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5 – Stati Limite di Esercizio

Stati limite di esercizio (SLE)

Si definisce stato limite di esercizio (SLE) una qualsiasi condizione che comporta la perdita di funzionalità o il rapido deterioramento del sistema strutturale. Raggiunto uno stato limite di esercizio, cioè, il sistema strutturale non possiede più i requisiti per il suo corretto utilizzo in esercizio, anche in termini di durabilità e di estetica.

Per le strutture in calcestruzzo armato gli SLE più importanti sono:-  stato limite di tensione: elevate tensioni di compressione nel calcestruzzo possono

provocare microfessure longitudinali con conseguenti problemi di durabilità o di eccessive deformazioni viscose; elevate tensioni nell’acciaio teso possono indurre lesioni troppo ampie e permanentemente aperte con possibili problemi di durabilità;

-  stato limite di fessurazione: insorgono lesioni di ampiezza tale da compromettere il corretto utilizzo della struttura;

-  stato limite di deformazione: deformazioni e spostamenti eccessivi possono indurre danni eccessivi in elementi non strutturali come tramezzature, finiture, ecc ….

Per garantirsi dal raggiungimento degli SLE si devono eseguire le seguenti verifiche:-  verifica delle tensioni di esercizio;-  verifica di fessurazione;-  verifica di deformabilità.

Valutazioni delle azioni di progettoNelle verifiche agli stati limite di esercizio i carichi permanenti strutturali e non strutturali sono sempre considerati con i loro valori caratteristici, Gk. Per i carichi variabili, Qk, si distinguono le seguenti tre diverse combinazioni:

Fd = Gk +Qk1 + ψ 0 jQkj

j=2

n

∑-  Combinazione caratteristica (rara), che ha la probabilità del 5% di essere superata nel

periodo di riferimento

Fd = Gk +ψ 11Qk1 + ψ 2 jQkj

j=2

n

∑-  Combinazione frequente, che ha la probabilità del 10% di essere superata nel periodo di

riferimento

Fd = Gk + ψ 2 jQkj

j=1

n

∑

-  Combinazione quasi permanente, che ha la probabilità del 50% di essere superata nel periodo di riferimento, generalmente impiegata per valutare gli effetti a lungo termine

Calcolo delle tensioni di esercizio

Il calcolo delle tensioni in condizioni di esercizio si basa sulle seguenti ipotesi:- conservazione delle sezioni piane;- perfetta aderenza tra acciaio e calcestruzzo;- calcestruzzo non reagente a trazione (secondo stadio);- comportamento elastico lineare per il calcestruzzo compresso e per l’acciaio teso e

compresso.

Per l’acciaio l’ipotesi di elasticità lineare è sempre verificata, perché la tensione agli SLE è sempre minore di quella di snervamento.

Per il calcestruzzo, che presenta un comportamento non lineare anche per bassi livelli di tensione, si tratta invece di un’approssimazione, che può essere accettata per il campo di tensione considerato, sempre inferiore a 0,60 fck. Nei calcoli, tuttavia, è opportuno introdurre il modulo di elasticità secante.

Per il calcolo delle tensioni si possono utilizzare i risultati della teoria tecnica della trave (problema di De Saint Venant) applicati alla sezione reagente omogeneizzata.

Omogeneizzazione dei materiali 1/2

Il concetto di omogeneizzazione dei materiali deriva dall’ipotesi di perfetta aderenza tra acciaio e calcestruzzo, che implica l’uguaglianza della deformazione tra ogni barra di acciaio e la corrispondente fibra di calcestruzzo posta alla stessa quota, cioè

Poiché per l’ipotesi di elasticità lineare dei due materiali vale la legge di Hooke, si ha

da cui, uguagliando le deformazioni, si ottiene

εs = εc

εs =

σ sEs

e εc =σ cEc

σ s =

EsEc

⋅σ c = n ⋅σ c

in cui il coefficiente

prende il nome di coefficiente di omogeneizzazione. n =

EsEc

…

Il valore del modulo di elasticità dell’acciaio è costante e pari a Es = 210000 MPa. Il modulo di elasticità secante del calcestruzzo è funzione della resistenza a compressione ed è dato dalla relazione

n =

EsEc

σ s = n ⋅σ c

Ec = 22000

fcm10

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

0.3

= 22000fck + 8

10⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

0.3

Tuttavia, per tener conto anche degli effetti differiti dei carichi a lungo termine, cioè del fenomeno della viscosità, si può assumere per il calcestruzzo un modulo di elasticità ridotto.

Per considerare in maniera semplificata questi aspetti, le NTC08 stabiliscono di assumere per il coefficiente di omogeneizzazione il valore n = 15 (circa il doppio del reale rapporto tra i moduli elastici), indipendentemente dalla classe del calcestruzzo, dalla durata del carico e dal valore delle tensioni di compressione.

Omogeneizzazione dei materiali 2/2

Calcolo delle tensioni in una sezione sottoposta a sforzo normale centrato

Si consideri una sezione di calcestruzzo armato soggetta a uno sforzo di compressione N applicato nel suo baricentro G. Lo sforzo normale si ripartisce tra calcestruzzo e acciaio. Imponendo l’equilibrio alla traslazione in direzione ortogonale alla sezione si ha:

σ c Ac +σ s As = N

σ c Ac + n ⋅σ c As = N

σ c Ac + nAs( ) = N

σ c =

NAic

σ s = n ⋅σ c = n N

Aic

area ideale di calcestruzzo (sezione omogeneizzata)

As = Asjj=1

m

∑ Aic = Ac + nAs

σ c Aic = N

Nel caso di sforzo normale centrato di trazione, molto improbabile, il calcestruzzo non reagisce (secondo stadio) e lo sforzo nell’armatura vale . σ s = N As

Calcolo delle tensioni in una sezione sottoposta a flessione semplice 1/4

Si consideri una sezione di calcestruzzo armato soggetta a un momento flettente M. I risultati della teoria tecnica della trave (problema di De Saint Venant) vanno applicati alla sezione reagente omogeneizzata, costituita dall’area del calcestruzzo compresso e dalle aree di acciaio teso e compresso, amplificate mediante il coefficiente n. Per definire la sezione reagente, che non è nota a priori, bisogna specificare la posizione dell’asse neutro, che separa la parte di calcestruzzo compresso da quella di calcestruzzo non reagente.In accordo con la teoria tecnica della trave, la posizione dell’asse neutro può essere individuata mediante la condizione che esso passi per il baricentro della sezione reagente. A titolo di esempio, il calcolo viene sviluppato per una sezione rettangolare soggetta a flessione retta, in cui l’asse di sollecitazione coincide con l’asse di simmetria.


Si assume che il momento flettente sia tale da tendere le fibre inferiori. L’asse di sollecitazione è verticale e coincide con uno degli assi principali d’inerzia della sezione. Pertanto, la flessione è retta e l’asse neutro n è orizzontale, e dista della quantità incognita x dal lembo superiore compresso della sezione. Poiché l’asse neutro deve passare per il baricentro della sezione reagente, l’incognita x può essere determinata imponendo che il momento statico della sezione reagente rispetto all’asse neutro sia nullo, cioè

Sn = 0


La relazione precedente si scrive:

Sn = − bx2

2− n ′As x − c( ) + nAs d − x( ) = 0

da cui si ottiene

x2 +

2n As + ′As( )b

x −2n Asd + ′Asc( )

b= 0

che, scartando la radice negativa, fornisce

x =n As + ′As( )

b−1+ 1+

2b Asd + ′Asc( )n As + ′As( )2

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥


Nota la posizione dell’asse neutro, il momento d’inerzia della sezione reagente omogeneizzata rispetto a tale asse si ottiene dalla formula

In = bx3

3+ n ′As x − c( )2 + nAs d − x( )2

Le tensioni massime nel calcestruzzo e nell’acciaio sono date dalle relazioni

σ c

max = − MIn

x σ s = n MIn

d − x( ) ′σ s = −n MIn

x − c( )

Esempio

Sezioni riconducibili alla rettangolare

Calcolo delle tensioni in una sezione sottoposta a flessione composta 1/2

Una sezione è sollecitata a flessione composta, quando in essa agiscono contemporaneamente uno sforzo normale N e un momento flettente M. Queste azioni equivalgono alla sola forza assiale N applicata in un punto C, detto centro di sollecitazione, spostato rispetto al baricentro G della sezione della quantità

che viene anche chiamata eccentricità. La flessione composta si dice anche presso o tensoflessione, a seconda del segno dello sforzo normale N. Nel seguito sarà considerato solo il caso di flessione composta retta, di maggiore interesse applicativo. In questo caso, il centro di sollecitazione C giace su uno degli assi principali d’inerzia della sezione.

Si osserva che le sollecitazioni di sforzo normale centrato N e di flessione semplice M rappresentano due casi particolari della sollecitazione di flessione composta. Nel primo l’eccentricità è nulla, nel secondo è infinita, con il valore dello sforzo normale pari a zero.

e = M

N

ex =

MxN

s = asse di sollecitazione

Per le sezioni in calcestruzzo armato, il calcolo delle tensioni deve essere condotto secondo due differenti modalità, che corrispondono ai seguenti due casi:- l’asse neutro è esterno alla sezione che risulta interamente reagente o a compressione (tutta

l’area del calcestruzzo e tutta l’area dell’acciaio), o a trazione (solo l’area dell’acciaio). La flessione composta si dice di piccola eccentricità. In questo caso si può applicare il principio di sovrapposizione degli effetti e le tensioni possono essere calcolate considerando separatamente l’azione di N e di M, sommando infine i risultati;

- l’asse neutro taglia la sezione, individuando una parte di calcestruzzo teso non reagente; la sezione risulta parzializzata, con la sua parte resistente costituita dal calcestruzzo compresso e dall’acciaio teso e compresso. La flessione composta si dice di grande eccentricità. In questo caso non si può applicare il principio di sovrapposizione degli effetti e le tensioni devono essere calcolate considerando l’azione simultanea di N e di M.

Inoltre, per le proprietà del nocciolo centrale d’inerzia, si ha che:- se il centro di sollecitazione è interno al nocciolo, l’asse neutro è esterno alla sezione

(piccola eccentricità)- se il centro di sollecitazione è sul contorno del nocciolo, l’asse neutro è tangente alla sezione

(piccola eccentricità)- se il centro di sollecitazione è esterno al nocciolo, l’asse neutro taglia la sezione

(grande eccentricità)

Calcolo delle tensioni in una sezione sottoposta a flessione composta 2/2

Per la sollecitazione di flessione composta retta non è necessario conoscere l’intero nocciolo centrale d’inerzia, ma è sufficiente determinare la posizione dei suoi estremi, C1 e C2, sull’asse di sollecitazione, cioè le distanze e1 ed e2 dal baricentro.

Ricordando le proprietà del nocciolo si ha:

Estremi del nocciolo centrale d’inerzia

e1 =ρx

2

dG,inf=

IxA ⋅dG,inf

e2 =ρx

2

dG,sup=

IxA ⋅dG,sup

Nel caso di un sezione in calcestruzzo armato, se lo sforzo normale è di compressione: Ix è il momento d’inerzia dell’intera sezione omogeneizzata rispetto all’asse baricentrico x, ortogonale all’asse di sollecitazione s, A è l’area dell’intera sezione omogeneizzata, è il raggio d’inerzia rispetto all’asse x. La sezione è tutta compressa se C è compreso tra C1 e C2, altrimenti si parzializza.Invece, se lo sforzo normale è di trazione: Ix è il momento d’inerzia dell’area delle armature rispetto a x e A è l’area delle armature. La sezione è tutta tesa se C è compreso tra C1 e C2 e reagiscono solo le armature, altrimenti si parzializza.

ρx

Considerando l’area delle sole armature, si calcola il momento statico rispetto al lembo superiore e poi la posizione del loro baricentro Gs:

Sforzo normale di trazione interno al nocciolo 1/2

A = As + ′As

S = Asd + ′Asc

dG,sup = SA=

Asd + ′AscAs + ′As

dG,inf = h− dG,sup

Le distanze degli estremi del nocciolo C1,s e C2,s dal baricentro Gs si ottengono mediante le seguenti espressioni:

Ix = As dG,inf − c( )2 + ′As dG,sup − c( )2 =As ′As

As + ′Asd − c( )2

e1 =Ix

A ⋅dG,inf=

As ′AsAs + ′As

⋅d − c( )2

Asc + ′Asd

e2 =Ix

A ⋅dG,sup=

As ′AsAs + ′As

⋅d − c( )2

Asd + ′Asc e1 = e2 =

d − c( )22h

Nel caso particolare in cui , risulta As = ′As

Sforzo normale di trazione interno al nocciolo 2/2

L’eccentricità ex,s di C rispetto al baricentro delle armature Gs si ottiene sottraendo all’eccentricità rispetto al baricentro geometrico della sezione O (punto di applicazione convenzionale dello sforzo normale N) la distanza dOG tra Gs ed O. Si ha cioè

ex,s =

MxN

− h2− dG,inf

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Se risulta

−e1 < ex,s < e2

la sezione è tutta tesa e la tensione nell’armatura è fornita dall’espressione

σ s =

NA+

N ⋅ex,s

Ixy

Esempio

Considerando l’intera sezione omogeneizzata, si calcola il momento statico rispetto al lembo superiore e poi la posizione del baricentro Gc+s:

Sforzo normale di compressione interno al nocciolo 1/2

A = bh+ n As + ′As( )S = bh2

2+ n Asd + ′Asc( )

dG,sup = SA

dG,inf = h− dG,sup

Le distanze degli estremi del nocciolo C1,c+s e C2,c+s dal baricentro Gc+s si ottengono mediante le seguenti espressioni:

Ix =bh3

12+ bh dG,sup −

h2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

+ nAs dG,inf − c( )2 + n ′As dG,sup − c( )2

e1 =Ix

A ⋅dG,inf e2 =

IxA ⋅dG,sup

L’eccentricità ex,c+s di C rispetto al baricentro Gc+s si ottiene sottraendo all’eccentricità rispetto al baricentro geometrico della sezione O (punto di applicazione convenzionale dello sforzo normale) la distanza dOG tra Gc+s ed O. Si ha cioè

ex,c+s =

MxN

− h2− dG,inf

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Se risulta

−e1 < ex,c+s < e2

la sezione è tutta compressa e le tensioni nel calcestruzzo e nell’armatura sono fornite dalle espressioni

σ c =

NA+

N ⋅ex,c+s

Ixy σ s = n N

A+

N ⋅ex,c+s

Ixy

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

Sforzo normale di compressione interno al nocciolo 2/2

In caso contrario, si è in presenza di grande eccentricità e la sezione si parzializza.

Esempio

Se il centro di sollecitazione è esterno al nocciolo, l’asse neutro taglia la sezione, che risulta parzializzata. Il problema è governato dalle equazioni di equilibrio alla traslazione e alla rotazione, scritte rispetto all’asse neutro della sezione parzializzata, la cui posizione è inizialmente incognita. Nel caso di una sezione rettangolare soggetta a pressoflessione, tali equazioni assumono la forma:

Sforzo normale di compressione esterno al nocciolo 1/3

σ c ( y) ⋅b ⋅dy0

x∫ + ′σ s ′As −σ s As = N

σ c ( y) ⋅b ⋅ y ⋅dy0

x∫ + ′σ s ′As x − c( )−σ s As d − x( ) = N ⋅en

d

c

c σc

σs n

′σs n

Poiché per la similitudine dei triangoli, risulta

σ c ( y)y

=σ cx

σ cx

=′σ s

n x − c( ) σ cx

=σ s

n d − x( )si può scrivere

σ c ( y) =

σ cx

y ′σ s = nσ cx

x − c( ) σ s = nσ cx

d − x( )

… Sostituendo nelle equazioni di equilibrio si ha


σ cx

b ⋅ y ⋅dy0

x∫ + n ′As x − c( )− nAs d − x( )⎡⎣⎢

⎤⎦⎥= N

σ cx

b ⋅ y2 ⋅dy0

x∫ + n ′As x − c( )2 − nAs d − x( )2⎡⎣⎢

⎤⎦⎥= N ⋅en

d

c

c σc

σs n

′σs n

Le quantità tra parentesi quadre rappresentano il momento statico Sn e il momento d’inerzia In della sezione reagente rispetto all’asse neutro. Si può quindi scrivere

σ cx

Sn = N σ cx

In = N ⋅en

Dalla prima si ottiene

In = Sn ⋅en

σ c =

NSn

x

che sostituita nella seconda fornisce

en = x + dCin cui

…

Da questa relazione, tenendo conto che


d

c

c σc

σs n

′σs n

e che , dopo alcuni passaggi si ottiene l’equazione dell’asse neutro

In = Sn ⋅en

en = x + dC

Sn = − bx2

2− n ′As(x − c)+ nAs(d − x) =

= − b2

x2 − n As + ′As( )x + n Asd + ′Asc( )

In = bx3

3+ n ′As(x − c)2 + nAs(d − x)2 =

= b3

x3 + n As + ′As( )x2 − 2n Asd + ′Asc( )x + n Asd2 + ′Asc

2( )

x3 − 3dC x2 + 6n

bAs d − dC( ) + ′As c − dC( )⎡⎣ ⎤⎦ x − 6n

bAsd d − dC( ) + ′Asc c − dC( )⎡⎣ ⎤⎦ = 0

Determinata, con un procedimento numerico, la posizione dell’asse neutro, la tensione massima nel calcestruzzo compresso e le tensioni nell’acciaio compresso e teso si ottengono dalle relazioni

′σ s = n N

Sn x − c( ) σ s = n N

Sn d − x( )

σ c =

NSn

x

Verifica delle tensioni di esercizio

Per limitare la fessurazione longitudinale del calcestruzzo compresso, le NTC08 prescrivono che, per la combinazione dei carichi rara, la tensione massima nel calcestruzzo non sia superiore al 60% della resistenza caratteristica cilindrica, cioè

Per limitare le deformazioni viscose del calcestruzzo compresso, le NTC08 prescrivono che, per la combinazione dei carichi quasi permanente, la tensione massima nel calcestruzzo non sia superiore al 45% della resistenza caratteristica cilindrica, cioè

σ c ≤ 0,60 ⋅ fck

σ c ≤ 0,45 ⋅ fck

Per evitare fessurazioni eccessive del calcestruzzo teso, le NTC08 prescrivono che, per la combinazione dei carichi rara, la tensione massima nell’acciaio non sia superiore all’80% della resistenza caratteristica di snervamento, cioè

σ s ≤ 0,80 ⋅ f yk

Il comportamento di una trave in calcestruzzo armato è governato da fenomeni fessurativi che, a causa della limitata resistenza a trazione del calcestruzzo, si manifestano anche per bassi livelli di carico e quindi anche in condizioni di esercizio.Sottoponendo una trave a un carico verticale crescente, nella parte tesa cominciano a formarsi fessure verticali nelle zone dove prevale la sollecitazione di flessione, e fessure inclinate dove prevale la sollecitazione di taglio. Le fessure si formano progressivamente all’aumentare del carico, fino a che la loro distanza non raggiunge un valore limite. A questo punto la fessurazione è stabilizzata: al crescere del carico non si formano altre lesioni, ma aumenta l’ampiezza di quelle che si sono già formate.

(Video 1 – 2 – 3)

Stato limite di fessurazione 1/2

La fessurazione deve essere limitata a un livello tale da non pregiudicare il funzionamento della struttura e/o il suo aspetto estetico. Si distinguono i seguenti tre stati limite:

a)   Stato limite di decompressioneCorrisponde a non ammettere alcuna tensione di trazione; è una condizione richiesta in ambienti molto aggressivi; il calcolo si riconduce a un’analisi elastica verificando che non si manifestino tensioni di trazione.

b) Stato limite di formazione delle fessureCorrisponde a considerare il calcestruzzo reagente a trazione; anche in questo caso il calcolo si riconduce a un’analisi elastica, verificando che la tensione massima non superi la resistenza a trazione, eventualmente ridotta secondo un opportuno coefficiente di sicurezza.

c) Stato limite di apertura delle fessureSi accetta che la resistenza a trazione sia superata e che si possano formare delle fessure; la verifica consiste nel controllo dell’ampiezza delle fessure, poiché la loro eccessiva apertura può favorire la corrosione dell’armatura per effetto di agenti esterni aggressivi.

Stato limite di fessurazione 2/2

La formazione delle fessure 1/4

In una trave inflessa, il comportamento della parte di calcestruzzo teso al di sotto dell’asse neutro si può assimilare a quello un tirante in cui si sono aperte delle fessure.

Pertanto, l’analisi del fenomeno fessurativo di una trave si può ricondurre a ciò che accade in un prisma di calcestruzzo armato alle cui estremità sono applicate forze di trazione.

Si consideri un elemento strutturale in calcestruzzo di classe C25/30, avente sezione trasversale quadrata di lato pari a 20 cm, armato con 4 barre 14 di acciaio B450C, sottoposto a uno sforzo di trazione N.

La resistenza caratteristica a trazione del calcestruzzo è pari a fctk = 1,80 MPa, mentre i moduli di elasticità del calcestruzzo e dell’acciaio valgono Ec = 31476 MPa ed Es = 210000 MPa rispettivamente.Per bassi valori del carico: (i) non si aprono lesioni e la sezione è ovunque tutta reagente, (ii) vale l’ipotesi di perfetta aderenza tra barre di armatura e calcestruzzo, (iii) il legame costitutivo del calcestruzzo può essere assunto lineare. In questa fase, in cui il comportamento del calcestruzzo è quello del cosiddetto “primo stadio”, tutti i punti dell’asta sono soggetti alla medesima deformazione

e, di conseguenza, la tensione nell’acciaio è n volte maggiore di quella del calcestruzzo, dove il coefficiente di omogeneizzazione n assume il valore

n =

EsEc

= 21000031476

= 6,67

φ


Ec = 22000

fcm10

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

0.3 fctm = 0.30 fck

23 fctk = 0.7 fctm

fcm = fck + 8

ε = εc = εs

Il comportamento lineare continua fino al raggiungimento della tensione di rottura nel calcestruzzo, che si assume pari al suo valore caratteristico fctk = 1,80 MPa, cui corrispondono la deformazione

e la tensione nell’acciaio εc = εs =

fctkEc

= 1,8031476

= 5,71⋅10−5

σ s = n σ c = 6,67 ⋅1,80 = 12,01 MPaIl valore della forza assiale per cui si raggiunge tale tensione è denominato sforzo normale di fessurazione, Nr, e vale

Nr = fctk Ac + nAs( ) = 1,80 20 ⋅20+ 6,67 ⋅4 ⋅1,54( ) ⋅102 = 79396 N = 79,4 kN


12,01

Raggiunta la tensione di rottura nel calcestruzzo, il tirante si fessura. Poiché la tensione è ovunque la stessa, la fessurazione dovrebbe avvenire nello stesso istante in tutte le sezioni. Tuttavia, poiché il materiale è per sua natura eterogeneo, le sue proprietà sono diverse da punto a punto. La prima fessura si aprirà, quindi, nella sezione meno resistente, la cui posizione non può essere determinata a priori per via teorica.In corrispondenza della fessura, poiché le due facce di calcestruzzo si sono distaccate, lo sforzo di trazione è applicato direttamente alle barre di acciaio. Il comportamento corrisponde a quello che viene chiamato “secondo stadio”. La tensione e la deformazione nell’acciaio risulta:

σ s =

NrAs

= 793964 ⋅1,54 ⋅102

= 128,9 MPa εs =

σ sEs

= 128,9210000

= 61,4 ⋅10−5


128,9 128,9

In prossimità della lesione le barre sono immerse nel calcestruzzo integro e sono soggette a una forza di trazione che tende a sfilarle. Pertanto, nascono tensioni di aderenza tra acciaio e calcestruzzo, che si possono assumere costanti e pari al loro valore caratteristico fbk.Si può ritenere che la diffusione delle tensioni nel calcestruzzo riguardi solo una parte della sua area, Act,eff, da definire in maniera opportuna, che in tale area la tensione sia uniforme e che cresca al crescere della distanza dalla fessura. Per l’equilibrio a una distanza dalla fessura si ha

da cui, poiché le barre hanno tutte lo stesso diametro,

in cui è la percentuale geometrica di armatura.

σ c Δz

σ c Act ,eff = fbkΔz πφi

i=1

m

∑

σ c =

fbkΔzAct ,eff

mπφ =fbkΔzAct ,eff

Asφ / 4

=4 fbkΔz

φAs

Act ,eff=

4 fbkφ

ρeff Δz

ρeff

La propagazione delle fessure 1/3

128,9 128,9

Si nota che la tensione di trazione nel calcestruzzo cresce linearmente con la distanza dalla fessura, fino a raggiungere nuovamente il valore fctk a una distanza lr pari a

σ c =

4 fbkφ

ρeff Δz…

lr =

14

fctkfbk

φρeff

Contemporaneamente la tensione nell’acciaio si riduce fino al valore che aveva prima della fessurazione.


128,9

σ cΔz

=fctklr

12,01

61,4 ⋅10−5

Al crescere, anche di poco, dello sforzo normale si formeranno progressivamente altre fessure. La distanza sr tra due lesioni successive non può essere inferiore a lr, perché entro tale distanza la tensione nel calcestruzzo è inferiore alla resistenza a trazione. Se due fessure si formano a distanza superiore a 2lr, tra loro si potranno formare altre fessure perché esiste un tratto in cui la tensione nel calcestruzzo è pari a quella di rottura. Al contrario, se la distanza è inferiore a 2lr, tra loro non si potrà formare un’ulteriore fessura, perché il calcestruzzo non raggiunge la tensione di rottura. Risulta quindi . lr ≤ sr ≤ 2lr


Per gli elementi inflessi la fessurazione si manifesta quando al lembo teso la tensione di trazione massima è pari alla resistenza a trazione del calcestruzzo, assunta pari alla resistenza media fctm. Il corrispondente momento prende il nome di momento di prima fessurazione, Mcr. Tale momento si può calcolare assumendo la sezione tutta reagente e imponendo che al lembo teso la tensione sia pari a fctm ( ), cioè

La fessurazione in elementi inflessi

fctm =

McrIn

h− x( ) Mcr =

fctm ⋅ Inh− x

Secondo le NTC08, lo stato limite di fessurazione si raggiunge quando nella fibra più sollecitata a trazione la tensione è pari a:

σ t =

fctm1,2

Analogamente al caso del tirante, quando al crescere del carico il momento supera il valore di prima fessurazione, Mcr, altre fessure si formeranno a una certa distanza dalla prima, fin quando si raggiungerà una condizione di fessurazione stabilizzata, in cui può crescere solo l’ampiezza delle fessure esistenti.

fctm

fctm = 0.30 fck23

Osservazioni

-  La fessurazione è un fenomeno discontinuo, che interessa solo un numero limitato di sezioni, la cui posizione è legata all’eterogeneità del calcestruzzo.

-  La separazione dell’elemento in più conci definiti dalle fessure, fa sì che le barre in corrispondenza di ogni fessura siano sollecitate dall’intero sforzo di trazione.

-  Le tensioni tangenziali di aderenza, che nascono nelle zone limitrofe alle fessure lungo l’interfaccia tra calcestruzzo teso e barre di acciaio, (i) si oppongono allo sfilamento delle barre indotto dallo sforzo di trazione e (ii) riducono le tensioni nelle barre, trasferendole al calcestruzzo integro.

Calcolo dell’ampiezza delle fessure 1/2

Indicando con εsm ed εcm le deformazioni delle barre di acciaio e del calcestruzzo, l’ampiezza delle fessure può essere calcolata tenendo conto che nel tratto compreso tra una fessura e la successiva, di lunghezza sr, le barre di acciaio si allungano di srεsm, mentre il calcestruzzo si allunga della quantità minore srεcm. Pertanto, il valore di calcolo dell’ampiezza delle fessure è dato dalla relazione

wd = sr ,max εsm − εcm( )in cui sr,max è il valore caratteristico superiore della distanza tra le fessure. Quando la distanza tra le armature è inferiore a , dove c è il copriferro e è il diametro medio delle barre, la Circolare 617 fornisce per sr,max la seguente espressione 5 c +φ 2( ) φ

sr ,max = k3c + k1k2k4

φρeff

in cui k1 = 0,8 per barre ad aderenza migliorata, k2 = 0,5 nel caso di flessione e 1,0 nel caso di trazione pura, k3 = 3,4 e k4 = 0,425. Inoltre, è la percentuale geometrica di armatura, definita in precedenza

ρeff

ρeff =

AsAct ,eff

Calcolo dell’ampiezza delle fessure 2/2

La differenza tra le deformazioni può essere calcolata mediante la seguente relazione

εsm − εcm =

σ sEs

1− βσ srσ s

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

in cui

β = 0,6 per carichi di breve durataβ = 0,4 per carichi di lunga durataσsr è la tensione nelle barre di acciaio allo stato limite di fessurazioneσs è la tensione nelle barre di acciaio all’atto dell’apertura delle fessureEs è il modulo di elasticità dell’acciaio

Stato limite di apertura delle fessure

La verifica allo stato limite di apertura delle fessure viene eseguita per limitare il rischio di corrosione dell’armatura. La verifica è legata alle condizioni ambientali, alla durata del carico e alla sensibilità dell’armatura alla corrosione. Si considerano poco sensibili alla corrosione gli acciai per il calcestruzzo ordinario, mentre si considerano sensibili quelli per il calcestruzzo precompresso. La verifica, a seconda dei casi, è riferita a uno dei seguenti valori nominali

e si esegue secondo le indicazioni riportate nella seguente tabella

w1 = 0,2 mm w2 = 0,3 mm w3 = 0,4 mm

Verifica dell’ampiezza delle fessure senza calcolo direttoLe NTC08 precisano che la verifica dell’ampiezza di fessurazione può anche essere condotta senza calcolo diretto, limitando la tensione di trazione nell’armatura, valutata nella sezione parzializzata per la combinazione di carico pertinente, ad un massimo correlato al diametro delle barre e alla loro spaziatura.La verifica consiste nel determinare la tensione nell’armatura per ogni condizione di carico da considerare, e controllando che questa sia compatibile con i diametri e le spaziature prescelte, indicate nelle tabelle seguenti

Si nota che per limitare l’ampiezza delle fessure è opportuno: a)  ridurre la tensione nell’acciaiob)  impiegare barre di piccolo

diametroc)  disporre un’armatura

opportunamente diffusa

Per evitare che all’atto della fessurazione un elemento strutturale possa manifestare un comportamento fragile, è necessario che l’armatura sia sufficiente a sopportare elasticamente la forza di trazione che il calcestruzzo teso era in grado di assorbire.

1) Sezione interamente tesa Si deve garantire che

cioè

da cui si ottiene

N y > Ncr

f yk As > fctm Act + nAs( ) ! fctm Act

As >

fctmf yk

Act

Area minima di armatura in zona tesa 1/2

Area minima di armatura in zona tesa 2/22) Sezione inflessaSi deve verificare che

In una sezione rettangolare di base b e altezza h si ha

avendo posto Act = bh/2. Risulta quindi

Le NTC08 forniscono la relazione

che per le costruzioni in zona sismica diventa

in cui bt è la larghezza della zona tesa di calcestruzzo.

M y > Mcr

M y ! 0,9 ⋅d ⋅ f yk As ! 0,8 ⋅h ⋅ f yk As

Mcr ! fctm

bh2

6= fctm

h3

bh2

=fctm ⋅h ⋅ Act

3

As > 0,4

fctmf yk

Act

As > 0,26

fctmf yk

btd

As >

1,4f yk

btd

Stato limite di deformazione 1/2Un’eccessiva deformazione degli elementi strutturali può comportare l’insorgere di problemi di funzionalità. Tuttavia, per le strutture in calcestruzzo armato è molto complicato calcolare in maniera rigorosa spostamenti e deformazioni. Si preferisce pertanto eseguire verifiche semplificate, che consistono nel rispettare adeguati limiti del rapporto tra la luce degli elementi strutturali e l’altezza della loro sezione trasversale. A tale scopo la Circolare 617 fornisce la relazione

in cui As,eff e As,cal sono l’area dell’armatura tesa effettivamente disposta e l’area di quella calcolata, mentre

sono le percentuali geometriche dell’armatura tesa e compressa. Il coefficiente k è riportato nella tabella seguente in funzione del tipo di sistema strutturale cui si riconduce l’elemento strutturale considerato.

lh≤ k 11+

0,0015 ⋅ fckρ + ′ρ

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟500f yk

As,eff

As,cal

ρ =

Asbd

′ρ =′As

bd

Stato limite di deformazione 2/2Nella seguente tabella, oltre ai valori del coefficiente k, sono riportati i valori limite del rapporto l/h per elementi strutturali poco (0,5%), mediamente (1,0%) o molto (1,5%) armati, con riferimento a un calcestruzzo di classe C25/30 e a un acciaio di tipo B450C.Nel caso di elemento strutturali di luce superiore a 7,00 m, i valori limite devono essere ridotti del rapporto 7/l.

Riferimenti bibliografici

1.  D.M. 14 gennaio 2008. Norme tecniche per le costruzioni. Ministero delle Infrastrutture e dei Trasporti, G.U. n. 29 del 4 febbraio 2008, Supplemento Ordinario n. 30, 2008, (NTC08).

2.  Circolare 2 febbraio 2009 n. 617. Istruzioni per l’applicazione delle Nuove norme tecniche per le costruzioni di cui al D.M. 14 gennaio 2008, approvata dal Consiglio Superiore dei Lavori Pubblici.

3.  Mezzina Mauro (a cura di), Fondamenti di Tecnica delle Costruzioni, Città Studi Edizioni, 2013.

4.  Ghersi Aurelio, Il cemento armato (seconda edizione), Dario Flaccovio Editore, 2010.

5.  Cosenza E., Manfredi G., Pecce M., Strutture in cemento armato, basi della progettazione (seconda edizione), Ulrico Hoepli Editore, 2015.

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