Progettazione & Consulenza Hardware e Software per Automazione Livio S. Orsini Via DeAmicis, 48 21040 Vedano Olona VA Tel.: 0332.400.664- 339.747.0813 email: livio.orsini@plcforum.it Livio S. OrsiniVia DeAmicis, 48 21040 Vedano Olona VA Tel.: 0332.400.664 pag. 1 di 14 Dimensionamento motori elettrici Lenotecheseguonosonounaraccoltadiformuleeconsiglipereseguireilcorretto dimensionamento dei motori elettrici. Le formule sono corredeta da alcune note esplicative e da alcuni richiami teorici fondamentali. Perfacilitaretutticoloroiqualivolesseroapprofondiregliargomentitrattatiinserita anche una bibliografia essenziale. Indice 1.Considerazioni generali, 2.Considerazioni sulla massima velocit e sulle coppie richieste in funzione delle diverse tipologie di macchine. 3.Appendici e formulari Questo documento messo liberamente a disposizione dallautore per tutti gli utenti di plcforum.it. La riproduzione parziale, o totale, del documento consentita alla sola condizione che siano espli-citamente citate le fonti. Esclusione di responsabilit Lautore e plcforum.it non si assumo responsabilit per danni e inconvenienti, a cose e/o a persone, derivanti dalluso del contenuto di questo documento. 1 of 141 of 141 of 14 Progettazione & Consulenza Hardware e Software per Automazione Livio S. Orsini Via DeAmicis, 48 21040 Vedano Olona VA Tel.: 0332.400.664- 339.747.0813 email: livio.orsini@plcforum.it Livio S. OrsiniVia DeAmicis, 48 21040 Vedano Olona VA Tel.: 0332.400.664 pag. 2 di 14 1.Considerazioni genearali Il dimensionamento di un motore elettrico si effettua in base a due parametri principali: velocit mas-sima richiesta e coppia massima richiesta. Da questi due parametri ne discende la potenza massima del motore.Iltipodimotorevienedeterminatoinbasaallecaratteristichedellimpiantoedaconsider-azioni economiche. La moderna tendenza per limpiego di motori asincroni pilotati da inverter. Per alcune applicazioni ancoraconvenientelimpiegodimotoriincorrentecontinua.Limpiegodeimotoribrushlesspi orientatonelcontrollodiassio,comunque,intuttigliimpieghidovesonorichiesteaccelerazioni violenteeprontezzadirisposta.Inquestosettoreesistononicchiedovelusodimotoriincorrente continuaparticolari,comeimotoriamagnetipermanenenti, a terre rare, a rotore piatto, sono ancora convenienti 1.1Motori in alternata La drastica riduzione dei costi degli inverter, la loro accresciuta affidabilit, le notevoli prestazioni di-namiche raggiunte, unitamente alla ridotta necessit di manutenzione di un motore in alternata, fanno considerare i moderni azionamenti in alternata come gli azionamenti ideali. InfunzionedellapplicazionesipossonoimpiegareinverterV/Foinvertervettoriali.Gliinverter tradizionali,oinverterV/F,hannoimpiegoinapplicazionidovenonrichiestalacoppiamassimaa basso regime di rotazione, controllo di coppia, alte prestazioni dinamiche. Nelcasodiapplicazioninelcampodelsollevamentosiadottanoinvertervettorialiconreazionedi posizione. La reazione di posizione pu essere effettuata con resolver o con encoder. Negli altri casi possibile, a meno di dover controllare la coppia su tutti e 4 i quadranti, limpiego di inverter vettoriali sensorless, cio senza reazione di posizione. In tutte le applicazioni con inverter dove si preveda un utilizzo del motore, non saltuario e transitorio, anche a bassi regimi di rotazione, indispensabile luso della ventilazione assistita, pena gravi danni al motore. Enecessariocheimotorisianodibuonaqualite,sopraatutto,abbianounisolamentoben dimensionato, perch la tensione in uscita da un inverter non sinusoidale, ma impulsiva; solo lazione filtrante dellinduttanza del motore la rende pseudo sinusoidale. 1.2Motori in corrente continuaFino a pochi anni fa erano praticamente lunica soluzione possibile per i controlli di velocit variabile. Oggisono praticamente soppiantati dagli azioanmenti in alternata. Possono essere convenienti in ap-plicazioni molto povere, dove si impiegano convertitori semicontrollati monofasi, il cui costo molto competitivo. Hanno ancora una loro convenienza nelle applicazioni dove si impiegano grosse taglie > 100 kW. Sonoconvenientiancheinapplicazionispeciali;applicazionidovesirichiedonopresatazioni dinamiche di assoluta eccellenza. Si applicano motori speciali, a rotore piatto e magneti permanenti a terre rare, con convertitori di tipo chopper, che garantiscono una elavata banda passante. 1.3Motori brushless Nelle applicazioni che richiedono elevate prestazioni dinamiche, luso di servo motori in alternata si fa semprepicompetitivo,perprestazionieconvenienzaeconomica.Inquestasezionepossonoessere inclusiancheimotoribrushlessgenerici.Fraimotoribrushlesslatendenzaprevilegiaimotori sinusoidali, i tipi trapezoidali sono sconsigliabili per nuove applicazioni 2 of 142 of 142 of 14 Progettazione & Consulenza Hardware e Software per Automazione Livio S. Orsini Via DeAmicis, 48 21040 Vedano Olona VA Tel.: 0332.400.664- 339.747.0813 email: livio.orsini@plcforum.it Livio S. OrsiniVia DeAmicis, 48 21040 Vedano Olona VA Tel.: 0332.400.664 pag. 3 di 14 2.Criteri di scelta 2.1 Determinazione della massima velocit angolare richiesta la motore Perdimensionareunmotoreelettriconecessario,perprimacosa,determinarnelatipologiapi conveniente:alternata,continua,brushless/servo.Stabilitoiltipodiazionamento,siprocedercon lindividuazione della massima velocit angolare richiesta dallapplicazione.Le applicazioni, dal punto di vista della veloct del mtore, si possono suddividere in tre grandi classi: -applicazioni per moto traslatorio -applicazioni per moto rotatorio -applicazioni per avvolgitura (aspi) 2.1.1 Applicazioni per moto traslatorio Nelleapplicazionipermototraslatorioesistesempreuncongegnomeccanicocheconverteilmoto rotatorioinmotolineare.Itipipiusatisono:vite a circolazione di sfere, vite senza fine, pignone cremagliera,cinghia puleggiadentata, cinghia puleggiatrapezoidale. La scelta della trasmissione dipenderdaltipodiapplicazione,lediversetipologiesonostateelencateinordinediprecisione decrescente. Tutti i tipi elencati, comunque, hanno in comune la costante di conversione radianti mm o,sesipreferiscono le unit pratiche, giri mm. Tra motore e dispositivo di conversione pu essere interpostoancheunulterioreelementodiriduzionedivelocit.Tuttiidispositivi,interpostitraasse motore e oggetto movimentato, prendono il nome di catena cinematica. Il rapporto tra il valore della velocitangolaredelmotore,conilvaloredivelocitangolarealluscitadellacatenacinematica, prende il nome di rapporto di riduzione totale, verr indicato con N. caricomotoreN=[2.1.1] Per esemplificare il concetto supponiamo che si debba azionare un utensile alla velocit massima 0.02 ms, cio 20 mms. Lutensile azionato da una vite, viteil cui passo pari 1 mm. In altri termini ad ogni rivoluzione completa della vite (1 rad) corrisponder una trslazione lineare pari ad 1mm. Quindi alla massima velocit lineare corrisponder una velocit angolare pari 125,66 rad/s o, se preferite unit pratiche, 1200 giri/minuto. Perscegliereilmotorefondamentalestabilireseconvenienteinterporre,tramotoreevite,un riduttore di velocit. Nelcasosiadottasseunazionamentoinalternata,sarebbepossibileadottareunmotoreatrepaiadi poli, la cui velocit base apri a circa 940 giri minuto. Con questa scelta si raggiungerebbe la velocit massima a circa 64 Hz. Si lavorerebbe in regime di potenza costante per circa il 28% dellescursione di velocit. Ilvantaggiodiunpilotaggiodirettodatoesclusivamentedallaprecisionediposizionamento;ogni anellodellacatenacinematicaintroducegiochi,quindiimprecisioni.Inoltreognianellodellacatena ha, ovviamente, guadagno < 1; in altri termini bisogna spendere energia per movimentarlo. Con l' inserimento di un elemento riduttore di velocit, si otterr un diminuzione del mometo dinerzia del carico riportato allasse motore; riduzione corr ispondente al quadrato del rapporto di riduzione. 3 of 143 of 143 of 14 Progettazione & Consulenza Hardware e Software per Automazione Livio S. Orsini Via DeAmicis, 48 21040 Vedano Olona VA Tel.: 0332.400.664- 339.747.0813 email: livio.orsini@plcforum.it Livio S. OrsiniVia DeAmicis, 48 21040 Vedano Olona VA Tel.: 0332.400.664 pag. 4 di 14 2.1.2 Applicazioni per moto rotatorio Nelleapplicazionipermotorotatoriosiprocedepisemplicemente.Nonnecessarioconvertireil movimento lineare in movimento angolare. Generalmente si conosce la massima velocit angolare o, pifrequentemente,lamassimavelocitdirotazionedelcarico.necessario,quindi,moltiplicare questa velocit per il fattore di riduzione della catena cinematica, N, per ottenere la massima velocit angolare richiesta al motore. Valgono le medesime considerazioni del paragrafo precedente. 2.1.3 Applicazioni per avvolgitura Le applicazioni per avvolgitura sono, in pratica, applicazioni per moto rotatorio dove il carico cambia dimensionisenzasoluzionedicontinuit.Questaparticolaritdeterminaunmomentodinerzia continuamente variabile e, conseguentemente, una coppia aggiuntiva variabile con continuit. Perdeterminarelamassimavelocitrichiestaalmotore,sideveprocederenelseguentemodo.Si determinalamassimavelocitlinearedelmaterialeavvolto,sideterminailminimodiametro dellavvolgimento. La massima velocit di rotazione corrisponder alla massima velocit lineare al mi -nimo diametro. La massima velocit del motore si otterr moltiplicando la massima velocit angolare dellavvolgimento,perilcoefficientediriduzionedituttalacatenacinematica.Inapplicazionidi questo tipo conveniente massimizzare coefficiente di riduzione della catena cinematica, in modo da ottenere il inimo momento di nerzia riportato allasse motore.Unesempiochiarirmeglio.Siconsideriadunaspocondiametrominimoparia0.16mediametro amssimo pari 2m. Un rapporto diametri di 12.5 grande, ma non eccezionale. La massima velocit del materialecorrispondera10ms.Lamassimavelocitangolaredellasposarparia125rads,corri -spondenti 1193.66 rpm. Per scegliere un motore per avvolgitura si deve considerare che, nella maggior partedeicasi,almanimodiametrocorrispondeunlivellodicoppiaprossimoalvaloreminimo. Pertanto si pu benissimo usare il motore a velocit maggiore della nominale, accettandone la diminu-zione del valore di coppia. La coppia deve diminuire perch, per velocit maggiori della velocit nomi-nale,silavorainregimedipotenzacostante,quindialcresceredellavelocitangolarediminuirla coppiamotrice.Questeconsiderazionisonovalidesiaperazionamentiincorrentecontinua,siaper quelli in corrente alternata. Nel caso desempio ipotizziamo di scegliere un motore due pol i e di lavo-rarefinoa100Hz.Aquestafrequenzacorrisponderunavelocitangolareparia594rads, corrispondenti a 5680 rpm. Con questa soluzione possiamo tenere un rapporto di riduzione totale pari a 4.7,ilmomentodinerziasarridottodi4.72 22.09volte.Secifossimolimitatiallavelocit nominale, il rapporto di riduzione sarebbe pari a 2.5, con riduzione del momento dinerzia di solo 6.25 volte.Valeancheunaltracosiderazione:ilrapportotravelocitangolareediametroiperbolico.I n altri termini ad incrementi lineari di diametro corrispondono decrementi iperbolici di velocit angolare.Nel caso preso ad esempio, la velocit angolare nominale di 297 rads, corrispondenti a 2840 rpm, sar raggiuntaconvaloredidiametroparia0.316m.Lavelocitnominalesarraggiuntaconvaloridi diametro ancora piccoli, che richiedono valori minimi di coppia. 4 of 144 of 144 of 14 Progettazione & Consulenza Hardware e Software per Automazione Livio S. Orsini Via DeAmicis, 48 21040 Vedano Olona VA Tel.: 0332.400.664- 339.747.0813 email: livio.orsini@plcforum.it Livio S. OrsiniVia DeAmicis, 48 21040 Vedano Olona VA Tel.: 0332.400.664 pag. 5 di 14 2.2 Determinazione della coppia motrice massima Il secondo parametro necessario per dimensionare il motore la massima coppia motrice che il motore dovr erogare. 2.2.1 Considerazioni generali Bisognasempredistinguerelerichiestedicoppiaistantaneadallerichiestecontinuative.Inoltre necessario verificare il regime di velocit angolare a cui richiesta lincremento dicoppia. Le richieste dincrementi coppia, prevedibili, sono dovuti esclusivamente ad accelerazioni ed a vincere lattrito di primo distacco. Lattrito di primo distacco quella parte di attrito che scompare non appena ilcaricoiniziaamuoversi.Leragionidiquestoattritoulterioresonomolteplicievannoanalizzate applicazione per applicazione. E evidente che alla coppia necessaria per vincere questo tipo di attrito si sommer sempre la coppia necesaria per accelerare. Le richieste di coppia aggiuntiva, per le compensazioni del momento dinerzia e dellattrito di primo distacco,sonorichiesteimpulsive.Questofattotraespessoininganno,inducendoadimensionareil motore solo in funzione della coppia continuativa.Si consideri, ad esempio, unap plicazione in cui, per compensare attrito di primo distacco e momento dinerzia, sia richiesto un icremento di coppia minimo. Questo incremento sar pari al 20% del valore nominale,delmotoresceltoinprimaapprossimazione.Secisifermasseaquestaconsiderazionela nostra sceltapotrebbeconsiderarsi ottimale. Se invece analizziamoil ciclo di lavoro si nota che un susseguersidiaccelerazioniedecelerazioni.Unsuccessivocalcolodellacoppiatermicacifar scoprirecheilsuovaloreparial110%delvaloredicoppianominale.Inaltriterminicomese il nostro motore dovesse erogare, in regime continuativo, una coppia motrice pari a 1,1 volte il valore dellacoppiamotricenominale.Eevidentechelascelta,effettuatainprimaapprossimazion e,va corretta la rialzo. Particolare attenzione va posta nella scelta di servo motori in corrente continua. Questi motori possono sopportarecorrentidipiccoilcuivalorepuarrivarea8*In.Questovalorepernonapplicabile sullinteragammadive locit.Generalmentesiapplicafinoagirca1/3dellavelocitmassimapoi decresce, con legge parabolica, fino a raggiungere il valore di corrente nominale alla velocit massima. Aldisopradiquestivalori,esisteunazonadilavorodelmotoreutilizzabilesoloincondizionidi emergenza. Utilizzando il motore in questarea si ha unusura anomala delle spazzole e del collettore. Superandoanchequestosecondolimiteilmotoreverrdanneggiatoinmodoirreversibile.Si raccomanda pertanto, quando si applichino motori di questo tipo, di studiare attentamente i grafici del costruttore. Figura 2.2.1 Schematizzazione della catena cinematica La figura 2.2.1 Schematizza la catena cinematica, le forze applicate ed i momenti dinerzia.Comeperladeterminazionedellavelocitmassima,suddividiamoiacasisiticaintrecasitipici: movimentazione lineare, movimentazione rotatoria e avvolgitura. Fr Fm N MCarico rc Jc Jt Trasmissione Jm 5 of 145 of 145 of 14 Progettazione & Consulenza Hardware e Software per Automazione Livio S. Orsini Via DeAmicis, 48 21040 Vedano Olona VA Tel.: 0332.400.664- 339.747.0813 email: livio.orsini@plcforum.it Livio S. OrsiniVia DeAmicis, 48 21040 Vedano Olona VA Tel.: 0332.400.664 pag. 6 di 14 2.2.2 Movimenti traslatori Aquestotipodiapplicazioniappartengono tutte le lavorazioni dove il carico viene spostato secondo una linea retta, sia essa orizzontale, verticale od obliqua. La forza, indicata nello schema di figura 2.2.1 come Fr,rappresenta linsieme di tutte le forze che si oppongonoalmovimentoinregimestazionario,quindisonoesclusiimomentidinerzia.Per esplicitare meglio il concetto facciamo qualche esempio. 2.2.2.1 Sollevamento tramite fune e tamburo. Tuttoquantoseguirnonperdedivaliditancheseilsollevamentosieffettua,p.e.,tramitepulegga dentata e cinghia. Lafiguraalatoschematizaunsistemadisollevamento.Il sistema costituito da un tanburo (puleggia) di raggio r, da una fune(cinghia),daunriduttoreconrapportoN,daunmotore M. Ilcarico,aventeunamassaP,applicaunaforzaFsultamburo. Ricordiamo che, sulla terra, il peso e la massa sono equivalenti.La forza esercitata dalla massa P sar pari a: a P a m F * * = = [2.2.2.1.1] dove m la massa espressa in kg, a laccelerazione di gravit , il cui valore medio 9.81 ms2. La forza risultante sar espressa in Newton (N). Questa forza applicata al tamburo genera, allasse del medesimo,un coppia Cr. Questa coppia vale: r F Cr* = [2.2.2.1.2] Dove: Cr = coppia espressa in Nm F= forza espressa in N r = raggio del tamburo (puleggia) espresso in m Persollevareilcaricoilmotoredovrfornire,attraversolacatenacinematica,unacoppiaCm equivalente a: ) ( + =r mC C [2.2.2.1.3] Inpratica,considerandodilavorareinregimedivelocitstazionaria,iduevaloridicoppiasi equivalgono. Questoinunsistemaidealesenzaperdite.Consideriamo,peresempio,ilrendimentodelgruppo tamburo (puleggia) fune (cinghia) pari a circa il 95%.Alluscita del riduttore la coppiasar Cm = Cr / 0.95. Lemedesimeconsiderazionevaleperilgrupporiduttoreeperognialtroelementodellacatena cinematica. Nellesempio schematizzato dalla figura, il motore dovr fornire un a coppia determinata dalla relazione: 2 11* ) * ( NCCrm = [2.2.2.1.4] Dove: N = rapporto di riduzione della catena cinematica 1 = rendimento del gruppo tamburo - fune (puleggia-cinghia) 2 = rendimento del riduttore r N M P 6 of 146 of 146 of 14 Progettazione & Consulenza Hardware e Software per Automazione Livio S. Orsini Via DeAmicis, 48 21040 Vedano Olona VA Tel.: 0332.400.664- 339.747.0813 email: livio.orsini@plcforum.it Livio S. OrsiniVia DeAmicis, 48 21040 Vedano Olona VA Tel.: 0332.400.664 pag. 7 di 14 Con la relazione [2.2.2.1.4] si determina la coppia motrice necessaria per muovere il carico in regime di velocit stazionaria. A questo valore si dovr aggiungere, durante le fasi di accelerazione, una ulte-riore valore di coppia. Questo valore comprende due componenti: la coppia necessaria per compensare lattritodiprimodistacco,lacoppianecessariapercompensareimomentidiinerzia.Tuttiglialtri attriti sono compresi nei rendimenti delle varie sezioni. CalcoliamoorailmomentodinerziatotaleJtriportatoallassemotore.Jtdeterminatoconla relazione: M RP ctJ JNJ JJ + ++=2[2.2.2.1.4] Dove: Jc = momento dinerzia del carico espresso in kgm2 Jp = momento dinerzia della puleggia (tamburo) espresso in kgm2 JR = momento dinerzia del riduttore espresso in kgm2

JM = momento dinerzia del motore espresso in kgm2

N= Rapporto di riduzione La coppia supplementare, per compensare il momento dine rzia, si determina con la relazione: tJ Ct a=* [2.2.2.1.5] Dove: = vari azi onedel l avel oci t angolare espressa in rads t=tempo diaccel erazi oneespresso i n secondiJt = momento dinerzia totale riportato allasse motore, espresso in kgm2. Ca = coppia espressa in Nm. Aquestovaloredicoppiabisognasommare,perleaccelerazionipositive,ilvaloredicoppianeces-sario a compensare gli attriti. Questo valore andr invece sottratto nel caso di accelerazione negativa. La coppiatotale, richiesta al motore, sar: Ct = Cm+Ca+Caa[2.2.2.1.6] 7 of 147 of 147 of 14 Progettazione & Consulenza Hardware e Software per Automazione Livio S. Orsini Via DeAmicis, 48 21040 Vedano Olona VA Tel.: 0332.400.664- 339.747.0813 email: livio.orsini@plcforum.it Livio S. OrsiniVia DeAmicis, 48 21040 Vedano Olona VA Tel.: 0332.400.664 pag. 8 di 14 2.2.3 Movimenti rotatori La metodologia simile a quella adottata per i movimenti traslatori. Ingenereaquestotipodiapplicazioniappartengonomacchineparticolariquali:pompe,ventilatori, centrifughe e volani Nel caso di pompe e ventilatori la coppia necessaria a vincere la resistenza alla rotazione aumenta con laumentare della velocit di rotazione; la legge dipende dalle caratteristiche meccaniche dellapparato. Il momento dinerzia, nel caso di un ventilatore, dipende dalla forma costruttivadelle pale e non di semplice determinazione. In genere un dato fornito dal costruttore meccanico.Calcolare il momento dinerzia di pompe ancora pi difficoltoso. Fortunatamente le applicazioni di pompenonrichiedonomaiaccelerazioniviolente,pertantodificilmentesarnecessario,per dimensionare il motore, tenere conto di questo parametro. Diversoilcasodeivolaniedellecentrifughedove,sopraatuttoperlefrenature,lacoppiaper compensareilmomentodinerziaincidepesantementesuldimensionamentodelmotore.Quando possibile, si ricorre allaito di freni meccanici a disco per fermare rapidamente la macchina. 2.2.4 Macchine per avvolgitura Puressendouncasoparticolaredeimovimentirotatori,sipossonoconsiderareuncasoasestante perchlalorovelocitangolarevariabileconcontinuit,comeanchevariabileilloromomento dinerzia.Comeschematizzatonellafigura,ledueforze,ugualiecontrapposte,sono:iltiro(otensione)del amteriale e la coppia motrice. Il braccio su cui agisce la forza tiro il raggio dellavvolgimento. Raggio che varier durante tutta la lavorazione. La coppia motrice, necessaria al corretto tensioanmento del materiale, sar: Cm = r * T[2.2.4.1] Dove: Cm = coppia motrice espressa in kgm r = raggio massimo dellavvolgimento espresso in m T= tiro del materiale espresso in kg Se, tra motore ed aspo, interposto un riduttore di velocit la coppia motrice risultante allasse motore sar: **NT rCm = [2.2.4.2] Dove: N =rapporto di riduzione =rendi mento del l atrasmi ssi oneIlmomentodinerziadiunaspocontinuamentevariabileinfunzionedeldiametro,come continuamente variabile la velocit angolare dellaspo. Il momento dinerzia totale di un aspo, ridotto allalbero motore, sar: Jt = A * B * r4 [2.2.4.3] Tiromateriale Coppia Motrice r 8 of 148 of 148 of 14 Progettazione & Consulenza Hardware e Software per Automazione Livio S. Orsini Via DeAmicis, 48 21040 Vedano Olona VA Tel.: 0332.400.664- 339.747.0813 email: livio.orsini@plcforum.it Livio S. OrsiniVia DeAmicis, 48 21040 Vedano Olona VA Tel.: 0332.400.664 pag. 9 di 14 Dove: Jt= Momento dinerzia totale ridotto allalbero motore, espresso in kgm2. r= raggio dellaspo espresso in m 40 2 2.** 2* *rNlNJj Atr trtrasmmot + = [2.2.4.5] 2* 2* *trNlB = [2.2.4.5] Dove: r0= raggio interno dellaspo espresso in m l =larghezza dellavvolgimento espressa in m Ntr=rapporto di trasmissione =Peso speci fi co delmateri al eavvol to espresso i n kgm3 La relazione che determina il momento dinerzia pu essere riscritta come: ( )4042 2* 2* *r rNlNJJ Jtr trtrasmmot t + + = [2.2.4.6] La coppia aggiuntiva che il motore dovr erogare per compensare il momento din erzia, sar: tJ Ct m* = [2.2.4.7] Sesiconsideralavelocitperifericadellavvolgimento,ovverossialavelocitlinearedelmateriale, avremo: rVNltr* = [2.2.4.8] Dove: = vel oci t angolare del motore espressa in rads Vl = velocit lineare del materiale espressa in ms Trascurando costante il diametro durante il tempo di accelerazione, potremo scrivere: tvrNttr* = [2.2.4.9] da cui si ricaver la coppia supplementare con la relazione: tvr BrAN Ctr m* *3+ = [2.2.4.10] Il termine A rappresenta la parte costante del momento dinerzia, mentre il termineB ne rappresenta la parte variabile . 9 of 149 of 149 of 14 Progettazione & Consulenza Hardware e Software per Automazione Livio S. Orsini Via DeAmicis, 48 21040 Vedano Olona VA Tel.: 0332.400.664- 339.747.0813 email: livio.orsini@plcforum.it Livio S. OrsiniVia DeAmicis, 48 21040 Vedano Olona VA Tel.: 0332.400.664 pag. 10 di 14 Studiando la coppia in funzione del raggio di avvolgimento avremo il minimo valore determinato dalla relazione: 4* 3minBArC= [2.2.4.11] Sipotrannoaveretrecasisignificativi,infunzionedelvalorechepuassumererCmininrelazione allintervallo r0 - Rmax : rCmin< r0

rCmin< r0< Rmax rCmin> Rmax Nel caso di azionamenti per avvolgitura si deve considerare, in funzione del materiale avvolto, anche una coppia extra: la coppia necessaria alla piegatura del materiale. Questavaloredipendedallarigiditdelmaterialeedecresceconilcresceredelvaloredelraggiodi curvatura. Inalcunitipidiavvolgimentoanchenecessariotenerecontodelcosidettoeffettoventilatore.In altri termini se il fianco dellavvolgimento assume particolari conformazioni provoca un effetto simile a quello delle pale di un ventilatore. Ne consegue che il motore dovr erogare un ulteriore coppia. 10 of 1410 of 1410 of 14 Progettazione & Consulenza Hardware e Software per Automazione Livio S. Orsini Via DeAmicis, 48 21040 Vedano Olona VA Tel.: 0332.400.664- 339.747.0813 email: livio.orsini@plcforum.it Livio S. OrsiniVia DeAmicis, 48 21040 Vedano Olona VA Tel.: 0332.400.664 pag. 11 di 14 3 Appendici e Formulari Appendice A. Momento dinerzia A1. Definizione del momento dinerziaConsideriamouncorporigido che ruota con unavelocitangolare , attorno adun asse fisso, in un particolae sistema di riferimento, come in figura A1.1 Ciascunaparticelladiuncorpoin rotazionepossiedeunacertaenergia cinetica.Unaparticelladimassama una distanza r dallasse di rotazione ha una velocit v = *r. La sua energia cinetica : 2 2 2* *21*21r m v Ec = =lenergiacineticatotaledelcorpola sommadelleenergiecineticheditutte leparticelle.Se,comesupposto,il corpo rigido la stessa per tutte leparticelle,quindilen ergia cinetica totale K del corpo in rotazione vale: ( )2 22 221 1* ... * *21 + + = r m r m K [A1.1] ( )2 2* * *21= r m K [A1.2] Iltermine 2*r m ,sichiamamomentodinerziadelcorporispettoalsuoassedi rotazione. Si noti che il momento dinerzia dipende da: forma del corpo, distribuzione delle masse nel corpo stesso e dallasse di rotazione.Il momento dinerzia ha dimensione[M*L2] ed , di norma, espresso in kgm2. Lenergia cinetica di un corpo pu essere scritta intermini dinerzia: 221 J K = [A1.3] Questa espressione analoga alla: 221Jv k = [A1.4] L' espressione esprime lenergia cinetica di un moto traslatorio. x y P z Figura A1.1 Solido in rotazione attorno allass e z 11 of 1411 of 1411 of 14 Progettazione & Consulenza Hardware e Software per Automazione Livio S. Orsini Via DeAmicis, 48 21040 Vedano Olona VA Tel.: 0332.400.664- 339.747.0813 email: livio.orsini@plcforum.it Livio S. OrsiniVia DeAmicis, 48 21040 Vedano Olona VA Tel.: 0332.400.664 pag. 12 di 14 A2. Esempi di calcolo A2.1 Cilindro cavo Consideriamo un cilindro cavo ruotante sul proprio asse. Lamassaelementarepiconvenienteperilcalcolocostituitodaunaguainacilindrica,dispessore infinitesimo dr, di raggio r, altezza L e densit . Potremo scrivere: dV dm * = [A2.1.1] "dV" il volume della guaina cilindrica di massa dm. ( ) L dr r dv * * * * 2 = [A2.1.2] da cui si ricava: dr r L dm * * * * * = [A2.1.3] quindi: = =21* * 23 2RRdr r L dm r J [A2.1.4] R2 e R1 sono, rispettivamente, i raggi interno ed esterno del cilindro cavo. Consideriamo che la densit del materiale sia costante, risolvendo lintegrale, ptremo scrivere: ) (214241R R L J = [A2.1.5] La massa del corpo V, quindi potremo scrivere: ) ( * *4241R R L M = [A2.1.6] Pertanto il momento dinerzia di uncilindro pieno, rispetto al suo asse di rotazione : 2*21MR J = [A2.1.7] R il raggio del cilindro. Nelsistemapraticosiusa,comeindicatoredelmomentodinerziadiuncilindroodiundisco,il termine PD2, che vale: 2 2*21D P PD = [A2.1.8] PlamassadelcilindroeDildiametrodelcilindro.Perabitudine,sullaterra,siconsiderano equivalenti peso e massa, pertanto il rapporto tra PD2 e J PD2 = 4*J[A2.1.9] dr R2 R1 Fig.A2.1 Cilindro cavo L 12 of 1412 of 1412 of 14 Progettazione & Consulenza Hardware e Software per Automazione Livio S. Orsini Via DeAmicis, 48 21040 Vedano Olona VA Tel.: 0332.400.664- 339.747.0813 email: livio.orsini@plcforum.it Livio S. OrsiniVia DeAmicis, 48 21040 Vedano Olona VA Tel.: 0332.400.664 pag. 13 di 14 A2.2 Sollevamento tramite puleggi o tamburo. SiaPlamassadasollevareerilraggiodellapuleggiaodeltamburodisollevamento.Ilmomento dinerzia equivalente sara: ) * (2r P Jeq= [A2.2.1] Dove: P = Massa da sollevare in kg r =raggio del tamburo o della puleggia in m Il momento dinerzia totale sar: p eq totJ J J + = [A.2.2.2] Jp il momento dinerzia del tamburo o della puleggia calcolato come descritto in A.2.1 13 of 1413 of 1413 of 14 Progettazione & Consulenza Hardware e Software per Automazione Livio S. Orsini Via DeAmicis, 48 21040 Vedano Olona VA Tel.: 0332.400.664- 339.747.0813 email: livio.orsini@plcforum.it Livio S. OrsiniVia DeAmicis, 48 21040 Vedano Olona VA Tel.: 0332.400.664 pag. 14 di 14 Appendice B: formulario generale B1 Fattori di conversione tra varie unit di misura 1 Cv = 0,736 kW1 Hp = 0,735 kW 1 kW = 1,36 Cv 1 oC = 5/9(1oF-32) resistivit del rame @ 20oC = 1ohm per 58m di sezione 1mm2 B2 Formule pratiche Coppia espressa in kgm rpmPCm* 716=con P espressa in Cv rpmPCm* 975=con P espressa in kW Potenza, in Cv, in un moto lineare 75*v FP =dove F la forza espressa in kg e v la velocit in ms Coppia per accelerare un volano acctrpm PDC* 376*2=PD2 espresso in kgm2, tacc in s. Energia immagazzinata in una massa volanica 730) ( *2 2rpm PDEc =rpm =rivoluzioni per minuto; energia espressa in Joule Trasformazione di una massa che si uove ad una certa velocit in un PD2 che ruota ad un certa velocit angolare espressa in rivoluzioni per minuto. 2 222) ( ** ) (rpmv inkg MassaPD=dove v = ms Bibliografia essenziale David Halliday Robert Resnick: FISICA 1 Olivieri e Ravelli: Elettrotecnica 1 e 2 E. H. Werminck: Manuale Motori Elettrici 14 of 1414 of 1414 of 14