Stati Limite

Metodo allo stato limite ultimo

Il progetto allo stato limite ultimo richiede il calcolo del momento ultimo della sezione

e la verifica che esso sia maggiore di quello che sollecita la sezione in condizioni ultime.

Si ipotizza che la rottura per flessione si raggiunga quando si verifica una delle seguenti

condizioni:

– eccesso di deformazione plastica nell’acciaio teso;

– eccesso di deformazione nel calcestruzzo compresso;

– eccesso di deformazione nella lamina.

La prima condizione si attinge convenzionalmente quando la deformazione dell’acciaio

raggiunge il valore del 1%;

La seconda si attinge in corrispondenza del valore di deformazione del calcestruzzo pari a

0.35%;

La terza condizione corrisponde alla deformazione della lamina che corrisponde al rapporto

tra la tensione di rottura ed il modulo elastico, in quanto gli FRP hanno un comportamento

elastico-lineare fino a rottura.

Le ipotesi fondamentali su cui si basa il metodo allo stato limite ultimo sono le seguenti:

− conservazione delle sezioni piane fino a rottura, in modo che il diagramma delle

deformazioni specifiche nella sezione si conservi rettilineo,

− perfetta aderenza tra acciaio e calcestruzzo e tra lamina e calcestruzzo,

− calcestruzzo non reagente a trazione.

Il legame costitutivo del calcestruzzo si assume del tipo parabola rettangolo (figura 2.4)

dove la tensione fcd rappresenta la tensione di rottura “di calcolo” del calcestruzzo, legata alla

resistenza caratteristica a rottura Rck, attraverso la relazione:

c

ckcd

R83.085.0f

γ

⋅⋅= (2.22)

in cui il coefficiente γc rappresenta il coefficiente di sicurezza a rottura per il calcestruzzo e si

assume pari a 1.6.

2

Per l’acciaio si considera un legame costitutivo elastico perfettamente plastico con una

tensione di snervamento di calcolo pari a fyd=fyk/γs in cui γs si assume pari a 1.15; il tratto

elastico ha pendenza pari al modulo elastico Es dell’acciaio e il tratto plastico è limitato al

valore massimo di deformazione del 1% in trazione e dello 0.35% in compressione.

fcd

εc0.2% 0.35%

fyd

σf

εf1%εf,el

0.35%

σc

Figura 2.4: i legami costitutivi del calcestruzzo e dell’acciaio.

Il rinforzo fibroso ha un legame costitutivo che si può assumere perfettamente elastico fino a

rottura, con deformazioni ultime dell’ordine dell’1.5% con resistenze a rottura caratteristiche

dalle 5 alle 10 volte maggiori di quelle dell’acciaio in funzione del tipo di fibra impiegata. Il

coefficiente di sicurezza per tali materiali è funzione del tipo di fibre e delle modalità di

applicazione.

1. Sezione in c.a.

yc=0.657d

Hd

d1

b

As1

εsu=1%

εs,el

3

σs1

1

yc=0.2593d

2

εcu=0.35% σc

M

d2

As2

σs2

Fig.2.5

3

Con riferimento alla sezione rettangolare a doppia armatura rinforzata in figura 2.5 si

individuano tre regioni fondamentali di rottura:

Ciascuna regione (1, 2, 3) è caratterizzata da un intervallo di variabilità della profondità

dell’asse neutro a rottura (yc).

Il valore di yc=0.0035/(0.0035+0.01)d=0.259d rappresenta la profondità dell’asse

neutro relativo ad una rottura “bilanciata” ossia per contemporanea rottura dell’acciaio e del

calcestruzzo (la distribuzione delle deformazioni in tale condizione è rappresentata dalla retta

di separazione tra la zona 1 e 2). Le deformazioni specifiche dei materiali si ricavano per

linearità fissata la regione di rottura.

Nella zona 1 la rottura si attinge lato acciaio per superamento della deformazione limite

di trazione dell’acciaio: nel diagramma delle deformazioni il punto fisso è il valore limite

della deformazione dell’acciaio, εsu, che si pone convenzionalmente pari a 1.0%.

Nella zona 2 la rottura avviene per schiacciamento del calcestruzzo con acciaio teso

snervato: in tal caso il parametro da fissare nel diagramma delle deformazioni è la

deformazione massima del calcestruzzo compresso (εcu=0.0035), in funzione della quale si

ricavano le deformazioni negli altri materiali.

Nella zona 3 la rottura è sempre lato calcestruzzo, ma l’acciaio in trazione non è

snervato.

Le equazioni necessarie alla risoluzione del problema (calcolo dell’asse neutro a rottura

e momento ultimo) sono:

1s1s2s2scdc AAfyb0 σ⋅−σ⋅+⋅⋅⋅ψ= (2.23)

)dd(A)yd(fybM 22s2sccdcu −⋅σ⋅+⋅λ−⋅⋅⋅⋅ψ= (2.24)

Tali coefficienti sono definiti come segue:

ccd

y

yf

dyyc

⋅=∫0

)(σ

ψ ;

∫

∫ −⋅

⋅=c

c

y

y

c

cdyy

dyyyy

y

0

0

)(

)()(1

σ

σ

λ (2.25)

4

I valori di ψ e λ sono generalmente forniti in funzione del parametro ξ=yc/d (asse neutro

adimensionalizzato), in particolare nelle regioni 2 e 3 sono costanti e pari a 0.8095 e 0.416

rispettivamente (in queste due zone la deformazione del cls è sempre 0.0035).

La ricerca del momento ultimo si persegue ipotizzando una regione di rottura:

generalmente si parte assumendo che la rottura avvenga in regione 2, per cui la 2.23 si risolve

assumendo che ψ = 0.8095, λ=0.416, εc=εcu=0.0035 e calcolando per linearità le deformazioni

degli altri materiali:

- ipotesi rottura zona 2)

c

ccu1s

y

yd −⋅ε=ε

c

2ccu2s

y

dy −⋅ε=ε (2.26)

noto l’asse neutro occorre verificare che ξ = yc/d > 0.2593, ovvero che la regione di rottura sia

effettivamente la 2.

Nel caso in cui la rottura avvenga in zona 1 la deformazione di riferimento è quella

limite dell’acciaio teso. La 2.23 va risolta in maniera iterativa fissando dei valori di tentativo

per l’asse neutro: con il valore di tentativo si calcolano in base alle tabelle o ad espressioni

esplicite ψ e λ, mentre le deformazioni degli altri materiali sono ottenibili per linearità in

funzione della deformazione limite dell’acciaio, εs1=0.01, e dell’asse neutro di tentativo:

- ipotesi rottura zona 1)

)(1

c

c

scyd

y

−⋅= εε

)(

2

12

c

c

ssyh

dy

−

−⋅= εε (2.27)

La procedura iterativa consiste nel controllare che con tale asse neutro la 2.23 sia verificata.

Avendo a disposizione le formulazioni che esprimono direttamente ψ e λ in funzione di yc la

procedura consiste nel sostituire ψ e λ in funzione di yc nella 2.23: si ottiene un’equazione

nell’unica incognita yc.

5

2. Sezione in c.a. con il metodo dello stress block

Assumendo una distribuzione rettangolare per le tensioni sul calcestruzzo

(semplificazione del diagramma parabola-rettangolo delle tensioni nel calcestruzzo attraverso

uno schema ‘stress-block’) ed ipotizzando entrambe le armature alle tensioni di snervamento,

con riferimento alla figura 2.6, le 2.23 e 2.24 diventano:

As1

Hd

d1

d2

As2

σs1=fy

0.8 yc

σcu

σs2=fy

M

b

Fig.2.6

yd1syd2scdc fAfAfby8.00 ⋅−⋅+⋅⋅⋅= (2.28)

)dd(fA)y4.0d(fby8.0M 2yd2sccdcu −⋅⋅+⋅−⋅⋅⋅⋅= (2.29)

Con tali semplificazioni non occorre fare nessuna iterazione in quanto l’asse neutro e il

momento ultimo sono facilmente ricavabili dalla 2.28 e dalla 2.29, ma occorre sottolineare

che in tal caso non c’è alcuna verifica dello stato deformativo dei materiali che si assumono

lavorare alle massime tensioni.

6

3. Sezione in c.a. con rinforzo esterno in FRP

Anche nel caso di sezione in c.a. esternamente rinforzata con FRP è possibile

individuare tre possibili regioni di rottura per flessione dal diagramma delle deformazioni

specifiche nella sezione retta, come indicato in figura 2.7.

Af

Hd

d2 tf

b

As1

d1

As2

εs,el

3

σf

σs1

1

2

σs2ε's

εcu=0.35% σc

M

εo

εco

εfu

yc=ξbd

Figura 2.7

Ciascuna regione (1, 2, 3) è caratterizzata da un intervallo di variabilità della profondità

dell’asse neutro a rottura, yc.

Il valore yc,lim=0.0035/(0.0035+εfu+εo)⋅H = rappresenta la profondità dell’asse neutro

relativo ad una rottura “bilanciata” ossia per contemporanea rottura della lamina e del

calcestruzzo (la distribuzione delle deformazioni in tale condizione è rappresentata dalla retta

di separazione tra la zona 1 e 2). Si definisce anche in questo caso un asse neutro

adimensionalizzato rispetto all’altezza della sezione come già fatto nel caso di sezione in c.a.

semplice:

ξb= yc/H ξb,lim= yc,lim/H

Le deformazioni specifiche dei materiali si ricavano per linearità fissata la regione di rottura.

Nella zona 1 la rottura si attinge lato lamina per superamento della deformazione limite

a trazione della lamina prima che si abbia la crisi per schiacciamento del cls: nel diagramma

delle deformazioni il punto fisso è il valore limite della deformazione della lamina, εfu. In tal

caso poiché εfu è generalmente un valore compreso tra 0.01 e 0.015, variabile a secondo del

7

tipo di fibra e del coefficiente di sicurezza adottato, non si esegue la verifica dello stato

deformativo nell’acciaio teso, in quanto si presuppone che se anche la deformazione εs

nell’acciaio teso dovesse superare il valore limite di progetto pari a 0.01, l’incremento sarebbe

comunque modesto e compatibile sia con le caratteristiche di duttilità dell’acciaio, sia con le

ipotesi di perfetta aderenza.

Nella zona 2 la rottura avviene per schiacciamento del calcestruzzo con acciaio teso

snervato prima della crisi della lamina: in tal caso il parametro da fissare nel diagramma delle

deformazioni è la deformazione massima del calcestruzzo compresso (εc=0.0035), in funzione

della quale si ricavano le deformazioni negli altri materiali.

Nella zona 3 la rottura è sempre lato calcestruzzo, ma l’acciaio in trazione non è

snervato.

Per problemi di verifica e di progetto è possibile ricavare il momento ultimo e la profondità

dell’asse neutro a rottura scrivendo le equazioni di equilibrio alla rotazione, ad esempio

intorno all’armatura tesa, ed alla traslazione (sforzo normale N=0 in flessione semplice),

sfruttando la condizione di linearità delle ε a rottura e i legami costitutivi dei materiali.

In presenza del rinforzo esterno nelle equazioni di equilibrio si deve introdurre il

contributo dell’area di lamina; le (2.23) e (2.24) diventano, con riferimento alla figura 2.7:

ffsssscdc AAAfyb σσσψ ⋅−⋅−⋅+⋅⋅⋅= 11220 (2.30)

1ff22s2sccdcu dA)dd(A)yd(fybM ⋅σ⋅+−⋅σ⋅+⋅λ−⋅⋅⋅⋅ψ= (2.31)

dove nell’ultimo termine è stato trascurato lo spessore della lamina nel valutare la distanza

dall’armatura tesa.

I valori di ψ e λ sono quelli già introdotti per la sezione in c.a. esprimibili in funzione

dell’asse neutro: in particolare nelle regioni 2 e 3, essendo εc=0.0035, sono costanti e pari

sempre a 0.8095 e 0.416 rispettivamente.

Se gli acciai sono in fase elastica nelle 2.30-2.31 le tensioni vanno calcolate

moltiplicando le deformazioni per il modulo elastico, σsi = εsi ⋅Es, altrimenti vanno riportate le

tensioni di snervamento; in zona 1 e 2 l’acciaio in trazione è comunque snervato.

8

Essendo il comportamento della lamina sempre di tipo elastico-lineare, la tensione σf può

essere calcolata solo valutando la deformazione nella lamina stessa in base alla linearità delle

deformazioni (conservazione delle sezioni piane):

( ) 0εε

ε −−⋅= c

c

c

f yHy

(2.32)

dove ε0 è l’eventuale deformazione iniziale al lembo teso inferiore della sezione al momento

dell’applicazione del rinforzo (ε0 può essere dovuta alla presenza di carichi permanenti sulla

struttura all’atto dell’applicazione del rinforzo).

La procedura per il calcolo di ε0 è riportata nel paragrafo 2.6.5.

La ricerca del momento ultimo si persegue ipotizzando una regione di rottura:

generalmente si parte assumendo che la rottura avvenga in regione 2, per cui le 2.30 e 2.31 si

possono risolvere assumendo che ψ = 0.8095, λ=0.416, εc= εcu= 0.0035 e calcolando per

linearità le deformazioni dell’acciaio compresso e della lamina.

In ipotesi che l’asse neutro ricada in zona 2, (ovvero che yc<ξb,lim⋅d) occorre verificare che:

- la deformazione nella lamina sia minore di quella ultima di progetto: ( ) 0cc

cuf yH

yε−−⋅

ε=ε < εfu

In tal caso si possono calcolare le deformazioni negli altri materiali:

-acciaio teso: c

ccu1s

y

yd −⋅ε=ε

-acciaio compresso: c

2ccu2s

y

dy −⋅ε=ε

essendo stata fissata la deformazione del calcestruzzo: εc= εcu= 0.0035

Qualora la rottura avvenga in zona 1 occorre invece utilizzare le 2.30 e 2.31, nelle

quali i valori di ψ e λ sono forniti in funzione di ξ=yc/d, la deformazione della lamina è fissata

pari al valore ultimo di progetto, le deformazioni negli acciai e nel calcestruzzo sono calcolate

per linearità rispetto alla deformazione della lamina.

Occorre quindi verificare in ipotesi di zona 1 che

9

- calcestruzzo al lembo compresso: )yH(

y)(

c

cofuc

−⋅ε+ε=ε < εcu= 0.0035

Le deformazioni negli altri materiali da inserire nella 2.30 per il calcolo dell’asse neutro sono

così calcolabili:

- lamina: fuf ε=ε

- acciaio in compressione: )yH(

dy)(

c

2cofu2s

−

−⋅ε+ε=ε

- acciaio in trazione: )yH(

yd)(

c

cofu1s

−

−⋅ε+ε=ε

In zona 1 quindi la 2.30 può essere risolta in maniera iterativa fissando dei valori di tentativo

per l’asse neutro: con il valore di tentativo si calcolano ψ e λ, mentre le deformazioni degli

altri materiali sono ottenibili come appena mostrato per linearità in funzione della

deformazione limite della lamina e dell’asse neutro di tentativo. La procedura iterativa

consiste nel controllare che con tale asse neutro la 2.30 sia verificata.

Avendo a disposizione le formulazioni che esprimono direttamente ψ e λ in funzione di yc la

procedura può essere semplice, in quanto sostituendo ψ e λ in funzione di yc nella 2.30 si

ottiene subito un’equazione nell’unica incognita yc.

10

4. Sezione in c.a. con FRP: semplificazione dello stress block

Per evitare i calcoli iterativi richiesti dalla trattazione esposta è possibile adottare una

semplificazione della distribuzione delle tensioni per il calcestruzzo e l’acciaio secondo lo

stress block (figura 2.8).

dH

As1

b

d1

fy

M

As2

d2

σc

σf

0.8 yc fy

Figura 2.8

Le 2.30 – 2.31 diventano, pertanto:

fffydsydscdc EAfAfAfyb ⋅⋅−⋅−⋅+⋅⋅⋅= ε128.00 (2.33)

1fff2yd2sccdcu dEA)dd(fA)y4.0d(fyb8.0M ⋅⋅ε⋅+−⋅⋅+⋅−⋅⋅⋅⋅= (2.34)

Per calcolare l’asse neutro dalla 2.33 occorre comunque fissare un punto del diagramma delle

deformazioni in base al quale esprimere per linearità ed in funzione dell’asse neutro incognito

le deformazioni nei materiali: pertanto è possibile fare 2 ipotesi.

Ipotesi 1: si fissa la deformazione della lamina pari a quella ultima di progetto: εf = εfu e si

risolve la 2.33. Se con il valore dell’asse neutro calcolato dalla 2.33 si verifica che il

calcestruzzo al lembo compresso ha una deformazione minore di quella limite di progetto:

)yH(

y)(

c

cod,fuc

−⋅ε+ε=ε < εcu= 0.0035, si può procedere al calcolo del momento ultimo.

Ipotesi 2: si fissa la deformazione del calcestruzzo compresso pari a quella ultima di progetto:

εc = εcu= 0.0035 e si risolve la 2.33 ponendo ( ) 0cc

cuf yH

yε−−⋅

ε=ε .

Se con il valore dell’asse neutro così calcolato risulta che la lamina ha una deformazione

minore di quella limite di progetto, εf < εfu,d, si procede al calcolo del momento ultimo.

11

5. Calcolo dello stato di sollecitazione iniziale

Nell’ipotesi che la lamina sia applicata in presenza di una sollecitazione preesistente,

Mo, maggiore del momento di fessurazione si deve procedere alla valutazione dello stato

deformativo iniziale come segue.

Il valore dell’asse neutro yo si ricava dall’annullamento del momento statico della

sezione reagente omogeneizzata (n=Es/Ec) si scrive:

Sn=0 ⇒ )yd(nA)dy(nA2

yby o1s2o2s

oo −=−+

La deformazione nel calcestruzzo al lembo compresso, εco, e al lembo teso, εo, sono fornite

dalle seguenti espressioni:

coc

ooco

IE

yM=ε

o

ocoo

y

yh −= εε

essendo Ico il momento di inerzia della sezione omogeneizzata reagente in assenza di lamina

esterna in FRP:

2o1s

22o2s

3oco )yd(nA)dy(nAby

3

1I −+−+=

La deformazione εo rappresenta l’aliquota già presente in corrispondenza delle fibre di

calcestruzzo dove verrà applicata la lamina.

y0y0

Fig. 2.9 Situazione iniziale nella sezione prima dell’applicazione della lamina

(2.35)

(2.36)

(2.37)

12

Istruzioni CNR DT 200/2004

13

6a. Calcolo del momento ultimo di una sezione in c.a.

I dati disponibili sono:

– base trave 30 cm;

– altezza utile 46 cm;

– copriferro 4 cm;

– calcestruzzo di classe Rck 250;

– Area di acciaio in trazione 7.63 cm2 (Feb44k).

y=0.657d

Hd

d1

b

As

εs=1%

εs,el

εs

3

σs

1

y=0.2593d

2

εc=0.35% σc

M

Figura 2.10

Tensioni di calcolo o di rottura (con riferimento alla normativa italiana):

– calcestruzzo: fcd= 0.85⋅0.83⋅Rck/1.6 = 110 kg/cm2;

– acciaio: fyd=4400/1.15 = 3826 kg/cm2; Es=2100000 Kg/cm

2.

Si ipotizza in un primo momento che la rottura avvenga in regione 2 per cui si assume :

ψ = 0.8095 λ=0.416 εc=εcu= 0.0035

Ponendo tali valori nell’equazione di equilibrio alla traslazione si ottiene un’unica equazione

nell’incognita yc:

- 11220 sssscdc AAfyb σσψ ⋅−⋅+⋅⋅⋅= =0

- As2=0 (se avessimo avuto armatura in compressione: σs2 = Es · εs2 essendo

c

2ccu2s

y

dy −⋅ε=ε , per cui l’equazione rimane nella sola incognita yc)

- 382663.7110308095.00 ⋅−⋅⋅⋅= cy � yc=10.9 cm ξ=0.2376 < 0.2593

14

Dal valore di ξ si vede che la regione di rottura è la 1, non la 2, per cui si risolve nuovamente

l’equazione di equilibrio alla traslazione utilizzando ψ = ψ(yc=10.9 cm), λ= λ(yc=10.9 cm) in

funzione cioè del valore precedentemente calcolato di yc.

Si assume in tal caso che

εs1= 0.01 e )(

1

c

c

scyd

y

−⋅= εε (se avessimo avuto armatura in compressione: σs2 = Es · εs2

essendo in tal caso)(

212

c

c

ssyh

dy

−

−⋅= εε )

Si itera varie volte fin quando il valore dell’asse neutro ricavato dall’equazione non coincide

con quello usato inizialmente per ricavare i coefficienti ψ e λ.

Si ottiene quindi alla fine:

yc=11.2 cm ξ=0.243 < 0.2593

)(1

c

c

scyd

y

−⋅= εε = 0032.0

)2.1146(

2.1101.0 =

−⋅

Dall’equazione di equilibrio alla rotazione si ricava:

)()( 222 ddAydfybM ssccdcu −⋅⋅+⋅−⋅⋅⋅⋅= σλψ

)2.114097.046(1102.1130792.0 ⋅−⋅⋅⋅⋅=uM = 12.09 tm.

La profondità dell’asse neutro garantisce un comportamento della sezione sostanzialmente

“bilanciato”, in quanto è molto prossima alla condizione in cui entrambi i materiali (acciaio in

trazione e calcestruzzo compresso) sono alle deformazioni limite (ξ=0.243 ≅ 0.2593).

6b. Calcolo del momento ultimo di una sezione in c.a. adottando la semplificazione dello

stress block





– calcestruzzo di classe Rbk 250;

– area di acciaio in trazione 7.63 cm2 (Feb44k)


– calcestruzzo: fcd=0.85⋅0.83⋅Rck/1.6 = 110 kg/cm2;


2.

15

Le equazioni di equilibrio si scrivono:

08.0 1 =⋅−⋅⋅⋅ ydscdc fAfyb ⇒ 0382663.7110y308.0c

=⋅−⋅⋅⋅ ⇒ yc= 11.03cm

)4.0(8.0 ccdcu ydfybM ⋅−⋅⋅⋅⋅= ⇒ )03.114.046(11003.11308.0M u ⋅−⋅⋅⋅⋅= = 12.14tm

Confrontando tali valori con quelli forniti dal metodo corretto si vede che la differenza è

trascurabile.

16

7a. Calcolo del momento ultimo di una sezione in c.a. rinforzata con FRP

Si considerano le stesse sezioni verificate precedentemente, le caratteristiche della lamina in

FRP considerata siano:

– spessore della lamina: 0.0164cm;

– larghezza della lamina: 30cm;

– tensione caratteristica di rottura: ff,uk = 49000 kg/cm2;

– tensione di calcolo di rottura: ff,u = ff,uk / γf =49000/1.32= 37240 kg/cm2;

– deformazione ultima di progetto della lamina: εfd= ff,u / Ef = 37240/2400000=0.0155

– modulo elastico della lamina: Ef= 2400000 kg/cm2;

Il coefficiente di sicurezza pari a 1.32 deriva dall’aver considerato un fattore di conversione

ambientale pari a 0.95 e un coefficiente parziale di sicurezza pari a 1.25, secondo le

indicazioni delle istruzioni CNR: εfd = ηa εfu / γf

Condizione di esposizione Tipo di fibra / resina Fattore di conversione

ambientale, ηa

Carbonio / Epossidica 0.95

Vetro / Epossidica 0.75 Esposizione interna

Aramidica / Epossidica 0.85


Vetro / Epossidica 0.65 Esposizione esterna

(ponti, colonne e parcheggi) Aramidica / Epossidica 0.75


Vetro / Epossidica 0.50

Ambiente aggressivo (centrali

chimiche e centrali di trattamento

delle acque) Aramidica /Epossidica 0.70

Modalità di collasso Coefficiente

parziale

Applicazione

tipo A(1)

Applicazione

tipo B(2)

Rottura γf 1.10 1.25

Delaminazione γf,d 1.20 1.50 (1)

Applicazione di sistemi di rinforzo prefabbricati in condizione di controllo di qualità ordinario;

applicazione di tessuti a mano in cui siano stati presi tutti i necessari accorgimenti per conseguire un

elevato controllo di qualità sulle condizioni e sul processo di applicazione. (2)

Applicazione di tessuti a mano in condizione di controllo di qualità ordinario; applicazione di qualsiasi

sistema di rinforzo in condizioni di difficoltà ambientale o operativa.

Per prevenire la crisi per delaminazione dovuta a fessure intermedie, le istruzioni CNR

forniscono un valore massimo di deformazione, εf,max, noto il quale la deformazione massima

ammissibile per le fibre, εfd, è il minimo tra il valore ultimo di deformazione per rottura a

trazione delle fibre ridotto attraverso il coefficiente di sicurezza visto prima , ed εf,max:

17

,maxmin ,

fu

fd a f

f

εε η ε

γ

=

Il valore di εf,max si calcola:

f

fddcrmax,f

E

fk =⋅=ε

dove il coefficiente kcr può essere assunto pari a 3.0 e ffdd è la tensione massima per crisi per

delaminazione di estremità da calcolare con le formule seguenti:

=+

−=

+

−=

400/3001

300/3002

b/b1

b/b2k

of

fb 0.76

essendo fck = 0.83 Rck = 0.83 · 25 = 20.7MPa

fctm = 0.3 (fck)2/3

= 2.26 MPa

Fk b ck ctm0 03 [forze in , lunghezze in ]. k f f N mmΓ = ⋅ ⋅ ⋅ = 0.03 1 · 26.27.20 ⋅ = 0.206

f Fkfdd

ff,d c

21 Ef

t

Γ

γ γ

⋅ ⋅= ⋅

⋅ =

164.0

206.02400002

6.15.1

1 ⋅⋅⋅

⋅= 409 MPa

essendo γc=1.6, γfd = 1.5.

Da cui si ottiene 240000

4093

E

fk

f

fdd

crmax,f⋅=⋅=ε = 0.0051.

La deformazione da assumere nel progetto è quindi pari a 0.0051.

As1

b

dH

δ

yc=ξbH

tf

Af

εfu,d εo

εs,el

2 3

1

εco

σf

σs1

M

εc=0.35% σc

Figura 2.11

18

Il valore dell’asse neutro adimensionalizzato rispetto all’altezza H della sezione,

corrispondente alla contemporanea rottura del calcestruzzo (εcls=0.0035) e della lamina (εfd,u)

è pari a:

ξb,lim= yc,lim / H

essendo yc,lim= 0.0035/(0.0035+εfd,u+εo)⋅H=0.0035/(0.0035+0.005)⋅50= 20.3 cm, si ottiene

ξb,lim = 20.3/50= 0.406

in ipotesi che la lamina sia applicata fin dall’inizio, per cui εo=0.

Tale valore separa la zona di rottura 1 (rottura lamina) dalla 2 (rottura cls).

L’area di rinforzo fibroso, applicato all’intradosso della trave 30x50 armata in trazione con

3φ18 (=7.63 cm2 calcolata in ipotesi di progetto “bilanciato”), è pari a 0.492 cm

2: si ipotizza

la regione di rottura 2, per cui si pone εc = εcu= 0.0035.

L’equazione di equilibrio alla traslazione

fffyd1ss2s2scdc EAfAEAfyb0 ⋅ε⋅−⋅−⋅ε⋅+⋅⋅⋅ψ=

essendo:

( ) 0cc

cuf yH

yε−−⋅

ε=ε = ( )

c

c

yy

−⋅ 500035.0

si scrive:

2400000y

0035.0)y50(492.0382663.7110y308095.00

c

cc ⋅⋅−⋅−⋅−⋅⋅⋅= � yc=14.6cm

� ξb= 0.293 < ξb,lim: la rottura avviene in regione 1, per cui dobbiamo ricalcolare l’equilibrio

ipotizzando la zona 1 e quindi la crisi della lamina:

fffyd1ss2s2scdc EAfAEAfyb0 ⋅ε⋅−⋅−⋅ε⋅+⋅⋅⋅ψ=

Essendo:

εf = 0.005

)yH(

y)(

c

cofuc

−⋅ε+ε=ε =

)yH(

y005.0

c

c

−⋅

)yH(

yd)(

c

cofu1s

−

−⋅ε+ε=ε =

)yH(

yd005.0

c

c

−

−⋅

Dalla risoluzione dell’equazione si ottiene yc = 13.2, da cui ξb= 0.263. L’equazione è stata

risolta iterativamente ipotizzando un primo valore per yc entrando in tabella ottenendo il

valore corrispondente di ψ e risolvendo l’equazione: quando il valore iniziale di tentativo di

yc coincide con quello calcolato dall’equazione si è arrivati a convergenza.

19

Le deformazioni nei materiali sono quindi:

εc = )2.1350(

2.13005.0

−⋅ = 0.0018

εs1 = )2.1350(

2.1346005.0

−

−⋅ = 0.0046

Il momento ultimo della sezione si ottiene dall’equilibrio alla rotazione intorno all’armatura

tesa:

1fff2s2s2sccdcu dEA)dd(EA)yd(fybM ⋅⋅ε⋅+−⋅⋅ε⋅+⋅λ−⋅⋅⋅⋅ψ= �

42400000005.0492.0)2.13416.046(1102.13308095.0Mu

⋅⋅⋅+⋅−⋅⋅⋅⋅= = 14.5 tm.

Rispetto al caso di assenza di rinforzo il momento ultimo passa dal valore di 12.1tm a 14.5tm

con un incremento del 17%.

La rottura della sezione avviene in tal caso lato lamina, e quindi risente della riduzione per

effetto della delaminazione intermedia.

7b. Calcolo del momento ultimo di una sezione in c.a. rinforzata con FRP adottando la

semplificazione dello stress block

I dati sono:




– calcestruzzo di classe Rck 250 ⇒ fcd=0.85⋅0.83⋅Rck/1.6 = 110 kg/cm2;

– area di acciaio in trazione 7.63 cm2 (Feb44k) ⇒ fyd=4400/1.15 = 3826 kg/cm

2

– moduli elastici: Ef = 2400000 kg/cm2; Es = 2100000 kg/cm

2;




Analogamente a quanto visto nell’esempio precedente il coefficiente di sicurezza delle fibre

rispetto alla crisi per rottura a trazione delle fibre è pari a 1.32:



Considerando la delaminazione per fessure intermedie la deformazione massima nella lamina

da considerare nel progetto della sezione è pari, secondo quanto visto prima, a 0.005.

20

L’ equazione di equilibrio alla traslazione si scrive:

fffydscdc EAfAfyb ⋅⋅−⋅−⋅⋅⋅= ε18.00

Ipotizzando che la zona di rottura sia la 1 e che la lamina sia alla deformazione ultima:

εf = εf u=0.005 si ottiene:

2400000005.0492.0382663.7110y308.00c

⋅⋅−⋅−⋅⋅⋅= ⇒ yc = 13.2 cm

e controllando la deformazione del calcestruzzo

)yH(

y)(

c

cod,fuc

−⋅ε+ε=ε =

)2.1350(

2.13005.0

−⋅ = 0.0017 < 0.0035

si trova che occorre l’ ipotesi è corretta e si può calcolare il momento ultimo:

1fffccdcu dEA)y4.0d(fyb8.0M ⋅⋅ε⋅+⋅−⋅⋅⋅⋅=

42400000005.0492.0)2.134.046(1102.13308.0Mu

⋅⋅⋅+⋅−⋅⋅⋅⋅= = 14.3 tm.

Confrontando tali valori con quelli forniti dal metodo corretto agli SLU si vede che la

differenza è trascurabile.

21

7c. Calcolo del momento ultimo di una sezione in c.a. rinforzata con FRP su struttura

già caricata

Per la sezione progettata in ipotesi di rottura bilanciata si considera anche il caso in cui la

lamina venga applicata quando sulla sezione è già presente un carico di esercizio. Si fissa M0,

momento flettente in sezione all’atto dell’applicazione del rinforzo, pari a 0.5Mu/1.5 dove Mu

è il momento ultimo calcolato per la sezione non rinforzata (12.9tm).

Per i materiali si assume:

Es= 210000MPa

Ecls= 18000 √Rck = 18000 √250 = 28460MPa da cui si ottiene n=15

Indicando con il pedice zero le grandezze riferite alla sezione in CA prima dell’applicazione

della lamina si ha:

Momento applicato Mo=0.5 Mu/ 1.5= 4.3tm

Sn=0 ⇒ )yd(nA)dy(nA2

yby o1s2o2s

oo −=−+ ⇒ )46(63.715

230 o

o

o yy

y −⋅= ⇒ yo= 15.2cm

Da cui il momento di inerzia della sezione omogeneizzata reagente in assenza di lamina

esterna in FRP risulta:

2o1s

22o2s

3oco )yd(nA)dy(nAby

3

1I −+−+= =

23 )2.1546(63.7152.15303

1−⋅⋅+⋅ =141933cm

4

Le deformazioni nel calcestruzzo al lembo compresso, εco, e al lembo teso, εo, sono fornite

dalle seguenti espressioni:

coc

ooco

IE

yM=ε =

141933284600

2.15430000

⋅

⋅= 0.000162

o

ocoo

y

yd −= εε =

2.15

2.15460001517.0

−⋅ = 0.000328

Considerando la delaminazione per fessure intermedie la deformazione massima nella lamina

da considerare nel progetto della sezione è pari, secondo quanto visto prima, a 0.0045.

****

Il valore limite dell’asse neutro adimensionalizzato che separa la regione di rottura 1 dalla 2,

essendo presente una deformazione iniziale εo al lembo teso, è pari in questo caso a:

yc,lim =0.0035/(0.0035+εfd+εo)⋅H= 0.0035/(0.0035+0.005 +0.000328)⋅50 = 19.6cm

ξb = yc / H = 19.6/50 = 0.39

Si ipotizza la regione di rottura 2, per cui ponendo εc = εcd = 0.0035, si ha:

22

( ) 0cc

cuf yH

yε−−⋅

ε=ε = ( )c

c

yy

−⋅ 500035.0

-0.00328

e quindi l’equazione di equilibrio alla traslazione risulta:

2400000]000328.0y

0035.0)y50[(492.0382663.7110y308095.00

c

cc ⋅−⋅−⋅−⋅−⋅⋅⋅=

yc = 13.7cm � ξ= 0.274 < ξb: la rottura avviene in regione 1, per cui occorre ricalcolare

l’equilibrio alla traslazione ipotizzando la rottura nella lamina, essendo:

εf = 0.005

)yH(

y)(

c

cofuc

−⋅ε+ε=ε =

)yH(

y)000328.0005.0(

c

c

−⋅+

)yH(

yd)(

c

cofu1s

−

−⋅ε+ε=ε =

)yH(

yd)000328.0005.0(

c

c

−

−⋅+

Dalla risoluzione dell’equazione si ottiene yc = 13.2, da cui ξb= 0.263. L’equazione è stata

risolta iterativamente ipotizzando un primo valore per yc entrando in tabella ottenendo il

valore corrispondente di ψ e risolvendo l’equazione: quando il valore iniziale di tentativo di

yc coincide con quello calcolato dall’equazione si è arrivati a convergenza.


εc = )2.13H(

2.13)000328.0005.0(

−⋅+ = 0.0018

εs1 = )2.1350(

2.1346)000328.0005.0(

−

−⋅+ = 0.0046


tesa:

1222 )()( dEAddEAydfybM fffsssccdcu ⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅+⋅−⋅⋅⋅⋅= εελψ �

42400000005.0492.0)2.13416.046(1102.13308095.0Mu

⋅⋅⋅−⋅−⋅⋅⋅⋅= = 14.5 tm.

23

8. Verifica dell’ancoraggio con le formule del bollettino fib e delle istruzioni CNR

Si fa riferimento alla sezione con le caratteristiche viste in precedenza:




– calcestruzzo di classe Rck 250 ⇒ fck = 0.83 Rck = 20.7 MPa

fcd=0.85⋅0.83⋅Rck/1.6 = 110 kg/cm2 → 3/2ckctm f27.0f ⋅= = 3/27.2027.0 ⋅ = 2.3MPa

– area di acciaio in trazione 7.63 cm2 (Feb44k) ⇒ fyd=4400/1.15 = 3826 kg/cm

2

– moduli elastici: Ef = 2400000 kg/cm2; Es = 2100000 kg/cm

2;





– deformazione ultima di progetto della lamina: εfd,u= ff,u / Ef = 37240/2400000=0.0155

Si assume una luce della trave di 6 m con un carico distribuito di 32 kN/m ed uno schema di

trave semplicemente appoggiata: tale condizione di carico determina nella sezione di mezzeria

un momento Mmax= 14.5tm corrispondente al momento ultimo calcolato per la sezione

rettangolare in c.a. rinforzata con FRP.

La lamina si suppone applicata sulla superficie inferiore della sezione ad una distanza di

ancoraggio Lanc= 1600mm dall’appoggio.

Sia per il bollettino fib che per le istruzioni CNR la lunghezza di ancoraggio è pari a:

)cf/(tEL 2ctmffmax,t ⋅= = )23.2/(164.0240000 ⋅⋅ = 92mm

mentre il coefficiente di forma è pari a:

1) bollettino fib 14: 8.0400/3001

300/300206.1

b/b1

b/b206.1k

of

fb =

+

−=

+

−=

2) istruzioni CNR: 76.0400/3001

300/3002

b/b1

b/b2k

of

fb =

+

−=

+

−=

Il carico massimo di trazione nella lamina per cui si attinge la delaminazione secondo la

formulazione del bollettino fib 14 risulta:

ffctmfbc1max,f tEfbKKcN α= = 0.9⋅1⋅0.67⋅0.8⋅300 165.02400003.2 ⋅⋅ = 36.4kN

essendo le dimensioni espresse in mm e le tensioni e i moduli elastici in MPa.

24

La tensione nella lamina si calcola: f

max,f

max,fA

N=σ =

2.49

36400= 740 MPa

La tensione massima di trazione nella lamina per cui si attinge la delaminazione secondo la

formulazione delle istruzioni CNR risulta:

Fk b ck ctm0 03 [forze in , lunghezze in ]. k f f N mmΓ = ⋅ ⋅ ⋅ = 0.03 1 3.27.20 ⋅ = 0.206

f Fkfdd

ff,d c

21 Ef

t

Γ

γ γ

⋅ ⋅= ⋅

⋅ =

164.0

206.02400002

6.15.1

1 ⋅⋅⋅

⋅= 409 MPa

essendo γc=1.6, γfd = 1.5 e le dimensioni espresse in mm e le tensioni e i moduli elastici in

MPa.

Tali sforzi normali si suppongono applicati nella sezione posta a distanza:

xmax = L + Lt,ma x= 1600+92 = 1692mm dall’appoggio.

Il momento dovuto ad un carico q=32kN/m nella sezione posta alla stessa distanza xmax

dall’appoggio in cui si suppone applicato Nf,max, è pari a:

max

2max

max x2

q

2

qx)x(M

l+−= = =⋅

⋅+

⋅− 692.1

2

632

2

692.132 2

116.7kN m.

La tensione nella lamina corrispondente a tale momento si calcola utilizzando la formula di

Navier:

( )2

cfmax,f

I

MyHn ⋅−⋅=σ

dove yc e I2 sono l’asse neutro e l’inerzia della sezione in c.a. rinforzata fessurata da calcolare

utilizzando le formule seguenti:

Sn = 0: 0)yH(An)yd(An)dy(An2

ybcffc1s2c2s

2c =−⋅⋅−−⋅⋅−−⋅⋅+

⋅

22

1

2

22

3

)()()(3

cffcscs

c yHAnydAndyAnyb

I −⋅⋅+−⋅⋅+−⋅⋅+⋅

=

Essendo nf = 2 x 240000/28460 = 17 e n = 2 x 210000/28460 = 15

Si ha pertanto

yc= 158 mm

I2 =1.53⋅109 mm

4

da cui si ottiene:

( )9max,f

1053.1

10007.11615850017

⋅

⋅⋅−⋅=σ = 0.439⋅kN/mm

2 = 439 N/mm

2 = 439 MPa.

25

Tale tensione risulta inferiore al valore massimo fornito dal bollettino fib 14 e superiore a

quello fornito dalle istruzioni CNR.

Il valore ottenuto evidenzia che per la trave in esame, disponendo la lamina ad una

distanza Lanc=1600 mm dall’appoggio, in corrispondenza del carico che determina il

raggiungimento del momento ultimo nella sezione di mezzeria, lo sforzo normale nella

sezione a distanza xmax=L+Lt,max dall’appoggio è inferiore allo sforzo massimo in

corrispondenza del quale si attinge la delaminazione secondo il bollettino fib. : per distanze di

ancoraggio inferiori a 1600mm la trave in esame attinge la crisi secondo le modalità di rottura

proprie del calcolo a flessione, prima che si attinga la crisi per delaminazione di estremità.

Per la verifica dell’ancoraggio secondo le istruzioni CNR occorre ridurre la distanza

della lamina dall’appoggio: conviene in tal caso calcolare il momento corrispondente alla

tensione massima di delaminazione:

( )

2

cfmax,f

I

MyHn ⋅−⋅=σ = 409 MPa → M = 109 kNm

Noto il momento corrispondente alla crisi per delaminazione occorre trovare la sezione a

distanza xmax dall’appoggio dove tale momento si verifica per effetto del carico q assegnato:

max

2max

max x2

q

2

qx)x(M

l+−= = 109 kN m

Da cui si ottiene il valore xmax= 1540mm, considerando che xmax = L + Lt,ma x, si ottiene:

1540=L + 92, da cui una distanza della lamina dall’appoggio L = 1450mm.

26

9. Calcolo del momento ultimo di una sezione in c.a. con armatura in difetto





– calcestruzzo di classe Rbk 250;

– Area di acciaio in trazione 4.02cm2 (Feb44k).

y=0.657d

Hd

d1

b

As

εs=1%

εs,el

εs

3

σs

1

y=0.2593d

2

εc=0.35% σc

M

Figura 2.10


– calcestruzzo: fcd=0.85⋅0.83⋅Rck/1.6 = 110 kg/cm2;


2.

Utilizzando lo stress-block le equazioni di equilibrio si scrivono:

08.0 1 =⋅−⋅⋅⋅ ydscdc fAfyb ⇒ 0382602.4110y308.0 c =⋅−⋅⋅⋅ ⇒ yc= 5.8cm

)4.0(8.0 ccdcu ydfybM ⋅−⋅⋅⋅⋅= ⇒ )8.54.046(1108.5308.0M u ⋅−⋅⋅⋅⋅= = 6.66tm

27

10. Calcolo del momento ultimo di una sezione in c.a. rinforzata con FRP in difetto di

armatura

Si considera la stessa sezione verificata precedentemente, le caratteristiche della lamina in











La deformazione massima per tener conto della delaminazione intermedia è sempre

240000

4093

E

fk

f

fdd

crmax,f⋅=⋅=ε = 0.005 che quindi è la deformazione da assumere nel progetto.

Utilizzando la schematizzazione dello stress block l’equazione di equilibrio alla traslazione si

scrive:


In ipotesi di zona 1 con la lamina alla deformazione ultima εf = εf u=0.005 si ottiene:

2400000005.0492.0382602.4110y308.00c

⋅⋅−⋅−⋅⋅⋅= ⇒ yc = 8.1cm


)yH(

y)(

c

cod,fuc

−⋅ε+ε=ε =

)1.850(

1.8005.0

−⋅ = 0.001 < εcu= 0.0035

Si può quindi calcolare il momento ultimo:


42400000005.0492.0)1.84.046(1101.8308.0Mu

⋅⋅⋅+⋅−⋅⋅⋅⋅= = 9.1 tm.

Rispetto al caso di assenza di rinforzo il momento ultimo passa dal valore di 6.6 tm a 9.1tm

con un incremento del 35%.

28

11. Calcolo del momento ultimo di una sezione in c.a. rinforzata con due strati di FRP

Si considerano le stesse sezioni verificate precedentemente, le caratteristiche della lamina in


– spessore della lamina: 2 x 0.0164cm = 0.0328cm;


– area di lamina: 0.328 x 30 = 0.984cm2





Per prevenire la crisi per delaminazione dovuta a fessure intermedie, le istruzioni CNR

forniscono un valore massimo di deformazione, εf,max, noto il quale la deformazione massima

ammissibile per le fibre, εfd, è il minimo tra il valore ultimo di deformazione per rottura a

trazione delle fibre ridotto attraverso il coefficiente di sicurezza visto prima , ed εf,max:

=+

−=

+

−=

400/3001

300/3002

b/b1

b/b2k

of

fb 0.76 < 1

essendo fck = 0.83 Rck = 0.83 · 25 = 20.7MPa

fctm = 0.3 (fck)2/3

= 2.26 MPa

Fk b ck ctm0 03 [forze in , lunghezze in ]. k f f N mmΓ = ⋅ ⋅ ⋅ = 0.03 1 3.27.20 ⋅ = 0.206

f Fkfdd

ff,d c

21 Ef

t

Γ

γ γ

⋅ ⋅= ⋅

⋅ =

164.02

206.02400002

6.15.1

1

⋅

⋅⋅⋅

⋅= 289 MPa

essendo γc=1.6, γfd = 1.5 e le dimensioni espresse in mm e le tensioni e i moduli elastici in

MPa, e da cui si ottiene 240000

2893

E

fk

f

fdd

crmax,f ⋅=⋅=ε = 0.0036.

La deformazione da assumere nel progetto è quindi pari a 0.0036.

29

As1

b

dH

δ

yc=ξbH

tf

Af

εfu,d εo

εs,el

2 3

1

εco

σf

σs1

M

εc=0.35% σc

Figura 2.11

Il valore dell’asse neutro adimensionalizzato rispetto all’altezza utile d della sezione,


è pari a:

ξb,lim= yc,lim / H ξb,lim=0.0035/(0.0035+εfd,u+εo)

essendo yc,lim= 0.0035/(0.0035+εfd,u+εo)⋅H=0.0035/(0.0035+0.0036)⋅50= 24.6cm, si ottiene

ξb,lim = 24.6/50= 0.49


Tale valore separa la zona di rottura 1 (rottura lamina) dalla 2 (rottura cls).

L’area di rinforzo fibroso, applicato all’intradosso della trave 30x50 armata in trazione con

3φ18 (=7.63 cm2), è pari a 0.984cm

2: si ipotizza la regione di rottura 1, per cui si pone che la

lamina sia alla deformazione ultima εf = εf u=0.0036 e l’equazione di equilibrio alla traslazione

ipotizzando lo stress block si scrive:


24000000036.0984.0382663.7110y308.00c

⋅⋅−⋅−⋅⋅⋅= ⇒ yc = 14.3cm


)yH(

y)(

c

cod,fuc

−⋅ε+ε=ε =

)3.1450(

3.140036.0

−⋅ = 0.0014 < εcu= 0.0035

Si può quindi calcolare il momento ultimo:

30


424000000036.0984.0)3.144.046(1103.14308.0Mu

⋅⋅⋅+⋅−⋅⋅⋅⋅= = 15.1 tm.

Rispetto al caso di assenza di rinforzo il momento ultimo passa dal valore di 12.14tm a 15.1

tm con un incremento del 25%.

Anche in tal caso la rottura è governata dalla deformazione massima nella lamina e pertanto la

riduzione del valore massimo di deformazione delle fibre per tener conto della delaminazione

intermedia ha effetto sul comportamento della sezione in quanto limita il contributo del

rinforzo.

12. Verifica dell’ancoraggio per il caso di sezione in c.a. rinforzata con due strati di FRP

La tensione massima nella fibre per evitare la delaminazione all’estremità è pari a :

f Fkfdd

ff,d c

21 Ef

t

Γ

γ γ

⋅ ⋅= ⋅

⋅ =

164.02

206.02400002

6.15.1

1

⋅

⋅⋅⋅

⋅= 289 MPa

Tale tensione massima si deve avere ad una distanza dall’appoggio tale che:

( )

2

cfmax,f

I

MyHn ⋅−⋅=σ = 289 MPa → M = 83 kN m

(essendo I2= 163109 cm4 ed yc = 16.3cm)

Dove M è il momento dovuto ai carichi agenti ad una distanza dall’appoggio pari a:

xmax = x + Lt,max

essendo

)cf/(tEL 2ctmffmax,t ⋅= = )23.2/(328.0240000 ⋅⋅ = 132mm

Adottando lo stesso carico q distribuito del caso di un rinforzo con un solo strato (80 kN m).

max

2max

max x2

q

2

qx)x(M

l+−= = 83 kN m → xmax = 972mm da cui

x = 840mm = distanza massima dall’appoggio a cui disporre il rinforzo.

31

Tabella sintetica dei risultati

Sezione Multimo (t m)

c.a. non rinforzata 12.1

c.a. rinforzata con 1 strato 14.2

c.a. rinforzata con 1 strato ed Mo≠0 14.3

c.a. rinforzata con 2 strati 15.1

c.a. non rinforzata in difetto di armatura 6.6

c.a. rinforzata con 1 strato in difetto di

armatura

9.1

32

7a. Calcolo del momento ultimo di una sezione presso-inflessa in c.a. a doppia armatura

rinforzata con FRP

I dati geometrici sono:

- base b = 30cm;

- altezza H = 50cm;

- copriferro c = 4cm

- armatura in trazione As1 = 7.63cm2

- armatura in compressione As2 = 4.02cm2

– sforzo normale N=200kN = 20t










Il valore di εf,max è stato già calcolato in precedenza per il caso di un solo strato:

f

fdd

crmax,fE

fk ⋅=ε = 0.005 che rappresenta la deformazione da assumere nel progetto.

As1

b

dH

δ

yc=ξbH

tf

Af

εfu,d εo

εs,el

2 3

1

εco

σf

σs1

M

εc=0.35% σc

33

Il valore dell’asse neutro adimensionalizzato rispetto all’altezza H della sezione,


è pari a:

ξb,lim= yc,lim / H

essendo yc,lim= 0.0035/(0.0035+εfd,u+εo)⋅H=0.0035/(0.0035+0.005)⋅50= 20.3 cm, si ottiene

ξb,lim = 20.3/50= 0.406


L’area di rinforzo fibroso, applicato all’intradosso della trave 30x50, è pari a 0.492 cm2: si

ipotizza la regione di rottura 2, per cui si pone:

- calcestruzzo: εc = εcu= 0.0035.

- lamina: ( )c

c

cu

f yHy

−⋅ε

=ε < εfu

- acciaio teso: c

c

cu1sy

yd −⋅ε=ε

-acciaio compresso: c

2c

cu2sy

dy −⋅ε=ε

L’equazione di equilibrio alla traslazione si scrive:

NEAfAEAfyb fffyd1ss2s2scdc =⋅ε⋅−⋅−⋅ε⋅+⋅⋅⋅ψ

che in ipotesi di zona 2 diventa:

2400000)y50(y

0035.0492.0382663.72100000

y

4y0035.002.4110y308095.020000 c

cc

c

c ⋅−⋅⋅−⋅−⋅−

⋅+⋅⋅⋅=

� yc=14.3cm < 22cm: la rottura avviene in regione 1, per cui dobbiamo ricalcolare

l’equilibrio ipotizzando la zona 1 e quindi la crisi della lamina:

- lamina: εfu = 0.005

- calcestruzzo: )yH(

y)(

c

c

ofuc−

⋅ε+ε=ε = )y50(

y005.0

c

c

−⋅

- acciaio compresso: )yH(

dy)(

c

2cofu2s

−

−⋅ε+ε=ε =

)y50(

4y005.0

c

c

−

−⋅

- acciaio teso: )yH(

yd)(

c

cofu1s

−

−⋅ε+ε=ε =

)y50(

y46005.0

c

c

−

−⋅

L’equazione di equilibrio alla traslazione si scrive:

34

2400000005.0492.0382663.72100000)y50(

4y005.002.4110y308.020000

c

c

c⋅⋅−⋅−⋅

−

−⋅+⋅⋅⋅=

Dalla risoluzione dell’equazione si ottiene yc = 15.5cm.


εc = )5.1550(

5.15005.0

−⋅ = 0.0022 < 0.0035

εs1 = )5.1550(

5.1546005.0

−

−⋅ = 0.0045 > 0.00182 (deformazione snervamento)

εs2 = )5.1550(

45.15005.0

−

−⋅ = 0.0017 < 0.00182


tesa:

)cH5.0(NcEA)cd(EA)yd(fybM fffs2s2sccdcu −⋅−⋅⋅ε⋅+−⋅⋅ε⋅+⋅λ−⋅⋅⋅⋅ψ=

)4505.0(2000042400000005.0492.0)446(21000000017.002.4)5.154.046(1105.15308.0 −⋅⋅−⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅+⋅−⋅⋅⋅⋅

= 18.5tm.

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