autore: Gabriella Bucciarelli Pagina 1 16/07/2009

Disequazioni irrazionali

DISEQUAZIONI IRRAZIONALI

1. definizione e procedimento risolutivo di base

2. disequazione con radicale con indice dispari

3. disequazione con radicale con indice pari

1. DEFINIZIONE E PROCEDIMENTO RISOLUTIVO DI BASE

Si definisce disequazione irrazionale una disequazione in cui l’incognita appare sotto il segno di

radice.

Tutte le disequazioni irrazionali si risolvono inizialmente isolando il radicale accertandosi che sia

preceduto dal segno positivo.

2. DISEQUAZIONE CON UN RADICALE CON INDICE DISPARI

Se l’indice di radice è dispari, dopo aver isolato il radicale, si procede all’elevamento a potenza con

esponente uguale all’indice di radice, senza porre nessuna condizione per il radicando dato che la

radice in questione si può sempre calcolare per ogni x. Si procede come segue:

( ) ( )

3

1

13

3

3

12

3

342

0143

133

1

1

1

2

1

2,1

2

233

33

3 3

3 3

3 3

−=

−=−=

=±−

=−±−

=

>++

+++<−

+<−

+<−

<−−

x

x

x

xx

xxxxx

xxx

xxx

xxx

Se la disequazione contiene più di un radicale si isola prima un radicale, si eleva a potenza e poi si

isola il nuovo radicale che si formerà per elevarlo a potenza:

( ) ( )

( ) ( )3579

333

3

33

33

39

33 3

93 3

331

1

1

1

1

1

xxxxx

xxx

xxx

xxx

xxx

xxx

−+−>+

−>+

−>+

+<−

+<−

+<−

disequazione di 9° grado eventualmente da scomporre con Ruffini dopo averla ordinata.

3. DISEQUAZIONE CON RADICALE CON INDICE PARI

Se l’indice di radice è pari, dopo aver isolato il radicale si presentano due casi:

a) il radicale è < di un polinomio (eventualmente monomio o semplice numero)

b) il radicale è > di un polinomio (eventualmente monomio o semplice numero)

autore: Gabriella Bucciarelli Pagina 2 16/07/2009

Disequazioni irrazionali

Analizziamo i due casi con alcuni esempi:

a) Esempio 1

73 <−x

In questo caso il radicale quadratico ha bisogno di una condizione di esistenza C.E. in quanto la

radice quadrata si può calcolare solo se il radicando è positivo o uguale a 0, quindi una prima

condizione è che

03 ≥−x (1)

Poiché poi il radicale è preceduto da un segno sottointeso positivo, la disequazione rimane

soddisfatta se eleviamo alla seconda entrambi i membri

( )493

73 22

<−

<−

x

x

(2)

Pertanto la disequazione è soddisfatta se si verificano entrambe le condizioni (1) e (2)

<−

≥−

493

03

x

x

sistema da risolvere cercando l’intervallo comune alle due disequazioni:

<

≥

52

3

x

x

quindi

523 <≤ x

Esempio 2

71 −<−x

In questo caso è vero che la C.E. per il radicando dice

x 1≥

ma il secondo membro della disequazione è negativo e pertanto il radicale che rappresenta un

numero positivo non può essere minore di un numero negativo, perciò la disequazione è

impossibile.

Esempio 3

xxx −<+− 5342

In questo caso per la realtà del radicale occorre che

0342≥+− xx (3)

ed essendo il radicale positivo, perché la disuguaglianza abbia senso, occorre che anche il secondo

membro sia positivo:

05 >− x (4)

ed infine affinchè la disequazione abbia soluzione occorre eliminare la radice elevando entrambi i

membri alla seconda

( ) ( )22

2 534 xxx −<+− (5)

Pertanto la disequazione ha bisogno che siano verificate la (3), la (4) e la (5):

+−<+−

>−

≥+−

22

2

102534

05

034

xxxx

x

xx

Con questi 3 esempi abbiamo esaurito tutti i casi in cui un radicale quadratico è minore di una certa

espressione e si può generalizzare così:

autore: Gabriella Bucciarelli Pagina 3 16/07/2009

Disequazioni irrazionali

la disequazione )()( xgxf < equivale al sistema

<

≥

>

)()(

0)(

0)(

2xgxf

xf

xg

b) Esempio 4

122

−>− xx

Per la realtà del radicale occorre che

022≥− xx (6)

e poiché il radicale è positivo sarà sempre maggiore del membro di destra che è negativo, pertanto è

sufficiente elevare alla seconda entrambi i membri

12

)1()2(

2

222

>−

−>−

xx

xx

(7)

Allora questa disequazione è soddisfatta quando sono soddisfatte la (6) e la (7)

>−

≥−

12

02

2

2

xx

xx

Notate che in questo esempio il radicale era maggiore di una quantità negativa.

Esempio 5

24 −>− xx

In questo caso il membro di destra può essere negativo ma anche positivo, pertanto i casi da

considerare insieme sono due

≥−

<−

04

02

x

x e

( ) ( )

−>−

>−

≥−

22

24

04

02

xx

x

x

Nel sistema di sinistra se l’espressione di destra è negativa, essendo il radicale positivo è sufficiente

aggiungere la realtà del radicale.

Nel sistema di destra se l’espressione di destra è positiva (o uguale a 0) oltre alla condizione di

realtà per soddisfare la disequazione occorre elevare entrambi i membri.

e’ interessante vedere il significato della e fra i due sistemi. Il primo sistema ha come soluzione x<2

ed il secondo 32 <≤ x . Ebbene questi due intervalli vanno addizionati, quindi la soluzione finale è

x<3

grazie al fatto che il punto di congiunzione 2 è incluso.

Generalizziamo il caso b):

risolvere la disequazione )()( xgxf >

equivale a risolvere i sistemi

≥

<

0)(

0)(

xf

xg e

>

>

≥

)()(

0)(

0)(

2xgxf

xf

xg