8 3 6 1 8 7 9 2 3 1 8 9 4 2 0 5 1 99 1 3 0 5 6 2 2 1 2 1 2 5 6 5 8 8 2 8 2 2 4 7 7 0 3 4 2 3 5 5 5 9 6 2 6 1 3 5 78 3 0 1 3 2 9 6 0 3 9 0 8 9 1 5 3 3 8 0 9 2 6 3 8 3 3 7 8 3 5 3 5 8 2 8 4 1 1 14 9 9 3 4 7 3 3 8 7 3 2 1 6 0 5 4 3 0 1 7 5 8 8 0 0 4 9 9 6 9 4 8 1 6 7 6 8 8 79 2 0 7 2 6 4 2 5 3 1 9 6 3 5 3 6 6 9 1 8 4 7 4 2 7 0 8 9 9 0 1 6 3 9 9 9 2 6 36 5 5 1 2 7 6 7 5 8 8 9 8 8 8 1 8 9 7 6 2 9 0 0 8 0 7 1 2 3 2 0 1 8 3 3 7 7 6 49 6 1 6 5 0 0 0 2 4 0 3 7 3 1 3 1 7 5 0 0 8 3 3 7 7 1 5 1 3 6 5 7 1 8 7 7 3 2 38 5 1 0 0 9 5 3 7 9 9 7 5 2 3 8 3 3 2 7 1 2 7 3 8 7 9 0 2 0 1 5 0 8 1 3 8 2 5 42 7 0 9 2 7 2 9 6 7 0 9 2 9 3 6 6 2 0 8 1 8 0 1 5 4 5 0 7 1 5 4 8 2 5 4 3 8 3 4

585. Quali sono le caratteristiche fondamentali dei campioni casuali?

(a) La scelta degli elementi del campione non dipende dall'intervistatore, ma da un mec-canismo aleatorio (cioe' casuale) controllato. (b) Ogni elemento della popolazione ha unaprecisa e pre�ssata probabilita' di entrare nel campione. (c) E' necessario possedere la listacompleta delle unita' della popolazione.

586. Quali sono gli schemi fondamentali del campionamento casuale?

Sono due. Il campionamento casuale semplice con ripetizione e il campionamento casualesemplice senza ripetizione.

587. Che cos'e' il campionamento casuale semplice con ripetizione?

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E' il campione di n elementi estratto da una popolazione di N elementi (N > n) ottenutocon lo schema sequenziale seguente: si estrae casualmente dalla popolazione di N elementiuna unita', e questa viene reinserita nella popolazione; quindi si estrae nuovamente dallapopolazione di N elementi una nuova unita' e anche questa viene reinserita, e cosi' via. Inquesto modo nel campione puo' capitare la stessa unita' piu' di una volta. Inoltre, il campionepotrebbe avere una numerosita' maggiore di quella della popolazione.

Questo procedimento puo' essere realizzato con la tavola dei numeri casuali scegliendo iprimi n numeri utili a partire da un punto a caso. Per esempio, dovendo scegliere un campionedi 10 elementi da una popolazione di 410 unita' si scelgono, partendo come detto da una rigae una colonna casuali, i primi 10 numeri di tre cifre minori o uguali a 410. La �gura seguenteillustra il procedimento che porta all'estrazione delle unita' numero 96, 405, 261, 193, 340,253, 366, 61, 45, 129.

4 1 9 8 5 8 7 7 7 7 3 2 0 2 7 5 8 2 5 4 8 5 7 2 8 4 5 3 9 1 3 1 3 6 2 6 1 8 9 76 0 1 1 7 2 8 5 7 9 3 7 8 4 1 5 7 9 9 2 7 9 3 1 6 2 3 8 8 4 5 7 2 0 6 3 8 1 0 16 9 4 0 0 4 9 9 7 6 4 2 3 5 0 2 4 7 8 4 6 5 1 5 6 9 0 7 8 5 7 9 3 9 9 9 5 1 7 52 5 4 4 3 8 4 0 3 9 7 5 6 0 0 9 2 0 5 9 7 7 8 3 6 7 9 5 9 7 8 0 7 4 7 9 8 1 3 43 9 7 7 5 0 0 8 3 9 4 1 4 3 5 2 5 5 8 0 2 9 4 8 2 0 1 5 4 6 4 7 4 8 6 8 5 0 2 73 1 4 9 4 1 6 1 3 9 8 8 5 0 4 8 4 1 0 5 2 8 9 8 2 4 4 2 5 0 9 0 6 1 8 3 9 7 9 82 1 0 1 5 5 3 5 7 0 0 7 7 2 5 1 8 1 1 9 6 0 1 1 6 1 3 0 9 0 3 6 8 2 5 8 3 2 9 03 4 7 5 4 8 5 3 1 7 2 4 2 0 0 7 1 9 6 0 2 1 8 5 6 0 6 3 2 4 3 4 0 6 5 1 8 0 9 56 4 9 0 4 7 0 6 3 1 8 4 6 7 7 1 3 4 7 3 5 3 7 1 5 4 8 1 9 4 0 1 6 8 0 3 1 9 3 68 0 0 3 1 1 1 0 9 6 7 9 8 0 3 0 6 2 6 6 6 5 3 1 1 9 2 6 2 5 4 5 5 5 0 6 5 0 9 15 1 2 8 4 0 2 4 3 1 9 6 9 6 6 3 3 9 7 8 8 8 8 6 6 7 3 8 2 6 9 1 4 0 1 2 8 9 4 55 5 2 0 8 0 2 8 2 2 9 3 9 9 9 9 6 5 7 5 7 4 8 9 4 2 9 0 3 7 1 6 1 6 9 3 6 3 2 52 7 9 8 3 4 2 1 2 9 9 3 1 5 8 0 8 8 9 2 7 1 6 9 6 6 9 1 2 2 2 1 6 1 0 3 2 4 8 49 5 4 2 1 3 9 0 4 5 1 9 8 7 8 7 7 4 2 0 6 6 5 3 0 2 2 3 0 0 2 1 8 0 4 0 7 3 0 12 7 9 7 4 7 1 5 6 5 2 0 0 1 5 6 4 4 5 5 8 9 5 3 5 1 3 5 7 1 1 5 2 8 6 4 8 4 2 63 1 6 9 9 5 8 5 4 3 2 6 8 7 7 3 1 3 4 4 4 5 5 7 5 2 2 2 6 2 1 1 2 0 6 0 2 3 2 77 8 2 6 1 8 4 7 9 3 1 8 4 6 3 2 0 0 6 3 0 8 6 8 5 1 3 5 8 7 5 0 2 3 5 6 4 3 4 94 0 4 9 6 5 3 8 9 9 7 7 6 4 3 2 7 2 9 1 5 7 7 3 4 5 4 1 5 8 0 1 6 8 2 0 9 2 7 20 8 8 7 7 8 5 0 6 1 3 7 7 7 5 7 5 4 6 2 8 8 0 3 2 9 0 4 8 6 2 3 6 1 2 6 9 5 4 18 3 1 4 0 2 1 3 6 6 1 9 5 5 0 8 0 5 2 6 6 7 3 0 0 1 9 1 6 0 4 2 0 5 4 9 8 5 9 48 2 0 3 8 7 0 2 5 3 6 7 9 0 8 5 1 5 8 4 1 4 0 9 4 1 1 7 6 9 2 5 1 5 4 0 2 4 6 09 7 6 9 0 4 7 3 4 0 8 0 7 8 5 0 0 8 1 4 8 6 7 2 4 9 6 9 8 3 0 2 2 8 0 0 5 6 0 66 2 3 8 7 8 0 8 4 6 9 7 6 5 8 8 9 5 9 5 8 2 1 7 5 8 0 7 8 8 2 0 1 7 9 9 0 7 5 20 3 1 3 7 1 8 9 4 7 7 8 2 2 3 4 4 5 9 1 3 7 8 2 5 3 6 0 3 6 9 1 6 4 7 5 7 3 7 34 5 7 0 0 7 6 1 9 3 2 1 0 6 7 8 4 7 5 9 8 5 2 9 7 9 4 3 3 0 1 3 4 6 4 2 6 4 5 72 6 4 1 1 8 2 2 6 1 2 1 4 3 3 3 4 9 2 9 8 4 8 2 4 5 0 6 5 6 8 2 2 6 3 6 0 7 2 13 8 9 0 9 6 8 9 9 5 6 0 2 3 7 6 1 8 6 7 9 0 7 9 1 5 2 3 1 9 6 0 2 5 9 9 4 7 6 63 9 8 2 2 0 6 7 7 3 5 7 4 5 3 1 4 3 1 6 6 1 4 3 1 2 4 4 7 3 0 6 6 9 1 7 8 5 3 04 4 1 0 3 6 3 4 0 5 5 0 1 1 9 8 9 7 2 4 7 5 1 6 6 7 4 3 7 6 7 2 4 4 2 2 1 1 2 42 9 3 2 1 0 0 0 9 6 4 7 8 4 4 8 5 3 8 6 6 5 0 0 5 3 8 5 0 0 2 5 9 9 1 0 3 3 6 86 8 0 6 8 9 9 9 1 2 1 3 4 4 8 6 7 2 9 6 1 5 2 9 1 8 5 3 5 8 7 1 3 1 1 7 4 5 7 23 0 6 1 9 1 5 5 7 2 3 4 5 1 3 1 1 3 3 9 7 7 8 3 6 1 8 7 9 2 3 1 8 9 4 2 0 5 1 99 1 3 0 5 6 2 2 1 2 1 2 5 6 5 8 8 2 8 2 2 4 7 7 0 3 4 2 3 5 5 5 9 6 2 6 1 3 5 78 3 0 1 3 2 9 6 0 3 9 0 8 9 1 5 3 3 8 0 9 2 6 3 8 3 3 7 8 3 5 3 5 8 2 8 4 1 1 14 9 9 3 4 7 3 3 8 7 3 2 1 6 0 5 4 3 0 1 7 5 8 8 0 0 4 9 9 6 9 4 8 1 6 7 6 8 8 79 2 0 7 2 6 4 2 5 3 1 9 6 3 5 3 6 6 9 1 8 4 7 4 2 7 0 8 9 9 0 1 6 3 9 9 9 2 6 36 5 5 1 2 7 6 7 5 8 8 9 8 8 8 1 8 9 7 6 2 9 0 0 8 0 7 1 2 3 2 0 1 8 3 3 7 7 6 49 6 1 6 5 0 0 0 2 4 0 3 7 3 1 3 1 7 5 0 0 8 3 3 7 7 1 5 1 3 6 5 7 1 8 7 7 3 2 38 5 1 0 0 9 5 3 7 9 9 7 5 2 3 8 3 3 2 7 1 2 7 3 8 7 9 0 2 0 1 5 0 8 1 3 8 2 5 42 7 0 9 2 7 2 9 6 7 0 9 2 9 3 6 6 2 0 8 1 8 0 1 5 4 5 0 7 1 5 4 8 2 5 4 3 8 3 4

588. Si osservi che nella tavola dei numeri casuali puo' capitare di estrarre la stessa unita'piu' volte.

589. Come si realizza il campionamento casuale semplice senza ripetizione?Si utilizza lo schema sequenziale seguente: si estrae casualmente dalla popolazione di N

elementi una unita' e questa viene tenuta fuori dalla popolazione; quindi si estrae casualmentedalla popolazione degli N � 1 elementi rimasti una nuova unita', e anche questa viene tenutafuori, e cosi' via. Cosi' il campione ottenuto e' composto di unita' tutte diverse. Anchequesto procedimento puo' essere realizzato con la tavola dei numeri casuali scegliendo i primin numeri utili senza considerare le eventuali ripetizioni.

590. Qual'e' l'insieme dei possibili campioni casuali semplici con ripetizione?

153

E' l'insieme di tutte le N -uple di numeri da 1 a N . In totale ci sono Nn campioni conripetizione. Per esempio, se N = 4 e n = 2 ci sono 16 possibili campioni con ripetizioneelencati sotto.

1 1 1 2 1 3 1 4

2 1 2 2 2 3 2 4

3 1 3 2 3 3 3 4

4 1 4 2 4 3 4 4

591. Qual'e' l'insieme dei possibili campioni casuali senza ripetizione?

E' l'insieme di tutti i possibili sottoinsiemi di n elementi presi f1; 2; : : : ; Ng: In totale cisono

�Nn

�possibili campioni senza ripetizione. Per esempio, se N e' ancora uguale a 4 e n = 2,

tutti i possibili campioni senza ripetizione sono i seguenti 6.

1 2 1 3 1 4

2 3 2 4

3 4

592. Qual'e' la caratteristica dei campioni casuali semplici (con ripetizione o senza)?

Si puo' dimostrare che tutti i possibili campioni hanno la stessa probabilita' di essereestratti.

593. Che tipi di campionamento casuale esistono oltre il campionamento casuale semplice?

Vi sono molti schemi di campionamento casuale. I piu' utilizzati sono il campionamentostrati�cato e il campionamento a due stadi.

594. Come si realizza un campione casuale strati�cato?

Si suddivide la popolazione in un certo numero di strati, cioe' in sottopopolazioni (adesempio, maschi e femmine), quindi da ciascuno strato si estrae un campione casuale semplice.

595. Come si realizza un campione a due stadi?

Si suddivide la popolazione in un certo numero di sottoinsiemi di unita' contigue (peresempio, le famiglie, in un indagine sulle persone o le classi in una indagine sugli studenti;i quartieri in una indagine sulle abitazioni). Tali sottoinsiemi si dicono grappoli. Quindi sifanno due estrazioni: nel primo stadio si estrae un campione casuale di grappoli e nel secondostadio si estraggono casualmente da ogni grappolo un certo numero di unita'.

596. Quali sono i vantaggi del campionamento a due stadi?

(a) Spesso non si dispone della lista completa delle unita' elementari e per questo tipo dicampionamento basta procurarsi la lista delle unita' elementari dei grappoli. (b) La rilevazioneper le unita' estratte e' piu' facile perche' le unita' di un grappolo sono spazialmente vicine.

154

597. I campioni casuali sono stati usati nei sondaggi della Gallup a partire dal 1948 conbuoni risultati. I campioni usano una combinazione del metodo della strati�cazione e delcampionamento a piu' stadi.

I risultati dei sondaggi Gallup dal 1948 al 1988 sono riportati nella tabella seguente.

Anno Dimensione Vincente Previsione Risultato Errore

1952 5385 Eisenhower 51.0 55.4 +4.4%

1956 8144 Eisenhower 59.5 57.8 -1.7%

1960 8015 Kennedy 51.0 50.1 +0.9%

1964 6625 Johnson 64.0 61.3 +2.7%

1968 4414 Nixon 43.0 43.5 +0.5%

1972 3689 Nixon 62.0 61.8 -0.2%

1976 3439 Carter 49.5 51.1 -1.6%

1980 3500 Reagan 55.3 51.6 -3.7%

1984 3456 Reagan 59.0 59.2 +0.2%

1988 4089 Bush 56.0 53.9 -2.1%

La dimensione campionaria e' diminuita di quasi dieci volte. Non c'e' piu' una distorsione afavore dei Repubblicani o dei Democratici. La precisione della stima e' migliorata sensibil-mente: dal 1936 al 1948 gli errori erano circa del 5%, mentre dopo il 48 si sono abbassatialquanto.

12.3 Probabilita'

Alla base dell'estrazione di un campione casuale sta il concetto di probabilita': il meccani-smo dell'urna assegna ad ogni unita' la stessa probabilita' di venir estratta. E' importante,pertanto, conoscere gli elementi fondamentali del calcolo delle probabilita' per valutare laprobabilita' che i risultati ottenuti dal campione si avvicinino a quelli reali, cioe' a quelli dellapopolazione.

I concetti fondamentali sono quelli di esperimento casuale, di evento e di probabilita'.

598. Che cos'e' un'esperimento casuale?E' un esperimento che produce uno tra molteplici risultati possibili che a priori non sono

prevedibili con certezza. Ad esempio,(a) il lancio di una moneta, il lancio di un dado, l'esperimento dell'urna (prima discusso),

la roulette, il gioco del lotto;(b) l'esito di un parto per quanto riguarda il sesso del nascituro, l'esito (laurea o no) della

carriera di un iscritto all'universita';(c) le condizioni meteorologiche del giorno che verra'.(d) Il numero di passeggeri che si imbarca su un volo. Il numero di clienti di un super-

mercato in un dato giorno della settimana.(e) La durata di un governo, la durata di un dispositivo elettronico, la durata del periodo

di disoccupazione, il tempo di sopravvivenza dopo un trattamento medico.In un esperimento casuale si conoscono prima i possibili eventi elementari che possono

capitare, ma non si sa con precisione quale di questi si veri�chera'.

155

599. Qual'e' l'insieme degli eventi elementari per gli esperimenti (a) e (b) descritti inprecedenza?

(a) Per il lancio di una moneta e' ftesta, croceg, per il lancio di un dado f1; 2; 3; 4; 5; 6g.Per la roulette i numeri da 0 a 36, per il lotto i numeri da 1 a 90.

(b) Nel caso del parto gli eventi elementari sono: maschio e femmina, nel caso dell'iscrittoall'universita' sono: laurea, abbandono (oppure: laurea in questa facolta', laurea in altrafacolta', abbandono).

600. Che cos'e' in generale un evento?

Un evento elementare e' uno dei possibili risultati dell'esperimento casuale, mentre unevento e' una collezione di possibili risultati.

Per esempio, al gioco della roulette, i numeri f28; 29; 30; 31; 32; 33; 34; 35; 36g sono gli eventielementari che compongono l'evento èsce un numero maggiore di 27'.

Pertanto, un evento e' una a�ermazione che riguarda il risultato dell'esperimento casuale,che prima dell'esperimento e' incerta, e dopo l'esperimento o e' vera o e' falsa.

601. Descrivere gli eventi: A = èsce un numero pari' e B = èsce un numero divisibile per3' nell'esperimento di un urna contenente palline numerate da 1 a 10.

Risulta

A = f2; 4; 6; 8; 10g e B = f3; 6; 9g:

602. L'esperimento casuale che piu' ci interessa e' l'estrazione di una singola unita' da unapopolazione (�nita o in�nita). Qual'e' l'insieme degli eventi elementari?

Nell'estrazione di una singola unita' da una popolazione gli eventi elementari sono tutte leunita' della popolazione. Pertanto, l'insieme degli eventi elementari e' la popolazione stessa.

603. Che cos'e' la probabilita'?

E' una misura del grado di incertezza di un evento in un certo esperimento casuale. E'chiaro che certi eventi hanno piu' propensione a veri�carsi di altri. Per esempio, l'evento èsceun numero pari' alla roulette e' molto piu' facile che si veri�chi piuttosto che l'evento èsce ilnumero 36'. Dunque e' ragionevole misurare l'incertezza degli eventi assegnando ad essi unnumero compreso tra 0 e 1 detto probabilita' dell'evento. Quanto piu' la probabilita' e' vicinaa zero e tanto piu' l'evento si veri�ca raramente e quanto piu' la probabilita' e' vicina a 1 etanto piu' l'evento e' frequente.

Dato un evento A scriviamo la probabilita' che si veri�chi A con il simbolo pr(A).

Alcuni considerano la probabilita' di un evento un concetto concreto, �sico, associato a uncerto evento, quindi interpretano la probabilita' come qualcosa di oggttivo, che va misurato.

Altri considerano la probabilita' come una misura del grado di plausibilita' che un in-dividuo assegna al veri�carsi di un evento. La probabilita' non esiste dunque al di fuoridell'individuo che l'assegna, ma dipende dal soggetto.

Si distinguono percio' due scuole: quella oggettivista e quella soggettivista.

156

604. Come si fa ad assegnare probabilita' ad un evento?

Considereremo solo i due casi classici seguenti.

(a) L'insieme degli eventi elementari e' �nito, di numerosita' N e si assume che tali eventiabbiano tutti la stessa probabilita'.

In questo caso si assegna probabilita' 1

Nad ogni evento elementare. Per esempio, nel-

l'esperimento del lancio di un dado si puo' assumere per le caratteristiche di omogeneita'e simmetria del dado che ogni faccia abbia la stessa probabilita'. Quindi, ogni faccia haprobabilita' 1/6.

(b) L'esperimento casuale e' ripetibile nelle stesse condizioni.

In questo caso si puo' pensare di ripetere l'esperimento a piacere registrando quante voltesi veri�ca l'evento considerato sul totale di prove e�ettuate. E' un fatto empirico (la cosiddettalegge empirica del caso) che la frequenza relativa di successi a favore dell'evento, man mano cheaumenta il numero di prove tende a stabilizzarsi intorno a una certa costante. Tale costantee' la vera probabilita' dell'evento. La �gura seguente illustra il concetto rappresentando lafrequenza relativa su un gra�co cartesiano, per un evento la cui probabilita' e' 0.3.

Prove

Fre

quen

za r

elat

iva

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

....................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

0 1000 2000 3000 4000

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

605. Si puo' riassumere i concetti spiegati in questo paragrafo dicendo che un esperimentocasuale genera un evento con una certa probabilita'.

12.4 Operazioni con gli eventi

606. Tra tutti gli eventi che si possono considerare, ne esistono due che sono particolari.Essi sono l'evento impossibile e l'evento certo.

607. Che cos'e' l'evento impossibile?

E' quell'evento che non puo' mai veri�carsi. Ad esempio, l'evento `esce il numero 7' quandosi lancia un dado e' un evento impossibile. L'evento impossibile si indica con ;.

157

608. Che cos'e' l'evento certo?

E' quell'evento che si veri�ca sicuramente. Ad esempio, l'evento èsce un numero compresotra 1 e 6' quando si lancia un dado e' l'evento certo.

609. Se A e B sono due eventi e' possibile costruire nuovi eventi combinando A e B con ilcalcolo logico. Quali operazioni si possono eseguire?

Si puo' de�nire la negazione di un evento, l'unione di due eventi e l'intersezione di dueeventi.

610. Che cos'e' la negazione di un evento A?

E' un nuovo evento che si veri�ca quando A non si veri�ca e che non si veri�ca quando Asi veri�ca. Si indica con non A. Ad esempio l'evento `non esce un numero pari' al lancio diun dado e' non A = f1; 3; 5g dove A = f2; 4; 6g. Nell'esperimento dello studente che si iscriveall'universita' se l'insieme degli eventi elementari e'

U = fabbandona, si laurea in questa facolta', si laurea in altra facolta'g

e se l'evento A e' fabbandonag, l'evento non A e'

non A = fsi laurea in questa facolta', si laurea in altra facolta'g:

611. Che cos'e' l'intersezione di due eventi?

E' l'evento che si veri�ca se entrambi A e B si veri�cano. Se A e B non si possono veri�caresimultaneamente si dicono eventi incompatibili. L'intersezione si indichera' con A e B.

Ad esempio, se l'esperimento consiste nell'estrarre uno studente dalla popolazione degliiscritti al quarto anno di Scienze Politiche, e A = `viene estratto un maschio' e B = `vieneestratto uno studente che ha dato almeno 10 esami', l'evento A e B e' l'evento èsce unostudente maschio che ha dato almeno 10 esami'.

Nel lancio di un dado l'evento A e B dove A = 'esce un numero pari' e B = èsce unnumero divisibile per 3, e'

A e B = f6g:

612. Che cos'e' l'unione di due eventi?

E' quell'evento che si veri�ca se almeno uno dei due eventi si veri�ca e non si veri�case ambedue non si veri�cano. Si indica con A o B. Ad esempio, si consideri l'esperimentocasuale che consiste nel vendere un biglietto aereo a un cliente che si presenta a uno sportello.Si considerino gli eventi A = ` il cliente ha meno di 25 anni' e B = 'il cliente parte di sabato'.L'evento A o B e' l'evento ìl cliente ha meno di 25 anni o parte di sabato'. Se la compagniadecide di fare un biglietto scontato quando si veri�ca l'evento A o B, lo sconto si applica siaquando si presenta un cliente sotto 25 anni che non parte di sabato, sia quando si presentaun cliente sopra 25 che parte di sabato, sia quando si presenta un cliente sotto 25 anni cheparte di sabato. L'unico caso in cui l'evento non si veri�ca e' quando si presenta un clientesopra 25 anni che non parte di sabato.

158

613. Le operazioni tra eventi corrispondono alle usuali operazioni tra gli insiemi.

A e B B e non AA e non B

non A e non B

Nella �gura sono rappresentati due eventi A e B. Il rettangolo esterno e' l'insieme deglieventi elementari. Questo risulta suddiviso in quattro parti: A e B, nonA e B, A e nonB,nonA e nonB.

614. Quando due eventi sono incompatibili?Quando il veri�carsi dell'uno esclude il veri�carsi dell'altro. In tal caso l'intersezione dei

due eventi e' l'evento impossibile. Ad esempio, nell'esperimento che consiste nell'estrazionedi uno studente dall'insieme degli iscritti a Scienze Politiche. Gli eventi A = 'lo studente hadato meno di 10 esami' e B = 'lo studente ha dato 15 esami', sono incompatibili.

12.5 Calcolo delle probabilita'

615. Ci sono tre regole fondamentali cui la probabilita' obbedisce. Quali sono?(a) La probabilita' di un evento e' sempre un numero compreso tra 0 e 1.(b) La probabilita' dell'evento certo e' 1.(c) (Regola dell'addizione) La probabilita' che si veri�chi almeno uno di due eventi A e B

incompatibili e' la somma delle loro probabilita':

seA eB = ;; allora pr(A oB) = pr(A) + pr(B):

616. Applicare la regola al calcolo della probabilita' dell'evento E = f1; 2g nell'esperimentodel lancio di un dado.

L'evento E e' l'unione dei due eventi incompatibili A = f1g e B = f2g. Questi hannoprobabilita' ciascuno 1/6 per assunzione di equiprobabilita'. Quindi

pr(E) = pr(A oB) = pr(A) + pr(B) =1

6+1

6=

2

6:

Da questo esempio si vede che per calcolare la probabilita' di un evento E composto da keventi elementari, su un totale di N eventi elementari assunti equiprobabili, si pone

pr(E) =k

N:

159

617. La regola dell'addizione si generalizza a tre e piu' eventi incompatibili.

618. Si abbia un'urna contenente 10 palline marcate come segue

U = f2; 2; 2; 2; 2; 3; 3; 3; 4; 4g

Si consideri l'estrazione casuale di una pallina. Calcolare la probabilita' che esca una pallinamarcata 3.

E' la probabilita' che esca la sesta pallina o la settima o l'ottava. Sono tre eventi incom-patibili, pertanto la probabilita' richiesta e' la somma delle tre probabilita' 1/10. Quindi,pr(3) = 0:3:

619. Se p e' la probabilita' di A qual'e' la probabilita' di nonA?E' 1� p. Infatti l'evento A o nonA e' certo percio' ha probabilita' 1. Quindi

1 = pr(A o nonA)

Inoltre A e nonA sono incompatibili per cui si puo' applicare la regola dell'addizione

1 = pr(A) + pr(nonA)

da cui pr(nonA) = 1� pr(A):

620. Calcolare la probabilita' che non esca il 3 nell'esperimento dall'urna U descritto ilprecedenza.

La probabilita' e' 1� 0:3 = 0:7

621. Calcolare la probabilita' dell'evento impossibile.Poiche' l'evento impossibile e' la negazione dell'evento certo che ha probabilita' 1, per la

regola precedente esso ha probabilita' zero.

622. Una popolazione di famiglie e' distribuita secondo il numero di �gli come segue

Figli 0 1 2 3 4+

frequenza 200 800 500 300 200

frequenza relativa 0.1 0.4 0.25 0.15 0.1

Si estrae casualmente una famiglia. Qual'e' la probabilita' che abbia 3 �gli?Siccome le 2000 famiglie che compongono la popolazione sono equiprobabili, la probabilita'

e' 300/2000 cioe' 0.15. Come si vede la probabilita' e' uguale alla frequenza relativa di famigliecon 3 �gli nella popolazione.

623. Qual'e' la probabilita' di estrarre una famiglia con un numero di �gli maggiore di 2?E' la probabilita' di estrarre una famiglia con 3 �gli oppure con 4 e piu' �gli. I due eventi

sono incompatibili per cui la probabilita' cercata e' la somma 0:15 + 0:1 = 0:25.

160

624. Qual'e' la probabilita' di A oB in generale, quando i due eventi sono compatibili?

Si puo' dimostrare la regola

pr(A oB) = pr(A) + pr(B)� pr(A eB):

Si osservi che se A e B sono incompatibili il termine sottratto e' sempre zero. Se sonocompatibili alla somma va tolta la probabilita' dell'intersezione per non contarla due volte.

625. Si abbia una popolazione di 100 studenti distribuiti secondo il sesso e il fumo nel modoseguente

Fumo

Sesso Si' No Tot

M 20 40 60

F 30 10 40

Tot 50 50 100

e si estragga casualmente uno studente da questa popolazione.Calcolare la probabilita' diestrarre uno studente che fuma.

La probabilita' di estrarre uno studente che fuma e' 0.5 perche' vi sono 50 fumatori e 50non fumatori (a prescindere dal sesso) e ognuno ha la stessa probabilita' di essere estratto.

626. Calcolare la probabilita' di estarre una femmina.

Risulta

pr(femmina) = 40=100:

627. Calcolare la probabilita' di estrarre uno studente che sia fumatore e di sesso femminile.

Ci sono 30 studentesse che fumano, pertanto la probabilita' richiesta e'

pr(femmina e fuma) = 30=100:

628. Calcolare la probabilita' di estrarre un maschio oppure un fumatore.

E' la probabilita' di estrarre un maschio piu' la probabilita' di estrarre un fumatore menola probabilita' di estrarre un maschio che fuma. Quindi,

pr(maschio o fumatore) =60

100+

50

100� 20

100= 90=100:

12.6 Probabilita' condizionata

629. Talvolta e' opportuno chiedersi quale sarebbe la probabilita' di un evento se si fossea conoscenza di informazioni supplementari che modi�cano l'insieme degli eventi elementari.Tal probabilita' e' detta probabilita' condizionata.

161

630. Che cos'e' la probabilita' condizionata (o condizionale)?E' la probabilita' di un evento subordinatamente al veri�carsi di un altro evento. Ad

esempio, consideriamo ancora l'esempio degli studenti e studentesse, fumatori e non, discussoin precedenza. Come sappiamo, se si estrae a caso uno studente la probabilita' che fumi e'0.5.

Supponiamo ora di sapere che lo studente estratto e' una femmina. Qual'e' la probabilita'che tale femmina sia fumatrice? Ossia qual'e' la probabilita' di estrarre un individuo che fumasapendo che tale individuo e' di sesso femminile? L'informazione sul sesso dell'estratto modi-�ca l'insieme degli eventi elementari perche' ora sappiamo di sicuro che non abbiamo estrattouno dei 60 maschi. Percio' l'insieme degli eventi elementari e' composto da 40 femmine. Diqueste, 30 fumano. Siccome i 40 casi che possono veri�carsi sono equiprobabili la probabilita'di estrarre uno studente che fuma, sapendo che si tratta di una femmina e' 30/40=0.75.

631. Qual'e' la regola generale per calcolare la probabilita' condizionata?La probabilita' condizionata di un evento A dato un evento B, scritta pr(A j B) e' il rap-

porto tra la probabilita' del veri�carsi congiunto dei due eventi e la probabilita' del veri�carsiell'evento condizionante

pr(A j B) = pr(A eB)

pr(B):

(Se la probabilita' di B e' zero anche il numeratore e' zero e la formula diventa una formaindeterminata.)

632. Calcolare la probabilita' di estrarre un fumatore sapendo che e' stato estratto unmaschio.

Si ha

pr(fuma jmaschio) =pr(maschio e fuma)

pr(maschio)=

20=100

60=100= 1=3 = 0:33:

633. Calcolare la probabilita' di estrarre una femmina condizionata al veri�carsi dell'evento`fuma'.

Risulta

pr(femmina j fuma) =pr(femmina e fuma)

pr(fuma)=

30=100

50=100= 3=5 = 0:60:

12.7 Indipendenza

634. Talvolta la probabilita' condizionata e' diversa dalla probabilita' non condizionata. Intal caso si dice che gli eventi sono dipendenti. Per esempio l'evento `femmina' e l'evento 'fuma'sono dipendenti perche'

0:5 = pr(fuma) 6= pr(fuma j femmina) = 0:75

Il fatto di conoscere che il soggetto e' femmina modi�ca la probabilita' del veri�carsi del-l'evento `fuma'. In questo esempio e' piu' probabile che fumi se so che si tratta di unafemmina.

162

635. In altri casi il fatto di conoscere un evento non modi�ca la probabilita' del veri�carsidell'altro evento. Ad esempio, si consideri la popolazione di 100 laureati classi�cati secondola scuola di provenienza e il tempo impiegato per laurearsi.

Anni per laurearsi

Scuola meno di 5 5 e piu' Tot

Liceo 6 24 30

Istituti Tecnici 14 56 70

Tot 20 80 100

Si estrae casualmente uno studente. Si considerino gli eventi `laurea in meno di 5 anni' e`studente del liceo'. Risulta

pr(< 5 j liceo) = 6=100

30=100= 0:2; pr(< 5) = 20=100 = 0:2:

Quindi il fatto di sapere che lo studente e' un liceale non modi�ca la probabilita' di laurearsiin meno di 5 anni. In questo caso si dice che il primo evento non dipende dal secondo.

636. In generale A non dipende da B se pr(A j B) = pr(A).

637. Dimostrare che se A non dipende da B anche B non dipende da A.

Infatti, la de�nizione equivale a

pr(A eB)

pr(B)= pr(A)

che a sua volta e' equivalente a

pr(B eA)

pr(A)= pr(B)

cioe' a pr(B j A) = pr(B) per cui B non dipende da A.

638. Se A non dipende da B e dunque B non dipende da A risulta

pr(A eB) = pr(A)pr(B):

Infatti, basta riaggiustare l'identita' precedente

pr(A eB)

pr(B)= pr(A)

163

639. Quando si dice che due eventi sono indipendenti?Diremo che gli eventi A e B sono indipendenti se si veri�ca una delle tre condizioni

equivalenti

pr(A j B) = pr(A)

pr(B j A) = pr(B)

pr(A e B) = pr(A)pr(B)

L'ultima condizione fornisce quella che si chiama regola della moltiplicazione, secondo cui dueeventi sono indipendenti se la probabilita' del loro veri�carsi congiunto e' uguale al prodottodelle loro probabilita'.

640. Si puo' dire che due eventi sono indipendenti se il veri�carsi dell'uno e' indipendentedal veri�carsi dell'altro?

No. La de�nizione di indipendenza deve descrivere precisamente la struttura delle proba-bilita' che e' necessaria.

641. Dire che due eventi sono indipendenti e' lo stesso che dire che sono incompatibili?No, due eventi sono incompatibili se per costruzione, non si possono mai veri�care simul-

taneamente. Percio' la probabilita' non c'entra in questa de�nizione. Invece, due eventi sonoindipendenti se la probabilita' che si veri�chino simultaneamente e' proprio uguale al prodottodelle probabilita'.

642. Come si puo' calcolare la probabilita' del veri�carsi congiunto di due eventi?Tale probabilita' e' uguale al prodotto delle probabilita' dei due eventi se i due eventi

sono indipendenti. Se non lo sono, la probabilita' congiunta si puo' calcolare con la formulaseguente

pr(A e B) = pr(A)pr(B j A)che e' semplicemente una riformulazione della de�nizione di probabilita' condizionata. Si puo'interpretare dicendo che la probabilita' del veri�carsi di A e B e' la probabilita' del veri�carsidi A moltiplicata per la probabilita' del veri�carsi di B dato che si e' veri�cato A.

643. Si consideri un'urna contenente 5 palline numerate f1; 2; 3; 4; 5g e l'esperimento casualeche consiste nell'estrazione senza ripetizione di due palline. Si considerino gli eventi A = 'esce1 alla prima estrazione', e B = ` esce 4 alla seconda estrazione'. Calcolare la probabilita' diA eB.

L'evento A e B si realizza se esce l'1 alla prima e il 4 alla seconda estrazione. La suaprobabilita' e' il prodotto delle probabilita' di A e di B j A. Cioe'

pr(1I e 4II) = pr(1I)pr(4II j 1I) = 1

5� 1

4=

1

9:

SETTIMANA 13

Campionamento da una popolazione

dicotomica

In questa lezione viene spiegato come alcune popolazioni molto frequenti nelle applicazioni,le popolazioni dicotomiche, possono essere descritte da una semplice distribuzione di proba-bilita'. La distribuzione di probabilita' e' completamente conosciuta se si conosce un unicoparametro che la de�nisce. Vedremo che il campionamento casuale consente di stimare taleparametro e fornisce altresi' una misura del'errore dovuto al campionamento. In questa le-zione viene considerato il caso di una popolazione dicotomica, mentre nella prossima verra'studiato il campionamento da una popolazione avente una distribuzione detta Gaussiana onormale.

13.1 Variabili aleatorie

644. Che cos'e' una variabile aleatoria (o variabile causuale) discreta?

Consideriamo l'insieme degli eventi elementari associati a un certo esperimento casuale.Per semplicita' supponiamo che gli eventi elementari siano in numero �nito ed equiprobabili.Questo schema e' quello dell'estrazione casuale di una unita' da una popolazione �nita.

Se si rileva una certa variabile X su ogni unita' la probabilita' di estrarre una unita' conun valore x della variabile e'

p(x) = prfX = xg = frequenza di unita' con un valore x della variabile

numero totale di unita'

Pertanto, per ogni modalita' x della variabile resta de�nita la probabilita' p(x) di osservarla.Allora, una variabile aleatoria discreta e' de�nita semplicemente elencando le modalita' x ele probabilita' ad esse associate p(x).

645. Fare un esempio di variabile aleatoria.

165

166

Sia data una popolazione contenente 10 unita', marcate come segue

U = f0; 0; 0; 0; 1; 1; 2; 2; 2; 2g

La variabile X assume tre modalita': 0; 1; 2 con probabilita' associate

p(0) = 0:4; p(1) = 0:2; p(2) = 0:4

646. Quali sono le proprieta' di una variabile aleatoria discreta?Le sue modalita' si possono elencare e le probabilita' associate p(x) hanno somma 1. La

funzione p(x) descrive la distribuzione di probabilita' della variabile aleatoria X .

647. Supponiamo che una popolazione di famiglie abbia la seguente distribuzione secondoil numero di componenti.

Componenti 2 3 4 5 Totale

Frequenza 300 400 200 100 1000

Qual'e' la distribuzione di probabilita' del numero di componenti di una famiglia estrattacasualmente?

Le probabilita' sono esattamente uguali alle frequenze relative. La variabile aleatoria e'X con distribuzione

x : 2 3 4 5p(x) : 0:3 0:4 0:2 0:1

13.2 Variabile di Bernoulli

648. Qual'e' il caso piu' semplice di variabile aleatoria discreta?

La variabile aleatoria che assume due soli valori, denominati convenzionalmente successoe insuccesso. Tale variabile e' detta dicotomica o binaria. Tutti i fenomeni sui quali si osservala presenza o l'assenza di una certa caratteristica possono essere rappresentati teoricamentein questo modo. Alcuni esempi sono i seguenti.

� E' favorevole al federalismo? (si', no)

� E' laureato? (si', no)

� Qualita' del pezzo prodotto (buono, difettoso)

� Ha un eta' superiore a 18 anni? (si', no)

649. Come vengono indicate le modalita' di una variabile dicotomica?Solitamente si indica il successo con 1 e l'insuccesso con 0. Pertanto, per de�nire una

variabile aleatoria dicotomica occorre conoscere le due probabilita' p(0) e p(1). Poiche' X = 0e X = 1 sono due eventi complementari, la loro somma deve essere 1. Dunque basta conoscerela probabilita' di uno dei due eventi e l'altra e' calcolata facendo il complemento a uno.

167

650. Fare degli esempi di variabili aleatorie dicotomiche.

(a) Consideriamo un urna

U = f0; 0; 0; 1gLa variabile X = `viene estratto un 1' ha la distribuzione

x : 0 1p(x) : 0:75 0:25

(b) Attualmente ci sono 1246 iscritti alla facolta' di Scienze Politiche di Sassari. Di questi296 sono matricole. Se estraiamo uno studente a caso in segreteria dalla lista degli iscrittia Scienze Politiche la probabilita' di estrarre una matricola e' 296=1246 = 0:237: Percio' lavariabile X = `viene estratta una matricola' ha la distribuzione

x : no si'p(x) : 0:763 0:237

651. Scrivere la distribuzione di una variabile dicotomica in generale.

Si usa indicare con � la probabilita' di successo. Pertanto, la variabile aleatoria dicotomicae' la seguente

x : 0 1p(x) : 1� � �

La variabile aleatoria dicotomica si dice anche variabile di Bernoulli. La sua distribuzionedipende dal parametro � che rappresenta la probabilita' di successo.

652. Che cosa descrive la distribuzione di Bernoulli?

Formalmente la distribuzione di Bernoulli descrive la popolazione allorche' il carattererilevato e' dicotomico anche nel caso in cui la proporzione di successi nella popolazione stessanon e' noto. Per questo, tale proporzione nella popolazione (che e' identica alla probabilita'di estrarre un successo facendo una estrazione casuale) e' indicata con il parametro generico�. Di conseguenza possiamo usare la distribuzione di Bernoulli come modello teorico dellapopolazione dicotomica da cui si vuole estrarre un campione.

653. Si puo' utilizzare la distribuzione di Bernoulli per descrivere una popolazione in�nitasu cui si rileva un carattere dicotomico? Fare degli esempi di popolazioni di questo tipo.

In certi casi la popolazione oggetto di studio e' in�nita e il carattere che si osserva e'binario. Si considerino gli esempi seguenti.

� La popolazione dei pezzi prodotti da una macchina che possono essere buoni o difettosi

� La popolazione di individui che e' allergica o non allergica a un farmaco

� La popolazione di donne che faranno nella loro vita un �glio o piu' di un �glio

� La popolazione di bambini che nasceranno secondo il sesso.

168

In tutti gli esempi non si conosce la lista completa delle unita' della popolazione (che non sie' ancora realizzata) e la popolazione ha la caratteristica di essere idealmente in�nita. Unodei motivi per cui le popolazioni sopra elencate sono in�nite e' perche' si estendendono neltempo.

Se e' ragionevole pensare che la popolazione sia stabile nel tempo si puo' de�nire lo stessola popolazione come una variabile aleatoria di Bernoulli in cui esiste una certa probabilita'� di successo e una probabilita' 1� � di insuccesso. Tali probabilita' possono essere pensatecome limite delle frequenze relative di successo ed insuccesso in successive estrazioni di unita'dalla popolazione. Cosi' possiamo parlare della probabilita' che una macchina produca unpezzo difettoso, della probabilita' che un individuo sia allergico a un certo farmaco, dellaprobabilita' che una donna abbia un solo �glio, della probabilita' che nasca un maschio. Intutti questi casi la popolazione di riferimento e' in�nita, ma la descrizione della popolazionepuo' essere ottenuta con una variabile di Bernoulli.

654. Qual'e' la media di una variabile di Bernoulli?

Ogni variabile aleatoria discreta X ammette un valor medio E(X) che e' calcolato comenel caso delle variabili statistiche, cioe'

� = E(X) =Xx

xp(x):

La distribuzione di Bernoulli ha dunque una media

E(X) = 0� (1� �) + 1� � = �

uguale alla probabilita' di successo. La media si puo' interpretare come la media degli uno edegli zero nella popolazione che, infatti, e' uguale alla proporzione di uno nella popolazione.

655. Qual'e' la varianza della distribuzione di Bernoulli?

In analogia alle variabili statistiche si puo' calcolare la varianza di una varaibile aleatoriadiscreta, cioe'

�2 = var(X) =Xx

(x� �)2p(x):

Nel caso della Bernoulli si dimostra che la varianza e'

var(X) = �(1� �)

il prodotto della probabilita' di successo per la probabilita' di insuccesso.

656. Quando e' massima la variabilita' di una popolazione dicotomica?

Quando � = 0:5. In questo caso la varianza e' 0.025. In ogni altro caso la varianza e'minore. Per esempio, se � = 0:25 la varianza e' 0:18, se � = 0:9 la varianza e' 0:09.

169

13.3 Campionamento e universo dei campioni

657. Consideriamo i due schemi di campionamento casuale semplice: con ripetizione e senzaripetizione, applicati al caso di una popolazione dicotomica. Quali sono le principali di�erenzetra i due schemi?

Consideriamo prima il caso di una popolazione �nita. Nel campionamento casuale semplicecon ripetizione le successive estrazioni sono indipendenti e ad in ogni estrazione vi e' lastessa probabilita' di successo. Infatti, ad ogni estrazione la popolazione e' sempre la stessa(perche' l'unita' estratta viene reinserita) e due qualsiasi eventi in due estrazioni diverse sonoindipendenti. Invece, nel campionamento senza ripetizione, le successive estrazioni non sonoindipendenti e la probabilita' di successo cambia man mano che vengono estratte le unita' delcampione.

Consideriamo ora il caso di una popolazione in�nita. I due schemi di campionamentosono equivalenti, perche' il fatto di non reinserire l'unita' estratta dopo l'estrazione non puo'modi�care la popolazione in�nita. Quindi, se la popolazione in�nita e' stabile nel tempo,(e cioe' non si modi�ca per conto suo), un campione senza ripetizione e' equivalente a uncampione con ripetizione. Si osservi pero' che la stabilita' nel tempo della probabilita' disuccesso e' molto piu' di�cile da veri�care se la popolazione e' in�nita. Per esempio laprobabilita' di produrre pezzi difettosi per una macchina non e' sempre la stessa se si consideraun lungo periodo di tempo.

658. Se le osservazioni raccolte dalla popolazione possono essere ritenute indipendenti, ein certi casi (il campionamento casuale semplice con ripetizione da una popolazione �nita)cio' e' garantito, e' possibile calcolare con relativa semplicita' le probabilita' di qualsiasievento che si possa veri�care campionando dalla popolazione. Ricordiamo che se due eventisono indipendenti la probabilita' del veri�carsi di ambedue e' il prodotto delle probabilita'.Pertanto, ad esempio, se la popolazione e'

U = f0; 0; 0; 1g

qual'e' la probabilita' di estrarre il campione casuale con ripetizione (0; 1)?

Abbiamo

prf0 alla prima e1 alla secondag = prf0 alla primag�prf alla secondag = 3=4�1=4 = 3=16:

Il calcolo della probabilita' di estarre lo stesso campione, in estrazioni senza ripetizione e' unpo' piu' di�cile. Nel seguito, pertanto supporremo per semplicita' di estrarre sempre campionicasuali con ripetizione. E' vero che nei casi usuali di campionamento da popolazione �nitasi usa invece il campionamento senza ripetizione, che tra l'altro impedisce che si veri�chil'eventualita' di riestrarre la stessa unita' dalla popolazione, ma qui per evitare calcoli di�cilidaremo la preferenza al campionamento casuale semplice con ripetizione. Tra l'altro se lapopolazione oggetto di studio e' molto grande le di�erenze tra i due tipi di campionamentoscompaiono.

170

659. Prima di e�ettuare il campionamento vero e proprio, una volta stabilita' la numerosita'del campione da estrarre, e' di fondamentale importanza calcolare la probabilita' di tutti ipossibili risultati. L'insieme di tutti i possibili campioni con ripetizione di n unita' da unapopolazione si chiama universo dei campioni di dimensione n. Se la popolazione e' �nita eha dimensione N l'universo dei campioni contiene Nn campioni con ripetizione.

Per esempio, l'universo dei campioni di dimensione 2 dalla popolazione dicotomica U =f0; 0; 0; 1g e' il seguente (nella prima riga e nella prima colonna sono riportate rispettivamentetutti i possibili primi risultati e tutti i possibili secondi risultati)

0 0 0 10 (0; 0) (0; 0) (0; 0) (0; 1)0 (0; 0) (0; 0) (0; 0) (0; 1)0 (0; 0) (0; 0) (0; 0) (0; 1)1 (1; 0) (1; 0) (1; 0) (1; 1)

L'universo dei campioni contiene 42 = 16 campioni. Come sappiamo, tutti i singoli campioniottenibili hanno la stessa probabilita' di essere estratti. Tuttavia, poiche' alcuni campionidanno gli stessi risultati, alcuni risultati sono piu' probabili di altri. Per esempio, il risultatopiu' probabile estraendo dalla popolazione U e' (0; 0).

660. Calcolare le probabilita' di tutti i possibili risultati nell'universo dei campioni descrittonel problema precedente.

I possibili risultati sono (0; 0); (0; 1); (1; 0) e (1; 1). Il risultato (0; 0) si puo' ottenere in9 modi ciascuno dei quali ha probabilita' 1=16 di accadere. Poiche' si tratta di 9 modiincompatibili perche sono ottenuti con coppie di unita' diverse, la probabilita' di ottenere(0; 0) �e 9=16. Allo stesso modo si calcolano gli altri casi.

Risultato Probabilit�a(0; 0) 9=16(0; 1) 3=16(1; 0) 3=16(1; 1) 1=16

Si osservi come i campioni che assomigliano alla popolazione sono relativamente piu' probabilidei campioni, come (1; 1), che sono molto diversi dalla popoalzione. Secondo questo risultato,il campionamento casuale fa in modo che sia piu' probabile ottenere un campione somiglianteche non somigliante alla popolazione.

661. Che cos'e' la frazione di campionamento?E' il rapporto tra la numerosita' del campione e la numerosita' della popolazione: n=N .

Si osservi la frazione di campionamento nell'esempio precedente e' 0.5. Di solito la frazione dicampionamento e' molto piu' piccola. Tuttavia la frazione di campionamento non in uenzale probabilita' dei possibili risultati sopra calcolate. Esse dipendono solo dalla dimensionedel campione. Sarebbero state identiche anche se la popolazione fosse stata di 100 unita' di25 con valore 1 e 75 con valore 0. L'essenziale e' che il campione e' stato estratto da unapopolazione dicotomica con probabilita' di successo � = 1=4.

171

662. Studiare le probabilita' di tutti i possibili risultati nell'universo dei campioni di dimen-sione 3.

I possibili risultati diversi sono i seguenti.

(0; 0; 0)(1; 0; 0)(0; 1; 0)(0; 0; 1)(0; 1; 1)(1; 0; 1)(1; 1; 0)(1; 1; 1)

Essi sono in totale 2n perche' la popolazione ha 2 possibili modalita'. La probabilita' di ognirisultato si calcola facilmente perche' sappiamo che le estrazioni sono indipendenti e ciascunacon probabilita' di successo � = 1=4: Per de�nizione tre eventi sono indipendenti se la pro-babilita' che si veri�chino contemporaneamente e' uguale al prodotto delle loro probabilita'.Pertanto otteniamo

Risultato Calcolo Probabilita'(0; 0; 0) 3=4� 3=4� 3=4 27=64(1; 0; 0) 1=4� 3=4� 3=4 9=64(0; 1; 0) 3=4� 1=4� 3=4 9=64(0; 0; 1) 3=4� 3=4� 1=4 9=64(0; 1; 1) 3=4� 1=4� 1=4 3=64(1; 0; 1) 1=4� 3=4� 1=4 3=64(1; 1; 0) 1=4� 1=4� 3=4 3=64(1; 1; 1) 1=4� 1=4� 1=4 1=64

Anche in questo caso si puo' notare che i campioni piu' probabili sono quelli che somiglianodi pu' alla popolazione.

663. Calcolare le probabilita' di tutti i possibili risultati in campioni di dimensione 2 e 3 dauna popolazione dicotomica con probabilita' di successo �.

Ripetendo il procedimento di calcolo delineato sopra, sostituendo a 1=4 un genericoparametro � e a 3=4 il complemento 1� �, otteniamo

Risultato Calcolo Probabilit�a(0; 0) (1� �)(1� �) (1� �)2

(0; 1) (1� �)� �(1� �)(1; 0) �(1� �) �(1� �)(1; 1) �� 2

Risultato Calcolo Probabilita'(0; 0; 0) (1� �)(1� �)(1� �) (1� �)3

(1; 0; 0) �(1� �)(1� �) �(1� �)2

(0; 1; 0) (1� �)�(1� �) �(1� �)2

(0; 0; 1) (1� �)(1� �)� �(1� �)2

(0; 1; 1) (1� �)�� 2(1� �)(1; 0; 1) �(1� �)� �2(1� �)(1; 1; 0) ��(1� �) �2(1� �)(1; 1; 1) �� 3

Pertanto possiamo calcolare prima di estrarre il campione la probabilita' di ogni risultato, equeste probabilita' dipendono da � ,cioe' dalla proporzione di successi nella popolazione.

172

664. Qual'e' la probabilita' di estrarre il campione

(1; 0; 0; 0; 1; 0)

da una popolazione dicotomica con probabilita' di successo �?Generalizzando il ragionamento precedente, la probabilita' cercata e'

�(1� �)(1� �)(1� �)�(1� �) = �2(1� �)4:

In generale, se nel campione ci sono a successi e b insuccessi, la probabilita' di quel campionee'

�a(1� �)b:

13.4 Distribuzione campionaria di una proporzione

665. Di solito per stimare la proporzione di successi nella popolazione si calcola la propor-zione di successi nel campione. Ci si puo' chiedere allora: qual'e' la probabilita' di ottenereuna proporzione nel campione vicina a quella della popolazione? Calcolare la probabilita'per ogni possibile proporzione ottenibile estraendo casualmente due unita' dalla popolazioneU = f0; 0; 0; 1g.

Ci sono, come sappiamo, 4 possibili risultati

Risultato Probabilit�a(0; 0) 9=16(0; 1) 3=16(1; 0) 3=16(1; 1) 1=16

Percio' le possibili proporzioni ottenibili in ciascun di essi sono

Risultato Proporzione Probabilit�a(0; 0) 0=2 9=16(0; 1) 1=2 3=16(1; 0) 1=2 3=16(1; 1) 2=2 1=16

La proporzione 1=2 si puo' ottenere in due eventualita': se il campione e' (0; 1) oppure see' (1; 0). Le due eventualita' non sono compatibili e dunque la probabilita' di ottenere unaproporzione 1=2, cioe' di ottenere un successo in due prove indipendenti e' la somma delleprobabilita' dei due eventi, cioe' 3=16 + 3=16. Si ottiene la tabella seguente

Proporzione di successi in 2 prove Probabilit�a0=2 9=161=2 6=162=2 1=16

Il calcolo precedente si riassume in questo modo: se estraiamo un campione di due elementida una popolazione che contiene una proporzione 1=4 di successi, otteniamo campioni tutticomposti da insuccessi 9=16 delle volte, campioni composta da meta' successi e da meta'insuccessi 6=16 delle volte e campioni composti tutti da successi solo 1=16 delle volte.

La distribuzione di probabilita' precedente e' chiamata distribuzione campionaria dellaproporzione di successi in due prove indipendenti da una popolazione dicotomica.

173

666. Che cos'e' una distribuzione campionaria di una proporzione?

Una distribuzione campionaria di una proporzione descrive la distribuzione della propor-zione di successi nell'universo dei campioni. Essa elenca tutte le possibili proporzioni che sipossono ottenere estraendo campioni di una certa dimensione dalla popolazione e a ciascu-na associa la rispettiva probabilita', cioe' la frequenza relativa di campioni dell'universo deicampioni che danno luogo a quel risultato.

667. Quando e' completamente nota una distribuzione campionaria?

Naturalmente, la distribuzione campionaria e' interamente nota solo se si conosce la com-posizione della popolazione, cioe' se e' noto il parametro � (nell'esempio precedente � = 1=4).Pertanto, nel caso concreto in cui si estrae un campione da una popolazione di composizioneignota, la distribuzione campionaria della proporzione si puo' descrivere solo in teoria.

668. Descrivere la distribuzione campionaria di una proporzione in due prove indipendentida una popolazione dicotomica in cui la probabilita' di successo e' incognita ed uguale a �.

Seguendo il procedimento spiegato sopra avremo

Risultato Proporzione Probabilit�a(0; 0) 0=2 (1� �)2

(0; 1) 1=2 �(1� �)(1; 0) 1=2 �(1� �)(1; 1) 2=2 �2

e quindi, notando che la proporzione 1=2 si puo' ottenere in due modi,

Proporzione di successi su 2 prove Probabilit�a0=2 (1� �)2

1=2 2�(1� �)2=2 �2

Se si sostituisce un valore (compreso tra 0 e 1) a � si ottiene la distribuzione campionariacorrsipondente senza bisogno di ricalcolarla.

669. Dimostrare che la somma delle probabilita' e' 1.

La somma delle probabilita' e' uguale allo sviluppo del binomio

[(1� �) + �]2 = (1� �)2 + 2�(1� �) + �2

e quindi risulta [(1� �) + �]2 = 12 = 1.

670. Costruire la distribuzione campionaria della proporzione di successi in tre prove in-dipendenti da una popolazione dicotomica caratterizzata da una proporzione di successiincognita �.

174

La costruzione non presenta di�colta' particolari, e' solo piu' lunga. Si parte dalladistribuzione di tutti i possibili campioni distinti

Risultato Proporzione di successi su 3 prove Probabilita'(0; 0; 0) 0=3 (1� �)3

(1; 0; 0) 1=3 �(1� �)2

(0; 1; 0) 1=3 �(1� �)2

(0; 0; 1) 1=3 �(1� �)2

(0; 1; 1) 2=3 �2(1� �)(1; 0; 1) 2=3 �2(1� �)(1; 1; 0) 2=3 �2(1� �)(1; 1; 1) 3=4 �3

e quindi si costruisce la distribuzione campionaria notando che 1=3 e 2=3 si possono ciascunoottenere in tre modi (incompatibili) diversi e sommando le relative probabilita'.

Proporzione di successi su 3 prove Probabilita'0=3 (1� �)3

1=3 3�(1� �)2

2=3 3�2(1� �)3=3 �3

671. Anche in questo caso la somma delle probabilit�a e' uguale all'unita' ed e' lo sviluppodel binomio

[(1� �) + �]3

Per questo la distribuzione precedente si dice distribuzione binomiale.

672. Che cos'e' la distribuzione binomiale?E' la distribuzione della proporzione di successi in n prove indipendenti da una popolazione

dicotomica in cui la probabilita' di successo e' uguale a �. In generale, ha n + 1 modalita',cioe'

0=n 1=n 2=n 3=n � � � n=n

da zero successi su n, a n successi su n. Le probabilita' associate sono date dagli elementidello sviluppo del binomio

[(1� �) + �]n

673. Nei casi n = 2 ed n = 3 e' relativamente semplice calcolare le probabilita' binomiali.Per numerosita' maggiori il calcolo e' piu' pesante e richiede un elaboratore. Tuttavia, comevedremo in una prossima lezione, le probabilita' binomiali possono essere calcolate, in modoapprossimato, usando le tavole della normale.

La �gura seguente illustra gra�camente la distribuzione di probabilita' binomiale. Comesempre, i segmenti verticali hanno lunghezze uguali alle probabilita'. Ogni gra�co rappresentauna distribuzioni campionaria di una proporzione, per campioni di dimensione 30, estratti dapopolazioni aventi una certa probabilita' di successo.

175

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

Proporzione di successi in 30 prove. Prob = 0.1

Pro

babi

lita’

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25


Pro

babi

lita’

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25


Pro

babi

lita’

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25


Pro

babi

lita’

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25


Pro

babi

lita’

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25


Pro

babi

lita’

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25


Pro

babi

lita’

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25


Pro

babi

lita’

Scorrendo i gra�ci da sinistra dall'alto in basso e quindi a destra in senso opposto, si passada probabilita' di successo piccole a probabilita' di successo grandi.

Si nota che la distribuzione e' simmetrica per � = 0:5 e che e' asimmetrica negli altri casi.Se la probabilita' di successo e' minore di 0.5 la distribuzione ha una coda lunga a destra

176

(asimmetria positiva). Se la probabilita' di successo � e' maggiore di 0.5, la distribuzione hauna coda lunga a sinistra (asimmetria negativa). Inoltre, le distribuzione sono speculari se lerispettive probabilita' di successo sommano a 1.

Il fatto importante da notare e' che ci sono alcune proporzioni che sono assolutamenteimprobabili e altre che sono (relativamente) molto piu' probabili. Per esempio, se nellapopolazione vi e' una proporzione � = 0:1 di successi, nell'universo dei campioni di dimensione30, sono relativamente pochi i campioni che danno una proporzione si successi superiore a0:3. Cioe', la probabilita' di ottenere una proporzione campionaria uguale a 0:3 o superioree' molto piccola. Invece, la probabilita' di ottenere una proporzione intorno al vero valore 0.1e' in confronto molto piu' alta. Quindi estraendo un campione casuale c'e' una probabilita'elevata di fornire una stima vicina al vero valore.

Osservare che la dimensione della popolazione e' irrilevante, ai �ni della valutazione prece-dente. La probabilita' di avvicinarsi al vero valore della probabilita' di successo dipende dalladimensione del campione, e non da quello della popolazione, che potrebbe essere in�nita.

674. Qual'e' la media di una distribuzione binomiale?La media di una binomiale e' uguale esattamente a �. Se indichiamo con P la proporzione

di successi, abbiamo che E(P ) = �.

675. Veri�carlo per n = 2.Infatti, sia P la proporzione di successi in un campione di 2 elementi. Allora P puo'

assumere i valori 0; 1=2 e 1 con probabilita' (1� �)2, 2�(1� �) e �2. Percio'

E(P ) = 0� (1� �)2 +1

2� 2�(1� �) + 1� �2 = � � �2 + �2 = �:

L'aspetto importante del risultato precedente e' il fatto che non dipende dal particolare va-lore assunto da � nella popolazione, ne' dalla numerosita' del campione. Cio' signi�ca cheestraendo un campione di due elementi da una popolazione dicotomica con una probabilita' disuccesso di � ignota, la media delle proporzioni calcolate nell'universo dei campioni e' ugualealla proporzione di successi nella popolazione.

676. Veri�care gra�camente osservando la �gura precedente che in ogni caso, quale che siail valore di � la distribuzione binomiale e' sempre `centrata' su (cioe' ha media) �.

Ad esempio la prima binomiale ha media 0:1 e l'ultima ha media 0:9.

677. Come si interpreta la media della distribuzione campionaria di una proporzione?La media di una distribuzione campionaria puo' essere interpretata come la media di tutte

le proporzioni ottenibili nell'universo dei campioni.Alternativamente, si puo' pensare come la media delle proporzioni nel campionamen-

to ripetuto cioe' immaginando di continuare ad estrarre campioni di dimensione n dallapopolazione.

L'interpretazione statistica del risultato secondo cui la media delle proporzioni campio-narie e' uguale alla proporzione vera di successi nella popolazione e' legata al concetto distimatore corretto che verra' ripreso in una lezione seguente.

177

678. Qual'e' la varianza della distribuzione binomiale?La varianza della binomiale e' �(1��)=n. Se P e' la proporzione di successi nel campione,

abbiamo var(P ) = �2P = �(1� �)=n.

679. La �gura seguente illustra sei distribuzioni binomiali tutte con probabilita' di successo� = 0:1 e con numero di prove che va da n = 10 a n = 500.

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4


Pro

babi

lita’

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25


Pro

babi

lita’

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.05

0.10

0.15

0.20


Pro

babi

lita’

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14


Pro

babi

lita’

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10


Pro

babi

lita’

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06


Pro

babi

lita’

Si osservi come all'aumentare del numero di prove la distribuzione binomiale tende a concen-trarsi intorno alla sua media.

680. Come si interpreta la varianza della distribuzione campionaria di una proporzione?E' la variabilita' delle proporzioni calcolate su campioni di dimensione n, nell'universo dei

campioni. Alternativamente, e' la variabilita' delle proporzioni stimate nel campionamentoripetuto.

178

681. Che relazione c'e' tra la varianza della binomiale e il numero di prove?La varianza delle proporzioni e' inversamente proporzionale al numero di prove, perch�e la

varianza ha al denominatore il numero di prove. Usando come misura di variabilita' lo scartoquadratico medio, questo e' uguale a

�P =q�(1� �)=n:

Pertanto, se il campione e' grande, la variabilita' delle proporzioni campionarie nell'universodei campioni e' piccola. Ad esempio, se � = 0:1, e il campione ha dimensione n = 100 laproporzione P stimata nel campione ha una variabilita' diq

(0:1� 0:9)=100 = 0:03 = 3%

cioe' tre punti percentuali. Se n = 400 cioe' il campione e' 4 volte piu' grande, la variabilita'delle proporzioni e' q

(0:1� 0:9)=400 = 0:015 = 1:5%

la meta' di prima.

682. Si puo' usare la regola dei tre scarti quadratici medi per interpretare lo scarto quadra-tico medio della binomiale?

Si'. Applicando a questo caso la regola dei tre sigma, piu' di 8/9 dei campioni dell'universodei campioni hanno una proporzione stimata compresa tra la media meno tre scarti quadraticimedi e la media piu' tre scarti quadratici medi:

� � 3q�(1� �)=n; e � + 3

q�(1� �)=n:

Quindi, negli esempi precedenti, pi�u di 8/9 dei campioni di dimensione 100 hanno unaproporzione stimata compresa tra

0:1� 3� 0:03 e 0:1 + 3� 0:03

ossia tra 0.01 e 0.19. Invece, piu' degli 8/9 dei campioni di 400 elementi danno una proporzionestimata compresa tra

0:1� 3� 0:015 e 0:1 + 3� 0:015

cioe' tra 0.055 e 0.145. Questo intervallo ha una ampiezza che e' la meta' della precedente.Si osservi che in questo caso il campione ha una dimensione che e' quattro volte piu' grandedi prima.

Quadruplicando ancora la dimensione del campione �no a n = 1600 possiamo dimezzareancora l'intervallo dei tre sigma arrivando a (0:0775; 0:1225).

683. Che relazione c'e' tra l'intervallo dei tre sigma per una proporzione e la numerosita'campionaria?

All'aumentare della numerosita' campionaria l'intervallo dei tre sigma ha una ampiezzache diminuisce. L'ampiezza e' evidentemente uguale a sei sigma cioe' a 6 � p�(1� �)=n:Raddoppiando la dimensione del campione si dimezza l'ampiezza dell'intervallo dei tre sigma.

179

684. Alla luce delle osservazioni precedenti qual'e' l'interpretazione dello scarto quadraticomedio di P?

Per prima cosa si deve osservare che la media dei P nell'universo dei campioni e' ugualealla proporzione incognita di successi nella popolazione. Allora, lo scarto quadratico medio diP permette di valutare le uttuazioni (cioe' gli scostamenti) della proporzione campionariarispetto valore della proporzione nella popolazione, nell'universo dei campioni. E' pertantoun indice dell'errore di campionamento che si commette calcolando P sul campione anziche'sulla popolazione.

Aumentando su�cientemente la numerosita' del campione si puo' ottenere un errore dicampionamento soddisfacente in relazione al problema considerato.

685. Calcolare gli errori di campionamento �p per la proporzione di successi P per varivalori di � e di n.

Nella tavola seguente le righe sono relative a diverse dimensioni campionarie e le colonnea diverse probabilita' di successo nella popolazione. All'incrocio di riga e colonna e' riportatolo scarto qudratico medio della proporzione di successi nel campione di quella numerosita'estratto da una popolazione con quella percentuale di successi. Tale scarto quadratico medioe' espresso in forma percentuale.

Probabilita' di successoDimensione del campione 0.05 0.1 0.2 0.3 0.4 0.530 3.98 5.48 7.3 8.37 8.94 9.1350 3.08 4.24 5.66 6.48 6.93 7.07100 2.18 3.00 4.00 4.58 4.90 5.00200 1.54 2.12 2.83 3.24 3.46 3.54500 0.97 1.34 1.79 2.05 2.19 2.241000 0.69 0.95 1.26 1.45 1.55 1.582000 0.49 0.67 0.89 1.02 1.10 1.12

Si osservi che per � maggiore di 0.5, lo scarto quadratico medio e' uguale a quello corri-spondente a 1 � �. Per esempio lo scarto quadratico medio per n = 100 e � = 0:8 e'p(0:8� 0:2)=100 = 0:04 = 4% ed e' uguale a quello corrispondente a n = 100 e � = 0:2.

686. Ad esempio, supponiamo di voler stimare la proporzione di studenti che sono favore-voli a semestralizzare i corsi di Scienze Politiche. Se progettiamo di estrarre un campionecasuale semplice con ripetizione di 500 studenti sappiamo a priori che l'errore che possia-mo commettere calcolando la proporzione di favorevoli nel campione va da 0.97% a 2.24%a seconda della probabilita' incognita di favorevoli nella popolazione. Quindi l'errore e' almassimo circa 2 punti percentuali. L'intervallo della regola dei tre sigma ha una ampiezzapercio' di 2 � 3 � 2 = 12%. A seconda dei casi questo scarto puo' essere giudicato troppogrande e si puo' allora decidere di estrarre una campione piu' grande.

SETTIMANA 14

Campionamento da una popolazione

Gaussiana

In questa lezione introduciamo una delle distribuzioni di probabilita' piu' famose della stati-stica, la distribuzione di Gauss. Questa distribuzione va anche sotto il nome di distribuzionenormale. Si tratta di un modello di probabilita' per le variabili continue con una distribuzionesimmetrica rispetto alla media e con le code non troppo lunghe.

14.1 Variabili aleatorie continue

687. Che cos'e' una variabile aleatoria continua?

Alcuni popolazioni sono in�nite e su ogni unita' e' rilevata una variabile continua. Percio'la variabile ha in�nite modalita', tante quanti sono i numeri reali appartenenti a un segmento(ha la potenza del continuo). E' importante allora avere un modo per descrivere l'esperimentocasuale che consiste nell'estrarre una unita' da queste popolazioni, misurando la variabilecontinua. Per questo si deve subito abbandonare l'idea di elencare le modalita' della variabileassegnando a ciascuna una probabilita', perche' le modalita' della variabile hanno la potenzadel continuo; cosi' come e' impossibile ottenere la lunghezza di un segmento sommando lelunghezze degli in�niti punti componenti. Il problema si puo' risolvere introducendo l'ideadi densita' di probabilita'. Una densita' di probabilita' e' simile a una densita' di frequenza,infatti e' una probabilita' per unita' di misura della variabile. Per esempio, se la probabilita'di ottenere un risultato X compreso in un intervallo (x; x+�x) e'

pr(x < X < x+ �x)

la densita' di probabilita' di questo intervallo e'

pr(x < X < x+ �x)

�x:

181

182

Pertanto e' il rapporto tra la probabilita' e la lunghezza del segmento su cui quella probabilita'e' distribuita. Piu' in generale si puo' pensare di calcolare la densita' di probabilita' in unpunto anziche' in un intervallo, facendo tendere a zero l'ampiezza �x dell'intervallo. Pertantoper ogni valore x della variabile resta de�nita' una densita' di probabilita'. Questa varia dapunto a punto e cresce, resta costante o decresce a seconda dei casi.

Una variabile aleatoria continua e' allora una variabile X che assume come modalita'tutti i possibili valori x compresi in un intervallo e e' caratterizzata da una sua funzione didensita' di probabilita', positiva, che stabilisce quant'e l'addensamento della probabilita' inogni modalita' x della variabile. Questa funzione e' analoga all'istogramma per una variabilestatistica continua, ma, in generale, non e' una funzione a scalini come l'istogramma, ma unafunzione continua.

688. Come si calcola una probabilita' di estrarre un valore x della variabile compresa in unintervallo (a; b)?

La probabilit�a pr(a < X < b) e' uguale all'area sotto alla curva della funzione di densita'compresa tra a e b esattamente come, per una variabile statistica, la frequenza relativa di casicompresa in un intervallo e' l'area della parte di istogramma compresa in quell'intervallo. La�gura seguente illustra il concetto.

0 5 10 15 20

0.0

0.05

0.10

0.15

0.20

X

Den

sita

’ di f

requ

enza

0 5 10 15 20

0.0

0.05

0.10

0.15

0.20

X

Den

sita

’ di p

roba

bilit

a’

Naturalmente se la funzione di densita' e' incognita quest'area non si puo' calcolare. Tuttaviase la funzione e' conosciuta, l'area si puo' calcolare, almeno come approssimazione.

689. Al gioco della roulette la pallina si ferma in una di trentasette caselle. Supponiamo dieliminare le caselle e lasciare la pallina libera di fermarsi in un punto qualsiasi della ruota.L'insieme degli eventi elementari di quest esperimento casuale e' l'insieme dei punti dellacirconferenza. Ognuno di questi punti puo' essere individuato da un angolo compreso tra 0 e360 gradi. Calcolare la probabilita' che la pallina si fermi nell'intervallo (0; 90).

Intuitivamente, la probabilita' che un la pallina si fermi nel settore compreso tra 0 e 90gradi e' 1=4, come pure in un qualsiasi altro settore avente un'ampiezza di 90 gradi. Ingenerale, la probabilita' che la pallina si fermi in un certo settore e' uguale al rapporto tra

183

l'ampiezza di quel settore e 360 gradi. Questo signi�ca che la densita' di probabilita' e'distribuit ain modo uniforme sulla circonferenza (cfr. la �gura seguente).

Angolo

Den

sita

’ di p

roba

bilit

a’

0 90 180 270 360

0

1/360

690. A quanto e' uguale l'area totale sotto la funzione di densita', compresa tra il minimoe il massimo valore che puo' assumere X?

Poiche' essa e' uguale alla probabilita' che X sia compresa tra il suo minimo e il suomassimo, risulta uguale alla probabilita' dell'evento certo e, quindi, e' 1. Questo fatto e'analogo a quanto avviene per l'area di un istogramma.

691. Qual'e' la probabilita' che una variabile aleatoria continua X coincida esattamente conuno speci�co valore x?

E' zero, perche' e' uguale all'area sotto la funzione di densita' tra x e x+�x facendo tendere�x a zero. Quindi l'evento X = x ha probabilita' zero ed e', dunque, quasi impossibile.

14.2 Variabile aleatoria Gaussiana

692. Che cos'e' una variabile aleatoria Gaussiana?La variabile aleatoria Gaussiana e' una variabile aleatoria X continua de�nita per �1 <

x < +1 con una speci�ca funzione di densita', la cui forma dipende solo da due parametri,la media �, in corrispondenza della quale sta l'unico massimo della funzione, e lo scartoquadratico medio �. La variabile aleatoria Gaussiana e' chiamata anche normale.

Nella �gura seguente e' riportato un istogramma della distribuzione di 5000 studentesseuniversitari secondo l'altezza.

140 150 160 170 180 190

0.0

0.02

0.04

0.06

0.08

Altezza

Den

sita

’ di f

requ

enza

140 150 160 170 180 190

0.0

0.02

0.04

0.06

0.08

Altezza

Den

sita

’ di p

roba

bilit

a’

184

Accanto all'istogramma e' disegnata una funzione di densita' Gaussiana avente la stessa media(165 cm) e lo stesso scarto quadratico medio (5 cm) della distribuzione delle altezze.

In questo esempio, la distribuzione normale si presta bene a modellare la popolazionedi altezze. In questo senso si puo' pensare come una rappresentazione teorica, ideale, dellapopolazione, in�nita, di tutte le altezze delle studentesse.

Come si vede, la normale e' una funzione di densita' simmetrica rispetto all'asse chel'attraversa verticalmente, passando per la media. La forma della ditribuzione e' campanularea indicare che la densita' di probabilita' e' massima nel centro della distribuzione e va calandosimmetricamente a destra e a sinistra della media. La distribuzione normale ha due codein�nite.

Come per tutte le funzioni di densita', l'area sotto tutta la funzione, e' uguale all'unita'.Questo fatto puo' sorprendere, visto che la funzione si estende da �1 a +1, ma bisognatener conto del fatto che l'area contenuta nelle code e' praticamente trascurabile.

Poiche' l'asse di simmetria che passa per la media divide l'area sotto la curva in due partiuguali, il munto medio coincide con la mediana. Inoltre esso coincide anche con la moda delladistribuzione, perche' � e' il valore di X che ha la massima densita' di probabilita'.

693. Che cos'e' la normale standardizzata?

E' quella distribuzione normale che ha media 0 e scarto quadratico medio 1. Il gra�codella funzione e' riportato nella �gura sottostante.

X

Den

sita

’ di p

roba

bilit

a’

-4 -2 0 2 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

Si puo' osservare che la funzione ha la massima pendenza (rispettivamente positiva e negativa)nei punti �1 e +1. Questi sono anche i cosiddetti punti di esso della funzione (cioe' i puntiin cui la curva cambia concavita').

Da notare anche che le code, esternamente all'intervallo (�3;+3), sono praticamentecoincidenti con l'asse delle ascisse.

694. Come si disegna una normale con media � e scarto quadratico 1?

Basta traslare la normale standardizzata sull'asse orizzontale, �no a far coincidere il suoasse di simmetria con il punto �. Si noti che i punti di massima pendenza sono ora collocatiin corrispondenza di �� 1 e � + 1.

185

695. Come si disegna approssimativamente una normale con media � e scarto quadratico�?

Si disegna l'asse orizzontale nell'intervallo dei tre sigma, cioe' � � 3�, � + r�. Quindi sipone il massimo in corrispondenza di � e i due punti di massima pendenza in corrispondenzadi �� e �+ �. In�ne si traccia una curva campanulare simmetrica facendola passare per ipunti segnati e estendendo le code �no agli estremi.

696. Disegnare tre distribuzioni di Gauss, con medie nulle e scarti quadratici medi rispetti-vamente 0:5; 1 e 2.

Il gra�co seguente illustra le tre distribuzioni. Quella piu' alta e ripida e' quella convarianza minore. Quella nel mezzo e' la normale standardizzata.

-10 -5 0 5 10

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

X

Den

sita

’ di p

roba

bilit

a’

14.3 Probabilita' per la normale

697. Supponiamo di estrarre una osservazione da una popolazione normale standardizzata.Qual'e' la probabilita' che l'osservazione cada in un intervallo prestabilito?

E' uguale all'area sottostante la normale standardizzata tra i due estremi dell'intervallo.

698. Come si calcola tale area?

Le aree sotto la normale standardizzata comprese in un intervallo (�z; z) avente centronell'origine sono tabulate, di solito per tutti i valori di z compresi tra 0 e 3:3, con un passodi 0:01. Nell'appendice B e' riportata una versione ridotta della tavola, con un passo di 0:05.

699. Se Z e' una osservazione da una normale standardizzata, calcolare le probabilita'

prf�1 � Z � +1g e prf�1:2 � Z � +1:2g

La tavola della normale fornisce direttamente le probabilita' richieste, cioe' rispettivamen-te, 68:27% e 76:99%.

700. Calcolare le probabilita' che Z, normale standardizzata, sia compresa negli intervalli(�1;+1), (�2;+2) e (�3;+3). Il gra�co sottostante illustra le tre aree richieste.

186

-4 -2 0 1 2 3 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

Z

Den

sita

’ di p

roba

bilit

a’

-4 -2 0 1 2 3 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

Z

Den

sita

’ di p

roba

bilit

a’

-4 -2 0 1 2 3 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

Z

Den

sita

’ di p

roba

bilit

a’

Consultando la tavola, si ottengono le tre probabilita' seguenti

prf�1 � Z � +1g = 68:27%

prf�2 � Z � +2g = 95:45%

prf�3 � Z � +3g = 99:73%

Quindi, per la normale standardizzata, circa il 68%, circa il 95% e circa il 99% dei casi e'compreso entro 1, 2, 3 scarti dalla media. Si noti che l'ultimo risultato precisa la regola deitre sigma per la normale.

701. Trovare l'intervallo (�z; z) che contiene il 50% dell'area sotto la normale standardiz-zata.

Bisogna scorrere le colonne corrispondenti all'area nella tavola della normale standardiz-zata. Si trova che in corrispondenza dell'area tipica 50% vi e' un valore di z pari a 0:674.Quindi l'intervallo che contiene il 50% centrale della distribuzione normale standardizzata e'(�0:674;+0:674).

702. Usando le tavole, con po' di abilita' si possono calcolare le probabilita' relative ad ogniintervallo, �nito o in�nito. Per esempio, calcolare la probabilita' che Z normale standardizzatasia maggiore di 1.

Poiche' prf�1 � Z � +1g = 68:27% la probabilita' dell'evento complementare e' prfZ <�1 o Z > +1g = 100% � 68:27% = 31:73%. Questa e' la somma delle due aree uguali delledue code a sinistra di �1 e a destra di +1. Percio' l'area cercata e' la meta' di 31:73% cioe'15:865%.

703. Calcolare la probabilita' che Z normale standardizzata sia compresa tra �0:5 e +1.La probabilita' cercata e' uguale a

prf�0:5 � Z � 0g+ prf0 � Z � +1g

e dunque, a causa della simmetria della normale, e' anche uguale a

1

2prf�0:5 � Z � +0:5g+ 1

2prf�1 � Z � +1g:

187

Queste probabilita' si trovano facilmente sulla tavola della normale e permettono di calcolare

1

238:29%+ 1

268:27% = 53:3%

La �gura seguente illustra il procedimento.

-4 -2 0 1 2 3 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

Z

Den

sita

’ di p

roba

bilit

a’

-4 -2 0 1 2 3 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

Z

Den

sita

’ di p

roba

bilit

a’

-4 -2 0 1 2 3 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

Z

Den

sita

’ di p

roba

bilit

a’

L'area cercata e' disegnata sotto la prima normale a sinistra. Questa e' la somma della meta'delle aree disegnate nelle altre due normali, che si determinano facilmente dalla tavola.

704. Come si calcola la probabilita' che una normale X di media qualsiasi � e di scartoquadratico � sia compresa in uno speci�co intervallo?

Si dimostra un risultato generale, secondo il quale l'area compresa sotto una normalequalsiasi, in un intervallo centrato sulla media di semiampiezza x cioe' (� � x; � + x), e'uguale all'area sotto la normale standardizzata, tra �x=� e +x=�. La �gura seguente illustrail concetto.

-5 0 5 10 15 20

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

X

Den

sita

’ di p

roba

bilit

a’

-5 -1 0 1 5 8 10 12 15 20

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

-5 -1 0 1 5 8 10 12 15 20

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

Normale(0, 1) Normale(10, 2)

La normale di sinistra e' standardizzata, mentre la normale di destra ha media � = 10 escarto � = 2. L'area compresa tra 10� 2 e 10+2 sotto la normale di destra e' uguale all'areasotto la normale standardizzata tra �2=2 = �1 e 2=2 = +1.

Piu' in generale, l'area compresa sotto una normale qualsiasi, in un intervallo (a; b) e'uguale all'area sotto la normale standardizzata, tra (a � �)=� e (b � �)=�, cioe' tra i duevalori a e b standardizzati. Pertanto, in generale, se X e' normale con media � e scarto �

mentre Z e' normale standardizzata

prfa � X � bg = prf(a� �)=� � Z � (b� �)=�g:

188

Percio', per calcolare la prima probabilita' (a) si standardizzano gli estremi dell'intervallo e(b) si usa la tavola della normale standardizzata.

705. Una popolazione ha una distribuzione di probabilita' teorica normale con una media� = 160 e scarto quadratico medio � = 6. Qual'e' la probabilita' che un individuo estrattoda questa popolazione abbia un'altezza compresa tra 154 e 166 cm?

Si deve calcolare la probabilita' teorica (X e' l'altezza)

prf154 � X � 166g = prf(154� 160)=6 � Z � (166� 160)=6)g

e quindi si ottiene prf�1 � Z � +1g � 68%:

706. Calcolare la probabilita' che l'altezza sia compresa tra 157 e 166.

Con la stessa tecnica

prf157 � X � 166g = prf(157� 160)=6 � Z � (166� 160)=6)g

e quindi si ottiene prf�0:5 � Z � +1g � 53%:

707. Il voto all'esame di statistica e' una variabile aleatoria avente media 24:5 e varianza6:25. Qual'e' la probabilita' di prendere 28 o piu'?

Poiche' � = 2:5, si calcola

prf28 � Xg = prf(28� 24:5)=2:5g

dove X e' il voto. Pertanto la probabilita' da calcolare e' prf1:4 � Zg: Questa probabilita'si puo' determinare ragionando come segue. L'area fornita dalle tavole in corrispondenza di1:4, cioe' 83:85% e' l'area di un intervallo centrale. Quindi 100%� 83:85% = 16:15% e' l'areanelle due code prima di �1:4 e dopo 1:4. L'area richiesta e' dunque la meta' di 16:15%, cioe'� 8%.

708. Come si puo' precisare la regola dei tre sigma per la normale?

In una normale qualsiasi c'e il 99% di probabilita' di estrarre una osservazione compresatra la media meno tre scarti quadratici e la media piu' 3 scarti quadratici.

14.4 Modelli Gaussiani

709. Si osservi che, sapendo che una popolazione si distribuisce teoricamente come unanormale, e' possibile dedurre le probabilita' teoriche corrispondenti a tutti gli intervalli. Siconfronti questa situazione con quella empirica in cui si conosce una distribuzione di frequenza.In tal caso occorre speci�care l'elenco delle modalita' o delle classi con le loro frequenze relativeassociate. Nel caso della normale, basta fornire la media e lo scarto quadratico.

189

710. Quando e' appropriato descrivere una popolazione con una variabile aleatoria Gaus-siana?

E' di�cile stabilire a priori se una popolazione si distribuisce normalmente. Tuttavia,cio' si deve escludere quando e' noto che la distribuzione e' sicuramente asimmetrica. Peresempio una distribuzione dei redditi relativa a piu' categorie, da le meno abbienti a quellebenestanti, e' asimmetrica. Non e' ragionevole, infatti, presumere che vi sia la stessa densita'di probabilita' di estrarre un reddito di 1 milione sotto la media e un reddito di 1 milionesopra la media. Inoltre, la distribuzione avra' presumibilmente una coda lunga a destra ebreve a sinistra, e cio' e' segno di asimmetria positiva.

Tuttavia, la distribuzione dei redditi di una sola categoria, per esempio quella degli im-piegati in un dato settore, e' verosimile che abbia una distribuzione simmetrica e quindi lanormale potrebbe essere una scelta ammissibile.

711. Avendo a disposizione l'intera distribuzione di frequenza di una popolazione, la sipuo' confrontare con una normale avente la stessa media e la stessa varianza. La normale sipuo' sovrapporre all'istogramma per fare confronti. Questa tecnica non permette tuttavia didistinguere bene le di�erenze nelle code della distribuzione.

0 2 4 6 8 10 12 14

0.0

0.10

0.20

X

Den

sita

’

35 40 45 50 55 60 65 70

0.0

0.02

0.04

0.06

0.08

X

Den

sita

’

Nella �gura precedente si possono osservare due istogrammi, a ciascuno dei quali e' sovrappo-sta la curva Gaussiana avente la stessa media e la stessa varianza. La distribuzione di sinistrapresenta un adattamento migliore.

14.5 Campionamento da una popolazione normale

712. La distribuzione normale e' un modello teorico di probabilita' per una popolazionein�nita su cui si e' rilevato un carattere continuo, a un certo tempo. Che cos'e un campionecasuale da una popolazione normale?

Per de�nizione, e' un insieme di n osservazioni indipendenti estratte da una variabilealeatoria normale. Per dichiarare che n osservazioni provenienti da una popolazione sono uncampione casuale da una normale e' necessario

� che si possa assumere che la popolazione e' Gaussiana

� che le n osservazioni provengano tutte da tale singola popolazione

� e in�ne che si possa assumere che ogni osservazione sia completamente indipendente dallealtre, intendendo con questo che i dati si possono assimilare a un estrazione casuale conripetizione da una urna.

190

L'ultima assunzione e' di�cile da veri�care concretamente. Un caso tipico in cui questaassunzione non e' giusti�cata si ha quando le n osservazioni non sono relative ad unita'diverse allo stesso tempo, ma a medesime unita' in tempi diversi. Pertanto, se si possiedonomisure ripetute sugli stessi individui, tali osservazioni non si possono assumere indipendenti.

713. La �gura seguente mostra un campione casuale di dimensione n = 50 da una nor-male di media 10 e scarto quadratico medio 2. Le ascisse dei punti rappresentano le os-servazioni estratte. I punti sono leggermente perturbati verticalmente per evitare la troppasovrapposizione.

4 6 8 10 12 14 16

Media = 10, sqm = 2

714. Che cos'e' l'universo dei campioni estratti da una distribuzione normale?E' l'insieme (in�nito) delle possibili n-uple di osservazioni ottenibili come campioni casuali

dalla normale in questione. (Per n-upla si intende un insieme ordinato di n numeri.)Esso si puo' pensare come l'insieme dei possibili campioni che si possono ottenere ripe-

tendo inde�nitamente il processo di campionamento. L'universo dei campioni permette didescrivere astrattamento il processo del campionamento ripetuto. Ovviamente, il campiona-mento ripetuto e' una astrazione che, nondimeno, puo' essere formalmente descritta con glistrumenti del calcolo delle probabilita'.

715. A cosa serve l'idea del campionamento ripetuto?Come e' stato gia' detto nel caso del campionamento da una popolazione dicotomica, es-

so serve a descrivere cio' che potrebbe avvenire estraendo casualmente un campione da unapopolazione. Prima ancora di avere estratto il campione si vuol conoscere la (densita' di)probabilita' di una particolare n-upla di osservazioni. Cio' consentira' di valutare il com-portamento delle stime calcolate sui dati campionari, e, piu' importante ancora, di valutarel'errore di campionamento.

191

716. Per dare un'idea dell'universo dei campioni si consideri la �gura seguente. Essa rap-presenta due processi campionamento casuale, il primo, a sinistra, da una normale con media0 e scarto 1 e il secondo, a destra, da una normale con media 0 e scarto 0.5. Per ciascunadistribuzione sono stati estratti 11 campioni di dimensione n = 30.

o o ooo ooo o ooo o ooo oo oo oo o oooo o oo

-4 -2 0 2 4Media = 0, sqm = 1

o o o oo ooo ooooo oo o o oo ooo oo ooo ooo

-4 -2 0 2 4Media = 0, sqm = 1

oo oooo o o ooo o ooooo oo ooo oooo o oo

-4 -2 0 2 4Media = 0, sqm = 1

o ooo oooo o oo o ooo o oo oo oo o oo ooo oo

-4 -2 0 2 4Media = 0, sqm = 1

oo oo o oo oo oo oo ooo oo oo oo ooo ooo oo

-4 -2 0 2 4Media = 0, sqm = 1

oo oo oo oo ooo o ooo o o oo oooo o oooo oo

-4 -2 0 2 4Media = 0, sqm = 1

ooooo ooo ooo oo oo oo o oo oooo ooo o oo

-4 -2 0 2 4Media = 0, sqm = 1

o ooo oo oo o ooo ooo oo ooo ooo oo o oo o o

-4 -2 0 2 4Media = 0, sqm = 1

oo ooo ooo ooo ooo ooo oooo o oo ooo ooo

-4 -2 0 2 4Media = 0, sqm = 1

o oooo ooo oo oooo oooo o oo o o ooo oo oo

-4 -2 0 2 4Media = 0, sqm = 1

oo oo oo o oo ooooo oo o ooooo oooo oo oo

-4 -2 0 2 4Media = 0, sqm = 1

ooo o o oooo o oooo oo o ooo oo o ooooo oo

-4 -2 0 2 4Media = 0, sqm = 1/2

ooo o oooo oo oooo o ooooo ooo ooo oooo

-4 -2 0 2 4Media = 0, sqm = 1/2

oo ooooo ooo o oo ooooo ooo o oooo oooo

-4 -2 0 2 4Media = 0, sqm = 1/2

o ooo oo ooo o oo ooo oo oo ooooo oooo oo

-4 -2 0 2 4Media = 0, sqm = 1/2

o oo oooo o oooooo oooo oo o oooo oo ooo

-4 -2 0 2 4Media = 0, sqm = 1/2

ooooo oo ooo ooo o ooo ooo o oo oo oooo o

-4 -2 0 2 4Media = 0, sqm = 1/2

oooo oo oooo ooo o ooooooooo oo oo o oo

-4 -2 0 2 4Media = 0, sqm = 1/2

ooooo ooo ooo ooooo ooo oo oooo oo ooo

-4 -2 0 2 4Media = 0, sqm = 1/2

ooo o oo oo oo o oooo oo o ooo ooo ooo oo o

-4 -2 0 2 4Media = 0, sqm = 1/2

oo oo oooooo oooo oo oo o oo ooo ooo oo o

-4 -2 0 2 4Media = 0, sqm = 1/2

ooo ooo ooo o oo oo oo ooo o ooo oo oooo o

-4 -2 0 2 4Media = 0, sqm = 1/2

Si puo' osservare come i campioni rispecchino la popolazione, ossia siano rappresentativi. E'importante notare che essi non sono rappresentativi perche' costruiti in modo da `riprodurre inpiccolo' la popolazione relativamente a un certo numero di caratteri, ma perche' le assunzioniche riguardano il processo di campionamento casuale sono vere, cioe' perche' le osservazionisono indipendenti e provengono tutte casualmente da quella distribuzione normale.

Ad esempio, e' evidente che tutti i campioni hanno una media vicina a quella della popola-zione (che e' zero in questo esempio). Inoltre la variabilita' dei campioni estratti dalla normalecon � = 1 e' maggiore della variabilita' dei campioni estratti dalla normale con � = 0:5.

14.6 Distribuzione campionaria della media

717. Supponiamo ora di voler stimare la media della popolazione normale, cioe' �. La cosapiu' semplice da fare e' calcolare lo stesso indice sul campione. Chiameremo la media delcampione media campionaria e la denoteremo con �X .

718. Perche' si fa una distinzione di simboli tra � e �X se sono entrambi delle mediearitmetiche?

E' importante tenere distinto il concetto di media della popolazione, che non dipende dalprocesso di campionamento causale, da quello di media campionaria che invece dipende dalcampione. La media compionaria infatti e' il risultato di un esperimento casuale e quindi

192

prima di estrarre il campione e' una quantita' aleatoria. Quindi, in linea di principio, �X e'una variabile aleatoria che ha una sua distribuzione di probabilita'.

719. Che cos'e' la distribuzione campionaria della media?

E' la distribuzione di probabilita' della variabile aleatoria media campionaria, cioe' di �Xnell'universo dei campioni. Si tenga presente quanto e' stato spiegato per la distribuzionecampionaria di una proporzione P in campioni da una popolazione dicotomica. In questocaso si applicano gli stessi concetti, tenendo presente che l'universo dei campioni e' costruitoper una popolazione normale e che la stima calcolata sul campione e' la media aritmetica.

720. Che cosa descrive la distribuzione campionaria della media?

La distribuzione campionaria della media fornisce la (densita' di) probabilita' di ottenereuna certa media in campioni di dimensione n. L'idea di distribuzione campionaria di unamedia si puo' applicare a popolazioni aventi una distribuzione qualunque. In particolare, quifacciamo riferimento al caso speci�co di una popolazione normale.

721. Rappresentare sul gra�co precedente le medie dei campioni e studiare la distribuzionedelle medie campionarie.

• • ••• ••• • •• • • ••• •• •• •• • •• •• • ••

-4 -2 0 2 4Media = 0, sqm = 1

• • ••

• ••• ••• •• •• • • •• ••• •• ••• •••

-4 -2 0 2 4Media = 0, sqm = 1

•• •••• • • ••• • •• ••• •

• ••• •• •• • •••

-4 -2 0 2 4Media = 0, sqm = 1

• ••• ••• • • •• • ••• • ••

•• •• • •• ••• ••

-4 -2 0 2 4Media = 0, sqm = 1

•• •• • •• •• •• •• ••• •• •• •• ••• ••• ••

-4 -2 0 2 4Media = 0, sqm = 1

•• •• •• •• ••• • ••• • • •• ••

•• • •••• ••

-4 -2 0 2 4Media = 0, sqm = 1

••••• ••• • •• •• •• •• • •• •••• • •• • ••

-4 -2 0 2 4Media = 0, sqm = 1

• ••• •• •• • ••• ••• •• ••• ••• •• • •• • •

-4 -2 0 2 4Media = 0, sqm = 1

•• • •• ••• ••• ••• ••• •••• • •

• ••• •••

-4 -2 0 2 4Media = 0, sqm = 1

• •• •• ••• •• •• •• •••• • •• • • ••

• •• ••

-4 -2 0 2 4Media = 0, sqm = 1

••• • • •

• •• •• • •• •• • ••••• •••• •• ••

-4 -2 0 2 4Media = 0, sqm = 1

••• • • •••• • ••• • •• • ••• •• • • •••• ••

-4 -2 0 2 4Media = 0, sqm = 1/2

•••• •• •• •• •• •• • ••••

• •••

•• • ••••

-4 -2 0 2 4Media = 0, sqm = 1/2

•• • • •• • ••• • •• • •••• •••

• •••• ••• •

-4 -2 0 2 4Media = 0, sqm = 1/2

• • •• •• ••• • •• ••• •••• ••• ••

•••• ••

-4 -2 0 2 4Media = 0, sqm = 1/2

• •• •••• • •••••• • • •• •• • •••• •• •••

-4 -2 0 2 4Media = 0, sqm = 1/2

••••• •• •••

•• • • •• • ••• • •• • • ••• • •

-4 -2 0 2 4Media = 0, sqm = 1/2

•• •• •• ••• • ••• • ••• •• • • •• •• •• • ••

-4 -2 0 2 4Media = 0, sqm = 1/2

•• ••• ••• •• • ••• •• ••• •• • • •• •• •• •

-4 -2 0 2 4Media = 0, sqm = 1/2

••• • •• •••• • •• •• ••

• ••• ••• ••• ••

•

-4 -2 0 2 4Media = 0, sqm = 1/2

•• •• ••• ••• • •• • •• •• • •• • •• ••• •• •

-4 -2 0 2 4Media = 0, sqm = 1/2

•• • • •• ••• • •••• •• •••

••• • •• •••

• •

-4 -2 0 2 4Media = 0, sqm = 1/2

Nella �gura, le medie sono rappresentate da cerchietti, mentre i valori campionari sono rap-presentati da puntini. Le medie oscillano attorno al valore � = 0 cioe' attorno alla mediadella popolazione, in entrambe i casi.

Le oscillazioni sono piu' marcate nel gra�co di sinistra (che e' relativo alla normale convarianza maggiore tra le due).

193

In�ne, le medie oscillano meno delle singole osservazioni. Cioe' una singola osservazioneX , nel campionamento ripetuto, oscilla attorno a � = 0 con scarti dell'ordine di �. Invece, �Xoscilla attorno alla propria media con scarti di ordine inferiore a �.

722. Quali sono le proprieta' teoriche della distribuzione campionaria della media?Si dimostrano i risultati fondamentali seguenti.

(a) La variabile aleatoria media campionaria, cioe' �X, ha una media nell'universo dei cam-pioni, uguale alla media della popolazione. Cioe', la media delle medie campionarie e'uguale alla media della popolazione. In simboli,

E( �X) = �:

Questo risultato e' sempre vero, quale che sia la distribuzione della popolazione, purche'siano estratti campioni casuali dalla stessa popolazione avente media �.

(b) La variabile aleatoria �X ha una varianza nell'universo dei campioni di dimensione n,piu' piccola della varianza della popolazione. Piu' precisamente, la varianza delle mediecampionarie e' uguale alla varianza della popolazione divisa per n, la numerosita' delcampione. Formalmente,

var( �X) = �2=n:

Questo risultato e' vero anche se la popolazione non ha una distribuzione normale,purche' le osservazioni siano estratte indipendentemente da una popolazione avente unavarianza costante �2.

(c) In�ne, se la popolazione e' normale, di media � e varianza �2, la distribuzione campio-naria della media e', a sua volta, esattamente normale. Quindi, per i risultati (a) e (b)precedenti, �X e' normale, con media � e varianza �2=n, ossia scarto quadratico medio�=pn.

723. Commentare il risultato (a) precedente.(a) esprime esattamente cio' che avevamo notato dalle �gure precedenti. Cioe' che le

medie campionarie oscillano nel campionamento ripetuto attorno alla media della popolazione.Anche se la singola stima puo' di�erire dalla media della popolazione, in media le stime sonouguali a �. Questa e' una proprieta' della media campionaria, secondo cui tale indice nontende a sovrastimare o sottostimare sistematicamente la media della popolazione.

724. Commentare il risultato (b).Il risultato (b) fornisce una misura degli scostamenti tra �X e � (che e' la sua media).

Sappiamo che lo scostamento quadratico medio di �X e' �=pn, e quindi dipende da due cose:

dal � della popolazione e dalla numerosita' del campione. Gli scarti tra �X e � tendono

� a crescere quanto piu' e' variabile la X nella popolazione (� e' al numeratore)

� a decrescere quanto piu' e' grande la numerosita' del campione (n sta al denominatore)

194

Quindi le medie campionarie variano meno di quanto varino le singole osservazioni, nel cam-pionamento ripetuto. Questo si puo' capire osservando che le medie attenuano le di�erenzeesistenti tra valori bassi e valori alti e quindi sono suscettibili di minore oscillazione rispettoai dati.

Inoltre, aumentando la numerosita' del campione si puo' far diminuire la variabilita' dellemedie campionarie attorno a � ossia l'errore di campionamento.

725. Supponiamo che il reddito mensile X di una certa categoria di lavoratori, sia distribuitoteoricamente in modo normale, con media 2 200 000 lire e scarto quadratico � = 250 000.Qual'e la variabilita' delle medie campionarie in campioni casuali di dimensione 10 da questapopolazione?

Per i risultati teorici precedenti, le medie campionarie, nel campionamento ripetuto, sidistribuiscono attorno a 2 200 000 lire con una variabilita' di

�=pn = 250 000=

p10 = 79 056 lire:

Quindi, in campioni di dimensione 10, le medie campionarie hanno oscillazioni dell'ordinedelle 80 000 lire rispetto alla media, contro le oscillazioni dell'ordine delle 250 000 lire, nellapopolazione.

Aumentando la dimensione del campione a n = 100, le possibili oscillazioni di �X nelcampionamento ripetuto sono solo

�=pn = 250 000=

p100 = 25 000 lire:

726. Interpretare lo scarto quadratico medio di �X in campioni da popolazioni normalitenendo conto che �X ha a sua volta una distribuzione normale.

Usando la regola dei tre sigma per la normale, nell'esempio precedente, possiamo conclu-dere che il 99% dei campioni di dimensione 100 ha una media compresa tra

2 200 000� 3� 25 000 e 2 200 000+ 3� 25 000

cioe' tra 1 975 000 e 2 425 000. Per questo motivo, sappiamo che a meno di estrarre uncampione veramente particolare, otterremo quasi sicuramente una media che e' compresa inquell'intervallo. Questo consente di prevedere il margine di errore dovuto al campionamento.

In generale, estraendo campioni casuali di dimensione n da una normale, c'e' il 99% diprobabilita' di ottenere una media campionaria compresa tra

� � 3�=pn e �+ 3�=

pn:

SETTIMANA 15

Introduzione alla stima

In quest'ultima lezione siamo in grado di trarre alcune conclusioni sui metodi di stima basati sucampioni casuali. Il punto fondamentale e' il fatto che con i campioni casuali si costruisconodei dati con un meccanismo generatore che segue le regole del calcolo delle probabilita'.Pertanto possiamo prevedere in anticipo le distribuzioni di probabilita' delle stime e valutarel'errore di campionamento.

Vedremo che l'errore di campionamento, in campioni di dimensione su�ciente, e' piccoloe quindi e' ragionevole aspettarsi buoni risultati usando metodi campionari.

In�ne, parleremo di come valutare le stime. A volte infatti ci si puo' trovare di fronte ametodi alternativi di stima di uno stesso parametro. Avremo tempo di parlare soltanto dellevalutazioni delle stime nel campionamento ripetuto.

15.1 Problemi di stima

727. Che cosa si intende per stima statistica?

Si intende l'assegnazione di uno speci�co valore a un parametro che caratterizza la po-polazione oggetto di studio, basandosi su un campione estratto da qualla popolazione. For-malmente, la popolazione e' descritta da una particolare variabile aleatoria X , che si assumenota, nella sua forma, a meno di un parametro che, invece, e' incognito. La stima statisticasi propone di dare un valore numerico a questo parametro incognito, in modo da renderecompletamente scoperto il meccanismo (aleatorio) che genera i dati.

Per esempio, assumiamo di sapere che la popolazione dei redditi che stiamo studiando e'in teoria una normale con una varianza � = 250 000 lire, ma ammettiamo di non conoscerne lamedia � che quindi ci e' ignota. Pertanto, estraendo a caso un individuo da questa popolazionesappiamo che il reddito avra' una densita' di probabilita' di forma normale, ma non sappiamodove questa normale e' localizzata. Potrebbe avere una media � = 1 900 000 o � = 2 500 000.Il problema e' trovare una stima di �, spesso viene denotata con � (� `cappello'), che perqualche motivo si giudica la piu' plausibile, alla luce dei dati.

195

196

Sostituendo a � la sua stima, la popolazione che se ne ottiene e' una sola e i campionicasuali che essa potrebbe generare sono simili al campione che e�ettivamente si e' estratto.

728. Quali sono i principali problemi di stima studiati?

(a) La stima di � (la probabilita' di successo) in una popolazione dicotomica e (b) lastima di � in una popolazione normale. Nel primo caso la popolazione (ossia il meccanismogeneratore dei dati) e' una variabile aleatoria di Bernoulli. Nel secondo caso e' una Gaussiana.

729. Come si stima la probabilita' di successo �?Con la proporzione di successi nel campione P . Per de�nizione, poiche' le osservazioni

possono essere solo 0 (insuccesso) o 1 (successo), la proporzione di successi e' semplicementela media aritmetica degli 1 e degli 0 nel campione.

730. Come si stima la media � di una popolazione normale?Con la media aritmetica �X dei dati campionari. Tuttavia, poiche' la media delle normale

e' uguale anche alla mediana, si potrebbe usare la mediana Xmed per stimare �.

731. In ogni caso, che cos'e' una stima?

E' un modo per sintetizzare i dati campionari in modo da fornire un unico numero chesia un valore plausibile del parametro. Per questo diremo che la stima e' una funzione delleosservazioni.

15.2 Come si valuta una stima?

732. Una volta che e' stato inventato un metodo per stimare un parametro, e' importantedomandarsi se questa sintesi e' una buona stima del parametro oppure no. Come si fa agiudicare questo aspetto?

Per valutare la bonta' di una stima occore stabilire dei criteri. Qui parleremo dei criteribasati sul campionamento ripetuto. Supporremo sempre che il campione abbia una numerosi-ta' �ssata n. I criteri basati sul campionamento ripetuto valutano non tanto la singola stimaottenuta una volta estratto il campione, ma le stime che si possono ottenere nell'universo deicampioni. In altri termini, valutiamo non una stima, ma la distribuzione campionaria dellestime. Questo permette di conoscere il comportamento di una stima nel lungo andare.

733. Poich�e una stima e' una funzione delle osservazioni e queste sono aleatorie, perche'dipendono dal campione, anche la stima e' una variabile aleatoria. Quando si vuol fareriferimento alla stima nell'universo dei campioni, cioe' alla stima come variabile aleatoria, siparla di stimatore.

734. Qual'e' la di�erenza tra stima e stimatore?Lo stimatore e' una variabile aleatoria che descrive le stime nel campionamento ripetuto.

Una stima e' un singolo numero ottenuto in un particolare campione. Lo stimatore ha unadistribuzione campionaria, mentre la stima e' un numero solo. Talvolta e' utile distinguere

197

anche formalmente lo stimatore, indicato con una lettera maiuscola, dalla stima, indicatacon la stessa lettera minuscola. Per esempio si parlera' di stimatore proporzione campionariaP distinguendolo dalla singola proporzione stimata p che e' una realizzazione della variabilealeatoria precedente.

Si puo' proporre una analogia intuitiva secondo cui lo stimatore sta al fucile come la stimasta al colpo sparato. Il fucile, ossia la rosa dei colpi potenziali che esso puo' sparare, una voltapuntato verso il bersaglio, corrisponde allo stimatore ossia alla distribuzione campionaria dellestime nell'universo dei campioni. Invece, un particolare colpo, tra tutti i possibili della rosa,corrisponde a una stima ottenuta da uno speci�co campione.

735. Quali sono le proprieta' principali di una stima, basate sul campionamento ripetuto?

Per quanto detto sopra le proprieta' riguardano gli stimatori e non le stime. Le proprieta'fondamentali sono due

� la non distorsione (o correttezza)

� la precisione.

736. Quando si dice che uno stimatore e' non distorto?

Uno stimatore e' non distorto, o corretto, se la sua distribuzione campionaria e' centratasul parametro che si vuol stimare. Cioe' uno stimatore e' non distorto se la media delle stimenell'universo dei campioni e' uguale al parametro ignoto, quale che sia il parametro ignoto.

Ad esempio, la media campionaria �X e' uno stimatore corretto di �, perche' E( �X) = �.Analogamente, la proporzione campionaria di successi P e' uno stimatore corretto di � perche'E(P ) = �. Notare che e' possibile stabilire la correttezza, anche senza conoscere il valore delparametro, perche' i conti vengono fatti colcalcolo delle probabilita' nell'universo dei campioni.

Proseguendo l'analogia �gurata con il fucile, un fucile e' non distorto se la sua rosa deicolpi e' centrata sul bersaglio (cfr. la �gura seguente).

Nella �gura, a sinistra e' rappresentata una rosa centrata sul bersaglio e a destra una rosasistematicamente spostata.

La non distorsione signi�ca assenza di errore sistematico. Pertanto, se uno stimatore e'non distorto siamo certi che non otterremo sistematicamente sovrastime o sottostime.

198

737. Che cos'e' la distorsione?

E' la di�erenza tra la media dello stimatore e il parametro incognito.

738. Ci sono stimatori distorti?

Certamente, molti stimatori (anche buoni, per altro verso), sono distorti, nonostante ilprocesso di campionamento casuale tenda a eliminare le distorsioni da selezione (vedi cam-pionamento per quota). In alcuni casi, cio' non costituisce un problema perche' la distorsionee' un ammontare noto e, quindi, puo' essere eliminata. In altri casi il problema e' piu' serioperche' non si conosce l'esatto valore della distorsione.

Un esempio di stimatore distorto e' la varianza campionaria, come stimatore di �2.

739. Come si misura la precisione di uno stimatore?

Con il suo errore quadratico medio. Quanto piu' e' grande l'errore quadratico medio eminore e' la precisione dello stimatore.

740. Che cos'e' l'errore quadratico medio di uno stimatore?

E' la media degli scarti al quadrato tra le stime e il valore incognito del parametro. E' unindice dell'errore dovuto al campionamento casuale.

Ad esempio, l'errore quadratico medio di �X stimatore di � e'

Ef( �X � �)2g

Siccome � e' la media di �X, in questo caso l'errore quadratico medio e' semplicemente lavarianza dello stimatore, che e' �2=n. Notare che l'errore quadratico medio non dipende da�, ma solo da �2 ed n. Se la varianza della popolazione e' nota, e' un indice che si puo'calcolare. Se non e' nota, e' a sua volta un parametro da stimare.

741. Trovare l'errore quadratico medio della proporzione di successi P .

L'errore quadratico medio di P stimatore della probabilita' di successo � e'

Ef(P � �)2g = �(1� �)=n

poiche', anche in questo caso, coincide con la varianza dello stimatore. Tuttavia, stavoltal'errore quadratico medio di P dipende da � che e' incognito e quindi non si puo' conosceredirettamente, ma deve essere stimato a sua volta.

742. Che cos'e' l'errore standard?

E' lo scarto quadratico medio della distribuzione campionaria dello stimatore. E' unamisura della variabilita' dello stimatore espressa nella stessa unita' di misura della variabile.

199

743. Quali sono l'errore standard della media e l'errore standard di una proporzione?Possiamo calcolarli facilmente consocendo la varianza di �X e di P , Risulta subito

e.s.( �X) = �=pn e e.s.(P ) =

q�(1� �)=n

Entrambi indicano l'ordine di grandezza dell'errore di campionamento, ossia la precisionedella stima. Purtroppo non si possono calcolare esattamente se non sono noti � nel primocaso e � nel secondo. Ovviamente la numerosita' del campione e' nota perche' e' scelta dalricercatore.

744. Come si puo' fare se l'errore standard dei due stimatori precedenti non e' noto?Prima di aver ottenuto il campione, si puo' calcolare o l'errore standard nel caso peggiore,

cioe' il massimo errore standard ottenibile. Nel caso della media campionaria occorre sostiturea � un valore stimato per eccesso, eventualmente basato su analoghe indagini precedenti. Nelcaso della proporzione il caso peggiore e' quando � = 0:5. Percio' l'errore standard del casopeggiore e' 0:5=

pn.

Dopo aver estratto il campione, si puo' calcolare un errore standard stimato. Nel casodella media, si sostituisce a � una sua stima s ottenuta dai dati campionari. Nel caso diuna proporzione si sostituisce a � la sua stima campionaria p (realizzazione della variabilealeatoria P nel campione).

745. Quali sono gli errori standard stimati di �X e di P?Per quanto detto sopra otterremo

de.s.( �X) = s=pn e de.s.(P ) = qp(1� p)=n

dove il cappello sopra e.s. indica che si sta utilizzando una stima dell'errore standard.

746. Un sondaggio basato su un campione casuale con ripetizione da una popolazione �nitadi elettori ha dato i seguenti risultati dei favorevoli e contrari all'attuale governo (dati �ttizi)

Favorevoli 220

Contrari 280

Totale 500

Qual'e' la stima dei favorevoli al governo nella popolazione? Qual'e' l'errore standard dellastima?

La stima di favorevoli e'

p =220

500= 44%:

Il suo errore standard e'

de.s.(P ) =r220

500� 280

500� 1

500= 2:21%:

L'errore standard del caso peggiore e' 0:5=p500 = 2:23%: L'errore di campionamnto e' circa

di due punti percentuali.

200

747. Sono state provate venti auto della stessa marca e dello stesso modello su un percorsourbano ed e' stato misurato il consumo (in litri di benzina per 100 km) ottenendo i risultatiseguenti (campione ordinato)

6.6 7.7 8.0 8.1 8.2

8.3 8.3 8.6 8.7 8.8

8.9 9.0 9.3 9.3 9.6

9.8 10.0 10.2 10.7 11.3

Supponendo che il consumo nella popolazione (potenziale) di auto di quel tipo sia una variabilealeatoria normale di media incognita �, stimare la media e il suo errore standard.

La media e' �x = 8:97 litri. L'errore standard e' �=p20 dove � e' lo scarto quadratico medio

del consumo nella popolazione. Se si conoscesse tale scarto quadratico medio si potrebbe avereun valore esatto dell'errore standard. Una stima dell'errore standard si ottiene calcolando unastima s di � dai dati campionari. Questa si puo' calcolare come radice della media degli scartial quadrato tra i dati e la loro media 8.97. Si ottiene s = 1:071. Pertanto l'errore standardstimato e' 1:071=

p20 = 0:24 litri.

748. L'errore standard di P e di �X varia inversamente alla radice quadrata della numerosita'campionaria. Come si interpreta questo risultato?

Si interpreta dicendo che per dimezzare l'errore standard della stima occorre quadruplicarela dimensione del campione.

749. La �gura seguente illustra la distribuzione campionaria di �X in campioni di dimensione10 e di dimensione 40 dalla popolazione normale dei redditi avente media � = 2:2 milioni dilire e � = 250 000 lire.

• • ••• ••• • •

1.4 1.8 2.2 2.6 3.0n = 10

•• •• •• •• • •

1.4 1.8 2.2 2.6 3.0n = 10

• ••• ••• •••

1.4 1.8 2.2 2.6 3.0n = 10

• • • •• ••• ••

1.4 1.8 2.2 2.6 3.0n = 10

• • •• ••• •• •

1.4 1.8 2.2 2.6 3.0n = 10

••••• • • •• •

1.4 1.8 2.2 2.6 3.0n = 10

••• • • ••• • •

1.4 1.8 2.2 2.6 3.0n = 10

• ••• •• •• • •

1.4 1.8 2.2 2.6 3.0n = 10

• •• • • •• •••

1.4 1.8 2.2 2.6 3.0n = 10

• •• • ••• • ••

1.4 1.8 2.2 2.6 3.0n = 10

• • •• ••• •• •

1.4 1.8 2.2 2.6 3.0n = 10

• •• •• •• •• • •• •• •• •• ••• ••• •• ••• ••• ••••• ••

1.4 1.8 2.2 2.6 3.0n = 40

••• • ••• • • •• •••• • •••• ••• •• •• •• ••• •••• ••••

1.4 1.8 2.2 2.6 3.0n = 40

•••• • •• • •• • •• • ••• ••• •• ••• •• •• • ••• ••• •• ••

1.4 1.8 2.2 2.6 3.0n = 40

• •••• • •• ••• ••• ••• ••• • •• •••• • •• ••• ••• •• ••

1.4 1.8 2.2 2.6 3.0n = 40

•••• • •• • • ••• •• •• •• •• ••• • •• •••• • • • • • •• •• •

1.4 1.8 2.2 2.6 3.0n = 40

••• •• ••• • • •• •• •• • • ••• • • •••• • ••• • •• • ••• ••

1.4 1.8 2.2 2.6 3.0n = 40

•• • ••• • •• •• •• •• •• • ••• •• ••• •• • •••• ••• •• • •

1.4 1.8 2.2 2.6 3.0n = 40

• • •• • •••• ••• • ••• • ••• •• ••• • • •• ••• • •• •• •••

1.4 1.8 2.2 2.6 3.0n = 40

• •••• •• • •• •• • • •• ••• • •• •••• • •••••• • • •• •• •

1.4 1.8 2.2 2.6 3.0n = 40

• ••• • •• ••• •••• •• ••• •• • • •• • ••• • •• • • ••• • ••

1.4 1.8 2.2 2.6 3.0n = 40

• •• ••• • ••• • ••• •• • • •• •• •• • ••• • •• • • •• •• •••

1.4 1.8 2.2 2.6 3.0n = 40

201

Le osservazioni campionarie sono riportate con puntini e la loro media e' il cerchietto nelmezzo. Osservare come la precisione della media raddoppia quando il campione quadruplica.

750. Supponiamo che i voti alla maturita' degli iscritti a Scienze Politiche abbiano unadistribuzione teorica normale con media incognita. Si stima la media con un campione casualedi 100 studenti, ottenendo un voto medio �x = 41. Qual'e' il suo errore standard se la stimadi � e' s = 5?

L'errore standard stimato e' s=pn = 5=

p100 = 0:5

751. Si estrae un campione casuale di 1500 abbonati alla televisione. La percentuale dicoloro che dichiarano di aver visto un tal programma e' il 22%. Qual'e' l'errore standard dellastima?

L'errore standard stimato e'q0:22� (1� 0:22)=1500 = 0:0107 � 1

752. Da quanto precede, risulta che si puo' scegliere la dimensione del campione in mododa ottenere una precisione prestabilita. Infatti, se si vuole ottenere un errore standard epre�ssato per la media campionaria, si ha

e = �=pn e quindi n = �2=e2:

Se non si conosce �, si puo' stimare con un indagine pilota, su un campione ridotto.

753. Si voglia conoscere il consumo medio pro capite di latte (all'anno), con un errorestandard di 2 litri. Che numerosita' campionaria dobbiamo �ssare, sapendo che lo scartoquadratico medio nella popolazione e' circa 20 litri?

Si imposta l'equazione

2 = 20=pn da cui n = 400=4 = 100:

754. Il caso di una proporzione e' analogo. Poiche' l'errore standard e' e =p�(1� �)=n si

ottienen = �(1� �)=e2:

Siccome non si conosce �, ne' si puo' stimare, perche' non si e' ancora estratto il campione,si sostituisce a � il valore 0:5 che corrisponde al caso peggiore, ottenendo

n = 0:5� 0:5=e2:

755. Si vuole estrarre un campione casuale da una popolazione dicotomica e si vuol stimare� con un errore standard di mezzo punto percentuale. Di quanti elementi deve essere ilcampione?

Si imposta l'equazione

0:005 =q0:5� 0:5=n da cui 0:000025 = 0:25=n

e, quindi, n = 10 000.

Appendice A

Dati

A.1 Dati sui frequentanti di un corso di Statistica

I dati delle tabelle A.1 e A.2 sono stati rilevati con un questionario all'inizio dell'anno ac-cademico 1995{1996 sugli studenti del corso di Statistica della facolta' di Scienze Politichedi Sassari. Alle 11 domande hanno risposto 94 studenti. Gli asterischi indicano le rispostemancanti.

1. X1: sesso (m = maschio, f = femmina)

2. X2: numero di componenti della famiglia

3. X3: scuola di provenienza (L = liceo, I = istituto tecnico, A = altro)

4. X4: voto alla maturita'

5. X5: almeno uno dei genitori ha un diploma di scuola superiore? (s��, no)

6. X6: numero di auto possedute in famiglia

7. X7: abiti a Sassari? (si, no)

8. X8: quanti minuti impieghi per raggiungere l'universita'?

9. X9: quanti cm sei alto?

10. X10: fumi? (s��, no)

11. X11: i tuoi genitori fumano? (0 = nessuno, 1 = uno, 2 = entrambi).

203

204

Studente X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 X11

1 m � I 46 s�� 3 s�� 5 170 s�� 02 f 4 L 54 s�� 2 s�� 10 170 s�� 13 f 3 L 57 no 1 no 45 162 no 04 f 3 L 48 s�� 2 no 40 160 s�� 15 f 5 L 58 s�� 2 no 60 157 s�� 16 m 5 L 49 s�� 2 no 45 169 no 17 f 5 L 50 no 1 s�� 15 170 no 18 f 1 L 52 no 1 s�� 15 154 no 09 f � I 40 no 2 no 20 158 s�� 010 f 4 L 36 s�� 2 s�� 25 164 s�� 011 f 5 I 60 no 2 s�� 20 163 no 012 f 3 I 48 s�� 2 s�� 7 175 no 013 f 5 I 44 no 1 no 45 167 no 014 f 4 L 36 s�� 4 s�� 15 165 no 015 m 4 L 53 s�� 1 s�� 10 178 no 016 f 4 L 36 no 1 no 30 170 s�� 217 m 4 I 42 s�� 2 s�� 10 178 s�� 118 f 8 I 54 no 1 no 10 150 no 019 f 4 A 42 s�� 2 s�� 15 160 s�� 020 f 5 I 48 no 2 no 35 160 no 021 f 4 I 52 s�� 2 no 30 164 s�� 022 m 3 A 42 no 2 no 35 180 no 123 m 6 I 50 s�� 2 s�� 30 175 no 124 f 4 I 57 no 3 s�� 10 153 no 025 m 3 L 36 s�� 2 s�� 10 182 no 126 m 5 I 40 s�� 2 s�� 10 170 s�� 027 m 4 I 52 s�� 2 s�� 5 170 s�� 028 f 6 L 42 s�� 2 s�� 30 165 s�� 129 m 4 L 37 no 1 no 60 175 no 030 m 5 I 45 no 2 s�� 10 178 no 131 m 3 I 38 s�� 3 s�� 20 173 no 032 m 5 L 43 s�� 2 s�� 10 173 no 133 m 4 I 44 no 2 s�� 10 175 s�� 234 m 4 L 43 s�� 2 s�� 10 179 no 035 m 4 L 58 no 1 s�� 25 171 s�� 136 f 4 I 56 no 1 s�� 20 163 no 037 m 4 L 36 no 2 no 60 165 s�� 038 f 4 A 52 no 1 no 40 163 no 039 f 8 I 46 no 1 s�� 20 150 no 040 m 4 L 48 s�� 1 s�� 10 172 no 041 f 5 A 45 s�� 2 s�� 2 162 s�� 242 f 5 A 43 no 1 no 15 163 no 143 f 4 A 52 s�� 2 s�� 10 170 no 144 f 5 L 51 s�� 2 s�� 15 155 no 145 m 4 I 44 s�� 1 s�� 10 179 s�� 146 f 7 I 46 no 6 s�� 15 170 no 047 m 4 A 36 no 2 no 30 175 s�� 1

Tabella A.1: Risposte al questionario per gli studenti da 1 a 47.

205

Studente X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 X11

48 f 7 I 48 no 1 s�� 15 165 no 049 f 5 L 38 s�� 2 s�� 5 173 no 150 f 2 I 52 no 1 s�� 30 162 no 051 f 4 L 60 s�� 2 s�� 20 170 no 052 m 3 I 45 s�� 2 s�� 5 170 s�� 153 m 3 L 36 no 3 s�� 13 176 s�� 254 f 5 L 50 s�� 3 s�� 10 166 s�� 055 f 3 L 45 s�� 3 s�� 10 160 s�� 056 f 3 I 44 no 1 no 40 166 no 057 m 4 I 42 s�� 2 s�� 10 180 s�� 258 m 4 L 45 no 2 s�� 15 174 no 159 m 4 I 44 no 1 no 30 185 no 060 f 4 L 52 no 1 no 12.5 160 no 061 m 6 L 40 s�� 2 s�� 173 no 162 f 5 I 43 no 4 s�� 5 159 no 163 m 4 L 46 s�� 2 no 40 166 no 064 m 4 I 36 s�� 1 no 60 176 s�� 065 m 4 I 36 no 2 no 40 180 s�� 066 f 3 L 50 s�� 2 no 50 165 s�� 167 f 4 L 42 no 2 no 55 165 s�� 068 f 5 A 42 no 1 no 25 160 no 169 f 4 I 48 s�� 2 no 25 150 no 170 f 4 L 56 no 2 no 25 150 no 071 f 3 L 50 no 2 no 25 172 no 072 f 4 L 46 no 2 no 10 162 no 073 f 4 L 52 s�� 2 s�� 10 164 no 174 f 4 I 53 no 2 no 40 165 no 275 f 6 I 44 no 1 s�� 15 165 no 076 f 4 I 56 no 2 s�� 15 156 no 077 f 5 I 38 no 2 s�� 50 160 no 278 f 6 I 56 s�� 2 no 40 163 no 179 f 5 I 48 no 1 no 60 152 no 180 f 4 I 60 no 1 no 60 164 no 081 f 3 I 44 s�� 1 s�� 25 161 no 282 f 4 L 52 s�� 3 s�� 20 165 s�� 083 m 4 I 36 s�� 1 no 10 180 s�� 084 m 4 L 42 no 2 no 30 173 no 085 f 3 I 45 no 1 s�� 5 160 no 186 f 6 L 54 s�� 2 s�� 6 170 no 087 f 4 I 44 s�� 2 s�� 15 150 s�� 188 m 5 L 44 s�� 3 s�� 20 173 s�� 089 f 4 L 48 s�� 2 s�� 152 s�� 190 m 6 L 54 s�� 2 s�� 10 175 no 091 m 4 L 45 s�� 2 s�� 10 187 no 192 m 4 I 45 s�� 6 s�� 10 170 s�� 193 m 3 I 40 s�� 1 s�� 10 170 no 094 f 6 I 40 no 5 s�� 20 160 s�� 0

Tabella A.2: Risposte al questionario per gli studenti da 48 a 94.

Appendice B

Tavola della distribuzione normale

Area, in percentuale, sotto la normale standardizzata compresa tra due valori �z e +z. Ivalori in grassetto indicano valori di z che corrispondono ad alcune aree tipiche.

z Area z Area z Area z Area

0.00 0.00 0.80 57.63 1.645 90 2.50 98.76

0.05 3.99 0.842 60 1.65 90.11 2.55 98.92

0.10 7.97 0.85 60.47 1.70 91.09 2.576 99

0.120 10 0.90 63.19 1.75 91.99 2.60 99.07

0.15 11.92 0.95 65.79 1.80 92.81 2.65 99.20

0.20 15.85 1.00 68.27 1.85 93.57 2.70 99.31

0.25 19.74 1.036 70 1.90 94.26 2.75 99.40

0.253 20 1.05 70.63 1.95 94.88 2.80 99.49

0.30 23.58 1.10 72.87 1.960 95 2.813 99.5

0.35 27.37 1.15 74.99 2.00 95.45 2.85 99.56

0.385 30 1.20 76.99 2.05 95.96 2.90 99.63

0.40 31.08 1.25 78.87 2.10 96.43 2.95 99.68

0.45 34.73 1.282 80 2.15 96.84 3.00 99.73

0.50 38.29 1.30 80.64 2.20 97.22 3.05 99.77

0.524 40 1.35 82.30 2.242 97.5 3.090 99.8

0.55 41.77 1.40 83.85 2.25 97.56 3.10 99.81

0.60 45.15 1.440 85 2.30 97.86 3.15 99.84

0.65 48.43 1.45 85.29 2.326 98 3.20 99.86

0.674 50 1.50 86.64 2.35 98.12 3.25 99.88

0.70 51.61 1.55 87.89 2.40 98.36 3.291 99.9

0.75 54.67 1.60 89.04 2.45 98.57 3.30 99.90

207

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