DEFINIZIONE DI DEFINIZIONE DI LIMITELIMITE

Il concetto di limite esprime, attraverso un complesso Il concetto di limite esprime, attraverso un complesso formalismo matematico, una forte relazione tra due formalismo matematico, una forte relazione tra due ambienti, dominio e codominio, che sono messi in ambienti, dominio e codominio, che sono messi in comunicazione tra loro da una qualunque funzione comunicazione tra loro da una qualunque funzione reale di variabile reale. La scritturareale di variabile reale. La scrittura

0x xlim f(x) = l

sta a significare, a grandi linee, che punti “vicini” ad l provengono da punti “prossimi” ad x0 .

Dobbiamo cercare , quindi, di esprimere i concetti di “vicinanza” e “prossimità” inDobbiamo cercare , quindi, di esprimere i concetti di “vicinanza” e “prossimità” inmaniera oggettiva, liberi da ambiguità. É noto che il concetto di vicinanza nel maniera oggettiva, liberi da ambiguità. É noto che il concetto di vicinanza nel linguaggio comune è relativo al contesto; ad esempio, l’insegnante e gli studenti linguaggio comune è relativo al contesto; ad esempio, l’insegnante e gli studenti all’interno della stessa aula sono abbastanza vicini per parlare, ma non abbastanzaall’interno della stessa aula sono abbastanza vicini per parlare, ma non abbastanzaper stringersi la mano; ancora, la distanza di 1 metro per un astronomo è trascurabile,per stringersi la mano; ancora, la distanza di 1 metro per un astronomo è trascurabile,mentre per un biologo, abituato a spazi intermolecolari microscopici,è una distanza ,mentre per un biologo, abituato a spazi intermolecolari microscopici,è una distanza ,manco a dirlo, “astronomica”. Concludendo, due oggetti alla distanza di un metro manco a dirlo, “astronomica”. Concludendo, due oggetti alla distanza di un metro sono vicini o lontani?sono vicini o lontani?

I(x0) x0

J(l)l

f

Dominio Codominio

Orbene, in matematica per ovviare a tale ambiguità si Orbene, in matematica per ovviare a tale ambiguità si intendono vicini i punti intendono vicini i punti appartenenti ad uno stesso intorno. Da ciò si evince che appartenenti ad uno stesso intorno. Da ciò si evince che nella definizione nella definizione di limite saranno messi in comunicazione intorni di di limite saranno messi in comunicazione intorni di ll con con intorni di xintorni di x00..

Bisogna ancora fare chiarezza su almeno due punti:

1. quanti intorni di l posso mettere in comunicazione con intorni di x0?

2. qual è la tipologia della comunicazione tra J(l) e I(x0)?

La definizione di limite afferma che la determinazione dell’ intorno di x0 in corrispondenza di un intorno di l non è sottoposta ad alcuna limitazione, ovvero qualunque sia la scelta di J(l) è sempre possibile determinare almeno un I(x0)

Fig. 1

Fig. 2

Riguardo al punto 2 c’è da capire che qualunque punto x si scelga in I(x0), distinto da x0, la sua immagine f(x) appartiene proprio a quell’intorno J(l) che abbiamo scelto in maniera arbitraria

Da quanto detto possiamo riassumere che:Da quanto detto possiamo riassumere che:

ogni volta che scegliamo in maniera arbitraria un intorno di ogni volta che scegliamo in maniera arbitraria un intorno di ll

è sempre possibile trovare almeno un intorno di xè sempre possibile trovare almeno un intorno di x00 tale che tale che

per ogni punto x appartenente all’intorno di xper ogni punto x appartenente all’intorno di x00 trovato, distinto trovato, distinto da xda x00

la sua immagine f(x) appartiene all’intorno di la sua immagine f(x) appartiene all’intorno di ll che abbiamo che abbiamo scelto all’inizioscelto all’inizio

J l

0 :I x

0 0x I x x

f x J l

0 0 0:J l I x x I x x f x J l

0

limx x

f x l