1

CAPITOLO 2: ANALISI LIMITE DI SISTEMI DI TRAVI

2.1 Introduzione L’analisi limite o calcolo a rottura consente di valutare direttamente la capacità portante ultima di una struttura, ovvero di valutare direttamente lo stato limite ultimo di una struttura , che, come visto nel capitolo precedente, rappresenta l’ultimo stadio dell’analisi incrementale elasto-perfettamente-plastica (EPP) ovvero il collasso plastico. Peraltro come osservato in precedenza il moltiplicatore di collasso dei carichi non dipende da eventuali stati di coazione o cedimenti vincolari né dalla rigidezza degli elementi strutturali e fornisce quindi una valutazione molto più affidabile e sintetica del grado di sicurezza di una struttura di quella che può fornire una analisi in campo elastico. Le principali caratteristiche che presenta una analisi limite sono sinteticamente delineate nel seguito. Vantaggi:

- Il valore del moltiplicatore dei carichi al collasso risulta indipendente dalla storia di carico e dalla presenza di cedimenti , autotensioni e stati di coazione.

- Il risultato è immediatamente interpretabile ed è sostanzialmente indipendente dai parametri numerici da cui dipende la procedura di calcolo.

- E’ possibile analizzare strutture anche significative senza l’ausilio a codici di calcolo. Svantaggi:

- E’ di limitata applicabilità e devono essere verificate seguenti ipotesi principali: • piccoli spostamenti • duttilità illimitata • plasticità perfetta • leggi di flusso di tipo associato.

- Non è in genere disponibile in molti codici di calcolo. - Quando è applicata a strutture non metalliche, ad esempio a strutture in muratura come

ad esempio previsto dalla OPCM 3274 sulle costruzioni in zona sismica, va applicata con opportuni controlli sull’entità delle deformazioni e degli spostamenti all’atto del collasso

Scopo di questo capitolo è mostrare come il calcolo a rottura possa essere applicato a tutte le tipologie strutturali esistenti monodimensionali in presenza di uno stato di sollecitazione generico. Nell’ ultimo paragrafo si presenta l’estensione del concetto di cerniera plastica al caso delle sollecitazioni composte. Ci si limita per brevità a studiare l’interazione fra sforzo normale e momento flettente rimandando alla letteratura tecnica la presentazione degli altri casi di sollecitazione. In questo contesto si introducono i concetti di dominio di ammissibilità e di flusso plastico diretto secondo la normale esterna al dominio stesso indispensabili per comprendere il contenuto del capitolo successivo.

2

2.2 Meccanismi di collasso e potenza dissipata Il collasso plastico è associato alla formazione di un numero di cerniere sufficiente a trasformare la struttura ( o una sua parte ) in un meccanismo con un grado di libertà ( o di labilità). Equilibrio All’atto del collasso ( o collasso incipiente) i carichi e gli sforzi interni (N,M,T) sono in equilibrio, di modo che le equazioni di equilibrio globale dell’intera struttura e quelle locali sono verificate. Se si considera una generica struttura soggetta a un sistema di forze esterne qz0, qy0 e di coppie c0, Fig. 2.1, pertanto risulta:

0c zdN q 0dz

+ µ = oc y

dT q 0dz

+ µ = c 0dM c Tdz

+ µ =

ove µc indica il moltiplicatore di collasso o limite dei carichi. µ

0M0M

c

M0M0

P0

00M M--

M0

θ θ

θ2

θ /2vc

Meccanismo di collasso

1dM c zdz

= ; dT 0dz

= ; dN 0dz

= .

Equilibrio Compatibilità

Fig. 2.1

Compatibilità A collasso l’atto di moto è caratterizzato dalla velocità ( )cv z e nel caso in figura si ha:

c cv = z= 2f zθ 0 z 2≤ ≤

( ) ( )c c cv =f - z - 2 =2 -z fθ 2 z≤ ≤

essendo la velocità in mezzeria ( )c cf =v 2 = 2θ Teorema della potenza virtuale (PLV) Il PLV dimostrato nel corso di Scienza delle Costruzioni, con riferimento a mezzi continui caratterizzati da equazioni costitutive qualunque purché il campo di sollecitazioni sia equilibrato e quello degli spostamenti e deformazioni sia cinematicamente ammissibile o compatibile, comporta l’eguaglianza fra la potenza dissipata esterna (Lve) e quella interna ( Lvi). Indicando con c c cε ,χ , γ rispettivamente le velocità della deformazione assiale, della curvatura e dello scorrimento da taglio associate all’atto di moto si può scrivere:

• ( )ve c 0 c 0 c vi intL P v dz P v L N M T dz+D⎡ ⎤

= µ + = = ε + χ + γ⎢ ⎥⎣ ⎦

∑∫ ∫ c c cS S

3

• ve ext 0 extL W Wc= = µ Ove Lve indica la potenza esterna, ossia il lavoro per unità di tempo compiuto dai carichi per le velocità dei loro punti di applicazione. • ( )N M T dz = 0ε + χ + γ∫ c c c

S

Poiché il meccanismo di collasso è un meccanismo “rigido” e, dunque, le travi non si deformano, il primo termine della potenza interna è nullo. • intD 0> potenza dissipata o dissipazione

Si osservi che la dissipazione può avvenire nelle aste ed allora vale 0N ∆ o nelle cerniere ove vale

0M θ . Più precisamente, con riferimento al secondo caso, il momento nella cerniera vale M0 se

>0θ , -M0 se <0θ ; ne segue che la potenza dissipata in una cerniera plastica vale 0M θ ed in un

asta 0N ∆ . Dal teorema della potenza virtuale pertanto si ottiene la relazione fondamentale: c int veµ = D L

Poiché intD >0 e cµ >0 ne consegue che affinché un cinematismo sia ammissibile anche la potenza esterna , spesso nel seguito indicata con 0extW , deve risultare positiva. Postulato della Dissipazione massima (o di Hill) Sia Ns (Ms) uno stato plasticamente ammissibile in ogni sezione, ossia che verifichi la condizione

( )s s 0Ν = Ν Νφ ≤ ( )( )s s 0M = M Mφ ≤ per ogni ascissa z allora risulta:

( )s p s p 0 p pN N N D∆ ≤ ∆ ≤ ∆ = ∆ ,

( )s p s p 0 p pM M M Dθ ≤ θ ≤ θ = θ

ove p∆ e pθ vengono definite velocità di deformazione plastica generalizzate. Pertanto le azioni interne N e M che inducono incrementi effettivi di deformazione plastica rendono massimi i prodotti s pN ∆ e s pM θ fra tutti gli stati di sollecitazione plasticamente ammissibili Ns e Ms:

( ) ( )p 0 p s pD N max N ,∆ = ∆ = ∆ sN ∈E

( ) ( )p 0 p s pD M max Mθ = θ = θ , sM ∈E

Ove [ ]0 0N N,E = - o [ ]( )0 0M , M−E = rappresenta l’insieme degli stati plasticamente ammissibili. Questo risultato è noto come Postulato della Dissipazione massima ed è stato introdotto da R. Hill nel 1950; nel caso di mezzi continui il risultato, come verrà discusso in seguito, vale se e solo se la funzione di snervamento è convessa e la legge di flusso associata. Si introducono le seguenti definizioni: • Stato staticamente ammissibile è ogni stato plasticamente ammissibile che è anche equilibrato, ovvero è in equilibrio con i carichi di riferimento moltiplicati da un assegnato moltiplicatore dei carichi. Il moltiplicatore µs per cui ciò accade è detto moltiplicatore staticamente ammissibile.

4

• Meccanismo cinematicamente ammissibile o sufficiente è ogni potenziale meccanismo di collasso per cui la potenza esterna risulti positiva. Il corrispondente moltiplicatore dei carichi µk è detto moltiplicatore cinematicamente ammissibile o sufficiente ed è dato dalla relazione fondamentale

{ } { } { } { }( )T T kk k 0 pk int, k 0 pk

0 k, ext

D D N o D M

Wint,

int,µ = = ∆ = ∆

Ove la potenza interna kDint, ed esterna 0 k, extW >0 è valutata con riferimento al potenziale meccanismo di collasso. 2.3 Teoremi fondamentali del calcolo a rottura Teorema : Ogni moltiplicatore staticamente ammissibile è minore od al più uguale ad qualunque moltiplicatore cinematicamente ammissibile. s k.µ ≤ µ La dimostrazione di questo teorema si basa sul postulato della massima dissipazione. Si consideri un insieme di azioni interne {Ns} ({Ms}) plasticamente ammissibile, tale che { } { } { } { } { } { }( )0 s 0 0 s 0N N N M M M− ≤ ≤ − ≤ ≤ Per il postulato citato con riferimento ad un meccanismo cinematicamente ammissibile

{ } { }( )pk pk ∆ θ :

{ } { } ( )Ts pk int pkN D∆ ≤ ∆ { } { } ( )( )T

s pk int pkM D .θ ≤ ∆

Ricordando la definizione data di moltiplicatore cinematicamente ammissibile µk risulta: ( )int pk k 0k, estD W .∆ = µ

Il PLV applicato facendo lavorare uno di sforzo staticamente ammissibile per un potenziale meccanismo di collasso fornisce:

{ } { } ( )Tvi s pk S 0k, est int pk k 0k, estL = N =µ W D ∆ =µ W∆ ≤

{ } { } ( )Tvi s pk S 0k, est int pk k 0k, estL = M =µ W D =µ Wθ ≤ θ

Di conseguenza essendo la potenza esterna sempre positiva si ha: s k.µ ≤ µ

5

Esempio n.1

12

3

- µ P0s

+-

- M 0

M 0

M s3M s1

s2M

µ P0k

θk3

k2θ

θk1vk

(a)

(b)

(c)

0Pµ

Fig. 2.2

• In Fig.2.2b è rappresentato uno stato staticamente ammissibile (equilibrato e tale che s 0M M≤ )

• In Fig.2.2c un potenziale meccanismo di collasso

3

int,k h 0 kh1

D M= θ∑ ok,ext 0 kW P v=

k int,k 0k,extD W/µ =

1) Il postulato della dissipazione massima comporta: nella singola cerniera h

( )sh kh 0 kh khM M Dθ ≤ θ = θ nella struttura

sh kh 0 kh int,k M M Dθ ≤ θ =∑ ∑3 3

h h1 1

2) Per ogni stato cinematicamente ammissibile risulta: 3

k 0k,ext int,k h sh khW D M1

µ = ≥ θ∑

3) Il PLV, facendo lavorare le forze del sistema (b) per le velocità del sistema (c), si scrive: 3

ve s 0 k s 0k, ext vi h sh kh k 0k, ext s k1

L P v W L M W= µ = µ = = θ ≤ µ ⇒ µ ≤ µ∑

Per definizione lo stato di collasso incipiente è sia staticamente che cinematicamente ammissibile

s c kµ ≤ µ ≤ µ .

Il moltiplicatore di collasso è quindi l’elemento di separazione tra i due insiemi di moltiplicatori. Si possono pertanto enunciare i teoremi seguenti:

6

Teorema statico del calcolo a rottura (lower bound theorem) Il moltiplicatore di collasso è il più grande fra quelli staticamente ammissibili µc = max {µs} Teorema cinematico del calcolo a rottura ( upper bound theorem) Il moltiplicatore di collasso è il più piccolo fra quelli cinematicamente ammissibili µc = min {µk} Il teorema statico può essere enunciato anche nel modo seguente: La struttura non perviene al collasso sotto un sistema di carichi in corrispondenza del quale esista un insieme di azioni interne in equilibrio con i carichi ed all’interno del dominio di ammissibilità. Il teorema cinematico può essere enunciato anche nel modo seguente: La struttura certamente collassa sotto un sistema di carichi a cui è associata una potenza esterna più grande della potenza dissipata in corrispondenza ad un potenziale meccanismo di collasso. Si osservi infine che il moltiplicatore di collasso è unico mentre non sono necessariamente tali né il meccanismo di collasso né la distribuzione delle azioni interne al collasso. Esempio n.2: Trave soggetta a carichi concentrati Si consideri la trave un volta iperstatica in Fig.2.3, che si assume dotata di un momento limite superiore ed inferiore costante e pari a M0.

αµ P µP

Fig.2.3

• Per applicare il teorema cinematico si considerano i potenziali meccanismi di collasso. Le sezioni potenzialmente sede di cerniere plastiche si trovano in corrispondenza dei carichi concentrati e dei vincoli. Tuttavia una cerniera plastica sull’appoggio corrisponde ad un meccanismo che coinvolge solo il tratto a mensola.

Meccanismo n.1 ( di tipo locale).

αµ P1

θµ

1Pθ

Fig.2.4

7

01, extW P= θ , int,1 0int,1 0 1

01,ext

D MD M W P

= θ ⇒ µ = =

Meccanismo n.2 (di tipo globale) Si considera il meccanismo ad un grado di libertà in Fig.2.5 ove le cerniere plastiche sono poste all’incastro e sotto il carico; l’intera struttura risulta labile, con grado di labilità =1.

θ

θ θθ2

Pµ α2

Pµ2

Fig.2.5

( )02, extW P P 1 P= α ⋅θ − θ = α − θ , ( )

0int, 2 0 2

3MD 3M -1 P

= θ ⇒ µ =α

Al crescere del parametro α cambia la condizione di carico ed il meccanismo di collasso cambia come è illustrato in Fig.2.6 .

α1 2 3

µ/µ1

1

4 5 6

Mech.(1)

µ1

Mech.(2)

Fig.2.6

{ }

( )

0

1 20

M 4P

min 3M 4 1 P

,

⎧ α ≤⎪⎪µ µ = ⎨⎪ α ≥

α −⎪⎩

.

Il meccanismo di collasso per α =5 è illustrato in Fig.2.7 .

8

Se 5α = 03 Mmin 4 P

⇒ µ =

cµ5 P = 15 M /40

P=3M /4µc 0

Fig.2.7

• Per applicare il teorema statico si considerano distribuzioni di momento staticamente ammissibili. Il diagramma del momento per essere equilibrato deve essere lineare a tratti ed i valori massimi in modulo sono necessariamente posti in corrispondenza dei punti di applicazione dei carichi e dei vincoli.

µ P µ P

AB

C5

P5µ P µX

(a)

(b)

Fig.2.8

La struttura è una volta iperstatica ed il diagramma del momento è determinabile a meno di una incognita ; in Fig.2.8a si assume α=5 mentre in Fig.2.8b si assume come incognita iperstatica X il momento all’incastro. Attraverso le equazioni di equilibrio è possibile determinare le reazioni vincolari del sistema a meno dell’incognita indeterminata X:

A

C

V =2µP+ X 2V =4µP-X 2

.

E’ possibile inoltre scrivere il diagramma del momento come somma del diagramma M° della struttura isostatica principale e di quello dovuto alle Xi incognite iperstatiche; vedi Fig.2.9. ( ) ( ) ( )0 *

i iM z =M z +X M z

+2 µ P l

-X −-X /2

-X P l2 µ -X /2 P l− µ 0M =

+

− P lµ

Fig.2.9

9

In tal modo, nel caso in esame, è immediato imporre l’ammissibilità plastica: Sez. A - 0-X M≤

Sez. B - 02µPl-X 2 M≤ Sez. C - 0-µP M≤ Soluzione staticamente ammissibile n.1 ( 0M=M in C)

s1 0µ P =M

s1 0M P⇒ µ = Il tratto A-B è ancora staticamente indeterminato; se ulteriormente si pone 0M=M in B la seconda relazione fornisce 0 02M -X 2 M≤ . Di conseguenza 0X>M e questa particolare soluzione non è plasticamente ammissibile. Soluzione staticamente ammissibile n.2 ( 0M=M in A e C)

0

s2 0 0 00s2

X=MX 32 P = M M MM 2 2=

P

⎧⎪ ⇒ µ − ⇒ ≠⎨µ⎪⎩

condizione plasticamente non ammissibile.

Soluzione staticamente ammissibile n.3 ( 0M=M in A e B)

00 0

s3 0 s3s3 0

X=MM M32 P = M =X 2 4 P2 P - M

2

⎧⎪ ⇒ µ − ⇒ µ⎨

µ =⎪⎩

⇒ Moltiplicatore di collasso 0c s3

M34 P

µ = µ =

Esempio n.3: Trave soggetta ad un carico uniformemente distribuito Si consideri la trave una volta iperstatica in Fig.2.10, che si assume dotata di un momento limite superiore ed inferiore costante e pari a 0M .

µq 0

Fig.2.10

• Per applicare il teorema cinematico si considerano i potenziali meccanismi di collasso. In questo caso tuttavia la posizione della cerniera plastica in campata non è nota a priori ed in Fig. 2.11 si considera un potenziale meccanismo ove essa è posta in *z=z

10

θ

0q

+

s

θsz z'dθ

θd

θs θdz

z*

z'

-z*

Fig.2.11

Con riferimento alla Fig.2.11 è possibile scrivere la compatibilità del meccanismo e la relativa potenza esterna.

( )s dz* -z*θ = θ , d sz*-z*

θ = θ , d s s-z*θ + θ = θ ; ( ) sv z z= θ ; ( ) dv z' z'= θ .

( ) ( )z* -z z* -z*

0k,ext 0 0 0 s 0 d0 0 0 0

W q v z dz+ q v z' dz' = q zdz + q z'dz'= θ θ =∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( )s0 0 d 0 s

-z* -2z*z*q z* q -z* q2 2 2

θ= ⋅ + ⋅θ = θ

La potenza interna viene scritta considerando le 2 cerniere poste all’incastro e in *z=z , Fig.2.12. Il PLV consente di determinare un moltiplicatore cinematicamente ammissibile µk , mentre il valore z* viene determinato applicando il teorema cinematico.

z*2

q ( -z*)0

z*/2sθ θd

q z*0

Fig.2.12

( )k,int 0 s s d 0 s2 -z*D M M

-z*⎛ ⎞= θ + θ + θ = θ⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) ( )( )( )

0k

0

2 2 - z* Mz* - 2z* - z* q

⇒ µ = ; ( )*c kmin z⇒ µ = µ ( )z 0* ,∈ :

( ) 0 0c k 2 2

0 0

M Mmin 6 + 4 2 11.6568 q q

µ = µ = ≈ .

La posizione della cerniera in campata che determina l’effettivo meccanismo di collasso risulta:

( )z 2- 2 0.5857 * = ≈

11

Per applicare il teorema statico si considerano distribuzioni di momento staticamente ammissibili. La struttura è una volta iperstatica ed il diagramma del momento è determinabile a meno di una incognita il momento di incastro X, Fig.2.13.

qµ 0

X

z

+

−X

µ q0

M

M 0

1

(a)

(b)

Fig.2.13

Le espressioni analitiche dei due Diagrammi M° e M* sono:

( )2

0 00

q zM z z - q2 2

µ= µ , ( ) ( )1M z x 1 z= − .

L’ammissibilità plastica richiede che il momento sia ovunque minore (o uguale) al momento limite.

( ) ( ) ( )00

qM z X 1 z - z z M2

µ= − − + ≤

Imponendo 0M =M all’incastro ed in campata, in virtù del teorema statico si ottiene: Sezione allo stato limite (1) z = 0 ( ) 0 0M 0 = -X = -M X = M⇒ Sezione allo stato limite in campata (2)

( ) ( ) ( )00 0

qzmax M z max M 1 z z M z* M2

⎧ ⎫⎛ ⎞= − − + µ − = =⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭

( ) ( ) 20 0z*= 2- 2 = 6 + 4 2 M q⇒ ⇒ µ

2.3.1 Valutazione approssimata del moltiplicatore di collasso. I teoremi dell’analisi limite forniscono uno strumento efficace per una valutazione molto rapida del moltiplicatore di collasso. Questo metodo detto della delimitazione bilaterale ( o di Greenberg e Prager ) è basato sulle seguenti disuguaglianze: s c k µ ≤ µ ≤ µ E’ di fatto possibile ottenere una stima per eccesso µk del moltiplicatore di collasso µc con riferimento ad un generico meccanismo potenziale di collasso. Se si determina una qualunque

12

distribuzione di azioni interne in equilibrio con i carichi, ad esempio ponendo M uguale al momento limite nelle cerniere, essa risulterà non ammissibile. (Se la distribuzione risultasse anche plasticamente ammissibile ovviamente si sarebbe ottenuto il moltiplicatore di collasso). E’ allora sufficiente diminuire proporzionalmente il moltiplicatore dei carichi fino ad ottenere un moltiplicatore µs staticamente ammissibile. La differenza fra i due moltiplicatori cinematico e statico ∆µ = µk- µs consente di valutare la qualità della stima approssimata fatta. Si riconsideri l’ esempio della trave soggetta ad un carico uniformemente distribuito. In Fig.2.14 le cerniere plastiche vengono introdotte all’incastro ed in mezzeria; in tal modo si considera un meccanismo di potenziale collasso diverso da quello effettivo. • Potenziale meccanismo di collasso ( semplificato)-Teorema cinematico

2θ

θ µ q2

/2 /2

0

Fig.2.14

Il moltiplicatore cinematicamente ammissibile può essere valutato applicando il PLV.

20

0k,ext 0qW 2 q

2 4 4⎛ ⎞θ⎛ ⎞= ⋅ θ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠; 0 0

k,int 0 k c2 20 0

12M MD 3M 11.6568 q q

= θ ⇒ µ = > µ ≈

1- Soluzione staticamente ammissibile - Teorema statico

Con riferimento alla Fig.2.15 è immediato valutare il momento in C e porlo pari ad M0

2 0 0C 0 0 2

0

M 12MM q 8 M2 q

= µ − = ⇒ µ =

Il momento massimo tuttavia non si ha in mezzeria e risulta, Fig.2.16: 0max M= 25 24 M

qµ 0

A

+

−M

BC

0

µq02/8

(a)

(b)

(c)

Fig.2.15

13

M

m ax M = M (

0

0M

7/12

7/12 ) =25/24 M 0

Fig.2.16

Per ottenere una soluzione staticamente ammissibile è necessario ridurre ovunque di un fattore 25/24 il diagramma del momento, Fig.2.17.

0 0s c2 2

0 0

24 24 12M M11.52 11.656825 25 q q

⇒ µ = µ = ⋅ ≅ < µ ≅

M 0

0M

7/12

24/25

Fig.2.17 2- Stima della qualità della delimitazione ottenuta Se non è noto il valore del moltiplicatore di collasso le seguenti disuguaglianze consentono di valutare se l’errore che si è commesso considerando la cerniera plastica in mezzeria non è elevato.

0 0c c k2 2

0 0

M 12M11.52 q q

µ = < µ < µ =

2.4 Analisi limite di un portale Si consideri il portale, tre volte iperstatico, di Fig.2.18 che si assume dotato di un momento limite superiore ed inferiore costante e pari a M0. Si assuma inoltre che lo sforzo normale (ed il taglio) non influenzino la condizione di ammissibilità plastica delle cerniere.

A B

Fµ

C E DµF/2

Fig.2.18

14

Teorema cinematico Si considerano i possibili cinematismi ipotizzando la collocazione delle cerniere plastiche nelle sezioni di applicazione dei carichi concentrati, nei vincoli e nei nodi. Meccanismo n.1 (locale o di trave). Il meccanismo che coinvolge tre sole cerniere è di tipo locale.

θ

θθF

/2F/2

θ2

01,extW F 2= θ , 01,int 0

8MD 4MF1= θ ⇒ µ =

Meccanismo n.2( o di parete). Il meccanismo coinvolge 4 cerniere ed è di tipo globale.

F/2

θ

θ

θF

θ

θ

02,extW F 2= θ , 2,int 0 2 0D 4M F 8M F= θ ⇒ µ =

Meccanismo n.3 (o composto).

F/2

θ

θ

θ F

θ

2θ

θ /2θ

15

03,extF FW + F2 2

= θ θ = θ , 03,int 0

6MD 6MF3= θ ⇒ µ = .

Un cinematismo come quello illustrato in Fig.2.19 non rappresenta un potenziale meccanismo perché i carichi esterni non esplicano una potenza esterna positiva.

F/2

θ

θ

F

θ /2

Fig.2.19

04,extW F 2 -F 2 0= θ θ =

Per il teorema cinematico { } 01 2 3 3

6Mmin F

, ,µ µ µ = µ = , ossia il meccanismo di collasso è il terzo.

θ

6M /

θ0

3M /0

Teorema statico. Nel caso in esame non è necessario determinare il più grande dei moltiplicatori ammissibili valutando l’ammissibilità dello stato tensionale

( ) ( ) ( )0 *i i 0M z =M z +X M z M i=1..3≤

E’ sufficiente verificare che lo stato tensionale riportato in Fig.2.20, che corrisponde al meccanismo sopra determinato, sia staticamente ammissibile.

16

0M0 M

6M /00M

M0

3M /0

M0 M0

V =A 2M /0

M /H =A 0

2M /H =B 0

4M /V =B 0

C

ED

A B

))

A B 0A 0 A 0

A B 00 B 0

0 0B 0

Eq.ni di equilibrio Eq.ni ausiliarie

V +V -6M =0E V 2-M +H -M =0

-H -H +3M =0 D M -H +M =0

6M 3MV +2M =02

⎧⎪

⎧⎪ ⎪⎨ ⎨

⎪⎪ ⎩⎪ − −⎩

E’ possibile determinare le reazioni vincolari e conseguentemente le caratteristiche di sollecitazione del sistema.

A 0V 2M= B 0V 4 M=

A 0H M= B 0H 2M=

−

−

M 0

0M

M 0 M 0

+−

+

Fig.2.20

Stato staticamente ammissibile { }k s c 0min 6M F⇒ µ = µ = µ = . Dominio limite nello spazio delle forze applicate Si consideri il portale dell’esempio precedente, Fig.2.21, e si suppongano variare in maniera indipendente le due forze F1 e F2 applicate.

17

A B

F

C E DF2

1

Fig.2.21

Nella figura seguente, Fig.2.22, si considerano tutti i possibili meccanismi.

2F1

F11

2F1

F11

Meccanismo (1) 1 0F 8M< , 2F∀

{v1=1; v2=0} Meccanismo (2) 1 0F 8M> − , 2F∀

{v1=-1;v2=0}

F 23

2

4F

Meccanismo (3) 2 0F 4M< , 1F∀

{v1=0; v2=1} Meccanismo (4) 2 0F 4M> − , 1F∀

{v1=0; v2=-1}

18

F 15

5F 2

6F 1

62F

Meccanismo (5) 1 2 0F 2 F 6M+ <

{v1=1/2; v2=1} Meccanismo (6) 2 1 0F 2 F 6M+ > −

{v1=-1/2; v2=-1} F 1

7

7F 2

8F 1

82F

Meccanismo (7) 2 1 0-F F 2 6M+ <

{v1=1; v2=-1/2} Meccanismo (8) 2 1 0-F F 2 -6M+ >

{v1=-1; v2=1/2} Fig. 2.22

Si consideri il meccanismo n.1 in Fig.2.21; il collasso non dipende dal valore F2 della forza orizzontale ( infatti la potenza esterna ad essa associata è nulla ), mentre il carico di collasso, o forza verticale massima che la struttura può sostenere, risulta F1

1= 8M0 /l . Nel piano F1-F2 il collasso relativo a questo meccanismo è rappresentato, Fig.2.23, dalla retta verticale (1)-(1). Al meccanismo (di trave) n.2 è ovviamente associata la retta simmetrica rispetto all’origine O. Se invece si considera il meccanismo di parete ( meccanismo 3), il collasso non dipende dal valore della forza verticale , mentre la forza orizzontale massima sostenibile risulta F2

3= 4M0/l. Nel piano F1-F2 il collasso relativo a questo meccanismo è rappresentato dalla retta orizzontale (3)-(3). Infine se si considera il meccanismo n.5 ( meccanismo composto) applicando il PLV si trova la seguente relazione fra i due carichi F1

5/2 + F25 =6M0/l rappresentata nella figura dalla retta (5)-(5).

Il dominio limite dei carichi è dunque, nel caso in esame, rappresentato dall’ottagono in Fig.2.23 e tutti i punti interni ad esso rappresentano stati di carico ammissibili che la struttura è in grado di sostenere. Il dominio limite nello spazio dei carichi rappresenta la generalizzazione in termini di carichi della condizione di snervamento che viene assegnata in termini di sollecitazioni. Si può dimostrare che il dominio limite risulta sempre una figura convessa,chiusa e limitata. Le forze esterne vengono adimensionalizzate rispetto 0 0F = M .

19

C4

5

6

6 8-2-4-6

-2

-3

-4

-5-6

Bn =

E10 12

2

1

-12 -10 -8

(2)

(5) (8)

(1)

(3)

(4)(4)

(8)

(6)

(3)

(5)

(7)

(2)

(7) (6)

(1)

3

n =5

{011/ 5{12√

1

v1

2v F /F02

1

O2 4

F /F0

2

3 A

Fig.2.23 Meccanismo di collasso nel p.to C - Vertice

1 2 0F F 4F= =

{ }T0 04F 4F=f

Meccanismo (3) +(5)

(θ+ F

θ

1

2

3

3 θ)5p2v v =p1 θ5 /2

3

θ5

θ5

θ3θ5

θ+

Fig.2.24

( )5 3 5

p 3 5 3 53 5

2 0 11 5+1 2 55

⎧ ⎫θ ⎛ ⎞⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪= = θ θ = λ + λ⎜ ⎟⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎜ ⎟θ + θ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭u n n

k,ext 2 3 1 2 5W F F F2

⎡ ⎤= θ + + θ⎢ ⎥⎣ ⎦; int 0 3 0 5D 4M 6M= θ + θ

20

2.5 Analisi a collasso in presenza di carichi permanenti e corollari dei teoremi dell’analisi limite La normativa Italiana per le costruzioni e gli Eurocodici distinguono i carichi in permanenti, e.g. il peso proprio, che non variano nel tempo e non dipendono da un eventuale moltiplicatore dei carichi e i carichi accidentali applicati dall’esterno alla struttura , eventualmente variabili nel tempo, rispetto a cui occorre valutare la sicurezza rispetto allo stato limite ultimo di collasso plastico. La riformulazione dei teoremi dell’analisi limite non presenta difficoltà e viene di seguito brevemente discussa. Teorema statico. Per brevità ci si riferisce solo a sistemi di travi ove l’unica sollecitazione che induce plasticizzazione è il momento flettente ed il moltiplicatore di collasso è il più grande fra i moltiplicatori che verificano l’equilibrio e l’ammissibilità plastica nelle sezioni critiche di ascissa z.

( ) 0M z M≤ Come visto nei paragrafi precedenti conviene scrivere il momento nel modo seguente:

( ) ( ) ( )0 *i i 0 ipM z =M z +X M z M i=1..N≤

Il momento M°(z) dovuto ai carichi applicati alla struttura principale può allora essere scritto sovrapponendo gli effetti nel modo seguente: M°(z) = M°p(z) + µs M°a(z) Ove M°p(z) è il momento flettente dovuto ai carichi permanenti ed è costante, mentre M°a(z) è il momento flettente dovuto ai carichi utili o accidentali e dipende dal moltiplicatore µs. Teorema cinematico Per ogni cinematismo cinematicamente ammissibile il moltiplicatore di collasso può essere determinato applicando il PLV e risulta:

int kk

0 k,ext

D

W,µ =

Se i carichi q sono dati da carichi permanenti qp( non dipendenti dal moltiplicatore) ed accidentali qa ( dipendenti da esso ) occorre scrivere la potenza esterna W’0k,ext come somma del contributo dei due tipi di carico, il PLV può di conseguenza essere scritto nel modo seguente:

0k,ext 0k,extp k 0k,exta int,kW =W +µ W =D Pertanto il moltiplicatore cinematicamente ammissibile µk risulta fornito dalla relazione

int, 0 ,

0 ,

k k extpk

k exta

D WW

−µ =

Corollari dei teoremi fondamentali dell’analisi limite

I- Se due moltiplicatori l’uno staticamente ammissibile, µs , e l’altro cinematicamente ammissibile, µk , coincidono essi definiscono il moltiplicatore di collasso µc. (Il corollario è diretta conseguenza della disuguaglianza fondamentale)

II- Eventuali distorsioni e/o cedimenti vincolari non modificano il valore del moltiplicatore di collasso µc .

III- Le proprietà elastiche della struttura non modificano il valore del moltiplicatore di collasso µc.( Si è in effetti fatto riferimento ad un modello rigido-plastico per le cerniere)

21

IV- L’aggiunta ( l’eliminazione) di una qualunque porzione di materiale, supposto privo di peso, alla struttura non può provocare una diminuzione ( un aumento) del valore del moltiplicatore di collasso µc. (Non viene modificato il diagramma del momento M(z) al più l’aggiunta di materiale non può che far aumentare M0 in qualche sezione).

V- L’aumento ( la riduzione) in una qualunque sezione della tensione σ0 di snervamento del materiale non può fare diminuire (aumentare) il valore del moltiplicatore di collasso µc.

Alcuni commenti Nel primo paragrafo si sono riportate le ipotesi sotto cui è possibile applicare il calcolo a rottura. In particolare si è asserito che : • Il materiale deve possedere duttilità illimitata

Questo requisito, come discusso nel capitolo precedente, è indispensabile per poter adottare il modello di cerniera plastica. Questa schematizzazione è accettabile per travi in acciaio od in c.a. debolmente armate, certamente non strutture in vetro od in cls. non armato. Si osserva, inoltre, che si è trascurata l’influenza dello sforzo di taglio sulla ammissibilità plastica delle sezioni. Ciò è accettabile per travi normalmente dimensionate ma porta ad una sopravalutazione del moltiplicatore di collasso. Peraltro ovviamente non è possibile trascurare il taglio ai fini dell’equilibrio Nel caso delle strutture intelaiate, ad esempio il portale in precedenza studiato, è necessario tenere conto dell’influenza dello sforzo normale. In seguito si vedrà come si possa tener conto della presenza dello sforzo normale introducendo la seguente condizione di ammissibilità:

( )2

0 0

M NN,M + -1 0M N

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪φ = ≤⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭

.

Solo se lo sforzo normale N è molto minore del valore limite N0 è possibile trascurarne il contributo. Nei pilastri in c.a. la presenza di uno sforzo normale elevato riduce la duttilità della struttura, per questo motivo la recente OPCM 3274 sulle costruzioni in zona sismica prescrive di progettare la struttura in modo che le cerniere si verifichino nelle travi (i.e. sottodimensionandole) e non nei pilastri (gerarchia delle resistenze). • La struttura deve presentare spostamenti “piccoli” Per poter applicare la sovrapposizione degli effetti, come più volte fatto in questo capitolo, le equazioni di equilibrio devono essere scritte con riferimento alla configurazione iniziale non deformata. Questa ipotesi implica che, in questo ambito, non è possibile tener conto di fenomeni di instabilità dell’ equilibrio. Ciò non è, in genere, tecnicamente accettabile nelle strutture reticolari e nei telai metallici, specie se non controventati. Nel caso di strutture metalliche dotate di opportuni sistemi irrigidenti di controvento ciò possibile solo se le colonne sono poco snelle ( snellezza λ<80-90 e dunque coefficiente ω<1-1,2). Si ritornerà su questo importante problema nella seconda parte del corso. • Paradosso di Stussi e Kollbrunner sull’attendibilità de moltiplicatore di collasso Il moltiplicatore µc è indipendente dalle proprietà elastiche e quindi dalla deformabilità della struttura, tuttavia occorre verificare che questa non risulti eccessiva in modo da compromettere le ipotesi alla base dell’analisi limite. Nella maggior parte dei casi di interesse tecnico la deformabilità elastica non provoca problemi. Tuttavia , L Corradi vol. III pp 45-47, esiste un esempio in cui questo accade. Si consideri una trave simmetrica su tre campate e si supponga che le due campate laterali abbiano una lunghezza c volte la campata centrale caricata con un carico concentrato in mezzeria. Il meccanismo di collasso è quello parziale usuale di trave con tre cerniere allineate ed il moltiplicatore non dipende dal valore di c. Tuttavia al tendere di c all’infinito la campata centrale

22

tende a comportarsi come semplicemente appoggiata ed una analisi incrementale mostra come si possano raggiungere prima del collasso spostamenti non accettabili. Un esempio analogo appare nel settore geotecnico e riguarda i pali trivellati la cui portanza non viene in genere valutata a collasso perché questo avviene con cedimenti eccessivi. 2.6 La valutazione del moltiplicatore di collasso come problema di programmazione lineare. Si consideri la trave continua di Fig.2.25 ed ad essa si applichi il teorema statico.

Sistema staticamente determinato

Sistema (0)

Sistema (1)

31 5µF

22µ F

4

/2 /2 /2 /2

x1

5µ2 F Fµ

32x 2x 421

12

2F

3 4F

5µ

1x

1

2 3 4 5

1 2 x2 23 x 4 5

=

+

+

Sistema (2)

Fig.2.25

Risolvendo i sistemi attraverso le equazioni della statica è possibile determinare le distribuzioni dei momenti flettenti 0 1 2M , M e M , riportati in Fig.2.26, e calcolare tramite la sovrapposizione degli effetti il momento flettente del sistema principale staticamente determinato (sistema equilibrato).

23

Sistema (0)

Sistema (1)

+Fl

µ +

42Fl

1X

+X

2

+

Sistema (2)

Fig.2.26

Distribuzione equilibrata dei momenti flettenti.

in

0 ji i i j s

j=1

M =µM + M X i=1..n∑

dove ni ed ns risultano rispettivamente il grado di iperstaticità (ni=2) ed il numero di sezioni di controllo (ns=4). Una distribuzione di momenti staticamente ammissibile è equilibrata e plasticamente ammissibile. Al sistema di equazioni scritto in precedenza (nell’esempio in questione 4 equazioni) è necessario quindi aggiungere le condizioni di ammissibilità plastica nelle sezioni di controllo. Condizioni di ammissibilità plastica. i 0 sM M i=1..n≤ Vengono esplicitate e riportate nella tabella seguente le relazioni sopra specificate.

Sez. di controllo Equilibrio Ammissibilità plastica

1 1 1M =X 1 0M M≤

2 2 1 2F 1 1M =µ + X + X2 2 2

2 0M M≤

3 2 2M =X 3 0M M≤

4 2 2F 1M =µ + X4 2

4 0M M≤

Si ricorda che mentre in presenza di carichi concentrati le sezioni ove verificare l’ammissibilità vanno poste nelle sezioni di applicazioni dei carichi , in corrispondenza dei vincoli e nei nodi, in presenza di carichi distribuiti la loro collocazione ha un certo grado di arbitrarietà che può portare ad una sottostima del moltiplicatore di collasso. Ricordando il teorema statico, se consideriamo l’intero dominio delle configurazioni staticamente determinate, è possibile determinare il moltiplicatore di collasso cµ come il maggiore dei moltiplicatori staticamente ammissibili sµ , { }maxc sµ = µ .

24

Quindi la determinazione del moltiplicatore di collasso cµ , si riduce nella soluzione di un problema lineare di ottimizzazione, che in forma analitica risulta:

{ }1 0

1 2 0

2 0

2 0

max

X M

F 1 1µ + X + X M2 2 2

X M

F 1µ + X M4 2

c

⎧⎪ µ = µ⎪⎪ ≤⎪⎪ ≤⎨⎪⎪ ≤⎪⎪

≤⎪⎩

.

Prendendo in considerazione le quattro disequazioni è possibile determinare una delimitazione inferiore e superiore delle iperstatiche e del moltiplicatore dei carichi µ (ogni moltiplicatore che soddisfa le quattro disequazioni risulta staticamente ammissibile, sµ=µ ). La prima e la terza, forniscono una limitazione delle iperstatiche 1 2X e X , come mostrato in Fig.2.27. Disequazioni 1 e 3.

1 01 0

1 0

2 02 0

2 0

X M (1a)X M

X -M (1b)

X M (3a)X M

X -M (3b)

≤⎧≤ ⇒ ⎨ ≥⎩

≤⎧≤ ⇒ ⎨ ≥⎩

.

−Μ0

AD

C B

Μ0 x

0 Μ

1

2x

−Μ0

(1b) (1a)

(3a)

(3b)

Fig.2.27

25

La seconda e la quarta, forniscono invece una limitazione del moltiplicatore µ , come mostrato in Fig.2.28. Disequazioni 2 e 4.

1 2 0

1 2 0

1 2 0

2 0

2 0

2 0

F 1 1µ + X + X M (2a)F 1 1 2 2 2µ + X + X M F 1 12 2 2 µ + X + X -M (2b)2 2 2

F 1µ + X M (4a)F 1 4 2µ + X M F 14 2 µ + X -M (4b)4 2

⎧ ≤⎪⎪≤ ⇒ ⎨⎪ ≥⎪⎩

⎧ ≤⎪⎪≤ ⇒ ⎨⎪ ≥⎪⎩

Essendo le relazioni tra 1 2X , X e µ lineari i valori massimi e i valori minimi del moltiplicatore di carico si trovano sicuramente lungo la frontiera della superficie individuata dalle disequazioni 1 e 3, vedi Fig.2.28 (il quadrato che ha come vertici i punti A,B,C,D, vedi Fig.2.27 e Fig.2.28). Le condizioni limite dettate dalle disequazioni 2 e 4 vengono individuate dalle seguenti equazioni, che definiscono dei piani nello spazio ( )1 2X , X , µ :

0 01 2 22a 4a

0 01 2 22b 4b

2M 4MX X 2X(2a) µ = - - (4a) µ = -F F F F F2M 4MX X 2X(2b) µ =- - - (4b) µ =- -F F F F F

.

I punti di massimo o di minimo del moltiplicatore di carico si trovano, non avendo intersezioni tra i piani (2a) e (4a) nel dominio di definizione fornito dalle (1a), (3a), (1b) e (3b), nei vertici A,B,C,D. Per avere una rappresentazione grafica indipendente dalle costanti geometriche e meccaniche del sistema, si sono adottate la seguenti adimensionalizzazioni:

2 1

0 0 0

X XF =m, =y, =xM M Mµ .

Fig.2.28

Come si può notare nelle figure sopra riportate il massimo moltiplicatore di carico che soddisfa tutte le condizioni di ammissibilità plastica e che quindi risulta il moltiplicatore di collasso è:

04Mm=4 =F

⇒ µ .

26

Punto A ( )1 2 0X =X =M

2aµ =0 02b

4Mµ =-F

04a

2Mµ =F

04b

6Mµ =-F

Punto B ( )1 0 2 0X =M , X =-M

02a

2Mµ =F

02b

2Mµ =-F

04a

6Mµ =F

04b

2Mµ =-F

Punto C ( )1 0 2 0X =-M , X =-M

02a

4Mµ =F

2bµ =0 04a

6Mµ =F

04b

2Mµ =-F

Punto D ( )1 0 2 0X =M , X =M

02a

2Mµ =F

02b

2Mµ =-F

04a

2Mµ =F

04b

6Mµ =-F

Il moltiplicatore di carico deve risultare positivo, quindi è possibile considerare solamente l’insieme dei moltiplicatori individuati dalla lettera (a) che ne forniscono un limite superiore, ed inoltre deve soddisfare tutte le condizioni di ammissibilità plastica. Punto A ( )1 2 0X =X =M

{ }2a 4amin µ ,µ = 0 Punto B ( )1 0 2 0X =M , X =-M

{ } 02a 4a

2Mmin µ ,µ =F

Punto C ( )1 0 2 0X =-M , X =-M

{ } 02a 4a

4Mmin µ ,µ =F

Punto D ( )1 0 2 0X =M , X =M

{ } 02a 4a

2Mmin µ ,µ =F

Il moltiplicatore di collasso cµ risulta il massimo tra i moltiplicatori staticamente ammissibili sopra elencati.

0 0 0 0c

2M 4M 2M 4Mµ = max 0, , , , =F F F F

⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭

27

Trasformazione del problema di programmazione lineare in forma standard. Le equazioni di equilibrio e le disuguaglianze che impongono l’ammissibilità possono essere poste nella seguente forma matriciale.

0 01

0 021

0 032

0 04

0 1 0M MM F 1 1M MM 2 2 2 XM MM 0 0 1

XM MM F 10

4 2

⎡ ⎤⎢ ⎥⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎧ ⎫

µ⎧ ⎫⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥− ≤ = ≤⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎩ ⎭⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎩ ⎭⎩ ⎭ ⎩ ⎭

⎢ ⎥⎣ ⎦− ≤ = ≤0 0m m B z m

( ) 4 1→ ×0m ( ) 4 1→ ×m ( )4 3→ ×B ( ) 3 1→ ×z dove z risulta il vettore delle incognite che può risultare sia positivo che negativo. Facendo ricorso a matrici partizionate, il sistema precedente assume la forma sotto riportata.

⎧ ⎡ ⎤≤ ⎧ ⎫⇒ ≤⎨ ⎨ ⎬⎢ ⎥− ≤ − ⎩ ⎭⎣ ⎦⎩

≤

00

00

0

mBz m Bz

mBz m BB z m

( ) 8 3→ ×B ( ) 8 1→ ×0m Il vettore z può essere decomposto nella differenza di due vettori positivi, che presentano cioè tutte le loro componenti positive.

{ }{ }

T+ + +1 2 n

T- - -1 2 n

z z ...z

z z ...z

− −

−

= − ≥ ≥

=

=

+ +

+

z z z z 0 z 0

z

z

La componete i dei vettori +z e −z viene determinata dalle seguenti relazioni:

( ) ( )+ -i i i i i i

1 1z z z 0 z z -z 02 2

= + ≥ = ≥ .

Si osservi che la prima componente del vettore z ( 1z ) è il moltiplicatore dei carichi µ che risulta positivo per definizione, ne consegue che la prima componente del vettore +z coincide con µ e quella del vettore −z è nulla, come di seguito esplicitato. + -

1 1z z 0= µ = Quindi le condizioni di ammissibilità plastica dei momenti flettenti nelle sezioni di controllo diventano:

( )

( )

( )

( )

+ -1 1+ -2 1 1 2 1 1+ -3 3

2 2 2 2

0z z1 1 z X X z X -X2 2

z z1 1X X X -X2 2

+ −

+ + −

−

⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪µ⎧ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫− ≤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪≥ = = + = =⎨ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪≥⎩ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭

0Bz Bz mz 0 z zz 0

.

( ) 3 1+ → ×z ( ) 3 1− → ×z

28

Si introduce una variabile slack ∆z , per trasformare la prima disequazione del sistema sopra riportato in una equazione.

+ −

++ −

−

⎧ − + =⎪ ≥⎪= − + ≥ ⇒ ⎨

≥⎪⎪ ≥⎩

0

0

Bz Bz ∆z mz 0

∆z m Bz Bz 0z 0∆z 0

( ) 8 1→ ×∆z Ponendo { } = + -x z z ∆z si ottiene:

[ ] (1) -

(2)

+

−

⎧ ⎫=⎧⎪ ⎪ = ⇒⎨ ⎬ ⎨ ≥⎩⎪ ⎪

⎩ ⎭

00

zAx m

B B I z mx 0

∆z.

( ) 8 14→ ×A ( ) 14 1→ ×x Al variare delle componenti positive di x , quelle che soddisfano la (1) sono plasticamente ammissibili e quindi staticamente ammissibili. Poiché il sistema (1) è di 8 equazioni ( )s2×n =8 in

14 incognite ( )( )i s2 n +1 ×2n =14 risulta ( )( )8- 6ρ +A volte indeterminato.

Poiché { }T+ +2 3 z z= µ+z si considera Tµ = b x dove il vettore b ha dimensione ( )1 14× e presenta la

seguente forma: { }T1 0 0......0=b . Ricordando il teorema statico si ottiene:

Tc smax max ⎧µ = µ =

⎪ =⎨⎪ ≥⎩

0

b xAx m

x 0

che risulta un problema di programmazione lineare in forma standard in 14 incognite. 2.7 Cerniera plastica generalizzata 2.7.1 Dominio di ammissibilità N-M Si considera il comportamento di una trave di materiale elastico-plastico (EPP) in presenza di una sollecitazione composta da un momento flettente M ed uno sforzo normale N, ossia uno sforzo normale eccentrico di eccentricità e= M N . Si assume inoltre che, come nei capitoli precedenti, valga anche in questo caso l’ipotesi di Eulero-Bernoulli di conservazione delle sezioni piane. In Fig.2.29 è riportata la distribuzione delle tensioni normali σ in una sezione rettangolare di larghezza b ed altezza h. Si assume inoltre di far crescere lo sforzo normale N senza variare l’eccentricità. La distribuzione delle tensioni normali σ resta lineare (come descritto dalla formula di Navier),

0N My= + σA J

σ ≤ ( si ricorda che2

el2J bhW = =h 6

),

29

finché 0σ ≤ σ , ossia il materiale non giunge allo snervamento. Pertanto la sezione rettangolare resta tutta in campo elastico finché:

max 0el

N MA W

σ = + ≤ σ ; min 0el

N MA W

σ = − ≥ −σ ,

i.e.

el

N M 1.A W0 0

± ≤σ σ

Poi come visto nel caso della flessione semplice la tensione rimane costante e pari alla tensione di snervamento σ0.

N

σ

Stato elastico

σ0

Sezione plasticizzata

0σ

−σ0

Stato plastico

N

Mh

e

Fig.2.29

Nella situazione limite tutta la sezione è in campo plastico come rappresentato in Fig.2.30.

0σ

−σ0

d N+=

d

d

T

T

−σ0

σ0

σ0

Fig.2.30 Al fine di valutare gli stati di sollecitazione ammissibili e di rappresentarli nel piano N-M dalla Fig.2.30 si ottiene:

22 22 0

0 2

bhh h h dT b d quindi M T h d b d 1 4 ,2 2 2 4 h

⎛ ⎞ ⎛ ⎞σ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= σ − = − − = σ − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠0

0inoltre risulta N 2bd .= σ Poiché lo sforzo normale limite N0 ed il momento limite M0 valgono rispettivamente:

30

0 0N bh = σ 2

00

bh M4

σ=

visto che0

N 2d=N h

, per momenti positivi si ottiene:

2

00

NM M 1 , M > 0N

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⇒ = − ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

.

Il termine entro parentesi quadra è interpretabile come il coefficiente che misura la riduzione della resistenza flessionale dovuta allo sforzo assiale. Valori di N/N0 non troppo elevati causano variazioni modeste (per N =0.2N0 si ottiene M =0.96M0). Questa caratteristica risulta comune a tutte le sezioni doppiamente simmetriche anche se le espressioni sono ovviamente diverse. Per sezioni con un solo asse di simmetria la dipendenza è più sensibile ( L. Corradi p. 27) Procedendo in modo analogo anche per M<0 si ottiene la funzione limite o di snervamento f(N,M):

( )2

0 0

N Mf N, M 1 0N M

⎛ ⎞≡ + − =⎜ ⎟

⎝ ⎠.

In Fig.2.31 sono rappresentate la funzione di snervamento ed il dominio limite elastico, nel caso di sezioni doppiamente simmetrica ovviamente anche il dominio presenta due assi di simmetria; questo non sussiste per sezioni con un solo asse di simmetria.

NN0

0-M

-Mel

0-N

Mel

M0

M

vertice

limite plastico f(N,M)=0

vertice

dominio elastico

Fig.2.31 Il dominio di ammissibilità o di interazione ( ( )f N,M 0≤ ) è un dominio convesso (ossia se si collegano due punti interni al dominio con un segmento di retta tutti i punti interni al segmento sono interni al dominio). 2.7.2 Flusso plastico e legge di normalità Come noto, assegnata una generica funzione f(N,M)=0 il gradiente di essa rappresenta la normale esterna al dominio di cui essa rappresenta la frontiera, Fig.2.32.

31

0 0

0 0

2 NfN N fNf f f

f f1 MsignM M M

⎧ ⎫∂⎧ ⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ∇⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∇ = = = ∇ ∇⎨ ⎬ ⎨ ⎬∂ ⎛ ⎞ ∇⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎜ ⎟⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂⎩ ⎭ ⎝ ⎠⎩ ⎭

= n

N0

M0

o

n

u=nλ1= fλ

M

N

Fig.2.32

Si intende dimostrare che l’atto di moto generalizzato nella cerniera, che presenta una

deformazione assiale ε ed una rotazione relativa θ , { }T, = ε θu è diretto secondo la normale al

dominio di ammissibilità plastica. Ricordando l’ipotesi di conservazione delle sezioni piane con riferimento a Fig.2.33 si può scrivere:

d1

.⎧ ⎫⇒ = θ⎨ ⎬

⎩ ⎭u Poiché 0

0

N hN h N 2dN 2

1.

⎧ ⎫⎪ ⎪= ⇒ = θ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

u

θ0σ

−σ0

dh

b

Gx

y

h/2

h/2

e= θ d

Fig.2.33

Moltiplicando e dividendo le componenti del vettore u per M0 si ottiene:

( )0 00

0

N hN 2M

M1

M

.

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⇒ = θ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

u

32

Poiché h=4M0/N0 dalla formula precedente si ricava:

( )0 00 1

0

2 NN N

M f f , M>0.1

M

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪= θ = ∇ λ = ∇ λ = λ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

u n n

Si può pertanto affermare che il flusso plastico è diretto secondo la normale alla curva f(N,M)=0 Uguagliando la potenza dissipata in tutti i punti della sezione con la potenza espressa in termini delle caratteristiche della sollecitazione e delle deformazioni generalizzate e ed θ si ha:

( ) ( ) ( )intD σ y e y dA σ y e y dA⎡ ⎤= = + θ =⎣ ⎦∫ ∫A A

( ) ( )2

0 0 0 0 0

2 N 1 M Nσ y dA e + σ y y dA Ne +M N M 2N N M M N

⎡ ⎤⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥= θ = θ = + λ = + λ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∫ ∫A A

ma 2

0 0

M N 1M N

⎛ ⎞+ =⎜ ⎟

⎝ ⎠ quindi

2

int0

ND = +1N

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥ λ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

.

2.7.3 Approssimazione lineare a tratti (piecewise-linear) della funzione di snervamento Per poter applicare algoritmi di programmazione lineare alla determinazione del moltiplicatore di collasso è necessario trasformare la funzione f(N,M)=0, che è non lineare, in un poligono i cui lati sono espressi da funzioni lineari di N e M. Nelle seguenti Fig.2.34 e Fig.2.35 vengono rappresentate una approssimazione interna (poligono inscritto) che fornisce un moltiplicatore di collasso µint ed una esterna (poligono circoscritto) che fornisce un moltiplicatore di collasso µext. Approssimazione interna

( )α α α0 0

M Nf N,M c d 1 0M N

= + − ≤

N0

M0

M

N

f (N,M)α

Fig.2.34

33

Approssimazione esterna

M

N

M

N0

0

Fig.2.35 Si può dimostrare in virtù di un corollario dei teoremi dell’analisi limite, il V, che risulta:

dove

• intµ è il moltiplicatore di collasso nel caso di approssimazione interne. • extµ è il moltiplicatore di collasso nel caso di approssimazione esterne. • int,sµ è il moltiplicatore staticamente ammissibile valutato con riferimento

all’approssimazione interna. • ext,kµ è il moltiplicatore cinematicamente sufficiente valutato con riferimento

all’approssimazione esterna.

int,s int c ext ext,k ⇒ µ ≤ µ ≤ µ ≤ µ ≤ µ

34

Esempio n.1: Determinare il moltiplicatore di collasso o suoi minoranti della travatura

illustrata in Fig.2.36.

Fµ

1

23

4

l/2 l/2

l

Fig.2.36

La struttura riportata in Fig.2.36 è costituita da una travatura di sezione rettangolare (bxh) che presenta il seguente dominio di resistenza nello spazio bidimensionale (N,M), una sua rappresentazione grafica è riportata in Fig.2.37:

( )2

0 0

M Nf N,M 1 0M N

⎛ ⎞= + − ≤⎜ ⎟

⎝ ⎠.

In questo esempio in uniformità con quanto fatto in precedenza non sarà considerata l’influenza del taglio sulla resistenza ultima della struttura.

N0

M0

o

M

N

b

h

Fig.2.37

35

Vengono considerate quattro sezioni di controllo (ns=4) nei punti in cui la distribuzione del momento flettente presenta sicuramente dei punti di massimo o minimo, la posizione di dette sezioni è riportata in Fig.2.36. Osservato che la struttura in esame presenta un grado di iperstaticità pari a 1 (ni=1), si considera il sistema staticamente determinato riportato in Fig.2.38.

FµS

X 1

Fig.2.38 Risolvendo i sistemi attraverso le equazioni della statica è possibile determinare le distribuzioni dei momenti flettenti 0 1M , M e la distribuzione degli sforzi normali 0 1N , N riportati in Fig.2.39, e calcolare tramite la sovrapposizione degli effetti il momento flettente del sistema principale staticamente determinato (sistema equilibrato).

- - + +

-+

µ F

µ Fl/2

s

s

1

N 0 0M 1N 1M

Sistema (0) Sistema (1)

Fig.2.39 Distribuzione equilibrata dei momenti flettenti e degli sforzi normali.

i

i

n0 j

i i i j sj=1

n0 j

i i i j sj=1

M =M + M X i=1..n

N =N + N X i=1..n

∑

∑

36

dove ni ed ns risultano rispettivamente il grado di iperstaticità (ni=1) ed il numero di sezioni di controllo (ns=4). Una distribuzione di caratteristiche di sollecitazioni staticamente ammissibili sono equilibrate e plasticamente ammissibili. Al sistema di equazioni scritto in precedenza (nell’esempio in questione 8 equazioni) è necessario quindi aggiungere le condizioni di ammissibilità plastica nelle sezioni di controllo. Condizioni di ammissibilità plastica.

2

i is

0 0

M N 1 0 i=1..nM N

⎛ ⎞+ − ≤⎜ ⎟

⎝ ⎠

Vengono esplicitate e riportate nella tabella seguente le relazioni sopra specificate.

Sez. di controllo Equilibrio Ammissibilità plastica

1 s 1FM X2

= −µ + 1

1 s 1N F X= −µ +

2s 1

s 1

0 0

F X F X2 1 0M N

−µ + ⎛ ⎞−µ ++ − ≤⎜ ⎟

⎝ ⎠

2 s 1FM X2

= −µ + 2

2 s 1N F X= −µ +

2s 1

s 1

0 0

F X F X2 1 0M N

−µ + ⎛ ⎞−µ ++ − ≤⎜ ⎟

⎝ ⎠

3 s 1FM X2

= −µ + 3

1N 0=

s 1

0

F X2 1 0M

−µ +− ≤

14

XM2

= 4

4N 0=

1

0

X2 1 0

M− ≤

Ricordando il teorema statico, se consideriamo l’intero dominio delle configurazioni staticamente determinate, è possibile determinare il moltiplicatore di collasso cµ come il maggiore dei moltiplicatori staticamente ammissibili sµ , { }maxc sµ = µ . Quindi la determinazione del moltiplicatore di collasso cµ , si riduce nella soluzione di un problema non lineare di ottimizzazione.

Dalla (4) si ricava 01

2MX ≤ . In particolare, poiché è verosimile che 4M 0> la condizione diventa

01

2MX ≤ .

Inoltre, confrontando la (1) con la (3) e considerando che nella (1) il secondo termine essendo un quadrato è positivo, risulta che la (1) è più restrittiva della (3). Infine si prevede che il sistema staticamente ammissibile che rende massimo sµ sia tale da avere 1 2N N 0= < e 1 2M M 0= < ; pertanto la (3) si specializza in:

( )20s 1 s 1 02

0

MF X F - X M 02 N

µ − + µ − ≤ .

Si tratta quindi di un problema di programmazione non-lineare:

37

{ }

( )

s

20s 1 s 1 02

0

01

maxMF X F - X M 0

2 N2MX

c

⎧⎪µ = µ⎪⎪µ − + µ − ≤⎨⎪⎪

≤⎪⎩

.

La soluzione può essere trovata assumendo 01

2MX = , che implica 4 0M M= . Pertanto, la

condizione di ammissibilità plastica nella sezione (3) diventa:

2

0 0 0s s 02

0

2M M 2MF F - M 02 N

⎛ ⎞µ − + µ − ≤⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Considerata la sezione rettangolare, il momento ultimo plastico per pura flessione 0M può essere

espresso in funzione del carico ultimo di pura compressione 0N , 0 01M N h4

= , posto h = β e

06MF

= µ (moltiplicatore di collasso del sistema con cerniere plastiche indipendenti da N, 0N → ∞ )

si ottiene:

22

2s 0 s ss2

0

2M1 13 F- 3 0 3 3 -1 3 0N 4

µ µ ⎛ µ ⎞⎛ ⎞+ µ − ≤ ⇒ + β − ≤⎜ ⎟⎜ ⎟µ µ µ⎝ ⎠ ⎝ ⎠.

Posto sz µ=

µ, si cerca il ( )max z che si realizza con la condizione limite di eguaglianza:

( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 212z 9 z 6 z 12 0 9 z 6 2 z 12 0+ β + β − β − = ⇒ β + − β + β − = ; quindi risolvendo in z si ottiene

( )2 2

1,2 2

2 2 1 2z

3− − β ± + β

=β

.

Poiché si cerca il ( )smax µ si considera la soluzione maggiore.

Per h 20 1 0.0667300 15

β = = = si ottiene il seguente valore di z e del moltiplicatore di carico sµ :

sz 0.9985 0.9985= ⇒ µ = µ . L’effetto dell’interazione (N-M) è assolutamente trascurabile. Lo stato di sollecitazione al collasso nella sezione (2)=(1) risulta

2 0

2 0

N 0.0665NM 0.9955M

== −

,

che soddisfa la condizione di ammissibilità plastica ( )20.9955 0.0665 1 0+ − ≤ . L’esempio pone in evidenza il fatto che anche considerando cerniere plastiche generalizzate che dipendono dall’interazione (N-M), l’effetto della forza normale è spesso trascurabile. Più importante risulta invece l’effetto dell’interazione tra momento flettente e taglio.

38

2.8 Analisi limite di telai piani Si consideri il telaio piano indicato in Fig.2.40 soggetto a carichi verticali ed orizzontali crescenti monotonicamente con il moltiplicatore µ . Per semplicità si assume che tutte le travi abbiano medesimo momento plastico 0tM e analogamente per le colonne 0cM ; il coefficiente α è definito positivo ( 0α > ).

h

µαF

µF/6

Fig.2.40

Si escludano effetti di grandi spostamento e rotazioni e l’influenza dello sforzo normale sul momento plastico. Il telaio risulta in (2 3 6) 36= × × = volte iperstatica; meccanismi di collasso globale cinematicamente sufficienti includono 37 cerniere plastiche. Sulla base del teorema cinematico si considerano alcuni meccanismi elementari. Si ricorda che attraverso il teorema cinematico è possibile determinare il moltiplicatore di carico

kµ , valutando la potenza dissipata interna kD e la potenza esterna k,extW , ed applicando la seguente relazione:

kk

k,ext

DW

µ = .

39

Meccanismo n.1 (globale). Il meccanismo si realizza con la formazione di cerniere alle estremità delle travi ed alla base delle colonne, Fig.2.41. Risulta:

( )( )

k1 0c 0t 0c 0t

k1,ext

0c 0tk1

D 3M 4 6M 3 M 8M

W F 1+2+3+4+5+6 h 21 FhM 8M

7 Fh

= θ + × θ = + θ

= α θ = α θ

+µ =

α

.

θ

3h

µαF

θ

Fig.2.41 Meccanismo n.2 (globale). Il meccanismo si realizza con la formazione di cerniere nella mezzeria ed in una estremità delle travi ed alla base delle colonne, Fig.2.42. Risulta:

( )

( )

k2 0c 0t 0t 0c 0t

k2,ext

0c 0t 0c 0tk2

D 3M 2 6M 2 2 6M 3 M 12M

F FhW 21 Fh 2 F 21 h 1266 2 6 6 h

18 M 12M M 12M

Fh 126 7 Fh 1h 126 h

= θ + × θ + × θ = + θ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= α θ + θ = + α θ = + α θ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

+ +µ = =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ α α +⎜ ⎟ ⎜ ⎟α⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

40

θ

3h

µαF

θ

θθ

2θ

l/2θ

Fig.2.42

Meccanismo n.3 (locale o di piano). Il meccanismo si realizza con la formazione di cerniere alle estremità delle colonne del primo piano, Fig.2.43, generando così un meccanismo locale. Risulta:

k3 0c

k3,ext

0ck3

D 6M

W 6 FhM

Fh

= θ

= α θ

µ =α

.

Adottando le seguenti adimensionalizzazioni:

0tkk

0c 0c

MFh , MM M

µµ = = .

le equazioni dei moltiplicatori di collasso opportunamente elaborate diventano

k1

k2

k1

1 8(1) M7 7

1 12(2) M1 17 7

126 h 126 h1(3)

µ = +α α

µ = +⎛ ⎞ ⎛ ⎞α + α +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

µ =α

,

41

che risultano rette nel piano adimensionalizzato ( )kM − µ .

θ

µαF

Fig.2.43 Una rappresentazione grafica è riportata in Fig.2.44 e in Fig.2.45. Si osserva che l’intercetta sull’asse kµ della retta (1) risulta sempre maggiore di quella della retta (2) infatti:

1 21 1A 0, ; A 0,

17 7126 h

1 1 1 1 0 017 126 h 126 h h7

126 h

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎧ ⎫= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬α ⎛ ⎞⎩ ⎭ ⎪ ⎪α +⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭

> ⇒ α + > α ⇒ > ∀ >α ⎛ ⎞α +⎜ ⎟

⎝ ⎠

.

Si determinino ora le intersezioni della retta (1) con la retta (3) (punto B1) ed l’intersezione della retta (2) con la retta (3) (punto B2)

1 23 1 1 1 1 1B , ; B , 4 2 126 h

⎧ ⎫ ⎧ ⎫= = +⎨ ⎬ ⎨ ⎬α α α⎩ ⎭ ⎩ ⎭;

è ora possibile distinguere due casi:

1. se 1 54h

<α

allora l’ascissa del punto B2 risulta minore di quella del punto B1

B2 B11 1 1 3 1 1M M 542 126 h 4 54 h h

< ⇒ + < ⇒ α > ⇒ <α α

;

2. se 1 54h

>α

allora l’ascissa del punto B2 risulta maggiore di quella del punto B1

42

B2 B11 1 1 3 1 1M M 542 126 h 4 54 h h

> ⇒ + > ⇒ α < ⇒ >α α

.

Caso 1

Nel caso 1 esiste una intersezione (punto C), nella regione k1M 0; 0⎧ ⎫> ≤ µ ≤⎨ ⎬α⎩ ⎭

, tra la retta (1) e la

retta (2) che presenta le seguenti coordinate:

1 1 1 11 8126 h 126 hC ,

1 1 1 17 74 1 4 163 h 63 h

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪α α= +⎨ ⎬α α⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪α α⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭

.

Quindi il minimo moltiplicatore cinematicamente ammissibile (adimensionalizzato) kµ risulta:

k2

k k1

k3

1 1126 h 0 M

1 14 163 h

1 13126 h M

1 1 44 163 h

3 M4

⎧⎪ αµ ≤ ≤⎪ ⎛ ⎞⎪ −⎜ ⎟α⎪ ⎝ ⎠⎪⎪⎪ αµ = µ ≤ ≤⎨

⎛ ⎞⎪ −⎜ ⎟⎪ α⎝ ⎠⎪⎪µ ≥⎪⎪⎪⎩

.

M

3Α

kµ

3

1

Β 1

Α1

2

2Β

2Α

C

Fig.2.44

43

Caso 2

Nel caso 2 non esiste una intersezione, nella regione k1M 0; 0⎧ ⎫> ≤ µ ≤⎨ ⎬α⎩ ⎭

, tra la retta (1) e la retta

(2), ne consegue che la retta (2) nella regione sopra specificata fornisce valori del moltiplicatore di carico inferiori. Quindi il minimo moltiplicatore cinematicamente ammissibile (adimensionalizzato) kµ risulta:

k2

k

k3

1 1 1 0 M2 126 h

1 1 1 M2 126 h

⎧µ ≤ ≤ +⎪⎪ αµ = ⎨⎪µ ≥ +⎪ α⎩

.

M

3Α

kµ

3

1

Β 1

Α1

2

2Β

2Α

Fig.2.45

Si osservi che al variare di M , quindi del rapporto tra la resistenza plastica delle travi e delle colonne, si presentano, sia nel caso 1 che nel caso 2 delle transizioni; nel caso 1 si passa dal meccanismo 2 al meccanismo 1 e dal meccanismo 1 al meccanismo 3, nel caso 2 si passa dal meccanismo 2 al meccanismo 3. Si può verificare che i moltiplicatori adimensionalizzati ( )k1 k2 k3, , µ µ µ e quindi dei moltiplicatori

( )k1 k2 k3, , µ µ µ sono anche staticamente ammissibili.

44

Esempio numerico Si fissino i seguenti dati:

0.1

1 26.7 54 caso 1800 h2.67h 300

α =⇒ = < ⇒

α=.

Risulta possibile determinare le coordinate del punto C 1 1 1 1

1 8126 h 126 hC 0.09, 2.461 1 1 17 74 1 4 163 h 63 h

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪α α= +⎨ ⎬α α⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪α α⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭

Quindi il minimo moltiplicatore cinematicamente ammissibile (adimensionalizzato) kµ risulta:

k2

k k1

k3

0 M 0.093 0.09 M4

3 M4

⎧⎪µ ≤ ≤⎪⎪µ = µ ≤ ≤⎨⎪⎪µ ≥⎪⎩

.