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I numeri geometrici

Scritto da Maria RispoliDomenica 09 Gennaio 2011 19:07 - Ultimo aggiornamento Martedì 01 Marzo 2011 11:11

Sin dai tempi di Pitagora, sono state esplorate le interessanti proprietà di un certo numero disassolini messi in forme geometriche, cercando di ricavarne leggi universali.

Ad esempio il numero 10, la sacra Tetraktis, era per i Pitagorici il numero sacro per eccellenza,simbolo della salute e dell’armonia, grazie anche alla sua perfezione estetica di numerotriangolare. La sua rappresentazione geometrica veniva assunta a simbolo della Scuolapitagorica.

Essendo 10 la somma di 1, 2, 3, 4, il numero veniva a rappresentare la sintesi dei quattroordinamenti geometrici: unità, linea, piano, solido.

In generale venivano chiamati numeri figurati certe rappresentazioni geometriche dei numerinaturali. I numeri figurati potevano essere lineari, poligonali o solidi e ciascuno potevaassumere più forme [1] .

Ci sono una serie di interessanti regole e metodi ricorsivi per calcolarli.

I numeri triangolari

La nozione di numero triangolare risale al tempo dei Pitagorici, i quali distinguevano i numerianche in base alla configurazione geometrica con cui potevano essere rappresentati.

Si chiamano numeri triangolari i numeri i cui punti assumevano la forma di un triangoloequilatero, come indicato nella figura seguente.

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I numeri geometrici


Da questa disposizione essi deducevano che la successione dei numeri triangolari si potevaottenere sommando successivamente i numeri naturali.

Infatti:

1+2=3

1+2+3=6

1+2+3+4=10

1+2+3+4+5=15

1+2+3+4+5+6=21

……………………

Alcuni di essi sono:

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Interi

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

3 / 13

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2+1

3+3

4+6

5+10

6+15

7+21

8+28

9+36

10+45

Triangolari

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1

3

6

10

15

21

28

36

45

55

Il numero triangolare n-esimo, Tn, è dato dalla seguente formula:

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Ci sono varie caratteristiche dei numeri triangolari. Scriviamoli su una sola riga: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, … osserviamo che: 3 – 1 = 2 6 – 3 = 3 10 – 6 = 4 15 – 10 = 5 21 – 15 = 6 28 – 21 = 7 36 – 28 = 8 45 – 36 = 9 55 – 45 = 10 …….… Vengono fuori tutti i numeri da uno a dieci, uno in fila all’altro, e continuando a sottrarre da unnumero triangolare il suo precedente si ottengono tutti i numeri naturali in ordine crescente. Quindi possiamo ottenerli anche in modo ricorsivo utilizzando quest’altra formula: Tn+1 = Tn + n + 1 dove: T0 = 0 Osserviamo inoltre che: “Ogni numero si può scrivere con al massimo tre numeri triangolari”. Infatti per il numero 51, ad esempio, ne occorrono due: 51 = 15 + 36 per 83 ne occorrono tre: 83 = 10 + 28 + 45 e anche per il 12 ne occorrono tre: 12 = 1 + 1 + 10. Consideriamo ancora la sequenza di numeri triangolari: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, …, sommiamo il primo con il successivo, abbiamo: 1 + 3 = 4 = 22, ora il secondo con il successivo e così i seguito: 3 + 6 = 9 = 32 6 + 10 = 16 =42 10 + 15 = 25 = 52 ……………… Procedendo in questo modo si ottengono tutti i quadrati dei numeri naturali. Osserviamo perciò che se vogliamo sapere quant’è la somma, dei primi 12 numeri naturali, adesempio, possiamo sapere il risultato senza fare i conti, basta vedere qual è il dodicesimonumero triangolare. Infatti guardando la sequenza di numeri triangolari: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, …, si ha che il dodicesimo numero è 78 e se effettuiamo la verifica abbiamo appunto: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 = 78. Vediamo che se i numeri da uno a dodici li scriviamo uno sotto l’altro, i primi sei da sinistra adestra, gli altri sei da destra a sinistra e poi li sommiamo otteniamo:

Abbiamo ottenuto 6 volte tredici e 6 * 13 = 78, cioè il dodicesimo numero triangolare che è parialla somma dei primi 12 numeri naturali [2] . I numeri quadrati

Si chiamano numeri quadrati i numeri che disposti al modo pitagorico formano, come indicatonella figura seguente, un quadrato.

Il numero quadrato n-esimo, Qn, si ottiene nel seguente modo:

Qn = n2

infatti:

1 * 1 = 1 = 12

2 * 2 = 4 = 22

3 * 3 = 9 = 32

……………

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Osservando la tabella che segue, vediamo che se al primo numero quadrato aggiungiamo ilsecondo numero dispari otteniamo il secondo numero quadrato, se al secondo numeroquadrato aggiungiamo il terzo numero dispari atteniamo il terzo numero quadrato, e così diseguito:

Dispari

1

3

5

7

9

11

13

15

7 / 13

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17

19

3+1

5+4

7+9

9+16

11+25

13+36

15+49

8 / 13

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17+64

19+81

Quadrati

1

4

9

16

25

36

49

64

81

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100

Per passare da un numero quadrato al successivo i Pitagorici utilizzavano un metodo graficoche consiste nel tracciare due lati del quadrato di partenza e aggiungere tanti punti quanti eranonecessari per formare un altro quadrato.

Possiamo ottenere i numeri quadrati utilizzando la seguente formula:

Qn+1 = Qn + (2n + 1)

dove si pone:

Q0 = 0

Si possono ottenere i numeri quadrati, ancora con le regole ricorsive ricavate in precedenza, eutilizzando anche un procedimento ricorsivo.

Osservando la forma dei numeri quadrati i Pitagorici dedussero che un numero quadratopoteva essere ottenuto anche dalla somma di due numeri triangolari successivi.

Inoltre questa configurazione permise ai pitagorici di scoprire che ogni numero dispari è ladifferenza di due quadrati.

Leonardo Pisano, nel suo Liber quadratorum (1225), fece osservare che l’ennesimo numeroquadrato, denotato con n2, superava il suo

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antecedente ( n-1)2 perla somma della propria radice e di quella dell’antecedente; cioè:

n2 = (n - 1)2 + n + (n - 1)

Un’altra proprietà interessante dei numeri quadrati, che secondo Plutarco (II sec, d. C.) eranota agli antichi Pitagorici, stabiliva che sommando l’unità ad otto volte l’ n-esimo numerotriangolare si otteneva il numero quadrato di posto 2n + 1, che si esprime nel modo seguente:

I numeri pentagonali

Erano detti numero pentagonale i numeri i cui punti formano un pentagono regolare, come 1, 5,12, 22 e così via.

I numeri pentagonali si ottengono con la formula:

Tra le tante proprietà di cui godono i numeri pentagonali vi è la seguente:

“l’n-esimo numero pentagonale è uguale a n più tre volte l’(n-1)-esimo numero triangolare”

Questo si può esprimere nel seguente modo:

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Osserviamo che questo tipo di numeri si possono ottenere anche con una procedura ricorsivautilizzando la seguente formula:

Pn+1 = Pn + (3n + 1)

E’ possibile, sempre utilizzando le formule precedenti, ottenere i numeri pentagonali tramite unprocedimento ricorsivo.

I numeri esagonali

Consideriamo ora i numeri esagonali, sono detti così quei numeri i cui punti potevano esseredisposti secondo la forma di un esagono regolare, come 1, 6, 15, 28 e così via.

Formule analoghe si possono trovare anche per i numeri esagonali, una formula per ricavarli èla seguente:

En = n (2n – 1)

Si possono ottenere gli stessi numeri utilizzando una formula ricorsiva:

En+1 = En + 4n + 1

I numeri X-gonali

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In generale i numeri geometrici sono dei numeri X-agonali, per calcolare i numeri X-gonali sipuò utilizzare la seguente formula ricorsiva:

Xn+1 = Xn + (X – 2) n + 1

[1] Bottazzini, Freguglia, T. Rigatelli, Fonti per la Storia della Matematica, Sansoni,

[2] H. M. Enzensberger, Il Mago dei numeri, Mondadori

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