La matematica non è un aggregato di formule astratte, ma rappresenta il cammino del

pensiero dell'uomo.

I numeri Irrazionali..

•Giulia Bellezza•Anastasia De Giglio •Alessia Lentano •Giorgia Ruta •Roberta

Riflettevo sul fatto che..

Mileto 375 a.C Metaponto 495 a.C.

Scusate, mi presento sono

PitagoraFilosofo un po’ antico

Figura maggiore della filosofia rivestito da un alone di leggenda.

Prototipo del “filosofo antico” propone ai suoi discepoli:

• uno stile di vita dedicata alla ricerca della verità

• un isolamento dai problemi della città (biòs theoreticòs).

Nasce la

matematica = “insegnamento” (in greco);

i matematici (discepoli più esperti nell’insegnamento) che hanno superato l’iniziazione

gli acusmatici invece possono solo ascoltare una leggenda narra che Pitagora parlava loro dietro una

tenda

i principi della matematica sono i numeri

• nei numeri credettero più che nel fuoco• capirono che nel numero vi era l’essenza di ogni realtà:

tutto è numerotutto è

numeralizzabile

12

310

124

0,51

1009756

I pitagorici si chiedevano cosa ci fosse al principio

dell’universo (αρχή).

i principi della matematica sono i numeri

12

310

124

0,51

1009756

I pitagorici associavano:

• il cosmo, qualcosa di tangibile, illimitato e concreto alla razionalità dei numeri

• la negatività del chaos all’irrazionalità dei numeri

Il calcolus o “sassolino” era utilizzato dai pitagorici per compiere i calcoli...

incommensurabili quando non ammettono

una grandezza sottomultipla comune…

Due grandezze

omogenee

si dicono

Dimostrazione..

Supponiamo che AC e AB siano segmenti commensurabili: data una grandezza sottomultipla comune U contenuta m volte in AC e n volte in AB.

n AC = m AB. Con il teorema di Pitagora sul triangolo ABC si ha

n2= 2 m2. Si è giunti ad un assurdo perché n2 contiene 2 elevato ad esponente pari, mentre il secondo membro contiene 2 elevato ad esponente dispari.

Questo è un assurdo.

Ne consegue che AC e AB sono segmenti incommensurabili.

AC= DIAGONALEAB= LATOPer ASSURDO

AC e AB sono incommensurabili?

QUADRATO

La definizione di rapporto per le grandezze commensurabili non ha significato per quelle incommensurabili.

Riprendiamo il caso precedente. Confrontiamo AC e AB :

AB<AC<2AB riportando AB su AC si nota che AB è contenuto una sola volta con il resto di r.

Grandezze commensurabili

Grandezze incommensurabili

Nuovo rapporto

Ripetendo il procedimento possiamo dedurre che non si avrà mai un resto nullo. Se ciò accadesse si otterrebbe un numero irrazionale.

Si viene a costruire così un allineamento decimale, illimitato, non periodico.

Il rapporto di due grandezze omogenee è un numero reale (positivo); esso è un numero razionale nel caso di grandezze commensurabili,

irrazionale nel caso di grandezze incommensurabili.

Q+ U I+ = R+ Q+

I+

R+

“ Esplorare

π è come esplorare

l’Universo…” David Chudnovsky

La storia del π :

La sua approssimazione è 3,14

È anche conosciuto come la costante di Archimede

Non è una costante fisica, bensì matematica

È un numero irrazionale e trascendente

Non può essere scritto come quoziente di due interi

π

Nasce nel 1706 dal matematico inglese

William Jones

Costruzione geometrica delle radici quadrate dei

numeri naturali

costruisce geometricamente le radici quadrate dei numeri interi a partire da un triangolo

rettangolo isoscele avente cateti di lunghezza

unitaria

Consideriamo il triangolo

OAB di figura in cui

OA=1

l'ipotenusa di OBC

OC =√3Iterando il procedimento

si ottengono tutte le radici quadrate

dei numeri naturali (√N)

Si ottiene inoltre tale

figura:

Per il teorema di Pitagora OB =√2.

si costruisce un nuovo triangolo rettangolo retto in B con cateti OB e BC, tale che BC=1

…ma c’è un numero razionale che al quadrato fa esattamente

due?

1,442 = 2,0736 1,432 = 2,0449

1,4152 = 2,002225

1,412 = 1,9881 1,41422 =1,99996164

1,414212 =1,999989924

“ La reductio ad absurdum, tanto amata da Euclide è una delle più belle armi di un matematico. E’ un gambetto molto più raffinato di qualsiasi gambetto degli scacchi: un giocatore di scacchi può offrire in sacrificio un pedone o anche qualche altro pezzo, ma il matematico offre la partita.”

G.H.Hardy

Le grandezze non sempre possono essere espresse sotto forma di frazioni. Per questo esiste un’altra categoria di numeri chiamati irrazionali. Questi non possono essere scritti come decimali, né come decimali periodici.

La misura esatta della diagonale del quadrato di lato

1 è √2ogni tentativo di scriverlo in forma decimale può soltanto essere un’approssimazione ad 1,414213562373..

2

1 2

valore approssimato per difetto a meno di

una unità

valore approssimato per eccesso a meno di

una unità

;...415,1;42,1;5.1;2

;...414.1;41.1;4.1;1

e

d

C

C

La ricerca della posizione di √2 all’interno dell’intervallo avvia

un procedimento infinitoe genera due classi di numerii cui elementi sono gli infiniti

valoriapprossimati rispettivamente

per difetto e per eccesso

º Le classi sono separate: Cd<Ce

º Fra le due classi c’è un avvicinamento indefinito

º Le classi si dicono contigue

Si definisce numero irrazionale l’elemento separatore di una coppia di classi contigue di numeri razionali che rappresentano i suoi valori approssimati rispettivamente per difetto e per eccesso.

√2

Cd

Ce

separa

determina

Grazie per avermi ascoltato..il mio lavoro

finisce qui…ora torno ai miei pensieri. Buona

fortuna!