Fond Amen Ti Di Geotecnica - Esercitazione II

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Politecnico di Torino

Anno Accademico 2010/2011

FONDAMENTI DI GEOTECNICA

INGEGNERIA EDILE

Docente esercitatore:

Castelli Marta

Docente titolare:

Scavia Claudio

Componenti della squadra:

Carrozzino Carmine - 154520

Scuero Daniele - 146698

Sini Leonardo - 154891

26/11/2010

ESERCITAZIONE IIStati tensionali, cerchi di Mohr



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RICHIAMI TEORICI

Stato tensionale: Lo stato tensionale piano agente in un punto di un mezzo continuo, ad opera di un sistema di sollecitazioni

esterne, è rappresentato dal tensore degli sforzi σ xy rispetto ad un sistema di riferimento. Esso è composto da una matrice a due

colonne e due ri ghe sulle cui ultime sono ripartite le componenti del vettore tensione agente sul piano ortogonale all’asse x e

quelle sul piano ortogonale all’asse y.

Convenzionalmente il segno delle tensioni normali è considerato positivo quando queste siano di compressione ed il segno delle

tensioni tangenziali quando diano rotazioni orarie (dove τ xy = -τ xy ).

E’ utile ricordare che sia possibile determinare le com ponenti del vettore tensione per un piano comunque orientato la cui

normale formi un certo angolo in senso antiorario con la direzione dell’asse delle ascisse tramite un equilibrio alla traslaz ione ed

una rotazione del sistema di riferimento.

Determinazione analitica: Dal tensore degli sforzi è possibile dedurre:

Determinazione grafica: Lo stato tensionale può essere desunto graficamente in due metodi attraverso l’utilizzo del diagramma

noto come cerchio di Mohr, il luogo dei punti le cui coordinate forniscono gli stati tensionali σ e τ che agiscono sugli infi niti piani

che possono passare per il punto considerato. E’ bene ricordare che l’utilizzo della seconda prevede l’individuazione delle direzioni principali. Le procedure possibili sono:

i. Dato un punto P(σ x ,τ xy ) sul cerchio di Mohr di centro C si può definire lo stato rappresentato da un punto P’(σ n ,τ n ) di un

piano, inclinato di un angolo α in senso antiorario rispetto alle ascisse, riportando 2α in senso antiorario da sino a

, ancora sulla circonferenza.

ii. Dato un punto P(σ x ,τ xy ) sul cerchio di Mohr, per ottenere il medesimo piano del precedente punto, si può tracciare la retta

parallela al piano sul quale agiscono le tali tensioni date: l’intercetta con la circonferenza viene definita origine dei pia ni

OP. Da tale punto si traccia la r etta di angolo α rispetto alla suddetta intercetta in senso antiorario. Il punto che la

circonferenza interseca con la retta tracciata corrisponderà a P’(σ n ,τ n ).Le tensioni principali non sono altro che i punti

d’intersezione del cerchio di Mohr con l’asse delle ascisse, per i quali la tensione tangenziale è nulla. Per determinare le

direzioni è sufficiente unire l’origine dei piani attraverso due rette ai punti rappresentativi di σ 1 e σ 3. L’angolo α1 ed α3

corrisponderanno all’angolo con l’asse delle ascisse formato da tali rette rispettivamente per σ 3 e σ 1: questi angoli sono

misurati internamente al cerchio, nella direzione nella quale si trova OP.



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1. Dato lo stato tensionale σ xy = (dove le tensioni sono espresse in MPa e x ≡ orizzontale)

determinare analiticamente e graficamente (due metodi):

a. Le σ n e τ n agenti su di un piano la cui normale forma un angolo di 45° rispetto

all’orizzontale x;

b. Le tensioni ed i piani principali.

Rappresentare i risultati sul cubetto di riferimento.

RISOLUZIONE

Per la risoluzione analitica del problema si è proceduto con le formule desunte dalla teoria:

I. Tensioni sul piano inclinato (a.)

II. Tensioni principali (b.)

III. Direzioni principali (b.)

La risoluzione grafica prevede l’impiego di uno di due diversi metodi per giungere alle medesime condizioni

tensionali. Di seguito sono riportati ambo i metodi per verificare i risultati ottenuti.

Preventivamente si possono comunque determinare delle coordinate univoche per il tracciamento del

cerchio di Mohr, quali il raggio ed il centro del suddetto:



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I. Metodo I

Si traccia il cerchio di Mohr, conoscendone il centro ed il raggio;

Si riporta il punto P( σ x ,τ xy ) relativo alla matrice degli sforzi;

Si riporta 2α in senso antiorario da P sino a definire P’(σ n ,τ n ).

II. Metodo II

Si traccia il cerchio di Mohr, conoscendone il centro ed il raggio;Si riporta il punto P( σ x ,τ xy ) relativo alla matrice degli sforzi;

Si traccia da P la parallela al piano su cui agiscono le tensioni in matrice e si trova OP ;

Si traccia da OP la parallela al piano su cui agiscono le tensioni da desumere;

Si unisce OP con i punti σ1 e σ3 per determinare le direzioni principali e ricavare α1 e α3.



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I risultati ottenuti possono essere quindi rappresentati su un cubo unitario di riferimento:

2. Dato lo stato tensionale σ xy = (dove le tensioni sono espresse in MPa e x ≡ orizzontale)

determinare analiticamente e graficamente (due metodi):

c. Le σ n e τ n agenti su di un piano che forma un angolo di 30° rispetto all’orizzontale x;

d. Le tensioni ed i piani principali.

Rappresentare i risultati sul cubetto di riferimento.

RISOLUZIONE

Per la risoluzione analitica del problema si è proceduto con in partenza con una correzione dell’angolo

fornito in modo tale da renderlo applicabile alle equazioni note: quando il piano interessato formi un certo

angolo con l’asse delle ascisse, la sua normale forma un angolo , dove θ è l’inclinazione del

piano con l’orizzontale.

Assumendo quindi un si può procedere all’adozione delle formule desunte dalla

teoria, come nel precedente svolgimento:

I. Tensioni sul piano inclinato (a.)

II. Tensioni principali (b.)

III. Direzioni principali (b.)



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I. Metodo I

Si traccia il cerchio di Mohr, conoscendone il centro ed il raggio;

Si riporta il punto P( σ x ,τ xy ) relativo alla matrice degli sforzi;

Si riporta 2α in senso antiorario da P sino a definire P’(σ n ,τ n ).

II. Metodo II

Si traccia il cerchio di Mohr, conoscendone il centro ed il raggio;Si riporta il punto P( σ x ,τ xy ) relativo alla matrice degli sforzi;

Si traccia da P la parallela al piano su cui agiscono le tensioni in matrice e si trova OP ;

Si traccia da OP la parallela al piano su cui agiscono le tensioni da desumere;

Si unisce OP con i punti σ1 e σ3 per determinare le direzioni principali e ricavare α1 e α3.



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I risultati ottenuti possono essere quindi rappresentati su un cubo unitario di riferimento:

Dall’analisi dei risultati si nota che lo stato scelto come riferimento corrisponde a quello di giacitura delle

tensioni principali: di conseguenza le loro direzioni coincideranno con gli assi delle ascisse e delle ordinate

adottati e le tensioni tangenziali presenti saranno nulle (come risulta esplicito anche nella matrice degli

sforzi).

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